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Colecciones de ejercicios
1. [2014] [EXT-B] La atención ante un anuncio de televisión (en una escala de 0 a 100) de 3 minutos de duración se comporta según
la función f(x) = -10x2+40x+40, donde x representa los minutos emitidos del anuncio, con lo que 0  x  3.
a) Representa gráficamente la función f en el intervalo [0,3].
b) ¿A cuántos minutos de comenzar el anuncio se presta la máxima atención? ¿y cuándo se presta la mínima?
c) ¿Qué nivel de atención se tiene justo al final del anuncio?
2. [2014] [JUN-A] Sea f la función definida por f(x) =
1+x
si x < 0
2-x
2
si 0  x < 1
ax+b
x2
si x  1
3
a) Determina los valores de a y b para que f sea una función continua en todo su dominio.
b) Considerando los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior, estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de
la función f y represéntala gráficamente.
1-
3. [2013] [EXT-A] Se lanza una pelota hacia arriba desde lo alto de una torre. La trayectoria que describe la pelota viene dada por
la siguiente expresión (f(x) representa la altura a la que se encuentra la pelota, en metros, y x es el tiempo transcurrido, en
segundos, desde su lanzamiento):
f(x) = 20x-5x2+60, x  0.
a) Dibuja la gráfica de la función f. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué momento lo hace?
b) ¿Desde qué altura se lanza la pelota? ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en caer al suelo?
4. [2013] [JUN-A] La temperatura de un horno viene descrita por la siguiente curva en función del tiempo que lleva encendido (f(x)
representa la temperatura en ºC a los x minutos):
900x+200
, x > 0.
f(x) =
x+10
a) Representa gráficamente la función f. ¿Disminuye la temperatura del horno en algún instante?
b) Sabiendo que los materiales del horno se deterioran si éste alcanza lso 1000ºC, ¿habría que apagar el horno en algún momento
para que no sufra daños?
5. [2012] [EXT-A] Un dispositivo de 10 años de duración tiene una tasa de fallos que depende del tiempo que lleve en
funcionamiento a través de la expresión (f(x) representa la tasa de fallos en el instante x, medido en años):
x3
+10x2-69x+200, 0  x  10.
3
a) Indica el intervalo de tiempo en el que la tasa de fallos crece y aquel en el que decrece.
b) ¿Cuándo se alcanza la tasa de fallos más baja? ¿Cuánto vale?
f(x) =
6. [2012] [JUN-A] La energía que produce una placa solar viene descrita por la siguiente curva en función del tiempo transcurrido
desde que amanece (f(x) representa la energía producida a las x horas de haber amanecido): f(x) =
10x-x2 si 0  x  8
1024
si 8 < x  12
x2
a) Estudia la continuidad de la función f en su dominio.
b) ¿En qué momento del día la placa produce más energía? ¿cuánto produce en ese momento?
7. [2011] [EXT-B] Para un determinado modelo de coche la relación existente entre la velocidad a la que circula y el consumo viene
dada a través de la siguiente expresión (f(x) representa el consumo en litros cada 100 km a una velocidad de x km/h):
90
x
+
, x > 10.
f(x) = 2+
x
90
a) Dibuja la gráfica de la función. ¿Cuál es la velocidad óptima a la que se debe circular para consumir la menor cantidad de
combustible posible?
b) ¿En algún instante el consumo aumenta al aumentar la velocidad? ¿Es posible conducir con un consumo de 3 litros cada 100 km?
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8. [2011] [JUN-B] Un proveedor cobra el aceite según el volumen del pedido. Así, la función que relaciona el importe del pedido con
3x si 0 < x < 30
el volumen del mismo es (f(x) representa el importe en euros, de un pedido de x litros de aceite): f(x) =
.
2x+30 si 30  x
a) ¿Es el importe una función continua del volumen del pedido?
b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y represéntala gráficamente.
9. [2010] [EXT-A] La ganancia que produce una máquina que dura 9 años depende del tiempo que lleva funcionando, a través de la
siguiente expresión (f(x) representa la ganancia en euros a los x años): f(x) = 270x2-30x3, 0  x  9.
a) La ganancia producida por la máquina, ¿crece siempre a medida que va pasando el tiempo?
b) Determina el tiempo en el que la máquina produce la mayor ganancia a la empresa. ¿Cuánto vale dicha ganancia?
10. [2010] [JUN-A] La temperatura de un plato viene dada en función del tiempo que lleva elaborado a través de la expresión (f(x)
56-6x si 0  x  5
representa la temperatura en ºC a los x minutos): f(x) =
30
si x > 5
20+
x
a) Dibuja la gráfica de la función. ¿En qué instante de tiempo la temperatura del plato es máxima?
b) El plato debe ser recalentado si su temperatura baja de los 20ºC. Por mucho tiempo que pase desde su elaboración, ¿será
necesario recalentar el plato?
11. [2009] [EXT] Entre 2000 y 5000 revoluciones por minuto, la potencia de un motor viene dada aproximadamente por la siguiente
función. P(x) es la potencia en caballos de vapor para x miles de revoluciones por minuto:
P(x) = -12x3+90x2-144x+84 ; 2  x  5
a) ¿Crece siempre la potencia cuando las revoluciones del motor aumentan?
b) Dibuja la gráfica de la función. A qué revoluciones se alcanza la máxima potencia?
c) ¿Tiene la curva de potencia algún punto de inflexión?
12. [2009] [JUN] La temperatura de una habitación entre las 17 horas y las 20 horas de cierto día queda descrita bastante bien a
partir de la siguiente función (T(x) representa la temperatura a las x horas):
x3
x2
-342x+2124 ; 17  x  20
2
3
a) Indica los intervalos de tiempo en que la temperatura subió y aquellos en los que bajó.
b) Dibuja la función. ¿Cuándo se alcanza la temperatura más alta y la más baja? ¿Cuánto valen?
c) La función tiene algún máximo o mínimo relativo que no sea absoluto?
T(x) = 37
13. [2008] [EXT] Un pueblo está sumergido bajo las aguas de un embalse. Si el volumen de agua baja hasta un nivel del 15%, esposible
ver la torre de la iglesia. V(x) representa dicho nivel (en %) en los últimos 4 meses y medio (x es el tiempo, en meses,desde el
inicio de la medición).
V(x) = -x3+9x2-24x+34 ; 0  x  4'5
a) Indica en qué intervalos de tiempo el volumen de agua crece y en cuáles decrece.
b) Dibuja la gráfica de la función. ¿Llegó a verse la torre?
c) Señala los máximos y mínimos (absolutos y relativos), así como los puntos de inflexión de la curva.
14. [2008] [JUN] En la construcción de un tunel, el porcentaje de roca fragmentada o de mala calidad viene dado por el siguiente
modelo matemático. R(x) representa dicho porcentaje cuando la distancia a la boca del túnel es x (en kilómetros). Si en algún
tramo de la perforación el porcentaje supera el 40%, se deberán reforzar las medidas de sostenimiento y seguridad de la
estructura:
x3
-4'5x2+18x+15 ; 0  x  7
3
a) Indica en qué tramos de la perforación el porcetaje crece y en cuáles decrece.
b) Dibuja la gráfica de la función. ¿Será necesario reforzar las medidas mencionadas?
c) Señala los máximos y mínimos (absolutos y relativos), así como los puntos de inflexión de la curva.
R(x) =
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15. [2007] [JUN] a) Encuentra f'(-2) donde f' es la derivada de la función f dada por f(x) = 4x-x2+
2
x3
(x  0).
b) Dibuja la función f(x) = 4x-x2 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 3 y x = 5.
16. [2006] [EXT] Un inversor utiliza la siguiente función para reinvertir en Bolsa parte del capital que obtiene mensualmente. R(x)
representa la cantidad reinvertida cuando el capital obtenido es x (tanto la cantidad como el capital en euros):
0
, 0  x < 600
R(x) =
400+56x
, x  600
40+
1640+0'1x
a) ¿Es la cantidad reinvertida una función continua del capital obtenido?
b) Decrece alguna vez la cantidad reinvertida al aumentar el capital obtenido? Por muy grande que sea el capital obtenido, ¿puede
la cantidad reinvertida superar los 1000 euros?
c) Dibuja la gráfica de la función.
17. [2006] [JUN] Un ayuntamiento está realizando un estudio sobre el nivel de contaminación acústica de la ciudad. Un primer plande
choque afectará a aquellos lugares donde se lleguen a superar los 65 decibelios en horario diurno. En un barrio de la ciudad sehan
realizado mediciones de ruido en la franja horaria más conflictiva, modelándose el nivel de ruido mediante la siguientefunción (R
indica el nivel de decibelios y x el tiempo entre las 9 y las 14 horas de un día laborable):
R(x) = 2943-780x+69x2-x3 ; 9  x  11
a) Indica cuándo crece el nivel de ruido y cuándo decrece.
b) Dibuja la gráfica de la función. ¿Se debería iniciar un plan de choque en ese barrio?
c) Puesto que para x = 11'5 la segunda derivada de R(x) vale 0, ¿qué le sucede a la gráfica en x = 11'5?
18. [2005] [EXT] Un dirigente de cierto partido político afirma que dimitirá si el porcentaje de votantes al partido no alcanza el20%.
Se estima que el porcentaje de participación en la consulta será al menos el 40% y que el porcentaje de votantes al partido
dependerá del porcentaje de participación según esta función (P indica el porcentaje de votantes al partido y x el de
participación):
P(x) = 0'00025x3+0'0454x2-2'4x+50 ; 40  x  100
a) Indica cuándo crece el porcentaje de votantes al partido y cuándo decrece. Según la función, ¿es posible que el dirigente no
tenga que dimitir?
b) Dibuja la gráfica de la función.
19. [2005] [JUN] Cada mes, una empresa decide el gasto en publicidad en base a los beneficios que espera obtener dicho mes. Para
ello usa la siguiente función, donde G es el gasto en publicidad (en cientos de euros) y x los beneficios esperados (en miles de
x2
, 0x9
2
.
euros): G(x) =
75x+5400
3+
, x>9
10x2
a) ¿Es el gasto en publicidad una función continua del beneficio?
b) Indica cuándo crece y cuándo decrece el gasto.
c) Por muchos beneficios que espere, ¿el gasto llegará a ser inferior a 4 (cientos de euros)?
6+2x-
20. [2004] [EXT] Una cadena de televisión ha presentado un nuevo programa para la franja de las 11 a las 15 horas. El share o
porcentaje de audiencia de la primera emisión viene dado por la siguiente función, donde S(t) representa el share en el tiempo t,
en horas. Para que el programa siga emitiéndose, el share ha tenido que alcanzar en algún momento el 30%.
;
11  t  15
S(t) = -t3+36t2-420t+1596
a) Indica cuándo creció el share y cuándo decreció. ¿El programa seguirá emitiéndose?
b)Dibuja la gráfica del share.
21. [2004] [JUN] El servicio de traumatología de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las
listas de espera. Se prevé que a apartir de ahora la siguiente función indicará en cada momento (t, en meses) el porcentaje de
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t2-8t+50 , 0  t  10
pacientes que podrá ser operado sin entrar en lista espera: P(t) = 38t-100
.
,
t > 10
0'4t
a) ¿A partir de qué momento crecerá este porcentaje? Por mucho tiempo que pase, ¿a qué porcentaje no se llegará nunca?
b) Haz un esbozo de la gráfica de la función P a lo largo del tiempo.
22. [2003] [JUN] El peso que una plancha de cierto material es capaz de soportar depende de la edad de la misma según la siguiente
función (el peso P en toneladas; t representa la edad en años de la plancha):
50-t2 si 0  t  3
P(t) =
20t
56si t > 3
t+1
a) ¿Es el peso una función continua de la edad? Según vaya pasando el tiempo, ¿la plancha cada vez aguantará menos el peso?
b) Dicen que por mucho tiempo que transcurra, la plancha siempre aguantará más de 40 toneladas. ¿Estás de acuerdo?
c) Esboza el dibujo de la gráfica P(t) cuidando la concavidad y convexidad de la función.
Soluciones
105 Y
75
5. a) crec: (3,10) b) (3,92) 6. a) cont b) max: 25 a las 5 7. a) 90 km/h b) a partir de 90 km/h; min: 4 l a 90 km/h 8. a) si b) 45
X
15
-15 30 60
50
(6,3240)
9. a) crec: (0,6) b) max:
Y
b) no
10. a) 30
10
11. a) crec: (2,4) b) 4000 c) 2500
12. a) crec: (18,19) b) max.abs: (17,18'8); min.abs: (20,17'3) c) max: (19,18'17); min:
X
10 30 50
35
25
max.abs: (0,34); max.rel: (4,18); min: (2,14) 14. a) crec: (0,3)(6,7) b)
15
5
(18,18) 13. a) crec: (2,4) b)
c) max: (3,37'5); min.rel: (6,33);
-5 5 15 25 35
Y
min.abs: (0,15)
15. a)
3
61
b) 1
8
-1
Y
X; 4
16. a) disc. en 600 b) no, no c) 600
17. a) crec: (10,13) b)
1 2 3 4 5 6
600
Y
-10
95% b)
84
60
36
12
-12
Y
18. a) crec:
1800
25 Y
50
19. a) disc. en 9 b) crec: (0,2) c) si
(40,82); no dimite si x >82 b) 30
10
p.i.
X
20. a) crec: (11,14); max: 28% b)
15
5
X
20 40 60 80 110
-5
50
21. a) crec: (4,+);
X
5 15 25
Y
22. a) continua y decreciente b) agunata más de 36 tm c) 30
X
24 48 72
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10
X
10 30 50
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