Cap4. Campos variables en el tiempo - Universidad del Bío-Bío

"!# !#$
!# %&"!#
)' (+*,( -/."0213.54)6,786,196:0<;=-/.>3?
@:ACBDACBEA FHGJILKNMOQPSRRTVUWG
X:Y+Z\[H]_^a`b]Ccd[/egfNY3f=h=i/jk[mlnln`oY+hHcnYpY+]qj+isr=imt3uLYvHYwhNY+lniml
fNhxj+isZ\r[yuLY)`bh=uLf=j+jk`bzmh{ZqisvHhN|kcn`bj+ip}~ D€is‚Ypƒ=iHjkYwl„]dY
… i<r=ldY+vmfNhgcni_`bha^mYwl„]niN†
]JjwisrŠ‰st"fNhqjwimZ_r[ }~ uLY:r=ld[LuLf=jw`olEf=h=i‹jk[HlCŒ
ln‡+`oˆ Y+hgcdYŽH
I0
v
Espira 2
I(t)
Espira 1
½a`=]dYlnYwY+Z\r … imt+i¶Y … `oZq‰sh\r[mlEfNhŠi Y+]drN`ol„i egfNYrŠ[HlCc„i
fNh=iqjk[Hldln`bYwhgcdY Y+]CcniHjk`b[mh=imld`—i ™ …b… imZ_|+Z\[H] … i_Y+]drN`blniq¿HŸ
šp|+]Ccni<Y+]drN`blni_]CY Z<fNYw^HYSœlnYwhgcnY i … i_Y+]drN`ol„i<[mln`ovH`oh=i …
™ Y+]drN`blni)ÀŽŸk’g]dYS[H‚=]dYwln^›i”i<]dfp^mY+t¶egfNY¶]CY¶vmY+hNYwl„i‹fNhŠi
jk[mlnln`oY+hHcnYÁYwh … iY+]drN`blni ÀHwÂVuLY+ZÃ]d`mY+h‹^mY+tWuLYDZ\[–^mY+ln]dY
… i)Y+]drN`ol„i)¿)|+]Ccni3eHf=`oYwcniprYwln[3jw`ol„jkf … i)rŠ[HlSY …o… ipfNhŠi
jk[mlnln`oY+hHcnYQ^–isln`—is‚ … Y ™ rNln[auNf=jk`—uNi_rŠ[HlYV¾VY+Z_r … [\r[mlY …
rNld[LjwY+]d[ uNY:uLY+]njwimldvgi¶uNYfNhpjk[Hh=uLYwhŠ]diHuL[mlE[‹r[ml„egfNY
… iSY+]drN`blni¶¿:YŽ]Vc„iSjw[mhNYŽj¼cniHuNiQiSfNh=iSœfNY+hgcdYuLY^m[ … cnis¾VY
^›imld`—is‚ … Y›Ÿ¼
 i)ldYŽ]Cr=fNY+]CcniqYŽ]QegfNY_]C‘“’]d`bYwZ\rNlnY<egfNY”YŽ]Vcn|”`bha^m[ … f=jwlniHuNi
fNh=i•^–isln`—imjk`bzmh˜cdYwZ\r[ml„i … uLY … [H]qj+isZ\rŠ[g]_`oha^m[ … fŠjkl„imuL[g]
™ egfNY_ƒ=i›šgiqfNhyœY+hNzmZ\Y+hN[)hN[3Y+]Ccn‰scd`—jk[=’ž]d`ohN[9egfNY<uLY+rŠY+hLŒ
uL`bYwhgcdYquLY … cd`bYwZ\rŠ[aŸS[ … [H] jk`bl„jkfN`ocd[g]S`bha^m[ … f=jwlniHuL[H]QY+]Ccd|+h
YwhZ\[–^a`oZ\`bYwhgcd[Š
ˆ ]CcdY¤œµwY+­¯hN¢ª¨ zmZ\gYwh=i¶[¡[m‚ŠYŽ]C]qY+ldjk^–[mimh=jw[a`ojwzH`bh”uN[•Yw·ajwr[mYwZ\ln`b[£Z_Y+¢¥¤žhgcn¦–i §=… ¨„œ¨wf=¢ª©–h=¤uNis«wZ\¬o«„Y+¨whH­¯c„®d°si ±…
Y+²q]+†³w´ ³
i … jk[ … [Ljwiml\fNh¸`oZq‰sh¹jwYwl„jwi•uLYºfNh=i/YŽ]CrN`bl„i ™ [{jk`blCŒ
jwfN`»cn[gŸJšqZ\[–^mY+l … [‹œlnYwhgcdY i … i<Y+]drN`ol„i”]dY¶vmYwh=Ywl„i,fNh=i
jw[mlnld`bYwhgcdY Y+h … i\Y+]drN`blni ™ ]CY”uN`bjwY,eHf=Y,]CY‹`bh=uLf=jwY,fNh=i
jw[mlnld`bYwhgcdY›Ÿ¼›½a`HY … `bZq‰sh,uLYC¾CiQuLYJZ\[–^mYwl„]dY … i:jw[mlnld`bYwhgcnY
uLYŽ]dimr=islnY+jwYm
I0Cos(wt)
I(t)
v
N
S
I(t)
ÄÅ[LuL[H])Y+]Ccd[g])YwœY+j¼cn[H])rNfNY+uNYwh&]dYwl3Yk·Lr … `bj+imuL[g])jw[mhÆfNhŠi
Ç hN`bj+i … YwšÈCYk·LrYwln`oZ\Y+hHc„i …»É jk[HhN[Ljk`—uNiÊjw[mZ\[5ËÅ«wÌʦm«
Í ³ ® ³ ¦ ³ ̖±¯Ë«w¤aÎw
Espira 1
ˆ`bZq]Vc„isi vH`o… h=Y+imš<ldYŽ`b[g]Vc„ŸWiseg‚ fN… Y+Y‹jwuLYQYkegÏ=fNh=Y:Y¶Y+f=hqh=fNi\h)]CfNjk`brl„YwjkldfNϊ`ocdjw[”`oYHjw’gYwYwln·Lln`biH]CuLcdY [ fN™ œh=‘—]Ci\`—jkj+[”is`o[ Œ
u=i”uLY¶^m[ … c„i–¾VY¶Ð\ÑÓÒÓÔ:Õ ™ ^mY+lJh=[scniaÖkŸJi … [ … islnvm[<uLY … jk`bldŒ
]d`aYwh”^HYwtuLYJZ\[–^HYwlY … `oZq‰sh_]CYuLYV¾CiSY+]CcdY"egfN`bYkcd[Sš,]CY jwfN`ocd[QegfNYJYwh=jw`oY+ldl„i … i:]Cf=rŠY+lCϊjw`oYHŽ×S`—j„ƒ=iQj+is‘—uNi:uLYJ^m[ … cnis¾VY
Z<fNYw^HY … i"YŽ]CrN`bl„iN’¼c„isZ”‚=`o|+h ]dYD[H‚=]CY+ld^–ifNh=ijw[mlnld`bYwhgcnY ØCÙ8Ú8ÛLÜJݛÜßÞáà"âCà„ãwä¯åçæ–à„æ,èé“êEÞçêDâVë¼ã›ë+âVêWâVë¼ìëDíCîáï„îçð¡ëWñòíòóŽïdô¯õdö
Y+h … i_Y+]drN`blni=
ïd÷ ï“ødù—ôªú¼ð"ú¼ù—ôòû õü
Imán
ÀmÀ+ý
¿=À ˆ … YŽj¼cdln[mZqimvmhNYwcd`—]CZ\[=8ÂòhNvHYwhN`bYwln‘bi_uLY ˆ ¾VYŽjkf=jw`ozHhYwh ˆ … Y+j¼cnld`—jk`—uNiHu
ÀmÀ
]dY”[mln`bvm`bh=iqr[ml jwisZ<‚N`b[H]SYwhyY … cn`oY+Z\rŠ[uLY …
f–¾V[&uNY … \Z `bYwhgcdl„im]¶egfNY_rŠ[HlS[mcdln[=’rNfNY+]Ccd[egfNY_Y+]Ccni9jwis`—uNi3uLY<r[sŒ
jwimZ\rŠ[{uLYº`bh=uLf=j+jk`bzmh¸ZqisvHhN|kcn`bj+i }~ egfNY[Ljkf=ldlnYYwh … i cnwY h=jw`bi … Y+]<i … iy^mYwtq`bvmfŠi … i … i^–isln`biHjk`bzmh•cdY+Z\rŠ[Hlni … uLY …
–f ¾V[\Z\imvmhN|wcd`—jk[Š’N]CY¶cd`bYwh=Y
]dfNrŠY+lCÏjk`bY uNY … `oZ\`ocnimu=i\rŠ[HlY … jk`bl„jkfN`ocd[Š
Õ"ÒÃÔ }~ ? } ÒFÔ HG }~ ? }
G
uN[mh=uLY•Ywh … i Ç … cd`bZqi Yk·LrNlnY+]d`ozHh ƒNY+Z_[g]9ƒNY+j„ƒN[ f=]d[ uNY
… iß]dfNr[H]d`bjw`ozHh˜egfNY3h=` … iß]dfNrYwldϊjk`bY3h=`]df£jw[mhgcd[HldhN[ºh=[
]dYºZ”f=Yw^mY+h¹[˜jwimZ”‚N`—ish¸Ywh¹Y … cn`oY+Z_Y+rŠ[Š’Wš Ywhgcd[Hh=jkYŽ] … i
^–imld`—imjw`ozHh3cnYwZ\r[ml„i … uNY #… f–¾V[3^g`bYwh=Y”Yk·Nj … f=]d`b^›imZ\YwhgcdY”uNY
… im]^–isln`—imjk`b[mh=Y+]"uLY … jwisZ\r[ }~ uLYwhgcdln[quLY … `bhgcdY+vml„ish=uL[Š
½LYScn`oY+hNY‹ƒ=iH]Vc„i_iHegfN‘Ywhgcd[Hh=jkYŽ] … i\]d`ovHfN`bYwhgcdY `bvmf=i … uNiHu†
C
} I E} ÒÃÔ G }~ ?S }
G
JÁ[Hl[scdln[ … iHuL[\Y … … imuN[_`bt+egfN`bYwl„uL[quLY‹YŽ]Vc„i Ç … cn`oZqi\Yw·ar=ldYwŒ
ˆ ]:uNY+jk`blŽ’Ni<rŠisldcd`bl:uLY … f–¾V[
]d`bzmhy]dY”rNfNYŽuLY<cdl„is‚=is¾Cisl:f=]nishŠuL[)Y … cnYw[mlnYwZqipuNY\½gcn[ KHY+]+’
uNY¶Z\[LuL[qegfNY‹lnY+]df … c„i
Ò }~ S }
™ egfNY ]CfNr[mhŠuLldY+Z\[H]Ã^–isln`bi#Y+h Y … cn`oY+Z\rŠ[aŸr[auNYwZ\[H]
MLN O C=
} PQIS } ÒÓÔ G }~ ?S }
[m‚NcdYwh=Ywl … i<œV Ym Z=Õ:i … [ … islnvm[<uNY … jk`bl„jkfN`ocd[qjkY+ldl„imuN[”Z\YkŒ
G
uL`—ishgcdY … iquLYwln`b^›iHuNi_uLY … f–¾V[
`bvmfŠi … uNimu¶uLYw‚YW]ni–cn`b]CœªimjwYwl„]CYÁr=imlni"jkfŠi … eHf=`oY+l]Cf=rŠY+lCϊjw`oYDuNY
`bhgcdY+vml„imjk`bzmhºegfNY_]CY_jk[mhŠ]C`—uLYwlnYm’ … f=Ywvm[ … [g]:`bhHcnYwvHlnimh=uL[H]Qi
ՁÒÔ ÒÔ }~ } … i `bt+egfN`bYwl„uNi‹š\i … i”uLYwlnY+j„ƒ=i‹uNYQisZ<‚=im]E`bhgcdY+vml„i … Y+]DuLY+‚ŠY+h
]dYwl"`bvmf=i … YŽ]"š)]dY‹[m‚Lcn`oY+hNY … i_Y+jwf=imjw`ozHh9uN`»œY+ldY+h=jk`—i …
ˆ… [ ]Ccd… lnis`blnjkvmcn[ximZ_uLY+Y hg… cdY_jk`blnƒ=jwisfN‚ `»cn… is[£hŠuLi …[ ln… Y+i)jwj+[mislnld‘—uNY+lpi)Y+uL]CY_cdY•^m[ Yw… hÆc„i–¾Vf=Y,h&[LjwjwimfNZ\ldln`oY<hN[i
}~
™ R oÀ›Ÿ
N O•C } ÒÃÔ G
jkY+ldl„imuN[=½a`Dr=imlCcn`oZ\[H] uLY\fNh/rNf=hHcn[ Ywh•Y … jk`bl„jkfN`ocd[š
G
…b… Y+vHisZ\[g] ™ uLYŽ]Cr=fNY+]SuLY<uNiml:fNh=ip^gf=Y … cnipjw[mZ\r … YkcnigŸiqfNh ˆ ]Vc„iqY+jwf=imjw`ozHTh SÆegfNY”jw[mlnldYŽ]Cr[mh=uNY i … i_œ[HldZqiquL`oœYwlnYwhLŒ
rNfNhgcn[<~ Z”fNšqjkY+lnj+ishN[<i … rNfNhgcd[ &]dY:cnYwh=uNln‰_!Ð #"EÑÓÒ jw`bi … uNY … i”YwšpuLUY A=imlniHuNi›šgŒ YwhNVt S Y+][scnlni<uLY … iH]WYŽjkf=isŒ
Ô:Վ
jw`o[HhNY+]3œfNhŠuNisZ\Ywhgc„i … Y+]uLY … Y … Y+j¼cnld[mŒ“ZqimvmhNYwcd`—]CZ\[xjw[mhN[mŒ
jw`bu=im]_jk[mZ\[ ˆ jkfŠimjk`b[mh=Y+]_uLY Wßi–Y· XJY …o… W€ … imlnimZ\YwhgcdY3Y+]CŒ
@:ACBD%A $"A &MD(K '*) OQT +-, .K ,GSR/T )10ß2O ,30/)546,78O , c„i)YŽjkf=…iHjk`bzmhyYŽ]V… c„is‚ … Y+jwY<egfNY\]C`Áƒ=i›šyj+isZ\… r[H]SZ\imvmhN|wcd`—jk[g]
^–imld`—is‚ Y+]DYwhqY cd`bYwZ\r[<]dY:`bh=uLf=jwY:YwhpY YŽ]CrŠimjk`b[,jwimZ\rŠ[g]
&9)Á.
K )E8O )7;:<4=,2G >
Y … |Žj¼cnld`—jk[g]w
X:Y+Z\[H]D^a`—]Vcn[”egfNY … i œV Ym Z ÕWY+hpfNh)jw`ol„jkf=`»cn[”jkY+ldl„imuL[,egfNY @Qh=i_jk[mhŠ]CYŽjkfNY+h=jk`—i<uNYSYŽ]Vc„i … YwšqYŽ]egfNY … [H]j+isZ\r[H]Y … Y+jkŒ
uLY … `bZ\`»c„i\fNh=i\]Cf=rŠY+lCϊjw`oY Y+]Ccn‰\uNiHuNi_rŠ[Hl
cnld`—jk[g]8š,Zqisvmh=|kcd`—jk[g]8šHiShN[‹]C[Hh<Zq‰m]Ej+isZ\r[H]Á`bh=uLYwrYwhŠuL`»Œ
Y+hgcdY+]+’a]C`bhN[\eHf=YSYŽ]Vc„‰sh)`bhgcdln`ohŠ]CYŽjwisZ\Y+hHcnYSiHjk[mr … iHuL[H]JfNhN[g]
i_[mcdln[H]+
ՁÒÔ }~ ? }
[\)]>UWG
+_^`aTCa
R ) 8O , 0) 4=,b7 2O ,
@Q]nislnYwZ\[g]JYŽ]VcnY ldYŽ]Cf … cniHuL[_r=isl„i<uNY+uLf=jw`ol … i<œ[mlnZqi_uN`»œY+lCŒ @QACBE%A Z"A
YwhŠjk`—i … egfNY,imuN[mrLc„i … iq Y+š)uLBY A=imlniHuNi›šgŒ YwhNtH
&9)Á.
K )E8O )b7c:<4=,2G >
ˆY+]C… cni_rNfNuLhgY+cn‚Š[¡Y uLƒ=Y3im‚Šr=Y+isl"ld]dcd`—`—uLuN[<iº[HYŽld]<`bvmeg`bfNh=Y9iHuN]Ci‹`"r]CY)[mlrNjwld[LimZ_uLfŠrjk[HY)]f=Y h=… YŽiºj¼cdœVln `—Ymjk [HZ ] ˆ … YV¾VY+Z_r … [ºuLYpijk[Hhgcd`bhgfŠimjk`bzmh•uNi9fNh{islnvmfNZ\Y+hHcn[3Zq‰H]
egfNY ]CY vmY+hNYwl„ish3i … [ … islnvm[_uLY … jw`ol„jkf=`»cn[_jwYwlnlniHuL[”jkfŠish=uL[ œ€J‘—]d[H`bh=jw[\]d`buLuNY+Y ld… Y+rZ\[m[Hl„eg]SfNfN|¶h{uNjwY,isuL‚ `b… j„Y\ƒŠjki [H…h=YwuLšHf= jkcd[mlŽ’ uLY … [mhNvH`»cnf=ueds’ uNY
ƒ=i›š3fNh f–¾V[p^–imld`—is‚ … YmŠiqjwim`bu=iquLY,^m[ … c„i–¾VY,iH]C[Ljk`—imu=i_i j+islnvHiJ`oh=`bjw`bi … Z\YwhgcnYDhNYwfNcdl„iN’wegfNYW]dYDZ<fNYw^HYDjk[mh ^HY … [ajw`bu=imu
uL`—j„ƒN[H]j+isZ\r[H]"Y … Y+jkcdln`bjw[H]"uLY+‚ŠY,]ni–cn`b]CœªimjwYwl"rŠ[HlfNh … iHuL[ jk[mZ\[Z”f=Y+]Ccdl„i … i9Ï=vHfNlni= ·L`b]CcdY3imuL`—jk`b[mh=i … Z\Y+hHcnY\fNh
ˆ}~ Ò 2~ gah 
f}
+
j
s
i
\
Z
r
_
[
q
Z
m
i
m
v
N
h
w
|
d
c
—
`
k
j
_
[
k
Y
a
·
d
c
+
Y
d
l
N
h
[
i
E
}
ՁÒÓÔQÐ\ÑÒ CD} jkml-n%opaq rslutovq wxwxlyp(zs{_|sk~}x|V]zsr€}l2Vzƒ‚V„ w…q †|?y‚-|s†s‡Vˆ }x|s8Vzc‰Yq zsrs†€q |€wy‹Š.r_q Œsz-k~w…q I|s8Izsˆ„ l-Ž…„ l<o
¿=À ˆ … YŽj¼cdln[mZqimvmhNYwcd`—]CZ\[=8ÂòhNvHYwhN`bYwln‘bi_uLY ˆ ¾VYŽjkf=jw`ozHhYwh ˆ … Y+j¼cnld`—jk`—uNiHu
Z
B0
Y
X
ÀŽ¿
½L` Y … jk`blnjwfN`»cn[qhN[qY+]Ccn‰qjwYwlnlniHuL[_Y … Ç hN`bjw[qYkœYŽj¼cd[puNY,Y+]CcniH]
œf=Ywlnt+im]S]CY+ln‰p`ol¶imjkf=Z”f … ish=uN[)jwimldvgiqhNYwvgi–cn`o^–iqY+hyfNhßYw·aŒ
cnldY+Z\[3uLY … j+is‚ … Y”šyj+islnvHiqr[H]d`ocd`b^›i3Ywh¡Y … [scnld[3Yk·acdlnYwZ\[Š’
ƒŠim]Ccni¶eHf=YšgiQh=[Sƒ=i›šgiSj+islnvHiSeHf=YZ\[–^HYwlŽ’Ž]d`oh_YwZ<‚=islnvm[¶]C`
Y … jw`ol„jkf=`»cn[,Y+]jkY+ldl„imuL[ ™ rŠ[HlWYC¾VYwZ\r … [<isr[–šHimh=uL[ … i,‚=imldl„i
]d[m‚=ldYQuN[H]Jld`bY … Y+]Jjk[mhŠuLf=j¼cn[mlnY+]Jjk[mZ\[<Z”fNYŽ]Vcnlni … i‹ÏŠvmfNl„iHŸk†
Z
V
y
{
v-
ˆ^–imh3] Y ™ … r`oYwhglncd[<Y+ldjw`b[m[mhpluLfNYhŠ… i”jwuLimY+‚ h=… YQ]C`—ƒ=uNi›iHš\u\jwcdim[mldcnvgi im…]Er[H]d`»cn`o^–iHÒ
]Dš\”hNrNYwfNvgY+i–]Ccncd`»[ Œ
egfNY”Y … jw[mh=uNf=j¼cn[mlQYŽ]:v … [H‚=i … Z\YwhgcdY,h=YwfLcnld[aŸ:egfNY<]d`bYwhgcdY+h
fNh=i<œfNY+ldtŽi_Z\imvmhN|wcd`—jwi } Ò f } O p}~ 
f h O ~ g ih Ò
JEisl„i … im]¸jwimldvgim]{r[H]d`»cn`o^–iH] } Ò
f ~ g h ’ºš … i œfNYwlnt+i [LjkfNlnldY Ywh … i uL`bldYŽjwjw`ozHhr[H]d`»Œ
cd`b^–iuLY … YV¾VY i e JEisl„i … im]Ój+islnvHim]hNY+vHiscd`b^›iH]2 } Ò
Ô h O ~ gh ÒÔ ~ gah š … iH]œfNYwlnt+iH]"[ajwfNlnldY+h)Ywh
… i:uL`bldfYŽjw jk`bzmh¶hNY+i vHi–cn`o^–iuLY f… YC¾VY i  ˆ … YwœY+jkcd[:hNYwcd[:YŽ] egfNY … im]
jwimldvgim]Ár[H]d`»cn`o^–iH]Ecd`bYwhŠuLYwh)i,Z_[–^HYwl„]CYY+hpY … ]CY+hgcd`—uL[,r[H]d`»Œ
cd`b^m[¶uLY … YC¾VY š … iH]Åj+islnvHiH] hNY+vHi–cn`o^–iH]Y+h,Y … [scnld[¶]CY+hgcd`—uL[=
ˆY … h3jwis[s‚cdl„… Y‹im]DY+r=h i … … iqis‚NuLl„`bimln]DY+jwcdjw`bYw`ozHh=h9uNYSuNY i,… `bYCh=¾VuLY,fŠuLjkY `bln…]dimY:] fN<h=i<=jk[Hiqldjwln[m`oY+lnhgldcd`bYwYhgYwcnh Y
uLY”j+islnvHiH]"rŠ[g]C`ocd`b^–im]¡ } š … ipjw[mlnld`bYwhgcdY‹uLY_jwimldvgim]"hNY+vHi–Œ
cd`b^–im] } isrNf=hHc„ish=uN[,isZ”‚Šim]EY+h … i‹Z\`—]CZqi‹uL`blnY+jwjw`ozHh h 
ˆ … cd`bZ\Ywh=[–YQ^g`bimZ\]d[L`oY+jkhg`—imcd[,uL[¶uLYfNhq… imjk]J`bYwjwldimcdld[¶vgimcdl„]Eisi ‚Ši–… [ ¾V[ … isi ln… vmZ\[‹[–uL^mY Y+… lÁi‹fNuLh=`bi‹ldYŽjwjwimjwld`ozHvgh i
_uLY+]nuLY … i_r[H]d`bjw`ozHh Ò d ƒ=im]Ccni Ò N†
g
"/Ò } } Ò f ~ g ÒÓ
Ô f~ gd
š\Ywhgcd[Hh=jkYŽ]WY … ^m[ … cnis¾VY ™ [<cdl„is‚Ši–¾V[,r[mlfNhN`—uNimu3uLYSj+islnvHigŸ
Y+]
Ð "EÑÓÒ f ~ g d
JÁYwln[ … i_^mY … [Ljw`buNiHu3uNY … i_‚=islnl„i”YŽ]
f Ò uLY‹Z\[LuL[qegfNY‹ÕÒÓÔQÐ " Ñ lnY+]df … cni
Õ"ÒÔ ~ g dQÒÓÔ dw~ g €J[mZ\[ d:YŽ]WY … ‰mldYŽi‹YwhŠjkYwlnl„imuNi‹r[mlfNh9jk`blnjwfN`»cn[<jwYwlnlniHuL[
uLY:imh=j„ƒN u[ dJš … imldvH[ ’s`—uLYwhgcn`»ÏŠj+isZ\[H]ÁY+hgcd[mhŠjkY+] dw~ g jk[Hh
Y #… fs¾V[ ÃuLY … jwisZ\r[9uNY<`bh=uLf=j+jk`bzmh¡Z\imvmhN|wcd`—jwi9]C[H‚NlnY
… i_]dfNrYwldϊjk`bY,uLY‹uL`—j„ƒN[qjk`blnjwfN`ocd[=
×SY‹Z_[LuL[\egfNY ƒNYwZ\[g]"Y+]Ccnis‚ … YŽjk`—uL[_egfNY‹]dY‹jkfNZ\r … Ym’NrŠisl„i
Y+]CcdY‹j+im]d[_rŠisldcd‘—jkf … islŽ’ … i\ Y+š)uL=Y AŠisl„imuNi›šgŒò Ywh=t
ՁÒÔ I+
L
Y
--
B
v
I
v+
X
++
I-
A
I=I++I-=2I+
Y+hgcd[mhŠjkY+]”Y+]”rŠ[g]C`b‚ … Y3jk[Hh=]dYwvmf=`ol”egfNY … i¡jwimldvgim] vm`blnYwh˜i …
`bhgcdY+ld`b[ml\uLY … jw`ol„jkfN`ocd[Š’ÁrNld[LuLfŠjk`bYwh=uL[•fNh=i•jk[Hldln`bYwhgcdY9eHf=Y
]dY rNln[ … [mhNvHYSY+h3Y … cd`bYwZ\r[=
 … imZqish=uL[ &i … i lnY+]d`b]CcdY+h=jk`—iScd[sc„i … uNY … jw`ol„jkfN`ocd[,]dY"cd`bYwh=Y
egfNY … i\jk[mlnln`oY+hHcnY p`oh=uNf=jk`—uNi\Y+]Ccn‰\uNiHuNi<rŠ[Hl
$ $
Ð_Ñ !Õ $
<Ò
Ò
Ò
#
" $$
$ $$
iZ\[ml„i … YV¾Ci9`bZ_r[mldcnimhgcdYpegfNYqƒ=i›š•eHf=Y)]diHjwiml
uLY:Y+]CcdYYC¾VYwZ\r … [,Y+]JegfNY … i `oh=uNf=jwjw`ozHhpuLYQjk[Hldln`oŒ
YwhgcdY,Y+hºY … jk`blnjwfN`ocd[qY+]QfNh=iqZqimhN`»œYŽ]Vc„imjw`ozHh ’ŠuLY
… iyYwš{uLY3œfNYwlnt+ißuLY9[mlnYwhgcdt ™ Ywhxr=isldcd‘—jkf … isl
Y …b… i9`bhg^H[ … f=jkl„i3Y … rNln[LuLf=jkcd[ºjklnfNtqYwhgcnldY … i^mYkŒ
… [Ljk`—uNiHu š¶Y … jwisZ\r[QuLY`ohŠuLf=jwjw`ozHh,ZqisvHhN|kcn`bj+iHŸ¼
Åi: Y+š‹uL;Y AŠisl„imuNi›šgŒò Y+hNtEY+]Ccnim‚ … YŽjkYDf=h”lnY+]df … c„imuL[SeHf=YWY+]
Zq‰H]vmY+hNYwl„i … egfNY‹r=imlni\Y … Z\Ywln[qZ\[–^g`bZ\`oY+hgcd[qZ\Y+j+‰shN`—jk[Š
ˆ]d`…o… «wi_¬8Y+¨ ]Ccnis‚ …° YŽjkY‹egfN¤žY‹µk­“i ¢ªÇ ¨„°h& Y+]Ccn(® im' h=uL«w[ ¤{… «ki_¬8‚=­¯¢ªim« ldl„i”°sÏs’=¾Ci cn[a™ u=egi›fN^g`bYk‘—iqc„iH]dŸ¼Y ’
`bh=uLfŠjkY ³s² fNh=% iqjw²\[mln³+ld´ `bYwhgcdY¶Ywh9³ Y … jk³ `blnjwfN`»cn[qeHf=)² Y % ]ni–cn`b]CœªimjwY
Õ"ÒÔ ‹ JÁY+ld[,imƒN[ml„i Y … jwimZ”‚N`b[,Yw
h x^a`oY+hNYSuLY … ƒ=Y+j„ƒN[”egfNY }~ ^–imld‘—iqYwh•Y … cn`oY+Z_r[9[ … ip[Hld`bYwhgcniHjk`bzmhylnY … i–cn`o^–i)Ywhgcdln!Y S }
š}~ ^–isln‘—i¡jw[mh Y … cd`bYwZ\r[ ™ jk[HZ\[¡[Ljkf=ldlnY3r[ml\YC¾VYwZ\r … [
jw[mh9fNh=i_Y+]drN`blni\egfNY ln[scni<`bhNZ\Ywl„]di_YwhfNhºj+isZ\rŠ[ }~ jk[Hh
uN`olnY+j+jk`bzmhpÏm¾Ci\YwhY … YŽ]Cr=iHjk`b[gŸk
@QACBEA@:A *+, '-,0VcM `
Àm5€J[mlnld`bYwhgcdYE`bh=uLfŠjk`—uNiQ]d[m‚NlnYEfNh=iQY+]drN`blni:jw`ol„jkf … imal S¹uNY
ldYŽ]C`—]VcnYwh=jw`bi š9l„imuN`o/[ .S egfNY_Y+]Ccn‰3jk[mhgcnYwhN`—uNipY+h
jkml-n%opaq rslutovq wxwxlyp(zs{_|sk~}x|V]zsr€}l2Vzƒ‚V„ w…q †|?y‚-|s†s‡Vˆ }x|s8Vzc‰Yq zsrs†€q |€wy‹Š.r_q Œsz-k~w…q I|s8Izsˆ„ l-Ž…„ l<o
¿=À ˆ … YŽj¼cdln[mZqimvmhNYwcd`—]CZ\[=8ÂòhNvHYwhN`bYwln‘bi_uLY ˆ ¾VYŽjkf=jw`ozHhYwh ˆ … Y+j¼cnld`—jk`—uNiHu
ÀŽ¿NÀ
Y … r … ishN[<’ r[ml,f=h/j+isZ\r[ºZ\imvmhN|wcd`—jk[^–isln`bim‚ … Y
+Y h9Y … cd`bYwZ\r[puLY … i<œ[HldZqi }~ ÒÆ~ g 8 i h 
^
n
q
B
w
x
a
…F f–¾V[ uLY … jwisZ\r[ uLY `oh=uNf=jwjw`ozHh
ZqisvHhN|kcn`bj+i_Y+]+ˆ †
Ò }~ I¶ }
Ò ~ g 2 i h h
Ò ~2g 8 .
Åiqjwis`—uNi\uLY,^H[ … cnis¾VY¶Y+hºY … jw`ol„jkf=`»cn[qY+]:ÕÒ Ô "$!# uLY
Z\[LuL[qegfNY,]CY rNln[LuLf=jwY¶f=h=iqjk[Hldln`oY+hgcdY
<Ò "
~ g 8 .('QÒÔ ~ g . *),+ 8
&%
uLY9uL[mhŠuLY3]dY)isr=ldYŽjk`—iyegfNY … iy`bhHcnYw0h=/*]d13`—uN2"4 imuyÈCrŠYŽi K•cd[
rY+i K É uLY … i_jw[mlnld`bYwhgcnYSYŽ]w† g .
Ò - 5 
¿L @Qh=i‹Y+]drN`blni‹jwf=imuNlniHuNi‹uLY … imuL[g] .<7š 6lnY+]d`b]CcdY+h=jk`—i ln[sc„i)jk[Hhßl„isrN`—uLY+t_imhNvmf … isl¶jk[Hh=]Vc„ishgcdY ™ Ywh¡cd[Hldh=[
i … YC¾VY jw[mZ\[3Z<fNY+]Ccdl„i … i)Ï=vmfNl„iHŸ:YwhgcdlnY … [g]Qr[ … [H]
uLY_fNh•`oZq‰mhßrYwlnZ\imhNYwhgcnY<egfNY_rNld[LuLfŠjkY_fNh¡j+isZ\rŠ[
ZqisvHhNYkcn`bjw[QYŽ]Vc„imjk`b[mhŠisln`o[Q~ g jk[mh<[mln`oY+hgcnimjw`ozHFh i h s×SYkŒ
cnYwlnZ_`bh=iml … i\œV YH Z `bh=uLfŠjk`—uNiqšY … ^–i … [ml:YwœY+j¼cn`o^H[)uLY
… i\jk[mlnln`oY+hHcnY¶egfNY,]dY vmY+hNYwl„iN
893: Åiq]Cf=rŠY+lCϊjw`o=
Y } uLY‹`bhHcnYwvHlniHjk`bzmh3œ[mldŒ
Z\i:fNh<imhNvmf … [QuLY:;:lnY+]drŠYŽj¼cd[¶i … jwisZ\r[ )}~ ’ŽuLYJZ\[auN[
eHf=Y h ÒÓÔ =)>+ ;#h ? ;
h  … rNln[LuLf=jkcd[\rNfNhgcd[qY+h
… i_`bhH<cnYwvHlni … AÒ @ }~ ?S i} lnˆ Y+]df … cni_Ywhgcn[mh=jwY+]
Ò }~ < h Ò ~ g .B6 ;
Ò ~ g .B6 8
×QY+ld`b^–ish=uL[q]dY [m‚Lcn`oY+hNY fNh=i_œV Ym Z
ÕJÒÔ:~g .B6 *)>+ 8
i\jk[Hldln`oY+hgcdY¶`oh=]n]Ccnishgc„‰shNYŽi”lnY+]df … cni
Õ Ò g*)>+ 8
Ò $$ $$ $ $
0/$2C
jk[mh g Ò 5 - 
i\jk[Hldln`oY+hgcdY¶YkœY+jkcd`b^–i<YŽ]
~ g .B6 Y D Ò E g Ò
F
F E
E
N @:h ]d[ … YwhN[H`buNY Z”f=š … islnvm[Š’ uLY < Ò 0GK ^gf=Y … cnim"] H›Z\Ywcdln[=’ …b… Yw^–i)jw[mlnld`bYwhgcdY 38W Ò _g " JÔ I # ’
YwhpegfNY Vg¶MÒ L ON PRQTš S/Ò "3U V N ] Q  ˆ h)Y … `ohgcnYwln`o[Hl
ƒ=i›šßfNhŠiyrY+egfNY XŠiºY+]drN`blniºjw`ol„jkf … isl_uLYpl„imuL`b[ .˜ZÒ Y
N jw[
Z Q ’=]š \ÊÒ ¿ ^_^afNY … cniH]:uLY”j+is‚ … Y,Z”f=š9uLY … vgimuL[\š
isrNlnYkc„imuL[Š ‡ €Jf=i … Y+] … ipœV Ym Z`bh=uLf=jw`bu=i3Y+h … i9Y+]drN`oŒ
lnißrŠ[Hl … i¡jw[mlnld`bYwhgcnYp^–isln`bim‚ … Y3Ywh … i¡]CfNrYwldϊjw`oYuLY …
]C[ … Y+hN[m`—uLYŽH
jkml-n%opaq rslutovq wxwxlyp(zs{_|sk~}x|V]zsr€}l2Vzƒ‚V„ w…q †|?y‚-|s†s‡Vˆ }x|s8Vzc‰Yq zsrs†€q |€wy‹Š.r_q Œsz-k~w…q I|s8Izsˆ„ l-Ž…„ l<o
¿=À ˆ … YŽj¼cdln[mZqimvmhNYwcd`—]CZ\[=8ÂòhNvHYwhN`bYwln‘bi_uLY ˆ ¾VYŽjkf=jw`ozHhYwh ˆ … Y+j¼cnld`—jk`—uNiHu
ÀŽ¿H¿

893:  … imZ\YwZ\[H] i … i{uL`—]CcnishŠjk`—i•egfNYºƒŠi
rŠY+hNYkcnlniHuL[ … ipY+]drN`ol„i\Ywh … iqlnYwvH`ozHh9uLY_jwimZ_r[qZqisvmŒ
hN|kcn`bjw[= ˆ …B fs¾V[¸uNY … jwimZ_r[¸Zqisvmh=|kcd`—jk[£Y+]Ccni¸uNisŒ
uL[£r[mlŽ†2 Ò ~ g . ™ ]CfNr[mh=`oY+h=uL[¹egfNY/ldYŽjk[mlnlnYkŒ
Z_[g]"Y … jw`ol„jkf=`»cn[qYwhY … ]dYwhgcn`buL[q`bh=uL`—jwiHuL[qYwh … i_Ï=vmfNŒ
lnigŸSuNYpZ\[auN[yeHf=Y … i9œV Ym,  ZÊY+h/Y … jw`ol„jkfN`ocd[ºlnY+]df … cni=†
Õ¡Ò Ô "$!# . ÒÔ:~ g . $# Ò Ô:~ g . f-, JÅi{`ohgcnYwh=]d`»Œ
uNimu,uNY … iSjw[mlnld`bYwhgcnYWi … `bhHcnYwln`o[HlÅuLY … jk`blnjwfN`ocd[QlnY+]df … cni=†
¡Ò Õ0/ Ò ~ g . f-, !/ _’ š/]Cf˜uN`olnY+j+jk`bzmh{]CY)rNfNY+uNY
uLYkcnYwlnZ_`bh=imlÅjk[Hh=]d`buLY+lnimh=uL[Y … ]dYwhgcd`—uL[SYwh”egfNYƒNYwZ\[g]
ldYŽjk[mlnln`buL[ … iY+]drN`blni"š egfNYJÐ "DÑÓÒÔ:ÕJÒ ~ g . f-,21
N’›uLYuN[mh=uLYJrŠ[LuLY+Z\[H]ÁuLY+uNf=jk`bl8egfNYÑ Ñ "šm’›Z\`»Œ
lnimh=uL[ … i3Ï=vHfNlni=’uLY+uLfŠjk`bl,eHf=Y_Y … ^m[ … c„i–¾V1 Y_^›iuLYŽ]duNY
Y … r=fNhgcd[”~ ƒ=imjw`bi Y … rNfNhgcn![ ¹Y+h)]CY+hgcd`—uL[,jk[HhHcnlnimld`b[
i } uNY‹`ohgcdY+vml„imjw`ozHh 
i_œfNY+ldtŽiqZqisvmh=|kcd`—jwiqegfNY”ƒ=imjwY,Y … jwisZ\r[pYk·acnYwlnhN[
ldYŽ]Cf … cni … i¡]dfNZqi/uLYY … ]dYwvmZ\Y+hHcn[¡ƒ=[mln`ot+[mhgcni … Zq‰H]
… [g]”uL[g]<]dYwvHZ_Y+hgcd[H]”^mY+lCcn`bj+i … Y+]+ P:Z<‚Š[g]<]dYwvHZ\Ywhgcd[g]
^mYwldcd`—jwi … YŽ],rNln[LuLf=jwYwh˜œf=Ywlnt+im]<[mr=fNY+]CcniH]”ƒNY9`bvmf=i … YŽ]
~ g h šÔ ~ g h egfNY•]CY/jwimh=jkY … imh  … ]CY+vmZ\YwhNŒ
cd[p ƒN[Hld `btw[Hhgcni … rNln[a uNf=jkY,f=h=iqœfNY+ldtŽiqr[ml¶ˆ fNhN`—uNimuyuNY
… imldvH[ } O/5}~ Ò # h O ~ i h ’ … iœfNY+ldtŽiºhNYkc„iyZqisvHhN|kcn`bj+i
ldYŽ]Cf … cni,^mYwldcd`—jwi … †ŠÔ .a~ ga h ™ lnY+jwfNYwl„uLYQegfNY h isrNf=hHc„i
Ywh … i_Z\`b]dZqiquL`bldYŽjwjk`bzmh9egfNY 3 } Ÿk
i Y+jwf=imjw`ozHhpuLY:Z\[–^a`oZ\`bYwhgcd[‹^HYwldcd`—jwi … Y+]+’HuLYSimjkf=YwldŒ
uL[qi … i_ÂCÂ" Y+š)uLY54:?Y X"cd[Hh
( . , Ò"( 3 Ô .a2~ g
/
J8Y+ld[:cdYwh=`bimZ_[g]egfNY <ÒÆ~ . f-, »’ŽuNYJZ\[LuL[QegfNYJr=isl„i
… i_l„isrN`—uLYwt f Ò f-, a]CY‹[H‚Lcd`bYwhNY … i_Y+jkfŠimjk`bzmh
( f Ò( 3 Ô . ~ f
R
a
I(t)
… jwisZ\r[Ã}~ i … `ohgcnYwln`o[HlÁuNY … ]d[ … YwhN[H`buNY
™ rNld[–^H[LjwimuN[9rˆ [ml … iyjk[Hldln`oY+hgcdYqYwh … i¡]CfNrYwldϊjw`oY)uNY …
]d[ … YwhN[H`buNYŽŸJY+]
~ Ò g Ò g < €iHuNi9^gf=Y … cniuLYpjwim‚ … Y_Y+h … i9Y+]drN`blni9Ywh•Y … `ohgcdY+ld`b[ml
uLY … ]d[ … YwhN`—uLY Ywh … istŽi”f=h f–¾V[
À YŽ]CrN`bl„i Ò . ~ x
ˆ b… f–¾V[\cd[mcni … uLY … iH] \YŽ]Cr=`ol„im]"YŽ]w†
ä“ ë„ä“à„Þ M
Ò \ . ~ x
Åi”œV Ym Z lnY+]df … cni\uLY+rŠY+h=uL`bYwhgcdY,uLY … cd`bYwZ\r[=†
Õ Ò Ô žÒRÔ \ . g < Ò ÔR\ . g < _g S9I K #
8 ( 9 9 3"!#$ %'& ' . @Qh=i”YŽ]Cr=`ol„i”lnY+jkcnimhNvmfLŒ
… islDuLY"Zqim]ni)(¡’mldYŽ]C`—]VcnYwh=jw`bi ¹š_uL`oZ\Y+h=]C`b[mh=Y+] .+&* 6›’
j+isYm’auLY+‚N`buN[_i … i”vml„i›^mYŽuNimu’Hr=isldcd`bYwhŠuL[<uLYŽ]duNYQY … lnYkŒ
r[H]d[”uLY+hHcnld[_uLYQf=h=i,lnYwvH`ozHh\jw[mh)j+isZ\r[”ZqisvHhN|kcn`bjw[
~ g fNh=`»œ[HldZ\Ymi\YŽ]CrN`bl„ipimjwY … Ywl„i<ƒŠim]CcnipegfNY”i … j+ishLŒ
tŽi ™ uLY+‚N`—uL[<i … œlnYwh=iHuL[,^a`b]njk[g]C[,egfNY¶]CYQrNld[LuLfŠjkY:r[ml
`bh=uLf=j+jk`bzmh_Zqisvmh=|kcd`—jwigŸÅfNh=i¶lnimrN`—uLYwtZqi–·L`oZqi f Zqi–·
r[ml‹uLYwcdYwlnZ\`ohŠislŽ×SYkcnYwlnZ_`bh=iml … i)jw[mlnld`bYwhgcnY 9Ywh•Y …
jw`ol„jkfN`ocd[ŠÅiqœfNY+ldtŽipZqisvHhN|kcn`bj+i)]d[m‚NlnY,Y … j+is‚ … Ym’ži
YŽjkf=iHjk`bzmhºuLY‹Z\[–^a`oZ\`bYwhgcd[pegfNY,]ni–cn`b]CœªimjwY … i\l„isrN`—uLYwt
uLY9jwim`buNi f-, š … iºl„isrN`—uLYwt)Z\‰s·L`oZqi f Zqi–· egfNY)i … Œ
j+ishNtŽi … i_Y+]drN`blni<Ywhº]df9j+is`—uNiN
R
I
A
B
g
b
dr
y
a
ˆ jkf=iHjk`bzmhegfNY rNfNY+uNY‹ldY+Y+]njkln`o‚N`bl„]CY¶jk[mZ\[Š†
™R  ¿HŸ
( f Ò( 3 Ô76 f
Ywh¹egfNYY … jw[aYkϊjw`oY+hHcnY86:9 2"45 94 ¾VfNYwvgi/Y … ln[ … uNY
fNh£jw[gYwϊjk`bYwhgcnY9uLY<; ld[LjwY= ^g`—]njk[H]d[ßuLY9[mln`bvmY)Y … YŽj¼cnld[mŒ
Z\imvmhN|wcd`—jk[Š
iY+jwf=imjw`o[Hh ™ R ç¿mŸ‹Y+],`—uLY+hHcn`bj+iyi … iyegfNYpvH[m‚N`bYwlnh=i
… i_jwim`buNi>; … `b‚NlnY= uLYSf=hjwfNYwlnr[<Y+h3rNlnY+]dYwhŠjk`—i”uLY ln[ajwY
^g`—]njk[H]d[=›½Lis‚YwZ\[g]8egfNYJr=isl„i … [H]8rNln`bZ_Y+ld[g]]dYwvHfNh=uL[g]
uLY,jwim`buNi … i\lnimrN`—uLYwt‹YŽ]"rŠYŽeHf=Y X=i ™ f@? HŸš9]CY cnYwhLŒ
uLln‰¶isr=ld[›·L`bZ\iHuNisZ\Y+hHcnY B$A# Ò 3 … [‹egfNYjk[mlnlnY+]drŠ[Hh=uLY
i‹fNh)Z\[–^a`bZ_`bYwhgcn[”jk[Hh)imjwY … Ywl„imjk`bzmh\fNh=`»œ[HldZ\Ym JEisl„i
`oh=]CcnimhgcdY+]:rŠ[g]VcnYwln`o[HldYŽ] ™ f hN[qcnimhºrŠYŽegfNY XN[aŸY … ln[ajwY
^g`—]njk[H]d[º]CY)ƒ=imjwYp`oZ\r[mldcnimhHcnYpš•cd`bYwh=uNY3iœlnYwh=iml,Y …
jkml-n%opaq rslutovq wxwxlyp(zs{_|sk~}x|V]zsr€}l2Vzƒ‚V„ w…q †|?y‚-|s†s‡Vˆ }x|s8Vzc‰Yq zsrs†€q |€wy‹Š.r_q Œsz-k~w…q I|s8Izsˆ„ l-Ž…„ l<o
¿=À ˆ … YŽj¼cdln[mZqimvmhNYwcd`—]CZ\[=8ÂòhNvHYwhN`bYwln‘bi_uLY ˆ ¾VYŽjkf=jw`ozHhYwh ˆ … Y+j¼cnld`—jk`—uNiHu
Z\[–^a`oZ\`bYwhgcd[ uLY … [m‚L¾VYwcd[ uLY"cni … ZqishNY+lni¶egfNYi … jwim‚Š[
uLY”fNhcd`bYwZ\r[pvml„ish=uNY,]CY cn`oY+hNY ( 3 ? 6 f ™ Y+]SuLY+jw`ol
iHjkY … Ywl„imjw`ozHh BA HŸEš … i,l„isrN`—uLYwtSuLY … [m‚L¾VYwcd[”]dY:YŽ]VŒ
c„is‚N` … `bt+i:Ywh f $? # ?( 3 / 6ž ˆ ]uLYŽjk`bl … i"Z\‰s·L`oZqi"l„isrN`—uLYwt
egfNY,i … j+ishNtŽi”Y … [m‚L¾VYwcd[\Y+]+†
( 3 Ò ( 3 f Zqi–· Ò
6 ~ .
( 9 & JEisl„i3Y … rNln[m‚ … Y+Z\iºimhgcdYwln`b[ml‹ish=i … `btwY
egfNYq[Ljkf=ldlnY_]d`“’ Ywh•^mY+t\uNYqYwhgcdl„isl‹ifNh=i9lnYwvH`ozHh¡uLY
j+isZ\rŠ[ßZ\imvmhN|wcd`—jk[ … iY+]drN`blniº]ni … YpuLY … iºlnYwvm`bzmh/uLY
j+isZ\rŠ[\ZqisvHhN|kcn`bjw[=
@:ACBDA "A *` ,¶TV.K )1` ,G ' M :T ' /T ,GJILM
X:Y+Z\[H]"^a`b]Ccd[qegfNY … i<œV YH ZNYŽ]Vc„‰_u=imuNi_r[ml
Õ"ÒÔ ‹ ÒÔ }~ I¶ }
š¡egfNYqjwf=ish=uN[ … i9Y+]drN`blni9hN[Y+]Ccn‰Y+h¡Z\[–^a`bZ_`bYwhgcn[9h=`W]CY
uLYwœ[mlnZ\i\]dY¶cd`bYwhNY
Õ"ÒÃÔ G }~ I¶ }
G
€Jf=imh=uL[ … i•Y+]drN`blni¡Y+]Ccn‰•Y+h£Z\[–^a`oZ\`bYwhgcd[•[{]CYuLYwœ[mlnZ\i
|+]CcnipYk·LrNlnY+]d`ozHhy]CY<Z_[LuL`oϊj+ipipfNhŠipegfNY”`bh=j … fNšHY”Y … YkœYŽj¼Œ
cd[•uLY … Z\[–^a`oZ\`bYwhgcd[¡uLY … jk[HhHcn[mlnhN[ßuLY9uL`—j„ƒ=iß]dfNrYwldϊjk`bYm
EY+imZ\[H] … i_uNY+uLf=j+jk`bzmhuLY,uL`—j„ƒ=i_Yk·LrNlnY+]d`ozHh 
€J[mhŠ]C`—uLYwlnYwZ\[g] fNh=iºYŽ]CrN`bl„iºeHf=Y)]CY\cnlniH] … imu=iš H–[ºuLYkœ[HlCŒ
Zqi•Ywh fNh¹jwisZ\r[ Ê}~ `bh=uLY+rŠY+h=uL`bYwhgcdYyuNY … cn`oY+Z_r[/rŠY+ld[
uLY+rŠY+h=uL`bYwhgcdYºuLY … ißrŠ[g]C`—jk`bzmh } DiyYŽ]Cr=`ol„iN’Ái … Z\[–^mY+ln]dY
jkf=‚NldY fNhºjw`oY+lCcn[_^H[ … fNZ\Ywh 
ÀŽ¿
 … imZqislnYwZ\[H] x i … iº]CfNrYwldϊjw`oY)egfNYpuNY … `oZ\`ocniºY … jk`bldŒ
jwfN`ocd[ºYwh{f=h˜`ohŠ]Vc„ishgcdY ’ i … iy]dfNrŠY+lCÏjk`bYpeHf=Y
uNY … `oZ\`ocni,Y … jk`blnjwfN`»cn[”Y+h)fNh3`oh=]CcnimhgcdYQr[H]CcdY+ld`b[ml Ð ’aš
&i … ip]dfNrYwldϊjk`bY”uLY … Zqishgcn[)egfNY”uLYwÏ=hNY<uN`bj„ƒN[3jk`blnjwfN`»cn[
i … cdl„im] … iHuNisl„]dYm
½L`Áimr … `bj+isZ\[H]+’]C[H‚NldY_uL`—j„ƒN[3^H[ … fNZ\Ywh ’Y … cdYw[HldY+Zqi3uLY … i
uN`o^HYwlnvmYwhŠjk`—i<i … i\Y+jkfŠimjk`bzmh N }~ Ò N’=š3]dYwr=imlnimZ_[g] … iH]
jw[mhgcdln`b‚Nf=jk`b[mh=Y+],]d[m‚NlnYpY … Zqishgcn[¡uLY … iH]<jw[mhgcdln`o‚=f=jk`b[mhNYŽ]
]d[m‚=ldY … iH]]Cf=rŠY+lCϊjw`oYŽ] š Ð ’LcdY+h=uLlnYwZ\[H]+†
Ò
N S}~ H^\D
Ò }~ I¶ }
Ò }~ ?S } }~ S } }~ S }
#
# #
Ò FÔ }~ (< h }~ (< h }~ ?S }
#
# #
Ò 2Ô 2 2x Ð }~ S }
uNY uN[mh=uLY,]d`bvmfNY‹egfNY
x Ð Ô 2 ÒÃF
Ô }~ I¶ }
JÁ[Hl:[scnld[ … imuL[3uLY … i\Ï=vmf=lni\YŽ]:r[H]d`o‚ … Y”imrNldYŽjk`—islQegfNY”fNh
Y … Y+Z\Ywhgcd[ uLY•]dfNrYwldϊjk`bY ¶ } ]d[m‚=ldYyY … Z\imhgcd[£]ni–cn`b]CœªimjwY
¶ } Ò O Ð ’žuL[mhŠuLY YŽ] … iq^mY … [Ljw`buNiHueHf=Y‹cd`bYwhNY_jwisŒ
u=ißY … Y+Z_ } Y+hgf } cd[/uLYºjwisZ\`bhNf }[/]C[H‚NldY3Y … jw[mhgcd[HldhN[¡`oh=`bjw`bi=’ÁuNY
Z\[LuL[yegfNYpr[LuLYwZ\[g]‹Y+]njkln`o‚=`ol … i`bhHcnYwvHlni … uLYp]dfNrŠY+lCÏjk`bY
Y+h/cd|+ldZ\`bhN[yuLY)f=h=i`ohgcnYwvml„i … uLY … ‘ohNYŽiºš•[m‚LcnYwhNY+Z_[g] … i
]d`bvmfN`bYwhgcdY Yw·ar=ldYŽ]C`bzmh †
u Ð Ô x Ò
Ô Ð }~ } O f } Ò Ð }~ f } O } Ò Ð }~ O f } }
Ò Ô Ð f } O }~ }
ˆuNf=hyj¼cneH[_f=Y,Z\ƒN`o·aYwcdZ\[q[gš)]:uLƒNYYŽ…j„ƒNrN[pln[Lf=uL]df=[pj¼cnuL[qY jk… lnimfN]:tmrN ld[HrN`bY+uNiHuLY+]:uNY … r=ld[mŒ
JÁ[Hl Ç … cn`oZ\[puL`b^a`buL`bYwhŠuL[ … [g]"‚Nlnimtw[g]uNYwlnY+j„ƒN[_šp`bt+egfN`bYwl„uL[
uNY … i•f … cd`bZ\i•Yw·ar=ldYŽ]C`bzmh£rŠ[HlqÐ š{cd[HZqish=uL[•Y …… ‘bZ_`ocdY
Ð _[m‚LcnYwhNY+Z\[H]
ÒÓÔ f } O }~ I }
ˆjwf=·aisr=hŠlduLYŽ[p]C`bzmfNh”h=i)egfNY+Y"]drNr`bYwlnlni3Z\]C`»Y”cnYcdl„[Him‚L] cd… Y+iHhNuNYwiql [3… i:uNœVYk Ymœ[m ZlnZqmegipfNjkY"[H]ChßY"ivm…Y+vmhNf=Ywh=l„ii
^HY … [Ljk`—uNimu f } uN`»œY+ldY+hHcnY3rŠisl„ißjwiHuNiyr=fNhgcd[{uLY … i¡Y+]drN`blni=
:Y+]df … c„iN†
ՁÒÃÔ ‹ Ò f } O }~ ? }
S
S(t)
S(t+Dt)
- ^n
v dt
dr
ds
^N
^n
jkml-n%opaq rslutovq wxwxlyp(zs{_|sk~}x|V]zsr€}l2Vzƒ‚V„ w…q †|?y‚-|s†s‡Vˆ }x|s8Vzc‰Yq zsrs†€q |€wy‹Š.r_q Œsz-k~w…q I|s8Izsˆ„ l-Ž…„ l<o
¿=À ˆ … YŽj¼cdln[mZqimvmhNYwcd`—]CZ\[=8ÂòhNvHYwhN`bYwln‘bi_uLY ˆ ¾VYŽjkf=jw`ozHhYwh ˆ … Y+j¼cnld`—jk`—uNiHu
ˆuLYwh œ[mlnY Z\… iHjwjkiH`bzm]C[ h)uNuLY Y … i,eHYŽf=]CY rN`bl„]dYi,[\cn`o]CY+f)hNY cdl„imYw] h5… iHjkjk`bfNzmhqY+hHYwc„h3i Y c„… isY+hg]dcdr=[ iHjk…`bi[
šyi … Z\`—]CZ\[3cd`bYwZ\r[egfNY_Y … j+isZ\r[ }~ rNfNYŽuLY\^–isln`bimlQYwh
Y … cd`bYwZ\rŠ[ … i_Yk·LrNlnY+]d`ozHh)vHYwhNY+lni … YŽ]w†
Õ"ÒÃÔ ‹ Ò f } O }~ } Ô G }~ ?S }
G
Ò
ÀŽ¿ R
š Ò
g f g Õ Ò
f g
Ò
@:ACBDA "A *+,
' ,u0VM `
Àm €J[Hh=uLf=jkcd[ml¡ldYŽj¼c„ishNvHf … imlßuLY … iHuL[H] .&š 6{egfNY ]CY
Z<fNYw^HYSjk[Hh)^HY … [ajw`bu=imu f } Ò f g h Y+h3f=h3jwimZ\rŠ[_ZqisvsŒ
hN|wcd`—jk[ÃegfNY£uLY+rŠY+h=uLY¸uLY … i rŠ[g]C`—jk`bzmh  ˆ … j+isZ\rŠ[
ZqisvHhN|kcn`bjw[yY+]<vmY+hNYwl„imuN[ºrŠ[Hl”fNhxj+is‚ … Y)lnY+jkcd[yZ<fNš
… islnvm[\egfNY¶cd`bYwhNY,jw[mlnld`bYwhgcdY Š
g E
 ˆ hgcd[mhŠjkY+]
g f g .
g
$$
C
$
C
$ / $$
$
$ / g
f g g E
g f g 6(
E
/#
A
Ô6
A/#
2
g f g .
6
g f g 6
"
Ò
Ô
g f g g f g .
ˆjwi ]V… cnjkYpf … Z\imh=`b]duLZ\[Q[ºY … ld YŽf–]Cf ¾V=[ … c„im uL [ºš rN… f=fNY+Y+uLvmYq[SuN[H‚LYwlncd`oY+^–hNisYwhŠl„uL]CY\[Slnc„Y+is]dZ<r‚NY+j¼`o|+cnh[
uLY … cn`oY+Z_r[qY+]CcdY f–¾V[=
Z
Z
r +v t+a
0
0
ds=b dr
B
b
A
B
r
dr
B = m0 I z^
2pr
b
dr
I
I
a
r +v t
0
X
0
X
@S]dimZ_[g] egfNY … i"Y+]drN`ol„i]dYDi … YV¾Cijk[Hh lnimrN`»Œ
uLY+t f g uLY … jwis‚ … YH’ … fNYwvH[ … i)uL`b]Ccnimh=jk`—i jk[mhyegfNY
]dYJi … YC¾CiY+]Ccn‰:u=imuNir[ml x Ò g f g s€i … jkf … isZ\[H]
… i<œV YH Z=^a‘—iN†
Õ Ò f } O }~ }
g Ò
f ga h O i h I }
E
Ò f gg h }
E
½aY isrNlnY+jw`bi egfNY … [H] Ç hN`—jk[g] jwimZ\`ohN[g]ÆegfNY jw[mhLŒ
cnld`b‚NfNšHYwhß]d[mh … [H]Qr=isl„i … Y … [H]:i h ’rŠ[HlS[mcdln[ … iHuL[3uN`»Œ
j„ƒN[g]ÁjwisZ\`bhN[H]8YŽ]Vc„‰sh<j+isl„imjkcdYwln`bt+imuN[H]r[mlEr[H]d`bjw`o[HhNY+]
ˆeHf=œY+YjkYcd…`b^›Y im… Z\Y+Z\YwhgYwhgcdYHcd[,’miQuLrŠYSis]CldfNcdr`blDYwlduLϊY jw… `oiSY:Ï=iHvHj„ƒgfNf=lniSlniHš,uL[ [H‚=Y+]C]CY+cnldi‹^–uNimh=iHuLuL[[
rŠ[H8l } Ò 6V i h ’=]dY rNfNYŽuLY,uLYkcnYwlnZ\`oh=iml
Ò }~ W }
/ /
Ò / /A # 2 g i h 6a i h
A # / E A / # g 6
Ò / / 2
A#
E
Ò g 6 + g g f g f g .
½a`:isƒN[Hlni¡uLYwln`b^›imZ\[HE ]<ldYŽ]CrY+jkcd[/uLY … cn`oY+Z_r[/[m‚LcnYwhLŒ
YwZ\[H]+†
Õ Ò Ô ÒÓÔ g 6 + g g f g f g .
E g
g 6
Ò Ô g ff g . Ô g f g f g E
g 6 f g
Ò Ô g f " g . Ô g " f g E
jkml-n%opaq rslutovq wxwxlyp(zs{_|sk~}x|V]zsr€}l2Vzƒ‚V„ w…q †|?y‚-|s†s‡Vˆ }x|s8Vzc‰Yq zsrs†€q |€wy‹Š.r_q Œsz-k~w…q I|s8Izsˆ„ l-Ž…„ l<o
¿=À ˆ … YŽj¼cdln[mZqimvmhNYwcd`—]CZ\[=8ÂòhNvHYwhN`bYwln‘bi_uLY ˆ ¾VYŽjkf=jw`ozHhYwh ˆ … Y+j¼cnld`—jk`—uNiHu
!
a
b
Ic
ed
f
Qc
g
ih
#j
fc
c
Dl
o
Zp
sr
kf
(m 2n
qf Bf
c
Zt
Superficie de Integración
#"
%$'&
(
)*
a
B
(%
{
m[ cdln[ … iHuL[{Y+])Yw^a`buNYwhgcdYßegfNYºf=h=i{Y+]drN`blni{jwYwlnlniHuNi•Ywh … i
egfNY¶jk`blnjwf … i<uL`—j„ƒ=i<jk[mlnln`oY+hHcnY:YwhŠjk`bYwlnlni”fNh fs¾V[ ™ isfLcn[ fLŒ
¾V[aŸim]d[ajw`biHuL[\i_]dfrNln[mrN`b[_j+isZ\r[qZ\imvmhN|wcd`—jk[ŠL½L` … i\jw[mldŒ
ln`bYwhgcdYSY+]J^›imld`—is‚ … Y:Y+h)Y … cn`oY+Z_r[=’aY+hHcn[mh=jwY+]i … [ … islnvm[”uNY
… iY+]drN`blniß]CYqvHYwhNY+lnimlni9fNh=ißjwis`—uNiyuNYprŠ[mcdY+h=jk`—i … ™ œV Ym ZqŸ
r=ld[HrŠ[Hlnjw`o[Hh=i … ipuL`—j„ƒN[ fs¾V[=’Y+]:uLYŽjk`blQrNln[mr[ml„jk`b[mhŠi … i … i
r=ld[HrN`biºjw[mlnld`bYwhgcnY\Õ Ô $#  ˆ ]CcdYqœY+hNzmZ\Ywh=[ß]CY3jk[mh=[ajwY
jw[mZ\[<œYwhNzHZ_Y+hN[quLY,isfNcd[m`bh=uLfŠjwjk`bzmh
ˆš … … i‹jw[guLYwY+ϊldjk`b^–`bYwimhguNcni¶YQuLuLY Y:… rNi‹lnjk[m[Hrld[mlnl„`oY+jkhg`b[mcdhŠY"i ]C… Y`buNuLiHY+u hN[m˜Z\Yw`bhgh=cdi lnYQ¼¤uL¦s`—j„§=ƒN¨k[ ­ ¤žfs¨k¾V¢ [
³ ³
¦H«,¬ ³ « % ¢¥® ³
ՁÒÔ 8¤ ¦m« D¤=¢ª¨w¢ª©–¤ ® m¨w­“¢ª¨ ¦H« ë 9 / ÃÌ w«¡¢¥¤=±
­ò«w® % ³ ®d«w­ ³ ¨„° ² ° <%¬ ³ ¢¥¤ž¦–§=³ ¨w­ ³ ¤¨w¢ ³ ² ¢ª¦H«x¨w§ ³ ¤=­ò° § w°
% §=«„¦m« ³ ¬ ²q³ ¨„«k¤ ³ ® "«k¬ ¼¢ ¼­ò« ²q³ ¨w§ ³ ¤¦H°”¨w¢¥®d¨w§L¬ ³ §L¤ ³ ¨„°–®¼±
®¼¢ª«w¤=­ò« ˆ hßvHYwhNY+lni … ]d[ … [)uLY+rŠY+h=uLY<uNY … ipvmY+[mZ\Ykcnld‘—i
š”rNld[HrN`bY+uNiHuLY+]EuLY … Z\Y+uL`b[‹Zqi–cnYwln`bi … rŠY+ld[‹hN[‹uLY … cn`oY+Z_r[=
@Q%A Z"ACBEA *+, '-,0VcM `
Àm5€J[gYwϊjk`bYwhgcnY uLY imfLcd[H`oh=uNf=jwjw`ozHhYwhgcnldY¿r … iHjwiH]
r … imh=im] ™ ]d[ … YwhN[H`buLY<jkf=iHuLlniHuL[gŸ:uLY … imuL[g)] .’ 6 Š]dYwr=isŒ
lniHuNim]WfNh=i_uL`b]Ccnimh=jk`—i =’ašpegfNY¶ƒ=ish9]C`—uL[_‚Š[H‚N`ohŠimuNiH]
rŠ[Hl_f=h j+is‚ … YºeHf=Y9uNi74 ^afNY … cniH]quLYZqishNY+lni¡eHf=Y
]Cf=]¶]dfNrŠY+lCÏjk`bY+]SrŠ[HlCc„ishßjw[mlnld`bYwhgcdYŽ]Q]dfNrYwldϊjk`—i … Y+] š_Ô ldYŽ]CrY+jkcd`b^–isZ\YwhgcdYH ˆ … j+is‚ … Y …b… Yw^–iSjw[mlnld`bYwhgcnY = 
{
egfNYyYŽ]qY … Z\`b]dZ\[{ldYŽ]Cf … cniHuL[˜egfNYº[m‚NcdfN^a`bZ_[g]qZq‰m]
imldln`o‚ŠiN
')( \(
96 ,>3. 13. 6 .
XQiH]Vc„iqimegfN‘ ƒ=YwZ\[H]:uNY+uLf=jw`buN[pjwim]d` jk[HZ\r … YwcnimZ_Y+hgcdY ™ ^HYwl
hN[mcni \Ÿ … im]SY+jwf=imjw`o[HhNY+]SuL!Y Wßi–Y· XJY …o… egfNY_]ni–cn`b]CœªimjwYwh … [H]
jwimZ\rŠ[g]{C } } U š }~ } U Ywh\Z\Y+uL`b[H]WhN[‹Zqi–cnYwln`bi … YŽ] ™ ^–i–Œ
jk`b[gŸk ˆ …b… iH]:]C[Hh †
N S}~
Ò ^–‰ … `—uNi\]C`bYwZ\rNlnY
N O }~
Ò g¶} ™ ^–‰ … `buNiq]d[ … [\jwim]d[_Y+]Ccn‰–cn`bjw[gŸ
N SC }
Ò / ™ ^–‰ … `buNiq]d`bYwZ\rNlnYŽŸ
N O C}
Ò Ô # ™ ^–‰ … `buNiq]d`bYwZ\rNlnYŽŸ
]CcniH]<YŽjkf=iHjk`b[mhNYŽ]”^–i … Y+h£r=imlni¡jwimZ_r[H]_^–isln`—is‚ … Y+]<Ywh Y …
cdˆ `bYwZ\r[= ˆ … jwiH]C[9r=isldcd`—jkf … iml uNY … i]CY+vmfNhŠuNi SÆegfNYp]d[ … [
ƒNY+Z_[g]‹uLY+uNf=jk`—uL[ºYwh/Y … jwiH]C[Y+]CcniHjk`b[mh=imld`b<[ S uLY+‚ŠYqvHYwhLŒ
Ywl„i … `bt+isl„]dYm’=rŠisl„i)jwimZ\rŠ[g]Q^–isln`—is‚ … Y+]SYwh•Y … cd`bYwZ\r[= ˆ ]Ccd[
]dY3jk[Hh=]d`ovHfNYpisvHldY+vHishŠuL[fNh˜cn|wlnZ_`bhN[ßiHuL`—jk`b[mh=i … egfNY)`bhLŒ
j … fNšHYSfNhŠi<uLY+ld`b^–imuNi<uLY … j+isZ\rŠ[<Y … Y+jkcdln`bjw[=’LuLYwln`b^›iHuNi”egfNY
Y+]iH]C[Ljw`biHuNi”i … i …b… imZqimuNi_jk[Hldln`oY+hgcdYSuNY uNY+]dr … imt+imZ_`bYwhgcn[
} Ò Õ g ’œYwhNzHZ\YwhN[cnYwZ\rŠ[Hlni … egfNYpY+]”uLYp]Cf=Z_[º`bhLŒ
cdY+ld|Ž]w’HrNfNYŽ]E# cd`bYwh=YQegfNY:^mY+lJjw[mh … i”jk[mhŠ]CY+ld^–imjw`ozHh_uNYSjwimldvgi
v … [m‚Ši … jkf=imh=uL[ … i¶uNYwh=]d`bu=imu_uLYjwislnvHiQ^–isln‘biSYwh\Y … cn`oY+Z\rŠ[
Ywh<jwimu=i … f=vHislÅuLY … Y+]dr=imjw`o[Š ˆ ]CcdYWœYwhNzHZ\YwhN[¶]CY+ln‰:uNY+]njkln`»cn[
Zq‰m]iHuLY … ishgcdYH
@:hŠi/^mYwtyjw[mlnldY+vm`—uNi … i˜¿sh=uNi•Y+jwf=imjw`ozHh ’DY+]prŠ[g]C`b‚ … YyuLYkŒ
Z\[H]Ccdl„islŽ’Qf=]nishŠuL[Æcn[au=im]¡Y …b… iH]w’‹egfNY … [H]/j+isZ\rŠ[g] }~ š
} ]ni–cn`b]CœªimjwYwh{fNhŠißYŽjkf=iHjk`bzmh˜uLY9[mh=u=iN’ÅegfNYuLYŽ]djwld`b‚ŠY … i
C
rNln[mr=imvHiHjk`bzmhuLY Y …b… iH]ßY+hÓY … Y+]dr=iHjk`b[= iÆl„isr=`buLY+txuLY
rNln[mr=imvHiHW jk`bzmhÓuLY Y+]Ccni&[mh=u=i YŽ] … i&lnimrN`buNYwt£uNY … i … fNt
Ò / /  ˆ ]VcnY)lnY+]df … c„imuL[ºYŽ] œfNh=u=isZ\Ywhgcni … ’ÅrNfNYŽ],Yk·aŒ
ƒN`b‚ŠYegfNY … i … fNtWh=[:Y+]ÅZq‰m]egfNYJ[mh=u=im] Y … YŽj¼cnld[HZ\imvmhN|wcd`—jwiH]
egfNY‹]CY‹r=ld[Hr=isvgishpY+h9Y … Y+]dr=iHjk`b[=
')( p( 43.> .> 13. 6 k>91 D;
,>
X:Y+Z\[H]^a`—]Vcn[ ai_cnlni›^H|+]uLY … iq Y+š9uNY `o[mcCŒV½Li›^–isld/c S ™ [
]d`Šf=u gr=ldYwÏ=YwlnYSi,cdl„i›^m|+]WuLY … i<¿sh=uNi”Y+jkfŠimjk`b[mhqY+h … i … `b]Ccni
uLYJY+jkfŠimjk`b[mh=Y+] uLcY Wyi–Y· XY …b… uLYŽ]djwld`ocni:imhgcdYwln`b[mlnZ_Y+hgcdYŽŸžegfNY
Y … jwisZ\r[ºZqisvmh=|kcd`—jk[#}~ r=ld[–^H[aj+imuL[9r[ml‹fNh=iyY+]drN`ol„i9Y+]
rNln[mr[ml„jk`b[mh=i … i … i,jk[Hldln`bYwhgcdY _egfNYSjw`ol„jkf … i‹r[mlJY …b… i= JÁ[ml
àà „éªä ÙÁàÚ8à ÛLÜJaÝnã›ÞáëàÅêCé¯êéé Žã›–æ–âVàÁåçêCêVãkâ 䯖êCìà„âVêVå ¼ãkã"ä“ê 曼êêVêVã›é¯ê 䓯àÁà„ÞÞçåçé¯8ä“à ê nmâ êE¼ìé¯ê ëÁêVìéªä ëwà8æ›êVå –é¯ââCªà„å æ–ä“àà
è
à„Þà ¯¼àSêVã›ä¯ê êC¯ãŽà ê ¯Dé¯êêVã”âVë ⠎¯åçêCêVãkãkä“ä“à êVé8êVŽã êêVé“ÞHêêCâ é ›ì à„âVåçë ÞáàQÞáàQâCë¼ãŽé“ê „à„âVå ¼ã\æ›ê"âCà kà
ÀŽ¿^
$
,+
.
9
:1<;
'-
0/21
=1?>
31
54
76 34
38 BADC 3E
@/
FGIJL
H K(MONQPRSU
H T
] 8
O/
08
38 8
01
28`8
^:?1
31
]
]
NWV
>
XH
VZY\[
<A
38
08
38`_
54
8`/
b
d
893: hHcnldY … im]<r … iHjwiH]<]dYpœ[HldZqiyf=h£jwimZ_Œ
rŠ[ }~ uLY `bhHcnˆ Ywh=]d`—uNimu g  ˆ … f–¾V[ ™ imfLcd[ f–¾V[aŸ
uLY)uL`—j„ƒN[¡j+isZ\r[yrŠ[Hl”Y … `bhgcdYwln`b[ml<uNY … ]C[ … Y+hN[m`—uLYqY+]
3Ò g .‹ŠJWfNY+]Ccd[\egfNY … i”uLY+h=]d`buNiHupuLY jk[Hldln`oY+hgcdY
]CfNrYwldϊjw`bi … Y+] Ò \ 3/ 6Q]dY [m‚Lcn`oY+hNYm†
.‹
Ò" g \
6 jkml-n%opaq rslutovq wxwxlyp(zs{_|sk~}x|V]zsr€}l2Vzƒ‚V„ w…q †|?y‚-|s†s‡Vˆ }x|s8Vzc‰Yq zsrs†€q |€wy‹Š.r_q Œsz-k~w…q I|s8Izsˆ„ l-Ž…„ l<o
¿=À ˆ … YŽj¼cdln[mZqimvmhNYwcd`—]CZ\[=8ÂòhNvHYwhN`bYwln‘bi_uLY ˆ ¾VYŽjkf=jw`ozHhYwh ˆ … Y+j¼cnld`—jk`—uNiHu
š3Y … jk[aYwϊjk`bYwhgcdY‹uLY,imfLcd[H`ohŠuLf=jwjw`ozHh3lnY+]df … cni
#9 Ò g \ .‹6 ¿L €J[aYkÏjk`bYwhgcdY‹uLY,imfLcd[H`oh=uNf=jwjw`ozHh3Y+hHcnldY,¿\j+is‚ … Y+]"r=imlCŒ
i … Y … [g])Z<fNfNfNš … islnvm[g] ™ … imldvH[ 6kŸ)šÆZ<fNšÆuLY … vHiHuL[H]
™ lniHuL`o[ .LŸqegfNY …o… Yw^–ishÆjw[mlnld`bYwhgcnY+]q[HrNfNY+]CcniH]puLYy`bhLŒ
cnYwh=]d`bu=imu šßegfNYqY+]Ccn‰mh¡]dYwr=imlniHuL[H]SfNh=iuL`—]Vc„ish=jw`bi
qf=hN[quLY … [mcdln[=
{
r
b
{
d
L
R
-
+
c
B
ÀŽ¿3Y
-
+
-
+
V0
893: Âòh=`bjw`bi … Z\YwhgcnYyY … jk`blnjwfN`»cn[˜Y+]Ccni{im‚N`bYwldŒ
cd[pšhN[ fNšmY<jk[mlnln`oY+hHcnYmž½aY<jw`oY+ldl„i\Y … jk`blnjwfN`ocd[)š … i
‚=i–cnYwln`biqjw[mZ\`oY+hNt+i)ipYwhgcnldY+vHisl:j+islnvHiqegfNY fNšmYHÅi
jk[mlnln`oY+hHcnYr=im]ni”]df=i›^HYwZ\YwhgcdYSuLY+]nuLYQf=h)^–i … [mlƒ”i”fNh
^›i … [Hl _hN[_haf … [ ™ ƒ=i›šqfNh=i_^–isln`biHjk`bzmhpuLY Š’aY+]uLYŽjk`bl
<Ò ’ … fNY+vm[<imr=islnY+jwY:fNh=i,œV YH Z Õ"ÒÃÔ ŸkaÅi
jwis`—uNi uLYr[scnYwh=jw`bi … cd[mcni … Ywh\Y … jk`blnjwfN`»cnu[ S¹egfN$Y# YŽ] … i
]CfNZqi‹uLY … iH]Wjwim`bu=im]DuLYQrŠ[mcdYwhŠjk`—i … Y+h … i lnY+]d`—]VcnYwh=jw`bi=’
`oh=uNf=j¼c„ish=jw`bi_šp‚=iscdY+ld`—iN’NuLY+‚ŠY,]dYwlhaf … iN=½LY cd`bYwhNYH†
Ô/Ñ g Ò Y+jkfŠimjk`bzmh9egfNY‹rŠ[LuLY+Z\[H]"Y+]njkln`b‚N`ol
Ò .Ñ g Ô ÂòhHcnld[LuLfŠjk`bYwh=uL[<Y … cd`bYwZ\r[_j+isl„imjkcdYwln‘—]Vcn`bjw[ >9 / _’
š)uLYkϊhN`oY+h=uL[pjw[mZ\[ g i … jwfN[Ljk`bYwhgcdY,Ñ g / Ó]CY¶cn`oY+hNY
Ò _gQÔ Yw[HlnuLY+h=ishŠuL[
Ò " g Ô ÂòhHcnYwvHlnimh=uL[”lnY+]df … cni=†
Ò g # " g g Ô Ô + g Ô g Ò $
$
+ $$ g _Ô g $$ Ò Ô $
$
g Ô Ò I #
Vg
Ò
_g Ô I #
"
Ñ
.
g
Ò
Ô I
#
"
ˆuLY … …vmi\l„‰–jkϊ[Hjwld[pln`bYwZ”hgf=cdY¶Y+]CYwcdhl„i)Y … Y …rNldjk[L[mjwZ\Y+]dr[_[mlduLcnY,imZ_j+is`bYwlnvHhgicn[pcdY+Z\rŠ[Hlni …
Qc
b
c
P:œfNYwl„iuLY)jwiHuNijwim‚ … YH’ jwiHuNifNhN[ºuLY
Y …o… [H]"isr[mldcni<fNhjwimZ_r[\~ egfNY‹uLYŽjklnY+jwY¶jw[mh … i\uL`—]VŒ
c„ish=jw`bi / i … j+is‚ … Y"š_jwfNšHi¶`bhgcdYwhŠ]C`—uNimu_YŽ]Vc„i‹uNimuNi¶r[ml
~ Ò 1  ˆ …ƒ f–¾V[ ™ imfLcd[ f–¾V[gŸ_]dYrNld[LuLfŠjkY9Y+]dYwhLŒ
jw`bi … Z\YwhgcnY3Y+h … ißlnYwvH`ozHh˜eHf=Y9]dYwr=imlnißfNh£j+is‚ … Y3uNY …
[mcdln[
9D
Ò }~ I¶ } Ò E 2 g 6a Y … œªiHj¼cd[Hl¿,^g`bYwh=YSuLY … ƒNYŽj„ƒN[<egfNYSƒ=E i›š\eHf=YSjk[Hh=]d`buLY+lCŒ
imlSegfNY”Y … j+isZ\r[qcd[mcni … Y+] … i)]CfNrYwlnr[H]d`bjw`ozHhyuLY … [H]
j+isZ\rŠ[g]uLY,jwiHuNi_jwis‚ … YHLÂòhHcnYwvHlnimh=uL[_ldYŽ]Cf … cni
g 6
Ò
+ !/ . ˆ … jk[aYkϊjw`oY+hgcdY‹uLY,isfNcd[m`bh=uLfŠjwjk`bzmhegfNY+u=iN†
9 Ò g 6 + / . N5JDln[LjkYŽ]C[•uLYpÈCj+islnvHi É Y+hxfNh¸]C`—]CcdYwZqi ™ ³ ­ «w®¼¢ ³ ®d« ¼¢ ¼­ «w¤¨w¢ ³ Yq¢¥¤¦s§=¨k­ ³ ¤ž¨k¢ ³ Ÿ¼
!
b
c
c
f Bf
c
c
b
b
jkml-n%opaq rslutovq wxwxlyp(zs{_|sk~}x|V]zsr€}l2Vzƒ‚V„ w…q †|?y‚-|s†s‡Vˆ }x|s8Vzc‰Yq zsrs†€q |€wy‹Š.r_q Œsz-k~w…q I|s8Izsˆ„ l-Ž…„ l<o
¿=À ˆ … YŽj¼cdln[mZqimvmhNYwcd`—]CZ\[=8ÂòhNvHYwhN`bYwln‘bi_uLY ˆ ¾VYŽjkf=jw`ozHhYwh ˆ … Y+j¼cnld`—jk`—uNiHu
ÀŽ¿
I(t)
I(t)
t=L
{
R
{
{
Proceso de Carga
Proceso de Descarga
{
I0
t
t=L
{
I0
R
t
8`ovHfNl„i R bÀm†=r=ld[LjkYŽ]C[puNY¶ÈdjwislnvHi É YwhßfNhß]d`b]CcdY+Z\i)jk[mhº`bhLŒ `bA8h=`bLu vmfŠfNj¼l„cni imRh=jk¿N`—i_†ŠrNšpln[LlnY+jkYŽ]d`b]C]C[9cdY+uLh=Y¶jk`—Èdi uLY+]njwimldvgi É Ywh¡fNh¡]d`b]CcdY+Zqi)jk[Hh
uLf=jkcnimh=jk`—i_š)lnY+]d`b]CcdY+h=jk`—i
t
A
 Dln[LjkYŽ]C[¹uLYxuNY+]njwislnvHi£r=imlni Y … YV¾VY+Z_r … [ÆimhHcnYwln`o[Hl+
@Qh=ix^HYwt/egfNY•]dY•Y+]Ccnis‚ … YŽjkY … i jk[mlnln`oY+hHcnYyZq‰–·L`bZ\i
_g ÒÆÑ(g/ Ó]CY‹jw[mldcd[Ljk`blnjwfN`ocni”uNY+]njk[mh=Y+j¼c„ish=uN[ … i_‚=i–Œ
cnYwln`bi=žÅi3uN`b]d`orŠimjk`bzmh¡ldYŽ]C`—]Ccd`b^›i3š … i3imfLcd[H`oh=uNf=jwjw`ozHh
]dYqjk[mhNœªis‚Nf … ish•r=imlni3ƒ=imjwYwl,uLYŽjwimYwl … iºjw[mlnld`bYwhgcnY”Ywh
fNhYkœYŽj¼cn[¸jw[mZ\rYkcd`ocd`b^m[¸Z<fLcdfN[Š†"rŠ[HlºfNh … imuN[ … im]
^–isln`—imjk`b[mh=Y+]_cdY+Z\rŠ[Hlni … YŽ]puLY xrNln[auNf=jkY+hÆi•cdl„i›^mY+]
uLY … i3imfLcd[H`oh=uNf=jwjw`ozHhyfNh=i)œYwZegfNY<cd`bYwh=uNY_i3ZqishLŒ
cnYwhNY+l … i9jk[Hldln`oY+hgcdYm’r[ml‹[scnld[ … i9lnY+]d`b]CcdY+h=jk`—iqcn`oY+h=uLY
i\uL`—]CZ\`bhafN`ol … iqjk[Hldln`bYwhgcdYH
ˆ … jk`blnjwfN`»cn[ cd`bYwhNYSisƒN[Hlni¶jk[Hldln`oY+hgcdY"`oh=`»Œ
jw`bi … Ñ g !/ _’ … i<YŽjkf=iHjk`bzmhuLY … jw`ol„jkf=`»cn[_YŽ]w†
Ò egfNY,]dY rNfNY+uNY‹ldY+Y+]njkln`o‚N`blŽ†
Ó
Ò
Ô
jw[mh]C[ … f=jw`ozHh3Yw·LrŠ[HhNYwh=jw`bi …
Ò g I #
š•uL[mh=uNY … iºjw[mh=]CcnimhHcnY _g)jw[mlnldYŽ]Cr[mh=uNY_i … iºjk[Hldln`»Œ
Y+hHcnY‹`oh=`bjw`bi … g ÒÆÑ g !/ _
ˆuLY … vH… i\ln‰sjkϊ[Hjkld[3ln`oY+Z”hgfNcdY¶YŽ]VYwcnhlni)Y … Y …rNlnjw[L[mjkZ\YŽrŠ]C[\[HlCuLc„Y,isZ\uLYŽ`bYw]dhgj+iscd[)lnvHcdi YwZ\r[ml„i …
R 5J
c
c
½aY”isr=ldYŽjk`—iqeHf=Y … ipjk[Hh=]Vc„ishgcdY,uNY,cd`bYwZ\r[ ºÒ !/ kj lnY+jkY:jw[mh {rYwln[”uL`—]dZ_`bhafNšmYSjk[mh ™ i”Zqi›šm[ml … i
Yk·LrŠ[HhNYwhŠjk`—i … ]dY:i–cnYwhaf=i Zq‰m]El„‰sr=`buL[aŸ¼’muNY:Z\[auN[,eHf=Y
fNhßjk[aYwϊjk`bYwhgcdY_uLY<imfLcd[H`ohŠuLf=jwjw`ozHhºvml„ish=uNY”]C`bvmh=`»ÏŠj+i
fNh=i‹jk[Hldln`bYwhgcdY:egfNYQj+isZ<‚N`bi r[Ljk[,Y+hqY … cd`bYwZ\rŠ[Š JÁ[Hl
[scdln[ … iHuL[‹]C`LY … jk[aYkϊjw`oY+hgcdY:uLYisfNcd[m`bh=uLfŠjwjk`bzmh_Y+]ÁrYkŒ
eHf=Y XN[ ™ [\YŽeHf=`o^–i … YwhgcnYwZ\YwhgcdY … i\ldYŽ]C`—]CcdYwhŠjk`—i”YŽ]"Z”fNš
vml„ish=uLY›Ÿ Y … jk`bl„jkfN`ocd[ß]dY3uNY+]njwislnvHiY+h˜fNhxcd`bYwZ\rŠ[ Z”fNšp‚=ldY+^mYm
@QA%Z"A%$"A FHGSOQPSRRTVUWG ,b+-,RINT ])
ˆ]dYD] ]dœªfNiHZqjk` …ish,^HYwuLl8Y eH… f=iY Z\… im`—]C]8Zqjwimi"`buNZqiHis]hNuLY+Ylnireg[scdfNY+Y h=… jkiH`—] i …jwimuL`bY uN…iHiQ] `ouLhŠYDuLrf=[sjwjwcn`oYwzHhLh Œ
jw`bi … Ywh … im]ÁlnY+]d`b]CcdY+h=jk`—im]+’suLYZ\[LuL[,egfNY`bh=uLf=j+jk`b[mhNYŽ] WJš
jk[mh=Y+j¼c„imuNiH]"Ywh w«k®¼¢ª«"cd`bYwhNY+h9f=h=i\`ohŠuLf=jwjw`ozHhYkœY+jkcd`b^–i
iH]C [Ljw`biHuNi Y D Ò W ’ÁZ\`oY+hgcdl„im]”egfNY9`bh=uLf=j+jk`b[mhNYŽ]
W¶š
jw[mhNYŽj¼cniHuNim]:Ywh ® ¬o«k¬b° … YŽ]Qjk[HldlnY+]dr[mh=uLY fNhŠi
`bh=uLfŠjwjk`bzmh9YkœYŽj¼cn`o^–i Y W D %=Ò ³ ³W W 4 
@Q%A Z"%A Z"A *º8G , K ^/) )]0€'*)ÁaR ,Å8G )E8O ) ,G PSG , 0 :
'*,GJILM TdGQOQPSRILMDK
JWfNY+]Ccd[pegfNY … iqjwim‘buNiquNY‹rŠ[mcdYwhŠjk`—i … iH]C[Ljk`—imu=i_i … i_œV YH Z
YŽ] Y … cnlnim‚=i–¾V[¡ldYŽi … `otŽimuL[¡Ywh Z\[–^mYwl_fNh=i/j+islnvHFi ‚Ši–¾V[”$uL# `—j„ƒ=i<uL`»œY+ldY+h=jk`—i”uNYSr[scnYwh=jw`bi … YŽ;] 2Ò $# ‹Ò
Y ßÒ Ÿ¼
Ò ™ ]CY3ƒ=iºf=]nimuN[yimegfN‘JegfNQ
Âòhg$cn#Ywvml„ishŠuL[<]dY‹[m‚Lcn`oY+hNYm†
$ ¯Ï=hŠi …
\Ò " $$
2Ò
$ `bhN`—jk`—i …
E
Åi\`ohgcnYwlnrNldYwcniHjk`bzmhºuLY,YŽ]VcnY,ldYŽ]Cf … c„imuL[qYŽ]QegfNY‹Y … cdl„is‚Ši–¾V[
™ uLYfNh<imvmYwhgcnYWYk·acnYwlnhN[gŸ]CYvHiH]Vc„i:Ywh_i … ZqimjkY+h=islžÈVY+hNYwlnvm‘—i
c
c
@c
c
f
c
c
c
c
c
,c b
c b
c
b
c
c
b
c
b
jkml-n%opaq rslutovq wxwxlyp(zs{_|sk~}x|V]zsr€}l2Vzƒ‚V„ w…q †|?y‚-|s†s‡Vˆ }x|s8Vzc‰Yq zsrs†€q |€wy‹Š.r_q Œsz-k~w…q I|s8Izsˆ„ l-Ž…„ l<o
¿=À ˆ … YŽj¼cdln[mZqimvmhNYwcd`—]CZ\[=8ÂòhNvHYwhN`bYwln‘bi_uLY ˆ ¾VYŽjkf=jw`ozHhYwh ˆ … Y+j¼cnld`—jk`—uNiHu
r[scdY+h=jk`—i … ZqimvmhN|wcd`—jwi É
qZ isv Ò " i … `bhgcdY+ld`b[mluLY … i_Y+]drN`ol„iN E
ˆjwim]Cr=cdY imjwln`»Y+cn]d[mf l… c„i im… ZquL[<imjwY+Yw]h=isi<h=fN‰ …h=[Hi\vm[”Y+hNi Yw… lneHvmf=‘—iYSÃҚgi,^a`oWZ\[gÑ ]jw f= ishŠuL[”fNh
')(C')( ‹787 k.> Å. 13. 19. k6,?6 k.>p;
G C }
G
@:A@QACBEA 4=) ,R8P )ERTCUWG 8O , RžMJGWINTdGPSTC2O )ÁO M
RžMW2G `, K #)ERTVUJG 2O ,0) aR )ÁK )
i_YŽjkf=iHjk`bzmhuLY‹jk[mhgcn`ohafN`—uNimu3Y+]Ccn‰\uNiHuNi_rŠ[Hl
N Sº
} ÒÓÔ G špYw·ar=ldYŽ]di<eHf=Y … i\jwimldvgi”egfNY fNšmG Y‹uLY fNhŠi_jw`oY+lCc„i”lnYwvH`ozHh
vmY+hNYwl„i9Ywh˜uL`—j„ƒ=ilnYwvH`ozHh/uNY … YŽ]Cr=iHjk`b[ºfNh=i^–isln`—imjk`bzmh/uLY
jwimldvgiN EY+imZ\[H]"egfNY‹Y+]Ccd[\Y+]iH]C‘“†
½a`N`bhgcdY+vml„isZ\[H] … i Y+jkfŠimjk`bzmh\uLY:jw[mhgcd`bhafN`bu=imu_Ywh\fNhqjk`bYwldcd[
^m[ … f=Z_Y+h)Ïm¾V[qYwh9Y … YŽ]Cr=iHjk`b[_]dY cd`bYwh=Y
N SB
} H^\ÒÓeÔ G H^
rYwln[=’›rŠ[HlÁY … cdY+[mlnYwZqiQuNY … i uL`o^HYwlnvmY+h=G jk`—iN’+Y …L… imuL[¶`otŽegfN`oY+lCŒ
uL[¡Y+]<rNldYŽjk`—]dimZ\YwhgcdY … ißjw[mlnld`bYwhgcdY)hNYkc„i •eHf=Y3jklnfNtŽi … i
]dfNrŠY+lCÏjk`bY egfNY,uNY … `oZ\`ocniquL`—j„ƒN[\^m[ … fNZ\Y+h †
N SU
} f Ò Q} S } Ò Z\`oY+hgcdl„im]egfNY Y … … imuN[\uNYwlnY+j„ƒN[_rNfNYŽuLY‹Y+]njkln`o‚=`ol„]CY jk[HZ\[=†
Ô G H^ Ò Ô am^
F
G
Ò Ô uLY‹Z\[LuL[pegfNY … [peHf=Y¶Yw·LrNldYŽ]di_YŽ]Vc„i\Y+jkfŠimjk`bzmh9Y+]egfNY,j+i–Œ
uNi”^mYwtSeHf=YQƒ=i›š_fNh f–¾V[<uLY¶jwimldvgi hNYkcn[ ™ … i”jw[mlnld`bYwhgcnY gŸ
iqcnlni›^H|+]SuLY … i)]dfNrYwldϊjk`bY<egfNY_YwhŠjk`bYwlnlniqf=h¡jk`bYwldcd[3^m[ … fLŒ
Z\Ywh ’žYŽ]VcnY fs¾V[3`bZ\r … `—jwi3fNh=i)^–isln`biHjk`bzmhyuLY … i9uLY+h=]C`—uNiHu
uLY¶jwislnvHi i … `bhgcdYwln`b[mlWuLY¶uL`—j„ƒN[,^m[ … f=Z_Y+h ™ Y … cn|wlnZ_`bhN[ #
egfNY¶Ï=vmf=lni_Ywh … i_Y+jkfŠimjk`bzmhŸ¼
@:A@Q%A $"A ,ÅaR , `aTC8O )EO2O , 0/) RžMDKNK=T ,GJ‹I ,/8O ,£8O ,a:
` ,0/)]>)1' /T ,GJILM
i9hNYŽjkYŽ]C`—uNimu•uLYq`bhgcdln[auNf=jk`bl … ijw[mlnld`bYwhgcdY\uLYpuLYŽ]Cr … imt+i–Œ
Z\`oY+hgcd[”Y+h … i,Y+jwf=imjw`ozHhpuLY Wßi–Y· XJY …o… egfNYQYw·ar=ldYŽ]di … i”Ywš
jk`bl„jkfN`ocni … uLY P:Z\rYwlnY
N O }~ Ò g }
c
I)
'&
)*
ÀŽ¿mý
^a`bYwhNY¶uLY … ƒNYŽj„ƒN[<egfNY ]d`žimr … `bj+isZ\[H]WY … [mrYwl„imuL[Hl N ?I i\imZ”‚[H] … iHuL[H]uNY‹Y+]Ccni Ç … cd`bZ\i\YŽjkf=iHjk`bzmh3ldYŽ]Cf … cni
N N O }~ Òg N ¶}
JÁY+ld[ Y …=… iHuL[ `otŽeHf=`oY+lnuL[‹uLYQY+]Ccni Ç … cd`bZ\i,ldY … iHjk`bzmh”YŽ]E`—uLYwhLŒ
cn`bj+isZ\YwhgcnY"jwYwln[ rNfNY+]W]CY"cn`oY+hNY … i¶`—uLYwhgcn`buNiHu N N O } Ò
=’NZ\`oY+hgcdl„im]egfNY,Y … … iHuL[puLY+ldYŽj„ƒN[\Y+]+g Ô
uLY+‚N`buN[pi
#
… i_Y+jwf=imjw`ozHh3uLY,jw[mhgcd`bhafN`bu=imu
ˆ^–im]Vldcn`—[_imjwh=`o[HzH]hy…bcd… Y+Y+^›Z\iqrŠi_[HlnfNi hŠ… i_uLjwY [m… hgiºcdl„uLimYwuNh=`bjw]d`—`ouNzHh)imu•rNfNuLYŽY)]j+hNis[qlnvH]di3`oY+YwZ_h{r=jwldYiHuN… ii
r=fNhgcd[{uLY … Y+]dr=imjw`o[/Y+]phgf … i=1 JDfNY+uNYyƒ=is‚Ywlp]d`ocdf=iHjk`b[mhNYŽ]
uN[mh=uLY … i¶uNYwh=]d`bu=imu”imfNZ\Ywhgcni¶[ uL`—]CZ\`bhgf=šmY"Ywh_Y … cn`oY+Z_r[=
Wßi–Y
· XJY …o… rNln[mrNfŠ]C[ ]di … ^–islY+]Ccni jk[Hhgcdl„imuL`—jwjw`ozHh`ohgcnld[mŒ
uNf=jk`bYwh=uN[ fNh=ijw[mlnld`bYwhgcdY …b… imZqimuNi … i ¨„°–®¼®¼¢ª«w¤=­ò«¦m«
¦H« % ¬ ³ Î ³–² ¢ª«w¤=­ò°
x™ R  HŸ
} ¹ÒÆÕ g G C }
G
cn|wlnZ\`ohN[˜egfNY¡jk[mlnln`ovHY9Y …Q… imuL[˜uNYwlnY+j„ƒN[{uLY … i{YŽjkf=iHjk`bzmh
egfNY Yw·ar=ldYŽ]di … i\Ywš3jw`ol„jkf=`»c„i … uL&Y P:Z\rYwlnYm†
N O{}~ Ò g
} Õ gG C }
G
EYŽisZ\[H]\egfNYºYwœY+j¼cn`o^–imYwhgcdYY+]Ccd[/lnY+]dfNY … ^mY … i/jk[mhgcnlniHuL`bjkŒ
jw`ozHh †
P … isr … `—jwislÓuN`o^HYwlnvmYwhŠjk`—i i isZ<‚Š[g]Z_`bYwZ<‚Nln[H]uLY … i
YŽjkf=iHjk`bzmh{jk[HldlnYwvH`bu=iº]CYqcn`oY+hNY3jwYwln[ßi … iy`bt+egfN`bYwl„uNiºrYwln[
i … i\uLYwlnY+j„ƒ=i_]dYScn`oY+hNY
N SC }
g N S} sÕ g G
G
½L`rŠ[Hl[scdln[ … iHuL[_f=]dimZ\[H] … i jkf=iHjk`bzmhuL=Y Wyi–Y· XY …b… eHf=Y
YŽ]Cr=ldYŽ]di … ix Ywš uLY¡€J[mf … [HZ”‚ ˆ ™ N qC} Ò /s€Õ gŽŸ … i{Ywš
€J`bl„jkfN`ocni … uL&Y P:Z\rŠY+ldY,jw[mlnldY+vm`—uNi,Y+hgcdlnYwvHi
N :C }
g N } Õ g G
Ò
G
Ò g N S} Õ g G Õsg G
Ò g N } G
G
Ò g Ô G G
G
G
Ò
… [qegfNY,YkœYŽj¼cn`o^–isZ\Y+hHcnY‹hN[H] … `b‚ŠY+lni\uLY … iqjw[mhgcdl„imuL`—jwjw`ozHh)š
uN[mh=uLY¶Ywh9Y … rYwh Ç … cd`bZ\[\r=im]d[<ƒ=YwZ\[H]f=]nimuL[ … i”YŽjkf=iHjk`bzmh
uNY jw[mhgcd`bhafN`—uNimu
2f
jkml-n%opaq rslutovq wxwxlyp(zs{_|sk~}x|V]zsr€}l2Vzƒ‚V„ w…q †|?y‚-|s†s‡Vˆ }x|s8Vzc‰Yq zsrs†€q |€wy‹Š.r_q Œsz-k~w…q I|s8Izsˆ„ l-Ž…„ l<o
¿=À ˆ … YŽj¼cdln[mZqimvmhNYwcd`—]CZ\[=8ÂòhNvHYwhN`bYwln‘bi_uLY ˆ ¾VYŽjkf=jw`ozHhYwh ˆ … Y+j¼cnld`—jk`—uNiHu
ÀŽ¿
ˆuLYŽh˜]Cr Y … … istŽj+isimZ\]d[y`bYwuLhgY)cd[\ZquLi–Ywcn‚YwY‹ln`biZ\… YŽ[L],uL`»uLÏ`bjwY is… |+l„jk]dcdY ln`bi=jw† [H] … iyjk[Hldln`bYwhgcdYquLY
}
} Ò G
G
… [ßegfNY‹¾Vf=]Ccd`oϊjwiß]Cf{hN[HZ”‚NlnYprNf=Y+]‹ÏŠvmfNl„i fNh=iyuNYwln`o^–imu=i
cdY+Z\rŠ[Hlni … uNY … j+isZ\rŠ[×SY+]dr … imt+imZ_`bYwhgcnYw[ } Ò sÕ gSC } }
egfNY uLY+]njkln`o‚Y … [H]jwimZ\rŠ[g]JY+h3j+im]d[”uLY uL`oY … |Žj¼cnld`—jk[g] ™ Y} +]
… iºrŠ[ … imld`bt+iHjk`bzmh/r[ml”f=hN`bu=imu˜uLY3^m[ … fNZ\Y+h˜uLY … Zqi–cdY+ld`—i …
uL`bY … |+jkcdln`bjw[gŸ¼
')( \(
96 ,>3. 19. 6 . .>
. ¶6
€J[mh/cn[LuL[H]”Y+]Ccd[H]”`oh=vmlnY+uL`bYwhgcdYŽ] … im]”Y+jkfŠimjk`b[mh=Y+],egfNY9uLYkŒ
]njkln`o‚YwhY … jk[HZ\rŠ[HlCc„isZ\`oY+hgcd[ Y+]dr=imjw`o[mŒ¯cnYwZ\rŠ[Hlni … uLY … [H]
jwimZ\rŠ[g]Y … Y+jkcdln[sŒ Z\imvmhN|wcd`—jk[g]žYwh‹Y … ^–imjk‘b[:egfNY+u=ish‹Y+]njkln`ocnim]
jk[HZ\[=†
N S}~
Ò N O }~
Ò g L } Õg # P
N C}
Ò / N O C}
Ò Ô #
e,
@:A ACBEA ,0dTCRa)ERTVUWG * +-,RILM ,B, 0dTCRP20)ÁK
@:hŠi<imr … `—jwiHjk`bzmhq`bhgcdYwlnY+]nishgcnYm’auL[mh=uNYQ`bh=j … fN`bl … i”jw[mlnld`bYwhgcnY
uLY¶uLY+]dr … ist+imZ\`oY+hHcn[,Ywh3Y … ish=‰ … `—]d`b]JY+]jklnf=jk`—i … ’mYŽ]WY … Y+]CcdfLŒ
uL`b[ßuLY)jw[mZ\[y]dY)uL`—]Vcnld`b‚NfNšHYwh … im],jw[mlnld`bYwhgcdYŽ]‹i … `ohgcdY+ld`b[ml
uLY•fNh jw[mh=uLfŠj¼cd[Hl9jwf=ishŠuL[xYŽ]Vc„im]p[g]djw` … ish&i˜Z”f=š¸i … c„im]
œlnY+jkf=Ywh=jw`biH]w ˆ … œYwh=zmZ\YwhN[¸jk[Hh=]d`b]CcdY¡Y+]dYwh=jw`bi … Z\YwhgcnYßYwh
egfNY … iH]\jk[mlnln`oY+hHcnY+]+’8iߜlnY+jkf=Ywh=jw`biH]<Z<fNš˜i … cniH]w’8cn`oY+h=uLYwh
ixjw[mh=jwYwhgcdl„isl„]dYºYwhÆrY … `bjwf … im]9Z”fNš¹uLY … vgimuNiH])jwYwl„jwi˜uNi
… iº]CfNrYwldϊjw`oYquLY … [H]‹jw[mh=uLfŠj¼cd[HldYŽ]w’š¡hN[º]CYpuN`b]Ccdln`o‚=fNšmY+h
ƒN[HZ_Y+vm|+hNY+imZ_Y+hgcdY)iycdl„i›^m|+]”uLY … Zqi–cnYwln`bi … jk[HZ\[ß[LjkfNlnlnY
YwhY … jwim]d[quLY Z”fNš3‚=i–¾CiH]JœldYŽjkfNY+h=jk`—im]+
ˆuL[_… jwuLiHYS]C[”imh=f=i ]C… fŠ`otŽi is… lJuLrNYSfNf=Y+h)] …jkim[H]Eh=œuLf=f=h=jkjkcd`b[m[ml"hNYŽjk]J` … ‘oegh=fNuNY ld`—uLjk[<YŽ]dY+jw]ld`bjk‚Š[mY+Z\hpr jk[H… `—Z_jwi–[ Œ
Y+]Ccn‰SuL`—]Vcnld`b‚NfN`—uNi … iQjw[mlnld`bYwhgcnYDi … `ohgcdY+ld`b[ml8uLY … jw` … `ohŠuLld[S]C[Hh
… im] …o… isZqiHuNim]:œfNh=jk`b[mh=Y+]‹uLY Y+]n]CY … ’ž]C`bhßY+Z”‚=imldvH[)r[LuLYkŒ
Z\[H]cd[LuNi›^a‘—iQishŠi … `otŽislY … œY+hNzmZ\Y+hN[Qr=imlniS]C`ocdfŠimjk`b[mh=Y+] vHYkŒ
[mZ\Ywcdln`bj+isZ\YwhgcdY¶Zq‰m]:]dYwhŠjk` …o… im]+†
€J[mhŠ]C`—uLYwl„islnYwZ\[g]QfNh{]dfNrYwldϊjk`bY\r … imh=iuLYqvmln[H]d[ml .ßegfNY
r[mldcnijk[Hldln`bYwhgcdYEY+h,uL`olnY+j+jk`bzmeh h c„i … eHf=Y … iQjk[mlnln`oY+hHcnY8cd[sc„i …
egfNY<iscdl„i›^a`oYŽ]di_fNh=i3]CYŽjwjw`ozHhyuLY … islnvm[ pšºi … cd[ .9YŽ]QuLY
^–i … [ml g9 8 
,-
c
- Z= a
2
Z= a
2
I=I0Cos(wt)
Y
{
{
a
X
a
Lx
J=J(z) y^
Z
Á[HlÅ]d`oZ\Ykcnld‘—i … iQjw[mlnld`bYwhgcnYDYwh,Y … `bhgcdY+ld`b[mlÅY+]Ccn‰QuN`b]Ccdln`o‚=fN‘bu=i
uNY iHjkfNY+lnuN[_i
y} Ò i 8 h
ˆhaf ]:… imuL]+Y+’Njw`oš l … … i im]Ç jwhN[m`bj+Z\iqrjk[m[HhNZ_Y+hHrcn[mY+h=] Ywhg\cdY,š egfN, Y”uNjw[mY hg… cdi\ln`bjk‚N[HfNldšmln`bY YwhgcdY‹]d]dz [m… h[
,
uNYwrYwh=uLY,uNY … i\jk[a[ml„uLY+h=imuNi_uLY,i … cnfNlni i 
JÁ[Hlq[scdln[ … iHuL[˜]dfNrŠ[Hh=uLlnYwZ\[H]qegfNYºY … jw[mh=uLfŠj¼cd[HlqY+]puNY
j+islnvHi¶haf … iN’sY+hqcd[LuL[‹rNf=hHcn[”uLY … YŽ]Cr=iHjk`b[=’sYŽ]DuLYŽjk`blJegfNYQ]df
uNYwh=]d`bu=imußuNYpjwislnvHi)Ywh¡cd[LuL[rNfNhgcn[uNYqY+]dr=imjw`o[9Y+] haf … i
™ … [ºegfNY\Ywh/Zqi–cnYwln`bi … YŽ] jk[mhŠuLf=j¼cn[mlnY+]¶Y+] f=h=i]CfNr[H]d`—jk`bzmh
‚Šim]CcnishgcnY<lnY+i … `—]Vc„iHŸk ˆ ]Vcn[egfN`bYwlnY\uLY+jw`ol,egfNY … i9YŽjkf=iHjk`bzmh
uNY jw[mhgcd`bhafN`—uNimu9]CY lnY+uLfŠjkY‹i
N Sy
} Ò Âòhgcnld[LuLf=jw`oY+h=uL[ … iqYwš)uNY Sƒ=Z
º} Ò ºC }
Y+h … i\ Y+š3uLBY A=imlniHuNi›šgŒ YwhNt
}~
N O•C } ÒÃÔ G
G
]dY [m‚Lcn`oY+hNY
N O{º
} ÒÓÔ G }~
ÄÅ[mZqimh=uL[_ld[mcd[mli_Y+]Ccni Ç … cd`bZqi\Yk·LG rNlnY+]d`ozHh …b… Y+vHimZ_[g]i
N O N O } ÒÃÔ
G N O }~
G
ˆu=im…8u… im† uNN [) O `bt+N egfNO `bYw} l„ uLÒÓ[)rNÔ f=N Y+uL Y<} cd l„isN ‚=is N¾Cisl„Q]CY‹} fŠš ]dim… h=i_uLYŽ[ jkf=… ipiHjk`—`buLzmY+h3hHcnuN`»Y Œ
jw[mhgcd`bhafN`—uNimu N ¶•} Ò =’=Z\`oY+hgcdl„im]:egfNY,Y+hºY …8… iHuL[puLY+ldYwŒ
j„ƒ=[{rŠ[LuLY+Z_[g]pf=]nisl … i˜Ywš¸jk`blnjwfN`ocni … uLY PQZ_rYwlnYßjw[mldŒ
lnYwvH`bu=i\`oh=j … f=šmYwhŠuL[ … ipjk[Hldln`oY+hgcdY,uLY_uLY+]dr … ist+imZ\`oY+hHcn[=Š½LY
J
^
L
jkml-n%opaq rslutovq wxwxlyp(zs{_|sk~}x|V]zsr€}l2Vzƒ‚V„ w…q †|?y‚-|s†s‡Vˆ }x|s8Vzc‰Yq zsrs†€q |€wy‹Š.r_q Œsz-k~w…q I|s8Izsˆ„ l-Ž…„ l<o
¿=À ˆ … YŽj¼cdln[mZqimvmhNYwcd`—]CZ\[=8ÂòhNvHYwhN`bYwln‘bi_uLY ˆ ¾VYŽjkf=jw`ozHhYwh ˆ … Y+j¼cnld`—jk`—uNiHu
[m‚Ncd`bYwhNYH†
˜} Ò Ô
Ô N S} Ò Ô
N O N O G
{}~
G N O
g G
G
Ò Ô
gG
G
} Õ g G C }
G
g
Õ
} G }
ÂòhgcnYwvml„ishŠuL[<]dY‹[m‚Lcn`oY+hNY
3
g Ò
i i
2
Ò I I Ô $$$$ 2 Ò E LI 2 Ô I 2P
uNY uN[mh=uLY‹lnY+]df … cni=†
_g
&Ò
2 Ô"I 2
I
E
u=ish=uL[3Y … ]C`bvmf=`oY+hHcnY<rYwldÏ … r=isl„i … i)uN`b]Ccdln`o‚=f=jk`bzmh•uLY<jw[mldŒ
ln`bYwhgcdYH
g
I I
i Ò
2
2
E I Ô I JEimlni^mY+legfNYE[LjkfNlnlnYDish=i … `bt+imldY+Z_[g] … [g]^–i … [mlnY+]egfNYEcn[mZqi
… i)uNYwh=]d`bu=imuyi … jwYwhgcdln[3uNY … r … imhN[ ™ i Ò HŸQšºZ”fNšºjkY+lnj+i
uNY … ‚[ml„uLY ™ i Ò ./ E ŸkN½aY cd`bYwhNYH†
_g
Ò
I 2 ÔE I 2
Rc G
c À?
8`ohŠi … Z_Y+hgcdY‹lnY+]df … c„i … iq]d`ovHfN`oY+hgcdY Y+jwf=imjw`ozHh)r=imlni D} 
Ô NT } Ò Ô g G } gŽÕ€g G }
G
G
ˆYwl„]CiscnZ\i\[gYŽ]Djkf=egiHfNjkYQ`bzmrh)[mlJr=fNfNY+h uL… Y,imuL]d`b[ Z_yr } … ]d`oϊz …jw[,imln^–]disY ln‘bZqi‹‰mjw][mh isf=… i”h9i ]d… ` cnfNjk[Hlnih=]C`—uaš Œ
r[ml"[scnld[ … iHuL[\]CfuLYwrYwhŠuLYwh=jw`bi_Y+h3Y … cd`bYwZ\rŠ[qYŽ]"uLY¶cd`bi rŠ[
[H]njk` … i–cd[Hld`b[Ã} Ò i 8 h Ò Y+i … i I - # E½aY
[m‚Ncd`bYwhNYH†
Ô G i i ÒÓÔ g i Ô<g+sÕ g i G
JEisl„i)Z<fNš¡i … c„im]¶œlnY+jwfNYwh=jw`biH] Y … cnYwlnZ_`bhN[yuL[HZ\`oh=imhgcdYqi …
E
… imuL[•uLYwlnY+j„ƒN[•]CY+ln‰yY … uLY9rŠ[mcdYwhŠjk`—ißY+h Z\‰H]<i … c„i ™ Y+]
Vg I 2 I 2 uLYŽjk`bl Ÿ¼ ˆ ]Vcn[‹[ajwfNlnldY:jwf=ish=uN[ YŽ]DZ<f=j„ƒN[ Zqi›šm[mlDegfNY
. / Ò
2
2
E
/–sÕ g ™ jk[mZ\[/lnYkœYwlnYwhŠjk`—i¡uLYyi/egfN|^–i … [mlpuLY9œlnY+jwfNYwh=jw`bi
E I Ô I [LjkfNlnlnYY+]Ccd[,r[LuLYwZ\[H]jk[H h=]d`buLY+lnimlEY … i … fNZ\`oh=`o[”egfNY:cd`bYwhNY ˆ h Y … jwiH]C[/uLYºZ<fNš£i … c„im]_œlnY+jkf=Ywh=jw`biH]TI 2 •š
jk[Hh=uLf=jkcd`b^a`buNiHu
Y+h/fNhN`—uNimuLYŽ]‹uLYp]d`b]CcdY+Z\i`bhLŒ
cdY+ldhŠimjk`b[mhŠi … ’Åš … fNYw? vH[•" ]dY3cd`bYwhNY /–sÕ g ? " / " 0W Ò H[i ‚L
Ò cdY+.hN/YwZ\E † [g] … i)Yw·ar=ldYŽ]C`b[mhNYŽ]QimrNld[›·L`bZqimuNiH]r=isl„i i Ò pš
N KaƒNtQŸ¼’ … i_Y+jwf=imjw`ozHh3egfNY+u=iN†
"
g
E2
?
G i Òg+Õsg I
i
E g
G i
./ ?
E
jk[Hh9]d[ … f=jw`ozHh
E
…
N
u
<
Y
\
Z
L
[
L
u
[
H
e
=
f
Y
9
i
k
j
m
[
n
l
n
l
o
`
+
Y
H
h
n
c
”
Y
Y+h¡Y … jwYwhgcdln[uLY … r … ishN[uL`—]VŒ
I
i Ò I
Z\`bhafNšmYƒ=iH]Vc„i/ƒ=imjwYwl„]CY9rNl„‰mj¼cn`bj+isZ\YwhgcnY9haf … iN’WZ_`bYwhgcnlniH]
YwhºegfNY Ò¹sÕ g g š jk[mh ]d[mhjk[mhŠ]Vc„ishgcdYŽ]isln‚N`»Œ ˆegfN]VcnY3[˜YwhY+]Ccn… [g‰{]”‚‚[H[m]nl„eguLfNYŽYV]<¾CiHjwuLld[˜YŽjkisY9r=ƒ=ld[›im·L]Ccn`bZ\ißiHƒ=uNimisjwZ\Ywl„Y+]ChHY3cnZ”YfNYwhš{`b… hgi˜cdYw]ChŠ`bvm]dfNi=Œ 
cdl„isln`—im]"egfNY‹]CY Ïs¾Cimh3fŠ]dimh=uL[ … iH]jk[Hh=uL`—jk`b[mhNYŽ]uLY ‚Š[HlnuLYH `bYwhgcnYQÏ=vHfNl„i,Ywh9egfNYSƒ=YwZ\[H]vml„i–ÏjwimuN[ r=imlni<uL`—]Vcn`ohLŒ
JEisl„i Ïs¾Cim;
l U rNld`bZ\Ywln[”jk[Hh=]d`buLY+lnimZ\[H]DegfNY i uLY+‚ŠY cn[H]Á^–i … [mlnY+]8uLY … iSœldYŽjkfNY+h=jk`—iN’suLYŽ]duNYZ<fNš,i ‚=is¾V[H]+’–Ywh\jkfNšH[
]dYwlr=imlYwh i ™ ^mY+l"Ï=vmf=lnigŸ¼’ … fNYwvH[ Ò Š½LY cd`bYwhNYH† j+im]d[‹Y … rŠY+lCÏ … YŽ]DfNhN`oœ[mlnZ\Y i Ò Vg/ . ƒ=im]Ccni,Z”fNš
i … cn[H]‹Y+h˜egfNYqY … rŠY+lCÏ … Y+]”hgf … [ºY+h{Y … jwYwhgcdln[ºrYwln[ºZ”fNš
i Ò I
% I '
`bhgcdY+h=]C[\Y+h … [H]"‚[ml„uLY+]+†
i\jw[mh=]CcnimhHcnBY ]dY Ïs¾Ci_Yk·L`bvmfN`bYwhŠuL[qeHf=Y … i\uLYwhŠ]C`—uNimu9uLY
jk[Hldln`bYwhgcdYp`bhgcdY+vml„imuNiY+h … i¡]Cf=rŠY+lCϊjw`oY3YwhgcdlnYwvHY … iyjk[Hldln`»Œ
YwhgcnY cd[sc„i … egfNY‹]dY‹`oZ\r[mhNYH’Lš3egfNY …o… isZqimldY+Z_[g] g †
g Ò } I¶ }
ip`ohgcdY+vml„imjw`ozHh9uLY+‚ŠY<ƒ=imjwYwl„]CY Y+h … iq]dfNrYwldϊjk`bY”uLY … imldvH[
_š)i … cn[ .pegfNY‹i–cdl„i›^a`oYŽ]di … i\uLY+h=]d`buNiHu3uNY,jk[mlnln`oY+hHcnYE} 
A
c c c
c c c I
c jkml-n%opaq rslutovq wxwxlyp(zs{_|sk~}x|V]zsr€}l2Vzƒ‚V„ w…q †|?y‚-|s†s‡Vˆ }x|s8Vzc‰Yq zsrs†€q |€wy‹Š.r_q Œsz-k~w…q I|s8Izsˆ„ l-Ž…„ l<o
Wc ¿=À ˆ … YŽj¼cdln[mZqimvmhNYwcd`—]CZ\[=8ÂòhNvHYwhN`bYwln‘bi_uLY ˆ ¾VYŽjkf=jw`ozHhYwh ˆ … Y+j¼cnld`—jk`—uNiHu
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
-0.4
-0.2
0.2
0.4
8`ovHfNl„i R  N†JÁYwldÏ … uNY … iQuLY+h=]C`—uNiHu,uLYJjw[mlnld`bYwhgcnY i ^mY+lCŒ
]df=] … i\i … cnfNlni i r=imlni_uL`—]Vcn`ohgcd[g]"^–i … [mlnY+]"uLY … i<œlnY+jwfNYwh=jw`bi
ž½aY,isrNlnY+jw`bi\egfNY‹r=imlni<œlnY+jwfNYwh=jw`biH]"‚=i–¾CiH] … iqjw[mlnld`bYwhgcnY
Y+]QfNhN`oœ[mlnZ\Ym’=Z\`bYwhgcdl„im]QeHf=Y,r=isl„i_œlnY+jkf=Ywh=jw`biH]:i … cniH]Y …b… i
]dY¶Y+h=jkf=Ywhgcdl„i\uL`b]Ccdln`b‚NfN`—uNi_rNln‰Hj¼cn`bj+isZ\YwhgcdY¶Ywh … i\]CfNrYwldÏNŒ
jk`bY<uNY … ‚[ml„uLY,Z\`bYwhgcdl„im]SegfNY,Y … ^–i … [ml¶jkYwhgcnlni … Y+]QrNln‰Hj¼cn`»Œ
jwimZ\YwhgcdY haf … [
A
jkml-n%opaq rslutovq wxwxlyp(zs{_|sk~}x|V]zsr€}l2Vzƒ‚V„ w…q †|?y‚-|s†s‡Vˆ }x|s8Vzc‰Yq zsrs†€q |€wy‹Š.r_q Œsz-k~w…q I|s8Izsˆ„ l-Ž…„ l<o
À?=À