Sistemas de segundo orden

6.002
CIRCUITOS Y
ELECTRÓNICA
Sistemas de segundo
orden
6.002 Otoño 2000
Clase
15
1
Sistemas de segundo orden
5V
5V
Demo
2KΩ
50Ω
2KΩ
S
A
+
–
C
B
bucle
grande
CGS
Nuestro amigo, el inversor, accionando otro inversor.
Se muestran la inductancia parásita del cable y la
capacitancia puerta a fuente del MOSFET.
[Repase el apéndice de álgebra compleja para la clase siguiente]
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Clase
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2
Sistemas de segundo orden
5V
5V
Demo
50Ω
2KΩ
2KΩ
S
C
A
+
–
Circuito relevante:
B
bucle
grande
2KΩ
CGS
L
5V +
–
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B
CGS
Clase
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3
Salida observada
2kΩ
5
vA
0
vB
0
t
2kΩ
t
vC
0
t
A continuación, tratemos de acelerar nuestro inversor
cerrando el conmutador S para disminuir la resistencia
efectiva.
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4
Salida observada
~50Ω
5
vA
0
t
vB
0
50Ω
t
vC
0
t
¡eh!
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5
Primero, analicemos la red LC
vI (t )
i (t )
L
+
–
C
+
v(t )
–
Método de nodos:
i (t ) = C
dv
dt
Recuerde
di
vI − v = L
dt
dv
1 t
(vI − v) dt = C
∫
L −∞
dt
1
(v I − v )
L
1 t
(vI − v) dt = i
∫
L −∞
d 2v
=C 2
dt
d 2v
LC 2 + v = vI
dt
tiempo2
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v, i variables de estado
Clase
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6
Resolver
Recuerde, el método de soluciones
homogéneas y particulares:
1
Halle la solución particular.
2
Halle la solución homogénea.
L
4 pasos
3
La solución total es la suma de las
soluciones particular y homogénea.
Utilice las condiciones iniciales para
resolver las constantes restantes.
v = vP (t ) + vH (t )
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Clase
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7
Resolvamos
d 2v
LC 2 + v = vI
dt
Para la entrada
V0
vI
t
0
Y para las condiciones iniciales
v(0) = 0 i(0) = 0 [ZSR]
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8
1
Solución particular,
d 2 vP
LC 2 + vP = V0
dt
vP = V0 es una solución.
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Clase
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9
2
Solución homogénea,
Solución para:
d 2 vH
LC 2 + vH = 0
dt
Recuerde v H : solución de la ecuación
homogénea (drive ajustado a cero)
Método de cuatro pasos:
A Suponga una solución de la forma*:
vH = Ae st
, A, s = ?
por lo tanto,
LCAs 2 e st + Ae st = 0
B
1
s =−
LC
ecuación
característica
2
1
s=±j
LC
C Raíces
j = −1
ωo =
s = ± jω o
1
LC
Solución general,
D
vH = A1e jωot + A2 e − jωot
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*
Clase
Generalmente, las ecuaciones diferenciales
se resuelven adivinando las soluciones.
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10
3
Solución total,
v(t ) = vP (t ) + vH (t )
v( t ) = V0 + A1e jωot + A2 e − jωot
Halle incógnitas a partir de las soluciones iniciales.
v(0) = 0
0 = V0 + A1 + A2
i ( 0) = 0
dv
i (t ) = C
dt
i( t ) = CA1 jωo e jωot − CA2 jωo e − jωot
por lo tanto, 0 = CA1 jωo − CA2 jωo
o, A1 = A2
− V0 = 2 A
V0
A1 = −
2
V0 jωot
+ e − jω o t )
por tanto, v( t ) = V0 − (e
2
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11
3
Solución total,
Recuerde la relación de Euler:
e jx = cos x + j sin x
(verifique mediante la
expansión de Taylor)
e jx + e − jx
= cos x
2
por tanto, v( t ) = V0 − V0 cos ωot
i( t ) = CV0ωo sin ωot
donde
1
ωo =
LC
La salida parece sinusoidal
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v(t )
Trazado de la solución total
2V0
V0
0
π
π
3π
2
2
CV0ωo
0
2π
ωo t
i (t )
π
π
2
3π
2
2π
ωo t
− CV0ωo
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Resumen del método
1
Escriba DE para el circuito aplicando
el método de nodos.
2 Halle una solución particular vP mediante
suposición, y ensayo y prueba.
3
Halle la solución homogénea vH
A Suponga una solución de la forma Aest .
B Obtenga la ecuación característica.
C Resuelva la ecuación característica
para las raíces si .
D Forme vH sumando los términos Ai esit
4
La solución total es vP + vH , resuelva
para las restantes constantes
utilizando las condiciones iniciales.
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Ejemplo
Qué sucedería si tenemos:
L
iC
+
C vC
–
vC (0) = V
iC (0) = 0
Podemos obtener directamente la respuesta
de la solución homogénea (V0 = 0).
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Clase
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15
Ejemplo
iC
L
+
C vC
–
vC (0) = V
iC (0) = 0
Podemos obtener directamente la respuesta
de la solución homogénea (V0 = 0).
vC ( t ) = A1e jωot + A2 e − jωot
vC (0) = V
V = A1 + A2
iC (0) = 0
0 = CA1 jωo − CA2 jωo
o,
o
vC =
A1 = A2 =
V
2
V jω o t
(
e + e − jω o t )
2
vC = V cos ωot
iC = −CV ωo sin ωot
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Ejemplo
vC
V
2π
ωo t
CVωo iC
2π
ωo t
− CVωo
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Energía
EC
C:
1
2
CvC
2
1
CV 2
2
2π
ωo t
EL
1
2
L : LiC
2
1
CV 2
2
2π
Observe,
ωo t
1
1
1
2
2
CvC + LiC = CV 2
2
2
2
La energía total en el sistema es una constante,
pero se desplaza de un lado al otro entre el
condensador y la bobina de inductancia.
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Circuitos RLC
R
L
vI (t ) +
–
i (t )
C
+
v(t )
–
v(t )
no hay R
añadir R
t
Sinusoides amortiguados con R – recuerde la demo.
Véase la sección 13.2 de A&L
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