TEMA 1:EXPRESIONES NUM´ERICAS

TEMA 1:EXPRESIONES NUMÉRICAS
1. Clasifica los siguientes números: 2,31; 4; 7,5; 2/3; -4; -1/2; 8/2.
2. ¿Son verdaderas las siguientes afirmaciones?
(a) Al igual que en el conjunto de los números enteros, en los números
racionales cada número tiene un siguiente.
(b) Un número puede ser entero y no ser racional.
(c) Un número racional siempre es entero.
3. ¿Es verdadera la siguiente afirmación? ”-7,5 no es un número racional
porque es negativo”.
4. Clasifica los siguientes números decimales: 4,131313...; 20,21321321321...;
31,7; 4,3222222...
5. Realiza las siguientes conversiones de números decimales a fracción:
a)9,435
b) 3,7281281281...
c)4,8282828282...
d)5,734734734...
e)7,29
f)9,210101010...
g)2,6717171717...
h)1,232232223...
i)3,425252525...
j)6,123123123...
k)7,25252525...
l)62,3
z}|{
z}|{
6. Expresa como decimal cada fracción y opera: 0, 12 −5, 6 +3, 1.
7. Realiza las siguientes operaciones:
a) 54 − 12 + 2 · 43
b) 17 ·
2
3
6
5
+ 4·
−
1
2
·
4
6
+
1
3
d) 35 ·
5
2
−
1
4
h
2
3
+
2
3
1
3
+
+
c)
3
7
+
29
−
1
5
·
2 2
3
1
9
8. Realiza las siguientes operaciones:
a) 12
c) 34 ·
3
4
2
3
+
+
1
2
·
4
5
−
3 2
2
1
3
+
+2·
2
5
7
2
b)3 ·
·
1
5
d) 34 · 4 +
4
3
+
+
2
27
1 2
3
·
i
4
5
+
1
5
9. Halla tres números racionales que estén entre 13/6√y 13/5;
√ otros tres que
estén entre -7/4 y -5/3 y tres más que estén entre 2 y 3.
10. Encuentra un número irracional que esté entre
√ 13/6
√ y 13/5; otro que esté
entre -7/4 y -5/3 y uno más que esté entre 2 y 3.
3
11. Calcula las siguientes potencias: (-3)5 ; (2/3)2 ; (0, 1)2 ; (−3)4 ; (−2/5) ; 105 ; −23 ; (1/5)0 ; (−1/10)4 .
1
12. Simplifica:
a)
c)
23 · 27 · 2−3 · 25
24 · 26 · 2−2 · 29
2−4 · 42 · 3 · 9−1
2−5 · 8 · 9 · 32
13. Simplifica estas expresiones: a)123
23 · 35 · 52 · 11
22 · 33 · 52 · 13
b)
d)
a2 · b3 · c4
a · b2 · c3
(12)4
(125 )2
b) a3
14. Realiza las siguientes potencias:
4
5
e) 87 ÷ 78
a) 23
−1 4
2
·5
b) 45
f ) 65 65
2 3 3
2 1 3
c) 32
g) 71
2
7
5 −1 5 2
4 3
d) 6
h) 7 ÷ 47
6
i)
c)
h
d)
h
a−4
(a−4 )−2
i2
2 4
3
h 6 2 i3
6 2
7
7
3
5
k) 47 ÷ 47
h i3
−2
l) 35
j)
15. Calcula:
4
a) − 24
h 3 i2
2
b) 12 · 12
h
5
i4
1 2
2
4 3
5
3 7
4
i2
3 3
4
÷
16. Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias:
34 · 16 · 9−1
5−1 · 35
a−3 b−4 c7
d) −5 2 −1
a b c
36 25 52
a) 3 3
9 4 5
152 · 8−1
c) 3
6 · 102
b)
17. Simplifica las siguientes expresiones hasta escribirlas en la forma an :
a)345 255
b)
288
108
c) 3
3
4
( 23 ) ( 54 )
6
6 2
( 37 ) ( 56 )
18. Simplifica las siguientes expresiones hasta escribirlas en la forma an :
a)2436 2435
b)
c)
545
544
d)
28−4 282 28−7
(284 28−7 )3
28−3 285
−2
4
(283 28−7 )
m
19. Simplifica las siguientes expresiones hasta escribirlas en la forma a n :
q
10
q
3 3 3 45
1
− 13
5
−
(2x)
(2x)
3 −3 3 21
x4 y 4 z 4
q
a) b) q
c) x 4 x 5 x 7
4
2
3
1
3
−2
(2x) (2x) 5
x− 2 z 2 (yz −5 ) 3
2
3
2
20. Halla:
−
3 −2
4
1
3
−
7 −1
9
+4
21. Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccionario y simplifica:
√
3
√
√
x2
1
5
2
a) a a b) √
c) √
4
x
a3
22. Simplifica:
√
12
a) √ x9
12
b) x8
√
9
c)p
64
5
d) y 10
√
e) 8√81
f) 6 8
23. Simplifica las expresiones hasta escribirlas con una sola raı́z:
s√
4
p√ √ √
p
√ √
3
4
3
3
3
a)
c)
2 3 5
b) 5 √
333
4
7
m
24. Escribe las siguientes expresiones en la forma a n :
a)
√
8
b) 53 73
p √ 3
3
7
s
q
√ 3 √ 4
4
d) ( a) ( a)
e)
√
√
18
12
a7
25. Reduce a común ı́ndice: a) a5 y
√
√
26. ¿Cuál es mayor, 4 31 o 3 13?
qp 8
p
√
√
5 3
b)
27. Simplifica: a)
k
x10
√ √
28. Reduce: a) 3 2 5 2
29. Simplifica:
30. Reduce:
√ √
b) 3 9 6 3
a3
c) √
3
a2
√
4
a3 b5 c
d) √
ab3 c3
√
3
32
a) √
√3
9
b) √
3
3
3
4
√
2
( 3 25 )
√
5
( 3 52 )
√
√
b) 3 51 y 9 13650
p√
c) 3 ( x)6
√ √ √
c) 2 4 2 8 2
√
6
√
5
x
a) √
3
√x
ab
b) √
3
ab
√
3
c) a4 a5
√
5
16
c) √
2
√
4
729
d) √
3
31. Escribe estas expresiones en la forma ax :
√
− 1
√
5
3
π 2 72 3
3−2 3
7 2 7− 2
a) p
b)
c)
1 12
3
3
√
√422
2
4
34
2
(π 2 ) 3 7− 3
7
32. Introduce los factores dentro de cada raı́z:
q
√
d) 35 3 25
a)2 3 3
9
q
√
4
3 1
b)4 4
e)2 4
q
√
f ) 15 3 15
c) x2 3x
8
33. Saca de la raı́z el factor que puedas:
√
√
3
a) 3 16
d) 8a5
q
√
2
b)4 8
e) 125a
16b
√
√
c) 1000
f ) 4a2 + 4
34. Suma y simplifica:
√
√
√
a)5√ x + 3√ x + 2√ x
√b) 18√+ 50√− 2 √
c) 27 − 50 + 12 + 8
q
g) 14 + 19
p
a
h) a9 + 16
q
i) a163
√
√
d) √
50a − √
18a
√
√
e)5 √125 + 6√ 45 −
7
20 +√32 80
√
3
f ) 3 16 + 2 3 2 − 3 54 − 21
250
5
35. Simplifica al máximo las siguientes expresiones:
√
√
√
√
√
√ 2
√
√ 2
3
3
3
d) 3 + 2 −
3− 2
a)3 3 16
q− 2 250
q + 5 54
q− 4 2
√
√ √
√ 18
8
b) 25 − 4 125
+ 13 45
e) 5 − 6
5+ 6
√
√
√
√ 2
√
3
3
f) 2 5 − 3 2
c)7 3 81a − 2 3a4 + 53a
36. Racionaliza los denominadores
5
a) √
7
3
b) √
3
r4
7
c)
3
y simplifica
1
d) √
a3
3
e) √
50
4
f)√
18
cuando puedas:
2
g) √
3
25
1
h) √
3
40
3
i) √
3
36
37. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:
√
√
x+ y
1
1
1
1
√
√
a)
d)
g) √ + √
+√
√
x
−
y
2+1
2
2−1
2+1
1
x+y
1
1
√
√
√
√
h)
b) √
e)
+
√
√
√
x+ y
x− y
x+ y
2√ 3 − √5
a−1
3 2+2 3
c) √
f) p
√
a−1
3 2−2 3
4
38. Opera y simplifica:
√
√
√
√
7− 5
7+ 5
√ −√
√
b) √
7+ 5
7− 5
2
3
√ −√
√
a) √
3− 2
3+ 2
c)
1
1−
√
3
√
1+ 3
1
+
1+
√
3
√
1− 3
39. Simplifica:
"r
a)
q
x x1
#3
r q
2
b) x3 xy
sr
q
c)
x3 xy
40. Elimina raı́ces del denominador y simplifica:
1
a) p √
x ( x + 1)
b) √
3−
1
√
√
5− 7
1
c) √ √
x x+1
41. Representa√en la recta real los siguientes números: 2, -5, 3/5, 7/5, 8/2,
√ √
13, 10, 210 .
√
42. Simplifica las siguientes expresiones hasta escribirlas en la forma n a :
p
p
√ √ √
√ √
3
4
a) 4 5 4 7 4 11
c) 3 25 3 25
s p√
b)
5
p
√
5
23 3 23
d) p
√ √
3 3
23 23
23
√
4
33
√
1+ 5
43. Un rectángulo tal que el cociente de sus dos dimensiones es φ =
2
se llama rectángulo aúreo.
(a) Demuestra que φ − 1 = φ−1
(b) Deduce que φ es solución de la ecuación x2 − x − 1 = 0
(c) Demuestra que un rectángulo áureo se puede descomponer en un
cuadrado y en otro rectángulo áureo más pequeño.
44. Comprueba las siguientes igualdades:
√ 2
√
7 = 16 + 6 7
√
√
√ 2
(b) 5 + 4 5 = 25 + 10 4 5 + 5
√
√ √
√ (c)
49 + 4 25
49 − 4 25 = 44
(a) 3 +
45. Comprueba las siguientes igualdades:
5
√
1
√ =2− 3
2+ 3
√
√
13 − 7 3
2− 3
√ =
(b)
22
5+ 3
(a)
46. Comprueba las siguientes igualdades:
√
√
a
a b−a c
(a) √
=
√
b−c
b+ c
√
√ √
b + c + 2 bc
b+
c
(b) √b−√c =
b−c
Notación cientı́fica
Un número puesto en notación cientı́fica consta de:
a, bcd...x10n
• Una parte entera formada por una sola cifra (ladelasunidades)
• El resto de las cifras significativas puestas como parte decimal.
• Una potencia de base diez que da el orden de la magnitud del número.
1. La masa del electrón es 0.000000000000000000000000000911 g. Exprésala
en notación cientı́fica.
2. Expresa en notación cientı́fica:
(a) Peso de un grano de arroz: 0.000027 kg.
(b) Número de granos de arroz en un kilo: 36000.
(c) Número de moléculas que hay en un gramo de hidrógeno: 301 000
000 000 000 000 000 000
3. Un año-luz es la distancia que recorre la luz en un año. Sabiendo que
la luz se desplaza en el vacı́o con una velocidad de 3 · 105 km/s,calcula a
cuántos kilómetros equivale un año-luz.
4. Calcula el número aproximado de glóbulos rojos que tiene una persona,
sabiendo que tiene unos 4500000 por milı́metro cúbico y que su cantidad
de sangre es de 5 litros. Exprésalo en notación cientı́fica. Calcula la
longitud que ocuparı́an esos glóbulos rojos puestos en fila, si su diámetro
es 0.008 milimetros por término medio. Compara esa longitud con el
ecuador terrestre, que mide aproximadamente 40 000 km.
5. Efectúa y escribe el resultado con todas las cifras:
6
(a) 5,3·1011 − 1, 2 · 1012 + 7, 2 · 1010 =
(b) 4,2·10−6 − 8, 2 · 10−7 + 1, 8 · 10−5 =
(c) (2, 25 · 1022 ) · (4 · 10−15 ) ÷ (3 · 10−3 ) =
(d) (1, 4 · 10−7 )2 ÷ (5 · 105 ) =
6. Calcular A =
(3, 45 · 106 ) · (5, 91 · 10−3 )
1, 842 · 10−11
7. Calcular B = (2, 91 · 10−4 ) : (8, 06 · 105 )
8. Calcula:
(a) 5, 83 · 109 − 7, 5 · 1010 =
(b) 2,35·108 + 1, 43 · 107 =
7, 35 · 104
+ 3, 2 · 107 =
5 · 10−3
(d) (4,3·103 − 7, 2 · 105 )2
(c)
9. Calcula en notación cientı́fica:
b)0, 486 · 10−5 + 93 · 10−9 − 6 · 10−7
a)(800000 ÷ 0, 0002)0, 5 · 1012
10. El número estimado de estrellas en nuestra galaxia es de 1011 y el número
estimado de galaxias en el universo es de 1012 . ¿Qué número estimas que
puede haber de estrellas en el universo? Supón que todas las galaxias
tienen el mismo número de estrellas.
11. Escribe en notación cientı́fica:
(a) El valor de una lira en euros: 0,0005164568.
(b) La superficie de la Tierra no cubierta por el mar: 135 526 419 km2
12. Escribe en notación decimal las cantidades expresadas en notación cientı́fica:
(a) La población mundial en 1989: 5,192315·109
(b) La densidad del hidrógeno a 0o C y una atmósfera de presión: 8,9·10−5
g/cm3
13. Tomando como valor de la velocidad de la luz en el vacı́o 299790 km/s,
expresa un año luz en kilómetros usando notación cientı́fica con cinco cifras
significativas.
739 47π √
24633
; |−
|;
; 4 89; (1, 7)2 −
14. Ordena de menos a mayor los siguientes números reales:
5000
150 30
√
1
58; −
0, 21
7
15. Representa los siguientes conjuntos:
a)(−3, −1)
b)[4, +∞)
c)(3, 9]
d)(−∞, 0)
16. Representa los siguientes conjuntos:
a){x : −2 ≤ x < 5}
b)[−2, 5) ∪ (5, 7]
c)(−∞, 1) ∪ (1, +∞)
d)(−∞, 0) ∪ (3, +∞)
17. Expresa como intervalo la parte común de cada pareja de intervalos (A∩B
e I∩J) :
(a) A=[-3,2]
B=[0,5]
(b) I=[2,+∞)
J=(0,10)
18. Escribe como intervalos:
a)(−4, 8) ∪ [6, 10)
c)(1, 5) ∩ (6, 9)
b)(−8, 6] ∩ [0, 8)
d)[−2, 3) ∪ [1, ∞)
19. Escribe como unión de intervalos cada uno de los siguientes conjuntos:
(a) E={x∈ < : 3x2 ≥ 9}
(b) F={x∈ < : 5 − x2 < −3x2 + 13}
(c) G={x∈ < : 2 + 2x2 > x2 − 1}
(d) H={x∈ < : (x − 3)2 ≥ 6}
(e) I={x∈ < : (x − 3)2 < 6, 25}
(f) J={x∈ < : x2 ≤ 4, 4x2 > 9}
El valor absoluto de un número real x, |a|, es el propio número si es positivo
o el opuesto si es negativo:
a si a ≥ 0
|a| =
−a si a < 0
1. Halla los siguientes valores absolutos:
a)| − 11|
b)|π|
√
c)| − 5|
d)|0|
e)|3 −√
π|
f )|3 − 2|
√
g)|1
√ − √2|
h)| 2 −
√ 3|
i)|7 − 50|
2. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:
a)|x| = 5
b)|x| ≤ 5
c)|x − 4| = 2
d)|x − 4| ≤ 2
8
e)|x − 4| > 2
f )|x + 4| < 5
3. Expresa en forma de intervalo los números que cumplen cada una de estas
expresiones:
a)|x| < 7
b)|x − 1| ≤ 6
c)|x| ≥ 5
d)|x + 2| > 9
e)|2x| < 8
f )|x − 5| ≥ 1
4. Halla todos los números r ∈ < tales que |2r-1|<4.
5. Determina todos los números r ∈ < tales que |r| ≥ 3.
6. Halla los números reales que cumplen las siguientes condiciones:
d)|2a − 4| = 5
e)|a − 4| = 2
f )|a − 1||π − 1| = 0
a)|a| = a + 3
b)|a| = 2 − a
c)|a − 1| = 2
7. Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener x para que se
pueda calcular la raı́z en cada caso:
√
p
√
c)
e)√ 1 + x2
a)√ x − 4
√ −x
b) 2x + 1
d) 3 − 2x
f ) 3 −x − 1
8. Los siguientes conjuntos son intervalos o semirrectas. Descrı́belos y dibújalos
en la recta real:
a)A = {x ∈ < : 2x + 5 > 11}
c)C = {x ∈ < : 4x2 ≤ 36}
b)B = {x ∈ < : 3, 5x − 5, 6 ≤ 1, 4}
d)D = {x ∈ < : (x − 3)2 < 25}
9. Se tienen los intervalos A=[1,5), B=(-3,4), C=[0,+∞) y D=(-∞, −2).
Describe, utilizando intervalos, los conjuntos A ∪ B, A ∩ C, B ∪ C y A ∩ D.
10. Escribe como unión de intervalos los siguientes conjuntos:
2
A={x ∈ < : x2 < 4 > 11},
C={x ∈ < : x2 < 9, x2 ≥ 4}
B={x ∈ < : (2x − 1) ≥ 9},
11. Se tienen los intervalos A=(2,3), B=(2,3], C=(3,4] y D=[3,4]. Describe,
utilizando intervalos, los conjuntos: A∪C, A ∪ D, B ∪ C, B ∪ D, A ∩ C, A ∩
D, B ∩ C, B ∩ D.
Si a>0 y a6= 1, se llama logaritmo de base a de un número x, y se designa
loga x, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener x:
loga x = b ↔ ab = x
Propiedades de los logaritmos:
• Si x6= y ⇒ loga x 6= loga y
9
• loga a = 1
• loga 1 = 0
• loga (xy) = loga x + loga y
• loga ( xy ) = loga x − loga y
• loga xn = n loga x
√
loga x
• loga n x =
n
• Cambio de base: loga x =
logb x
logb a
1. Escribe en forma exponencial las igualdades siguientes:
a) log a = −1
b) log a = 23
c) log 15 = c
d) log 1 = d
e) log a = −0, 5
f ) log3 81
2. Sabiendo que log 2 = 0, 3010 y que log 3 = 0, 4771 (con caracterı́stica, o
parte entera, cero y mantisa, o parte decimal, 4771), calcular log6 y log3/2
3. Sabiendo que log 2 = 0, 3010, calcula :
(a) log20
(b) log1/16
(c) log0,008
(d) log2−3
(e) log(0,016)2
4. Hallar los siguientes logarı́tmos reconociendo la potencia correspondiente:
a) log3 81
b) log 0, 01
c) log5 0, 2
d) log2 0, 125
5. Hallar la caracterı́stica de los logaritmos log2 100 y log 650.
6. Sabiendo que log2 A = 3, 5 y que log2 B = −1, 4, calcular:
a) log2
AB
4
b) log2
√
2 A
B3
7. Averiguar la relación que hay entre x e y sabiendo que lny=x+ln7
8. Hallar con calculadora: log5 80 y log12 100
9. Hallar sin utilizar la calculadora: log5 625, log 0, 001, ln √1e , log2 0, 25.
10. Halla con calculadora: log7 123, log1/2 77, log3 0, 039, log5 1023 .
10
11. Calcula el valor de x en cada una de esas expresiones:
c) log 5x = 12
d)3x = 173
a) log7 x = −2
b) logx = 16
12. Encuentra los números x que satisfacen:
b) log5 x = −3
a) log7 x = 2
d) log2 x2 = 4
c) log3 x = 0
e) log
√
x = −1
13. Escribe como un solo logaritmo:
(a) log5 x + 3 log5 x
(b) 2log2 x − 3 log2 x + log2 x2
(c) 2log7 x − 4/3 log7 x2 + 3 log7 x
14. La magnitud M de un terremoto viene dada por la fórmula:
M = 3, 3 + log
A
+ 1, 66 log D
T
donde A es la amplitud de las ondas superficiales captadas por el sismógrafo,
E es el periodo de dichas ondas, y D es la distancia angular entre las rectas que unen el centro de la Tierra con el epicentro del terremoto y con el
sismógrafo. Razona si la magnitud del terremoto aumenta o disminuye:
(a) Si la amplitud de las ondas es mayor.
(b) Si el periodo de las ondas es mayor.
(c) Si la distancia angular entre el sismógrafo y el epicentro es mayor.
15. La relación entre magnitud M y energı́a E (en julios) liberada por un
terremoto es aproximadamente logE=4,8+1,5M.
(a) ¿Cuál es la magnitud de un terremoto que libere una energı́a de 1012
julios?
(b) ¿Cuánta energı́a libera un terremoto de magnitud 0? ¿Y uno de
magnitud -1?
(c) ¿Cuánta energı́a liberarı́a un terremoto de magnitud 9? (Los mayores
terremotos observados han sido de magnitud 8.9)
16. Resolver las ecuaciones logarı́tmicas:
c)2 log(1 + x) + log(2 − x) − log(1 − x3 ) = 0
a)2 log(1 − x) = 0, 5
b) log(1 − x) − log(1 + x) = 1
11
17. Resuelve el sistema:
x+y
log x + log y
= 2
= −1
18. Si 0<p<1 determinar los valores de x tales que:
(a) logp x > 0
(b) logp x = 0
(c) logp x < 0
19. Calcula (0.3)3 ,(0.3)4 ,(0.3)5 ,(0.3)6 , y ordena estas potencias según el orden
de los números reales que representan.
20. Calcula (2.5)2 ,(2.5)3 ,(2.5)4 y ordena estas potencias de menor a mayor.
¿Qué conclusión puedes sacar entre el ejercicio anterior y este?
21. Calcula (-0.5)2 , (−0.5)3 , (−0.5)4 , (−0.5)5 y ordénalas.
22. Calcula (0.5)3 , (0.6)3 , (0.7)3 , (0.8)3 y ordénalos. ¿Qué conclusión puedes
obtener?
Si 0<a<1, se verifica que an < 1 y si 1<b es 1<bn
Si 0<a<1 y p<q es ap > aq y si 1<b es bp < bq
23. Teniendo en cuenta que si 0<a<b y 0<c<d es ac<bd, demuestra las dos
afirmaciones anteriores.
24. Representar gráficamente los puntos de coordenadas (p,(0.3)p ) para p=0,1,2,3,4,...
25. Representar gráficamente los puntos de coordenadas (p,2p ) para p=0,1,2,3,4,...
−4
26. Calcular 10−3 , (1/2) , (0.8)−2 , (1/0.8)−3 . Escribir los resultados en forma
de fracción y en forma decimal.
27. Calcular (0.2)−1 ,(0.2)−2 ,(0.2)−3 ,(0.2)−4 , y ordena estas potencias según
el orden de los números reales que representan. ¿A qué conclusión llegas?
28. Idem para (1.2)−1 ,(1.1)−2 ,(1.1)−3 ,(1.2)−4 , y ordena estas potencias según
el orden de los números reales que representan. ¿A qué conclusión llegas?
29. Escribe 0.0000001 y 0.00000000001 en forma de potencia de base 10 y
exponente negativo.
30. Decide, sin hacer cálculos, cuál es mayor de cada uno de estos pares de
números:
(a) 2−3 , 2−2
1
4
(b) (0, 4) 3 , (0, 4) 3
12
4
4
(c) 7− 5 , 3− 5
31. En una granja dedicada a la crı́a de conejos se deja crecer su población
durante un tiempo sin vender ningún conejo. La población durante ese
periodo es, en términos de tiempo, P0 2(0,1t+1) − 1 , donde t es el tiempo
medido en meses desde el establecimiento de la granja.
(a) Comprueba que P0 representa el número de conejos con que empezó
la granja.
(b) La granja tiene inicialmente 50 conejos. ¿Cuántos tendremos después
de dos meses? ¿Y después de diez meses?
(c) Empezando también con cincuenta conejos decidimos no vender ninguno
hasta que tengamos 200. ¿Cuántos meses tendremos que esperar?
(d) ¿Cuántos meses hay que dejar pasar para que el número de conejos
se duplique? Comprueba que la respuesta no depende de P0 .
32. En un cultivo, el número de bacterias presentes es 10000e0,2t , donde t es
el tiempo medido en horas desde el inicio del cultivo.
(a) ¿Cuántas bacterias habı́a al comenzar el cultivo?
(b) ¿Cuántas habra después de una hora? ¿Y después de dos horas? ¿Y
después de cuatro horas?
(c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir antes de que haya 100 000 bacterias
en el cultivo?
33. Un material radiactivo se desintegra de modo que en ocho horas sólo queda
un tercio dela cantidad inicial. ¿En cuántos dı́as 1 kg de material se reduce
a menos de 1 gramo?
34. ¿Cuántas palabras diferentes de tres letras pueden formarse con las letras
de la palabra CIMA, sin que se repita ninguna letra?
35. ¿Cuántos subconjuntos distintos de tres elementos pueden formarse con
un conjunto de ocho elementos?
36. Calcular el valor de m para que Vm,3 = 2Vm,2
37. Hallar el valor de m para que se verifique que: Vm,2 +Vm−1,2 +Vm−2,2 = 62
38. Escribir como cociente de números factoriales las siguientes expresiones:6483
c)(p − 2)(p − 3)(p − 4)
a)11x10x9
b)(x + 1)(x − 1)
39. Resolver la ecuación Px−1 = 56Px−3
40. Resolver la ecuación Vx,2 + 5P3 = 9x + 6
13
41. Hallar x sabiendo que Cx,x−2 = 10
42. ¿Cuántos númeos de cuatro cifras distintas pueden escribirse con las cifras
0,2,4,6?
43. ¿Cuántos números mayores que 4100 se pueden formar con las cifras 1,2,3,4
sin que se repita ninguna?
44. Averiguar cuántas guardias de cinco personas se pueden programar con 14
soldados, con la condición de que el más antiguo de ellos ha de participar
en todas.
45. En una fábrica hay varios centros de almacenamiento, cada uno de los
cuales está unido a los demás por una cinta transportadora. Calcula el
número de centros de la fábrica si se sabe que el número de cintas transportadoras es 66.
46. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con cinco banderas distintas
agrupándolas de tres en tres y sin que se repita ninguna? ¿Y agrupándolas
de todas las formas posibles (es decir, de una en una, de dos en dos, etc)?
47. En un club de fútbol hay 23 jugadores, de los que tres son porteros.
¿Cuántas alineaciones diferentes puede hacer el entrenador si cualquiera
de los jugadores de camo puede jugar como defensa, medio o delantero?
48. ¿Cuántos equipos de baloncesto de cinco jugadores cada uno pueden hacerse en un club de 11 jugadores, con la condición de que los jugadores A,B
y C no pueden estar simultáneamente en el mismo equipo?
49. ¿Cuántas quinielas de fútbol habrı́a que hacer para tener la certeza de
tener una de 14 aciertos? (no tenemos en cuenta la opción de pleno al
quince).
m
m
m−1
50. Comprobar si la siguiente igualdad es correcta:
=
n
n−1
n
51. ¿Cómo comprobarı́as, sin
que
hallas sus
valores,
los números combinatorios
6483
6483
siguientes son iguales?
y
.
3597
2886
52. Resolver las ecuaciones:
16
16
(a)
=
x+1
x−1
2x − 2
2x
(b) 7
=2
x−1
x
x2
x
x
x
(c)
+
+2
=
0
1
2
2
14
53. Sin calcular los números combinatorios, encuentra los x que hacen que se
cumplan:
9
9
x
(a)
+
=
4
5
5
9
9
10
(b)
+
=
4
3
x
x
x
14
(c)
+
=
6
7
7
11
11
12
(d)
+
=
x
x−1
6
13
13
14
=
(e)
+
x
x+1
6
54. ¿Cuántos productos diferentes pueden formarse con los números 7, 9, 11,
13, 17 tomados de tres en tres?
55. El número de variaciones de n objetos tomados de seis en seis es 720
mayor que el de combinaciones de estos objetos tomados de cuatro en
cuatro. ¿De cuántos objetos se trata?
56. La diferencia entre el número de variacones de n objetos tomados de dos
en dos y el de combinaciones de esos mismos objetos tomados también de
dos en dos es 190. ¿Cuántos objetos hay?
57. Con las cifras del número 8752436 ¿cuántos números distintos de tres cifras
se pueden formar no repitiendo ninguna? ¿cuántos de esos números son
mayores que 500?
58. Un equipo de fútbol dispone de camisetas azules, rojas y amarillas, de
pantalones azules y rojos y de medias blancas y negras.
(a) ¿De cuántas maneras se pueden vestir?
(b) ¿De cuántas maneras se pueden vestir si no quieren que la camiseta
y el pantalón sean del mismo color?
59. ¿Cuántos números naturales de tres cifras tienen las tres distintas?
60. En un curso hay ocho asignaturas, y los alumnos tienen cada dı́a clase
de cinco de ellas diferentes. ¿Cuántos horarios distintos podrı́a haber los
lunes?
61. Calcula cuántos resultados puede tener una liga de tres equipos y descrı́belos.
62. ¿De cuéntas maneras se pueden pintar las caras de un dado de 6 colores
distintos?
15
63. Una heladerı́a tiene helados de quince sabores y ofrece copas con tres
sabores distintos. ¿Entre cuántas combinaciones se puede elegir?
64. Determina el número a tal que C8,a + C8,5 = C9,5 .
65. Desarrolla los siguientes binomios de Newton:
(a) (a+b)7
(b) (a-b)5
(c) (m+2n)4
(d) (a-1)8
√
(e) (x+ 2)5
√
√
(f) ( x − 2)5
(g) ( 13 a − 14 b)4
(h) (x1/3 + y 1/3 )5
66. Halla el noveno término del desarrollo de (x-y)12
14
67. Escribe el término en a5 b9 que aparece al desarrollar (a + b)
68. Escribe el desarrollo completo de (x-1)7
69. Escribe el término x5 que aparece al desarrollar (x+2)9
70. Halla el cociente que resulta de dividir el término noveno por el sexto del
14
desarrollo de 21 − a .
16