unidad 9 modelo de líneas de espera

UNIDAD 9
MODELO
servicio.
de servicio.
DE LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de operaciones
Introducción
A
l i nicio del S. XX, la industria de la telefonía se enfrentó al
siguiente problema:
¿Cómo deter minar el número óptimo de operadoras para dar
ser vicio en sus centrales?
Este problema se originó debido a que las llamadas telefónicas de una
persona a otra se realizaban a través de las operadoras, las cuales tenían
que conectar con un caimán la línea de las personas que se querían
comunicar. Esto provocaba que los usuarios en ocasiones, tuvieran que
esperar demasiado tiempo antes de ser atendidos. La solución de este
problema no es fácil, ya que si se aumentaba arbitrariamente el número
de operadoras, se i ncrementaban los costos de operación y pudiera
suceder que el mayor tiempo estuvieran ociosas. Si se contrataba un
número menor de operadoras, el costo de operación disminuía, pero
también disminuía el número de clientes afiliados debido a que buscan
una compañía que les ofrezca un tiempo de espera menor, por lo tanto
esto también repercute en una pérdida para la compañía. Es en 1909,
cuando A. K. Erlang experimenta con el problema del congestionamiento
de tráfico telefónico, él consideró sistemas formados por una sola
operadora. En 1917 generalizó su teoría al incluir varias operadoras.
Durante muchos años estos trabajos no tuvieron un mayor impacto, es
en la Segunda Guerra Mundial cuando la teoría de líneas de espera se
empieza a utilizar en diversos problemas.
A diferencia de los modelos estudiados en las unidades anteriores, los
modelos matemáticos de líneas de espera son modelos probabilísticos.
Esto debido a que en general tanto la llegada de clientes como el tiempo
de atención son variables cuyo valor depende del azar y que por lo
tanto no es posible conocer con precisión. Para estudiar este tipo de
modelos vamos a utilizar la teoría de probabilidades vista en el curso de
Estadística y Probabilidad.
Empezamos la unidad estudiando la terminología concerniente a este nuevo
tipo de modelos, además de dar algunos ejemplos particulares de líneas de
espera. Continuamos estudiando los modelos probabilísticos para la llegada
de clientes y para el tiempo de servicio. Finalizamos la unidad presentando
343
Unidad 9
el modelo de líneas de espera que tiene una llegada de clientes con función
de distribución de probabilidad tipo Poisson y un tiempo de servicio con
función de distribución de probabilidad exponencial.
9.1. Terminología
Un problema de líneas de espera se forma cuando los clientes1 llegan a
una estación a solicitar un servicio. Si el tiempo de atención es mayor al
número de clientes que llegan a solicitar el ser vicio, entonces se for ma
una línea de espera. Algunos ejemplos de líneas de espera son:
- La llegada de llamadas telefónicas a un conmutador de un hospital.
- La llegada de equipos electrónicos al área de control de calidad
dentro de una fábrica.
- La llegada de trabajos a la cola de impresión en una computadora.
- La llegada de pacientes a un consultorio.
- La llegada de operaciones computacionales a un microprocesador.
Un sistema de líneas de espera se forma por
clientes que llegan a solicitar un servicio,
que forman los clientes para esperar el servicio, y
estaciones de servicio que atienden a los clientes, los cuales
después de ser atendidos salen del sistema (ver figura 9.1).
Disciplina de la
Fila
Llegadas
MECANISMO
DE SERVICIO
FILA
Figura 9.1.
1 La palabra cliente se utili za para denotar una persona o un objeto.
344
Salida
Investigación de operaciones
Existen sistemas de líneas de espera que están formados por una
sola fila y una sola estación de servicio, por ejemplo, la llegada de
operaciones al microprocesador en una computadora. Otros pueden estar
formados por varias f ilas y varias estaciones de servicios, por ejemplo:
las computadoras que tienen varios microprocesadores conectados en
paralelo. O bien, en algunos centros de atención telefónica existe un
único número telefónico y las llamadas se distribuyen al operador que
esté desocupado. En este caso existen varios centros de servicio pero se
forma una sola fila. En otros centros se dispone de diferentes números
telefónicos, con lo cual se forman diferentes f ilas en cada uno de ellos.
Existen varias combinaciones posibles, las cuales estudiaremos más
adelante.
Para poder analizar los modelos de líneas de espera, es importante
def inir la terminología que vamos a utilizar.
Los parámetros más importantes de una línea de espera son:
1. Tasa de llegada. Es el número de clientes que llegan a solicitar
el servicio. Esta tasa puede ser determinística o probabilística. Si
es probabilística, se debe determinar la función de distribución de
probabilidades que la modela. Por ejemplo:
La llegada de llamadas a un conmutador, la llegada de operaciones al
microprocesador de la computadora, la llegada de trabajos de impresión
a una computadora, etc.
2. Tasa de servicio. Es el tiempo que se tarda el cliente en la estación
de servicio. Este tiempo, al igual que la tasa de llegada, puede ser
determinístico o probabilístico. Si es probabilístico, se debe determinar la
función de distribución de probabilidades que lo modela. Por ejemplo:
El tiempo de atención del conmutador a una llamada, el tiempo que dura
un despachador en llenar el tanque de gasolina de un automóvil, el tiempo
que tarda el microprocesador en realizar una operación, el tiempo que
tarda la impresora en imprimir un archivo, etc.
345
Unidad 9
3.
. Si consideramos que la f ila
puede crecer i nfinitamente, entonces no debemos poner restricciones
en cuanto a la cantidad de clientes en la f ila, de otra manera debemos
construir un modelo que tome en cuenta que al llegar a cierto tamaño, la
f ila ya no permite que se formen. Esto último complica la construcción
del modelo, por lo que vamos a considerar sistemas que acepten una
cantidad inf inita de clientes. Para el caso de filas finitas, vamos a utilizar
otro modelo dentro de la I.O. llamado: Simulación. Por ejemplo:
En teoría suponemos que la cantidad de llamadas que pueden estar en
espera en un conmutador es infinita, ya que de otra manera tendríamos
que manejar la probabilidad de que al realizar la llamada el conmutador
esté saturado.
En un verificentro el tamaño de la fila puede crecer indefinidamente, sólo está
acotado por la decisión del conductor si es que se encuentra dispuesto a esperar
o no.
4. Número de estaciones. Es la cantidad de estaciones de servicio que
están disponibles. Este número depende de la política de la empresa. Las
estaciones pueden estar dispuestas en serie o en paralelo. Por ejemplo:
En una empresa dedicada a la manufactura de equipos electrónicos,
las estaciones de servicio son las máquinas que añaden componentes a
la tarjeta principal (donde se va a armar el circuito), en este caso las
estaciones se encuentran en serie y el equipo tiene que pasar por todas
antes de abandonar el sistema.
En un hospital el número de consultorios con médicos para consulta
externa son estaciones de servicio en paralelo, ya que es un cliente por
consultorio y después abandona el sistema.
En una estación de servicios para automóviles, las bombas de gasolina
son las estaciones de servicio, colocadas en paralelo.
. Es la manera como se van a formar las filas y cómo
5.
van a ser atendidos los clientes, ésta es también una decisión de la empresa.
Usaremos la siguiente nomenclatura para la disciplina de la fila* :
* Tomado de Taha, Hamy A. Investigación de operaciones, Pretice may, 1998.
346
Investigación de operaciones
FCFS = El primero que llega el primero que se atiende.
LCFS = El último que llega el primero que se atiende.
SIRO = Servicio en orden aleatorio.
GD = Disciplina general (es decir cualquier tipo de disciplina).
Por ejemplo:
En la cola de impresión de una computadora, el primer trabajo en llegar
es el primero en ser impreso, mientras que en el microprocesador no
necesariamente la primera operación en ser solicitada es la primera en ser
atendida, ya que existen ciertas prioridades.
Una notación adecuada para resumir las características de un sistema
de líneas de espera es la siguiente:
(a / / c) : (d / e / ),
donde:
a Es la f unción de distribución de probabilidades de las llegadas.
Es la función de distribución de probabilidades del tiempo de
atención.
c Número de estaciones de servicio en paralelo.
d Disciplina de la línea de espera.
e Número máximo de clientes en el sistema.
Tamaño de la población.
Ejemplo 1
En un sistema de línea de espera cuyas llegadas siguen una distribución de
Poisson, el tiempo de atención sigue una distribución exponencial, con 3
estaciones de servicio en paralelo, con una disciplina de que el primero en
llegar es el primero es ser atendido, con una capacidad en la fila infinita y
una población infinita, se representa como:
(P,E,3) : (FCFS, , ).
Una vez que estudiamos la terminología referente a líneas de espera,
surge la siguiente pregunta:
347
Unidad 9
¿Por qué debemos estudiar las líneas de espera?
existen costos relacionados con el proceso.
Los dos costos más signif icativos son:
Esperar signif ica desperdicio de algún recurso
activo que bien pudiera ser aprovechado. Por ejemplo:
En una empresa el tiempo que deben esperar los productos terminados
en el departamento de control de calidad representa un costo, ya que la
mercancía no puede ser comercializada para recuperar la inversión y las
ganancias.
En un banco el tiempo que debe esperar una persona para cambiar un
cheque tiene un costo, ya que la persona podría estar haciendo algo más
productivo.
Para el primer problema podríamos determinar el costo de espera en
función de los intereses que nos daría un banco si depositáramos el costo
de las mercancías. Este costo se daría entonces en pesos por unidad de
tiempo. Para el segundo caso resulta más complicado poder determinar
el costo de espera, ya que inf luye el comportamiento humano.
Es el costo en el que incurre la empresa por
poner y mantener en operación las estaciones de servicios. Por ejemplo:
Para una compañía de telefonía celular las estaciones de servicio son las
antenas que debe colocar en toda la región de cobertura, pero cada una
de ellas tiene un costo, además de que una vez en operación se debe dar
mantenimiento, pagar servicios, etc.
Otro empleo es el costo asociado al sueldo de los empleados que deben
atender la caseta de herramientas en una fábrica.
Para determinar los costos de servicio y de espera se recurre a
economistas que realizan los estudios necesarios para estimarlos.
Desde el punto de vista económico, podemos resumir el problema de
líneas de espera de la siguiente manera:
348
Investigación de operaciones
Si queremos bajos costos de servicio, se experimentan largas colas
y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el costo de servicio
disminuyen los costos de espera. Esto nos indica que ambos costos
están en conf licto, ya que al disminuir uno el otro aumenta y viceversa.
El propósito es encontrar el balance adecuado para que el costo total
sea el mínimo.
En la f igura 9.2 presentamos estas ideas de una manera gráfica.
Costo
Costo total
Costo total del servicio
Costo total de espera
Tasa
óptima
Tasa de servicio
Figura 9.2.
En la siguiente sección vamos a estudiar los modelos matemáticos que se
utilizan para los procesos de llegada y de servicio.
Ejercicio 1
1. Un sistema de líneas de espera está formado por clientes y
_______________de servicio.
2. La forma como llegan los clientes a un sistema de líneas de espera, es
por lo general una _______________aleatoria.
3. El tamaño de la f ila puede ser _______________o finito.
4. Las estaciones de servicio pueden estar en __________o en serie.
349
Unidad 9
5. La forma como se atiende a los _____________en la fila se llama disciplina
de la fila.
9.2. Modelado de los procesos
de llegada y de servicio
Para poder determinar el comportamiento de una fila, es indispensable
conocer la forma como llegan los clientes al sistema y el tiempo que se
tardan en la estación de servicio. En la sección anterior mencionamos que
estos procesos en general son aleatorios, por lo tanto necesitamos la teoría
de probabilidades que estudiamos en el libro de Estadística y Probabilidad
de esta misma serie. En particular vamos a ocupar dos funciones de
distribución de probabilidades, una discreta y otra continua, las cuales están
estrechamente relacionadas:
Empecemos con el proceso de llegada de los clientes al sistema, el cual
vamos a considerar aleatorio. En consecuencia, necesitamos definir variables
aleatorias para poder medirlo. Las
llegada pueden ser las siguientes:
a) Sea t el tiempo que transcurre entre la llegada de un cliente y otro.
En este caso ésta es una variable aleatoria continua.
b) Sea n el número de clientes que llegan en la unidad de tiempo. En
este caso ésta es una variable aleatoria discreta.
Ejemplo 2
En una central telefónica las llamadas llegan de manera aleatoria.
Podemos medir el tiempo que transcurre entre una llamada y otra o bien
podemos medir el número de llamadas que se reciben, por ejemplo, en
una hora.
Para poder analizar el comportamiento de un sistema de líneas de espera
es más práctico utilizar la segunda variable, es decir, medir el número de
350
Investigación de operaciones
clientes que llegan en la unidad de tiempo. Entonces el experimento que
tenemos es el siguiente:
Deseamos medir el número de “éxitos” (llegadas de clientes) en un
intervalo de tiempo, además los resultados que se obtienen en intervalos
de tiempos disjuntos son totalmente independientes, la probabilidad de
que ocurran n llegadas en un intervalo de tiempo depende de la longitud
del mismo. Todo esto se ajusta a la def inición de un experimento de
Poisson* , por lo tanto la llegada de clientes la vamos a modelar utilizando:
El M odelo de Poisson
Sea n la variable aleatoria discreta que mide el número
de clientes que llegan a un sistema de líneas de espera, entonces la
probabilidad de que n = k está dada por:
P(n k)
( t )k e
k!
t
k
0, 1, 2,...
Donde es el promedio de éxitos en la unidad de tiempo.
Teorema. La esperanza matemática y la varianza de esta función de
distribución está dada por:
E(n)
V (n)
t
t
Ejemplo 3
La llegada de trabajos a una impresora compartida es una variable
aleatoria discreta con distribución de Poisson con un promedio de 5
trabajos por hora. Determinar la probabilidad de que:
a) Lleguen 8 trabajos en la próxima hora.
b) Lleguen 3 trabajos en la próxima hora.
c) Lleguen 2 trabajos o menos en la próxima hora.
d) Lleguen 3 trabajos o más en la próxima hora.
e) Llegue un trabajo en los próximos 10 min.
* UNITEC, Estadística y probabilidad, p. 237.
351
Unidad 9
En el problema nos dicen que el valor de la constante
utilizamos la distribución de Poisson con k = 8 y t = 1 hora:
a) P(n 8)
(5 * 1)8 e 5*1
8!
390625* 6.738x10 3
40320
b) P(n 3 )
( 5* 1 )3 e 5* 1
3!
125* 6.738x10
6
3
5
trabajos
;
hora
2632.03125
0.0653%
40320
0.84225
0.1404 14.04%
6
c) P( n 2 ) = P(n = 0) + P(n = 1) + P(n = 2), calculamos cada una de estas
probabilidades y obtenemos los siguientes resultados:
P(n = 0) = 0.00673
P(n = 1) = 0.0337
P(n = 2) = 0.0842
P( n 2 ) = 0.00673 + 0.0337 + 0.0842 = 0.12463 = 12.46%
d) P(n 3) = 1 – P( n 3 ) = 1 – P(n = 0) – P(n = 1) – P(n = 2)
= 1 – 0.00673 – 0.0337 – 0.0842 = 1–0.125463 = 0.87537 = 87.54%
e) Ahora la unidad de tiempo cambia, por lo tanto debemos convertir los
10 min. a fracción de hora:
10 min(
1hora
)
60minutos
1
hora
6
1
(5
P( n 1)
1 1 5* 6
)e
6
1!
0.8333 * 0.4346
0.3621 36.21%
1
Para el proceso de atención en las estaciones de servicio, podemos
nuevamente def inir dos variables aleatorias, las cuales son:
a) t
cliente en la estación de servicio.
b) n
atendidos en la unidad de tiempo.
352
que tarda el
Investigación de operaciones
La variable que es más útil para el análisis de los sistemas de líneas
de espera es la primera, por lo tanto vamos a utilizar esta variable para
llevar a cabo el desarrollo del modelo. Necesitamos determinar la función
de distribución de probabilidades para esta variable, considerando la
siguiente propiedad:
Que el tiempo que duró el servicio anterior no afecte en nada al tiempo del
próximo servicio.
En el libro de Estadística y Probabilidad se estudió el modelo
exponencial, el cual se def inió de la siguiente manera:
El modelo exponencial
Dada t una variable aleatoria continua del experimento
realizado, se dice que tiene distribución exponencial con parámetro
en el intervalo [ 0, ) donde su función de densidad de probabilidad
es:
1
f (t )
t
e
0 t
t
0
0
Como t es una variable aleatoria continua, no tiene ningún caso
preguntarnos por la probabilidad de que t sea igual a algún valor en
particular, ya que esta probabilidad es igual a cero, en lugar de ello nos
interesa determinar la probabilidad de que la variable t esté dentro de un
intervalo [0, a]. Para determinar esta probabilidad tenemos que resolver
la siguiente integral:
P(0 t
a)
a
0
1
t
a
e dt 1 e
353
Unidad 9
Teorema. En un sistema de líneas de espera la variable representa
el tiempo promedio que dura el servicio. La esperanza y varianza de
esta función de distribución exponencial está dada por:
E(t) =
V(t) =
2
Ejemplo 4
Un conmutador tarda en promedio 10 seg. desde que acepta la llamada
hasta que la transfiere a la extensión deseada. El conmutador sólo
puede atender una llamada a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que el
conmutador se tarde menos de 15 segundos en transferir la siguiente
llamada?
Nos indican que el valor de =10 seg., y que a = 15 seg.
P(t 15)
15
0
1
e
10
t
10
dt 1 e
15
10
1 0.2231 0.7769 77.69%
El parámetro determina el tiempo promedio que tardan las estaciones
de servicio en atender a un cliente. Este parámetro está íntimamente
ligado al parámetro , valor promedio de la función de distribución de
probabilidades de Poisson. Matemáticamente esta relación se escribe
como:
1
Esto quiere decir que el parámetro mide el tiempo que transcurre entre
el tiempo de un éxito y otro, mientras que mide el número de éxitos en
la unidad de tiempo, por lo tanto las dos variables que definimos para
ambos procesos son equivalentes, ya que podemos medir el número de
354
Investigación de operaciones
clientes que llegan en la unidad de tiempo (distribución de Poisson) o
podemos medir el tiempo que transcurre entre la llegada de un cliente
y otro (distribución exponencial), y lo mismo sucede para el proceso de
servicio, podemos medi r el número de clientes atendidos en la unidad de
tiempo (distribución de Poisson) o podemos medir el tiempo que se tarda
la estación de servicio en atender un cliente (distribución exponencial).
Ejemplo 5
El tiempo promedio entre la llegada de una operación y otra a un
microprocesador es de 9 milisegundos. Calcular la probabilidad de que
lleguen 50 operaciones en un segundo.
En este caso conocemos el valor del parámetro que es igual a 9
milisegundos; sin embargo, nos preguntan por la probabilidad de que
lleguen 50 operaciones en un intervalo de tiempo de un segundo, por lo
tanto debemos utilizar la función de distribución de Poisson, para lo cual
determinamos el valor del parámetro :
1
9 10 3
111.11
queremos calcular:
P( n 50)
(111.11* 1)50 e 111.11*1
50!
3.549 10 11
Para determinar cuál es la probabilidad de que la siguiente operación
llegue en los próximos 100 milisegundos, utilizamos la distribución
exponencial:
P(t 100)
100
0
t
1 9
e dt 1 e
9
100
9
1 1.496x10 5
0.999985 99.9985%
Por lo tanto, para poder construir el modelo de líneas de espera, vamos
a utilizar estas dos distribuciones de probabilidad.
355
Unidad 9
Ejercicio 2
1. En el modelo Poisson la variable que mide el número de clientes que
llegan por unidad de tiempo, es una variable:
a) Determinística
b) Continua
c) Aleatoria discreta
d) Aleatoria continua
2. La función de distribución de probabilidades para el proceso de
llegada es:
a)
( t)k e t
k!
b)
( t) k e t
k!
c)
( t )k e
k!
d)
t
t )k e
k!
(
t
3. En el modelo exponencial la fdp del tiempo de servicio está dada por:
a)
1
t
e
t
0
t
b) e
t
0
t
c) e
d)
356
1
t
0
t
e
t
0
Investigación de operaciones
4. En el modelo exponencial, el tiempo de servicio es una variable:
a) Discreta.
b) Aleatoria continua.
c) Determinística continua.
d) Determinística.
5. Si el tiempo de servicio en una gasolinera es de 0.05 hrs. por cliente,
¿cuántos clientes se atienden en una hora?
a) 15 clientes.
b) 18 clientes.
c) 22 clientes.
d) 20 clientes
9.3. Tiempos de llegada Poisson
con servicio exponencial
En esta sección desarrollamos los modelos matemáticos para los sistemas
de líneas de espera formados por una sola fila y una única estación
de servicio. Presentamos sin demostración cómo este modelo se puede
adaptar al caso en el que existe una sola f ila y varias estaciones
de servicio e indicamos de manera general el comportamiento de
sistemas con varias f ilas (multifila) y con varias estaciones de servicio
(multiservicio).
El primer modelo de líneas de espera que vamos a estudiar es el que
está formado por una estación de servicio y una única f ila. Empezamos
analizando la parte estable del sistema, es decir, el comportamiento del
sistema a largo plazo, una vez que ya pasó el periodo de estabilización o
transitorio, el cual es más difícil de estudiar.
357
Unidad 9
La importancia de estudiar el modelo en un estado estable, es que
podemos responder las siguientes preguntas, las cuales nos sirven para
tomar decisiones sobre la mejor estrategia para optimizar el sistema de
líneas de espera.
El modelo generalizado de estado estable supone que las tasas de llegada
y salida son dependientes del estado, es decir, que la llegada de un
nuevo cliente depende de la cantidad de clientes que están en la f ila. Por
ejemplo: en una fábrica la llegada de máquinas al área de servicio por
descompostura va disminuyendo conforme aumenta el número de éstas
en el área (una máquina f uera de servicio no puede descomponerse). El
tiempo de servicio también depende del estado del sistema, por ejemplo,
el tiempo de servicio en un centro telefónico trata de disminuirse cuando
hay varios clientes esperando.
Vamos a def inir los siguientes parámetros:
n = Número de clientes en el sistema.
n en el sistema.
n en el sistema.
n clientes en el sistema.
n
n
n
Para desarrollar el modelo, supongamos que tenemos un sistema con cuatro
clientes, tres en la fila y uno en la estación de servicio, ver la figura 9.3.
Estación de
servicio.
Clientes en la fila
Figura 9.3.
358
Cliente en la
estación de
servicio
Investigación de operaciones
Si analizamos el comportamiento del sistema en un intervalo de tiempo
suf icientemente pequeño, tenemos las siguientes tres opciones:
a) Que llegue un cliente y salga ninguno. Entonces el sistema tendría n+1
clientes, ver f igura 9.4.
Nuevo cliente
Estación de
servicio.
Clientes en la fila
Cliente en la
estación de
servicio
Figura 9.4.
b) Que salga un cliente y llegue ninguno. Entonces el sistema tendría n-1
clientes, ver f igura 9.5.
n= 3
Estación de
servicio.
Cliente en la
estación de
servicio
Clientes en la fila
Cliente que
abandonó el
sistema
Figura 9.5.
c) Que llegue un cliente y que también salga un cliente. Entonces el
sistema permanece con n clientes:
359
Unidad 9
Nuevo cliente
4
Estación de
servicio.
Cliente en la
estación de
servicio
Clientes en la fila
Cliente que
abandonó el
sistema
Figura 9.6.
Estos cambios en el sistema sólo dependen de las tasa de entrada n y
de la tasa de salida n y nos indican que el estado con n clientes sólo
puede cambiar a los estados n – 1 y n+1, por lo tanto, para mantener el
sistema en estado estable de n clientes, existen tres eventos mutuamente
excluyentes que son:
a) Que el sistema esté en el estado n – 1 y entonces debe existir una
entrada al sistema. La probabilidad de este evento es el producto de que
el sistema esté en el estado n – 1 ( Pn 1 ) por la tasa de entrada:
P( Evento 1)
n 1
* Pn
1
b) Que el sistema esté en el estado n+1 y entonces debe existir una salida
del sistema. La probabilidad de este evento es:
P( Evento 2)
n 1
* Pn
1
Los dos casos anteriores se consideran f lujo de entrada al estado n, por
lo tanto, la tasa esperada de f lujo de entrada al estado n es:
tasa esperada de flujo
de entrada al estado n
P
n 1 n 1
P
n 1 n 1
c) Que el sistema esté en el estado n y ocurra una entrada y una salida
del sistema. La probabilidad de este evento es:
360
Investigación de operaciones
P( Evento 3)
n
n
* Pn
Este evento se considera el f lujo de salida del estado n, por lo tanto, la
tasa esperada del f lujo de salida del estado n es:
tasa esperada de flujo
(
de salida del estado n
n
n
) * Pn
Si suponemos que el sistema está en un estado estable, se debe cumplir
que la tasa de f lujo de entrada y salida del sistema en estado n deben
ser iguales. Al igualar estas dos expresiones obtenemos la ecuación de
balance para n mayores que cero:
P
n 1 n 1
P
(
n 1 n 1
n
n
) * Pn
n 1, 2,...
y para n = 0 la ecuación de balance es:
P
P
0 0
1 1
Si conocemos el valor de P0 podemos obtener el valor de P1
0
P1
P0
1
Si conocemos el valor de P1 podemos obtener el valor de P2
1 0
P2
2
P0
1
En general, se puede demostrar por inducción que:
Pn
... 0
P0
1... 1
n 1 n 2
n
n
El valor de P0 se determina a parti r de la siguiente igualdad:
Pn 1
n 0
361
Unidad 9
Ejemplo 6
Dentro de una of icina con 5 empleados se tiene una fotocopiadora. La
probabilidad de que llegue un empleado a la fotocopiadora depende del
número de empleados en el sistema y se da en la siguiente tabla:
Empleados en el sistema
n
n
empleados
minuto
0
1
2
3
4
5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
La tasa de tiempo de servicio en la fotocopiadora es constante y es igual a:
0.5
n
clientes
minuto
Determinar la probabilidad de los posibles estados estables del sistema.
Los posibles estados estables del sistema son:
n = 0.
n = 1.
n = 2.
n = 3.
n = 4.
n = 5.
Ahora debemos calcular la probabilidad asociada a cada uno de los estados
anteriores.
P1
0
1
P0
0.5
P0
1
P2
0 1
2
362
1
P0
2P0
1* 0.8
P0
0.52
3.2P0
Investigación de operaciones
0 1 2
P3
3
2
4
P5
3
0 1 2 3 4
5
1
0 1 2 3
P4
4
3
2
1* 0.8 * 0.6
P0
0.53
P0
2
P0
1
1
6
5
4
1* 0.8 * 0.6 * 0.4
P0
0.54
3.072P0
1* 0.8 * 0.6 * 0.4 * 0.2
P0 1.2288P0
0.55
P0
0 1 2 3 4 5
P6
3.84P0
3
1* 0.8 * 0.6 * 0.4* 0.2 * 0
P0
0.56
P0
2 1
0
Como las anteriores son todas las posibles probabilidades, y como se
trata de una distribución de probabilidad, la suma de ellas debe ser igual
a uno, es decir:
6
Pi 1
i 0
Si sustituimos el valor de cada una de las probabilidades en términos de
P0, obtenemos la siguiente ecuación:
P0
2P0 3.2P0 3.84P0 3.072P0 1.2288P0
0 1
14.3408P0 1
1
0.0697
14.3408
Por lo tanto la probabilidad de que la fotocopiadora esté ociosa es del
6.97%. El resto de las probabilidades las presentamos en la siguiente
tabla.
P0
Empleados en el sistema (n)
1
2
3
4
5
6
Pn
13.94%
22.3%
26.76%
21.41%
8.56%
0%
363
Unidad 9
Esto quiere decir que la mayor parte del tiempo la fotocopiadora
estará ocupada y dos personas estarán esperando en la fila, ya que la
probabilidad de que existan tres personas en el sistema es la más alta.
salida constantes
En el modelo anterior se consideró que la tasa de llegada y la tasa
de salida dependen del número de clientes que están en la f ila, esto
debido a que tenemos una población finita, por lo tanto al aumentar la
cantidad de clientes en la f ila disminuye la tasa de llegada; sin embargo,
si consideramos que tenemos una población infinita, la tasa de llegada
permanecerá constante. Si consideramos tanto la tasa de llegada como la
tasa de salida constantes, el modelo toma la siguiente forma:
P1
P0
2
P2
P0
n
Pn
P0
Además la suma de todas las probabilidades debe ser igual a uno, es
decir:
Pi 1
i 0
Si sustituimos el valor de cada probabilidad en términos de obtenemos:
i
P0 1
i 0
Sacamos de la suma el término constante y nos queda una suma
geométrica.
i
P0
1
i 0
364
Investigación de operaciones
Aquí se impone la condición de que la tasa de llegada de clientes debe ser
menor que la tasa de ser vicio, ya que de otra manera la suma no converge.
Esta condición matemática se interpreta de la siguiente manera:
Si l a tasa de llegada es igual a la tasa de ser vicio, el estado transitorio
del sistema sería permanecer con un solo cliente en el sistema, ya
que al l legar el pri mer cl iente se atiende y cuando l lega el segundo el
pri mero ya f ue atendido. Si la tasa de llegada es mayor que la tasa
de ser vicio el estado permanente del sistema sería i nestable, ya que
al l legar más cl ientes de los que se pueden atender, la f ila crecería
i ndef i nidamente.
Recordemos que si tenemos una suma geométrica con razón menor que
uno en valor absoluto, ésta converge a:
1
si r
1 r
rn
n 0
1
Utilizando este resultado obtenemos la siguiente expresión:
i
P0
1
P0
i 0
1
1
De donde podemos despejar P0:
P0 1
Esto quiere decir que la probabilidad de que el sistema esté ocioso es igual
a1
. Una vez que conocemos el valor de P0 podemos conocer el valor
de Pn para n mayor o igual a cero.
n
Pn
1
n 0
365
Unidad 9
Esta expresión representa la función de densidad de probabilidades
discreta del sistema de líneas de espera. Podemos calcular ahora la
esperanza matemática de esta función de distribución:
n
E(n)
nPn
n
n 0
n 0
1
1
n
n 0
r
nr n
La suma
n
1 r
2
n 0
por lo tanto la esperanza matemática es:
E(n)
La esperanza matemática nos dice cuál es el número de clientes esperado
o en promedio que estarán en el sistema. Esta esperanza considera tanto
a los clientes que están en la fila como a los que están en la estación
de servicio. Si nos interesa determinar el tamaño promedio de la fila
debemos restar a la esperanza del tamaño del sistema la probabilidad
de que un cliente esté en la estación de servicio (recordemos que sólo
estamos trabajando con una f ila y una estación de servicio).
Sea w la variable aleatoria que mide el número de clientes que están en
la f ila de un sistema de líneas de espera, entonces la esperanza de esta
variable es:
2
E( w)
E(n) P1
(
)
Ya tenemos dos expresiones que nos permiten determinar en promedio el
número de clientes en el sistema y en la fila, ahora vamos a determinar
en promedio cuánto tiempo permanece un cliente en el sistema y cuánto
tiempo en la fila.
Sea v la variable aleatoria que mide el tiempo que permanece un cliente
en el sistema. El tiempo promedio que va a pasar el cliente en el sistema
es la esperanza matemática de esta variable, es decir: E(v). Durante
un periodo E(v) el número de clientes que llegan al sistema es E(v),
que debe ser igual al promedio de clientes en el sistema, es decir, E(n).
366
Investigación de operaciones
Si igualamos estas dos expresiones y despejamos el tiempo promedio
obtenemos la siguiente expresión:
E(n)
E(v)
E( v)
1
1
E(n)
Lo único que falta es determinar el tiempo promedio que va a pasar
un cliente en la fila. Def inimos la variable aleatoria como el tiempo
que permanece un cliente en la fila. El tiempo promedio es entonces la
esperanza matemática de esta variable; pero esta esperanza es igual al
tiempo promedio que permanece el cliente en el sistema menos el tiempo
que tarda en la estación de servicio, es decir:
E(t )
E(v)
1
(
)
Así terminamos el modelado de un sistema de líneas de espera con una sola
fila y una sola estación de servicio. A continuación mostramos una tabla con
las ecuaciones del modelo:
367
Unidad 9
Ejemplo 7
En una central telefónica rural, las llamadas de larga distancia se deben
realizar a través de operadora. En la actualidad sólo existe una operadora
y la tasa de petición de llamadas es de 20 llamadas cada hora, mientras
que la tasa de servicio es de 25 llamadas cada hora. Las políticas de la
empresa para aumentar la cantidad de clientes son las siguientes:
operadora y ésta lo comunica al destino solicitado no debe exceder
de 10 minutos.
Al interior de la empresa algunas de las políticas son:
mayor a 18 mi nutos cada hora.
¿Es posible que el sistema cumpla con las políticas de la empresa?
Para calcular los parámetros que caracterizan a un sistema de líneas
de espera, utilizamos las ecuaciones de la tabla 9.1, con los parámetros
20
llamadas
y
minuto
25
llamadas
.
minuto
Lo primero es verif icar que
, lo cual sí se cumple. Realizamos los
cálculos y obtenemos los siguientes resultados:
368
Investigación de operaciones
Estos resultados nos indican lo siguiente:
para poder cumplir con sus políticas, ya que el tiempo promedio
que espera un cliente en la f ila es de 9.6 minutos, el cual es
mayor a los 5 minutos que dice la empresa.
cada hora (en promedio) lo cual representa el 20% del
tiempo. Este valor se encuentra por debajo del establecido
por la empresa.
Esto quiere decir que si colocamos otra operadora puede ser posible
que el tiempo ocioso aumente y sobrepase el establecido, pero si no
colocamos otra operadora los clientes tienen que esperar demasiado
tiempo para ser atendidos.
Si en el ejemplo anterior se contrata otra operadora y se deja una sola
línea para recibir las peticiones de llamadas de larga distancia, lo que
tenemos es un sistema con una sola f ila y varias estaciones de servicio,
ver f igura 9.7.
369
Unidad 9
Estación de
servicio.
Estación de
servicio 2.
Figura 9.7.
En este tipo de modelos se supone que las estaciones de servicio están
colocadas en paralelo y que cada una de ellas ofrece el mismo tipo de
servicio, por lo tanto, el cliente tiene la opción de pasar a cualquiera de
ellas, sin que exista diferencia alguna.
Consideremos el caso en que se tienen dos estaciones de servicio
con una tasa de servicio . Si al sistema llega un cliente, éste pasa
inmediatamente a cualquiera de las dos estaciones. Si llegan dos clientes,
entonces cada uno de ellos pasa a una de las estaciones de servicio y la
tasa de servicio del sistema se duplica, ya que si la tasa es de 2 clientes
cada hora, al tener dos estaciones la tasa de atención es de 4 clientes cada
hora, siempre y cuando las dos estaciones estén ocupadas, es decir, la
tasa de servicio del sistema sería 2 . Si llegan más de dos clientes la tasa
de servicio del sistema sigue siendo 2 ya que sólo se pueden atender dos
clientes al mismo tiempo.
Por lo tanto la tasa de servicio para este tipo de sistemas depende del
número de clientes en el sistema, y crece de manera proporcional hasta
un valor máximo que depende del número de estaciones de servicio
disponibles. Matemáticamente lo podemos expresar como:
s
n
si n c
c
si n c
Donde n es el número de clientes en el sistema y c es el número de estaciones
de servicio.
370
Investigación de operaciones
Entonces el problema lo podemos resolver uti li zando el modelo para
La probabi lidad de que estén n cl ientes
en el sistema está dada por:
n
Pn
( 2 )(3 )
n
(n )
P0
n!
n
P0
n c
n
n
(2 )(3 )
Haciendo k
(c 1) (c )(c ) n
c
P0
c! cn
c
n
P0 n c
y utilizando las fórmulas del modelo de tasas variables,
k
1, obtenemos:
c
siempre y cuando se cumpla que
1
kn
0 n!
1
kc
c! 1 k
c
c 1
P0
n
k
1
c
Si el sistema es estable con n clientes, donde n es menor al número de
estaciones de servicio, el problema no es interesante, ya que cada cliente
que llegue encontrará una estación de servicio vacía y pasará sin hacer
f ila. Por lo tanto vamos a considerar de aquí en adelante que el número
de clientes es mayor que el número de estaciones de ser vicio. En estas
condiciones nos interesa determinar el número de clientes que estarán en
la fila, es decir:
E( w)
( n c) Pn
n c
rPr
r
c
r 0
r 0
kr c
P0
cr c!
kc 1
P0
(c 1)!(c k) 2
El número total de clientes en el sistema está dado por:
E(n)
E( w) k
El tiempo promedio por cliente en el sistema está dado por:
E(v)
E(n)
E( w) k
371
Unidad 9
Y f inalmente el tiempo promedio por cliente en la f ila es:
E(t )
E( w)
Ejemplo 8
Supongamos que en el ejemplo 7 (de la central telefónica) se contrata
otra operadora, con el mismo horario que la pri mera. ¿Cómo cambia el
comportamiento del sistema?
Los parámetros del sistema son:
20
clientes
hora
25
clientes
c 2
hora
Calculamos el valor de k
20
0.8
25
Verif icamos que la fila no crece indef inidamente:
k
k
c
0.8
0.4 1
2
Por lo tanto el sistema llega a un estado estable finito.
Calculamos el tiempo en que el sistema está ocioso.
1
kn
0 n!
c 1
P0
n
kc
1
c! 1 k
c
0.4286
Esto quiere decir que el sistema permanece ocioso el 42.86% del
tiempo.
Calculamos el tamaño esperado de la f ila:
E( w)
372
kc 1
P0
(c 1)!(c k) 2
0.83
0.4286 0.1524 clientes
( 2 0.8) 2
Investigación de operaciones
Se espera que en la f ila estén 0.1524 clientes, esto quiere decir que la
mayor parte del tiempo la f ila estará vacía.
Calculamos el número de clientes en el sistema:
E(n)
E( w) k
0.1524 0.8 0.9524 clientes
Calculamos los tiempos totales y en la fila:
0.9524
0.04762hrs 2.86min
20
E( w) 0.1524
E(t )
0.00762hrs 27.43seg
20
Observamos que los tiempos de espera disminuyen notablemente; sin
embargo, el tiempo que permanece ocioso el sistema aumentó al 42.86%,
sobrepasando la política de la empresa. Es decisión del ingeniero si
deja una sola operadora o dos. La investigación de operaciones es una
herramienta que permite tener un análisis cuantitativo para la toma de
decisión.
E(v)
E(n)
Si el sistema de líneas de espera está formado por varias estaciones de
servicio y cada una de ellas tiene su propia f ila, tenemos un sistema
multifila y multiservicio. Si obtener el modelo para el caso de una f ila
y varias estaciones de servicio fue complicado, obtener un modelo para
este caso general lo es más, por lo tanto debemos utilizar otras técnicas
que nos permitan tomar decisiones. Una de las técnicas más utilizadas
es la Simulación, la cual consiste en construir un modelo probabilístico,
donde a las variables aleatorias se les asignan números aleatorios y con
ello se simula el comportamiento del sistema de las líneas de espera.
Para obtener resultados conf iables de la Simulación se debe realizar una
cantidad grande de repeticiones, por lo tanto es indispensable utilizar la
computadora para obtener resultados en un tiempo razonable* .
* Para más detal les leer Bu, Coss, Simulación un enfoque práctico, Li musa.
373
Unidad 9
Ejercicio 3
1. Los modelos que desarrollamos se utilizan en la parte _____________
del sistema, ya que la parte ____________ es más difícil de modelar
analíticamente.
2. Para sistemas con poblaciones f initas, la tasa de llegada y la tasa de
salida ___________del número de clientes en el sistema.
3. En un periodo suficientemente pequeño, un sistema con n clientes sólo
puede pasar a los estados ______y n – 1.
4. Para calcular la probabilidad de que existan n clientes en el sistema
con tasa de llegada y salida variable es necesario conocer la __________
de que existan n-1 clientes en el sistema.
5. Los modelos que desarrollamos ponen la condición de que la tasa de
llegada sea ______________ que la tasa de salida.
Relaciona las siguientes columnas.
( ) Tiempo útil de la estación
a) E(n)
( ) Tiempo promedio en la fila
b) E( w)
( ) Tiempo promedio en el sistema
c) E(v)
( ) Promedio de clientes en el sistema
d) E(t )
2
( ) Tiempo que la estación permanece ociosa e) P0 1
( ) Promedio de clientes en la fila
374
f)
(
)
1
(
)
Investigación de operaciones
Ejercicios propuestos
1. Dentro de una of icina se tiene una impresora compartida para 5
computadoras, la probabilidad de que llegue un trabajo a la impresora
depende del número de trabajos que están en la fila:
Trabajos en el sistema
n
n
0
1
2
3
4
5
trabajos
minuto
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0
La tasa de tiempo de impresión depende de la cantidad de trabajos que
estén en el sistema, ya que se cuenta con un programa que acelera la
impresión al ir creciendo el número de trabajos en “ la cola”. La tasa se
muestra en la siguiente tabla:
Trabajos en el sistema
n
0
1
2
3
4
5
n
trabajos
minuto
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
Determinar la probabilidad de los posibles estados estables del sistema.
375
Unidad 9
2. A un microprocesador llegan 1 000 operaciones cada segundo,
mientras que su velocidad es de 333 microsegundos por operación.
Determinar:
a) Promedio de operaciones en el sistema.
b) Promedio de operaciones en la f ila.
c) Tiempo promedio de cada operación en el sistema.
d) Tiempo promedio de cada operación en la fila.
e) Tiempo que el microprocesador permanece ocioso.
f ) Tiempo útil del microprocesador.
376
Investigación de operaciones
Autoevaluación
1. Para indicar que un sistema de líneas de espera tiene tasa de llegada tipo
Poisson, tasa de servicio exponencial, con tres estaciones en paralelo, se
utiliza la notación:
a) (P,B,2):(FCFS,
b) (B,P,3):(FCFS,
c) (P,E,3):(FCFS,
d) (E,B,2):(FCFS,
,
,
,
,
)
)
)
)
2. El costo asociado al tiempo que pasa un cliente en el sistema es
a) Costo de producción.
b) Costo de servicio.
c) Costo de espera.
d) Costo de ocio.
3. Las operaciones que llegan a un microprocesador tienen una tasa
de 5 000 operaciones cada segundo. ¿Cuál es la probabil idad de que
lleguen 10 operaciones en el próximo milisegundo?
a) 1.81 %
b) 1.18 %
c) 18.13 %
d) 11.83 %
4. Una operadora tarda en promedio 20 segundos en atender un cliente,
¿cuál es la probabilidad de que la operadora se tarde más de 25 segundos
con el próximo cliente?
a) 71.35 %
b) 17.35 %
c) 22.13 %
d) 28.65 %
377
Unidad 9
5. Después de cierto tiempo de f uncionamiento un sistema de líneas de
espera llega a un estado:
a) Transitorio.
b) Estable.
c) Aleatorio.
d) Determinístico.
6. Para determinar el valor de ociosidad de un sistema de líneas de
espera con tasa de llegada y salida variables, se utiliza la expresión:
Pn 10
a)
n 0
b)
Pn
0.1
n 0
c)
Pn 1
n 0
d)
Pn
0.5
n 0
7. El número promedio de clientes en un sistema de una f ila con una
estación de servicio, con tasa de llegada y tasa de salida está dada
por:
2
a)
b)
c)
d)
378
(
(
)
)
(
)
Investigación de operaciones
Para contestar las preguntas 8 y 9 considera el siguiente problema: un
ingeniero en sistemas se dedica por las tardes a dar servicio técnico por
teléfono. Para dar una mejor atención contrató el servicio de llamada en
espera, el cual le permite tener un cliente en espera. La tasa de llegada
es de 15 llamadas cada hora, mientras que la tasa de servicio es de 18
llamadas cada hora.
8. La cantidad esperada de clientes en el sistema es:
a) 2
b) 5
c) 4.16
d) 6.2
9. El tiempo de espera en la fila es de:
a) 20 min
b) 15 min
c) 18.3 min
d) 16.7 min
10. Un centro de atención telefónica cuenta en la actualidad con 5
operadores para dar servicio a los clientes, los cuales llaman con una
tasa de 20 llamadas cada hora. La tasa de servicio de cada uno de
los operadores es la misma y es igual a 22 llamadas cada hora. La
probabilidad de que el sistema esté ocioso es de:
a) 50.2 %
b) 40.29%
c) 38.3%
d) 45.4 %
379
Unidad 9
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1. Estaciones.
2. Variable.
3. Infinito.
4. Paralelo.
5. Clientes.
Ejercicio 2
1. c)
2. c)
3. a)
4. b)
5. d)
Ejercicio 3
1. Estable; Transitoria.
2. Dependen.
3. n+1
4. Probabilidad.
5. Menor.
6. f, d, c, a, e, b.
380
Investigación de operaciones
Respuestas a los ejercicios propuestos
1. Los posibles estados del sistema son:
n = 0.
n = 1.
n = 2.
n = 3.
n = 4.
n = 5.
Ahora debemos calcular la probabilidad asociada a cada uno de los estados
anteriores.
P1
0
1
P0
1.6
P0
1
P2
0 1
2
P3
3
P4
1
2
1
3
2
4
3
1
2
0.147P0
1* 0.9 * 0.8 * 0.7
P0
1.9 * 1.8 * 1.7 * 1.6
P0
0 1 2 3 4
5
0.331P0
1* 0.9 * 0.8
P0
1.8 * 1.7 * 1.6
P0
0 1 2 3
4
P5
1* 0.9
P0
1.7 * 1.6
P0
0 1 2
0.625P0
P0
1
0.054P0
1* 0.9 * 0.8 * 0.7 * 0.6
P0
2 * 1.9 * 1.8 * 1.7 * 1.6
0.016P0
P0 0.625P0 0.331P0 0.147P0 0.054P0 0.016P0 1
2.173P0 1
P0
1
0.460
2.173
381
Unidad 9
Por lo tanto la probabilidad de que la impresora esté ociosa es del 46%.
Se calcula el resto de las probabilidades, las cuales presentamos en la
siguiente tabla.
Esto quiere decir que el mayor tiempo la i mpresora estará ociosa, y que
el 28.8% de las veces va a estar atendiendo un trabajo si n que ni ngún
otro se encuentre en la f ila.
2. La tasa de servicio es:
operaciones
1
3003.003
0.000333
segundo
Lo primero es verificar que
, lo cual sí se cumple. Realizamos los
cálculos y obtenemos los siguientes resultados:
382
Investigación de operaciones
Respuestas a la autoevaluación
1. c)
2. c)
3. a)
4. d)
5. b)
6. c)
7. b)
8. b)
9. d)
10. b)
383