Fisica_cuantica_Segundo_ Bachillerato

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Física Cuántica.
1. Introducción.
a. A principios del siglo XVIII existían dos modelos para explicar el fenómeno de la luz. Uno propuesto
por I. Newton (modelo corpuscular) y otro por H. C. Hüygens (modelo ondulatorio). El mayor
prestigio de Newton hizo que su modelo fuera el adoptado. Posteriormente, la comprobación
experimental de la velocidad de la luz en el agua y en el aire decanto la opinión hacia el modelo
ondulatorio.
b. A finales del siglo XIX la Física se basaba en dos importantísimos pilares:
i. El electromagnetismo con Maxwell y Faraday que permitía concebir la luz como una onda
electromagnética.
ii. La mecánica clásica totalmente determinista.
c. Pero a principios del siglo XX aparecen una serie de problemas que no podían resolverse con la
Física hasta entonces conocida:
i. La emisión de un cuerpo negro.
ii. El efecto fotoeléctrico.
iii. La existencia de los espectros discontinuos de emisión de los gases.
d. Para resolver estos problemas Max Planck en 1900 enuncia su teoría cuántica. Con esta teoría
comienza la Física Cuántica y acaba la Física Clásica.
e. Con este nuevo enfoque de Planck se hace posible el estudio de átomos, moléculas y demás
partículas subatómicas así como la interacción radiación-materia.
f. Actualmente los postulados cuánticos son considerados verdaderos al no haberse descubierto
ninguna evidencia que los contradiga.
2. Teoría de Planck.
a. Para poder explicar fenómenos cuánticos como la radiación del cuerpo negro, Max Planck pensó
que la clave estaba en los osciladores que constituían la estructura interna de los cuerpos. Estas
partículas cargadas que oscilan no pueden emitir ni absorber energía de forma continua sino de
forma discontinua, es decir, en forma de paquetes o cuantos de energía. La energía de estos
cuantos depende de la frecuencia de la radiación. Propone para estos cuantos una cantidad de
energía cuyo valor era E = ℎ.
donde h es una constante universal llamada constante de Planck y
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cuyo valor es 6,63.10 J.s. De esta forma todos los cuerpos no son más que un conjunto de
osciladores que solo pueden absorber o emitir energía, dependiendo de su temperatura y la del
medio exterior, en forma de cuantos o paquetes de energía E = ℎ. .
b. Cada oscilador dependiendo de su frecuencia emitirá o absorberá cuantos con diferentes energías.
c. Las ideas de Planck se pueden resumir en:
i. No se pueden emitir ni absorber partes de cuantos. Sólo múltiplos enteros de cuantos.
ii. La energía del cuanto depende de la frecuencia de la radiación absorbida o emitida. Así los
cuantos de rayos X o gamma son de mayor energía que los de luz visible o radiofrecuencias.
iii. Como sólo puede absorberse o emitirse múltiplos enteros del cuanto, la energía de un
oscilador sólo puede ser un múltiplo entero de ℎ. es de cir n. ℎ. .
iv. Un oscilador solo puede aumentar o disminuir su energía en el valor ℎ. en cada
interacción.
1. Compara estas energías con la de un oscilador constituido por un muelle e K=200
N/m que se deforma 0,2 metros.
v. Las ideas de Planck fueron consideradas demasiado atrevidas y rechazadas por la mayoría
de los físicos de la época. En 1918 recibió el premio Nobel de Física por sus
descubrimientos en la teoría cuántica.
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3. El efecto fotoeléctrico.
a. Efecto descubierto por Heinrich Hertz en 1887. Cuando se iluminaba una superficie metálica se
produce una emisión de electrones por parte del metal. El montaje que se empleaba es el que
aparece en la figura siguiente:
_ C
_
+
+ A
O
En el esquema de la figura la f.e.m. de la pila es regulable (en realidad es una fuente de alimentación), el metal se
coloca en la placa negativa o cátodo, el cátodo o placa negativa se mantiene a potencial negativo y el amperímetro
O nos mide la intensidad que pasa por todo el circuito. Además podemos conocer la diferencia de potencial entre
las placas mediante un voltímetro. El cátodo se ilumina con la radiación monocromática (frecuencia única) a
estudiar y se observan ambos aparatos de medida. La frecuencia de la radiación incidente se va variando. Cuando
la frecuencia alcanza un cierto valor saltan electrones del cátodo que se ven atraídos por el ánodo acelerándose.
Se establece así una corriente que se puede medir así como la d.d.p. entre ambas placas. Los parámetros que
pueden modificarse en este montaje son:
-
El metal del cátodo.
La frecuencia de la luz incidente.
La intensidad de la luz incidente.
La d.d.p. entre las placas.
Los resultados obtenidos en el experimento son:
-
-
El paso de corriente i es instantánea
Para cada metal colocado en el cátodo el efecto fotoeléctrico se produce cuando la frecuencia de la luz
incidente tiene un valor mínimo o umbral f0. Aunque aumentemos el valor de la intensidad luminosa
(colocando varios focos luminosos o aumentando la potencia luminosa del único foco) si no se ha
alcanzado la frecuencia umbral no se produce efecto fotoeléctrico.
Cuando el cátodo está a potencial negativo respecto al ánodo, si vamos aumentando la d.d.p. la
intensidad i medida en O va aumentando hasta alcanzar un valor máximo o saturación.
Si invertimos la d.d.p. entre ambas placas, dando a C un potencial positivo respecto a A, la intensidad i
medida en O va cayendo progresivamente a cero. Cuando se alcanza un valor V0, la intensidad se anula
y se interrumpe el paso de corriente, O marca cero. A este valor de V0 se le llama potencial de frenado.
Resulta una gráfica como:
i
I2>I1
I1
V0
V
En esta gráfica puede verse que si se aumenta la intensidad luminosa I, aumenta la intensidad de la corriente i.
Puede apreciarse el efecto de saturación en el tramo horizontal de la gráfica. Aunque aumente la d.d.p V no
aumenta la i.
-
Si aumenta la intensidad luminosa no aumenta el potencial de frenado V0.
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-
Al aumentar la frecuencia f de la luz incidente, se observa o aumento del potencial de frenado V0. Así la
gráfica sería:
V0
f0
f
b. La Física clásica no tiene explicación para:
i. El efecto fotoeléctrico es instantáneo. Según la teoría clásica el electrón del metal iría
absorbiendo energía de la onda electromagnética hasta obtener la suficiente para quedar
libre e ir hacia el ánodo.
ii. La existencia de una frecuencia umbral no puede ser explicada por la teoría clásica. Según
esta teoría la existencia o no del efecto fotoeléctrico sólo dependería de la intensidad de la
luz.
iii. La independencia del potencial de frenado de la intensidad luminosa no tiene tampoco
explicación clásica. Si aumentamos la intensidad luminosa debe aumentar también la
energía cinética de los electrones que saltarán. Por lo tanto necesitaría mayor potencial de
frenado.
c. Interpretación de Albert Einstein del efecto fotoeléctrico. En 1905 Einstein resolvió el problema del
efecto fotoeléctrico. Para ello propuso:
i. Un nuevo modelo para la onda electromagnética. Para poder explicar la interacción
radiación-materia supone que esta O.E.M. es un haz de paquetes de energía o partículas
cuya energía vale h.f siendo ha la constante de Planck y f su frecuencia. A estos paquetes
de energía o partículas las llamó fotón. Todos estos fotones viajan a ña misma velocidad
c=3.108 m/s sea cuál sea su frecuencia. De este forma el modelo corpuscular de la luz vuele
a estar vigente.
ii. Cuando un fotón interacciona con un electrón del metal, este absorbe la energía que
transporta el fotón. Toda la energía h.f es transferida a un solo electrón que la emplea, por
un lado, en superar la atracción de la red metálica Φ y el resto le sirve para adquirir energía
cinética EC quedando la ecuación del efecto fotoeléctrico:
hf = Φ + EC = Φ +
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Este valor de la energía cinética es el valor máximo de esta energía que puede adquirir
el electrón.
Φ se llama función de trabajo o trabajo de extracción y depende de cada metal. Esta
ecuación es una aplicación del P.C.E.
iii. No todos los electrones salen con la misma energía cinética ya que hay electrones que se
encuentran en capas más profundas del metal y su energía cinética es inferior a este valor.
Los que se encuentren justo en la superficie si adquirirán esta energía cinética. Por esto la
llamamos energía cinética máxima.
iv. Con este modelo de O.E.M. se pueden explicar los puntos siguientes que no podía la teoría
clásica:
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2. El efecto fotoeléctrico no se produce por debajo de la frecuencia umbral, ya que
por debajo de esta el electrón no tendría energía cinética para quedar libre. En tal
caso la energía insuficiente absorbida es devuelta. Además como cada metal tiene
una estructura interna distinta, cada metal tiene un valor distinto de Φ.
3. Al aumentar la intensidad luminosa lo que hacemos es aumentar el número de
fotones pero no la energía de cada fotón. Podrán arrancarse más electrones pero
la energía de cada fotón sigue siendo h.f.
4. Aumentando la d.d.p. aumentamos el número de electrones que saltan pero
llegará un momento en el que ya no haya más electrones para saltar. Por esto se
produce la saturación.
5. A. Einstein recibió el Premio Nobel de Física en 1921 por su estudio de este efecto.
6. El modelo de O.E.M. que propone Einstein es totalmente revolucionario. Esta
O.E.M. es un haz de partículas que transportan energía cinética y momento lineal.
La energía de cada fotón es h.f y su momento lineal es p= donde h es la constante
de Planck y λ la longitud de onda de la O.E.M. Con esto pasamos de un modelo
ondulatorio de O.E.M en el que los parámetros fundamentales son su frecuencia f y
su longitud de onda λ a otro modelo corpuscular en el que los parámetros
fundamentales son su energía E y su momento lineal ⃗ .
4. Espectros de gases.
a. Supongamos un gas encerrado en un tubo de descarga. Se le somete a una altísima d.d.p. entre los
electrodos del tubo.
Como puede apreciarse la luz procedente de la muestra pasa a través de la rendija colimadora y atraviesa un
prisma en el que se descompone si no es monocromática. El resultado se recoge en la pantalla que puede verse de
frente. Este espectro se llama espectro discontínuo de emisión e identifica por completo al gas. El espectro de
abosrción de un gas se obtiene haciendo pasar luz blanca através del gas y observando que es complementario del
de emisión, es decir, las franjas de color que aperecían antes ahira se ven oscuras y las que antes se veían oscuras
ahora se ven de colores. El espectro de emisión del hidrógeno sería:
6563
4861
4340 4102
Los valores que aparecen están en Å de longitud de onda. El de absorción sería
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La explicación de estos espectros en el hidrógeno fue imposible a la luz de la teoría clásica. Para poder
resolver este problema hubo que esperar hasta el año 1913 con el modelo atómico de Niels Bohr.
b. Después del modelo de Thomson llegó el de Rutherford que fue el primer modelo nuclear. Este
último modelo presentaba un problema, entre otros: si los electrones tenían que estar girando
alrededor del núcleo, describiendo M.C.U. estarían sometidos a una aceleración centrípeta. Según
la teoría electromagnética de Maxwell y Faraday, al ser partículas cargadas deberían emitir energía
en forma de O.E.M. esto supondría que los electrones irían cayendo hacia el núcleo perdiendo
energía cinética. La consecuencia sería que los átomos serían inestables ya que tendrían una vida
muy efímera. Esto choca con la evidencia experimental. ¿Cómo resolver esta cuestión? Esto unido a
que los electrones en el modelo de Ruthetford no tienen un ordenamiento en sus órbitas y no
poder explicar los espectros atómicos hizo que el modelo debería ser revisado. Esto lo llevó a cabo
Niels Bohr en 1913.Este adopta los postulados cuánticos de Planck para enunciar su nuevo modelo
atómico basado en los siguientes postulados:
i. Los electrones en los átomos se mueven en órbitas circulares estacionarias alrededor del
núcleo. En estas órbitas estacionarias los electrones no emiten energía radiante sino que
conservan su energía.
ii. Cada órbita tiene una energía característica. Cuando un electrón salta de una órbita a otra
es por absorción o emisión de la energía que falta. La energía absorbida proviene de un
fotón. La energía emitida se emite en forma de un fotón. Esta energía viene dada por la
ecuación: Ef – Ei = h.f donde Ei es la energía en la órbita inicial, Ef es la energía en la órbita
final, h es la constante de Planck y f es la frecuencia del fotón absorbido o emitido.
iii. No hay una infinitud de órbitas sino que tan sólo son posibles una serie de órbitas en las
que el momento angular del electrón esta cuantizado.
iv. Su energía es constante en su órbita estacionaria.
5. Hipótesis de De Broglie. Dualidad onda-partícula.
a. Como hemos visto más arriba la luz es una realidad dual: hay fenómenos que se explican por su
carácter ondulatorio y otros por su carácter corpuscular. Así por ejemplo el efecto fotoeléctrico
debe ser justificado por con el modelo corpuscular y la existencia del fotón mientras que las
interferencias deben ser razonadas basándose en el modelo ondulatorio o sea con la onda
electromagnética.
b. Luis De Broglie pensó que esta dualidad de la radiación electromagnética podía ser aplicada
también a las partículas subatómicas. Según su teoría toda partícula tiene asociada una onda. De
esta forma la simetría del universo quedaría afirmada: la materia y la radiación tienen la misma
naturaleza dual. Para poder aplicar esta dualidad de las partículas establece sus dos relaciones:
i. La energía de la partícula E y la frecuencia de la onda asociada f están relacionadas por:
E = h.f
Donde h es la constante de Planck.
ii. La longitud de onda de la onda asociada y el módulo del momento lineal de la partícula
están relacionada por la relación de De Broglie:
=
iii. De esta manera tenemos dos de los parámetros necesarios para poder escribir la ecuación
de la onda asociada.
iv. Esta dualidad onda-partícula es aplicable sólo al mundo de los átomos, moléculas,
electrones, protones, etc. No tiene ningún sentido intentar aplicarlo a cuerpos
macroscópicos como coches, pelotas, aviones o corredores.
v. La hipótesis de De Broglie estaba basada en argumentos teóricos pero muy pronto fue
comprobada experimentalmente. En 1926, Davisson y Germer realizaron experiencias de
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difracción de electrones en cristales. Estos físicos norteamericanos lanzaron haces de
electrones acelerados por una alta diferencia de potencial, a gran velocidad, contra un
cristal muy puro de níquel. Los detectores mostraban franjas de interferencia similares a
las que se obtenían con rayos X. Esto confirmaba la naturaleza ondulatoria de los
electrones para poder explicar este fenómeno de dispersión. A partir de estas figuras de
interferencia se calculo la longitud de onda y se corroboró que su valor coincidía con el que
establecía la relación de De Broglie.
1. Una de las aplicaciones de esta hipótesis es el microscopio electrónico.
vi. Niels Bohr enunció su Principio de Complementariedad. Según este principio ambos
modelos, el ondulatorio y el corpuscular, son complementarios. De tal manera que si un
fenómeno prueba el carácter ondulatorio no puede probar el carácter corpuscular y
viceversa.
vii. Aún quedaba por resolver un problema. Tenemos dos relaciones que nos sirven para
conocer la frecuencia y la longitud de onda a partir de la energía y del módulo del
momento lineal. Pero, ¿que significado tiene la amplitud de la onda asociada?
6. Relaciones de incertidumbre de Heisenberg.
a.
La mecánica clásica de Newton permite conocer la trayectoria de una partícula de forma definida
si conocemos su velocidad y posición iniciales. Estos datos iniciales pueden ser conocidos con toda
la precisión y exactitud que queramos. Esto nos lleva al determinismo mecánico-clásico.
b. La hipótesis de De Broglie permite estudiar el movimiento de una partícula con una onda asociada.
Esta onda tiene definidas su frecuencia y su longitud de onda. Pero como dijimos en el apartado
anterior quedaba por establecer el significado de la amplitud de esta onda asociada y esta está
relacionada con la probabilidad de encontrar a la partícula. La forma de definir esta amplitud es la
siguiente: “la amplitud al cuadrado en un punto es proporcional a la probabilidad de encontrar a la
partícula en ese punto”.
c. Como vemos en Mecánica Cuántica no se manejan vectores y trayectorias sino ondas de
probabilidad. Esto hace imposible el determinismo de la mecánica clásica y hace imposible conocer
con absoluta exactitud y simultáneamente la posición y el momento lineal de una partícula.
d. Werner Heisenberg plasmó esta imposibilidad en forma matemática en su relación de
incertidumbre posición-tiempo: ∆
.∆ ≥
i. Siendo ∆ y ∆ las incertidumbres en el momento lineal y en la posición.
ii. Podemos conocer la posición con total exactitud o con incertidumbre cero pero entonces
nuestro desconocimiento del momento es total y viceversa.
iii. En Mecánica Cuántica no puede hablarse de órbitas sino de orbitales.
e. De la misma forma el propio Heisenberg estableció una segunda relación de incertidumbre entre la
f.
energía y el tiempo: ∆
∆
.∆ ≥
donde ∆
es la imprecisión en la energía de la interacción y
es el tiempo que tarda en el intercambio de la partícula mediadora.
Estas relaciones de incertidumbre no son aplicables a la mecánica clásica.
7. Función de onda de Schrödinger.
a. Schrödinger introdujo su función de onda para estudiar la evolución de las partículas en Mecánica
Cuántica. Esta función ψ(x,t) para una partícula que se mueve por el eje de las X, se basa en:
i. La frecuencia = ℎ.
ii. La longitud de onda
=
iii. La amplitud en un punto de esta onda al cuadrado es proporcional a la probabilidad de
encontrar a la partícula en este punto.