Ecuaciones de transporte en la propagación de discontinuidades de

Ecuaciones de transporte en la
propagación de discontinuidades
de la Física Cuántica Relativista
TRABAJO ACADÉMICAMENTE DIRIGIDO
Autor:
Jesús Rubio Jiménez
Director:
Dr. Alfredo Luis Aina
DEPARTAMENTO DE ÓPTICA
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
Julio de 2013
Índice
1. Introducción ...................................................................................................................................1
2. Propagación de discontinuidades de la función de onda cuántica.............................................3
2.1. Descripción del problema. Fundamentos matemáticos............................................................3
2.2. Propagación en presencia de un campo electromagnético........................................................4
2.3. Reformulación del problema en términos de la aproximación eikonal....................................6
3. Ecuaciones de transporte.............................................................................................................11
3.1. Base geométrica del transporte...............................................................................................11
3.2. Resolución del problema de autovalores y autovectores........................................................12
3.3. Construcción de la ecuación de transporte.............................................................................14
3.4. Aproximación eikonal para la ecuación de Dirac a segundo orden........................................20
5. Conclusiones..................................................................................................................................23
6. Agradecimientos...........................................................................................................................25
7. Referencias....................................................................................................................................27
1. Introducción
En óptica es bien conocida la estrecha relación existente entre su versión electromagnética y
su formalismo geométrico. En efecto, para muchos efectos prácticos la propagación de la luz se
puede describir en términos de trayectorias para la luz o rayos. Existe, asimismo, un formulación
más radical de esta relación: la óptica geométrica es la forma exacta en la que se propagan las
discontinuidades del campo, independientemente del tamaño de la longitud de onda.
Es posible trasladar análogamente este problema a la relación entre la física cuántica y la
clásica. Así, los métodos de aproximación semiclásica que surgieron casi desde el inicio de la teoría
cuántica, y que tuvieron un gran desarrollo en la segunda mitad del siglo pasado, permiten recuperar
los resultados clásicos aplicando a la versión cuántica la aproximación WKB. En particular, es
posible asociar la ecuación de Hamilton – Jacobi de la mecánica teórica clásica a la ecuación de
ondas cuántica, considerando que la constante de Plank reducida tiende a cero. Y de nuevo, como
en el caso de la óptica, la formulación alternativa es posible: la propagación de discontinuidades de
la función de onda cuántica se produce, de forma exacta, a través de un conjunto de trayectorias
clásicas determinadas por la ecuación de Hamilton – Jacobi. Este último resultado ha sido obtenido
recientemente, en la década pasada.
Centrando nuestra atención en el estudio de la discontinuidad del campo, y una vez
obtenidas las trayectorias que describen su propagación, surge de forma natural la siguiente
pregunta: ¿cómo se propaga explícitamente a lo largo de dichas trayectorias la función vectorial de
ondas definida sobre la discontinuidad? En el caso electromagnético se conoce bien la respuesta, no
siendo así para el caso cuántico. El objetivo central de este trabajo consistirá en tratar lo más
ampliamente posible esta cuestión.
Aunque la meta final será construir las ecuaciones vectoriales de transporte que reproduzcan
el comportamiento de esta situación física, por completitud comenzaremos calculando la ecuación
de las trayectorias de la propagación de la discontinuidad. Para ello, nuestro punto de partida será la
ecuación de la física cuántica relativista, es decir, la ecuación de Dirac. Consideraremos pues que
tenemos una partícula cuántica de espín 1/2 en el seno de un campo electromagnético, y por tanto,
el hamiltoniano incluirá el potencial escalar y el potencial vector. El motivo para tratar con estos
potenciales radica en el hecho de que, además de calcular el transporte de los espinores de Dirac,
estamos interesados en saber qué sucede con el espín en este contexto, y nuestra intuición cuántica
parece sugerir que para verlo será conveniente introducir esta interacción. Tomando esta base
conceptual, la construcción de dichas ecuaciones será llevada a cabo en la sección 3.
Cabe mencionar que el estudio propuesto se planteará desde los dos puntos de vista
anteriormente mencionados, a saber: se pretende entender el transporte tanto partiendo de una
aproximación de tipo eikonal como deduciéndolo de forma exacta para cualquier valor de la
constante de Planck reducida. A lo largo del texto tendremos la oportunidad de comparar ambos
enfoques.
En cuanto a los criterios empleados, se utilizará el convenio de sumación de Einstein para
índices repetidos, y respecto a las unidades, adoptamos las del sistema internacional.
1
2. Propagación de discontinuidades de la función de onda cuántica
Examinamos en esta sección la naturaleza de la física de discontinuidades con el fin de
obtener las trayectorias que definen su propagación, y se analizarán algunas consecuencias
relevantes de las mismas.
2.1. Descripción del problema. Fundamentos matemáticos
η
Consideremos una función de onda espinorial ψ(x ) que evoluciona en un volumen
η
cuadrimensional Γ , siendo x =t , x , y , z las componentes de un sistema cartesiano de
coordenadas espacio-temporales. En la mayor parte de los casos de interés en óptica lineal y en
mecánica cuántica relativista, dicha evolución vendrá dada por la solución de un sistema lineal de
ecuaciones en derivadas parciales:
∂ [ M μ ν (x η)ψ ( x η)]=0
γ
ν
,
∂ xμ
(2.1.1)
de manera que todos los índices toman valores de 0 a 3.
Supongamos ahora que existe una discontinuidad en el volumen tomado, definida mediante
η
la hipersuperficie S ( x )=0 . Las ecuaciones de (2.1.1) nos imponen condiciones para las
η
componentes ψν ( x ) en cada punto en el que son continuas, pero no dan información sobre lo
que sucede en la frontera de la discontinuidad. Podemos, no obstante, superar esta dificultad si
integramos la expresión sobre Γ , usando posteriormente el teorema de la divergencia:
∫Γ d Γ ∂∂x μ [M μj ν ( x η) ψν ( x η)]=∫σ d σμ M μγν ( x η) ψ ν (x η )=0
,
(2.1.2)
donde d Γ=dx dy dz dt es el elemento diferencial del cuadrivolumen y d σμ son las
η
componentes cartesianas del elemento de superficie normal a S ( x ) . Así, la ecuación (2.1.2) es
más general que (2.1.1), ya que puede emplearse incluso cuando hay discontinuidades. En ese caso,
aplicándola a ambos lados de la superficie que divide Γ en Γ1 +Γ 2 (véase la Figura 1), se llega
a:
∂ S ( x η) μ ν η
M γ (x )[ψν ( xμ )]=0 ,
μ
∂x
(2.1.3)
η
que establece las condiciones de la discontinuidad de la función espinorial ψ( x ) , tomando la
η
η
η
μν
η
definición [ψ( x )]≡ψ1 ( x )−ψ2 (x ) . Se asume que las funciones M γ ( x ) son continuas en
S ( x η) .
3
S (x η)=0
Γ2
Γ1
Γ
Figura 1: Diagrama de la discontinuidad en el sistema físico.
2.2. Propagación en presencia de un campo electromagnético
Una vez establecida la base matemática, pasemos a tratar el problema concreto que nos
interesa. Partimos de la ecuación de Dirac porque, tal y como puede observarse en el formalismo
que acabamos de describir, necesitamos trabajar con una ecuación en derivadas parciales a primer
orden. Por tanto, para una partícula de espín 1/2, relativista y en presencia de un campo
electromagnético descrito por los potenciales vector A( x) y escalar Φ( x ) , la ecuación de
evolución será:
[ (
]
)
∂ ψ( x ,t )
e
c α⋅ −i ℏ ∇ − A( x ) + m c 2 β+e Φ ( x) ψ( x , t)=i ℏ
,
c
∂t
(2.2.1)
donde α es un vector tridimensional de matrices constantes α j de cuatro dimensiones que,
junto con las matrices β (también constantes), satisfacen la relación:
(c α ⋅p+m c 2 β)2=c 2 p 2+m 2 c 4 ,
(2.2.2)
para cualquier trivector p . Además, el potencial vector sigue la regla del acoplo mínimo.
Obsérvese que, sin pérdida de generalidad en las conclusiones que obtendremos más
adelante, estamos considerando que la radiación electromagnética que interacciona con la partícula
cuántica se describe de forma clásica, motivo por el que será útil para los cálculos posteriores elegir
el gauge de Coulomb, ∇⋅A( x )=0 . Asumimos también que los campos eléctrico y magnético no
dependen del tiempo. No se establece, sin embargo, ninguna restricción para su intensidad.
Restringimos a continuación nuestro estudio al caso en el que las funciones de onda tienen
una forma armónica para la dependencia temporal:
−
ψ( x , t)=θ ( x ) e
iEt
ℏ
,
(2.2.3)
siendo E constante. En consecuencia, se cumplirá:
ψ(x ,t )=
i ℏ ∂ ψ( x , t)
,
E
∂t
4
(2.2.4)
condición que nos permite expresar (2.2.1) en la forma de (2.1.1):
[ (
c α⋅ ∇ +
]
)
e
1
A( x) ∂ − (m c 2 β+ e Φ ( x)−E ) ∂ ψ(x ,t )=0 .
cE
∂t
E
∂t
(2.2.5)
Si ahora utilizamos (2.1.3), las condiciones para la discontinuidad quedan recogidas en el
sistema:
[ (
c α⋅ ∇ S ( x , t)+
]
)
∂ S ( x , t) 1
∂ S ( x , t)
e
A( x )
− (m c 2 β+e Φ( x)− E)
[ψ ( x , t )]=0 , (2.2.6)
cE
∂t
E
∂t
que es la ecuación clásica de Hamilton – Jacobi puesta en forma vectorial para la hipersuperficie
S ( x , t) .
Puesto que nuestro hamiltoniano original sólo dependía de las coordenadas espaciales, es
posible utilizar el método de separación de variables mediante la forma S ( x , t)=W ( x)−E t . En
ese caso, la ecuación anterior se transforma en:
[ (
]
)
e
c α⋅ ∇ W ( x)− A(x ) +(m c 2 β+e Φ( x)−E) [ψ (x , t)]=0 ,
c
(2.2.7)
y recoge la información dinámica de la física de la discontinuidad. Efectivamente, si la función de
onda espinorial es discontinua, entonces [ψ (x , t)]≠0 , y en consecuencia la matriz que
multiplica al espinor de discontinuidad es singular. Teniendo en cuenta este hecho, pasando la
energía y el potencial eléctrico al lado derecho de (2.2.7) y elevando al cuadrado, se tiene que:
[ (
]
)
2
e
c α⋅ ∇ W ( x)− A(x ) + m c 2 β =(E−e Φ ( x ))2 ,
c
(2.2.8)
Por último, aplicamos (2.2.2), despejamos la energía E y tomamos la raíz positiva:
√
(
)
2
e
E= c 2 ∇ W ( x)− A(x ) +m 2 c 4 +e Φ( x) ,
c
(2.2.9)
obteniendo de este modo el hamiltoniano de la electrodinámica clásica relativista, previa
interpretación del gradiente de la superficie tridimensional ∇ W ( x ) como el momento lineal
asociado a la dinámica de la discontinuidad. Si a su vez definimos el momento mínimante acoplado
con el potencial vector como:
e
π ( x )≡∇ W (x )− A( x) ,
c
(2.2.10)
la ecuación de Hamilton – Jacobi de (2.2.9) adquiere una expresión especialmente compacta:
5
E=√ c 2 ( π( x))2+ m2 c 4 +e Φ( x) .
(2.2.11)
En consecuencia, hemos demostrado mediante (2.2.7) y (2.2.9) que las discontinuidades de
la función de onda cuántica se propagan siguiendo las trayectorias de la mecánica clásica de forma
exacta, pues no se ha introducido ninguna aproximación.
Nótese que este mismo resultado puede deducirse de forma totalmente análoga en el caso en
el que tengamos una entidad cuántica y relativista de espín 1/2 en el seno de un campo escalar
cualquiera V ( x) , situación en la que las trayectorias clásicas vendrían dadas por:
[ c α⋅∇ W ( x )+( m c2 β+V ( x )−E )] [ψ( x , t)]=0
y
E=√ c 2 ( ∇ W (x ))2+ m2 c 4 +V ( x) .
(2.2.12)
(2.2.13)
Queda claro, por tanto, que la relación exacta entre la física cuántica y la física clásica para
la discontinuidad es independiente de la introducción de un campo electromagnético como tal.1
De ahora en adelante, salvo que se indique lo contrario supondremos que la solución para las
trayectorias clásicas x (s) existe, está determinada por las ecuaciones deducidas en este apartado
y es conocida, siendo s el parámetro de arco tridimensional.
2.3. Reformulación del problema en términos de la aproximación eikonal
Aunque hemos llegado a un resultado exacto que demuestra de forma inequívoca la
coexistencia de las teorías cuántica y clásica en aquellos sistemas que presentan discontinuidades,
sería deseable encontrar una explicación de carácter cualitativo que nos permitiera entender
intuitivamente por qué sucede eso. Veremos que es posible lograrlo si combinamos lo que hemos
visto hasta ahora con una Reformulación del problema de las discontinuidades en términos de la
aproximación eikonal.
Sea de nuevo el volumen Γ en el que evoluciona la función de onda espinorial, pero en
esta ocasión no existe, en principio, ninguna discontinuidad en su dominio de definición.
Supongamos que partimos del siguiente ansatz semiclásico2:
ψ(x ,t )=ϕ( x )e
i L(x )
ℏ
−
e
iEt
ℏ
=ϕ(x ) e
i S (x , t)
ℏ
,
(2.3.1)
donde S ( x , t)= L( x )−Et es la acción física del sistema. Obsérvese que a priori no se conoce el
significado de la fase espacial L( x) (será el propio cálculo el que nos indique cómo
interpretarlo). Por su parte, la condición armónica sigue cumpliéndose para la coordenada temporal.
Sabemos, asimismo, que ϕ( x) satisface el siguiente desarrollo en serie:
ϕ( x)=ϕ0 ( x)+ϕ1 ( x)ℏ+ϕ2 ( x)ℏ 2+... .
1
2
Una discusión más centrada en los resultados de (2.2.12) y (2.2.13) puede encontrarse en [1].
Véase, por ejemplo, [2].
6
(2.3.2)
Esta formulación equivale a dividir el problema en una parte lenta, ϕ( x) , y en otra parte
rápida de naturaleza exponencial, cuando aplicamos el límite clásico ℏ →0 . En ese caso, el
espinor lento puede aproximarse por ϕ( x)≈ϕ0 ( x )+ ϕ1 (x ) ℏ .
¿Qué significa físicamente este nuevo planteamiento? Podemos entenderlo por analogía con
el caso de la óptica ondulatoria cuando λ →0 . En efecto, si la constante de Planck reducida tiende
a cero los frentes de onda en todo el espacio tienden a comportarse como discontinuidades dada su
rápida variación espacial y temporal.
Es evidente que la naturaleza de este problema es esencialmente distinta al que presentamos
en el apartado 2.1, donde las discontinuidades que aparecían eran reales para todo ℏ y típicamente
limitadas a una superficie. Sin embargo, es de esperar que ambos casos presenten algunas
similitudes en la forma de su mecanismo de propagación, y del análisis de sus diferencias podrán
deducirse conclusiones que permitan entender mejor por qué cuando hay una discontinuidad en un
sistema cuántico, ésta se propaga siguiendo una dinámica clásica exacta.
Teniendo en mente las hipótesis de trabajo que acabamos de desarrollar, sustituyamos la
solución (2.3.1) en la ecuación de Dirac de (2.2.1):
[ −i ℏ c α⋅∇ +c α⋅∇ L( x)−e α⋅A( x)+(m c 2 β+e Φ( x)− E)] ϕ( x )=0
,
(2.3.3)
e introduzcamos el desarrollo en serie hasta primer orden para la parte lenta.
A orden cero, se obtiene que:
[ (
]
)
e
c α⋅ ∇ L ( x )− A( x) +(m c 2 β+ e Φ ( x )−E ) ϕ0 ( x)=0 ,
c
(2.3.4)
A orden uno, llegamos a:
−i ℏ c α⋅∇ ϕ0 ( x)+ [ c α⋅∇ L( x )−e α⋅A( x)+(m c 2 β+e Φ( x)− E) ] ϕ1( x ) ℏ=0 .
(2.3.5)
En el contexto de la aproximación eikonal no disponemos de ningún argumento que nos
permita resolver esta ecuación en general. Por ese motivo, y fijándonos en la forma que tiene
(2.3.4), probamos la solución particular siguiente:
α ⋅∇ ϕ0 ( x)=0 y
[ (
(2.3.6)
]
)
e
c α⋅ ∇ L ( x )− A( x) +(m c 2 β+e Φ (x )−E ) ϕ1 ( x)=0 .
c
(2.3.7)
Analicemos estos resultados. Para empezar, tanto (2.3.5) como (2.3.7) reproducen la
ecuación vectorial de Hamilton – Jacobi a órdenes cero y uno, respectivamente. Ya vimos que la
discontinuidad matemática implicaba esta misma ecuación en el caso exacto, y por tanto, las
discontinuidades que ha generado el límite ℏ →0 y que se propagan clásicamente lo hacen con el
vector tangente ∇ L( x) , en el mismo sentido en el que en el caso exacto se propagaban con
∇ W ( x ) . Por tanto, las soluciones para la acción física y fase S ( x , t) del ansatz de (2.3.1) se
7
corresponden con los frentes de ondas de la aproximación eikonal.
Podemos concluir entonces que el carácter clásico se reproduce correctamente tanto en el
cálculo exacto como en la aproximación. Ahora bien, en este último caso aparece una condición
extra en (2.3.6) que permite establecer una distinción fundamental entre ambas formulaciones.
Extraigamos las implicaciones de ese resultado.
Si tenemos en cuenta que en la representación estándar3 las matrices α son:
(
α= 0 σ
σ 0
)
,
(2.3.8)
que el operador de espín se define como S=(ℏ /2)σ , y si dividimos el espinor ϕ0 ( x) en dos
biespinores:
( )
ϕ0 ( x)=
η0 ( x )
ξ0( x )
,
(2.3.9)
la expresión (2.3.6) se transforma en:
(
0
S⋅∇
S⋅∇
0
)(
)
η 0( x )
=0 ,
ξ0 ( x)
(2.3.10)
y entonces:
S⋅∇ η0 ( x )=0 y S⋅∇ ξ 0 (x )=0 ,
(2.3.11)
que establecen una relación de ortogonalidad entre el espín y el momento cuántico de la partícula
para cada biespinor lento.
¿Por qué no se ha encontrado nada parecido en la propagación de discontinuidades del
apartado anterior? Es posible responder a esa cuestión acudiendo de nuevo a (2.3.6) y
reintroduciendo el ansatz original, pero despejando la parte lenta:
ϕ( x)=ψ( x ,t )e
−i S (x ,t )
ℏ
,
(2.3.12)
de forma que las condiciones (2.3.11) serán equivalentes a la expresión:
−i ℏ α⋅∇ ψ0 ( x , t)=α⋅∇ L( x ) ψ0 ( x , t) .
(2.3.13)
Ese resultado es la clave que permite plantear un mapa conceptual completo de las
ecuaciones que definen propagación de discontinuidades. Nótese que (2.3.13) realiza una
identificación directa entre el momento físico de la partícula y el vector normal a los frentes de onda
de las discontinuidades generadas por el límite clásico, a orden cero de la función espinorial. Esta
3
Se toma por convenio la representación empleada en el estudio de [3].
8
igualdad establece una condición para la descripción con conceptos propios de la física clásica de
un sistema que originalmente era cuántico, o dicho de otro modo, hemos encontrado una ecuación
de paso entre la teoría cuántica y la teoría clásica.
No es casualidad que precisamente se satisfaga para orden cero. ¿Qué pasaría si en lugar de
aplicar el proceso de límite ℏ →0 estableciéramos de forma abrupta que ℏ=0 4? Esto es, ¿qué
sucedería si en lugar de ser una aproximación obligáramos al sistema eikonal a ser exactamente
clásico? En ese caso, el término de las derivadas en la ecuación (2.3.3) se anularía, y entonces la
única solución del problema sería la ecuación vectorial de Hamilton – Jacobi a orden cero para la
propagación de los frentes de onda. Eso es precisamente lo que sucedía en el caso exacto: como la
discontinuidad es exactamente clásica, todo comportamiento cuántico desaparece en el cálculo
final. Por eso no encontramos ninguna condición para el espín análoga a la de (2.3.11) cuando
trabajábamos con la discontinuidad [ψ( x , t)] , ya que proviene de resolver términos en primera
potencial de ℏ .
La aproximación eikonal ha cumplido, en consecuencia, su objetivo original: hemos podido
comprender mejor y extraer una imagen intuitiva sobre el comportamiento de las discontinuidades
en física cuántica.
Es necesario, no obstante, realizar una aclaración sobre este punto. Mediante este análisis se
ha podido comprobar que cuando trabajamos con una discontinuidad que se propaga clásicamente ,
las propiedades cuánticas desaparecen al obtener las ecuaciones que resuelven las trayectorias. Pero
no hemos de olvidar que el sistema con el que estamos trabajando sigue siendo cuántico. Esto
significa, en particular, que el espín sigue estando presente, y que podría aparecer de todos modos
cuando calculemos el transporte de la función de ondas. Lo único que se ha visto aquí es que el
espín no interviene en el cálculo de las trayectorias.
4
Se entiende que este supuesto se introduce una vez que nos hemos quedado con la ecuación de Dirac para la parte
lenta de la función de ondas, es decir, que la exponencial ya no aparece en nuestra expresión. De no ser así, este
razonamiento semicualitativo no sería aplicable.
9
3. Ecuaciones de transporte
Tras haber analizado la propagación de discontinuidades en física cuántica, estamos ya en
disposición de calcular el transporte de la función de onda a lo largo de las trayectorias definidas
según el hamiltoniano clásico de (2.2.9).
3.1. Base geométrica del transporte
Para introducir el concepto de ecuación de transporte, nos interesa en primer lugar encontrar
la variación según el parámetro de arco tridimensional.
Sea una función escalar f (x ( s )) cualquiera. Usando la regla de la cadena:
d f ( x (s))
d x (s) ,
=∇ f ( x (s))⋅
ds
ds
(3.1.1)
donde d x (s)/ ds es el vector tangente a la trayectoria, que en el caso que nos ocupa es
∇ W (x ) , luego definimos un operador que diferencie una determinada función a lo largo del
camino que sigue el frente de discontinuidad:
∇ W ( x ( s))
d
≡
⋅∇ .
ds ∣ ∇ W ( x ( s))∣
(3.1.2)
Un caso particular que será de interés en los cálculos que vamos a realizar es considerar una
función escalar definida por g ( x (s))=A( x ( s))⋅B( x (s)) , donde A( x (s)) y B( x ( s)) son
funciones vectoriales de tres componentes. Conociendo la identidad del cálculo vectorial siguiente:
∇ ( A⋅B)=( A⋅∇ )B+(B⋅∇ ) A+ A×(∇ ×B)+ B×( ∇ ×A) ,
(3.1.3)
la variación con el parámetro de arco de g ( x ( s)) es:
d g ( x (s )) ∇ W (x ( s ))
=
[ ( A⋅∇ ) B+(B⋅∇ ) A+ A×(∇ ×B)+B×( ∇ ×A)] ( x ( s)) .5
ds
∣∇ W (x ( s ))∣
(3.1.4)
Por otra parte, sabemos que la coordenada temporal es físicamente continua (se introdujo
como parte del formalismo cuadrimensional de la discontinuidad simplemente por comodidad).
Entonces en la ecuación vectorial de Hamilton – Jacobi (2.2.7) es posible separar la parte armónica
del tiempo, así que en lugar de aplicar el operador (3.1.2) sobre [ψ ( x , t)] o ψ( x , t) , lo
haremos únicamente sobre su parte espacial, es decir, [θ (x )] o θ ( x) (notación de la definición
de (2.2.3) ), según estemos en la solución exacta o en el tratamiento asintótico, respectivamente.
En base a toda esta descripción geométrica, la ecuación de transporte que buscamos deberá
tener la siguiente forma:
5
El último paréntesis
(x ( s )) de esta expresión es la dependencia con las trayectorias del corchete anterior.
11
d [θ( x (s))]
≡ A1 ( x (s))[θ( x (s))]+ A2 ( x( s))[θ( x ( s))]+...+ An ( x (s))[θ (x ( s ))] ,
ds
(3.1.5)
con n un número finito de términos, y entendiendo An como amplitudes, en el sentido de que la
variación de las componentes de la función de onda espinorial se traduce en multiplicar a la propia
función por una serie de cantidades cuyo significado físico podremos determinar.
Una interpretación geométrica del problema que pretendemos resolver en esta sección, para
el caso exacto, se encuentra en la Figura 2. Se observa en la misma que diferenciar en función del
parámetro de arco puede entenderse como calcular el cambio que se produce en la función de onda
durante el desplazamiento de la discontinuidad en la dirección de ∇ W ( x (s)) .
W ( x (s ))
W (x ( s ' ))
[θ (x ( s))]
[θ (x (s ' ))]
Figura 2: Diagrama del problema de transporte para el caso exacto. Nótese que las funciones
[θ ] están definidas justo sobre la discontinuidad.
De nuevo, resulta conveniente aclarar la cuestión de la derivabilidad. Podría pensarse que no
es posible aplicar el operador (3.1.2) porque involucrará derivadas primeras del campo espinorial.
Sin embargo, el planteamiento físico del problema nos indica que no estamos derivando la función
en un punto discontinuo, sino que estamos tomando la discontinuidad en sí como una entidad que
depende del parámetro de arco s , y queremos ver cómo varía a lo largo de su recorrido dinámico.
3.2. Resolución del problema de autovalores y autovectores
Antes de poder derivar respecto a s , es necesario disponer de una expresión a la que
podamos aplicar el operador. En ese sentido vamos a construir el transporte a partir de la solución
para el problema de autovalores que constituye la ecuación vectorial de Hamilton – Jacobi deducida
anteriormente. Concretamente, excluyendo como ya dijimos la parte armónica de (2.2.7), se tiene:
[ c α⋅π (x )+(mc 2 β+e Φ( x )−E )] [θ (x )]=0
,
(3.2.1)
e
siendo π ( x )=∇ W ( x )− A( x) , y entendiendo que π ( x )=( π x ( x ), π y ( x ), π z ( x )) . Se asume
c
que x =x (s) de ahora en adelante.
12
Cuando se plantea este mismo problema para la ecuación de evolución en mecánica cuántica
relativista (sin discontinuidades), la solución arroja los ya conocidos espinores de Dirac, pero para
obtenerlos hay que tener en cuenta que estamos manejando operadores cuánticos (con derivadas).
Por el contrario, en el caso que nos ocupa, la ecuación clásica de (3.2.1) es totalmente algebraica, y
la vamos a resolver desde ese punto de vista.
Utilizando de nuevo la representación estándar:
(
α= 0
σ
σ
0
)
(
y β=
I 2x2
0
0 −I 2x2
)
,
(3.2.2)
y sabiendo que las matrices de Pauli se definen como:
( )
σ1 = 0 1
1 0
(
0 −i
, σ 2=
i 0
)
(
1 0
y σ 3=
0 −1
)
,
(3.2.3)
el problema de autovalores de (3.2.1) se expresa explícitamente como:
(
)( )
(mc2 +e Φ( x)−E)
0
c πz ( x )
c (π x ( x)−i π y (x ))
2
0
(mc +e Φ( x)−E) c (π x ( x )+i π y ( x))
−c π z
2
c π z ( x)
c (π x (x )−i π y (x )) (−mc + e Φ ( x )−E )
0
2
c (π x ( x)+i π y ( x ))
−c π z (x )
0
(−mc +e Φ( x)−E)
[θ( x)](1)
[θ( x)](2)
=0 . (3.2.4)
[θ( x)](3)
[θ( x)](4)
La solución de (3.2.4) arroja dos subespacios. Para el autovalor de energía negativa
E=−√ c 2 π2 ( x)+ c4 m2 + e Φ ( x ) , los dos autoespinores son:
[θ 3 ( x)]=N
(
−
c( π x ( x )−i π y ( x ))
M
c π z ( x)
M
0
1
) (
c πz ( x )
M
c(π x ( x )+i π y ( x))
y [θ 4 ( x)]=N −
M
1
0
−
)
,
(3.2.5)
donde M ≡mc2 +e Φ( x)−E es un escalar y N es la normalización.
Por su parte, el autovalor de energía positiva E=√ c 2 π 2( x )+c 4 m2+e Φ ( x) está asociado a
los siguientes autoespinores:
13
(
1
0
c π (x)
[θ 1 ( x )]= N
− z
M
c (π x ( x )+i π y (x ))
−
M
) (
0
1
c(π x ( x )−i π y ( x ))
y [θ 2 ( x)]= N −
M
c π z ( x)
M
)
.6
(3.2.6)
Para determinar una normalización adecuada, téngase en cuenta el siguiente argumento. Se
observa a simple vista que estos autoespinores de discontinuidad tienen una estructura formal
similar a la de los cuadriespinores de Dirac del cálculo cuántico tradicional del caso libre. Eso
significa que satisfarán un álgebra interno paralelo al que se puede estudiar en los cursos de teoría
cuántica de campos. Basándonos en esa analogía, consideramos la normalización:
N=
√
M
.
2mc 2
(3.2.7)
Que la función de onda en la discontinuidad refleje la estructura de la naturaleza cuántica de
la partícula, incluso cuando hemos resuelto el problema de autovalores de una ecuación clásica, es
un indicador bastante fiable de que los cálculos hasta este punto son coherentes. Es más, se recupera
el hamiltoniano clásico de la energía que ya dedujimos en el apartado 2.2 como uno de los
autovalores. Y si se aplica el límite no relativista c →∞ se anula uno de los biespinores y quedan
las proyecciones de espín arriba y espín abajo conocidas por Pauli.
Construir una ecuación de transporte sobre una solución que reproduce todos los resultados
esperables en el problema de la propagación de discontinuidades parece, pues, muy razonable.
3.3. Construcción de la ecuación de transporte
Restrinjamos el cálculo al caso de energías positivas. Cualquier espinor de este subespacio
puede expresarse en una base formada por los dos autoespinores correspondientes, de manera que:
[θ (x )]=C 1( x )[θ 1 ( x )]+C 2 ( x)[θ 2( x )] ,
(3.3.1)
donde C 1 ( x ) y C 2 ( x) serían las coordenadas del espinor en la base elegida, y en el caso más
general podrían depender de las trayectorias.
Sustituyendo la normalización, (3.3.1) queda:
6
(ν)
Nótese que [θ ( x )] son las componentes de un espinor, mientras que
del problema de autovalores.
14
[θ ν ( x )] son los cuatro autoespinores
( )( )
√
[θ (x )]=C 1( x )
−
−
M
2 m c2
0
c π z ( x)
√ 2mc M
c ( π x ( x )+i π y (x ))
+C 2 (x )
2
−
0
M
2 mc 2
c (π x ( x )−i π y (x ))
√
√ 2mc
.
(3.3.2)
2
M
c π z ( x)
√ 2 m c2 M
√ 2 m c2 M
Definimos a continuación los vectores:
Λ (3) ( x)≡(−C 2 ( x ) , iC 2 ( x ),−C 1 ( x )) y Λ (4) ( x)≡(−C 1( x ),−iC 1 (x ) , C 2 ( x)) .
(3.3.3)
Entonces, podemos expresar (3.3.2) de forma más compacta como sigue:
( )
√
√
M
2 m c2
M
C 2( x )
2 m c2
[θ ( x )]=
c Λ(3) (x )⋅π (x )
C 1 ( x)
.
(3.3.4)
√ 2 m c2 M
c Λ(4) (x )⋅π (x )
√ 2 m c2 M
Antes de derivar, es fundamental que entendamos la estructura del espinor construido en
(3.3.4). Para empezar, al desglosar el problema de autovalores, los efectos de las matrices de espín
α se han dispersado por algunas de las componentes de la matriz principal que multiplicaba a
[θ ( x )] en (3.2.1). Además, se han introducido dos grados de libertad extra mediante C 1 (x ) y
C 2 ( x) , y las cuatro componentes de la función de onda han quedado desacopladas.
¿Cómo podemos relacionar este nuevo esquema estructural con lo que sabemos de la
ecuación de Dirac? Situándonos nuevamente en la ecuación vectorial de Hamilton – Jacobi para la
parte espacial en (3.2.1), sustituyamos la representación estándar, y dividamos la función espinorial
en dos biespinores:
(
[θ (x )]=
[θ A ( x)]
[θ B ( x)]
)
.
(3.3.5)
En ese caso, el resultado que se obtiene es:
2
σ⋅π( x )[θ B ( x)]+(m c +e Φ ( x )−E )[θ A (x )]=0 y
15
(3.3.6)
σ⋅π ( x )[θ A ( x)]+(−m c 2+ e Φ ( x )−E )[θ B (x )]=0 .
(3.3.7)
A la vista de (3.3.6) y (3.3.7) ya se puede deducir una importante propiedad de (3.3.4).
Obsérvese que el resultado de aplicar las matrices α ha sido, en esencia, acoplar los dos
biespinores. Si al mismo tiempo sustituyéramos las correspondientes representaciones de las
matrices de Pauli, para cada biespinor se acoplarían sus dos componentes. Por otro lado, el espín
siempre está multiplicado escalarmente con el momento mínimo. En consecuencia, tanto el efecto
del espín como el del acoplo de las distintas componentes del espinor que hemos construido quedan
codificados en los vectores Λ (3) ( x) y Λ (4) ( x) anteriormente definidos, porque no sólo incluyen
componentes complejas (que vienen claramente de las matrices de Pauli), sino que además mezclan
de distintas formas los grados de libertad C 1 (x ) y C 2 ( x) . O expresado en términos físicos:
esos dos vectores constituyen la reorganización de las componentes del espín y expresan que las
cuatro componentes no son independientes.
Respecto a este último comentario, hay otra forma de ver que, efectivamente, las
componentes de (3.3.4) dependen unas de otras. De (3.3.6) y (3.3.7), se deduce que:
[θ B ( x)]=
c σ⋅π
[θ A ( x)] .
m c −e Φ (x )+ E
2
(3.3.8)
Esta relación nos está indicando que las componentes del biespinor inferior pueden
obtenerse multiplicando a las del biespinor superior por un término proporcional al producto escalar
del momento mínimo con la representación de Pauli del espín. Pero precisamente tenemos lo mismo
en (3.3.4): las dos componentes de abajo pueden obtenerse multiplicando a las de arriba por un
término proporcional al producto escalar de Λ (i ) (x ) con el momento mínimo π ( x ) .
Queda únicamente por explicar qué son realmente los dos grados de libertad C 1 (x ) y
C 2 ( x) . Fijándonos en el espinor que hemos construido en (3.3.4), al elegir estas dos funciones
indeterminadas lo que estamos haciendo es elegir el biespinor superior (porque el otro factor es
simplemente la normalización). Esto es exactamente lo mismo que sucede en (3.3.8), ecuación que
permite seleccionar el valor de las componentes de uno de los dos biespinores.
En resumen, tras este análisis se ve fácilmente que la estructura de nuestro espinor es
coherente con las características esenciales de las soluciones de la ecuación de Dirac, así que
podemos continuar con el proceso de diferenciación.
El resto del problema se reduce a aplicar el operador (3.1.2) que diferencia a lo largo de la
trayectoria x (s) sobre el espinor de (3.3.4), empleando para ello tanto la regla de la cadena como
los resultados de cálculo vectorial obtenidos en (3.1.1) y (3.1.4). Acto seguido únicamente
tendremos que reorganizar y operar algebraicamente cada término del resultado para convertirlo en
una ecuación de transporte como la que definimos en (3.1.5).
Hay que tener en cuenta un detalle más. Durante el cálculo que acabamos de describir - y
que nos conducirá a la solución final - aparecen términos proporcionales al campo eléctrico
E (x )=−e ∇ Φ ( x ) , que en principio podrían ser válidos. Sin embargo, debido a la ecuación de
Hamilton – Jacobi obtenida al inicio del ensayo, es posible eliminarlos mediante la relación que
deducimos a continuación. Basta, en efecto, con derivar respecto al arco a ambos lados de la energía
de (2.2.11). Esa operación arroja la expresión:
16
−e
d Φ( x)
c2
d π2 ( x)
=
.
ds
2( E−e Φ ( x)) ds
(3.3.9)
Esta ecuación, además de simplificar la solución, es consistente con el caso trivial: si los
potenciales se anulan la partícula se propagará libremente; entonces el frente de propagación será un
plano, y por tanto el gradiente de la superficie espacial será constante. Efectivamente, (3.3.9)
cumple esta condición física, pues a la izquierda sólo está el potencial escalar, y a la derecha,
además del escalar, están el potencial vector y ∇ W (x ) , de manera que en dicho caso trivial se
hace idénticamente nula.
Ahora sí estamos, finalmente, en disposición de presentar la ecuación de transporte vectorial
para cada componente de un espinor general del subespacio de energías positivas7:
1
2
1
−
2
−
d [θ (i )( x )] ∇ W ( x)⋅∇ c i ( x) (i )
=
[θ ( x )]
ds
∣∇ W ( x)∣ ci ( x)
c2
∇ W (x )(π ( x )⋅∇ )π( x) (i)
[θ ( x )] ,
( E−e Φ( x ))
∣∇ W ( x )∣
∇ W (x )⋅( A( x )×B (x )) (i)
e2
[θ ( x )]
( E−e Φ( x ))
∣∇ W ( x )∣
(3.3.10)
para i=1,2 y sabiendo que el campo magnético es B( x)=∇ × A(x ) , y:
d [θ( j) ( x )] 1
∇ W (x )( π ( x )⋅∇ ) π ( x ) ( j )
c2
=
[θ ( x )]
2
ds
2 ( mc +e Φ( x )−E )( E−e Φ (x ))
∣∇ W ( x)∣
∇ W ( x)⋅(A( x)×B( x)) ( j)
1
e2
+
[θ ( x) ]
2
2 (mc +e Φ (x )−E )(E−e Φ ( x ))
∣∇ W ( x)∣
∇ W ( x )[π ( x )×(∇ ×Λ ( j) ( x))] ( j )
1
+ ( j)
[θ ( x )]
∣∇ W ( x)∣
Λ ( x)⋅π ( x )
,
( j)
∇ W ( x)(π ( x)⋅∇ )Λ ( x) ( j)
1
+ ( j)
[θ ( x )]
∣∇ W ( x)∣
Λ ( x )⋅π ( x )
(3.3.11)
∇ W ( x)(Λ ( j ) ( x)⋅∇ )π ( x) ( j)
1
+ ( j)
[θ ( x )]
∣∇ W ( x)∣
Λ ( x )⋅π ( x )
e ∇ W ( x)(Λ ( j ) ( x)× B( x))(x ) ( j)
1
− (j)
[θ ( x) ]
c ∣∇ W (x )∣
Λ ( x)⋅π (x )
Para j=3,4 .
Ahora bien, esta no es la versión final de la solución, porque no cumple el caso trivial. En
particular, cuando se anulan todos los potenciales y el gradiente de la superficie es constante,
quedan sin anular los términos de dispersión de los grados de libertad (recuérdese que postulamos la
formal más general posible, dependiente de las trayectorias). Por tanto, para que tenga sentido físico
es necesario que C 1 y C 2 sean constantes. En ese caso, (3.3.10) y (3.3.11) se transforman en:
7
Siguiendo la notación para componentes introducida en este apartado.
17
d [θ(i ) (x )]
1
c2
∇ W (x )(π ( x )⋅∇ )π( x) (i)
=−
[θ ( x )]
ds
2 ( E−e Φ( x ))
∣ ∇ W (x )∣
∇ W (x )⋅( A(x )×B (x )) (i )
1
e2
,
−
[θ ( x )]
2 (E−e Φ ( x ))
∣∇ W ( x )∣
(3.3.12)
para i=1,2 y:
( j)
d [θ ( x )] 1
∇ W (x )( π ( x )⋅∇ ) π ( x ) ( j )
c2
=
[θ ( x )]
2
ds
2 ( mc +e Φ( x )−E )( E−e Φ (x ))
∣∇ W ( x)∣
∇ W ( x)⋅(A( x)×B( x)) ( j)
1
e2
+
[θ ( x) ]
2
2 (mc +e Φ (x )−E )(E−e Φ ( x ))
∣∇ W ( x)∣
∇ W ( x)(Λ ( j )⋅∇ ) π ( x) ( j )
1
+ ( j)
[θ ( x )]
∣∇ W ( x )∣
Λ ⋅π ( x )
−
e ∇ W ( x)(Λ ( j )× B(x ))( x ) ( j)
1
[θ ( x)]
c∣∇ W ( x)∣
Λ ( j)⋅π (x )
(3.3.13)
,
para j=3,4 .
Obsérvese que no hay ningún problema en que aparezca Λ ( j )⋅π ( x) en el denominar, ya
que si fuera cero se anularía directamente la componente de (3.3.4), y cuando ésta no se anula, es
siempre distinto de cero.
De este modo, hemos llegado al resultado central de este trabajo: las ecuaciones del
transporte vectorial de la función de onda espinorial más generales posibles, de forma exacta y sin
hacer ninguna aproximación, ni sobre la partícula cuántica ni sobre la radiación electromagnética.
El resto del apartado se dedicará a sacar conclusiones de estas ecuaciones.
Interpretemos las amplitudes. Para las ecuaciones de (3.3.12), de arriba a abajo, tenemos:
1) Un término de dispersión del momento mínimo π (x ) (acoplo entre el gradiente de la
superficie ∇ W ( x ) y el potencial vector). Nótese que esta dispersión está a su vez proyectada
sobre el gradiente de la superficie, y otra vez sobre π ( x ) .
Si bien es cierto que es una dispersión no pura en sentido de que no aparece explícitamente
∇ W ( x ) (por las diversas proyecciones), es bastante significativo el hecho de que se recupere
tanto el signo menos del resultado óptico como el factor de 1/2 .8
2
2) Un término que es proporcional a ∣ A( x )∣2 . Esta contribución se debe al hecho de que
no hemos puesto ningún tipo de restricción a la intensidad de la radiación electromagnética, pues
buscábamos un resultado exacto. Sin embargo, si supusiéramos que el campo magnético es débil,
podríamos anularlo.
8
Las ecuaciones de transporte para la óptica ondulatoria pueden verse en la pág. 44 de [4].
18
En cuando a las otras dos ecuaciones de (3.3.13):
1) El primer término vuelve a ser de dispersión del momento mínimo (que incluye la
dispersión del gradiente de la superficie). Tiene dos diferencias respecto a la dispersión que
acabamos analizar: su signo es positivo, y tiene un factor extra en el denominador, por lo que el
valor y el efecto de esta amplitud es menor que la vista en las ecuaciones (3.3.12).
2) Otro término proporcional a ∣ A(x )∣2 que podría anularse si la intensidad del campo es
pequeña.
3) Volvemos a encontrar un término de dispersión, pero esta vez se proyecta sobre el
gradiente de la superficie y sobre el vector Λ ( j ) , que representa, como ya comentamos, la
reorganización de las componentes del espín.
4) Se obtiene aquí una amplitud que acopla el campo magnético y el espín de la partícula.
Consecuentemente, hemos encontrado a su vez qué sucede con el espín de la partícula
cuando se propaga la función de ondas a lo largo de las trayectorias clásicas de la discontinuidad:
por una parte, se acopla al campo magnético (término 4); por otra, contribuye en la proyección de la
dispersión del gradiente de la superficie (término 3). Es decir, incluso si no hubiera campo
electromagnético, habría un efecto derivado de la presencia del espín.
Para ver este último comentario, vamos a suponer que no existe campo magnético, y que
únicamente tenemos un campo escalar V ( x) . En este supuesto, las ecuaciones de transporte
quedarían:
d [θ(i ) (x )]
1
c2
∇ W (x )( ∇ W (x )⋅∇ )∇ W ( x) (i)
=−
[θ ( x )] ,
ds
2 ( E−V (x ))
∣∇ W ( x )∣
(3.3.14)
para i=1,2 y:
d [θ( j) ( x )] 1
∇ W ( x)(∇ W ( x)⋅∇ ) ∇ W ( x ) ( j)
c2
=
[θ ( x)]
2
ds
2 ( mc +V ( x )−E )(E−V (x ))
∣∇ W (x )∣
+
∇ W ( x )(Λ ( j )⋅∇ ) ∇ W ( x ) ( j )
1
[θ ( x) ]
∣∇ W (x )∣
Λ ( j )⋅∇ W (x )
(3.3.15)
,
para j=3,4 .
En estas últimas expresiones se aprecia más claramente que, en esencia, el efecto más
relevante en el transporte de la función de onda cuántica y relativista es la dispersión que se produce
de ∇ W ( x ) , de forma que el espín participa de dicho fenómeno en una de las contribuciones. Si
se quiere detectar el espín de forma independiente, será necesario introducir un campo magnético
con el que se pueda acoplar, como en (3.3.13).
19
3.4. Aproximación eikonal para la ecuación de Dirac a segundo orden
Además del análisis realizado en la sección anterior versado en las distintas aproximaciones
y límites que pueden realizarse sobre la solución exacta, estamos interesados - por completitud y
para comprobar si es posible obtener alguna conclusión más - en calcular una ecuación de
transporte vectorial mediante el enfoque de la aproximación eikonal.
Para ello, tomaremos como base el mismo contexto conceptual que expusimos en la sección
2.3, introduciendo en la ecuación de Dirac una solución de la forma de (2.3.1), desarrollando en
serie la parte lenta como en (2.3.2) y realizando el límite clásico ℏ →0 . La pregunta inmediata
que se nos plantea entonces es: si los fundamentos son esencialmente los mismos que los que se
utilizaron en dicho apartado, ¿ por qué no se obtuvo ya entonces una ecuación de transporte?
La respuesta la tenemos en la geometría del operador diferencial respecto a la longitud de
arco que definimos en (3.1.2). Puede apreciarse que en términos vectoriales, esa derivación es
proporcional al producto escalar del gradiente de la superficie de discontinuidad y del operador
nabla. Por otro lado, del primer estudio para la eikonal que hicimos, se vio en (2.3.13) que al llenar
todo el espacio de discontinuidades que se propagan clásicamente, existía una correspondencia
entre el momento físico (operador nabla) y el gradiente de la superficie ( ∇ L( x) ). Por tanto, se
puede interpretar el operador de longitud de arco como una segunda derivada, por lo que
buscaremos una ecuación equivalente a la de Dirac que contenga derivadas segundas.
Comenzamos escribiendo (2.2.1) de forma que ya se haya asumido la forma armónica de
ψ( x ,t ) . En ese caso, se tiene que:
[−i ℏ c α⋅∇ −e α⋅A+(mc2 β+e Φ (x )−E )]ψ( x , t)=0 .
(3.4.1)
Siguiendo la estrategia empleada en la Ref. [5], definimos una función de onda auxiliar
χ ( x , t) que satisfaga la siguiente relación:
[−i ℏ c α⋅∇ +e α⋅A−(mc2 β+e Φ ( x )−E )]χ (x ,t )=K ψ( x , t ) ,
(3.4.2)
donde K es un escalar constante con unidades de energía. De esta manera, podemos pasar a
trabajar con la función auxiliar, ya que, en última instancia, sabemos que su relación con la función
de onda original viene determinada inequívocamente por (3.4.2). Trasladamos entonces a esta nueva
función de ondas todos los supuestos propios de la aproximación eikonal, esto es:
χ ( x , t)=λ( x )e
i L(x )
ℏ
−
e
iEt
ℏ
=λ( x) e
i S (x ,t )
ℏ
,
(3.4.3)
con λ (x )≈λ 0 (x )+λ 1 (x )ℏ en el límite clásico ℏ →0 .
Multipliquemos a continuación la expresión (3.4.2) por la izquierda con el hamiltoniano
original [−i ℏ c α⋅∇ −e α⋅A+(mc2 β+e Φ ( x )−E )] . Así, como el miembro derecho se anulará por
cumplirse la ecuación de Dirac de (3.4.1), y derivando correctamente los miembros no constantes,
queda una expresión a segundo orden en las derivadas:
20
[−ℏ 2 c 2 ∇ 2 + ℏ c e I v α⋅B( x )+i ℏ c e α⋅∇ Φ( x)+e 2 A2 ( x)−( mc2 β+e Φ( x)−E)2 ] χ( x , t)=0 . (3.4.4)
Veamos cómo se ha obtenido el segundo término, que acopla el campo magnético con el
espín de la partícula. Sabemos que una propiedad de las matrices de Pauli es:
(σ⋅∇ )(σ⋅a)=( ∇⋅a)+i σ⋅( ∇×a) ,
(3.4.5)
identidad que es cierta siempre y cuando el operador ∇ actúe exclusivamente sobre a .
Utilizando la representación estándar de la matriz α , y habiendo definido:
(
I v≡
0
I 2x2
)
I 2x2
0
,
(3.4.6)
podemos extender (3.4.5) al caso de cuatro dimensiones:
(α⋅∇ )(α⋅a)=( ∇⋅a)+i I v α⋅(∇ ×a) ,
(3.4.7)
Introducimos ahora la solución de (3.4.3) en la ecuación de Dirac a segundo orden de
(3.4.4), obteniendo:
2 2
2
2
2
2
2
2
[−ℏ c ∇ +c ( ∇ L( x )) −i 2 ℏ c ∇ L(x )⋅∇ −i ℏ c ∇ L(x )]λ ( x )
.
+[ℏ c e I v α⋅B( x)+i ℏ c e α⋅∇ Φ (x )+e 2 A2 ( x)−(mc 2 β+e Φ ( x)−E )2 ]λ ( x )=0
(3.4.8)
Aplicamos finalmente el desarrollo en serie. A orden cero, tenemos.
[c 2(∇ L(x ))2+ e 2 A2 ( x )−( mc2 β+ e Φ ( x )−E )2 ]λ 0 (x )=0 ,
(3.4.9)
que, de nuevo, es la ecuación vectorial de Hamilton – Jacobi.
A orden uno, nos queda:
[c 2 ( ∇ L (x ))2 + e2 A2( x)−( mc2 β+e Φ( x )−E) 2] λ1 ( x)
,
[−i 2 ℏ c 2 ∇ L( x)⋅∇ −i ℏ c2 ∇ 2 L( x)+ ℏ c e I v α⋅B( x )+i ℏ c e α⋅∇ Φ( x)]λ 0 ( x , t)=0
(3.4.10)
Al igual que sucedía en 2.3, tampoco ahora tenemos ningún método para resolver en general
esta ecuación, y volvemos a centrarnos en el siguiente caso particular:
2
2
2 2
2
2
[c (∇ L(x )) +e A ( x )−( mc β+e Φ ( x )−E ) ]λ 1( x )=0 y
(3.4.11)
[−i 2 ℏ c 2 ∇ L( x)⋅∇ −i ℏ c2 ∇ 2 L( x)+ℏ c e I v α⋅B( x)+i ℏ c e α⋅∇ Φ ( x)]λ 0 ( x )=0 ,
(3.4.12)
21
de manera que si en esta última identificamos el operador de diferenciación a lo largo de una de las
trayectorias que establecen la ecuación vectorial de Hamilton – Jacobi de (3.4.9) como:
∇ L(x ( s ))
d
≡
⋅∇ ,
ds ∣ ∇ L(x ( s ))∣
(3.4.13)
la ecuación vectorial de transporte para el método eikonal será:
2
d λ 0 (x )
i e I v α⋅B (x )
1 ∇ L(x)
e α⋅∇ Φ (x )
=−
λ 0 ( x)−
λ 0 ( x)+
λ ( x) ,
ds
2 ∣ ∇ L( x)∣
2 c∣∇ L( x )∣
c∣ ∇ L ( x )∣ 0
(3.4.14)
Obsérvese que cumple el caso trivial, pues si los potenciales se anulan y los frentes de onda
son planos, el transporte es idénticamente cero.
Como cabía esperar, obtenemos un primer término de dispersión del gradiente del frente de
ondas, que además tiene un signo negativo y un lleva un prefactor 1/2 : no sólo reproduce el
resultado de la óptica ondulatoria sino que además es consistente con la solución exacta que
construimos en la subsección anterior. A continuación aparece el término de acoplo entre el espín y
el campo magnético, que también hemos conseguido reproducir.
Respecto al último término, en principio podría pensarse que se trata de un acoplo entre el
campo eléctrico y el espín. Sin embargo, igual que sucedía en (3.3.9), existe una relación entre el
gradiente de potencial escalar y el gradiente de la superficie del frente de ondas. Por tanto, en
realidad ese tercer término es el análogo a lo que en el caso exacto identificamos como un segundo
término de dispersión que hubo que obtener sustituyendo algebraicamente dicha equivalencia para
el potencial escalar.
En definitiva, la estructura de esta ecuación es físicamente compatible con la que
construimos en (3.3.12) y (3.3.13). Existen, sin embargo, algunas diferencias significativas. Para
empezar, el término de dispersión en el caso eikonal es explícito, esto es, aparece ∇ 2 L( x) ,
mientras que en el caso exacto queda expresado de forma implícita debido a las proyecciones que
tiene el operador ∇ antes de derivar el gradiente de la superficie. Por otro lado, el acoplo de las
componentes parece ligeramente diferente, y aunque los signos también son análogos, los
prefactores cambian. Además, en el cálculo exacto aparecen como parte del transporte términos que
sólo se anularían para el caso particular de tener un campo magnético débil, mientras que en la
eikonal esos términos proporcionales a ∣ A( x )∣2 sólo aparecen en la ecuación de Hamilton –
Jacobi, pero no en el transporte.
No obstante, no hay que perder de vista que esta ecuación de transporte viene dada en
términos de la parte lenta de la función auxiliar. Es lógico entonces que el significado físico de los
términos pueda extraerse en una primera comparación cualitativa, pero no podemos esperar que
tenga la misma forma que el resultado exacto, ya que para analizar esa posibilidad tendríamos que
poder despejar ψ( x ,t ) en términos de χ ( x , t) .
22
5. Conclusiones
Hemos investigado y explorado a través de distintos procedimientos la naturaleza y el
comportamiento de las discontinuidades de la física cuántica relativista. Partiendo del caso general
en el que tenemos tanto un potencial escalar como un potencial de tipo vector, hemos demostrado
que la propagación de discontinuidades se produce de forma exacta a través de un conjunto de
trayectorias que son solución a la ecuación clásica de Hamilton – Jacobi.
De forma paralela hemos reformulado el problema asumiendo un espacio continuo en el que
se aplica el límite clásico ℏ →0 , provocando que los frentes de onda tiendan a comportarse como
discontinuos de forma efectiva en el límite de variaciones espaciales y temporales arbitrariamente
rápidas. Así, hemos recuperado la ecuación de Hamilton – Jacobi, y se ha podido demostrar que
precisamente por ser una aproximación y no un resultado exacto, también se deduce una condición
cuántica de ortogonalidad para el espín y el momento físico.
Con esta base conceptual hemos construido las ecuaciones vectoriales del transporte de la
función de ondas espinorial a lo largo de las trayectorias sobre las que se propaga la discontinuidad.
En el caso exacto, la solución se ha calculado asumiendo una combinación lineal de autoespinores
que generara cualquier espinor del subespacio de energías positivas, habiendo resuelto previamente
el problema de autovalores que se deduce de la mencionada ecuación vectorial de Hamilton –
Jacobi. Así, la solución final presenta varios términos de dispersión (uno de ellos incluyendo una
proyección de espín), un término de acoplo entre el espín y el campo magnético, y varios términos
que sólo serían relevantes cuando la intensidad de la radiación generada por los potenciales sea lo
suficientemente grande.
En cuanto a la aproximación eikonal, se ha seguido el método de la función auxiliar para
definir una forma equivalente de la ecuación de Dirac en la que estuvieran incluidas derivadas de
segundo orden. Así, las ecuaciones de transporte que se desprenden de este cálculo son físicamente
análogas a las obtenidas en el caso exacto, en el sentido de que el tipo de términos que aparecen en
las amplitudes son similares. Existen, no obstante, diferencias notables que son fruto de la diferente
naturaleza de ambos métodos. Es decir, podemos comparar las soluciones de la aproximación
eikonal y las soluciones exactas en el sentido de que el mecanismo dinámico de propagación es
similar, pero no podemos olvidar que llevados hasta sus últimas consecuencias, se trata de
planteamientos diferentes.
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6. Agradecimientos
A Alfredo, por su apoyo e inestimable ayuda durante todo el desarrollo del proyecto, y en
especial, por transmitirme parte de su actitud creativa y curiosidad ilimitada a la hora enfocar la
investigación.
A Isabel, quien mediante su constante amabilidad y atención me brindó la oportunidad de
conocer la existencia de este trabajo.
A Héctor, Alfonso y Luis, por las discusiones que mantuvieron conmigo durante el curso y
que constituyeron una interesante fuente de inspiración en muchos casos.
A Elena y Anahí, por sus constantes ánimos y por el material digital prestado.
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7. Referencias
[1] A. Luis, Classical mechanics and the propagation of the discontinuities of the quantum
wave function. Physical Review A 67, 024102 (2003).
[2] S.I. Rubinow, Joseph B. Keller, Asymptotic Solution of the Dirac Equation. Physical
Review Vol 131, Number 6, 2789 (1963).
[3] S.R. Juárez Wysozka, Conceptos básicos acerca del espín, helicidad, quiralidad, y
polarización de una partícula de Dirac. Revista Mexicana de Física E 56 (2), 197 - 206
(2010).
[4] R.K. Luneburg, Mathematical theory of optics. University of California Press, Berkeley
and Los Angeles, 1966.
[5] K. Rafanelli, R. Schiller, Classical Motions of Spin -1/2 Particles. Physical Review Vol
133, Number 1B (1964).
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