2010/11 - MasMates

Derivadas
Selectividad CCSS 2011
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Colecciones de ejercicios
1. [ANDA] [JUN-A] a) Calcule la función derivada de f(x) =
e-2x
2
-x2+2
b) Se sabe que la expresión que representa el número medio de clientes N(t) que acude a una cadena de almacenes, en función del
número de horas t que llevan abiertos, es N(t) = a·t2 + b·t, 0  t  8, a,b.
Sabiendo que el máximo de clientes que han acudido ese día ha sido de 160 y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a
y b.
2. [ANDA] [JUN-B] Las funciones I(t) = -2t2+51t y G(t) = t2-3t+96 con 0  t  18 representan, respectivemente, los ingresos y
gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, t, transcurridos desde su inicio y en los últimos 18 años.
a) ¿Para qué valores de t, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos?
b) Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de t y represéntela gráficamente.
c) ¿Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueron máximos? Calcule el valor de ese
beneficio.
4x
.
2x+1
b) Halle los intervalos de monotonía, los extremos relativos, los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función
3. [ANDA] [SEP-A] a) Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la función f(x) =
g(x) = x3+3x2+3x.
x2-3x+4 si x  2
4. [ANDA] [SEP-B] Sea la función f(x) =
a
4si x > 2
x
a) Halle el valor de a para que dicha función sea continua y estudie la derivabilidad de f para ese valor de a.
b) Para a = 1, ¿existe alguna asíntota vertical de esa función? ¿Y horizontal? Razone las respuestas y calcule, en caso afirmativo,
dichas asíntotas.
5. [ARAG] [JUN-A] Halle el dominio de definición, los máximos y los mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función f(x) = ln 1-x2 .
6. [ARAG] [SEP-A] Calcule los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función f(x) = (x-2)2(x-1). Calcule sus intervalos de
crecimiento y decrecimiento, así como los de concavidad y convexidad.
7. [ARAG] [SEP-B] Determine el dominio de definición de la función f(x) =
lnx
. Halle sus intervalos de concavidad y convexidad, así
x
como sus puntos de inflexión.
8. [ASTU] [JUN-B] Un proveedor cobra el aceite según el volumen del pedido. Así, la función que relaciona el importe del pedido con
3x si 0 < x < 30
el volumen del mismo es (f(x) representa el importe en euros, de un pedido de x litros de aceite): f(x) =
.
2x+30 si 30  x
a) ¿Es el importe una función continua del volumen del pedido?
b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y represéntala gráficamente.
9. [ASTU] [SEP-B] Para un determinado modelo de coche la relación existente entre la velocidad a la que circula y el consumo viene
dada a través de la siguiente expresión (f(x) representa el consumo en litros cada 100 km a una velocidad de x km/h):
x
90
f(x) = 2+
+
, x > 10.
90
x
a) Dibuja la gráfica de la función. ¿Cuál es la velocidad óptima a la que se debe circular para consumir la menor cantidad de
combustible posible?
b) ¿En algún instante el consumo aumenta al aumentar la velocidad? ¿Es posible conducir con un consumo de 3 litros cada 100 km?
10. [C-LE] [JUN-A] El número de visitantes diarios a una feria de turismo viene dado por la función V(x) = -30 t2-14t-11 , donde
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t(0,10) es el tiempo en horas transcurrido desde la apertura de la feria.
a) ¿Cuándo aumenta la afluecia de público y cuándo disminuye? ¿En qué momento se alcanza el número máximo de visitantes?
b) Determina ese número máximo de visitantes.
11. [C-LE] [JUN-B] Dada la función f(x) =
x2
:
2x-1
a) Calcula sus asíntotas.
b) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y sus mínimos.
c) Con los datos anteriores, representa gráficamente la función.
12. [C-LE] [SEP-A] Los beneficios diarios de una fábrica, en miles de euros, vienen dados por la función f(x) = -x2+24x-100, donde x
indica el número de unidades que se producen al día.
a) Calcula el número de unidades que han de producirse diariamente para obtener el máximo beneficio.
b) Calcula el máximo beneficio que puede obtenerse en un día.
13. [C-LE] [SEP-B] Sea una función f(x) de la que se conoce su derivada f'(x) = x2-1.
a) Representa gráficamente f'(x).
b) Deduce de la gráfica los intervalos de crecimiento de f(x).
c) Halla la abscisa de los puntos máximos y mínimos de f(x).
14. [C-MA] [JUN-A] Se considera la función f(x) =
(x+1)2 si x  0
. Se pide:
|x-1|+1 si x > 0
a) Continuidad en x = 0.
b) Extremos relativos en el intervalo [-2,2].
15. [C-MA] [JUN-A] La función f(x) = 2x2+ax+b tiene un mínimo en el punto (2,-5). Se pide:
a) Determina los valores de "a" y de "b".
b) Para los valores hallados en el apartado anterior, escribe el intervalo donde la función es creciente.
16. [C-MA] [JUN-B] La temperatura T, en grados centígrados, de una reacción química viene dada en función del tiempo t, en horas,
por la expresión T(t) = 10t(3-t), donde 0  t  3. Se pide:
a) Temperatura que habrá a los 30 minutos de comenzada la reacción.
b) ¿En qué momento se alcanza la máxima temperatura y cuál es esta?
17. [C-MA] [SEP-A] Se considera la función f(x) =
x2+2x-4 si x  -1
-x2+2x-2 si x > -1
. Se pide:
a) Estudiar su continuidad en x = -1.
b) Extremos relativos de f en el interval (-2,2).
18. [C-MA] [SEP-A] En una sesión de Bolsa, el precio, en euros, que alcanza una acción viene dado por la función
f(t) = 2t3-18t2+48t+1, donde t representa el tiempo, en horas, contado a partir del inicio de la sesión y 0  t  3. Se pide:
a) Precio de la acción a las 3 horas de iniciada la sesión.
b) ¿A qué hora la acción alcanza su valor máximo? ¿Cuál es ese valor?
19. [C-MA] [SEP-B] El beneficio B, en miles de euros, de una sociedad de inversores, viene dado por la función f(x) = -2x2+56x+3,
donde x representa los miles de euros invertidos. Estudiadas las condiciones del mercado se decide que 1  x  15. Se pide:
a) Beneficio máximo.
b) Intervalos donde el beneficio crece y donde decrece.
20. [CANA] [JUN-A] El nivel de audiencia de un canal de televisión, que transmite un partido durante dos horas, sigue la función
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x2-60x-7200 , donde x = tiempo en minutos desde el comienzo de retransmisión, f(x) = porcentaje de personas
180
que conectan con el canal.
a) ¿Qué porcentaje de personas están viendo este canal nada más empezar la retransmisión? ¿Y transcurrida hora y media?
b) Calcular el momento de máxima audiencia. Determinar el porcentaje de personas que ven dicho canal en ese momento.
c) Si en el momento de máxima audiencia están viendo la televisión 3 millones de personas, ¿cuántas estaban viendo este canal?
y = f(x) =
21. [CANA] [JUN-B] Los costes de fabricación del nuevo ordenador super rápido vienen dados por la función C(x) = x2+40x+30000,
siendo x el número de ordenadores fabricados. Si cada ordenador se vende por 430 €, determinar:
a) La función de beneficios.
b) ¿Cuántos ordenadores se deben vender para que los beneficios sean máximos?
c) ¿A cuánto ascienden los beneficios máximos?
22. [CANA] [SEP-A] La genancia, en miles de euros, que para una empresa produce un determinado puesto de trabajo viene dada por
2
x+3 si 0  x < 10
5
la función f(x) =
, donde x es el tiempo transcurrido, en años, desde la creación de dicho puesto.
5x+27
si x  10
x+1
a) ¿Es continua la función al llegar al décimo año? ¿Cuál es la ganancia en este año?
b) ¿Qué sucede con las ganancias a medida que transcurre el tiempo?
c) ¿Dónde es creciente y dónde decreciente la función?
23. [CANA] [SEP-B] Una empresa tiene dos máquinas trabajando. Los rendimientos de las máquinas, en x horas de trabajo, siguen las
funciones f(x) = -x2+8x+84 y g(x) = -x2+16x+36, 0  x  10.
a) A lo largo de las 10 horas de la jornada de trabajo, ¿cuándo es creciente y cuándo es decreciente el rendimiento de la primera
máquina?
b) ¿ En qué momento, de las 10 horas de la jornada de trabajo, rinden por igual las dos máquinas?
c) ¿ En qué momento, de las 10 horas de la jornada de trabajo, el rendimiento conjunto es máximo?
2x2
.
ax+1
a) Determine el valor de a para que la función f tenga un extremo relativo en el punto x = 1.
b) Para a = 3, indique las asíntotas verticales y horizontales de la función f.
24. [CATA] [JUN] Considere la siguiente función: f(x) =
25. [CATA] [JUN] Una empresa que fabrica bicicletas vende la totalidad de la producción. Se llama x al número de bicicletas que
fabrica mensualmente. Los costes mensuales de producción, en euros, siguen la función C(x) = 180x+12000. La venta de las
1
bicicletas le reporta unos ingresos que siguen la función I(x) = 500x- x2. Los beneficios de la empresa son, lógicamente, la
2
diferencia entre ingresos y costes.
a) ¿En qué intervalo debe situarse la producción para no perder dinero?
b) ¿Cuántas bicicletas tiene que producir mensualmente la empresa para obtener el máximo beneficio? En este caso, ¿cuánto gana
por cada bicicleta?
26. [CATA] [JUN] Considere la función f(x) = x-e-3x.
a) Indique su dominio, y demuestre que f es estrictamente creciente en todo su dominio.
b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa x = 0.
27. [EXTR] [JUN-A] Un centro comercial cuyo horario de apertura es de 10 horas diarias estima que el número de clientes en
función del número de horas que lleva abierto es N(t) = -15t2+180t, 0  t  10, donde t es el número de horas que lleva abierto.
Se pide, justificando las respuestas:
a) Hallar la hora de máxima clientela.
b) ¿Cuál es el número de clientes máximo?
c) Si queremos acudir al centro comercial cuando haya un número de clientes inferior a 300, ¿entre qué horas deberíamos ir?
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28. [EXTR] [JUN-B] El responsable de gestión de las listas de espera de una comunidad autónoma va a implantar un nuevo sistema
que pretende reducir el tamaño de las mismas. Se prevé que a partir de su puesta en marcha, el porcentaje de pacientes que
t2+At+B si 0  t < 10
, donde P
70
si t  10
representa el porcentaje y t el tiempo transcurrido en meses. Se sabe que el porcentaje mínimo se alcanzará en el cuarto mes
(t=4) y que la función es continua.
a) Determinar las constantes A y B. Justificar la respuesta.
b) Representar gráficamente el porcentaje en función de t.
serán atendidos sin entrar en la lista de espera está representado por la siguiente función: P(t) =
29. [EXTR] [SEP-A] El número de inmigrantes que ha recibido una ciudad a lo largo del último año se ha comprobado que sigue la
función I(t) = 2t3-32t2+108t+525, 1  t  12, donde t representa el mes del año. Determinar, justificando la respuesta:
a) El número de inmigrantes que llegaron a esa ciudad durante el primer trimestre.
b) El mes en que se produjo la llegada mínima y el mes en que se produjo la llegada máxima de inmigrantes.
c) El número máximo y el número mínimo de inmigrantes que llegaron en un mes.
30. [EXTR] [SEP-B] El servicio de reprografía de un centro universitario permanece abierto desde las 8 hasta las 20 horas. El
número de universitarios que acuden diariamente a dicho servicio viene dado, dependiendo de la hora del día, a través de la
función N(t) = At2+Bt, 8  t  20, donde t representa la hora del día. Sabiendo que a las 11 horas se alcanza el número máximo de
121 universitarios en dicho servicio:
a) Determinar las constantes A y B. Justificar la respuesta.
b) Representar gráficamente la evolución del número de universitarios que acuden a dicho servicio entra las 8 y las 20 horas.
31. [MADR] [SEP-B] Se considera un rectángulo R de lados x, y.
a) Si el perímetro de R es igual a 12 m, calcúlese x,y para que el área de R sea máxima y calcúlese el valor de dicha área máxima.
b) Si el área de R es 36 m2, calcúlese x, y para que el perímetro sea mínimo y calcúlese el valor de dicho perímetro mínimo.
32. [MURC] [JUN-A] Dada la curva de ecuación f(x) =
x2
2
x -x-6
, calcular:
a) El dominio de definición.
b) Las asíntotas.
33. [MURC] [JUN-B] Dada la curva de ecuación y = x3-2x2-9x+9, calcular:
a) El dominio de definición.
b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
c) Los máximos y los mínimos.
34. [MURC] [SEP-A] Dada la curva de ecuación y =
x3
-2x2-5x+2, calcular:
3
a) El domino de definición.
b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
c) Los máximos y los mínimos.
35. [MURC] [SEP-B] Dada la curva de ecuación y =
3x2+4
x2-3x+2
, calcular:
a) El dominio de definición.
b) Las asíntotas.
36. [RIOJ] [JUN] El precio en euros de un producto, durante los cinco años que estuvo en el mercado, vino dado por la función
P(t) = 8t-t2+25, 0  t  5. Se pide:
a) Precio máximo alcanzado y momento en el que se alcanzó.
b) Precio mínimo alcanzado y momento en el que se alcanzó.
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37. [RIOJ] [SEP] Calcula el valor máximo y el valor mínimo de la función f(x) = 8-2x-x2 en el intervalo [-2,2].
x3
, se pide:
x2-1
a) Ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales, si las hay.
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Máximos y mínimos locales.
38. [VALE] [JUN-A] Dada la función f(x) =
39. [VALE] [SEP-A] Dada la función f(x) =
3x+2
, se pide:
x2-1
a) Su dominio y punto de corte con los eje coordenados.
b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Máximos y mínimos locales.
e) Representación gráfica a partir de los apartados anteriores.
40. [VALE] [SEP-B] Un ganadero ordeña una vaca desde el día siguiente al día que esta pare hasta 300 días después del parto. La
producción diaria en litros de leche que obtiene de dicha vaca viene dada por la función: f(x) =
120x-x2
+40, donde x representa
5000
el número de días transcurridos desde el parto. Se pide:
a) El día de máxima producción y la producción máxima.
b) El día de mínima producción y la producción mínima.
Soluciones
1. a)
e-2x 2x2+4x-4
b) -10, 80 2. a) 2, 16 b) -3t2+54t-96 c) 9, 47000€ 3. a) Dom: -
3
-x2+2
b) y = 4 5. D: (-1,1); max: 0; crec: (-1,0) 6. crec: -,
4
(2,+); conv:
3
9. a) 90 km/h b) a partir de 90 km/h; min: 4 l a 90 km/h
2
Y
-1
2
; (0,0); x =
5
4
5
,+ ; max: ; min: 2; p.i:
3
3
3
10. a) cerc: (0,7); max:7 b) 1800
-1
, y = 2 b) crec: 2
-1
2
; conv: -,
-1
2
4. a) 4; derv: 
105 Y
75
7. D: (0,+); conv: e3/2,+ ; p.i: e3/2 8. a) si b) 45
X
15
-15 30 60
11. a) x =
1
1 1
; y = x+
b) crec: (-,0)(1,+); max: 0; min: 1 c)
2
2 4
Y
3
1
X
-1
1
2
12. 12, 44000 13. a)
3
-3
-1
b) (1'5,22'5)
17. a) cont b) max: 1; min: -1
-x2+390x-30000 b) 195 c) 8025
1
-1
-2
X
b) (-,-1)(1,+) c) max: -1; min: 1 14. a) cont b) max: 0; min: 1 15. a) -8, 3 b) (2,+) 16. a) 12'5º
1 2 3
18. a) 37 b) (2,41)
19. a) 395000 b) crec: (1,14)
20. a) 40%, 25% b) 45% a los 30 min c) 1350000 21. a) a)
-1
25. a) [40,600] b) 320, 122'50
3
22. a) si; 7000 b) tiende a 5000 c) crec: (0,10) 23. a) crec: (0,4) b) 6 c) 6 24. a) -2 b) x =
Y
110
70 Y
90
50
26. a)  b) y = 4x-1 27. a) 6 b) 540 c) (0,2) 28. a) 8, 50 b)
29. a) 1847 b) sept, dic c) dic: 669; sep: 363 30. a) -1, 22 b)
30
10
X
-10 10 30 50
70
31.
50
30
10
X
-10
20 40
a) 3,3; 9 b) 6,6; 24 32. a) -{-2,3} b) x = -2, x = 3, y = 1 33. a)  b) crec: (-,-1)(3,+) c) min: -1; max: 3 34. a)  b) crec: (-,-1)(5,+) c) max: -1; min: 5 35.
a) -{1,2} b) x = 1, x = 2, y = 3 36. (4,41) (0,25) 37. (-1,9), (2,0) 38. a) x = -1, x = 1 b) crec: -,- 3  3,+ c) max: - 3; min: 3 39. a) D: -{-1,1}; cortes:
3 Y
-3
,0 , (0,-2) b) x = -1, x = 1, y = 0 c) decrec d) no e)
2
1
X
-3 -1 1 2 3 4 5 6
-2
40. a) (60,40'72) b) (300,29'2)
-4
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