INFERENCIA SOBRE µ CON σ CONOCIDA

EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA
INFERENCIA SOBRE µ CON σ2 CONOCIDA
Distribución de la media muestral
Caso de distribuciones normales
Si tenemos una variable
x = N (µ ;σ 2 )
Se puede demostrar que
 σ2

x = N  µ ;
n 

De esta manera, todas las fórmulas que emplearemos se deducen de la siguiente
expresión:
z=
x−µ
σ
= N (0;1)
n
Caso de Distribuciones no normales
Si tenemos una variable que no cumple con el supuesto de normalidad, bajo las
condiciones estipuladas por el Teorema del Límite Central; a medida que n crece, la
distribución de x se aproxima a una distribución normal.
Para tener un criterio que nos permita saber en que casos la aproximación es
suficiente, podemos utilizar el criterio de que el coeficiente de variación de la variable
x sea menor al 20%.
O sea:
Si tenemos una variable
x = VA( µ ;σ 2 )
Se puede demostrar que
 σ2
σ/ n
 siempre que
x ≅ N  µ ;
≤ 0,20
n 
µ

Intervalo de Confianza
Se pretende construir un intervalo que contenga al parámetro (µ en nuestro caso) a
partir de la información que brinda el estimador ( x en nuestro caso), con una confianza
prefijada.
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EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA
Se fija el nivel de confianza (NC=1-α) y con el valor muestral del estimador se
calculan los extremos del intervalo de manera que la probabilidad de que el parámetro
esté comprendido entre ellos sea igual a 1-α.
(
P x − z(1−α / 2 ) .
σ
n
≤ µ ≤ x − z(1−α / 2 ) .
σ
n
) = 1−α
Donde
1-α = NC = Nivel de Confianza
α = Riesgo
Esta expresión nos da un intervalo centrado en el valor de
Limite
Inferior
x:
x
Límite
Superior
Además se definen:
D = Amplitud del intervalo
E = Error de muestreo o Semiamplitud.
D = Límite Superior - Límite Inferior

D
σ

E = 2 = z (1−α / 2) n

Podemos determinar que tamaño de muestra es necesario para lograr un determinado
Error de Muestreo a través de la siguiente expresión:
 Z (1−α / 2) .σ
n = 
E




2
Ejemplo 1:
Una balanza se caracteriza por presentar aleatoriedad en sus pesadas siguiendo una
2
distribución normal, de varianza 0,05 gr .
a. Calcular el número de veces que se debe pesar una droga para determinar su
peso con un intervalo de Semiamplitud 0,12 gr, para un nivel de confianza de
95%.
b. Si luego de tomada la muestra se obtuvo una media muestral de 8,2 gr. Realice la
estimación a través del intervalo de confianza.
a.
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 Z (1−α / 2 ) .σ
n = 
E




2
Para esto calculamos:
σ = 0,05 = 0,2236
1 − α / 2 = 1 − 0,05 / 2 = 0,975
Z (0,975) = 1,96
Para luego reemplazar en la expresión de n:
 Z (1−α / 2) .σ
n = 
E

2
2
  1,96.0,2236 
 = 
 = 13,33 ≅ 14
0,12

 
Los tamaños de muestra siempre se redondean hacia arriba de manera que la precisión
no sea inferior a la deseada.
b.
(
P x − z(1−α / 2 ) .
σ
n
≤ µ ≤ x − z(1−α / 2 ) .
σ
n
) = 1−α
Reemplazando obtenemos:
0,2236
0,2236 

P 8,12 − 1,96.
≤ µ ≤ 8,12 − 1,96.
 = 0,95
14
14 

P(8,003 ≤ µ ≤ 8,237 ) = 0,95
Observemos que el Error de Muestreo Resultante fue:
E = z (1−α / 2 )
σ
n
= 0,117
En realidad, en el punto a) calculamos el tamaño de muestra para que el este Error de
Muestreo resultara 0,12 gr. El hecho de haber redondeado el tamaño de muestra de
13,33 a 14 mejoró ínfimamente el tamaño del Error de Muestreo.
Test de Hipótesis
La idea general de los ensayos de hipótesis es la siguiente:
1. Planteamos una hipótesis que queremos constrastar acerca de un parámetro de
una distribución.
2. Tomamos una muestra.
3. Si los valores de la muestra contradicen fuertemente la hipótesis planteada, la
hipótesis planteada es rechazada y decimos que es falsa.
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Por ejemplo:
Supongamos que queremos evaluar la hipótesis de que un proceso productivo trabaja con
un porcentaje de defectuosas de a lo sumo 2%:
H o ) p ≤ 0,02
En este caso se trata de una hipótesis acerca del parámetro p de un proceso Bernoulli.
Supongamos también que tomamos una muestra al azar de 20 piezas producidas por
este proceso productivo y que de las 20 piezas, 9 son defectuosas.
No es necesario hacer demasiados cálculos para darse cuenta de que es más que
improbable que si el proceso productivo realmente trabaja con 2% de defectuosas,
obtengamos 9 defectuosas en una muestra de 20 unidades.
En este caso llegaríamos a la conclusión de que el porcentaje de defectuosas no es del
2%, rechazaríamos la hipótesis H o ) p ≤ 0,02 y diríamos que p supera el 2%.
Ahora bien, si en nuestra muestra de 20 unidades hubiéramos encontrado solo 1 pieza
defectuosa, la decisión no es tan obvia: un proceso que produce un 2% de defectuosas
podría generar una muestra de tamaño 20 donde hay una defectuosa.
Los test de hipótesis, en realidad consisten en un procedimiento que permite sistematizar
este tipo de decisiones acerca del valor que puede tomar un parámetro de una
distribución utilizando información extraída de una muestra.
Tipos de hipótesis
Por el momento vamos a trabajar tomando decisiones acerca de la media (µ)
Las hipótesis posibles son:
H 0 )µ ≤ µ0
H 0 )µ ≥ µ0
H 0 )µ = µ 0
Muchas veces (aunque no es necesario) se incluye la hipótesis H1, que complementa a
H0:
H 0 )µ ≤ µ0
vs
H 1 )µ > µ 0
H 0 )µ ≥ µ0
vs
H1 )µ < µ 0
H 0 )µ = µ 0
vs
H1 )µ ≠ µ 0
Podemos dividir estos ensayos en:
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Unilaterales:
Bilaterales:
H 0 )µ ≤ µ 0
ó
H 0 )µ ≥ µ 0
H 0 )µ = µ0
Los ensayos bilaterales se utilizan cuando nos interesa conocer si la media se mantiene o
no en un determinado valor (por ejemplo en casos donde quiero controlar un proceso
productivo que debe fabricar ejes de un diámetro de 22 mm). Estos ensayos no ofrecen
mayores complicaciones en el planteo de la hipótesis nula que siempre será del tipo
H 0 )µ = µ 0 .
Los ensayos unilaterales se utilizan cuando queremos verificar si el valor de la media
supera o no un determinado valor. Al plantear hipótesis unilaterales, se nos presenta una
aparente incongruencia:
Uno puede pensar que es indiferente el planteo de hipótesis que realice, ya que
plantear H 0 ) µ ≤ µ 0 y acabar rechazándola, debería ser lo mismo que plantear
H 0 ) µ ≥ µ 0 y no rechazarla.
El problema es que esto no es necesariamente así. Puede darse el caso de que
realizando ambos ensayos, no logre rechazar ninguna de las 2 hipótesis. La razón
de esto lo dejamos para cuando trabajemos con los ejemplos.
Por el momento solo daremos un par de reglas que nos permitirán plantear las hipótesis
dejando la justificación de las mismas para más adelante.
Criterio Pesimista
Se adopta en problema de inversión con riesgo económico.
En este caso el sentido de la hipótesis nula se plantea de tal manera que refleje la
posición pesimista, o sea en el sentido en que la media toma los peores valores.
Criterio Optimista
Se adopta en problemas de control de recepción o control de producción.
En este caso el sentido de la hipótesis nula se plantea de tal manera que refleje la
posición optimista, o sea en el sentido en que la media toma los mejores valores.
Ejemplo 2
Una empresa fabrica un alimento balanceado con vitamina C. El contenido de vitamina C
del alimento es una variable aleatoria que puede considerarse normal con un desvío
estándar de 50 mg/kg, de acuerdo a la experiencia en la fabricación de alimentos
balanceados con otros componentes y concentraciones por el mismo proceso.
La empresa ha desarrollado un nuevo producto que se desea lanzar al mercado solo en el
caso que el contenido medio de vitamina C supere los 200 mg/kg. Para tomar tal decisión,
se ha medido el contenido de vitamina C de una muestra de 7 unidades experimentales
(paquetes) con los siguientes resultados:
x [mg/kg]
229 232 246 204 252 190 250
a) Analizar si el producto debe o no ser lanzado al mercado asumiendo un riesgo
máximo del 5% de lanzar el producto erróneamente.
b) Determinar la probabilidad de lanzar el producto al mercado si la verdadera media
fuese µ=220 mg/kg.
c) Dibujar la curva de Potencia del ensayo.
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a)
El planteo correspondiente a este ejercicio es un planteo Pesimista ya que se trata de una
decisión que implica una inversión. Cuando hablamos de Pesimista nos referimos siempre
al sentido de la hipótesis nula. En este caso, ser pesimista significa decir que la µ es
menor a 200 y que la inversión no se realizará:
vs
H 0 ) µ ≤ 200
H 1 ) µ > 200
Al plantear esta hipótesis nula, estamos suponiendo que la media es menor o igual a 200.
En el caso de que encontremos un valor de x ‘sospechosamente alto’ diremos que la Ho
es falsa y lanzaremos el producto al mercado. Es decir:
Si
x≥xc Rechazo la Ho µ > 200
Lanzo el producto
A su vez, se define
α = P ( Rechazar Ho \ µ = µo )
O sea
α = P ( Lanzar el producto al mercado \ µ = 200 ) = 0,05 de acuerdo con el enunciado.
α=5%
µo = 200
Para calcular el valor de
x c =?
x c, partimos de la expresión general:
z=
x−µ
σ
⇒ Z (1−α ) =
n
xc − µ 0
σ
n
Reemplazando σ=50, n=7, 1-α=0,95 y µ0=200, nos queda:
z (0,95) =
xc − 200
50
⇒ xc = 200 + z (0,95).
= 231,09
50
7
7
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El planteo de la condición de Rechazo y Regla de Decisión, nos queda:
Si
x ≥ x c=231,09 mg/kg Rechazo la Ho Lanzo el producto
Como en este caso tenemos el valor de x , podemos aplicar esta condición de rechazo y
tomar la decisión correspondiente ( x =229 mg/kg):
Como el x =229 mg/kg NO es mayor o igual que x c=231,09 mg/kg, no Rechazo la Ho y
por lo tanto no se recomienza lanzar el producto al mercado.
Nota:
Es importante entender que al no rechazar la Ho, no la estamos tampoco aceptando. No
estamos diciendo que µ ≤ 200. De hecho, la mejor estimación de la media que tenemos
es x =229.
¿Por qué entonces no decimos que la media es mayor a 200 y rechazamos la Ho?
Porque no estamos lo suficientemente seguros de que µ ≥ 200. Solo rechazamos la Ho si
tenemos fuerte evidencia de que es falsa. Caso contrario no se rechaza.
Pensémoslo de otro forma:
Si fuera x =200,5 mg/kg y tengo que decidir con ese valor. ¿Cuál sería mi decisión?
Seguramente que sería la de no lanzar el producto al mercado: estamos tomando esta
decisión a partir de una muestra de solo 7 elementos y la diferencia de 0,5 mg/kg no me
da mucha seguridad de que la verdadera media esté por encima de los 200 mg/kg.
En cambio, si x =350, la decisión probablemente sería otra: la diferencia es muy grande
como para atribuirle a la aleatoriedad de la muestra un valor tan alto.
Si cuando x =200,5 decido no realizar la inversión y cuando x =350 decido realizar la
inversión, en algún punto debo haber cambiado de opinión. Ese valor es justamente x c y
como es de esperar es un valor que depende del riesgo que estoy dispuesto a asumir (α).
Resumiendo:
Si rechazo Ho, puedo afirmar H1 con un riego máximo α de equivocarme.
Si NO rechazo Ho, no puedo decir nada sobre Ho ni sobre H1.
Para terminar de cerrar la idea analicemos que hubiese ocurrido en caso de que
planteáramos las hipótesis en el sentido incorrecto:
H 0 ) µ ≥ 200
vs
H 1 ) µ < 200
En el caso de que rechazáramos la hipótesis, diríamos que µ<200 y que no habría que
lanzar el producto al mercado con riego máximo α=5%.
En el caso de que no rechazáramos Ho, no podríamos asegurar nada respecto de la
media.
De poco le puede servir a una empresa plantear el test que acabamos de analizar en
vistas de lanzar el producto al mercado, ya que ninguna de los resultados posibles le da la
seguridad de lanzar el producto es correcto, que es lo que en definitiva le interesa saber.
Nota 2:
Existen 2 formas alternativas de resolver el punto a) de este ejercicio. Cuando
trabajamos en inferencia sobre la media de poblaciones normales con desvío conocido,
es muy frecuente trabajar con condiciones de rechazo vinculadas a x c, pero es frecuente
en inferencia sobre otros parámetros y/o poblaciones que no se trabaje de esta manera,
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sino de las que veremos ahora. Esto se debe entre otras cosas a costumbres, comodidad
o bien a la disponibilidad de tablas. De todas maneras, debe tenerse bien presente que
los tres procedimientos para rechazar o no una hipótesis son totalmente equivalentes
entre sí.
a. Trabajando sobre el eje Z
En este caso, en vez de trabajar sobre el eje
x , se trabaja sobre el eje z.
La Condición de Rechazo en este caso, nos quedaría:
Si Zcalculado≥Z(1-α
α) Rechazo la Ho
Donde
Z Calculado =
X − µ0
σ
n
En este caso:
229 − 220
= 1,53
50
7
Z (1 − α ) = Z (0,95) = 1,6449
Z Calculado =
Aplicando la Condición de Rechazo, diríamos que como Zcalculado=1,53 no es mayor o igual
a Z(1-α)=1,6449, no puedo rechazar la Hipótesis nula.
x =229
α=5%
X
µo = 200
x c=231,09
Zcalc=1,53
α=5%
Z Z
0
Z(1-α)=1,6449
b. Utilizando el nivel de significación a posteriori
En este caso, lo que se hace es calcular la P ( x ≥229 \ µo = 200). A este valor, lo
llamamos α* y representa el nivel de significación a posteriori.
La condición de rechazo nos queda:
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Si α* ≤ α Rechazo Ho
Realizando los cálculos:




229
−
200
 = 1 − Φ (1,53) = 0,063
α * = P ( X ≥ 229) = 1 − Φ
50




7


Como α*=6,3% no es menor o igual que α=5%, no puedo rechazar la Hipótesis Nula.
b)
En el supuesto caso que la media valiera 220 mg/kg. ¿Cuál sería la probabilidad de que la
Ho sea rechazada y la inversión se realice.
Se define:
π(µ
µ) = P ( Rechazar Ho \ µ )
β(µ
µ) = P ( NO Rechazar Ho \ µ )
Tanto π como β son funciones de µ y se cumple para todo µ que π(µ) = 1-β(µ).
Si tenemos en cuenta los distintos valores de µ posibles, podemos decir que:
π(µ
µ) = P ( Rechazar Ho \ µ ) =
∉ Ho
µ ∈ Ho
µ
π(µ)= P ( Rechazar Ho \ µ ) = 1 - εII
π(µ) = P ( Rechazar Ho \ µ ) = εI = Error Tipo I
Caso Particular
µ = µ0
π(µ0) = P ( Rechazar Ho \ µ=µ0 ) = α = εI
β(µ
µ) = P ( NO Rechazar Ho \ µ ) =
∉ Ho
µ ∈ Ho
µ
β(µ) = P ( NO Rechazar Ho \ µ ) = εII= Error Tipo II
β(µ) = P ( NO Rechazar Ho \ µ ) = 1 - εI
Caso Particular
µ = µ0
β(µ0) = P ( NO Rechazar Ho \ µ=µ0 ) = 1 - α = 1 - εI
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Esto también puede resumirse en la siguiente tabla:
Rechazar H0
No Rechazar H0
µ ∈ H0
εI
1 − εI
µ ∉ H0
1 - εII
εII
Volviendo al ejercicio, nos están preguntando:
P ( Lanzar el producto al mercado \ µ = 220 )
De acuerdo con la Condición de Rechazo y la regla de decisión, el producto se lanza al
mercado si se Rechaza Ho. Por lo tanto estamos frente a una probabilidad π.
Por otro lado µ = 220 es un valor medio que no pertenece a Ho.
P ( Rechazar Ho \ µ
∉ Ho ) = π (µ=220)
Para Rechazar la Ho, se tiene que cumplir la Condición de Rechazo, es decir que
x ≥ x c=231,09 mg/kg.
Lo que tenemos que calcular entonces es la probabilidad de que x ≥ 231,09 teniendo en
cuenta que la µ =220.
Gráficamente, tenemos:
α=5%
µo = 200
x c=231,09
π(µ=220) = ?
µ1 = 220
x c=231,09
O sea:
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







X c − µ1 
231,09 − 220 


π ( µ = 220) = 1 − Φ
=1− Φ
= 1 − Φ(0,58) = 0,28
 σ



50




n 
7



c)
La curva de Potencia, es la curva que representa π(µ).
Por el momento tenemos solamente dos valores de esta curva: π(µ=200)=α=0,05 y
π(µ=220)=0,316
µ1




229
−
µ
1
π ( µ1 ) = 1 − Φ
 50 


7 

180
190
200
210
215
220
230
240
250
260
270
280
290
300
0.0035
0.0150
0.0505
0.1332
0.1986
0.2803
0.4789
0.6830
0.8426
0.9376
0.9805
0.9952
0.9991
0.9999
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
α
0.00
180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300
Ejemplo 3
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Una carpintería de Capital Federal recibe periódicamente grandes partidas de madera de
cedro procedentes de un aserradero de Salta. Una partida se considera aceptable si la
longitud media de sus tablas es mayor o igual que 4m. Al examinar una muestra de 5
tablas de una partida recién recibida, se obtuvieron los siguientes resultados en metros:
3,8 - 3,74 - 3,98 - 4,1 - 3,9. Se sabe además que la longitud de las tablas se distribuye
Normalmente con un desvío estándar de 0,15m. a) ¿Considera Ud. aceptable esta partida
si se establece en 5% la probabilidad de rechazarla indebidamente? Calcule el nivel de
significación “a posteriori”. Justifique conceptualmente el planteo optimista de la hipótesis.
b) ¿Cuál sería la probabilidad de aceptar una partida cuya longitud media fuera de
3,85m? c) Dibujar la curva de error.. d) ¿Cuántas tablas habría que medir de cada partida
para que dicha probabilidad anterior valga 0,1?
Por ser un muestreo de recepción periódico, debemos adoptar un planteo Optimista.
Como lo que busco es que µ ≥ 4 mts, las hipótesis nos quedan:
H 0 )µ ≥ 4
H1 )µ < 4
vs
La hipótesis nula será rechazada en el caso de que el valor de
bajo’.
CR: Si
x ≤ xc Rechazo la Ho x sea ‘sospechosamente
Rechazo la Partida
α=5%
x c =?
µo = 4
Partimos de la expresión general:
z=
x−µ
σ
n
Recordando que σ=0,15 y n=5, nos queda:
z (0,05) = −1,6449 =
xc − 4
0,15
⇒ xc = 4 − 1,6449.
= 3,89
0,15
5
5
O sea:
Si
x ≤ x c=3,89mts Rechazo la Ho Mariano Bonoli
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Rechazo la Partida
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Como en este caso,
partida
x =3,904 > x c = 3,89 No Rechazo la Ho No se rechaza la
El nivel de significación a posteriori será:




3
,
904
−
4
 = Φ(− 1,43) = 7,62%
α * = P ( X ≤ 3,904 / µ 0 = 4) = Φ
 0,15 


5 

Nota:
Los problemas de control periódico de partidas, suelen tener problemas de interpretación
y ello se debe a que aparentemente contradice el sentido común. Por eso analizaremos
un poco mas en profundidad este caso.
Si analizamos el planteo de hipótesis resultante de haber realizado un planteo optimista,
observaremos que:
1. Si rechazo la Hipótesis nula, Rechazo la partida con un riesgo máximo del 5%.
2. Si no Rechazo la partida, no puedo asegurar que la media sea menor a 4 y en ese
caso acepto la partida.
Lo que produce la confusión es el siguiente razonamiento: “Si lo que estoy buscando es
que las partidas sean buenas, ¿no sería conveniente hacer un planteo de hipótesis
inverso donde si pruebo que la partida es buena la acepto y si no puedo probar que la
partida es buena se la rechazo?”
Veamos que sucedería en este caso:
H 0 )µ ≤ 4
H1 )µ > 4
vs
α=5%
µo = 4
Nos hubiera quedado la siguiente regla: si
Acepto la partida.
x c=4,11
x ≥ 4,11 mts Rechazo la Hipótesis Nula y
Para comprender porque este planteo es incorrecto, supongamos por un momento que el
proveedor es honesto y produce piezas con µ = 4 mts. La distribución de x será la que
corresponde con el gráfico superior. Si observamos el gráfico, podremos notar que al
proveedor le estamos rechazando el 95% de las lotes que nos está enviando (dentro de
especificación). Si por ejemplo obtenemos una partida con x = 4,10 mts, la decisión es
rechazar la partida. En realidad esta partida no se la estamos rechazando porque sea
mala. De hecho, el valor de x = 4,10 mts nos indica que probablemente la partida sea
buena. Pero le estamos rechazando el lote completo, porque no estamos los
suficientemente seguros de que la media poblacional sea mayor a 4 mts.
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Es como si aceptáramos solo aquellos lotes de los que estamos muy seguros que son
buenos, y ante la duda se los rechazamos.
Evidentemente esta situación es insostenible en el largo plazo con cualquier proveedor.
Por eso es que en estos casos se utilizan planteos del tipo optimistas. Pero también debe
tenerse en cuenta que estamos suponiendo que la partida es buena. Debemos estar
trabajando con un proveedor de confianza que nos permita hacer esta suposición.
b.
P ( Aceptar Partida \ µ = 3,85 )
P ( NO Rechazar Ho \ µ = 3,85
∉ Ho )
El hecho de que estemos calculando la probabilidad de NO Rechazar la Ho nos indica
que estamos calculando una probabilidad de tipo β, dentro de las β, estamos calculando
un εII.
P ( NO Rechazar Ho \ µ = 3,85
∉ Ho ) = β (µ1=3,85)
A su vez, para no rechazar la Ho, se debe cumplir la condición
x ≤ x c=3,89mts:
β (µ1=3,85) = P ( x ≥ x c=3,89mts \ µ = 3,85 )
α=5%
x c=3,89
µo = 4
β ( µ1=3,85 ) = ?
µ1 = 3,85
x c=3,89








X
−
µ
3
,
89
−
3
,
85
c
1
 = 1 − Φ
 = 1 − Φ (0,596) = 0,276
β ( µ = 3,85) = 1 − Φ
 σ


0,15 




n 
5



c)
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EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA
Al pedir la curva de error, lo que se está pidiendo es el gráfico de εI y
εII en función de µ.
εI = π(µ) = P ( Rechazar Ho \ µ ∈ Ho )
εII = β(µ) = P ( NO Rechazar Ho \ µ ∉ Ho )
O sea que tendremos valores de εI para valores de µ ≥ 4 y
Hasta el momento se tienen, de puntos anteriores:
εII para µ < 4.
P ( Rechazar Ho \ µ = µ0 = 4 ) = π(µ0 = 4) = α = εI = 0,05
P ( NO Rechazar Ho \ µ1 = 3,85 ) = β(µ1=3,85) = εII
µ1




3
,
89
−
µ
1

π ( µ1 ) = Φ
 0,15 


5 





3
,
89
−
µ
1

β ( µ 1 ) = 1 − Φ
 0,15 


5 

3.7
3.75
3.8
3.85
3.9
3.95
4
4.05
4.1
0.0505
0.0085
0.0009
0.0023
0.0184
0.0899
0.2755
0.5593
0.8145
-
Curva de Error
1.0
0.8
0.6
ε II
0.4
0.2
0.0
εI
3.65
3.7
3.75
3.8
3.85
3.9
3.95
4
4.05
4.1
4.15
µ1
d)
Nos están preguntando cuanto debe valer el tamaño de muestra para que
β(µ1=3,85) = 0,10 (en vez de 18,6%).
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EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA
Debemos tener en cuenta que como
sino 2 incógnitas: n y
xc = µ 0 − Z (1−α ) .
σ
n
depende de n, no tenemos 1
x c. Para calcular estas dos incógnitas, necesitamos 2 ecuaciones:
π ( µ o = 4) = 0,05 = α

 β ( µ = 3,85) = 0,10
O sea






X
−
4
 = 0,05

π ( µ = 4) = Φ c
 0,15 




n 







X
−
3
,
85

 c
 = 0,10
=
=
−
Φ
β
(
µ
3
,
85
)
1

 0,15 



n



0,15
 Xc − 4
 0,15 = Z (0,05) = −1,6449 ⇒ X c = 4 − 1,6449. n


n
 X − 3,85
0,15
c

= z (0,90) = 1.2816 ⇒ X c = 3,85 + 1,2816.
 0,15
n

n

Resolviendo las ecuaciones podemos despejar n=9 y
x c=3,918 mts.
Podríamos para este caso, haber empleado las siguientes fórmulas que nos permiten
obtener n y x c:
2
2
 Z (1 − α ) + z (1 − β )   Z (0,95) + z (0,90)

n = 
.σ  = 
.0,15  = 8,56 ≅ 9
µ
µ
−
4
−
3
,
85



0
1

0,15
X c = 4 − 1,6449.
= 3,92
9
La nueva Condición de Rechazo y Regla de Decisión será:
Si
x ≤ x c=3,92 mts Rechazo la Ho Rechazo la Partida
Ejemplo 4
Un proceso de manufactura produce piezas cuyo peso interesa controlar. Se sabe que
dicho peso se distribuye normalmente con desviación estándar 1,2 gr. Se quiere que el
peso medio de las piezas sea 23 gr. Por razones prácticas se ha fijado como tamaño de
muestra n = 20 unidades. Se acepta como riesgo 0,10.
a) Hallar los límites de promedio para la aceptación de la hipótesis µ = 23 gr.
b) Hallar el tamaño del error de tipo II cuando la alternativa es µ = 23,6 gr, y explicar
el significado de dicho error.
En este caso, nos encontramos ante un ensayo de hipótesis de tipo bilateral, ya que lo
que nos interesa saber es si la media es o no igual a 23 gr.
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EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA
Este tipo de ensayos no requiere demasiado análisis en el planteo de la hipótesis ya que
siempre se plantean de la misma manera:
H 0 ) µ = 23
Rechazaremos la Ho, en caso de que el valor de
o muy bajo. De esta manera:
Si
H 1 ) µ ≠ 23
vs
x ≤ x c1 ó x ≥ x c2 x obtenido en la muestra sea muy alto
Rechazo la Ho α/2 = 0,05
α/2 = 0,05
α/2=%
x c1
Los valores de
Paro el Proceso
µo = 23
x c2
x c se obtienen a partir del riesgo α=5%:
z=
x−µ
σ
n
z (0,05) =
xc1 − µ 0
z (0,95) =
n
xc 2 − µ 0
σ
σ
⇒ xc1 = 23 − 1,6449.
1,2
= 22,56
20
⇒ xc1 = 23 + 1,6449.
1,2
= 23,44
20
n
La Condición de Rechazo y Regla de Decisión, nos queda entonces:
Si
x ≤22,55 ó x ≥23,45 Los límites de aceptación de
Rechazo la Ho Paro el Proceso
x son entonces 22,55 gr y 23,45 gr.
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EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA
b)
El Error de tipo II se definía como
β(µ1 = 23,6) = P ( NO Rechazar Ho \ µ=23,6
∉ Ho) = εII
En este caso sería:
εII = β( µ1=23,6 ) = P ( 22,55 ≤ x ≤ 23,45 \ µ=23,6 )
α/2 = 0,025
α/2 = 0,025
α/2=5%
µo = 23
x c1
x c2
εII
µ1 = 23,6
x c2=23,45








23
,
45
−
23
,
6
22
,
55
−
23
,
6
 − Φ
 = Φ(− 0,55) − Φ(− 3,91) = 0,291 − 0 = 0,291
P(22,55 ≤ X ≤ 23,45) = Φ




1,2
1,2




20
20




Ejemplo 5
En una curtiembre, el consumo diario de uno de los productos químicos principales es
variable con una media de 580 lt y desvío estándar de 72 lt. El Jefe de Producción ha
propuesto una modificación en una de las etapas del proceso, que implicará mayores
costos, pero que se justificaría si se lograra una disminución del 10% en el consumo
medio. Si así ocurriera, se desea un 90% de probabilidad de implementarla, pero si no se
obtuviera resultado alguno, el riesgo se establece en un 5%.
a) Indique la hipótesis nula apropiada a esta situación, calcule el tamaño de la muestra a
tomar, indique la condición de rechazo y la regla de decisión correspondiente.
b) Calcule la probabilidad de implementar la modificación si con ella se obtiene una
disminución del 5% en el consumo medio
c) Dibuje la curva de potencia del ensayo.
Estos problemas de denominan de diseño de ensayos de hipótesis.
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EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA
Se busca determinar el tamaño de muestra y
y condición de rechazo.
x c para poder definir una regla de decisión
Como dato contamos con 2 puntos de las curvas de Potencia o Característica Operativa,
que nos permitirán plantear las 2 ecuaciones de donde poder despejar las 2 incógnitas:
P ( Implementar la modificación \ µ=580 ) = 0,05
P ( Implementar la modificación \ µ=522 ) = 0,90
Debido a que se trata de una decisión que implica una inversión, tomamos una posición
pesimista.
El siguiente paso es determinar sobre que µ debo plantear la hipótesis.
Una regla bastante general, nos indica que en problemas de diseño, cuando el planteo es
pesimista debe tomarse la ‘peor’ media. En cambio, cuando el criterio adoptado es
optimista, la hipótesis debe plantearse con la ‘mejor’ media. En este caso, como el
planteo es pesimista debe tomarse la peor media, o sea µ=580 ya que se trata de un
consumo.
Otra forma de determinar con que media se debe plantear la hipótesis es observar los
significados de las probabilidades asociadas a cada media. Si la µ=522 quiero
implementar las modificaciones con una probabilidad de 90%, digamos que en este caso
tenemos una posición optimista. En cambio, si miramos la µ=580, la probabilidad de
realizar la implementación es solo del 5%. Tenemos en este último caso una visión
pesimista del problema. Adoptamos la µ=580 ya que es la que corresponde con una
visión pesimista que es la que elegimos para realizar este problema.
H 0 ) µ ≥ 580
vs
H 1 ) µ < 580
La condición de Rechazo y Regla de decisión serán:
Si
x≤xc Rechazo la Ho Implemento el cambio
Por otro lado tenemos las probabilidades del enunciado:
P ( Implementar la modificación \ µ=580 ) = 0,05
P ( Implementar la modificación \ µ=522 ) = 0,90
Que ahora que tenemos planteada la Ho podemos decir que:
P ( Rechazar Ho \ µ0 = 580 ) = π( µ=580 ) = 0,05 = α
P ( Rechazar Ho \ µ1 = 522 ) = π( µ=522 ) = 0,90
Gráficamente:
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EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA
α = 5%
xc
µo = 580
π(µ1=522) =0,90
µ1 = 522
xc
A partir de estos datos, podemos plantear las siguientes ecuaciones:






X
−
580
 = 0,05
α = π ( µ = 580) = Φ c

72 




n 







X c − 522 


(
522
)
π
µ
=
=
Φ
= 0,90


72 




n 

Que pueden ser expresadas como:

 X c = 580 + z (0,05).

 X c = 522 + z (0,90).

72
n
72
n
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos:
n = 14
x c = 548,3
Estos valores también pueden obtenerse a través de las siguientes expresiones:
2
2
 Z (1 − α ) + z (1 − β )   Z (0,95) + z (0,90)

n = 
.σ  = 
.72  = 13,2 ⇒ n = 14
580 − 522
µ 0 − µ1


 
72
X c = 580 − 1,6449.
= 548,3
14
La condición de Rechazo y Regla de decisión serán:
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EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA
Si
x ≤ x c=548,3 lt Rechazo la Ho Implemento el cambio
b)
P ( Implementar la modificación \ µ=551 )
P ( Rechazar Ho \ µ1 = 551 ) = π( µ=551 )




548
,
3
−
551
 = Φ(− 0,14) = 44%
π ( µ = 551) = Φ


72


14


c)
La curva de potencia queda representada por:
π( µ=580 ) = P ( Rechazar Ho \ µ )
µ1




548,3 − µ1 

π ( µ1 ) = Φ


72


14 

500
510
530
540
550
560
570
580
590
600
0.9940
0.9767
0.8292
0.6669
0.4648
0.2716
0.1297
0.0497
0.0151
0.0036
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Curva de Potencia
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
480
500
520
540
560
580
600
620
µ1
Nota:
Podríamos haber planteado el ejercicio de otra manera:
Cuando analizamos las dos probabilidades que nos dan en el enunciado, elegimos
plantear el problema de modo pesimista, pero perfectamente, podríamos haber planteado
el problema en su versión optimista, utilizando la media µ=522. Esto sería:
H 0 ) µ ≤ 522
vs
H 1 ) µ > 522
La condición de Rechazo y regla de decisión serían:
Si
x≥xc Rechazo la Ho No implemento el cambio
En este caso las probabilidades nos hubieran quedado planteadas de la siguiente
manera:
P ( Implementar la modificación \ µ=580 ) = 0,05
P ( Implementar la modificación \ µ=522 ) = 0,90
Que ahora que tenemos planteada la Ho podemos decir que:
P ( NO Rechazar Ho \ µ1 = 580 ) = β( µ=580 ) = 0,05
P ( NO Rechazar Ho \ µ0 = 522 ) = β( µ=522 ) = 0,90 = 1-α
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EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA
α = 5%
µ1 = 522
xc
β(µ=580) = 5%
xc
µo = 580
Las ecuaciones para este planteo son exactamente las mismas que las ecuaciones para
resolver el planteo pesimista que hicimos inicialmente, y por lo tanto nos darán los
mismos resultados.
n = 14
x c = 548,3
La condición de Rechazo y Regla de decisión nos quedará:
Si
x ≥ x c=548,3 Rechazo la Ho No implemento el cambio
Si comparamos, lo que queda expresado en esta regla es totalmente equivalente con lo
expresado en el planteo pesimista.
En el caso de la probabilidad del punto b) también nos queda el mismo resultado:
P ( Implementar la modificación \ µ=551 )
P ( NO Rechazar Ho \ µ1 = 551 ) = β( µ=551 )




548
,
3
−
551
 = Φ(− 0,14) = 0,44
β ( µ = 551) = Φ


72


14


La única diferencia en este caso es que la probabilidad que quedaba representada por π,
pasa a estar representada por β.
En cuanto a la curva de potencia si podemos decir que sufre cambios considerables:
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µ1




548,3 − µ1 

π ( µ1 ) = 1 − Φ


72


14 

500
510
530
540
550
560
570
580
590
600
0.0060
0.0233
0.1708
0.3331
0.5352
0.7284
0.8703
0.9503
0.9849
0.9964
Curva de Potencia
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
480
500
520
540
560
580
600
620
µ1
Si bien la curva de potencia nos queda inversa a la curva realizada con el planteo
pesimista esto no debe preocuparnos, ya que en realidad, lo que realmente debe
importarnos es lo que representan dichas probabilidades.
Por ejemplo, podemos ver que bajo la hipótesis Ho) µ≥522, π(µ=560)=0,7284 representa
la probabilidad de NO implementar cambio. Este es exactamente el mismo significado que
β(µ=560) bajo la Ho) µ≤580
Ejercicios Propuestos
1) Una máquina llenadora de latas de café dosifica cantidades variables con
distribución Normal de desvío estándar 15 gramos. A intervalos regulares se toman
muestras de 10 envases con el fin de estimar la dosificación media. Una de estas
muestras arrojó una media de 246 gramos. a) Calcular los límites de confianza para la
dosificación media con un 10% de riesgo. b) ¿Cuántos envases más habría que pesar
para poder obtener una estimación cuyo error de muestreo fuera 5 gramos?
RTA: a) 246 ± 7,8 b) 15 envases mas.
2) Una empresa dedicada a la fabricación de envases de vidrio, cuenta con un plantel
numeroso de operarios, y desea estimar el tiempo medio de tardanza de los mismos. El
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EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA
estudio se realizará sobre la base de las tarjetas horarias, estableciendo que: a) El
máximo error muestral admitido debe ser de 2 minutos; b) el nivel de confianza del 99%;
c) el desvío estándar poblacional es de 5 minutos, conocido por ensayos anteriores. a)
Calcular el tamaño adecuado de muestra. b) Se toma la muestra y se obtiene que la
tardanza media es de 15 minutos. Calcular los límites de confianza.
RTA: a) 42 b) 15 ± 2.
3) En una fábrica de materiales eléctricos se desea estimar el peso promedio del
último lote de rollos de alambre de cobre salido de producción. Para ello se eligió al azar
una muestra de 20 que arrojó un promedio de 38 kg. Se conoce además, de registros
históricos, el desvío poblacional, que vale 4,2 kg. a) Estimar el peso medio de los rollos
con un 95% de confianza. b) ¿Cuántos rollos más habría que pesar para poder obtener
una estimación cuyo error de muestreo fuera 1 kg?
RTA: a) 38 ± 1,84 b) 48 rollos mas.
4) Una carpintería de Capital Federal recibe periódicamente grandes partidas de
madera de cedro procedentes de un aserradero de Salta. Una partida se considera
aceptable si la longitud media de sus tablas es mayor o igual que 4m. Al examinar una
muestra de 5 tablas de una partida recién recibida, se obtuvieron los siguientes resultados
en metros: 3,8 - 3,74 - 3,98 - 4,1 - 3,9. Se sabe además que la longitud de las tablas se
distribuye Normalmente con un desvío estándar de 0,15m. a) ¿Considera Ud. aceptable
esta partida si se establece en 5% la probabilidad de rechazarla indebidamente? Calcule
el nivel de significación “a posteriori”. Justifique conceptualmente el planteo optimista de
la hipótesis. b) ¿Cuál sería la probabilidad de aceptar una partida cuya longitud media
fuera de 3,85m? c) Dibujar las curvas característica operativa y de potencia. d) ¿Cuántas
tablas habría que medir de cada partida para que dicha probabilidad anterior valga 0,1?
RTA: a) Si, es aceptable. α*=0,076 b) 0,277 d) 9
5) Un cliente recibe habitualmente una partida de medidores eléctricos que, según las
especificaciones del contrato, el promedio de las pérdidas debe ser menor o igual a 1
watt. Una muestra de 10 medidores, de una partida recién recibida, arroja una pérdida
media de 1,06 watts. Se sabe además, por experiencia anterior, que las pérdidas se
distribuyen Normalmente con un desvío de 0,1 watts. a) Asumiendo en un 10% la
probabilidad de rechazarla indebidamente, ¿puede aceptarse la misma? Calcule el nivel
de significación “a posteriori”. b) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar una partida cuya
pérdida media sea de 1,05 watts? c) ¿Cuál debería ser el tamaño de muestra si se
pretende que dicha probabilidad valga 10%?
RTA: a) No. α*=0,029 b) 0,38 c)27 Medidores.
6) En una curtiembre, el consumo diario de uno de los productos químicos principales
es variable con una media de 580 lt y desvío estándar de 72 lt. El Jefe de Producción ha
propuesto una modificación en una de las etapas del proceso, que implicará mayores
costos, pero que se justificaría si se lograra una disminución del 10% en el consumo
medio. Si así ocurriera, se desea un 90% de probabilidad de implementarla, pero si no se
obtuviera resultado alguno, el riesgo se establece en un 5%. a) Indique la hipótesis nula
apropiada a esta situación, calcule el tamaño de la muestra a tomar, indique la condición
de rechazo y la regla de decisión correspondiente. b) Calcule la probabilidad de
implementar la modificación si con ella se obtiene una disminución del 5% en el consumo
medio y dibuje la curva de potencia del ensayo, marcando claramente los valores
numéricos de abscisa y ordenada de 3 puntos al menos. c) Si se decidiera hacer el
ensayo de hipótesis dos veces, cada una con una muestra de n días, y el consumo
hubiera disminuido en un 5%, ¿cuál sería la probabilidad de que ninguna de las muestras
lo detecte?
RTA: a) Ho) µ ≥ µ0 = 580 ; n=14; CR: Si x ≤ x c=548,3 se rechaza la Ho y se implanta la
modificación b) 0,436 c) 0,32
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EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA
7) La resistencia a la rotura de cierto tipo de alambre tiene distribución Normal con
media 280kg y desvío estándar 20kg. Se cree que un proceso de fabricación recién
desarrollado puede aumentar la resistencia sin modificar el desvío estándar, pero sólo se
lo implantará si se tiene una razonable seguridad de que efectivamente es así. Se ha
establecido en un 5% la probabilidad de implantar el nuevo método cuando en realidad la
resistencia no se modifica, y en un 15% la probabilidad de no implantarlo si se incrementa
en 10kg. a) Establezca la hipótesis nula, la condición de rechazo y la regla de decisión. b)
¿Cuál es la probabilidad de implantar el nuevo método si la resistencia media aumenta en
5kg?
RTA: a) Ho) µ ≤ µ0 = 280 ; CR: Si x ≥ x c=286 se rechaza la Ho y se implanta el nuevo
proceso b) 0,38
8) Una compañía debe diseñar un sistema de muestreo periódico para controlar la
recepción de grandes partidas de un producto. El proveedor desea tener la seguridad de
que le rechacen a lo sumo el 5% de las partidas buenas, que son aquellas que cumplen
con la especificación de que la resistencia media mínima es de 1250kg. A su vez, el
cliente desea rechazar al menos el 90% de las partidas malas, que son aquellas cuya
resistencia media es inferior a 1100kg. Ambos firman un contrato en el cual constan las
condiciones anteriores y se establece que la decisión de rechazar o aceptar una partida
se tomará en función del resultado de una muestra de n unidades elegidas al azar de la
misma. Existen registros históricos por los cuales se sabe que el desvío de la resistencia
a la rotura es de 180kg. a) Indicar la hipótesis nula apropiada, su condición de rechazo y
la regla de decisión. b) Calcular la probabilidad de detectar que una partida dada resiste
en promedio 1200 kg.
RTA: a) Ho) µ≥ µ0 = 1250 ; CR: Si x ≤ x c=1168 se rechaza la Ho y se rechaza la partida
b) 0,261
9) El control de recepción de las partidas de hilado que llegan a una tejeduría se
efectúa a través de una muestra de 10 ovillos midiéndose en cada uno la resistencia del
hilado, cuyo valor medio para toda la partida debe ser de 25kg por lo menos. El proveedor
acepta un riesgo máximo del 5% de recibir de vuelta una partida buena y el comprador, a
su vez, desea rechazar el 99% por lo menos de las partidas malas. Se sabe que la
resistencia a la rotura de este hilado es una variable Normal con un desvío de 2,2kg. a)
¿Cuál es la resistencia media muestral mínima para aceptar una partida? b) ¿Cuál es la
resistencia media poblacional de las partidas consideradas malas por el comprador? c)
Dibujar la curva que describe las probabilidades de detectar partidas malas.
RTA: a) 23,86 b) 22,2
10) Las piezas producidas por dos máquinas herramienta se encuentran en el
almacén de un taller metalúrgico. La dimensión principal de una de estas piezas es una
variable aleatoria Normal con parámetros µ1=10,15mm y σ1=0,05mm para la máquina 1 y
µ2=10,20mm y σ2=0,04mm para la máquina 2. Se ha recibido un pedido y se preparó con
todas piezas producidas por la misma máquina, perdiéndose el dato de qué máquina era.
Para recuperar esa información, se decide realizar un ensayo de hipótesis sobre la
dimensión de las piezas del pedido preparado, basado en la dimensión media de las
piezas de una muestra. Diseñe el ensayo de tal manera que la probabilidad de decidir que
las piezas son de una máquina cuando en realidad no lo son es la misma para ambas
máquinas. Formule las hipótesis y establezca la regla de decisión. Demuestre que el
2
tamaño de muestra está dado por la siguiente expresión: [(Z1-ασ1+Z1-βσ2)/(µ1-µ2)] y
calcúlelo para que el error de concluir erróneamente sobre el origen de las piezas valga
1%.
RTA: a) Ho) µ ≤ 10,15 ; n=18
Mariano Bonoli
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EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA
11) Considere la siguiente situación. Ud. recibe una caja con 10 unidades de una
pieza y desea ensayar la hipótesis: [Ho) Las 10 piezas son buenas], extrayendo una única
unidad de la caja. La condición de rechazo, obvia, es que la pieza extraída sea
defectuosa. Si la pieza extraída es buena, Ud. no puede rechazar la hipótesis, pero en
modo alguno puede aceptarla ¿verdad? Calcule la probabilidad de cometer error de tipo II
(ß) para las alternativas de que haya 1, 2, ..., R piezas defectuosas en la caja. Este es un
caso sencillo para ilustrar los conceptos básicos del tema de ensayo de hipótesis; en el
Capítulo 9 veremos una teoría general para tratar problemas de cajas o poblaciones
finitas.
RTA: 1-R/10
12) Los rodamientos a bolilla tienen duración variable con la siguiente función de
distribución derecha de Weibull:
G ( x) = e
 x 
 β
b
donde b=1,2 para estas piezas y ß=1/λ es un parámetro de escala que depende de la
aleación y de las condiciones de carga del rodamiento. Se considera la posibilidad de
utilizar una nueva aleación que supuestamente dará mejores resultados que la actual y se
desea diseñar un ensayo de prueba. Dado que la distribución de la variable no es Normal,
no se considera en este caso prudente utilizar los procedimientos canónicos de la
Inferencia Estadística. El parámetro que se desea incrementar es ß y se desea tener una
razonable seguridad de que con la nueva aleación, será superior a 4,3 (millones de
revoluciones), a efectos de lo cual se hará una prueba con 10 rodamientos y si todos
superan la duración crítica Dc, se adoptará definitivamente la aleación; se establece en
0,01 la probabilidad de tomar dicha decisión, cuando ß=4,3. Calcule el valor de Dc y la
probabilidad de tomar la decisión correcta cuando ß=5.
Mariano Bonoli
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