Tarea 5 de Álgebra Lineal I 1. Diga si las siguientes funciones h−, −i : V × V −→ R son productos escalares y también diga si son positivos definidos o no. (a) hA, Bi = tr(A + B) (donde V = Mm×m (R)) R1 (b) hp, qi = 0 p0 (x)q(x)dx (donde V = R[x] y p0 (x) denota la derivada de p(x)) R1 (c) hf, gi = 02 f (x)g(x)dx (donde V = {f : [0, 1] −→ R | f es continua}) 2. Sea V un R-e.v con producto escalar positivo definido. Sea S = {v1 , v2 , . . . , vn } un conjunto de vectores no cero con hvi , vj i = 0 para i 6= j. Demuestra que S es linealmente independiente. 3. Sea V = R4 y definamos h−, −i : V × V −→ R por h(x1 , y1 , z1 , t1 ), (x2 , y2 , z2 , t2 )i = x1 y1 + y1 y2 + z1 z2 − t1 t2 . Demuestra que h−, −i es un producto escalar en R4 . 4. Sea V un R-e.v con producto escalar positivo definido. Demuestra la ley del paralelogramo: Sean v, w ∈ V , entonces se cumple que kv + wk2 + kv − wk2 = 2kvk2 + 2kwk2 . Explica en un dibujo por que se llama la ley del paralelogramo. 5. Sea V = C3 y h−, −i el producto hermitiano estandar en C3 . Sean x = (2, 1 + i, i), y = (2 − i, 2, 1 + 2i), calcula hx, yi, kxk, kyk y kx + yk y verifica que se cumplen la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la desigualdad del triángulo. 6. Sea V un R-e.v con producto escalar positivo definido. Sea T : V −→ V transformación lineal. Demuestra que si kT (v)k = kvk para todo v ∈ V , entonces T es inyectiva. 7. En cada uno de los siguientes incisos aplicar el proceso de Gram-Schmidt al espacio generado por S del espacio vectorial V con producto escalar (o hermitiano). Luego encontrar una base ortonormal β para V y verificar que los coeficientes de Fourier para el vector v dado, relativa a la base β, nos dan el vector de coordenadas de v respecto a la base β. Es decir, si β = {v1 , . . . , vn }, entonces [v]β = (Fourierv1 (v), Fourierv2 (v), . . . , Fouriervn (v)). (a) V = R3 , S = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 3, 3)} y v = (1, 1, 2) (h−, −i = producto punto) (b) V = R3 , S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} y v = (1, 0, 1) (h−, −i = producto punto) R1 (c) V = P2 (R) con producto escalar definido por hf, gi = 0 f (x)g(x)dx. S = {1, x, x2 } y v = f (x) = 1 + x. (d) V = C3 , S = {(1, i, 0), (1−i, 2, 4i)} y v = (i, 2+3i, 1) (h−, −i = producto hermtiano estandar) 1 i 8. Sea A = . Definamos h−, −i : C2 × C2 −→ C definido por hx, yi = xAy ∗ , donde −i 2 y ∗ denota el conjugado de y visto como columna. Demuestra que h−, −i es un producto hermitiano definido positivo. 1 Álgebra Lineal I Prof: Valente Santiago Vargas Ayudante: Miguel Angel Guadarrama Tarea 5 de Álgebra Lineal I 9. Sea W un subespacio de Rn y β = {w1 , w2 , . . . , wr } P una base ortonormal de W respecto al n producto escalar hx, yi = x · y. Si x ∈ R sea P (x) = ri=1 hx, wi iwi ∈ W . (a) Demuestra que P : Rn −→ W es una transformación lineal. (b) Demuestra que P 2 = P . (c) Demuestra que Im(P ) = W y que Ker(P ) = W ⊥ y concluya que Rn = W ⊕ W ⊥ . (d) Sea x ∈ Rn demuestra que (x − P (x)) ⊥ W . (e) Sea x ∈ Rn y w ∈ W , demuestra que kx − wk ≥ kx − P (x)k (de esta forma tenemos que P (x) es el vector de W más cercano a x). Sugerencia: Usa que P (x) − w ∈ W y el teorema de Pitágoras. 10. Dé una base ortonormal para e subespacio de V generado por los vectores (a) (1, 1, 0, 0), (1, −1, 1, 1), (−1, 0, 2, 1) (V = R4 con h−, −i el producto punto) (b) (1, −1, −i), (i, 1, 2) ( V = C3 con h−, −i el producto hermitiano) (c) (1, i, 0), (1, 1, 1) ( V = C3 con h−, −i el producto hermitiano) 11. ¿ Cuál es la dimensión del subespacio de R6 que es perpendicular a los vectores (1, 1, −2, 3, 4, 5), (0, 0, 1, 1, 0, 7), (3, 3, −3, 12, 12, 36) ? 12. Definimos una función h−, −i : Mm×m (R) × Mm×m (R) −→ R como hA, Bi = tr(AB). (a) Demuestra que h−, −i es un producto escalar no degenerado. (b) Si A es una matriz simétrica , demostrar que tr(A2 ) ≥ 0 y que tr(A2 ) = 0 si y sólo si A = 0. Concluye que si W = Sim(m × m), entonces h−, −i : W × W −→ R es un producto escalar no degenerado y positivo en W . (c) Considera el subespacio Z = {A ∈ W | tr(A) = 0} de W . ¿ Cuál es la dimensión de Z ⊥ := {B ∈ W | hB, Ai = 0 ∀A ∈ Z} ⊆ W ? 13. Sea M ∈ Sim(n × n), definimos una función h−, −i : Rn × Rn −→ R como hX, Y i = X t M Y (donde X, Y son considerados como vectores columnas y X t M Y es considerado como un número real y no una matriz de 1 × 1). Demuestra que h−, −i es un producto escalar y dá un ejemplo en el caso n = 2 donde el producto escalar no sea positivo definido. 14. Consideremos la base β = {( √12 , √12 ), ( √12 , − √12 )} de R2 . Usando coeficientes de Fourier (no la matriz de cambio de base) dá las coordenadas de (3, 4) respecto a la base β. 15. Sea V un R-e.v con producto escalar positivo definido h−, −i. Sea B = {v1 , v2 , . . . , vm } un subconjunto de V de norma 1 y tal que hvi , vj i = 0 para todo i 6= j. Supongamos que para todo v ∈ V se tiene que m X 2 kvk = hv, vi i2 . i=1 Demuestra que B es una base de V . 16. Sea V un K-e.v con producto escalar h−, −i. Demuestra que si hv, vi = 0 para todo v ∈ V , entonces hv, wi = 0 para todo v, w ∈ V . Sugerencia: prueba que hv, wi = 21 (hv + w, v + wi − hv, vi − hw, wi). 2 Álgebra Lineal I Prof: Valente Santiago Vargas Ayudante: Miguel Angel Guadarrama Tarea 5 de Álgebra Lineal I 17. Sea V = {f : [0, 1] −→ R | f es continua} y W el subespacio de V generado porRlas funciones 1 1, t, t2 . Dé una base ortonormal de W con respecto al producto escalar hf, gi = 0 f (t)g(t)dt. 18. Sea V = Mm×m (C) y definamos la siguiente función h−, −i : V × V −→ C como hA, Bi = tr(AB ∗ ) donde B ∗ = (bji ) si B = (bij ), es decir, B ∗ tiene como entradas las conjugadas de la matriz B t . Demuestra que h−, −i es un producto hermitiano positivo definido. 19. RSea V = {f : [−π, π] −→ C | f es continua}, definimos h−, −i : V × V −→ C por π −π f (t)g(t)dt. Demuestra que h−, −i es un producto hermitiano positivo definido. Para i ∈ Z considera fk (t) = eikt , demuestra que si m 6= k, entonces fk es perpendicular a fm y calcula la norma de fk para cada k ∈ Z. 20. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita donde K = R o C. Sea β = {v1 , v2 , . . . , vn } base P de V . Sabemos que tal que Pn para cada v, w ∈ V existen únicos escalares ai , bi ∈ K P n n v = i ai bi . i bi vi . Definimos h−, −i : V × V −→ K como hv, iw = i ai vi y w = Demuestra que si K = R entonces h−, −i es un producto escalar sobre V y si K = C entonces h−, −i es un producto hermitiano sobre V . De esta forma a cualquier espacio vectorial de dimensión finita sobre los reales o complejos tiene un producto escalar. 21. Sea V = C3 y S = {(1, 0, i), (1, 2, 1)}. Calcular S ⊥ (respecto al producto hermitiano estandar en C3 ). 22. Sea V = C3 , W = h(i, 0, 1)i. Encontrar una base ortonormal para W y W ⊥ (respecto al producto hermitiano estandar en C3 ). 23. Sea V un K-espacio vectorial con producto escalar h−, −i. Sean W1 y W2 subespacios vectoriales de V . Demostrar que (W1 + W2 )⊥ = W1⊥ ∩ W2⊥ y que (W1 ∩ W2 )⊥ = W1⊥ + W2⊥ . 3 Álgebra Lineal I Prof: Valente Santiago Vargas Ayudante: Miguel Angel Guadarrama