Mecanismos de extracción de energ´ıa en agujeros negros y la

Mecanismos de extracción de energı́a en agujeros negros y
la hipótesis del origen gravitatorio del cuanto
———————————————–
GEORDI CHAMLATI GUILLÉN
Supervisor
DR. WENCESLAO SANTIAGO GERMÁN
Departamento de Ciencias e Ingenierı́a, Universidad de Quintana Roo
TESIS DE LA UNIVERSIDAD DE QUINTANA ROO
PARA ADQUIRIR EL GRADO DE LICENCIATURA
Chetumal, Quintana Roo, México, septiembre de 2010
1
0.1
RESUMEN
Se discute la eficiencia de diversos mecanismos, clásicos y cuánticos, por los que un agujero
negro cede masa y energı́a; y se introduce la hipótesis del origen gravitatorio del cuanto, de la
que se busca atribuirle una formulación matemática precisa. La metodologı́a usada se basa en
tres aspectos: Primero, en la fórmula de Planck de radiación de cuerpo negro con un factor de
corrección de origen gravitatorio, del cuál se analizan sus consecuencias. Segundo, en la adopción
de un modelo para la interacción de la frontera de un agujero negro con un sistema de partı́culas, que
explota cierta analogı́a con las ecuaciones de movimiento de un sistema libre de mundos brana que
confinan una porción de espacio y tiempo de simetrı́a máximal y curvatura negativa constante. Por
último, se cuantizó al agujero negro en el marco de la teorı́a de la gravitación universal de Newton,
vı́a la ecuación de Schrödinger, vı́a nociones de tunelaje. Como resultado de la investigación se
obtuvieron tres ecuaciones: La primera es un efecto de gravedad cuántica que controla el color de
un miniagujero negro, a través de una fórmula de corrimiento al rojo; la segunda corresponde a una
corrección no lineal para los proceso de emisión de partı́culas de un mini agujero negro, e implica
la introducción de nueva estadı́stica diferente a la de Bose-Einstein y Fermi-Dirac; y la tercera
describe la discretés de la masa.
2
Índice
0.1
RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
0.2
MARCO TEÓRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
0.3
HIPÓTESIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
0.4
OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
0.5
JUSTIFICACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1 Civilizaciones técnicamente avanzadas orbitando agujeros negros
22
1.1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.2
Descripción fı́sica del Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.3
Vida y muerte del Sol
1.4
La colonización del espacio interestelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5
Los orı́genes de la relatividad general
1.6
Colapso gravitacional y el lı́mite de Chandrasekhar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.7
La solución de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.8
El agujero negro rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 El proceso de extracción de energı́a de Penrose
41
2.1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.2
La métrica de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.3
La ergósfera
2.4
Geodésicas nulas y singularidades de la métrica de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3
50
2.5
El proceso de extracción de energı́a de Penrose
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 El formalismo 3+1 y el paradigma de la membrana
55
3.1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.2
Descripción de la formulación 3+1 en relatividad general
3.3
Curvatura intrı́nseca y extrı́nseca
3.4
Las ecuaciones de Einstein en el formalismo 3+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.5
La formulación 3+1 para el espacio-tiempo de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.6
El paradigma de la membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 El proceso Blandford y Znajek
67
4.1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.2
Núcleos activos de galaxias y cuásares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.3
Descripción del proceso de Blandford-Znajek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.4
Extracción gravitacional de la energı́a rotacional de un agujero negro por cuerpos que orbitan 77
5 Extradimensiones
80
5.1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
5.2
La teorı́a de Kaluza-Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
5.3
Anti-de Sitter y la quinta dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.4
La teorı́a de Randall-Sundrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
6 Evaporación de agujeros negros
87
6.1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.2
Annus mirabilis y la interpretación de Einstein de la fórmula de Planck . . . . . . . . . . .
88
6.3
Radiación Hawking y el lı́mite semiclásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
6.3.1
Cálculo original (1972) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
6.3.2
El efecto túnel y la radiación Hawking (1999) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
6.4
El plano de Argand-Wessel y el área de un agujero blanco? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4
7 ¿Puede derivarse la estructura de la mecánica cuántica de la relatividad general?
109
7.1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2
El universo en expansión y la ecuación de Friedmann-Robertson-Walker . . . . . . . . . . . 110
7.3
Mundos brana y la ecuación de Friedmann-Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.4
El origen gravitatorio del cuanto
7.5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.4.1
Emisión estimulada? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.4.2
Redshift y el color de un mini-agujero negro? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Cuantización del campo gravitacional de Newton? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8 Conclusiones generales
137
9 Apéndices
141
9.1
9.2
Apéndice I: Ondas Alfvén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
R rext
q dr
Apéndice II: Evaluación de la integral rint
. . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2(M −ω)
1−
r
9.3
Apéndice III: Leyes de la electrodinámica cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.4
Apéndice IV: Masa de las partı́culas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.5
Apéndice V: Homenaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Índice de figuras
1
Dibujo por Roger Penrose ilustrando una civilización avanzada extrayendo energı́a de un agujero
negro rotante, tomado de, “Gravitational collapse: The role of general relativity”, Nuovo Cimento
1, special number, 252-276 (1969).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
El área del horizonte de un agujero negro cambiando en forma discreta.
3
Capas externas solares. Se ilustra la forma granular de la superficie solar, además de la corona y las
9
. . . . . . . . . . . . . . 12
manchas solares; se indican las lı́neas del campo magnético solar y el plasma acoplado a las mismas.
Ráfagas de plasmas son lanzadas al espacio presumiblemente a través del mecanismo denominado:
“rompimiento de lı́neas de campo magnético”.
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Estructura solar: 1) Núcleo, 2) Zona radiante, 3) Zona convectiva, 4) Fotósfera, 5) Cromósfera, 6)
Corona, 7) Manchas 8) Gránulos, 9) Protuberancias.
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5
El eje de las abscisas presenta el tiempo en años. El eje de las ordenadas presenta la distancia
en unidades astronómicas (UA). La lı́nea punteada representa el radio de la orbita terrestre, mientras que la lı́nea continua representa el radio solar. En aproximadamente 3.5 × 106 millones de
años la tierra será atrapada por el sol. Tomado de, Distant future of the Sun and Earth revisited,
arXiv:0801.4031v1.
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Giroscopios del Gravity probe B. Los giroscopios son las esferas más perfectas jamas fabricadas por
el ser humano, tomada de, http : //www.nasa.gov/mission pages/gpb/index.html.
. . . . . . . . 43
7
Singularidad anular en el plano ecuatorial, de la métrica de Kerr.
8
Diagrama de Penrose-Carter. Máxima extensión analı́tica para el caso M 2 > a2 .
. . . . . . . . . 48
9
Diagrama de Penrose-Carter. Máxima extensión analı́tica para el caso M 2 = a2 .
. . . . . . . . . 49
10
Trayectoria de las geodesicas orientandose a la dirección de rotación del agujero, tomada de, The
Mathematical Theory of Black Holes.
. . . . . . . . . . . . . . . . 46
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
11
Foliación del espacio-tiempo, tomado de, The large scale structure of space-time.
12
Ley de Gauss, ley de Ampere, ley de Ohm y la ley de la conservación de la masa en el paradigma
de la membrana,tomado de, Black Holes: The Membrane Paradigm.
. . . . . . . . . 57
. . . . . . . . . . . . . . . 65
13
Radio galaxia, tomado de, Black Holes: The Membrane Paradigm.
14
Cuatro caminos postulados para explicar los jets de energı́a producidos en los cuásares y galaxias
activas.
15
. . . . . . . . . . . . . . . . 66
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
La estructura espiral del campo magnético de un agujero negro axisimétrico y estacionario: la cor~ se encuentran en las superficies
riente corre por la magnetósfera. Las lı́neas del campo magnético B
1 y 2 que se presentan en la figura, tomado de, Black Holes: The Membrane Paradigm.
16
. . . . . . 75
Perfil plano del agujero negro como magnetósfera. Los guiones son las curvas ortogonales a las lı́neas
eléctricas, la lı́neas sólida de campo magnético, y los dos coinciden en la fuerza de región libre de
cerca del agujero, pero se apartan unas de otras en la región de carga astrofı́sica, tomado de, Black
Holes: The Membrane Paradigm.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
17
El agujero negro como una baterı́a eléctrica,tomado de, Black Holes: The Membrane Paradigm.
18
Distribución de la masa cuadrupolar en una viga que tiene un radio de órbita rm fuera del agujero,tomado de, Black Holes: The Membrane Paradigm.
. . 76
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
19
Espacio Anti-de Sitter.
20
Diagrama de Penrose-Carter del espacio anti-de Sitter, tomado de, The large scale structure of
space-time.
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Diagrama de Penrose-Carter que describe la trayectoria de las geodésicas nulas, tomado de, Black
Holes.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6
22
Plano complejo que se utiliza para resolver la integral
Black Holes.
Ro
−∞
exp{iw0 v +
iw
κ
log(−v)}dv, tomado de,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
23
Regiones de potencial.
24
Mapeo de rectas por la función A(z) : z → A(z).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
25
Imagen de la fución compleja A(z) : z → A(z).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
26
Mapeo de cı́rculos concéntricos por la función A(z) : z → A(z).
27
Imagen de la función compleja A(z) : z → A(z).
28
Gráfica de las ecuaciones de la tabla para el caso I y VI.
29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Una cavidad con radiación de cuerpo negro en su interior o AdS compactificado: En AdS un rayo
luminoso tarda un tiempo finito en recorrer la distancia infinita entre dos puntos diametralmente
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
opuestos de su frontera.
30
Gráfica de la radiación de cuerpo negro de Planck.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
31
Gráfica de la radiación de cuerpo negro con corrección.
32
Mundos brana y su euclidenización.
33
Tunelaje de una s-partı́cula y la variación de la localización de la frontera del agujero. En unidades
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
donde ~ = c = 1, el proceso define la distancia caracterı́stica σ = 2ω.
. . . . . . . . . . . . . . . 126
34
Relación entre el factor de corrección a y los valores de β.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
35
Energı́a potencial asociada a la estrella oscura de Laplace
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
36
Radiación Hawking y la estrella oscura de Laplace.
37
El área del horizonte de un agujero negro no rotante y estacionario cambiando en forma discreta.
38
Blackboard.
39
Max Planck (1858-1947).
40
David Hilbert (1862-1934).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
41
Albert Einstein (1879-1955).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
42
Roger Penrose (1931-).
43
Roy P. Kerr (1934-).
44
Stephen Hawking (1942-).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
45
Raman Sundrum (1960-).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
. 135
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7
46
Lisa Randall (1962-).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8
Figura 1: Dibujo por Roger Penrose ilustrando una civilización avanzada extrayendo energı́a de un agujero negro
rotante, tomado de, “Gravitational collapse: The role of general relativity”, Nuovo Cimento 1, special number, 252276 (1969).
9
Mecanismos de extracción de energı́a en agujeros negros
y la hipótesis del origen gravitatorio del cuanto
Prefacio
El siglo XIX se distinguió por el deseo de diseñar y construir una máquina de vapor cada vez
mas eficiente. Un punto cumbre en esta búsqueda ocurrió con el descubrimiento de la segunda
ley de la termodinámica:
“En un sistema cerrado ninguna máquina térmica cı́clica que opere entre una temperatura
inferior (T 1 ) y una superior (T 2 ) puede tener una eficiencia mayor que 1 − T 1/T 2 .”
Tal y como se manifiesta en la obra célebre del ingeniero militar Sadi Carnot: “Reflexions sur
la puissance motrice du feu et sur les machines propresa developer cette puissance (Reflexiones
sobre la potencia motriz del fuego y las máquinas para desarrollar dicha potencia).”
La coherencia lógica que parece existir en la naturaleza motiva a seguir una cadena similar de
reflexiones y cuestionamientos en el ámbito de la geometrodinámica (Einstein, 1915; Arnowitt
et al.,1950) esto es, en el marco de las interacciones asociadas propiamente a la geometrı́a
del continuo espacio-temporal. Son cuestiones de principio como estas las que definen nuestra
propuesta de tesis, misma que comprende un estudio de las limitaciones impuestas por la teorı́a
de la relatividad general, sobre la cantidad de energı́a útil que una civilización avanzada puede
extraer cuando la fuente de energı́a se reduce a un agujero negro.
Dentro de unos 5 mil millones de años cuando el Sol se transforme en una estrella gigante
roja, engullendo consigo mismo a la Tierra, o quizás dentro de unos 14 mil millones de años
cuando el Sol agote definitivamente su combustible termonuclear y deje de brillar por sı́ mismo,
convirtiéndose en una enana negra, la civilización humana se verá obligada (sino lo ha hecho
antes) a colonizar el espacio a una distancia no menor de 1.4 UA para evitar el engullimiento
solar. Eventualmente (al convertirse el Sol en una enana negra) deberá emprender un viaje en
búsqueda de otra fuente de energı́a: quizás termonuclear, en la cercanı́a de alguna otra estrella
como el Sol, o quizás (si se nos permite especular) en la vecindad de una colonia de agujeros
negros rotantes extrayendo energı́a de rotación a través de un proceso descrito por primera vez
por el matemático inglés Roger Penrose (ver figura 1).
En los años 60’s, Roger Penrose, usando la teorı́a clásica de campos, descubrió la notable posibilidad de extraer energı́a de un agujero negro en rotación, y calculó que bajo estas condiciones,
el factor máximo de conversión de masa-energı́a del agujero es del 20.7%. Con el advenimiento
de las leyes de la mecánica de los agujeros negros (Hawking, et al., 1970), cuya interpretación requiere la inclusión de efectos cuánticos en espacio-tiempos curvos, esta cifra fue reconsiderada y
en su lugar se obtuvo un factor de conversión del 29%. Estaciones espaciales como las ilustradas
en la figura adjunta podrı́an convertirse (para aquellas civilizaciones técnicamente avanzadas)
en el análogo de las gasolineras de hoy en dı́a. Sin embargo, uno no requiere encontrarse en la
vecindad de un hoyo negro para abastecerse de su energı́a, a millones de años luz de distancia
llegan jets de partı́culas con velocidades ultrarelativistas que fueron aceleradas por el agujero.
Asociado con estos adelantos teóricos, la experimentación de efectos relativistas causados por
un cuerpo gravitante en rotación están en progreso a través de la sonda espacial Gravity Probe
B, lanzada en abril del 2004. Igualmente en agosto de 2009 se lanzó la sonda espacial Kepler con
la misión de buscar exoplanetas. También Antenas para la detección de ondas gravitacionales
(proyectos LIGO, VIRGO, y LISA) están apunto de ponerse en funcionamiento con el fin de
confirmar con certeza la existencia de los agujeros negros y estudiar con precisión los fenómenos
asociados con ellos. El “Large Hadron Collider” (LHC) también cubrirá regiones inexploradas
de la fı́sica de altas energı́as en el orden de los TeV. Nos encontramos por tanto ante la brecha
de nuevos descubrimientos. Con suerte, algún experimento corroborará o refutará nuestras
predicciones, mismas que asemejan a las postuladas en 1913 por el fı́sico danés Niels Bohr para
explicar la estabilidad del átomo. Nuestro objeto de estudio, sin embargo, es el agujero negro
(o Buchi neri).
10
0.2
MARCO TEÓRICO
El agujero negro, de acuerdo con el laureado Nobel S. Chandrasekhar (1998), es: “...el objeto
macroscópico más perfecto que existen en el universo, ya que los únicos elementos que intervienen
en su construcción son nuestros propios conceptos de espacio y tiempo. También es un objeto de
simplicidad contrastante, puesto que la teorı́a de la gravitación de Einstein nos provee de una única
familia de soluciones para su descripción...” Estudiar como se puede extraer energı́a útil de este
fascinante objeto ha encontrado un lugar firme en los escenarios astrofı́sicos, e implica analizar con
detalle los mecanismos mediante los cuales un agujero pierde masa e interacciona consigo mismo
y su entorno circundante. Por comparación, en la sección 1.3, se dan a conocer algunas fórmulas
relacionadas con la pérdida de masa de las estrellas gigantes rojas a través del viento estelar.
Desde el punto de vista de la fı́sica clásica, el interior de un agujero negro es inaccesible para el
observador alejado del mismo, puesto que la transmisión de información desde el interior al exterior
del agujero (por ejemplo, a través de partı́culas mensajeras) requiere de velocidades superiores a las
de la luz: Cosa que conlleva a un conflicto entre las nociones clásicas de causalidad y la naturaleza
de la masa no taquiónica. Recordemos que, de acuerdo con la relatividad restringida, la masa
(como una medida de la resistencia al movimiento) crece sin lı́mite a velocidades cercanas a las de
la luz. Y por su misma definición, la frontera de un agujero negro es una de esas cosas que sólo
se puede ubicar con excelente precisión una vez que se conoce la historia completa del universo.
En los casos donde la fı́sica de un sistema depende esencialmente de lo que sucede en una región
cerrada y acotada del espacio-tiempo, resulta útil visualizar la frontera de un agujero en términos
de una delgada membrana elástica (capı́tulo 3), misma que posee toda una serie de propiedades
fı́sicas: tales como conductividad, masa, entropı́a, momento angular, resistencia y cargas eléctricas,
temperatura, etc. Esta correspondencia está justificada por el paradigma de la membrana (Kip
Thorne et al., 1986) y la formulación 3+1 de la relatividad general (Arnowitt, et al., 1962), que son
de gran utilidad en cuestiones de análisis y simulación numérica.
En julio de 1963, Roy Patrick Kerr descubrió la única familia de soluciones en el vacı́o que describe
el espacio-tiempo alrededor de un agujero negro rotante y estacionario (ver capı́tulo 2). Los dos
parámetros de la familia son: la masa y el momento angular del agujero. Las soluciones estáticas,
cuando el momento angular es cero, fueron descubiertas por Karl Schwarzschild en diciembre de
1915. Para los años 60’s, estudiando la solución de Kerr, Roger Penrose concibió cómo extraer
energı́a de un agujero negro rotante, evento que sirvió de antesala del notable descubrimiento por
S. W. Hawking, y anunciado en enero de 1974, de que los agujeros negros no son tan negros después
de todo, debido a efectos cuánticos (Hawking, 1972). En realidad, de acuerdo con los cálculos de
Hawking, son cuerpos calientes que emiten radiación como un cuerpo negro, a una temperatura T
proporcional a su superficie de gravedad κ dada por la célebre fórmula:
T = κ/2π.
Misma que el propio Hawking solicitó se grave en su epitafio. Además, la entropı́a S del agujero se
encuentra medida por un cuarto del área de su frontera: 1 .
S = A/4~
1
J. Bekenstein y J.A. Wheeler (1973) fueron los primeros en especular la relación entre la entropı́a y el área de un
agujero negro.
11
Estas nociones llevaron a la unificación de las leyes de la termodinámica con las leyes de la mecánica
de los agujeros negros, estas últimas desarrolladas por Hawking, Bardeen y Carter en el verano de
1972, durante “Les Houches Summer School.” La comunidad cientı́fica, al principio dutativa de estos
avances, rederivó de múltiples maneras los hallazgos de Hawking (vı́a la creación y aniquilación de
pares virtuales de partı́culas, vı́a la integral de caminos de Feynman (Feynman, 1965), vı́a la
regularización y renormalización de la acción efectiva, vı́a la llamada anomalı́a conforme (Birrell
& Davies, 1982), y vı́a el conteo de estados en la teorı́a de supercuerdas y la teorı́a de lazos. En
particular existe una interpretación de la naturaleza de la radiación Hawking, como ahora se le
conoce, en términos del efecto túnel (Gibbons 1979; Frank Wilczek 1999). En el séptimo capı́tulo
explotamos esta conexión para concluir, como Niels Bohr lo hizo en 1913 para caso del átomo,
que el espectro de masas (frecuencias) de la radiación emitida o absorbida por un agujero negro
macroscópico cuando pasa de un estado a otro es discreto, y medidos en fracciones de una unidad
fundamental de masa: la masa de Planck mP l cuyo valor es del orden de 2.2 × 10−5 gr.
E = (p/q)mP l c2 ,
donde p = 0, 1, 2, 3, ... y q = 1, 2, 3, .. son enteros.
Figura 2: El área del horizonte de un agujero negro cambiando en forma discreta.
Los cálculos semiclásicos de los años 70´s confieren a la radiación Hawking un espectro continuo
de frecuencias (masas). Sin embargo, aquı́ se argumenta de manera cuantitativa, que si se considera
la cuantización del campo gravitatorio dicha caracterı́stica ya no es válida (ver figura 2). Más aún,
existe la posibilidad de que surja una asimetrı́a en los procesos de absorción y emisión de partı́culas
de masa negativa y positiva respectivamente, atribuible a la estructura interna del agujero. Dicho
efecto deberı́a ser notorio para agujeros negros de tipo microscópico, cuando se espera que los efectos
de la gravedad y la mecánica cuántica se combinen. De tal manera que se abre todo un panorama
de posibilidades para la investigación sobre los orı́genes de la flecha del tiempo y el crecimiento de
la entropı́a2 .
La pérdida de masa del agujero negro por efectos cuánticos levanta la cuestión sobre cómo un
agujero negro interacciona consigo mismo, alterando la estructura misma de la fábrica del espacio2
Penrose, en muchas ocasiones, ha argumentado en favor de una teorı́a de gravedad cuántica asimétrica en el
tiempo, de manera que exista la esperanza de, una explicación para la enorme disparidad entre la entropı́a asociada
a la singularidad del big bang con la asociada a las singularidades que residen en el interior de los agujeros negros.
12
tiempo. Mientras pierde masa, su horizonte se reduce de tamaño y en consecuencia se vuelve
cada vez más caliente, implicando su eventual evaporación en medio de una radiación explosiva
de cuantos de energı́a. Una posibilidad que se abre de nuestros descubrimientos es estudiar este
proceso de evaporación mediante técnicas de la teorı́a de perturbaciones para una ecuación de
Schrödinger
∂Ψ
i
= (Ho + δH(t))Ψ
∂t
dependiente del tiempo (ver apéndices) sujeta a un conjunto de principios consistente con el tı́tulo
de nuestra tesis:”...origen gravitatorio del cuanto.” Si la explosión de los agujeros negros deja o no
un remanente, o si la información contenida en su interior se pierde o no, son cuestiones que no
pueden ser contestadas con la teorı́a fı́sica actual 3 .
Desde el punto de vista de la astrofı́sica, se debe tener en mente que uno tendrı́a que esperar
un tiempo muy largo para la completa evaporación de un agujero negro originado por colapso
estelar, quizás mayor que el tiempo de vida del universo, unos 109 años. El proceso de extracción
de energı́a de Penrose encontró, sin embargo, aplicaciones astrofı́sicas. Se le puede visualizar en el
proceso de Blandford - Znajek (capı́tulo 4), que provee una explicación de los fenómenos observados
en cuásares y núcleos activos de galaxias donde se emite una energı́a del orden de los 1066 ergs,
equivalente a la aniquilación de 106 a 108 estrellas. Los cuásares y núcleos activos de galaxias son
objetos sumamente lejanos de gran poder energético, y caracterizados por la eyección de material
a velocidades relativistas, en direcciones diametralmente opuestas a largo de un eje común. De
acuerdo con Blandford-Znajek, este eje corresponde al eje de rotación de un agujero negro que
pierde energı́a de rotación, a través de su interacción con una configuración toroidal de plasma 4
inmersa en un campo magnético, ver capı́tulo 4.
Para atacar la cuestión del estado final del proceso de evaporación de un agujero negro, uno debe
andar sobre nuevos terrenos. Es aquı́ que invocamos la rica estructura matemática que se obtiene al
invocar la hipótesis de extradimensiones espaciales (capı́tulo 5), tratada originalmente por Kaluza
y Klein, y revisada recientemente por Randall y Sundrum (Randall et all, 1999) en el marco de
mundos brana, (universo paralelos en una quinta dimensión altamente curvada).
Una de la predicciones más notables de la relatividad general es que el universo (visto como un
continuo espacio-temporal tetradimencional) no es estático sino dinámico, ante la más pequeña
perturbación debe expandirse o contraerse (Friedman, 1922). Fue en 1929 cuando Edwin Hubble,
basado en sus observaciones de galaxias, publicó su famosa ley que dio base firme a la noción
de galaxias embebidas en un universo en expansión. De manera análoga, la relatividad general
predice la expansión y contracción (implicando inestabilidad) de las hipotéticas extra-dimensiones
espaciales, que polulan en varias de las teorı́as modernas de la fı́sica de partı́culas (capı́tulo 5).
Esta inestabilidad se puede expresar en términos de una ecuación análoga a la encontrada por
Friedmann (sección 7.2). Es justo aquı́ donde iniciamos una nueva ruta para tratar de reconciliar
la relatividad general con la mecánica cuántica. Adoptando la hipótesis de que la fórmula de
radiación de cuerpo negro tiene un origen relativista. Esto es, mediante un cálculo exclusivamente
de relatividad general (y por tanto “clásico ”) obtenemos una fórmula para la distribución de la
3
El problema de “la paradoja de la información” sigue abierto, pero existe la tendencia de inclinarse en lo negativo.
Esto ha razón de avances parciales de la teorı́a de supercuerdas (holografı́a, conjetura de Maldacena, dualidades, etc.)
o teorı́a M si se prefiere, y la teorı́a de lazos (big bounce, gravedad repulsiva, etc.) quienes respetan la unitariedad
de la mecánica cuántica.
4
Esta configuración toroidal de plasma es de gran interés en los programas de fusión nuclear controlada basados
en los diseños del fı́sico soviético Lev Andreevich Artsimovich: Tokamak (Toriodal Kamera Magnetic).
13
densidad de energı́a asociada a las fluctuaciones en el tamaño de una hipotética quinta dimensión
espacial, dicha fórmula presenta una extraordinaria semejanza con la postulada por el fı́sico Max
Planck (1900) para un campo electromagnético en equilibrio térmico. Planck basó su fórmula en
resultados experimentales que contradecı́an a la fı́sica clásica, la catástrofe ultravioleta (Stefan,
1879; Boltzmann, 1884; Wien 1893), y su descubrimiento fue el origen de una nueva mecánica:
la mecánica cuántica (Bohr 1913; Einstein 1917; Born 1924, Heisenberg 1925; Jordan 1925; Dirac
1926; Pauli 1926; Schrödinger 1925; Feynman 1965), donde las partı́culas adquieren propiedades
ondulatorias (longitud de onda λ, frecuencia ω, etc.) y viceversa, y donde la energı́a E se deposita
en pequeños cuantos
E = ~ω
controlados por una constante universal: la constante de Planck h = 6.63 × 10−27 erg-seg y donde
~ = h/2π. La analogı́a formal, que existe entre las oscilaciones de la quinta dimensión de longitud
σ con oscilaciones del campo electromagnético, con una cavidad pendimencional entre dos mundos
brana inmersos en un vació de energı́a negativa constante Λ, con una cavidad de cuerpo negro de
temperatura fija T, llevan a postular la relación
2~ω = σ
Misma que sugiere nuevas propiedades atribuibles a la naturaleza del espacio y del tiempo5 . La idea
de la discretés del espacio-tiempo ya ha sido sugerida anteriormente, por ejemplo, por el distinguido
filósofo y matemático Bertrand Russell, quien publicó un tratado sobre relatividad (Russell, 1948).
Nuestros cálculos soportan dicha visión6 .
A pesar de que estas relaciones descansan en el terreno de la teorı́a de extra dimensiones, ciertamente esta implı́cita fuertemente la estructura matemática de la relatividad general, y es posible
llegar a una interpretación de ellas desde un punto de vista tetradimensional, a través de argumentos basados en la fı́sica de agujeros negros. Asociando fluctuaciones de origen gravitatorio de la
quinta dimensión con fluctuaciones cuánticas de la frontera de un agujero negro. Oscilaciones que
se acoplan a las oscilaciones de un campo de materia, como el electromagnético, cediendo energı́a
para la producción de partı́culas de radiación Hawking. A nivel semiclásico los hoyos negros radı́an
como cuerpo negro. La fórmula de Planck “parece” emerger de oscilaciones de naturaleza gravitatoria. De tener el cuanto un origen gravitatorio, como se sugiere en la tesis, se necesitarı́a de una
fuerte revisión de los programas actuales para la cuantización de la gravedad, donde se antepone
la estructura de la mecánica cuántica a la de la relatividad general. Por ejemplo, en la teorı́a de
supercuerdas: la relatividad general es modificada para incluir correcciones asociadas a términos
cuadráticos en la curvatura y otros efectos no perturbativos. La sola idea de un origen gravitatorio
para el cuanto, abre un panorama de posibilidades (muchas más allá del alcance de esta tesis) para
la investigación de cuestiones que ya intrigaban tanto a Einstein como a Bohr: Los problemas de
la medición y del “colapso de la función de onda.” Dicha hipótesis sugiere modificaciones no solo
para la relatividad general, sino también para la mecánica cuántica.
Para miniagujeros negros asociados a grandes temperaturas y radiación de alta frecuencia se
esperan fuertes desviaciones del comportamiento semiclásico. La hipótesis del origen gravitatorio
5
Se puede tener una idea de la difı́cil empresa que significa cuantizar la gravedad si se considera el hecho de que
aún no existe una noción válida, para cualquier circunstancia, del concepto de energı́a para el campo gravitacional.
En particular, por el principio de equivalencia, la energı́a del campo gravitatorio debe ser no local.
6
La idea de que existe una especie de noción de “átomos de espacio-tiempo” de la que se puede recuperar el
continuo tetradimensional de la relatividad general, ha sido explorada más notablemente por Finkelstein, Sorkin y
Bombelli (Sorkin et al, ) a través de su teorı́a de conjuntos causales.
14
del cuanto nos lleva, según nuestros argumentos, a la siguiente relación (ver capı́tulo 7):
δλ
δA
|H = α( )−2
λ
A QG
δA
Donde δλ
λ es la razón de cambio de la longitud de onda, A es la razón de cambio del área del
miniagujero negro y α ≈ 3503.87530. Esto es, existe un corrimiento hacia el rojo de la frecuencia
de la radiación, la de mayor intensidad, que como cuerpo caliente, emite un mini agujero negro. El
mini agujero cambia de color, parecerı́a enfriarse, debido a efectos de origen gravito-cuánticos que
afectan su estructura interna7 .
Nuestro método de razonamiento también sugiere, y da pie, a la existencia de nuevo fenómeno a
niveles de alta frecuencia, donde los bosones, se sugiere, cambian de comportamiento: De manera
que el fenómeno conocido como emisión estimulada de radiación, de la que se basa el principio
del LASER, ya no depende de manera proporcional a la intensidad incidente sino de su cuadrado
(capı́tulo 7.5.1).
e−σ =
n
1 + n2
En una carta dirigida a su amigo Conrad Habicht (el 18 o 15 de mayo de 1905) Einstein, refiriéndose a sus artı́culos de 1905, calificó sólo su quinto artı́culo titulado “Sobre un punto heurı́stico
concerniente a la producción y transformación de la luz”, como revolucionario. En el mismo usa
la ley de Wien (la ley de decaimiento exponencial de la intensidad de la radiación de un cuerpo
negro para altas frecuencias) para mostrar que (termodinámicamente) la dependencia en el volumen de la entropı́a de la radiación es similar a la entropı́a de un gas ideal. Cosa que lo llevó a
concluir que la radiación monocromática se comporta termodinámicamente como si consistiese de
cuantos de energı́a mutuamente independientes. En esta obra hemos explotamos sus argumentos y
los llevamos al lı́mite para elucidar algo no trivial acerca de la naturaleza del espacio y del tiempo.
Las ecuaciones del campo de Einstein forman la base de nuestros argumentos. Nótese que la teorı́a
de la relatividad general ha sido puesta a prueba con una exactitud de una parte en 1014 gracias
a las observaciones del pulsar binario PSR 1913+16, estudiado por Hulse y Taylor (Husel, 1975),
por otro lado, la teorı́a cuántica de campos ha sido comprobada con una exactitud de una parte en
1011 .
1) ¿Qué sorpresas nos depara una formulación satisfactoria de la gravedad cuántica?
2) ¿Qué modificaciones son requeridas respecto a la hipótesis del cuanto?
Citando a J.A. Wheeler (Wheeler y Ford, 1959):
3)“How come the quantum? How come existence?” (¿Cómo es el quantum? ¿Cómo es su existencia?)
4) ¿Puede derivarse la estructura de la mecánica cuántica de la relatividad general?
7
Suponiendo que las desviaciones sugeridas por las fórmulas asociadas a las oscilaciones de una quinta dimensión,
son una guı́a hacia el descubrimiento de cómo un agujero negro interacciona consigo mismo, cambiando la estructura
del espacio-tiempo.
15
A primera vista uno estarı́a tentado a responder la cuarta cuestión con un rotundo no: conceptualmente dichas teorı́as son muy diferentes. Los intentos por unificarlas dan origen a grandes
problemas: infinitos, probabilidades y energı́as negativas, taquiones, el problema del tiempo, el
problema de la medición, etc. Aunque, por otro lado, sabemos que ambas sostienen algo de verdad
y que debe existir una régimen donde la idea del “cuanto” y del “espacio-tiempo curvo” coexisten
de manera aproximada: El éxito de los cálculos semiclásicos se puede medir con: la extensión de la
validez de las leyes de la termodinámica al marco gravitatorio y el notable descubrimiento de que
la entropı́a y temperatura de un agujero negro están asociadas con su área y superficie de gravedad
respectivamente.
16
0.3
HIPÓTESIS
Este trabajo postula que la mecánica cuántica y la relatividad general no son teorı́as independientes, sino que están relacionadas a través de la ecuación 2~Gω/K = σ(Λ/3)1/2 donde la frecuencia
ω; de las partı́culas emitidas por la frontera de un agujero negro no rotante de masa M; es proporcional a σ; interpretada como una medida del salto cuántico, entre una configuración a otra, de la
frontera del agujero a consecuencia de un incremento o decremento de su área. La incorporación
de Λ; cuyo valor se determina por la temperatura del agujero, equivale a modelar este fenómeno de
transición en términos de fluctuaciones del vacı́o que ceden su energı́a a las partı́culas de radiación.
Puesto que ω esta relacionado con nociones de energı́a, dicha fórmula implica la geometrización de
la energı́a. Tal formulación es sólo parte de un marco más general donde: La fórmula de radiación
de Planck (misma que marcó el nacimiento de la mecánica cuántica) tiene un origen relativista; o
en otras palabras, el cuanto tiene un origen gravitatorio.
17
0.4
OBJETIVOS
Objetivo general
Generar nuevos conceptos fı́sicos que motiven la formulación de una nueva ley de la naturaleza e
investigar su consistencia teórica, en escenarios asociados con la extracción de energı́a en agujeros
negros8 .
Objetivos particulares
1. Describir las bases fı́sicas del proceso de extracción de energı́a de Penrose.
2. Estimar la eficiencia máxima de conversión de energı́a de un agujero negro clásico rotante.
3. Estimar la eficiencia máxima de conversión de energı́a de un agujero negro semiclásico.
4. Describir en detalle el proceso de Blandford y Znajek.
5. Analizar, por medio de un balance energético, la cuestión de inestabilidad de las dimensiones
ocultas? .
6. Familiarizarse con al menos dos derivaciones independientes de la radiación Hawking? .
7. Derivar posibles consecuencias de la hipótesis del cuanto, precisando su formulación matemática? .
8
Notar que el objetivo general es inusual y ambicioso, ya que (coloquialmente hablando) no existe un manual
infalible de como construir una teorı́a exitosa de, por ejemplo, la gravedad. El descubrimiento de las leyes que
conocemos ha requerido una combinación especial de intuición y técnicas analı́ticas, que no siempre se aplican cuando
se adaptan a otros problemas para los cuales no fueron diseñadas. Y por supuesto, el éxito de una teorı́a se mide por
su concordancia con los experimentos.
18
0.5
JUSTIFICACIÓN
Uno no puede negar la cautivación que produce un vistazo a la ilustración de Penrose de 1969,
aquella que aparece entre las páginas de su célebre artı́culo: “Gravitational collapse: The role
of general relativity,” y reproducida aquı́ en la figura 1. Además de su valor estético, nos invita
a reflexionar sobre los diversos mecanismos con los que una civilización, técnicamente avanzada,
puede extraer energı́a útil de un agujero negro. La ciencia de la astrofı́sica ha revelado además, el
trascendente papel que los agujeros negros juegan en la estructura del universo: agujeros negros
supermasivos residiendo en los núcleos de las galaxias, agujeros colisionando entre si y con otras
estrellas, agujeros emitiendo poderosı́simos jets de energı́a que viajan centenares de miles de años
luz, agujeros emitiendo ondas gravitacionales por todos los confines del universo. En esta era de
intensa investigación en relatividad general, el dibujo de Penrose invita a ponderar sobre cuestiones
de principio similares a las que se enfrentó el ingeniero militar Sadi Carnot, cuando se preguntó sobre
la eficiencia máxima de una máquina térmica. Un agujero negro ”macroscópico,” visto como una
máquina hecha de espacio y tiempo, gobernado por las ecuaciones de la gravitación de Einstein,
obedece un conjunto maravilloso de leyes que conllevan a la unificación de la gravitación con
las leyes de la termodinámica. Pero ¿Que sucede si los agujeros negros son microscópicos? Su
comportamiento depende drásticamente de la visión del mundo macroscópico de la relatividad
general y la visión del mundo microscópico de la mecánica cuántica.
El escenario descrito en el primer párrafo es suficiente motivación para sumergirnos en el estudio
de estos agujeros negros microscópicos. De lo grande a lo pequeño, de lo pequeño a lo grande,
¿Como es está transición?. Nadie lo sabe aún. Y no es de extrañarse puesto que ¡está en juego la
elucidación del origen y final del universo! Un universo que comenzó pequeño (big bang), que ahora
es grande, y que quizás terminará grande por los efectos de una constante cosmológica distinta de
cero, o cualquiera que sea la causa de la expansión acelerada del universo. Estos cuestionamientos,
que de una u otra forma han surgido en todas las civilizaciones, bien valen el viaje.
La exposición hecha en este trabajo puede ser de interés para los amantes de:
a) la astrofı́sica (ya que se tocan ideas sobre la teorı́a de arrastre de mareas de Ponteu et al., sobre
evolución estelar, sobre ondas Halfven y el viento solar, y sobre el proceso de Blandford - Znajek),
b) la cosmologı́a relativista (ya que se derivan ecuaciones del tipo Lamaitre-Friedmann-RobertsonWalker),
c) la geometrı́a (en virtud del análisis del área A(z) de un agujero negro como función de valores
complejos),
d) la ingenierı́a aeroespacial (interesados en el diseño de estaciones espaciales en órbita alrededor
de un sistema estelar suficientemente masivo), y
e) la ingenierı́a en sistemas de energı́a, interesada en la instalación, operación, mantenimiento y
optimización de procesos de extracción energı́a.
En la tesis, la máquina generadora de energı́a es un agujero negro. Por el paradigma de la
membrana, tal agujero puede visualizarse como una delgada membrana elástica que bajo ciertas
circunstancias se comporta como una baterı́a. La que está sujeta a limitaciones (de principio)
impuestas por la teorı́a de la gravitación de Einstein. La tesis contiene un estudio de distintos
19
procesos de extracción de energı́a rotacional de un agujero negro.
El 4 de noviembre de 2008, el senado de la Republica Mexicana aprobó de manera unánime la
creación de la Agencia Espacial Mexicana (AEXA).
Este trabajo puede considerarse como la primera tesis de licenciatura sobre tópicos de la teorı́a
de gravitación de Einstein en el Estado de Quintana Roo. Se espera que marque el renacimiento en
la región del estudio de la cosmologı́a, que en su pasado fue cultivada notablemente por los mayas,
quienes legaron al mundo un preciso calendario, la concepción del cero y la visión de un universo
originado de la nada. Trata también, seriamente, el tema de la colonización del espacio (capı́tulo
1), de la cuantización del campo gravitacional, y el origen gravitatorio del cuanto (capı́tulo 7).
20
Figura 3: Capas externas solares. Se ilustra la forma granular de la superficie solar, además de la corona y las
manchas solares; se indican las lı́neas del campo magnético solar y el plasma acoplado a las mismas. Ráfagas de
plasmas son lanzadas al espacio presumiblemente a través del mecanismo denominado: “rompimiento de lı́neas de
campo magnético”.
21
1
1.1
Civilizaciones técnicamente avanzadas orbitando agujeros negros
Introducción
En las estrellas 51 del Pegaso, 47 de la Osa Mayor y 70 Virginis, se han descubierto planetas cuya
distancia a su estrella respectiva se encuentra dentro de la zona habitable (sección 1.3); esto es,
dentro de la zona donde el agua es capaz de hallarse en estado lı́quido. Por otro lado, en el centro
de nuestra galaxia, la Vı́a Láctea, parece existir un agujero negro supermasivo de 3 millones de
veces la masa solar. En este capı́tulo se sugiere un escenario que bien podrı́a ser parte de la historia
de la humanidad dentro de unos 5 mil millones de años (cuando el Sol se transforme en gigante
roja engullendo consigo mismo a la Tierra, (sección 1.3)) o quizás en unos 14 mil millones de años
(cuando el Sol agote su combustible termonuclear y deje de brillar por si mismo convirtiéndose en
una enana negra.
La transformación del Sol, ver figura 3, implica que la vida del planeta se enfrentará a la extinción:
Los mares se evaporarán y los paisajes terrestres se asemejarán más al del inhóspito Mercurio, el
planeta más cercano al Sol. Para sobrevivir, la civilización (fundada por el homo sapiens) se verá
obligada a colonizar el espacio (a una distancia no menor de 1.4 UA para evitar el engullimiento
solar, y eventualmente (al convertirse el Sol en una enana blanca, deberá emprender un viaje en
búsqueda de otra fuente de energı́a: quizás termonuclear, en la cercanı́a de alguna otra estrella como
el Sol, o quizás (si se nos permite especular) en la vecindad de una colonia de agujeros negros rotantes
(sección 1.4): extrayendo energı́a de rotación a través de un proceso descrito por primera vez por
el matemático inglés Roger Penrose (sección 1.10). Estaciones espaciales como las ilustradas en la
figura 1, podrı́an convertirse (para aquellas civilizaciones técnicamente avanzadas) en el análogo de
las gasolineras de hoy en dı́a. Aunque en realidad uno no necesita encontrarse en la proximidad de un
agujero negro para disfrutarlo como fuente energı́a, puesto que bajo ciertas condiciones astrofı́sicas
bien definidas emiten jets de partı́culas a velocidades relativistas que recorren distancias del orden
de millones de años luz.
En este capı́tulo se introducen algunas ecuaciones de pérdida de masa para estrellas gigantes
rojas, que servirán como punto de comparación cuando analicemos ecuaciones correspondientes
de pérdida de masa para agujeros negros. Para ello se aplica la teorı́a de mareas retardadas
de Ponteu et al. (sección 1.3), ideas sobre la naturaleza de las ondas Halfven y el viento solar
(apéndice 1), y cálculos recientes por Peter Schröder (2008) y Robert Smith sobre el destino final
de Sol y la Tierra. El capı́tulo incluye una breve introducción a la relatividad general (sección 1.6)
donde se fijan notaciones y convenciones, una introducción al concepto de agujero negro (sección
1.7) y una estimación, a través de la fórmula de Drake, del número probable de civilizaciones
22
técnicamente avanzadas en la galaxia capaces de desarrollar tecnologı́a para extraer energı́a de
rotación de agujeros negros.
1.2
Descripción fı́sica del Sol
Las estrellas son una acumulación de gas, en la cual se mantiene el equilibrio entre la fuerza
gravitacional y las reacciones de fusión que se dan en su interior. El Sol es una estrella promedio
entre las 200 000 millones de estrellas que tiene la Vı́a Láctea, se calcula que tiene una edad de
4.5×109 años, un radio ecuatorial de 6.96×108 m, una masa de 1.98892×1030 kg y una luminosidad
de 3.827 × 1026 W (ver tabla I). En el Sol el diámetro polar difiere del diámetro ecuatorial por casi
10 km, esta relación entre los diámetros indica que su forma es muy similar a la de una esfera. La
mayor parte del material es plasma, lo que entre otras cosas produce que la zona ecuatorial rote
más rápido que los polos, que exista una gran diferencia entre la densidad del núcleo y la de las
capas superiores. A pesar de que, existen muchos enigmas acerca del comportamiento del plasma
y los procesos de transporte de energı́a que se dan en el Sol, hay una teorı́a generalmente aceptada
acerca su constitución. La estructura solar se puede visualizar como una serie de capas concéntricas
empezando por el núcleo hasta llegar a la corona (ver figura 4).
Tabla I: Propiedades fı́sicas del Sol. Las referencias [1],[2],[3],[4] y [5] corresponden al compendio de la Sociedad
Americana de Fı́sica titulado “PARTICLE PHYSICS”.
Cantidad
Edad
Radio ecuatorial
Masa
Superficie
Volumen
Densidad
Luminosidad
Gravedad en la superficie
Velocidad promedio del viento solar
parsec (1 UA/ 1 arc sec)
Radio de Schwarzschild del Sol
Sı́mbolo
R
M
S
V
ρ
L
g
pc
2GN M /c2
23
Valor
4.5 × 109 años
6.96 × 108
1.98892 × 1030 kg
6.09 × 1018 m2
1.41 × 1027 m3
kg
1141 m
3
3.827 × 1026 W
274 sm2
400 km
s
3.0856775807(4) × 1016 m
2.95325008 km
Referencias
(Seinandre, 2005)
[1]
[4]
(Seinandre, 2005)
(Seinandre, 2005)
(Seinandre, 2005)
[5]
(Seinandre, 2005)
(Seinandre, 2005)
[2]
[3]
Tabla II: Composición quı́mica del Sol (Seinandre, 2005).
Elemento Sı́mbolo Porcentaje
Hidrógeno
H
92.1
Helio
He
7.8
Oxı́geno
O
0.061
Carbono
C
0.03
Nitrógeno
N
0.0084
Neón
Ne
0.0076
Hierro
Fe
0.0037
Silicio
Si
0.0031
Magnesio
Mg
0.0024
Azufre
S
0.0015
Otros
0.0015
Figura 4: Estructura solar: 1) Núcleo, 2) Zona radiante, 3) Zona convectiva, 4) Fotósfera, 5) Cromósfera, 6)
Corona, 7) Manchas 8) Gránulos, 9) Protuberancias.
24
El núcleo.
El núcleo del Sol es una enorme central nuclear en donde 64 000 000 de toneladas de hidrógeno
se fusionan, termonuclearmente, en 560 000 000 de toneladas de helio cada segundo, por el proceso
denominado reacciones de fusión protón-protón. Esta capa posee un grosor de 3 × 106 m, una
kg
densidad de 1.6 × 105 m
3 y una temperatura de 13,600,000 kelvins (ver tabla III). En su centro se
calcula que existe un 49 % de hidrógeno H, 49 % de helio He y el 2 % restante en otros elementos que
sirven como catalizadores en las reacciones termonucleares (ver tabla II). Este grupo de reacciones
es conocido como “ciclo de Bethe o del carbono”, dicho proceso es más importante en las estrellas
masivas y es equivalente a la fusión de cuatro protones en un núcleo de helio. En las reacciones
de fusión existe una pérdida de masa, esto es, el hidrógeno consumido es más pesado que el helio
producido. De cuerdo con la ecuación de Einstein E = mc2 , donde E es la energı́a, m la masa y c
la velocidad de la luz; la diferencia de la masa es transformada en energı́a. El ciclo ocurre en las
siguientes etapas:
(1)
1H
1
(2)
7N
13
(3)
1H
1
+6 C 13 −→7 N 14 ;
(4)
1H
1
+7 N 14 −→8 O15 ;
(5)
8O
(6)
1H
15
1
+6 C 12 −→7 N 13 ;
−→6 C 13 + e+ + νe+ ;
−→7 N 15 + e+ + νe+ ,
+7 N 15 −→6 C 12 +2 He4 .
Como resultado de las reacciones se tiene 41 H 1 −→2 He4 + 2e+ + 2νe+ + 26.7 MeV. La energı́a
total liberada en el proceso es 26.7 MeV, o sea cerca de 6.7 × 1014 J por kg de protones consumidos.
El carbono 6 C actúa como un catalizador, pues al final del ciclo se regenera.
Otro tipo de reacción de fusión que ocurre en las estrellas, es el ciclo de Critchfiel o protón-protón.
Este proceso se da cuando colisionan dos protones que van a gran velocidad, cuando esto ocurre
uno pierda su carga positiva y se convierte en un neutrón que permanece unido al otro protón
constituyendo un deuterón, es decir, un núcleo de hidrógeno pesado. La reacción puede producirse
de dos maneras algo distintas:
(7)
1H
1
+1 H 1 −→2 H 2 + e+ + νe+ ,
(8)
1H
1
+1 H 2 −→2 He3 ;2 He3 +2 He3 −→2 He4 + 21 H 1 .
El ciclo de Bethe se da en estrellas con mayor masa y temperatura que el Sol, en cambio la cadena
protón-protón es más común en estrellas parecidas al Sol. En los últimos estados de la evolución
solar se fusionará el helio producto de éstos procesos para dar carbono y oxı́geno.
25
Zona radiante.
Esta zona tiene un espesor de 108 m, el material solar es extremadamente denso y caliente, lo
suficiente para conducir el calor producido por el núcleo. La forma en la cual se da el proceso
de trasferencia de calor es por radiación, iones de hidrogeno y helio emiten fotones, los cuales son
absorbidos y emitidos una infinidad de veces antes de poder atravesar esta zona. Se estima que un
fotón tardarı́a un millón de años en llegar a la superficie.
Zona convectiva.
La zona convectiva tiene un espesor de 2.7 × 108 m. Es en esta zona donde los gases solares
dejan de estar ionizados y los fotones son absorbidos con facilidad, lo que dificulta el transporte de
energı́a por radiación. Por lo que en esta zona el transporte de energı́a se realiza por convección,
de modo que el calor se transporta de manera no homogénea y turbulenta por el propio fluido. La
densidad de los fluidos disminuye al aumentar su temperatura, puesto que en dicha zona existe una
gran variación en la temperatura del material, se forman corrientes ascendentes de este desde la
zona caliente hasta la zona superior, y simultáneamente se producen movimientos descendentes de
material desde las zonas exteriores frı́as. De esta forma se generan secciones convectivas turbulentas,
en las que algunas porciones de gas caliente y ligero suben hasta la fotósfera, donde nuevamente
la atmósfera solar trasporta la energı́a por radiación y el gas caliente cede su energı́a en forma
de luz visible. Las columnas térmicas formadas en la zona convectiva generan un relieve irregular
en la superficie solar, estas son conocidas como granulaciones y super granulaciones solares. Los
movimientos turbulentos del plasma en la parte exterior de la zona funciona a pequeña escala como
un dinamo, que produce el polo norte y sur magnético sobre toda la superficie solar.
Fotósfera.
Es una capa relativamente delgada puesto que cuenta con un espesor de 3 × 105 m y es considera
como la superficie solar. Desde esta zona se irradia luz y energı́a en forma de calor al espacio. Su
temperatura es de 5 000 K. La superficie granular que presenta la fotósfera tienen muchas veces
forma hexagonal y están separados por finas lı́neas oscuras y es aquı́ donde se dan la manchas
solares, la prueba más evidente de la actividad magnética.
Cromósfera.
Sólo puede ser vista en su totalidad durante un eclipse de Sol. La cromosfera es una capa exterior
a la fotosfera visualmente mucho más transparente. El espesor de esta zona es de 106 m y es
imposible observarla sin filtros especiales puesto que es opacada por el mayor brillo de la fotosfera.
Las protuberancias solares ascienden ocasionalmente desde la fotósfera alcanzando alturas de hasta
150 000 km produciendo erupciones solares espectaculares.
26
Corona.
La corona solar es una zona que no tiene un espesor bien definido ya que está formada por las
capas más tenues de la atmósfera superior solar. Su temperatura puede llegar a ser de millones de
grados kelvin. El proceso de transporte de la energı́a es actualmente uno de los grandes enigmas
de la astrofı́sica moderna. Una teorı́a más reciente sugiere que en realidad las lı́neas de campo
magnético depositan la energı́a en la corona. Puesto que el sol es una esfera de gas su campo
magnético no es rı́gido, las lı́neas que lo constituyen se tuercen, ya que el sol rota a velocidades
diferentes en distintos lugares, más rápidamente cera del ecuador. Cuando las lı́neas de campo
magnético se encuentran muy torcidas éstas se rompen depositando su energı́a en la corona. Esto
se puede ver como si fueran ligas que se estiran y se tuercen hasta que se rompen. La energı́a podrı́a
ser trasportada por medio de ondas (ver apéndice I). Las altas temperatura que tiene la corona
provocan la emisión de rayos X. Estas altas temperaturas son un indicador de las altas velocidades
que tiene el plasma en esta zona, lo que provoca la eyección del material coronal (EMC).
Viento solar.
El primero en proponer la existencia del viento solar fue el fı́sico estadunidense Eugene Parker
en 1950. Este desarrollo un modelo matemático del cual se obtenı́an algunos valores numéricos
esperados para las caracterı́sticas del viento solar a la altura de la órbita terrestre. Biermann
observó que la cola de los cometas sin importar la dirección de su desplazamiento siempre apuntan
en dirección contraria al Sol. Él propuso que el astro emanaba fuertes ráfagas de gas en todas
direcciones con velocidades entre 500 y 1500 km/s. Posteriormente se demostró que los resultados
de Biermann eran correctos y sirvieron como evidencia de la existencia del viento solar. El viento
solar es el resultado de las propiedades magnéticas del Sol y las altas temperaturas que alcanza en
ciertas regiones el plasma coronal, por lo que este puede vencer el confinamiento gravitacional y
magnético siendo lanzado hacia el espacio a velocidades vertiginosas. Es este plasma el que fluye
en el medio interplanetario, arrastrando el campo magnético del Sol y confinando a los campos
magnéticos de los planetas en cápsulas magnetosféricas. El plasma solar se extiende a distancias
mayores a la órbita de Plutón, lo que quiere decir que todos los planetas del sistema solar vivimos
inmersos en el plasma solar, aunque protegidos en nuestra propia esfera de plasma. Ası́ pues, se
cree que las estructuras observadas en la corona están modeladas en gran medida por el campo
magnético solar y las células de transporte convectivo. La EMC es una onda hecha de radiación
y viento solar que se desprende del Sol en el periodo llamado Actividad Máxima Solar. Esta
onda es muy peligrosa ya que daña los circuitos eléctricos, los transformadores y los sistemas de
comunicación. Cuando esto ocurre, se dice que hay una tormenta solar. Cada 11 años, el Sol entra
en un turbulento ciclo (Actividad Máxima Solar) que representa la época más propicia para que
el planeta sufra una tormenta solar. El viento solar ocupa una región muy vasta a la que se le ha
llamado heliósfera (o esfera del Sol).
27
Tabla III: Propiedades fı́sicas de las capas solares (Seinandre, 2005).
Cantidad
Valor
Densidad
kg/m3
Núcleo
1.6 × 105
Fotósfera
10−6
Corona
10−9
Campo manético
teslas
Superficie
1 − 2×−4
−2
Manchas
10 − 10−1
Grosor de las capas
m
Núcleo
3 × 106
Zona radiativa
108
Zona convectiva
2.7 × 108
Fotósfera
3 × 105
Cromósfera
106
Temperatura
Kelvin
Nucleo
13,600,000
Superficie
5778
Corona
5 × 106
1.3
Vida y muerte del Sol
Las estrellas como el Sol permanecen en fase de protoestrella (durante la cual su temperatura no
es todavı́a suficiente para encender las reacciones nucleares en el centro) por algunos millones de
años, hasta que comienzan las reacciones nucleares. Luego alcanzan la secuencia principal donde
comienzan a quemar hidrógeno. Los cálculos indican que en el Sol esta fase comenzó hace 4.5 mil
millones de años y durará otros 5 mil millones. Una vez que agote el suplemento de hidrógeno,
el núcleo solar contendrá sólo helio. La fusión del hidrógeno continuará en la capa que rodea al
núcleo, el cual va creciendo. Su propio peso provoca su contracción, la temperatura central aumenta
y comienza la fusión del Helio. Los núcleos de He se combinan entre sı́ para formar elementos más
pesados: C, N y O, son las llamadas reacciones CN O. En este proceso se entrega calor a la estrella,
el cual se suma al producido por la fusión de H en He, que todavı́a continúa realizándose en las
capas exteriores. Este calor provoca la expansión de la superficie, mucho más allá que en las estrellas
normales (de secuencia principal). El Sol abandonará aquı́ la secuencia principal y entra en la fase
de gigante roja, durante la cual su radio aumentará 250 veces aproximadamente y perderá mucha
masa.
Estudios recientes acerca de esta etapa del sol predicen que la tierra será engullida por el astro.
El nuevo modelo desarrollado por Peter Schröder de la Universidad de Guanajuato y Robert Smit
de la Universidad de Sussex explica mejor el proceso:
(9)
Ṁ = η
L∗ R∗ Tef f 3.5
g
(
) (1 +
),
M∗ 4000K
4300g∗
En la cual se determina la perdida de masa del sol, con η = 8 × 10−14 M y −1 , Tef f = tempertura
efectiva , g = superficie solar gravitacional, L∗ = luminosidad solar, R∗ = radio solar y M∗ =masa
28
solar. La ecuación es una nueva relación semi- empı́rica que describe la perdida de masa que
experimenta una estrella a causa del viento solar, el cual es descrito por la “ley de Reimer ”. La
∗ R∗
(Reimers,
razón de perdida de masa M descrita por la “Ley de Reimer ”, esta dada por Ṁ = η LM
∗
1975), donde L∗ , R∗ , M∗ son la luminosidad, radio, y masa respectivamente, dados en unidades
solares, y η es un parámetro conveniente.
Las nuevas investigaciones demuestran que la ecuación de Reimers presenta dos importantes
deficiencias. La primera es que la ecuación se basa en argumentos de escala dimensional y no en
interpretaciones fı́sicas, principalmente la forma en la que se maneja la luminosidad de la estrella
no es adecuada. La segunda es el parámetro η , cuyos valores requieren de observaciones más
adecuadas acerca de la razón de la perdida de masa para diferentes tipos de gigantes y super
gigantes. En el nuevo modelo los resultados se obtienen considerando que el viento solar se genera
debido a una gran cantidad de energı́a mecánica producida en la cromosfera, posiblemente asociada
con ondas. Los cálculos fueron realizados asumiendo que el mecanismo de trasporte de energı́a es
el de las ondas Alfvén, debido a su éxito en la descripción del viento solar. En el mecanismo el
flujo de energı́a mecánica FM puede ser debido a la energı́a magnética.
Además de la energı́a mecánica otro factor que influye en la pérdida de masa de la estrella son
las caracterı́sticas del radio de la cromosfera RCr que dicta la cantidad de energı́a de viento dEV
necesaria por el elemento de masa dM = Ṁ dt para vencer el potencial gravitacional de la estrella.
Para el balance de la energı́a del viento tenemos
(10)
dEV w
GM∗ Ṁ dt
∝ FM · 4πR∗2 dt,
RCr
donde Ṁ es la razón de cambio de la masa, y R∗ , M∗ son el radio y la masa de la estrella,
respectivamente, FM es el flujo de la energı́a mecánica, y G es la constante de gravitacional.
Considerando el transporte de energı́a en término de ondas, el parámetro de energı́a mecánica pude
6.1 (monopolo térmico), T 10.4
ser expresado en términos de la temperatura efectiva como FM ∝ Tef
ef
14.6 (cudrupolo térmico). Utilizando los resultados más recientes basados en el
(dipolo térmico), y Tef
viento solar y en la masa que el astro desprende producto de las ondas Alfvén, se puede considerar
7.5 como el más representativo. Podemos asumir que el flujo de energı́a mecánica a
el valor de Tef
7.5 , luego integral de superficie del flujo de energı́a
través del cual pierde masa la estrella es FM ∝ Tef
mecánica pude expresarse como:
(11)
4
3.5
LM = FM · 4πR2 ∝ FM · L∗ /Tef
∝ L∗ · Tef
.
De acuerdo con los estudios realizados se determinó que en general para las gigantes y súper
gigantes, (RCr − R∗ )/R∗ , por lo que la ecuación para la cromósfera es:
(12)
RCr = R∗ · (1 +
g
).
4300 · g∗
Utilizando todas las consideraciones anteriores se recupera la ecuación (9). La pérdida de masa
hace que disminuya el campo gravitacional, por lo que el eje mayor de la órbita terrestre aumentará.
29
Considerando la órbita terrestre circular es posible determinar una ecuación que nos de el radio de
la órbita terrestre:
(13)
rE =
Λ2E (t)
,
ME2 GMsol (t)
2
donde ΛE = momento angular de la tierra, ME = masa de la tierra, G = 6.67 × 10−11 Nkgm2 y
Msol (t)= masa instantánea del Sol. La ecuación nos muestra que el radio del planeta Tierra rE
depende del cuadrado del momento angular. La órbita terrestre es sensible a la perdida de masa del
Sol, por lo que se especulaba que al alejarse la Tierra del Sol esta podrı́a escapar de la destrucción,
sin embargo al considerar los efectos de marea los resultados cambian significativamente. Cuando
el Sol alcanza la etapa de súper gigante roja las fuerzas de marea son más significativas, se desfasan
la fotosfera y la zona convectiva por lo que se da un efecto de fricción (Zahn, 1977). La fricción
provoca un torque, si consideramos la órbita terrestre es circular la ecuación que determina el
torque es:
(14)
Γ=6
λ2 2
2 R 6
q M R
(
) (Ω − ω),
tf
rE
donde Ω es la velocidad angular del sol, ω es la velocidad de la órbita terrestre, q determina la
magnitud del efecto de marea, tf es el tiempo de disipación y λ2 es un coeficiente que depende
de las propiedades de la zona convectiva. El torque provoca un efecto de fricción que se disipa
en forma de calor, lo que provoca un una disminución del radio de la órbita terrestre. Al hacer
el análisis se obtuvo que en aproximadamente medio millón de años el radio del sol será 1.2 UA
(unidades astronómicas), y considerando la perdida del momento angulas de nuestro planeta, los
resultados de la investigación predicen que la tierra será engullida por el sol (ver figura 5).
Cuando el Sol alcance el final de la fase de gigante roja, habrán pasado uno o dos millones de
años desde que dejó la secuencia principal. La fusión del He proporciona menos energı́a que la
del H, es decir que la reserva de He se agota mucho más rápido que la de H. Por eso, esta fase
es corta respecto de toda la vida de la estrella y se observan pocas gigantes rojas: sólo 1% de las
estrellas de nuestra galaxia están en esta etapa, es decir unos 2.500 millones de estrellas. A medida
que continúa la contracción del núcleo, hacia el final de su vida como gigante roja, su temperatura
central será mayor de 100 millones de grados y por lo tanto la presión central será enorme. Esta
presión será tan grande que la materia en el centro adquirirá propiedades cuánticas especiales,
debido a la gran concentración de electrones. Este tipo de materia se denomina degenerada.
La evolución post-secuencia principal del Sol es mucho más incierta que la presente y, por lo tanto,
sólo se puede hacer una rápida estimación de su agonı́a luego del llamado “flash de helio”: una
explosión gigante en su centro. Como resultado de este flash el núcleo se expande rápidamente y
comienza a oscilar. Este movimiento es frenado por la envoltura que en la gigante roja aparece
muy extendida. El centro, donde el He se transforma en C y el C en O está rodeado por una capa
de H que se quema.
Lo que sigue es muy difı́cil de predecir. Se especula que eyectará una envoltura de gas para transformarse en nebulosa planetaria. El núcleo remanente de las estrellas está formado principalmente
30
Figura 5: El eje de las abscisas presenta el tiempo en años. El eje de las ordenadas presenta la distancia en
unidades astronómicas (UA). La lı́nea punteada representa el radio de la orbita terrestre, mientras que la lı́nea
continua representa el radio solar. En aproximadamente 3.5 × 106 millones de años la tierra será atrapada por el sol.
Tomado de, Distant future of the Sun and Earth revisited, arXiv:0801.4031v1.
por materia degenerada de electrones. En consecuencia, no se puede contraer más y las estrella
se enfrı́an lentamente transformándose en enanas blancas. Se estima que el sol se transformará en
una enana blanca con lo la mitad de su masa actual. El resto se habrá perdido en forma de vientos
violentos y la eyección de sus capas superficiales durante la evolución post-secuencia principal. Las
estrellas se enfrı́an rápidamente al principio y luego lentamente, durante miles de millones de años.
Las enanas blancas dejan de brillar y se transforman en enanas negras: una masa frı́a de materia
degenerada. Se pronostica que el final del sol se dará en aproximadamente 14 mil millones de años.
1.4
La colonización del espacio interestelar
Actualmente el Sol se encuentra en la etapa más estable de su vida, aún cuando existen pequeñas
variaciones irregulares en la cantidad de energı́a que aporta a la Tierra, variaciones como del 0.2
por ciento en el lapso de unos 10 años. Gracias al desarrollo de la fı́sica nuclear en los años treinta,
hoy tenemos una buena idea de cómo ha sido la vida del sol y cuál será su futuro. Su estabilidad ha
permitido el desarrollo de la vida en la Tierra en el transcurso de cientos de millones de años. En
particular se ha establecido que el Sol nació hace unos cinco millones de años. El final de esta etapa
estable del Sol llegará cuando su núcleo ya no contenga hidrógeno. En ese momento, al disminuir
31
la producción de energı́a, el núcleo empezará a contraerse. Al irse contrayendo, el centro de la
estrella se calentara y al propagarse este calor hacia fuera propiciará que las partes externas de la
estrella se expandan. En el transcurso de unos cuantos millones de años el núcleo del sol se habrá
reducido a la quinta parte de su tamaño actual, mientras que las capas externas habrán alcanzado
las orbitas de Mercurio, Venus y a la Tierra. El Sol se convertirá en una estrella de las llamadas
gigantes rojas, alcanzando entonces una etapa de relativa estabilidad que durará por algún tiempo.
El helio, siendo un combustible menos eficiente que el hidrógeno, se agotará más rápidamente y el
Sol se volverá a contraer una vez más, hasta convertirse en una estrella súper gigante roja. En esta
segunda fase de expansión es posible que el planeta Marte sea engullido por el Sol (Simon, 1989).
Una vez agotados el hidrógeno y el helio como combustibles termonucleares, el Sol ya no volverá
a brillar de forma estable: su núcleo se ira contrayendo, las capas más externas del Sol serán
expulsadas al exterior en uno o más eventos violentos. Se estima que el Sol perderá cerca de la
mitad de su masa de esta forma y se convertirá entonces en una estrella enana blanca del tamaño
de la Tierra.
Al cesar todas las reacciones termonucleares y no poderse contraer mucho más para generar
energı́a, el Sol continuará enfriándose. Cuando dicho momento llegue este oscuro Sol, y los aun
más oscuros planetas, será todo lo que quede de lo que hoy es nuestro sistema solar. Entonces la
existencia de la raza humana o de cualquier civilización avanzada dependerá de la colonización del
espacio y de la localización de una fuente de abastecimiento energético (Kitchin, 1987).
De acuerdo con la ecuación de Drake, el número de civilizaciones técnicas avanzadas en la galaxia
esta dado por la ecuación:
(15)
N = R∗ × fp × ne × f1 × fi × fc × fL ,
donde: N : número de civilizaciones técnicas avanzadas en la galaxia, R∗ : promedio de estrellas
formadas por año en la Vı́a Láctea, fp : fracción de estrellas que tienen sistemas planetarios, ne :
número de planetas es un sistema dado que son ecológicamente adecuados para la vida, f1 : fracción
de planetas adecuados de por sı́ en los que la vida nace realmente, fi : fracción de planetas habitados
en los que una forma inteligente de vida evoluciona, fc :fracción de planetas habitados por seres
inteligentes en los que se desarrolla una civilización técnica comunicativa, fL : fracción de una vida
planetaria agraciada con una civilización técnica.
Una expresión alternativa se da cuando consideramos:
(16)
∗
Z
N =
Tg
R∗ (t)dt,
0
donde Tg es la edad de la galaxia, considerando como constante R∗ , tenemos que N ∗ = R∗ × Tg
y la ecuación de Drake puede reescribirse como:
(17)
N = N ∗ × fp × ne × f1 × fi × fc × fL .
Los números utilizados en el trabajo original de Drake en 1961 dan un valor para N igual a
N = 10 × 0.5 × 2 × 1 × 0.01 × 0.01 × 10, 000 = 10, que de acuerdo con la fórmula nos da una
32
aproximación acerca de el número de planetas técnicamente avanzados que existen en nuestra
galaxia. Los números que se utilizan en la fórmula son especulativos con relación a la tierra,
que es el único planeta con una civilización técnicamente avanzada en nuestro vecindario espacial.
Actualmente se han modificado los números gracias a los avances cientı́ficos, los parámetros más
eceptados en nuestros dı́as para la fórmula de Drake son: R∗ = 7, fp = 0.5, ne = 2, fl = 1,
fi = 0.01, fc = 0.01, y finalmente, L = 10, 000 años.
•R∗ = 7, calculado por la NASA y la Agencia Espacial Europea indicando que el número de esrellas
formadas en nuestra galaxia por año es de 7 en promedio.
•fp = 0.5, estudios recientes indican que las estrellas con sistemas planetarios similares a nuestro
sistema solar está entre el 20 y 60 %, por lo que se puede manejar en la fórmula el 50 %.
•ne = 2, que nos dice el número de planetas que se encuentran dentro de la zona habitable.
Actualmente se está replanteando cuales son las condiciones para que un planeta pueda contener
vida, actualmente se estima que el 10 % de los sistemas de estrellas en la galaxia pueden hospedar
vida, puesto que contienen elementos pesados y han pasado un tiempo considerable para que el
planeta se enfrı́e y se den los procesos biológicos. El 6 de Marzo de 2009 la NASA lanzó la misión
Kepler, cuyo objetivo es detectar los planetas con tamaños similares a los de la Tierra y con un
periodo orbital de un año. Se espera que los resultados nos brinde una mejor estimación del número
de planetas en nuestra Galaxia, que se encuentran en la zona habitable (distancia de la Tierra al
sol, donde el agua permanece en estado lı́quido por lo que se tiene condiciones ideales para la vida).
•fl = 1, en 2002 los investigadores Charles H. Lineweaver y Tamara M. Davis de la Universidad
de New South Wales y de the Australian Centre for Astrobiology estimaron que este número debe
ser mayor a 0.13, el resultado es considerando el tiempo de evolución de la vida en nuestro planeta.
•fi = 0.01, el parámetro es muy especulativo, puesto que no sabemos si las condiciones terrestres
son las únicas con la capacidad de desarrollar una civilización tecnológicamente avanzada.
•fc = 0.01, tal vez el factor más difı́cil y discutido porque de existir una civilización con la capacidad de emitir señales para comunicarse es muy complicado determinar si éstas quieran hacerlo.
•L̇= 10,000 años, en un artı́culo publicado por Scientific American, el investigador Michael Shermer considera que el parámetro L es de 450 años, basándose en sesenta civilizaciones históricas y
su desarrollo tecnológico. Con los valores actualizados la ecuación de Drake queda como:
N ∗ = 7 × 0.5 × 2 × 0.33 × 0.01 × 0.01 × 10000 = 2.31.
La fórmula nos dice que el número de civilizaciones con tecnologı́a suficiente para poder comunicarse con nosotros es aproximadamente de una. Esta fórmula ha sido muy discutida puesto que los
parámetros designados en la ecuación utilizan números muy especulativos. Fue en el año de 1950,
en una discusión informal, cuando el fı́sico italiano Enrico Fermi se preguntó cuál es la razón por
la que si uno asume la existencia de una multitud de civilizaciones avanzadas en la Vı́a Láctea, no
hemos podido obtener evidencia de su existencia. Actualmente a esto se le conoce como la Paradoja
de Fermi, y se relaciona con la probabilidad de que podamos recolectar evidencia de la existencia de
vida extraterrestre, tecnológicamente avanzada. La paradoja de Fermi ha sido la base del estudio
formal sobre la vida extraterrestre, y para este fin se han unido disciplinas tan diversas como la
astronomı́a, biologı́a, ecologı́a y la filosofı́a. La unión de todas estas disciplinas a dado origen a la
33
astrobiologı́a, encargada de estudiar la vida extraterrestre. En particular se ha especulado que de
existir comunicaciones interestelares entre civilizaciones técnicamente avanzadas es muy natural y
factible que se encuentren codificadas, para evitar el mal uso de dicha información en caso de ser
interceptadas por agentes no deseados, tal y como sucede con nuestras propias comunicaciones, en
esta era de avances computacionales y de red mundial.
Aún si la humanidad logra sobrevivir colonizando otras partes de nuestro sistema solar o de la
propia galaxia, se debe advertir que deberá solventar nuevos peligros, el más dramático quizás sea
la colisión de nuestra galaxia, la Vı́a Láctea, con Andrómeda, que se acerca relativamente a una velocidad de alrededor de 300 kilómetros por segundo, a pesar de la acelerada expansión del universo
y el alejamiento general de las galaxias. La colisión ocurrirá en un tiempo no menor a los 3000 millones de años. En cualquier caso es un hecho que, eventualmente, la existencia de la raza humana
dependerá de la colonización del espacio y de la localización de nuevas fuentes de abastecimiento
energético. Este trabajo contempla la situación en donde una civilización técnicamente avanzada,
que pretenda colonizar la galaxia o desde un sitio fijo colocado estratégicamente, usa los agujeros
negros como fuente energı́a (Ver figura 1). ¿Con que eficiencia se puede extraer energı́a de estos
agujeros negros?. Parte de la respuesta la encontraremos en el siguiente capı́tulo. De acuerdo con
las estimaciones anteriores, si entre las civilizaciones técnicamente avanzadas se reparte equitativamente estas fuentes de energı́a, nos tocarı́a aproximadamente la quinta parte de la población total
de agujeros negros que existen al tiempo dado en la Vı́a Láctea y Andrómeda.
1.5
Los orı́genes de la relatividad general
La teorı́a de la relatividad especial (Einstein, 1905) surgió como un esfuerzo por comprender las
propiedades de las fuerzas electromagnéticas (Michelson y Morley 1887; Lorentz 1900, Poincaré
1904). Sin embargo, incorporar los postulados relativistas a otras fuerzas conocidas invitaba a
sortear varias dificultades. En especial los asociados con los efectos de acción a distancia que se
oponen a la idea que la información no debe viajar más rápido que la velocidad de la luz (Einstein,
1952). Era necesario pues crear una teorı́a relativistica de la gravitación, por lo que Einstein se
propuso dicha tarea desde 1907 hasta 1915, cuando publicó su versión final denominada teorı́a
de la relatividad general (Einstein, 1915). A través de una serie de brillantes deducciones lógicas
y utilizando la concepción de un continuo espacio-temporal tetradimencional, propuesta por su
maestro Minkowski, concluyó que la curvatura del espacio-tiempo está afectada por la distribución
de la masa y la energı́a. La matemática se debe en gran parte a los hallazgos de Gauss (1777-1855)
y Riemman (1826-1866), de Lobachevsky, Bolyai,y Scheickard sobre geometrı́a no euclideana y el
abandono del quinto postulado (el de las lı́neas paralelas) de los “Elementos” de Euclides.
Estas ideas sugieren encontrar una ecuación que relacione la curvatura R del espacio-tiempo con
la distribución de masa y energı́a. Aplicando los siguientes criterios:
1)Recuperar los resultados de Newton para velocidades y densidades bajas.
2)Tener hasta segundas derivadas en el tiempo en las ecuaciones de la gravitación.
3)Respetar la ley de la conservación de la masa-energı́a local.
34
Einstein concluye finalmente en el siguiente sistema de ecuaciones (Einstein, 1916):
(18)
1
8πG
Rij − Rgij + Λgij = 4 Tij ,
2
c
donde Rij es tensor de curvatura de Ricci, R es la escalar de curvatura, Λ es la constante cosmológica, y Tij el tensor de energı́a momento. La ecuación de Einstein es en realidad un conjunto
de diez ecuaciones, las cuales son muy difı́ciles de resolver exactamente excepto en algunos casos
particulares. Einstein, sin embargo, logró resolver en forma aproximada su ecuación para aventurar
algunas predicciones y conclusiones de su teorı́a (Wald, 1984).
1) La primera de ellas fue demostrar que los planetas no describen una trayectoria elı́ptica perfecta
al moverse en torno al sol, sino que estos se mueven en forma cuasi-elı́ptica, cuyo perihelio se corre
lentamente. Este efecto es más notable en el planeta mercurio (por su cercanı́a al sol y por tanto
sujeto a un campo gravitacional de mayor intensidad que sus vecinos) y era uno de los resultados
que la teorı́a de Newton no habı́a podido solucionar de forma satisfactoria.
2) El segundo resultado importante que predice la ecuación de Einstein es que las trayectorias
que siguen la luz, al igual que en el caso de las partı́culas, debe ser afectada ante la presencia de un
campo gravitacional. La ecuación predecı́a que un rayo luminoso debe desviarse un ángulo de 1.7
segundos de arco al pasar cerca del sol. Esta observación fue realizada por el astrofı́sico inglés Sir
A.S. Eddignton al término de la primera Guerra Mundial, confirmando la predicción de Einstein
(Einstein, 1920).
La relatividad general propone que la gravitación es resultado de la curvatura de un continuo
espacio-temporal tetradimensional. En palabras de John Archibal Wheeler, quien introdujo la
nomenclatura de agujero negro: “La masa le dice al espacio como curvarse y el espacio-tiempo a su
vez le dice a la materia como moverse.” La matemática detrás de la teorı́a se debe en gran parte
a los hallazgos de Gauss y Riemann.
1.6
Colapso gravitacional y el lı́mite de Chandrasekhar
Los agujeros negros son una consecuencia natural de la gravitación de Einstein. A una estrella
se le puede ver como una gigantesca masa de gas incandescente que brilla porque en su centro se
producen reacciones de fusión nuclear, con estados de estabilidad donde la presión repulsiva que
se produce por la energı́a cinética de sus partı́culas equilibra exactamente a la fuerza atractiva
de la gravedad (Chandrasekhar, 1939). Dicha estabilidad se mantiene mientras tenga suficiente
combustible termonuclear. Cuando éste disminuye, la temperatura en las capas externas de la
estrella se aproxima a la temperatura de la radiación cósmica de fondo y la fuerza gravitacional
comienza a vencer, iniciándose ası́ un proceso de contracción (Townsend, 1997).
Si la masa M de la estrella no es lo suficientemente grande, digamos:
(19)
M
1
(hc/G)3/2 ,
m2p
donde M es masa de la estrella, h la constante de Plank, c la velocidad de la luz en el vacı́o, G: la
constante de gravitación Universal, y mp es la masa del protón. Un cálculo no relativista (v c)
35
es apropiado, con el cual se determina que el colapso gravitacional puede detenerse por la presión
mecánico-quántica de degeneración de los electrones (principio de exclusión de Pauli), en dichas
circunstancias la estrella logra equilibrarse nuevamente y se convierte en lo que se denomina una
enana blanca (Frolov, 1998). Por el contrario, cuando se tiene una masa superior, violándose la
desigualdad anterior, y las velocidades que alcanzan los electrones degenerados son cercanas a la
de la luz, se debe considerar cuidadosamente los efectos de teorı́a de la relatividad. La predicción
entonces es notable: Para que una estrella pueda soportar el colapso gravitacional de su propio
peso, su masa no debe exceder cierto lı́mite, llamado lı́mite de Chandrasekhar.
(20)
Mc ∼
1
(hc/G)3/2 ,
m2p
(21)
Rc ∼
1
(h3 /Gc)1/2 ,
me mp
donde Rc denota el radio crı́tico, y me es la masa del electrón. El joven Chandrasekhar intuyó,
mediante un par de cálculos, dicha posibilidad durante un viaje en barco, de Madras a Inglaterra,
cuando se dirigı́a a la Universidad de Cambridge para estudiar con el astrónomo Sir Arthur Eddington. Por tanto, si una estrella que posea una masa crı́tica Mc > 1.4 Msol no podrá finalizar como
una enana blanca (Chandrasekhar, 2000). Para éstas, la teorı́a fı́sica predice que la energı́a cinética
de los electrones degenerados no pueden detener la compresión. Sin embargo, el decaimiento beta
permite otra ruta para la estabilidad: con electrones fusionándose con los protones, formando neutrones y liberando neutrinos. Este proceso de contracción es tan violento que convencionalmente
la estrella estalla como una supernova: Explosión que llega a brillar como diez mil millones de
estrellas juntas. Las capas externas de la estrella son arrojadas al espacio interestelar y en la parte
central queda únicamente lo que se denomina como estrella de neutrones (Hale, 1908).
En una estrella de neutrones la energı́a mecánico-cuántica de degeneración de los neutrones logra equilibrar el colapso gravitacional formando un cuerpo de tan sólo unas cuantas decenas de
kilómetros de radio y tan denso como un núcleo atómico. Para que una estrella termine como una
estrella de neutrones, al igual que en el caso de las enanas blancas, su masa no debe exceder una
masa crı́tica del orden de 3Msol . Si esta condición se cumple el proceso de implosión puede ser
controlado (Donald, 1983).
Para una estrella con M > 3Msol la teorı́a basada en las ecuaciones de estado nuclear (Wheeler,
1525) argumenta que el colapso gravitacional no se detiene, que la estrella continuará colapsándose
y que la densidad de su núcleo crecerá sin lı́mite. Ante esta situación, y si la conjetura del censor
cósmico de Penrose (1969) es correcta, el resultado es la formación de un agujero negro (Hawking, 1974). La conjetura admite que la frontera del agujero es estable e impide la producción
de singularidades espacio-temporales que sean visibles desde la infinidad espacial (Penrose, 1972;
Christodoulou, 1999). De existir, tales singularidades limitarı́an nuestra capacidad de predecir el
futuro, ya que en principio podrı́an emitir información incontrolable a observadores ubicados en las
lejanı́as del colapso, actuando como una especie de mini bigbangs temporales9
9
Por otro lado, dichas singularidades podrı́an estar sujetas a leyes fı́sicas aún por descubrirse, tornando nuestra
visión actual del mundo como incompleta, imaginemos la posibilidad, por ejemplo, de conectar estas supuestas leyes
con el indeterminismo de la mecánica cuántica ¿Cual es el origen del indeterminismo de la mecánica cuántica?
36
Otra posibilidad que no se ha descartado, pero de carácter más especulativo y aplicable sólo
para un conjunto reducido de condiciones, es imaginar una estrella transmutando (por efectos
semiclásicos de la teorı́a cuántica de campos) a un estado de materia similar al de la energı́a oscura.
En 1998 se descubrió que el universo se expande aceleradamente (ver sección 7.2). La constante
cosmológica Λ podrı́a ser la explicación de este efecto. Para campos gravitatorios débiles, la teorı́a de
Einstein se reduce a la de Newton. Si incluimos la constante cosmológica al potencial gravitacional
newtoniano Φ se obtiene Φ = −GM m/r + Λr2 , de donde se deriva que si Λ es positiva, existe una
fuerza repulsiva que crece con la distancia. Por tanto, estrellas negras con núcleos hechos de energı́a
oscura podrı́an ser una alternativa a los agujeros negros (Visser et all., 2009). Notar sin embargo
que una trasmutación hacia valores negativos de Λ tiene el efecto opuesto10 , el colapso gravitatorio
se asentúa, favoreciendo la formación de agujeros negros o en su caso singularidades desnudas.
Para una discusión fina sobre la evidencia observacional a favor de los agujeros negros ver (Ress,
1987). Los agujeros negros han sido usados satisfactoriamente en varios modelos astrofı́sicos que
tratan de explicar las observaciones relacionadas a regiones de alta densidad. Una de las más
dramáticas es la forma como se mueven un grupo de las estrellas en la vecindad del núcleo galáctico
de la Vı́a Láctea, a unos 28, 000 años luz de nuestra posición, siguen trayectorias con velocidades
mayores a los 1, 500km/s compatibles con la existencia de un agujero negro de masa equivalente
a unos 2.6 millones de soles. La base cuantitativa de estos descubrimientos depende del agujero
negro de Schwarzschild que estudiamos a continuación.
1.7
La solución de Schwarzschild
A pesar de la complejidad de las ecuaciones del campo gravitacional, descubiertas por Einstein
(1915), la primera solución exacta fue descubierta tan sólo unos meses después de la publicación
de la teorı́a. Esta solución se debe al notable astrónomo alemán Karl Schwarzschild. Se cuenta
que al estallar la primera Guerra Mundial fue movilizado por el ejército prusiano al frente oriental.
Ahı́, contrae una enfermedad infecciosa mortal, que le permite por polı́tica del ejercito regresar a
su hogar. En casa y casi en su lecho de muerte, Schwarzschild tiene acceso a la publicación de
Einstein. Las ecuaciones de la teorı́a parecı́an muy complicadas, pero tuvo la idea de considerar
un caso muy simple, pero realista, que consiste en determinar cual debe ser la deformación del
espacio-tiempo si se tiene una distribución de masa perfectamente esférica y estacionaria, razonó
que dicha simetrı́a se traducirı́a en una gran simplificación de las ecuaciones, y quizás con suerte
lograrı́a obtener una solución exacta (Bernard, 2003). Esta solución que lleva ahora el nombre de
Schwarzschild, describe el campo gravitacional en el vacı́o un cuerpo de simetrı́a esférica de masa
M . El elemento de lı́nea ds asociado esta dado por:
(22)
ds2 = −(1 −
2GM 2 2
2GM
)c dt + (1 − 2 )−1 dr2 + r2 dθ2 + r2 Ω2 ,
2
c r
c r
donde:
10
En el efecto Cassimir (1957) se ha encontrado que el signo de la energı́a del vacı́o Λ asociada a las fluctuaciones
cuánticas de un campo electromagnético confinado entre un par de placas conductoras de metal, energı́a que se mide
bajo condiciones controladas de laboratorio, depende de manera complicada de la geometrı́a, condiciones de frontera,
tamaño y topologı́a de las placas de metal)
37
Ω2 : corresponde a la métrica de una 2-esfera de radio r y t es una coordenada temporal. El
resultado obtenido por Schwarzschild fue publicado en Julio de 1916, trágicamente meses después
de la muerte de su autor.
El análisis de esta métrica causó mucha incertidumbre al principio. Debido a la existencia de una
región que es inaccesible al escrutinio de observadores que se encuentran en la infinidad espacial
y limitada por una esfera de radio 2GM/c2 r llamado radio de Schwarzschild rs , donde la métrica
de la ecuación se hace singular. Los rayos de luz no pueden escapar del interior debido a la
intensa gravedad. Esta singularidad en la métrica resultó ser un artificio de las coordenas, y en
principio un cuerpo que orbita libremente puede cruzar la barrera dada por rs . En cuanto a la
singularidad en el centro de simetrı́a r = 0 la historia es otra. Una situación similar ya habı́a
sido considerada independientemente por P.S. Laplace y por John Michael en el contexto de la
gravitación newtoniana: es realmente digno de enfatizarse que el valor numérico del radio crı́tico
rs coincide para ambas teorı́as (ver sección 7.6).
El término agujero negro se acuñó muy reciente. Fue utilizado por vez primera en 1969 por el fı́sico
norteamericano John A. Wheeler en una conferencia en Nueva York. Wheeler describió una idea que
habı́a sido discutida casi dos siglos antes. Un catedrático de Cambrige (Inglaterra), John Michael
(1738), escribió un artı́culo para el Philosophical Transactions of The Royal Society of London. En
el mismo se señalaba que si una estrella fuese lo suficientemente masiva y compacta podrı́a alcanzar
un campo gravitacional tan intenso que la luz no podrı́a escapar de ella. Michael sugirió que podı́a
existir una gran cantidad de estrellas de este tipo, sin embargo, no se podrı́a percibir su presencia
puesto que la luz no llegarı́a hasta nosotros, ası́ que la única manera en la que manifestarı́a su
presencia serı́a a través de su atracción gravitacional con objetos circundantes. Años después y de
manera independiente, el cientı́fico francés marqués de Laplace, publicarı́a un resultado similar en
la primera edición de su libro: El sistema del mundo. Argumento que desaparecerı́a en ediciones
posteriores, quizás si se nos permite especular a que en su época el comportamiento corpuscular de
la luz propuesto por Newton habı́a sido desplazado por una visión ondulatoria, y de acuerdo con
ésta, no estaba muy claro si la luz es afectada por la gravedad o no (Hawking, 1988).
Más recientemente, Chandrasekhar demostró que el principio de exclusión de Pauli no es suficiente
para detener el colapso gravitacional de una estrella (suficientemente masiva y compacta), lo que
llevo a pensar que en realidad en la naturaleza se puede dar un fenómeno del tipo pronosticado por
Michael, la clave para entender el problema de acuerdo con la visión de la relatividad general, fue
resuelto por el norteamericano Robert Oppenheimer y su estudiante Volkov en 1939. La imagen
actual de su trabajo es el siguiente: el campo gravitacional de la estrella afecta las trayectorias
que siguen los rayos de luminosos, los cuales se inclinan más en dirección de la superficie de la
estrella. En el colapso, cuando la estrella se contrae, el campo gravitacional de su superficie se
vuelve más intenso, los conos de luz se curvan aún más en la dirección del centro de la estrella.
Cuando la estrella se reduce hasta el valor del radio crı́tico, el campo gravitacional en la superficie
llegará a ser tan intenso que los conos de luz (que determinan el futuro y pasado causal de los
eventos espacio-temporales) se inclinan de manera que la luz ya no puede escapar. De acuerdo
con la teorı́a de la relatividad, la información no puede viajar más rápido que la luz, y entonces la
zona encerrada por el radio de Schwarzschild se encuentra incomunicada del exterior. A esta zona
se le conoce como agujero negro y su frontera que se denomina horizonte aparente de sucesos, y
esta conformada por aquellos rayos que no consiguen escapar al infinito, paro que tampoco caen al
agujero. Toda partı́cula que finalmente atraviesa la frontera del agujero hacia su interior termina
en la singularidad espacio-temporal del agujero, r = 0, donde la curvatura es infinita, y donde el
38
espacio y el tiempo cesan de tener sentido tal como los conocemos.
Sobre el estado genérico final de las estrellas de la naturaleza, que experimentan colapso gravitacional continuo, es muy difı́cil hacer algún tipo de predicción. Aún ası́, en 1967, el estudio de
los agujeros negros fue revolucionado por Werner Israel, quien demostró que la relatividad general de hecho predice que los agujeros negros estacionarios perfectamente esféricos deben ser muy
simples, su tamaño sólo depende de su masa y dos de estos con la misma masa serı́an idénticos y
descritos por la solución de Schwarzschild. Por otro lado, aplicando la teorı́a de perturbaciones,
investigaciones sobre estrellas sin carga con una estructura ligeramente desviada de la simetrı́a
esférica, mostraron que las ondas gravitacionales que escapan de la estrella se llevarı́an las irregularidades, haciendo que la estrella luzca cada vez más esférica y el espacio-tiempo más cercano a la
solución de Schwarzschild. Aún más sorprendentes son los resultados de Roger Penrose y Stephen
S. W. Hawking (1965 y 1970) quienes demostraron que, de acuerdo con la relatividad general, existen singularidades espacio-temporales encerradas en el interior de todo agujero negros genérico,
singularidades que no son artificio de la simetrı́a, como se llego a conjeturar en algún tiempo,
singularidades que marcan la frontera del espacio y del tiempo, y que implican la necesidad de
una revisión profunda de nuestras leyes fı́sicas. Singularidades a las que uno debe añadir también
aquellas relacionadas con el big bang y el big crunch.
1.8
El agujero negro rotante
Poco tiempo después de que Schwarzschild llegara a la primera solución exacta de las ecuaciones
de Einstein, los fı́sicos H. Reissner y G. Nordström encontraron, en forma independiente, otra
solución que representa el espacio-tiempo fuera de una masa simétricamente esférica que posee
carga eléctrica. Tuvo que pasar casi medio siglo para que se descubriera una nueva solución de las
ecuaciones de Einstein. Esta solución fue descubierta en 1964 por el fı́sico de origen neozelandés
Roy P. Kerr, cuando preparaba su tesis doctoral en la Universidad de Texas.
Kerr considero los efectos rotacionales en un agujero negro, ası́ que resuelve las ecuaciones de
Einstein agregando el parámetro de momento angular. La ecuación que describe la métrica de Kerr
esta dada por:
(23)
ds2 = −
∆
a
sen2 θ 2 a2
∆
2
2
[cdt
−
sen
θdΦ]
+
[(r + 2 )dΦ − adt]2 + 2 dr2 + ρ2 dθ2 ,
2
2
ρ
c
ρ
c
ρ
donde:
(24)
∆ = r2 −
(25)
ρ = r2 +
2GM r a2
+ 2,
c2
c
a2
cos2 θ.
c2
En la ecuación se puede observar que bajo ciertas condiciones este también presenta la formación
de un agujero negro, pero este debe poseer un momento angular. El agujero de Kerr posee dos
39
parámetros: La masa (M) y el momento angular (J=a). En el caso particular, donde J = 0 el
resultado de Kerr se reduce a la solución de Schwarzschild.
Si el cociente entre el momento angular y la masa no excede el valor de GM
c la métrica de Kerr
exhibe dos horizontes concéntricos. El radio de cada horizonte, r+ y r− está dado por las formulas
r
(26)
GM
r+ = 2 +
c
G 2 M 2 a2
− 2,
c4
c
r
(27)
GM
r− = 2 −
c
G 2 M 2 a2
− 2.
c4
c
La singularidad del agujero se encuentra escondida detrás del horizonte interno, pero, a diferencia
del caso sin rotación, esta posee forma de un anillo.
, los dos horizontes se fusionan en uno solo. Mientras
Si el parámetro a es igual al valor crı́tico GM
c2
GM
que si a es mayor que c2 , no hay horizonte. Y se dice que la singularidad es desnuda, es decir,
se tiene una región suave del espacio-tiempo que en principio está causalmente conectada con
información (quizás incontrolable) proveniente de la singularidad. Un problema matemático abierto
es conocido como la cuestión de la censura cósmica (Penrose 1969), ésta consiste en determinar
si las singularidades desnudas son permisibles en un universo como el nuestro, al menos desde el
contexto de la relatividad general y la fı́sica clásica.
Una de las peculiaridades del agujero negro rotante de Kerr es la presencia de una zona llamada
ergósfera (que estudiaremos en detalle en el capı́tulo siguiente), ésta se sitúa justamente fuera del
horizonte externo, donde el arrastre producido por la rotación del agujero negro es tan intenso que
cerca y justo fuera del horizonte todos los cuerpos de la naturaleza razonable, sin excepción, se
ven forzados a girar junto con él. Para los observadores en la infinidad del agujero el tiempo y el
espacio parecen invertir papeles en la ergósfera y existe la posibilidad de que una partı́cula creada
en dicha zona adopte valores negativos para su energı́a. Esta observación incitó al matemático
Roger Penrose a idear un mecanismo para extraer la energı́a de rotación de un agujero negro.
El modelo consiste en considerar una partı́cula masiva que se acerca al agujero y una vez en
la ergósfera decae, digamos, en otras dos partı́culas, una del las cuales penetra el horizonte de
sucesos mientras que la otra escapa. Penrose demostró que, para algunas trayectorias, es posible
que el producto del decaimiento que escapa salga con una energı́a mayor que la que poseı́a la
partı́cula original antes de entrar. Ası́, serı́a posible, en principio, utilizar un agujero negro rotante
como fuente de energı́a. Enviando una serie de partı́culas a la ergósfera con trayectorias bien
determinadas, para recolectar las partı́culas que lograran escapar con una energı́a mayor que la
energı́a inicial. El efecto Penrose consiste en lograr que el agujero ceda parte de su energı́a acosta
de reducir su momento angular total. En teorı́a uno podrı́a explotar dicho recurso energético hasta
que el agujero cese de rotar y se reduzca a un agujero negro de Schwarzschild (Chandrasekhar,
2000). Esta posibilidad se estudia cuantitativamente en el siguiente capı́tulo.
40
2
El proceso de extracción de energı́a de Penrose
2.1
Introducción
En este capı́tulo se describe y analiza la métrica de Kerr: La única solución estacionaria y axisimétrica de las ecuaciones de la relatividad general para un agujero rotante, eléctricamente neutro,
que popula el vacı́o. Misma que proporciona una descripción realista del exterior de los agujeros
negros macroscópicos formados del colapso gravitatorio estelar, cuando se asienta en un estado
final estacionario (Frolov, 1998). La inclusión de la palabra exterior en el enunciado anterior es
deliberada. Se usa para enfatizar que la teorı́a de perturbaciones exhibe la existencia de inestabilidades en la estructura espacio-temporal del interior del agujero de la métrica de Kerr, donde
existen trayectorias causales cerradas (que implican el viaje a través del tiempo), donde el pasado
de un evento es también su futuro. La extensión analı́tica de la métrica de Kerr conduce a un
espacio-tiempo de múltiples universos (sección 2.2), conectados entre sı́ mediante agujeros negros
(entrada) y agujeros blancos (salida), cuyo momento angular produce un vórtice espacio-temporal
que arrastra objetos alrededor de un eje de simetrı́a (Melia, 2007).
De cumplirse la versión fuerte de la conjetura del censor cósmico11 (Penrose, 1969), la solución de
Kerr resultarı́a contener una buena dosis de información sobre la fı́sica de los agujeros negros de la
naturaleza. Y su uso deberá ser indispensable para cualquier tipo de argumentos de clase general.
Por ello, le dedicamos a su estudio una buena parte de este capı́tulo. En particular, en la sección
2.3, se estudia la zona del agujero denominada ergósfera, donde todos los cuerpos se mueven en
el sentido de rotación del agujero: se necesitarı́a tener una velocidad mayor a la de la luz para
moverse en sentido opuesto. A este fenómeno se le denomina arrastre de marcos inerciales. Los
objetos en la ergósfera pueden escapar al infinito pero no pueden evitar rotar. Este fenómeno se
ilustra también en la sección 2.4, donde se analizan las geodésicas nulas de la métrica de Kerr, y
por tanto las trayectorias que siguen los rayos luminosos en la vecindad del agujero. El efecto de
arrastre de marcos inerciales, producido por un masa gravitante en rotación, es la base del proceso
de extracción de energı́a de Penrose (sección 2.5).
El 20 de abril del 2004, la agencia nacional de aeronáutica y del espacio, NASA, en colaboración
con la universidad de Stanford, mandó una sonda al espacio denominada Gravity probe B, GP-B
en corto, con el fin de comprobar este efecto de arrastre predicho por la teorı́a de la relatividad
11
Misma que asume la estabilidad (clásica) de los agujeros negros y demanda su existencia para ocultar cualquier
singularidad espacio-temporal (como las asociadas a curvaturas infinitas) producidas por el colapso gravitatorio
de materia fı́sicamente razonable, bajo condiciones fı́sicamente razonables. Singularidades libres al escrutinio de
observadores en la infinitud espacial.
41
de Einstein. El experimento consiste en poner en orbita un satélite que lleva a bordo cuatro
giroscopios de cristal aislados de todo efecto electromecánico, que en principio y de acuerdo con la
teorı́a, registrarı́a el arrastre del espacio-tiempo provocado por la rotación de la Tierra mediante un
desplazamiento de los ejes de rotación de los giroscopios (ver figura 7). Los cuatro giroscopios en el
GP-B son las esferas más perfectas jamás fabricadas por el ser humano, su tamaño asemeja a una
pelota de pin-pon pero están fabricadas de cuarzo fundido y silicio. Miden casi 4 centı́metros de
diámetro; y nunca varı́an de ser una esfera perfecta por más de 40 capas atómicas de espesor. Si los
giroscopios no fuesen tan esféricos, el eje de giro se tambalearı́a aún sin los efectos de la relatividad.
Los cálculos predicen que, en el periodo de un año, la deformación del espacio-tiempo producido por
la rotación de la Tierra deberı́a ocasionar un desplazamiento de los ejes de los giroscopios del orden
de 0.041 arco segundos. Para medir este ángulo la GP-B necesita de una extraordinaria precisión:
semejante a medir el espesor de una hoja de papel puesta de canto a 160 kilómetros de distancia.
Para la viabilidad del experimento se inventaron toda una serie de nuevas tecnologı́as: Se desarrolló
un satélite “libre de arrastre” que podı́a deslizarse por las capas exteriores de la atmósfera de la
Tierra, sin causar ninguna molestia a los giroscopios. Se ideó un mecanismo para mantener fuera
de la nave espacial el penetrante campo magnético de la Tierra. Y se preparó un dispositivo para
medir el giro de un giroscopio sin tocarlo. Actualmente el GP-B se encuentra recolectando datos, y
muy pronto se anunciará al mundo si las ecuaciones de la relatividad general han pasado la prueba,
solidificando (en caso afirmativo) la base teórica sobre la que se basa el proceso de extracción de
energı́a de Penrose, cuya formulación matemática se presenta en la sección 2.5.
42
Figura 6: Giroscopios del Gravity probe B. Los giroscopios son las esferas más perfectas jamas fabricadas por el ser
humano, tomada de, http : //www.nasa.gov/mission pages/gpb/index.html.
43
2.2
La métrica de Kerr
En 1963, Kerr presentó una solución exacta de las ecuaciones de la gravitación dependiente de dos
parámetros: M y a, que se pueden interpretar respectivamente como la masa y el momento angular
J
de un ente rotante (a = M
)
(28)
ds2 = −(
∆ − a2 sen2 θ 2
M rsen2 θ
(r2 + a2 )2 − ∆a2 sen2 θ
)dt − 4a
dtdφ + (
)sen2 θdφ2
Σ
Σ
Σ
Σ
dr2 + Σdθ2 ,
+∆
donde
(29)
Σ = r2 + a2 cos2 θ,
y
(30)
∆ = r2 + a2 − 2M r.
R.H. Boyer y R.W. Lindquist expresaron la métrica de Kerr en coordenadas esferoidales adaptadas
al espacio curvo. Su relación con las coordenadas cartesianas se deduce de las siguientes igualdades:
(31)
x2 + y 2 z 2
+ 2 = 1,
r 2 + a2
r
(32)
z
θ = arccos ,
r
y
(33)
x
a
φ = arctan + arctan
y
r
Z
adr
.
∆
Notar que las superficies r = cte son elipsoides de revolución y cuando a = 0 dichas coordenadas
se reducen a las coordenadas esféricas.
La métrica de Kerr expresada en coordenadas BL (r, θ, φ, t) toma la forma:
(34)
ds2 = ρ2 (
2mr
dr2
+ dθ2 ) + (r2 + a2 )sen2 θdφ2 − dt2 + 2 (asen2 θdφ − dt)2 ,
∆
ρ
donde:
(35)
ρ=
(M 2 − a2 )1/2
.
M
44
M y a son constantes; M representa la masa y M a el momento angular medido desde el infinito;
cuando a = 0 la solución se reduce a la solución de Scwarzschild. Esta métrica es claramente
invariante bajo la inversión simultanea de t → −t, φ → −φ.
El espacio-tiempo de Kerr tiene singularidades coordenadas en el eje de simetrı́a (θ = 0), análoga
a la singularidad de coordenadas esféricas, y en aquellos valores de r para los que ∆ = 0. Además,
tiene singularidad de curvatura en los puntos para los que Σ = 0.
Su comportamiento es diferente en función de la relación que se da entre la masa M y el momento
angular J del espacio-tiempo. Se distinguen tres casos: a)M 2 < a2 ,b)M 2 > a2 y c)M 2 = a2 .
a) Solución de Kerr con singularidad desnuda: M 2 < a2 .
Cuando M 2 < a2 y se tiene que ∆ > 0, la métrica presenta una singularidad de curvatura en
r=0. Esta singularidad no es puntual sino que tiene forma de anillo, para ver esta se toma las
coordenadas de Kerr - Schild (x, y, z, t̄), donde
Z
(36)
x + yi = (r + ia)senθexp[i
(dφ + a∆−1 dr)],
y
Z
(37)
z = rcosθ, t̄ =
(dt + (r2 + a2 )∆−1 dr) − r.
La métrica de Kerr se reduce entonces a la forma
(38)
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 − dt̄2 +
2mr3
r(xdx + ydy) − a(xdy − ydy) zdz
(
+
+ dt̄)2 ,
4
2
2
r +a z
r2 + a2
r
donde r está determinada implı́citamente en términos de x, y, z por
(39)
r4 − (x2 + y 2 + z 2 − a2 )r2 − a2 z 2 = 0.
La superficie r = cons. son elipsoides cofocales de semiejes iguales en el plano (x,y,z). Cuando
r = 0 los elipsoides degeneran en el disco x2 + y 2 5 a2 , z = 0.Esto es en el lı́mite cuando r → 0,
(40)
x2 + y 2 → a2 −
a2 z 2
= a2 sen2 θ ≤ a2 .
r2
La circunferencia frontera de este tipo corresponde a θ = π2 , que es , como hemos visto, una
singularidad de curvatura. El interior del disco no es singular, y es posible extender el análisis de
los valores de r negativos cuando nos encontramos en el interior del disco (r = 0, θ 6= π2 ) y alcanzar
de esa forma otra zona asintóticamente plana.
45
Figura 7: Singularidad anular en el plano ecuatorial, de la métrica de Kerr.
La singularidad anular r = 0 es una singularidad desnuda. Existen curvas temporales cerradas
cerca de la singularidad y las únicas geodésicas causales que alcanzan a la singularidad se hayan en
la parte r > 0 del plano ecuatorial.
b) Solución de Kerr no degenerada: M 2 > a2 .
La extensión analı́tica de la solución de Kerr, en este caso, es un poco más complicado que en el
anterior debido a la existencia de dos valores r
(41)
r+ = M +
p
M 2 + a2 ,
r− = M −
p
M 2 + a2
y
(42)
para los cuales ∆(r) se anula.
Para extender analı́ticamente la métrica, a través de las superficies ∆ = 0, se utiliza una transformación a las coordenadas de Kerr (r, θ, φ+ , u+ ), donde
(43)
du+ = dt + (r2 + a2 ∆−1 )dr,
46
y
(44)
dφ+ = dφ + a∆−1 dr.
La métrica entonces toma la forma
(45)
ds2 = ρ2 dθ2 − 2asen2 θdrdφ+ + ρ−2 [(r2 + a2 )2 − ∆a2 sen2 θ]sen2 θdφ2+
−4aρ−2 mrsen2 θdφ+ du+ − (1 − 2mrρ−2 )du2+ .
En estas coordenadas la variedad puede ser analizada para los valores de r = r+ y r = r− .
Nuevamente se tiene una singularidad de curvatura cuando r=0 que tiene la forma de un anillo y
una estructura geodésica similar a la descrita en el caso anterior. La métrica se puede extender en
la variedad definida por las coordenadas (r, θ, φ+ , u+ ) donde
(46)
du− = dt − (r2 + a2 )∆−1 dr,
y
(47)
dφ− = dφ − a∆−1 dr.
Nuevamente la métrica adopta la forma (38) si se remplazan φ+ y u+ por −φ+ , −u+ respectivamente. (Ver figura 8)
La figura muestra la estructura conforme de la solución a lo largo de los ejes de simetrı́a. La región
I representa una región asintóticamente plana donde r > r+ . La región II (r− < r < r+ ) contiene
superficies cerradas atrapadas. La región III (−∞ < r < r− ) contiene la singularidad anular; para
todo punto en la región III pasan curvas temporales cerradas, pero esa violación de la causalidad
no ocurre para ninguna de las otras dos regiones.
c) Solución extrema de Kerr : M 2 = a2 .
En este caso r+ = r− y tenemos un sólo horizonte de Killing en r = M que es degenerado puesto
que la gravedad de superficie se anula. El horizonte de Killing es tanto un horizonte de sucesos
como un horizonte de Cauchy. (Ver figura 9)
2.3
La ergósfera
Existe una propiedad muy distintiva de los agujeros negros de Kerr que contrasta con el caso de
Schwarzschild. Consideremos para empezar la componente g00 de la métrica de Kerr (32)
(48)
goo = −(
∆ − a2 sen2 θ
).
Σ
47
Figura 8: Diagrama de Penrose-Carter. Máxima extensión analı́tica para el caso M 2 > a2 .
Cuando r → ∞, goo → −1 como el agujero de Schwarzschild, sin embargo de (35) es facil ver que
goo cambia su signo:
(49)
∆ − a2 sen2 θ = r2 + a2 cos2 θ − 2M r < 0.
La desigualdad se satura para
(50)
r=M±
p
M 2 − a2 cos2 θ.
Si a es distinta de cero; parte de esta región siempre esta fuera del agujero. La zona definida por
la desigualdad,
(51)
r+ < r < M +
p
M 2 − a2 cos2 θ,
se le conoce como la ergósfera del agujero y tiene su mayor extensión en el ecuador; y se reduce
a cero en los polos. Ver figura adjunta
Que g00 sea mayor que cero significa que un objeto fı́sico de masa no negativa no puede permanecer
en reposo en esa región, pues eso serı́a equivalente a viajar más rápido que la velocidad de la luz.
El objeto debe entonces moverse, pero ¿en que dirección? Para poder responder la pregunta
48
Figura 9: Diagrama de Penrose-Carter. Máxima extensión analı́tica para el caso M 2 = a2 .
49
µ
consideremos el vector tangente uµ = dx
dτ a una trayectoria de tipo temporal (τ denota el tiempo
propio). Por ser de tipo temporal el vector uµ debe cumplir con
(52)
gµν uµ uν < 0.
Sustituyendo la ecuación (39) se comprueba que todos los términos resultan ser positivos excepto
2gtφ ut uφ .Para que la desigualdad se cumpla dentro de la ergósfera se debe tener
(53)
gtφ ut uφ > 0.
Por otro lado, para a > o, podemos ver que gtφ es siempre negativo. Además debemos siempre
dt
tener ut = dτ
> 0, pues el tiempo propio avanza a medida de que el tiempo coordenado lo hace.
La conclusión final es que dentro de la ergósfera necesariamente debemos tener que
(54)
dφ
> 0,
dτ
es decir los objetos fı́sicos dentro de la ergósfera deben de rotar en la dirección en la cual lo hace
el agujero negro. A este fenómeno se le conoce como el arrastre de marcos inerciales. Los objetos
dentro de la ergósfera pueden escapar al infinito, pero no pueden evitar rotar.
2.4
Geodésicas nulas y singularidades de la métrica de Kerr
Entre las muchas caracterı́sticas especiales que posee el campo gravitatorio de un agujero de Kerr
destaca el carácter repulsivo de sus singularidades a corta distancia, como consecuencia existe una
infinidad de geodésicas nulas cerradas en la vecindad de las singularidades, e implicando la posibilidad de que señales luminosas puedan viajar atrás en el tiempo en el interior del agujero. Por tanto,
un agujero negro rotante exhibirı́a zonas donde se puede violar el principio de la causalidad, sino
fuese por el hecho de que el interior de la métrica de Kerr es inestable ante pequeñas perturbaciones.
Si se envı́an ondas de materia (fotones, neutrinos, etc.) al interior del agujero de Kerr, estas ondas
experimentan un corrimiento hacia al azul gravitacional sin lı́mite , antes de llegar a la zona donde
se presenta la anomalı́a causal (Penrose 1972, Chadrasekhar 1980). De modo que la energı́a de las
ondas aumenta sin lı́mite y por tanto también su masa gravitacional, misma que altera la curvatura
del interior del agujero. LA evidencia a través de simulaciones numéricas y cálculos teóricos sugiere
que el resultado final de estos efectos, es la clausura de la zona donde la causalidad se viola por
medio de una singularidad espacio-temporal. Esa serı́a la imagen para el interior de un agujero
negro rotante genérico (Israel, 1980). En cuanto al exterior del agujero, parece ser estable, al menos
ante pequeñas perturbaciones.
Las geodésicas que siguen los fotones en la métrica de Kerr, han sido investigadas sistemáticamente
por muchos autores, muy notablemente por Brandon Carter (1968). Aquı́ se dará sólo una descripción cualitativa de las mismas. Tómese el caso, permisible por las ecuaciones encontradas por
Carter, de aquellas partı́culas que se acercan al agujero con valor constante para θ (con θ = 0
para aquellas partı́culas que se acercan paralelamente al eje de rotación, θ = π2 para aquellas que
50
se aproximan por el plano ecuatorial, y con valores intermedios para el resto de las trayectorias.)
Todas estas trayectorias se encuentran caracterizadas por un parámetro de impacto L, una medida
que indica si la trayectoria apunta, más o menos o no, hacia el centro del agujero negro desde
el inicio del movimiento. Para cada valor de θ existen dos valores de L que corresponden a dos
trayectorias en las que el valor de la coordenada radial r permanece constante. Las trayectorias
con r constante se les llama: órbitas circulares. Una de estas corresponde a partı́culas que giran
en el mismo sentido que el giro del agujero. También hay otra, exterior a la anterior (con un valor
mayor de r), que corresponde a partı́culas girando en sentido opuesto. Tales orbitas tornan ser son
inestables. Es decir, una pequeña perturbación de la trayectoria provoca que la partı́cula inicie un
movimiento en espiral hacia adentro o afuera del agujero negro.
Para valores de L mayores al correspondiente a la órbita exterior, la partı́cula escapará al universo
interior; pero para parámetros de impacto menores al correspondiente a la órbita interior, puede
ocurrir varias cosas: Si el parámetro de impacto es cero (o tiene valores muy cercanos a cero), la
partı́cula pasará a través de la singularidad anular y entrará a un espacio “negativo” donde r toma
valores no positivos. La gravedad es ahora repulsiva, y se alejará de la singularidad. Cuando el
parámetro de impacto es el adecuado para que la partı́cula se aproxime a la singularidad por la parte
exterior del anillo, habrá un balance entre atracción y repulsión, y como resultado, las partı́culas
pueden adquirir órbitas circulares que son más estables que las consideradas anteriormente. Estas
órbitas estables son interesantes, por que pueden hacer de las proximidades del anillo singular una
especie de almacén de partı́culas de masa nula.
Existen aún otras posibles órbitas circulares, pero esta vez, en el espacio negativo. Son las
que adquieren partı́culas con cierto rango del parámetro, correspondiente a trayectorias cercanas al
anillo, pero por la parte interior de este. Estas órbitas se llaman pendulares: ya que la trayectoria de
la partı́cula transcurre en una superficie elipsoidal en el espacio negativo, rebotando entre distintos
puntos de la singularidad. Respecto a las partı́culas que se acercan al agujero negro desde el espacio
negativo, solo las que lo hacen en trayectorias axiales o próximas al eje de rotación lograrán pasar
al universo positivo. Para las demás partı́culas, la singularidad es repulsiva y les hará rebotar de
nuevo hacia el infinito espacial del universo negativo de procedencia. Suele decirse que visto desde
un universo negativo, el agujero negro de Kerr es una fuente de antigravedad.
51
Figura 10: Trayectoria de las geodesicas orientandose a la dirección de rotación del agujero, tomada de, The
Mathematical Theory of Black Holes.
2.5
El proceso de extracción de energı́a de Penrose
El proceso original de extracción de energı́a propuesto por Penrose puede ser ilustrado de la siguiente
manera. Consideremos que una partı́cula, que descansa en el infinito, llega a la ergósfera a través
de una geodésica en el plano ecuatorial, en un punto r < 2m donde ṙ = 0 (posición de máximo
acercamiento). Luego en r, decae en dos fotones, uno cruza el horizonte de sucesos y se pierde en
el interior del agujero negro, el otro escapa al infinito. Luego, si el fotón que cruza el horizonte
de sucesos tiene energı́a negativa permisible, y el fotón que escapa al infinito posee una energı́a en
exceso.
Donde:
E 0 = 1, L0z ; E 1 , L1z ; y E 2 , L2z ,
Estas denotan las energı́as y el momento angular de la partı́cula que arriba desde el infinito y de
los fotones que cruzan el horizonte de sucesos y escapan al infinito, respectivamente.
Desde que la partı́cula, proveniente del infinito, arriba a r por una geodésica de tipo temporal y
tiene una posición en r, su momento angular, L0z , el momento angular puede ser descrito por la
siguiente ecuación
(55)
L0z =
√
1
[−2aM + 2M r∆] = α0
r − 2M
Para la relación que existe entre la energı́a y el momento angular del fotón que cruza el horizonte
de sucesos y el fotón que escapa a infinito tenemos la ecuación
(56)
L1z =
√
1
(−2aM − r ∆)E 1 = α1 E 1
r − 2M
52
(57)
L2z =
√
1
(−2aM + r ∆)E 2 = α2 E 2
r − 2M
La conservación de la energı́a y el momento angular requiere que
(58)
E1 + E2 = E0 = 1
y que
(59)
L1z + L2z = α1 E 1 + α2 E 2 = L0z = α0
resolviendo el sistema de ecuaciones para de E 1 y E 2 en términos de las α0s tenemos:
(60)
E1 =
α0 − α2
α1 − α2
(61)
E2 =
α1 − α0
α1 − α2
sustituyendo los valores de α0 ,α1 y α2 dados por las ecuaciones (56) y (57) podemos simplificar las
ecuaciones (60) y (61) para llegar a las nuevas ecuaciones
(62)
r
1
2M
E =− (
− 1)
2
r
(63)
r
1
2M
E = (
+ 1)
2
r
1
2
El fotón que escapa al infinito tiene una energı́a en exceso en relación de E 0 = 1 tan grande como
r < 2M (tenemos entonces un postulado). La energı́a, ∆E, que se ha ganado es
(64)
1
∆E = (
2
r
2M
− 1) = −E 1
r
es evidente de la ecuación anterior, que para el proceso que hemos descrito, el máximo aumento
de energı́a que puede ser alcanzada, es cuando la partı́cula que llega del infinito, alcanza el valor
de r = r+ , por lo que la ecuación anterior queda como
(65)
1
∆E ≤ (
2
s
2M
− 1)
r+
53
como el mı́nimo valor de r+ es M (cuando a2 = M 2 )
(66)
1 √
∆E ≤ ( 2 − 1) = 0.207
2
Esta es la eficiencia máxima del proceso de extracción de energı́a original propuesto por Roger
Penrose. Ahora se conoce, gracias a los avances en la investigación acerca de las propiedades de
los agujeros negros, que la máxima cantidad de energı́a que es posible extraer de un agujero negro
esta limitada por la segunda ley de la mecánica de estos, según la cual la masa de un agujero negro
no puede crecer. El área del horizonte para un agujero negro de Kerr esta dada por
Z
(67)
p
√
2
dθdφ gθθ gφφ = 16π(r+
+ a2 ) = 8π(M 2 + M 4 − J 2 )
A=
r=r+
A través de esta ecuación, podemos obtener la masa del agujero negro en función de su área y
momento angular
(68)
M2 =
1
j2
A + 4π .
16π
A
Si de un agujero negro inicial Mi , Ji , Ai extraemos energı́a mediante el proceso de Penrose, hasta
llegar a otro agujero negro de parámetros Mf , Jf , Af la variación en su masa será:
s
(69)
∆M = Mf − Mi =
r
(70)
≥
Ai
−
16π
s
4πJf2
Af
−
+
16π
Af
s
4πJi2
Ai
+
16π
Ai
4πJi2
Ai
+
16π
Ai
La energı́a obtenida en el proceso es igual a la masa perdida por el agujero negro, es decir:
s
(71)
∆E ≤
4πJi2
Ai
+
−
16π
Ai
r
Ai
16π
Esta cantidad será máxima para el valor más grande de Ji que es el de un agujero negro degenerado,
para el que a2i = Mi2 , es decir, Ji2 = Mi4 ,de forma que Ai = 8πMi2 . Ası́:
(72)
∆E
1
≤ (1 − √ ) ∼ 0.29.
Mi
2
Este es el lı́mite de extracción de energı́a para un agujero negro rotante.
54
3
3.1
El formalismo 3+1 y el paradigma de la membrana
Introducción
La formulación de la teorı́a de la relatividad general, dada por Einstein, tiene como uno de sus
conceptos centrales el principio de equivalencia: “Las leyes de la fı́sica son independientes del
estado de movimiento del observador”. Este principio implica que dichas leyes deben ser descritas de
manera covariante, es decir, independiente del sistema de coordenadas. La formulación covariante
es natural y permite expresar la interacción de la materia con la geometrı́a de una manera elegante
y conceptualmente sencilla:
(73)
Gµν = kT µν
donde Gµν es el tensor de Einstein y T µν el tensor de energı́a momento.
Una consecuencia de la covariancia de las ecuaciones de campo de Einstein es que un conjunto de
ellas, cuatro para ser precisos, representan constricciones para las variables dinámicas de la teorı́a,
análogo con lo que ocurre en el electromagnetismo de Maxwell, donde la libertad de norma que
poseen los potenciales electromagnéticos (A y φ) esta codificada en la ley de Gauss y la ley de?.
Una forma para analizar la dinámica de la relatividad general consiste en verla como un problema
de Cauchy, esto es, analizar la dinámica como la evolución de una hipersuperficie tridimensional
donde se dan datos iniciales, por ejemplo la métrica y la curvatura extrı́nseca de una hipersuperficie,
análogos a la posición y el momento conjugado de una partı́cula respectivamente; con el transcurrir
el tiempo, en sentido positivo o negativo, la hipersuperficie, obedeciendo un sistema hiperbólico
de ecuaciones, genera en principio el espacio-tiempo tetradimencional, o al menos una porción de
él. Un análisis pionero de este tipo fue desarrollado por R. Arnowitt, S. Deser y C. W. Misner
(Arnowitt, 1962 ; Corichi, 1991). Esquema que tomó su forma completa a principios de los años
60, y que ahora se conoce como la formulación ADM de la relatividad general (sección 3.2).
Los conceptos definidos por esta formulación son de nuestro interés porque en términos de ellos se
puede definir una noción de masa para los agujeros negros estacionarios, y para cualquier sistema
aislado cuyo campo gravitacional que en el infinito espacial y nulo se acerque al definido por
la geometrı́a del espacio-tiempo de Minkowski (masa ADM). La formulación ADM de la masa
satisface un teorema de positividad. Ingrediente matemático esencial para estudiar cuestione de
estabilidad. Por ejemplo, Christodoulou ha probado que el espacio-tiempo de Minkowski es estable,
que pequeñas perturbaciones sobre el no escalan a terribles singularidades. Siendo nuestro objetivo
55
formular nuevos conceptos fı́sicos, es útil aprovechar cualquier marco teórico donde uno pueda
ejercitar la intuición.
Se usa también la simbologı́a 3 + 1 para enfatizar el hecho de que se ha impuesto una selección
en cuanto a las coordenas temporales y espaciales. La coordenada temporal, en la formulación
ADM o 3+1, se usa para parametrizar al conjunto de hipersuperficies espaciales generados por el
sistema hiperbólico de ecuaciones, dichas hipersuperficies se pueden visualizar en términos de una
foliación del continuo espacio-temporal tetradimensional. Las ecuaciones de evolución se escriben
en términos de la curvatura intrı́nseca y extrı́nseca de las superficies (secciones 3.3 y 3.4).
Las nociones anteriores se han aplicado al caso de un agujero negro rotante y estacionario polulando el vacio, sólo o circundado por un disco caliente de plasma, o bajo la acción de fuerzas de
marea causadas por cuerpos en la vecindad del agujero (por ejemplo, anillos como los de saturno
o un satélite que lo acompaña) ver la sección 4.4. Estos análisis han llevado al descubrimiento del
paradigma de la membrana (sección 3.6), que postula que la frontera de un agujero negro se puede
visualizar como una delgada membrana que posee una serie de propiedades fı́sicas (conductividad,
entropı́a, resistencia eléctrica, temperatura, etc.) que obedece ecuaciones similares a otros sistemas
fı́sicos terrestres (baterı́as, materiales elásticos, resonadores, etc.). Esta forma de visualizar el horizonte nos proporciona una serie de imágenes con lo que es posible entender los procesos que se dan
en las cercanı́as de los agujeros negros de la naturaleza, tópico central de este trabajo.
3.2
Descripción de la formulación 3+1 en relatividad general
Es natural, para estudiar la evolución en el tiempo de todo sistema fı́sico, formular dicha evolución
como un problema de valores iniciales o problema de Cauchy. Dadas las condiciones iniciales
adecuadas, las ecuaciones que gobiernan el sistema deben poder predecir las condiciones futuras
de éste. Es de notarse que, al intentar escribir las ecuaciones de Einstein como un problema de
Cauchy, uno se enfrenta inmediatamente con la siguiente eventualidad: Las ecuaciones de Einstein
están escritas de tal forma que el espacio y el tiempo son simétricos y juegan papeles equivalentes.
Esta covarianza de las ecuaciones es elegante desde el punto de vista teórico, pero no permite
pensar claramente en la evolución en el tiempo del campo gravitacional. Es útil, aunque la forma
covariante de las ecuaciones no se mantenga de forma manifiesta (por inspección,aunque sı́ a través
de un conjunto de cálculos algebraicos que podrı́an ser engorrosos), separar los papeles del espacio
y el tiempo de forma clara. A la formulación de la relatividad general que resulta de esta separación
se le conoce como el formalismo 3 + 1.
Consideremos un espacio-tiempo con una métrica gµν . Si dicho espacio-tiempo puede ser foliado
totalmente (es decir separado en cortes tridimensionales) por hojas de tipo espacial homeomorfas
a una hipersuperficie inicial Σ se dice que dicho espacio es globalmente hiperbólico. En un espaciotiempo hiperbólico no hay curvas temporales cerradas, lo que significa que no se permite el viaje
hacia atrás en el tiempo. No todos los espacio-tiempos posibles tienen esta propiedad, pero se
asume que todos los espacio-tiempos fı́sicamente razonables son de este tipo. Las ecuaciones de
la relatividad general bajo condiciones fı́sicamente realı́sticas aborrece los cambios en la topologı́a
del espacio a través de un evolución temporal. Esta noción esta implı́cita en poderosos teoremas
relacionados con la existencia de agujeros de gusano, relacionados con la conjetura del censor
cósmico, relacionados con la conjetura de protección cronológica.
56
Figura 11: Foliación del espacio-tiempo, tomado de, The large scale structure of space-time.
Una vez que se tiene un espacio-tiempo globalmente hiperbólico, por definición podemos foliarlo
en una serie de hipersuperficies de tipo espacial. Esta foliación en general no es única. Definimos el
parámetro t como aquel que define a las distintas hojas de foliación; t puede considerarse entonces
como un tiempo universal (aun que t no tiene porque coincidir con el tiempo propio de nadie).
Consideremos ahora una cierta foliación y consideremos dos hipersuperficies infinitesimalmente
cercanas Σt y Σt+dt en ella, como si fuese un sándwich. La geometrı́a de la región del espàcio-tiempo
contenida entre ambas hipersuperficies (en la analogı́a, entre los dos panes) puede determinarse a
partir de los tres ingredientes siguientes
• La métrica tridimensional γij (i,j=1,2,3) que mide distancias dentro de la misma hipersuperficie,
de aquı́ en adelante referida como métrica intrı́nseca
(74)
dl2 = γij dxi dxj .
Es también la métrica inducida en la hipersuperficie, salvo isometrı́as, cuando esta última se
visualiza inmersa en un espacio tetradimensional, las propiedades métricas de la hipersuperficie
tridimensional son heredadas de las propiedades métricas del espacio-tiempo tetradimensional.
• El lapso de tiempo propio α entre ambas hipersuperficies que mide un observador que se mueve
en la dirección normal a ellas (observador de Euler):
(75)
dτ = α(t, xi )dt.
• La velocidad relativa β i entre los observadores de Euler y las lı́neas coordenadas espaciales
constantes:
(76)
xit+dt = xit − β i (t, xi )dt,
Al vector β i se le llama vector de corrimiento (vector shift).
Nótese que la manera en la que se hace la foliación no es única, y de la misma forma, la manera
en la que se propaga el sistema de coordenadas espacial de una superficie a otra tampoco lo es,
57
esto significa que tanto la función de lapso α como el vector de corrimiento β i son funciones que
pueden especificarse libremente. Estas funciones determinan nuestro sistema de coordenadas y se
conocen como funciones norma. En términos de (α, β i , γij ), la métrica toma la siguiente forma
(77)
ds2 = (−α2 + βi β i )dt2 + 2βi dtdxi + γij dxi dxj ,
donde hemos definido βi = γij β j . En forma explicita tenemos:
(78)
(79)
−α + βk β k βi
βj
γij
− α12
βi
α2
βi
α
γ ij −
!
βiβj
α2
De la misma forma no es difı́cil demostrar que las componentes del vector normal unitario a las
hipersuperficies son:
(80)
3.3
1 −β i
nµ = ( ,
), nµ = (−α, 0), nµ nµ = −1
α α
Curvatura intrı́nseca y extrı́nseca
Cuando se habla sobre las hipersuperficies espaciales que forman la foliación del espacio-tiempo,
debemos distinguir entre la curvatura intrı́nseca de dichas hipersuperficies proveniente de su geometrı́a interna, y su curvatura extrı́nseca relacionada con la forma de como la hipersuperficie se
encuentra inmersa en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones.
La curvatura intrı́nseca estará dada por el tensor de Ricci tridimencional que se define en términos
de la métrica espacial γij . La curvatura extrı́nseca, por otro lado, se define en términos de lo que
ocurre al vector normal nα al transportarlo paralelamente de un sitio a otro de la superficie. En
general encontraremos que al transportar de forma paralela este vector a un punto cercano, el nuevo
vector ya no será normal a la superficie. El tensor de curvatura extrı́nseca Kαβ es una medida en
el cambio del vector normal bajo transporte paralelo, y se define como:
(81)
Kαβ = −∇α nβ ,
dode ∇ se la derivada covariante que como hemos visto está dada en términos de los sı́mbolos de
Chirstoffel como:
(82)
∇α nβ = ∂α nβ − Γλαβ nλ
58
A partir de la definición anterior es posible mostrar que el tensor de curvatura extrı́nseca es simétrico
(Kαβ = Kβα ), y que tiene la siguiente propiedad:
(83)
nα Kαβ = 0
Lo que significa que el vector Kαβ es puramente espacial. Debido a esto de ahora en adelante sólo
vamos a considerar sus componentes espaciales Kij .
Substituyendo la forma explı́cita del vector normal en la definición de la curvatura extrı́nseca es
posible demostrar que Kij está dado en términos de la métrica espacial como:
(84)
Kij =
1
(3)
(3)
[∂tγij + ∇i βj + ∇j βi ],
2α
(3)
donde ahora ∇i representa la derivada covariante tridimencional, es decir, en términos de los
sı́mbolos de Christoffel correspondiente a la métrica espacial γij .La ecuación anterior puede reescribirse como:
(85)
(3)
(3)
∂t γij = −2αKij + ∇i βj + ∇j βi .
Podemos ver entonces como la curvatura extrı́nseca Kij está relacionada con el cambio en el tiempo
de la métrica espacial.
Esto nos permite llegar a la mitad del camino para poder reescribir la relatividad general como
un problema de Cauchy, puesto que ya tenemos una ecuación de evolución para γij . Pero para
cerrar el sistema aún nos falta una ecuación de evolución para Kij . Es importante hacer notar que
hasta estos momentos sólo hemos utilizados conceptos geométricos, y aún no se han utilizado las
ecuaciones de Einstein. Es precisamente de las ecuaciones de Einstein de donde obtendremos las
ecuaciones de evolución para Kij .
3.4
Las ecuaciones de Einstein en el formalismo 3+1
Antes de escribir las ecuaciones de Einstein en forma 3+1 es necesario definir el operador de
proyección Pβα a las hipersuperficies espaciales:
(86)
Pβα = δβα + nα nβ ,
donde nα es el vector unitario normal a las hipersuperficies. Es posible demostrar que para cualquier
vector υ α tenemos:
(87)
(Pβα υ β )nα = 0,
Esto significa que todo vector proyectado a la hipersuperficie es ortogonal a nα .
59
Es posible proyectar tensores con varios ı́ndices, basta contraer todos los ı́ndices libres con el
operador de proyección:
(88)
P Tαβ ≡ Pαµ Pβν Tµν .
Utilizando el operador de proyección podemos separar las ecuaciones de Einstein en tres grupos:
• Proyección normal:
(89)
nα nβ (Gαβ − 8πTαβ ) = 0
•Proyección a la hipersuperficie:
(90)
P (Gαβ − 8πTαβ ) = 0
•Proyección mixta:
(91)
P [nα (Gαβ − 8πTαβ )] = 0
Para expresar estos conjuntos de ecuaciones en el lenguaje 3+1, es necesario un algebra larga y
complicada que no utilizaremos en este trabajo. Aquı́ nos limitaremos a presentar los resultados
finales.
De la proyección normal obtenemos la siguiente ecuación:
(92)
R(3) + (trK)2 − Kij K ij = 16πρ.
donde R(3) es el escalar de curvatura de la métrica espacial, trK ≡ γ ij Kij es la traza del tensor
de curvatura extrı́nseca, y ρ = nα nβ T αβ es la densidad de energı́a de la materia medida por
los observadores de Euler. La ecuación anterior no tiene derivadas temporales (aunque si tiene
derivadas parciales de γij dentro del escalar de Ricci). Debido a lo anterior ésta no es una ecuación
de evolución sino una constricción del sistema. Como se encuentra relacionada con la densidad
de energı́a ρ, a esta constricción se le conoce como la constricción de energı́a, o la constricción
hamiltoniana.
De la proyección mixta de las ecuaciones de Einstein obtenemos:
(93)
∇j [K ij − γ ij trK] = 8πj i ,
con j i el flujo de momento medido por los observadores de Euler:
(94)
j i = Pβi (nα T αβ ).
60
La ecuación (94) tampoco tiene derivadas temporales, por lo que es otra constricción y se les llama
constricciones de momento. La existencia de constricciones en relatividad general implica que no
es posible especificar de manera arbitraria las 12 cantidades dinámicas (γij , Kij ) como condiciones
iniciales. Las constricciones deben de satisfacer desde el inicio, o no estaremos resolviendo las
ecuaciones de Einstein. Las ultimas seis ecuaciones se obtienen a partir de la proyección de la
hipersuperficie de las ecuaciones de Einstein y contienen la verdadera dinámica del sistema. Estas
ecuaciones toman la forma:
(95)
∂t Kij = β a ∇a Kij + Kia ∇j β a + Kja ∇i β a − ∇i ∇jα +
(3)
α[Rij − 2Kia Kja + Kij trK] + 4πα[γij (trS − ρ) − 2Sij ]
donde Sij es el tensor de esfuerzo de la materia definido como:
(96)
Sij = P Tij
Las ecuaciones (94) y (96) forman un sistema cerrado de ecuaciones de evolución. Se les conoce como
las ecuaciones de ADM (Arnowitt-Deser-Misner) y forman el punto de partida de prácticamente
toda la relatividad numérica. Es importante hacer notar que no se cuenta con ecuaciones de
evolución para las variables de norma (α, β i ) como hemos mencionado anteriormente, las variables
de norma se pueden elegir libremente. Es posible demostrar también que las ecuaciones de evolución
garantizan que si las constricciones se satisfacen al tiempo inicial, entonces se satisfacen en todo
tiempo posterior.
3.5
La formulación 3+1 para el espacio-tiempo de Kerr
Una discusión breve y clara de la formulación 3 + 1 de la métrica de Kerr se puede encontrar en el
libro de Frolov y Novikov (Frolov et al, 1998). Wheleer proporciona una acercamiento mas intuitivo,
pero de mayor número de paginas sobre el análisis ADM (Wheeler, 1962). Para el agujero negro de
Kerr, ası́ como para el de Schwarzschild, es necesario ser muy cuidadoso al momento de seleccionar
a los observadores en reposo OR para el formalismo 3+1. Para Schwarzschild nosotros siempre
podemos seleccionar a los OR sin considerar los efectos del agujero negro. Para Kerr el concepto de
OR con respecto al agujero es un poco más complicado debido a que el agujero también presenta
rotación. El agujero al rotar arrastra todos los objetos fı́sicos que se encuentran en sus cercanı́as
obligándolos a moverse en la dirección de su giro; nada puede resistirse. Donde el efecto de arrastre
es más fuerte es precisamente en el horizonte. Por lo tanto, el efecto de arrastre es inevitable
para los OR que se posean un radio dependiente, una velocidad angular finita ω = dφ
dt vista a
distancia por los observadores que no son arrastrados por el agujero (Thorne, 1986). Sin embargo,
nosotros podrı́amos insistir que los OR no tienen otro movimiento, esto visto a lo lejos. Puesto
que un agujero que rota es asisimétrico, los OR nunca experimentan una cambio en los efectos
gravitacionales (no cambian su curvatura espacial, función de lapso y aceleración gravitacional. La
única forma en la que ellos pueden percatarse de que una velocidad angular diferente de cero, es
cuando observan el cambio en la distancia a la que se encuentran de algún objeto que les sirva de
referencia estrellas, planetas, etc.
61
La velocidad angular ω de los OR no es arbitraria. Esta velocidad es escogida de tal forma que la
lı́nea del mundo de los OR sea ortogonal (en algún espacio-tiempo determinado) a una familia de
hipersuperficies 3-dimencional, el cual será identificado por los observadores en reposo fı́sicamente
como hipersuperficies de tiempo constante, donde se colapsa, mentalmente, en un espacio absoluto
3-dimencional. El resultado de hacer estas consideraciones es el tener hipersuperficies con tiempo
constante para las coordenadas Boyer-Linquist, con lo que los OR son ahora observadores con momento angular cero (OMAC). Esta elección de hipersuperficies no lleva a utilizar las coordenadas
temporales Boyer-Linquist t como un tiempo universal para nuestro corte en 3+1. Tanto en el agujero de Kerr como en el de Schwarzschild, nosotros podemos imaginar el colapso de hipersuperficies
con t = constante y un espacio 3-dimencional, llamado espacio absoluto. No obstante es necesario
recordar que todos los objetos fı́sicos son arrastrados por la rotación de objetos muy masivos, por lo
que este espacio absoluto es deformado por este efecto. La métrica del espacio-tiempo en términos
de las coordenadas Boyer-Lindquist de tiempo t = y una coordenada espacial xj ,tiene la forma:
(97)
ds2 = −α2 dt2 + γjk (dxj + β j dt)(dxk + β k dt),
hay que recordar que los coeficientes α, β j , γjk son independientes de t. El coeficiente α es la razón
de cambio que se da entre el tiempo propio de los OR y el tiempo universal t, esto es,
(98)
α = (dτ /dt)OR = f uncion − lapso
gammajk es la 3-métrica de la hipersuperficie de tiempo constante t o la métrica del espacio
absoluto; y las lı́neas del mundo de los OR (dxj /dt = −β j ) son ortogonales en el espacio-tiempo
a las hipersuperficies de tiempo constante. Utilizando las coordenadas Boyer-Lindquist podemos
definir el momento angular por unidad de masa:
(99)
a ≡ J/M,
Ahora es posible construir las siguientes funciones
(100)
∆ ≡ r2 + a2 − 2M r,
(101)
ρ2 + a2 cos2 θ,
(102)
Σ2 ≡ (r2 + a2 )2 − a2 ∆sen2 θ,
(103)
$ ≡ (Σ/ρ)senθ.
Para la métrica de Kerr las funciones α, β j , γjk son las siguientes:
(104)
α=
ρp
∆;
Σ
62
(105)
β r = β θ = 0, β φ ≡ −ω = −
(106)
γrr =
2aM r
;
Σ2
ρ2
, γθθ = ρ2 , γφφ = $2 ,
∆
√
El momento angular para los OR es ω = −β φ = (dφ/dt)OR , y 2π$ = 2π γφφ es el perı́metro de
un cı́rculo al rededor de el eje de simetrı́a. Además podemos darnos cuenta que en el lı́mite para
→
−
el cual el momento angular es cero J = a = 0 la función β se aproxima a cero, la función de lapso
y la métrica se hacen muy parecidas a las del agujero negro de Schwarzschild. En el agujero negro
de Schwarzschild, ası́ como en el de Kerr, el horizonte es una superficie 2-dimensional en la cual la
función de lapso se anula para:
(107)
α=∆=0
(108)
r = rH ≡ M +
p
M 2 − a2 .
Nuestros observadores en reposo (OR) son llamados en ocasiones observadores de momento angular
cero (OMAC) por que se anula su momento angular por unidad de masa:
(109)
~ · ∂/∂φ = α−1 $2 (dφ/dt + β φ ) = 0,
Uφ ≡ U
~ ≡ α−1 (∂/∂t−∂). En el espacio absoluto, con la métrica espacial, nosotros podemos utilizar
donde U
como base ortonormal a los vectores:
√
∆ ∂
,
ρ ∂r
(110)
~er̂ =
(111)
~eθ̂ =
1 ∂
,
ρ ∂θ
(112)
~eφ̂ =
1 ∂
;
$ ∂φ
Y ocasionalmente podemos tomar al espacio-tiempo desde otro punto de vista considerando una
base de vectores temporales:
(113)
~
~ = 1 ( ∂ − β),
~e0̂ = U
α0 ∂t
donde este es un vector de norma unitaria y ortogonal al vector ~eĵ . Esta base formada por los
vectores mencionados anteriormente puede ser tomada como la base ortogonal o el sistema de
63
referencia propio para los OR. Las operaciones con los vectores pueden ser siempre consideradas
para vectores ortogonales, sin embargo estos no siempre se pueden considerar normalizados, en este
caso se toman como vectores base ∂/∂r, ∂/∂θ, ∂/∂φ. Para las diferenciales espaciales de campos se
necesita la derivada covariante o el gradiente (la cual se reduce a una diferencial ordinaria en un
sistema de coordenadas cartesianas localmente (Thorne, 1986).
3.6
El paradigma de la membrana
Citando al fı́sico Kip Thorne (Thorne et al., 1986): “En la fı́sica teórica juegan un papel muy importante los diagramas, dibujos, imágenes mentales, y las frases descriptivas que acompañan nuestras
ecuaciones. Estas imágenes y frases nos permiten facilitar la interpretación de las matemáticas
involucradas, además de brindarnos una mayor intuición sobre el fenómeno que se analiza. El
estudio de los agujeros negros no es la excepción, ası́ que desde que surge la teorı́a de agujeros
negros se han formulado una gran cantidad de diagramas, dibujos y frases que acompañadas con
las ecuaciones de Einstein de la relatividad general han contribuido de gran forma a los avances
en esta investigación. El paradigma de la membrana es un nuevo conjunto de imágenes mentales,
dibujos y frases descriptivas que matemáticamente es equivalente a la teorı́a relativistica de los
agujeros negros, para toda la fı́sica externa al agujero.”
El paradigma de la membrana explota el formalismo 3 + 1 para establecer una equivalencia formal
entre la frontera de un agujero negro con una capa muy delgada de material elástico, a la que se
le atribuyen toda una serie de propiedades fı́sicas: conductividad, entropı́a, resistencia eléctrica,
temperatura, etc. La virtud de dicha correspondencia radica en el hecho de que dicha “membrana
elástica” se encuentra sujeta a ecuaciones bastante similares a las que se derivan para sistemas
ordinarios que uno encuentra en la vida común: como generadores eléctricos, instrumentos de
percusión, hornos, etc., con las debidas correcciones relativistas. De manera que se deja al astrofı́sico
y al ingenieros en una posición donde este puede explotar su experiencia y poderes de intuición para
extraer información fı́sica sobre un agujero en situaciones astrofı́sicamente relevantes (interacción
del agujero con discos de acreción y plasmas, con campos magnéticos de gran intensidad, con flujo
de partı́culas, con nubes de gas interestelar, con materia oscura, etc.) aunque ellos mismo no se
encuentren familiarizados con los detalles finos de la relatividad general. Sólo basta una buena dosis
de conocimiento sobre: elasticidad para ciertos casos, de mecánica de fluidos y termodinámica para
otros, y de electrodinámica para el resto, anclado a un espacio tridimensional.
En el próximo capı́tulo enfocaremos nuestra atención hacia el estudio de uno de los más grandes
misterios de la astrofı́sica moderna y cuya explicación podrı́a existir en el seno de la teorı́a de las
agujeros negros ¿Como explicar las enormes cantidades de energı́a que alimentan a los cuásares
y núcleos activos de galaxias? ¿De donde provienen los grandes estallidos de radiación gama que
se detectan a grandes alturas con instrumentación montada en globos aerostáticos? ¿Donde se
encuentra situado el “motor eléctrico” o “fuente de poder” que genera dicha energı́a?
64
Figura 12: Ley de Gauss, ley de Ampere, ley de Ohm y la ley de la conservación de la masa en el paradigma de la
membrana,tomado de, Black Holes: The Membrane Paradigm.
65
Figura 13: Radio galaxia, tomado de, Black Holes: The Membrane Paradigm.
66
4
4.1
El proceso Blandford y Znajek
Introducción
Cada dı́a, explosiones de gran alcance iluminan distintos lugares del cosmos incluso nuestros cielos.
Se observan viniendo de direcciones al azar. Se les conoce como explosiones de rayos gamma (γ).
Esas explosiones fueron descubiertas por accidente en los años 60. En efecto, eran tiempos que la
historia los recuerda como marcados por el ambiente de la guerra frı́a entre las dos superpotencias
de la época: los Estados Unidos y la Unión Soviética, las cuales se vigilaban mutuamente, utilizando
cada vez más los satélites artificiales. Transcurrı́a el año 1967, cuando los satélites estadounidenses
de la serie Vela empezaron a detectar súbitos estallidos de rayos gamma, la forma más energética de
radiación, que duraban unos cuantos segundos y cuyo origen no lograban identificar. La sospecha
fue que estas emisiones provenı́an de reactores nucleares en satélites espı́as soviéticos. Este hallazgo
permaneció como secreto militar por cuatro años, hasta que los militares se convencieron de que
estos estallidos provenı́an de algún lugar del espacio.
A principios del siglo XX, después de que Wilhelm Röntgen descubriese los rayos X y Marja
Sklodewska junto con su marido Perre Curie y Henri Becquerel la radiación, fueron apareciendo
otras radiaciones de origen desconocido como los llamados rayos alfa que eran núcleos de helio,
agrupaciones de dos protones con dos neutrones; los rayos beta, que al final de cuenta resultaron
ser simples electrones (que tienen carga eléctrica negativa). También surgieron, entonces, los rayos
gamma. Aunque al principio no se sabı́a que eran, luego se les identificó como un tipo altamente
penetrante de radiación electromagnética o una forma de luz más energética que la luz visible.
El descubrimiento de las explosiones de rayos gamma que mencionamos en el primer párrafo, fue
dado a conocer a la opinión pública por Ray Klebesabel y sus colegas de Los Alamos National
Laboratory, en 1973. Durante la década de ese año y la siguiente, se empezaron a caracterizar
estos estallidos. Pero dada su corta duración, entre uno y diez segundos, no era posible saber su
fuente y donde podrı́a ocurrir el próximo estallido y, hasta donde sabemos, no suelen repetirse en
un mismo lugar. Por otro lado, la cantidad de energı́a que se detecta en esas explosiones es tal, que
desde el principio quedó claro que se trata de un fenómeno extremadamente violento. Sin embargo,
no se conocı́an suficientes sucesos de esas caracterı́sticas para saber si las fuentes que lo producı́an
pertenecı́an a nuestra galaxia o si eran extragalácticas. En la práctica, era muy poco lo que se sabı́a
sobre esos violentos y misteriosos rayos. También se ignoraba que eran y que tan lejos estaban.
Procedieron entonces a diseñar un observatorio espacial para rayos gamma. Una vez terminado, se
le bautizó con el nombre de Compton Gamma-Ray Observatory (CGRO). Su costo fue poco más de
67
mil millones de dólares. Para poder estudiar especı́ficamente a estos rayos, se le incluyó al CGRO
un instrumento llamado BATSE, acrónimo en inglés de Burst And Transient Source Experiment.
A partir del lanzamiento del CGRO en abril de 1991 y desde el primer dı́a de operaciones, BATSE
estuvo detectando aproximadamente un estallido cada dı́a. Ası́, mientras que entre 1973 y 1991 se
habı́an detectado menos de cien estallidos, BATSE ha observado más de dos mil. A partir de sus
posiciones en la bóveda celeste, y de que sus intensidades han quedado prácticamente establecidas,
se pudo constatar que la mayorı́a de los estallidos se daban muy lejos del sistema solar o fuera de
nuestra galaxia. De hecho es muy probable que fuesen fenómenos que suceden a grandes distancias,
probablemente de hasta miles de millones de años luz, relacionados con estrellas de neutrones del
tipo magnetares y agujeros negros. Son tan luminosos que de hecho BATSE detectó prácticamente
todos los estallidos que se daban en el universo observable, con excepción de aquellos que eran
obturados por la Tierra, ya que dada la órbita que tenı́a el CGRO, nuestro planeta bloqueaba una
tercera parte del firmamento.
Una vez que se logró detectar la distancia a la que se dan los estallidos de rayos gamma, se puedo
constatar que resultan ser los fenómenos más energéticos que se dan en el universo: En tan sólo
un segundo emiten tanta energı́a como el Sol a lo largo de diez mil millones de años. Son tanto o
más poderosos que una supernova. Pero no se logró saber, entonces, de donde provenı́an, ya que
el simple hecho de emitir tal cantidad de energı́a en forma de rayos gamma, y en un intervalo de
tiempo tan corto, impone muchas restricciones acerca de como pueden darse estos estallidos. Por
ello, se les considera, hasta hoy, el misterio más grande de la astronomı́a moderna.
Durante treinta años, o más, el origen de las explosiones de los rayos gamma ha sido esquiva a sus
perseguidores. Los astrónomos habı́an esperado que con nuevas y sorprendentes tecnologı́as que
fueron aplicadas durante esos años hubiesen podido resolver el viejo enigma que los desvelaban.
¿Qué eran esas cortas explosiones de muy alta energı́a que repentinamente surgı́an de cualquier
lugar del cielo, cuando menos se lo imaginaban? ¿Por qué los destellos tienen una duración tan
corta pero con variaciones, a veces, ascendiendo rápidamente y desvaneciéndose en menos de un
segundo, u otras, prolongando el destello por más de un minuto a un ritmo impresionante? ¿Cuál
es la cantidad de energı́a liberada por explosión? Y, ¿cuál o cuáles son las fuentes que producen
esas tremendas explosiones y si se encuentra dentro de la Vı́a Láctea o en galaxias distantes a miles
de millones de años luz del sistema solar?
Durante un largo tiempo, y dentro del mundo de la fı́sica, el origen de estos colosales fenómenos es
todavı́a un tema altamente controversial. Fueron formuladas varias teorı́as. Se partió por aquella
que predecı́a que los estallidos de rayos gamma son producidos cuando dos estrellas de neutrones
que se hallan en órbita, una alrededor de la otra, lentamente se van acercando hasta llegar el
momento en que colisionan. Cálculos y simulaciones computacionales muestran que en cuestión de
unos cuantos segundos una buena parte de la masa de estas estrellas se convierte en un gigantesca
cantidad de energı́a, la cual se libera en forma de rayos gamma, neutrinos y ondas gravitacionales.
Según este modelo, el estallido implica la destrucción de las dos estrellas y, por tanto, serı́a una de
las razones de que no ocurran dos explosiones en un mismo lugar.
Después del trabajo realizado por Blandford y Znajek, además de los avances en la teorı́a de los
agujeros negros, se especula que los estallidos de rayos gama puede ser producidos por agujeros
negros o procesos astrofı́sicos en donde estos están involucrados.
Desde el año 2000 hasta la fecha, se han puesto en órbita nuevos satélites con detectores de mayor
resolución y han entrado en operaciones nuevos grandes telescopios cuyos resultados, en detecciones
68
de explosiones de rayos gamma, han abierto la esperanza de que el enigma que encierran esos
estallidos deje de ser el misterio más grande de la astronomı́a moderna.
4.2
Núcleos activos de galaxias y cuásares
En 1909 Edward A. Fath descubre lı́neas de emisión en un espectro de la “nebulosa espiral” NGC
1068. El espectro se componı́a de lı́neas de absorción junto con lı́neas de emisión como las que se
veı́an en las nebulosas gaseosas. Carl K. Seyfert descubre en 1943 un grupo de galaxias espirales
con núcleos muy brillantes e intensas lı́neas en emisión de alta ionización con sus espectros. Estas
lı́neas eran anchas, lo que indicaba movimiento del gas ionizado con velocidades de varios miles
de kilómetros por segundo. La emisión de estas galaxias era muy parecida a las lı́neas de emisión
de una nebulosa planetaria o a un espectro tı́pico de una estrella como el Sol. La anchura de las
lı́neas es atribuida por Seyfert al desplazamiento Doppler, de esta manera se obtienen velocidades
de hasta 8500 km/s en la zona nuclear. Esto corresponderı́a a un gas muy caliente que se mueve a
alta velocidad, en contraste con los 300 km/s a los que se mueven como promedio las estrellas y el
gas de una galaxia espiral normal. A este tipo de galaxias se les denomina galaxias Seyfert.
La importancia del descubrimiento de Seyfert no pudo apreciarse hasta diez años después, cuando
la investigación de las galaxias activas adquieren un papel importante en la astronomı́a, tras el
desarrollo inicial de la radioastronomı́a por los pioneros en esta área, como Jansky y Reber se
empiezan a realizar las primeras exploraciones del cielo en radio, buscando posiciones precisas de
las fuentes y la identificación óptica de éstas. Las radio galaxias emiten energı́a en radiofrecuencia
con una gran potencia. Para poder explicar la gran potencia que las radiogalaxias poseen, se
requiere una fuente de energı́a capaz de suministrar ∼ 1061 ergs en forma de electrones relativistas
que radian al moverse en un campo magnético. En estos objetos, la radio-emisión proviene de dos
nubes de plasma situados en ambos lados de la galaxia central (frecuentemente visible en el óptico).
La estructura de estos objetos se da al formarse las nubes de plasma por la eyección, en direcciones
opuestas y a lo largo del eje de rotación, de partı́culas relativistas desde el núcleo de la galaxia
(Dultzin y Hacyan, 1984).
El modelo teórico más aceptado actualmente, unifica distintos tipos de objetos, tales como galaxias
Seyfert, cuásares y blázares, los que aparentan ser distintos debido al ángulo de inclinación en el
cielo. Según el modelo unificado, la energı́a se genera por materia que cae a un agujero negro
supermasivo. El material al caer forma un disco de acreción, debido a la conservación de momento
angular. El calentamiento por fricción causa que el material se transforme en plasma y genere un
campo magnético a través del mecanismo alfa. La acreción es altamente eficiente para transformar
materia en energı́a, pudiendo convertir hasta la mitad de la masa en reposo de la materia en energı́a
(en comparación, por ejemplo, al pequeño porcentaje de eficiencia de la fusión nuclear).
Aunque las galaxias activas tienen muchos nombres, pueden que representen distintos estados en
la evolución de un tipo único de galaxias con un agujero negro en su centro, como se presume lo
tiene nuestra galaxia, o un súper másico, compacto e hiperactivo núcleo central. Los tipos más
comunes se relacionan a continuación:
a) Radio galaxias: emiten enormes y veloces jets o chorros de radio energı́a desde su pequeño
núcleo.
69
b) Seyferts: son galaxias en forma de discos que tienen un núcleo activo extremadamente brillante,
compacto y variable; muy parecido a una estrella. En sus activos núcleos se originan lı́neas de
emisión muy intensas con un espectro que indica una violenta actividad en sus centros.
c) Cuásares: son las más pequeñas y brillantes, cuya lejanı́a o cercanı́a es motivo de discusiones en
la fı́sica en nuestros dı́as. Emiten altos niveles de radiación, a menudo tanto luz visible e infrarroja
como rayos X y gamma, como ocurre con la generalidad de los objetos que se les suele denominar
como galaxias activas; a veces, también generan ondas de radio. Muchos astrónomos piensan que los
cuásares, pese a que no se han podido observar en ellos ningún detalle que arroje pistas sustanciales,
son brillantes núcleos de galaxias tan alejadas que sus más apagadas regiones galácticas no podı́an
ser percibidas contra el resplandeciente núcleo. De hecho, el primer artı́culo de Maarten Schmidt
en 1963 describı́a 3C 273 como el núcleo de una galaxia distante. Sin embargo, no pudo presentar
ninguna prueba óptica persuasiva.
d) Los microcuásares: no son, ni más ni menos, que otra clase de enigmáticos objetos que se han
venido descubriendo cohabitando el espacio en las últimas décadas. Son sistemas binarios cuyos
componentes son una muy masiva estrella normal y un denso objeto compacto que puede ser o una
estrella de neutrones o un agujero negro que orbita alrededor de la componente normal. Cuando la
estrella y el objeto se hallan lo suficientemente cerca entre sı́, se empiezan a producir transferencias
de materia, debido a la atracción gravitatoria, desde la estrella hacia un disco de acreción que
circunda el objeto compacto, donde una parte de ese material aglomerado ahı́ se insufla y libera
energı́a en forma de haces de partı́culas que viajan por el espacio a velocidades cercanas a la de la
luz, produciendo espectaculares emisiones de radiación. Mientras, el resto de la materia, cae en la
superficie o es engullida por el objeto atractor.
e) Blázares: se encuentran entre los fenómenos más violentos del Universo. Desde su descubrimiento, han sido asociados a un súper masivo agujero negro ubicado en el centro de una galaxia
anfitriona. Son enigmáticos objetos extremadamente compactos con emisiones de energı́a con un
significativo rango de variabilidad. En las disciplinas extragalácticas, ocupan hoy dı́a, una lugar
preeminente entre los estudiosos para ir desentrañando los muchos misterios que encierran.
f ) Objetos BL Lacs: son un tipo de galaxias activas que llevan el nombre de su arquetipo BL
Lacertae. Algunos los clasifican también como una clase de blázares, pero son objetos que tienen
sus propias particularidades. En contraparte a otros tipos de núcleos galácticos activos, los BL Lacs
se caracterizan por una rápida variabilidad y polarización de sus flujos. Debido a esas propiedades,
los BL Lacs fueron considerados al principio como estrellas variables. En comparación con los más
luminosos núcleos activos (cuásares) que tienen poderosas lı́neas de emisión, los espectros de los
BL Lacs se hallan dominados por la presencia de lı́neas de emisión de procedencia no térmica.
Cuásares
El término cuásar ó quásar (acrónimo en inglés de quasi-stellar radio source) fue acuñado por el
astrofı́sico estadounidense de origen chino, Hong-Yee Chiu. Los cuasares fueron descubiertos con
radiotelescopios a finales de los años 1950. Estos objetos extragalácticos poseen apariencia estelar,
pero con una emisión de energı́a en el óptico de cien veces la de una galaxia gigante. Esta energı́a sin
embargo, proviene de una región de dimensiones comparables a las de un núcleo galáctico. Cientos
de estos objetos fueron registrados hacia 1960 y se publicó el Tercer Catálogo de Cambridge de
Radio-fuentes (3C) mientras los astrónomos exploraban el cielo con telescopios ópticos; fue también
en este año cuando la fuente de radio 3C 48 fue finalmente vinculada con un objeto óptico. Los
70
astrónomos detectaron lo que parecı́a ser una estrella azul tenue en la posición de la fuente de radio
y obtuvieron su espectro: conteniendo muchas lı́neas de emisión desconocidas, el espectro anómalo
se resistı́a a una interpretación.
Otra fuente de radio, la 3C 273, fue pronosticada después de cinco ocultaciones lunares. Las
medidas obtenidas por Cyril Hazard y John Bolton durante una de las ocultaciones, utilizando el
Observatorio de Parkes permitió a Maarten Schmidt una identificación óptica del objeto y obtener
su espectro visible con el telescopio Hale de Monte Palomar. Este espectro reveló las mismas lı́neas
de emisión. Schmidt se dio cuenta que se trataba de las lı́neas del espectro del hidrógeno con un
corrimiento al rojo del 15.8%. Este descubrimiento mostraba que la 3C 273 se estaba alejando
a una velocidad de 47 000 km/s. Este descubrimiento revolucionó la observación de quásares y
permitı́a a otros astrónomos buscar corrimientos al rojo en las lı́neas de emisión de otras fuentes
de radio.
Si la longitud de onda de una lı́nea de emisión en el laboratorio es λ0 y si la longitud de onda
observada es λ > λ0 se puede obtener el factor z dado por:
(114)
z=
λ − λ0
,
λ0
el cual nos da información acerca del desplazamiento al rojo del espectro, para 3C 273, z=0.158,
mientras que para 3C 48, z=0.367. Estos fueron los valores más grandes de z para estrellas en la
galaxia, puesto que estos valores se encuentran por debajo de 10−3 .
El factor z se puede utilizar para determinar la velocidad de la fuente, esta relación esta dada por
(115)
z=
1 + v/c 1/2
∆λ
=(
) − 1,
λ
1 − v/c
donde ∆λ = λemitida − λobservada es directamente medible.
Hubble descubrió una relación entre la velocidad de recesión y la distancia, que se conoce como
la ley de Hubble. Para v = Hr (H es la constante de Hubble, cuyo valor esta entre 50 y 85
kms−1 M pc−1 , y r es la distancia). El desplazamiento sistemático hacia el lado rojo del espectro
era tan grande que los astrónomos tardaron tres años en encontrar un patrón reconocible, el cual,
al poco tiempo fue utilizado para identificar otros objetos similares. Después de haber descartado
otras posibles causas del desplazamiento al rojo, vino la interpretación aceptada, hasta el dı́a de
hoy, por la gran mayorı́a de los astrónomos; que es la expansión del Universo la que la causa el
alejamiento de las galaxias. Ésta es una de las predicciones más importantes que se desprenden de la
teorı́a de la relatividad general, que fue comprobada por Edwin Hubble, quien como mencionamos
anteriormente encontró una relación entre la distancia a la que se encuentra una galaxia de nosotros
y su aparente velocidad de alejamiento causada por la expansión del Universo.
En 1964 Terrell sugiere que estas estrellas con tan altas velocidades son eyectadas por las galaxias,
luego si esta interpretación es correcta, esto implica que los cuásares son objetos que se encuentran
a grandes distancias, pero que poseen un brillo muy superior al de las estrellas lo que implica
que poseen una enorme energı́a. En 1979, el efecto de lente gravitacional pronosticado por la
71
Teorı́a General de la Relatividad de Einstein fue confirmado por la observación por primera vez con
imágenes del doble quásar 0957+561. En la década de 1980, se desarrollaron modelos unificados
en el que los cuásares fueron vistos como una clase de galaxias activas, y habı́a emergido en un
consenso general que en la mayorı́a de los casos era el ángulo de visión lo que distinguı́a unas clases
de otras, como los blázares y las radio galaxias. La luminosidad elevada de los cuásares se creı́a que
era el resultado de la fricción causada por el gas y el polvo cayendo en los discos de acrecimiento
de agujeros negros súper masivos, que podı́an convertir un 10% de masa de un objeto en energı́a,
a diferencia del 0,7% obtenido en procesos de fusión nuclear que dominan la producción de energı́a
en estrellas solares.
Este mecanismo también se cree que explica por qué los cuásares eran más comunes al comienzo
del Universo, ya que la producción de energı́a finaliza cuando el agujero negro súper masivo consume
todo el gas y polvo que tiene cerca. Esto significa que es posible que la mayorı́a de las galaxias,
incluyendo la Vı́a Láctea, han pasado a través de una etapa activa, apareciendo como un cuásar u
otra clase de galaxia activa dependiente de la masa del agujero negro y la rotación de acrecimiento,
y que son inactivos ahora debido a la falta de materia para alimentar sus agujeros negros centrales
que generan la radiación.
4.3
Descripción del proceso de Blandford-Znajek
Con el descubrimiento de los cuásares y las galaxias activas, la astrofı́sica se habı́a dado a la tarea
de entender cual era el proceso que producı́a las enormes cantidades de energı́a que estos objetos
estelares emiten. Cualquiera que sea la fuente, puede argumentarse intuitivamente, existen dos
lı́mites naturales que deben satisfacerse: La luminosidad L de un cuerpo gravitante no debe de
exceder cierto lı́mite L < LEdd , ya que demasiada luminosidad implicarı́a la desmantelación del
cuerpo gravitante, por la intensa presión la radiación. Dicho lı́mite se le conoce como luminosidad
limitante de Eddington
(116)
LEdd = 1.3 × 1031 (M/MSol )W.
Por otro lado está una cuestión de causalidad. En principio, el tiempo de variación en la intensidad
de una fuente de origen astrofı́sico de dimensión r, no debe ser menor al tiempo que le toma un
haz luminoso en recorrer a la fuente de lado a lado. Puesto que el tamaño más pequeño que puede
tener la fuente es el radio de Schwarzschild se tiene que:
(117)
T ≥ Rs /c ' ×10−5 (M/MSol )s
El avance en la investigación de los agujeros negros sugiere que muchas galaxias tienen en su interior
hoyos negros supermasivos. De las ecuaciones anteriores, se puede estimar que un agujero negro
de 108 MSol puede tener una luminosidad de hasta 1039 W, y que variaciones en su luminosidad
pueden ocurrir en tiempos tan cortos como media hora, que es consistente con las observaciones.
El descubrimiento del disco de acreación generó un gran camino para entender los fenómenos antes
mencionados, y prueba de esto es que, a mediados de los años 70’s se postularon cuatro posibles
caminos capaces de explicar los jets de energı́a.
72
Figura 14: Cuatro caminos postulados para explicar los jets de energı́a producidos en los cuásares y galaxias activas.
El primer camino, figura (a), fue propuesto por Blandford y Rees, quienes postularon que: el
gas que se encuentra en las cercanı́as del disco de acreación adquiere muy altas temperaturas y
forma una especie de burbuja, que al incrementar su tamaño va transportando una gran cantidad
de energı́a al gas que se encuentra más alejado (y por lo mismo a menor temperatura).Según
Blandford y Ress, la energı́a que transporta la burbuja de gas caliente es la responsable de los jets
de energı́a.
En el segundo camino, figura (b), las altas temperaturas hacen que aumente la presión en el
disco de acreación lo que aumenta su espesor. El movimiento orbital del disco y sus inestabilidades
internas genera emisiones de plasma (similar al viento solar). El material que es eyectado a elevadas
velocidades impacta de frente en dirección del plano ecuatorial, la onda de choque expulsa el viento
en dirección de los polos del agujero para producir un haz colimado de partı́culas a lo largo del eje
de rotación del agujero.
El tercer camino, figura (c), también fue propuesto por Blandford, quien inspirado en los trabajos
de Hanni y Ruffini, estudia como el agujero negro curva las lı́neas del campo magnético como lo
harı́a una esfera cargada eléctricamente. El movimiento orbital del disco de acreación produce un
giro del plasma alrededor del agujero, luego las lı́neas de campo magnético y las altas temperaturas
del disco producen los chorros de energı́a saliendo sobre y debajo el plano ecuatorial del agujero.
El cuarto camino, figura (d), es el denominado proceso de Blandford-Znajek, este proceso es el
más interesante de todos ya que la enorme potencia que genera los chorros de energı́a se basa en
el enorme momento angular del agujero negro. Utilizando el formalismo 3+1 y el paradigma de
la membrana, Blandford y Znajek estudiaron como las lı́neas del campo magnético (generado por
73
el plasma) se mueven a causa del momento angular del agujero: a medida que se extrae energı́a
del agujero fluyen corrientes eléctricas en dirección de los polos (en forma de partı́culas cargadas
positivamente que caen al interior del agujero), y salen corrientes del horizonte cerca del ecuador
(en forma de partı́culas cargadas negativamente que caen al interior del agujero), el agujero se
comporta como un enorme circuito eléctrico, ver figura (17). Las ecuaciones demostraban que
también el agujero se comportaba como un generador de voltaje eléctrico. Este generador de
voltaje del agujero negro impulsa la corriente hacia fuera, desde el ecuador del horizonte, luego
ésta sube por las lı́neas de campo magnético a una gran distancia del agujero, continúan a través
del plasma hasta otras lı́neas de campo próximas al eje de giro del agujero, y luego descienden por
dichas lı́neas de campo y entran al horizonte. Las lı́neas de campo magnético funcionan como los
cables de un circuito eléctrico, el plasma extrae la energı́a del circuito, y el agujero negro rotante es
la fuente de energı́a. Las lı́neas del campo magnético que se encuentran continuamente en rotación
son las que se encargan en acelerar el plasma y generar los chorros de energı́a.
Podemos considerar la parte exterior de un agujero negro como una magnetosfera rodeada por un
~ es fuerte por lo que se tiene
campo estacionario, axisimétrico de plasma; donde se considera que B
∼
~
~
E · B = 0.
se consideran las direcciones toroidales (φ) y poloidales (θ, r) :
Sector Poloidal
~ P ≡ B θ̂~e + B r̂~er̂
B
θ̂
Sector Toroidal
~ T ≡ B φ̂~eφ
B
~ P = (∇Ψ)×~eφ̂
B
2π$
∆VH = I∆RH
∆RH = RH 4π2∆ψ
$2 Bn
~ T = − 2I ~e
B
α$ φ̂
VL ≡ I∆RL
1
ΩF ∆ψ
∆VL = 2π
~
2
(ΩH −ΩF )
H
TH d∆S
$2 Bn ∆ψ
dt H =
4π
R
~ = − a β~ × B
~ =
~ · dl
~ · dl
4V = ` αE
p
1
2π ΩH 4ψ
H −ΩF )
∆PL = ΩF (Ω4π
$2 Bn ∆ψ
ν~F ≡ α1 (ΩF − ω)$~eφ̂
Donde 2π$ es el perı́metro de la circunferencia que se forma al hacer un corte sobre la superficie
magnética,ΩH es la velocidad angular del agujero negro, ΩF es la velocidad angular de las lı́neas del
~ P es el campo magnético poloidal, B
~ T es el campo magnético toroidal, Ψ es la
campo magnético, B
densidad del flujo magnético, ∆VH es la diferencia de potencial eléctrico en el agujero negro, ∆VL
es la diferencia de potencial eléctrico en el material circundante, ∆RH es la resistencia eléctrica en
H
el agujero, ∆RL es la resistencia eléctrica del material circundante, TH d4S
es la potencia total
dt
disipada en forma de calor y 4PL es la potencia total transportada poloidalmente que es depositada
en la carga astrofı́sica.
El valor total del campo magnético esta dado por
(118)
~ =B
~T + B
~P,
B
el valor total de la diferencia de potencial eléctrico es
(119)
∆V = ∆VH + ∆VL .
La figura (15) presenta la estructura del campo magnético. Cada una de las 2-superficies (1 y 2)
~ y una rotación de 360 grados al rededor del
se obtiene al tomar las lı́neas del campo magnético B
74
~ pueden ser como espirales que
eje de rotación del agujero negro. Las lı́neas del campo magnético B
T
~
rodean esa superficie magnética. El campo toroidal B es el responsable de las espirales; el campo
~ P determina las formas de las superficies magnéticas.
poloidal B
Figura 15: La estructura espiral del campo magnético de un agujero negro axisimétrico y estacionario: la corriente
~ se encuentran en las superficies 1 y 2 que se presentan
corre por la magnetósfera. Las lı́neas del campo magnético B
en la figura, tomado de, Black Holes: The Membrane Paradigm.
Las superficies magnéticas pueden ser caracterizadas por el flujo magnético total Ψ contenido en
ellas. Si nosotros pensamos en Ψ como un campo escalar en el espacio absoluto del agujero, las
superficies magnéticas son de tipo 2-superficie de valor constante Ψ.
la red de tiempo-independiente cambia la densidad ρe y ésta se localiza dentro de las lı́neas de
campo rotante y ası́ genera una densidad de corriente ρe~νf , y la corriente restante está a lo largo de
las lı́neas de campo magnético. Los detalles cuantitativos acerca del flujo de corriente y potencia
en un agujero negro, pueden ser deducidos aplicando la ley de Faraday a una curva cerrada de
tipo poloidal ` figura (16). Esta curva extiende hacia arriba el punto a en el horizonte estirado, a
~ débil, región donde las corrientes
lo largo de la superficie magnética 2 al punto T al fondo de B
pueden cruzar las lı́neas de campo (región de la carga), a través de f en la superficie 2 al punto
próximo u en la superficie 1, debajo de la superficie magnética 1 desde u hasta p, entonces delante
del horizonte estirado y detrás de a. La FEM total alrededor de `, se puede obtener según la ley
de Faraday en la forma usual.
La baterı́a produce un voltaje total ∆V , al rededor de la curva ` en la curva de ∆VH en el
~ − debil, donde las
horizonte más un voltaje ∆VL producido por una carga que existe en la región B
corrientes pueden cruzar las lı́neas de campo
(120)
∆PL ∼
1 a 2 2 2
erg a 2 M
Bn
[ ] Bn rH ∼ [1045
][ ] [ 9
][ 4 ]2
128 M
sec M 10 M 10 G
Si consideramos que ΩF ∼ 12 ΩH La FEM que conduce a este enorme potencial esta dado por
75
Figura 16: Perfil plano del agujero negro como magnetósfera. Los guiones son las curvas ortogonales a las lı́neas
eléctricas, la lı́neas sólida de campo magnético, y los dos coinciden en la fuerza de región libre de cerca del agujero,
pero se apartan unas de otras en la región de carga astrofı́sica, tomado de, Black Holes: The Membrane Paradigm.
∆V ∼ 12 ΩH ψ ∼
(121)
1
a
2
2 2M rH Bn πrH
1 a
a
M
Bn
∼ [ ]M Bn ∼ (1020 volts)( )( 9
)[ 4 ]
2 M
M 10 M 10 G
Figura 17: El agujero negro como una baterı́a eléctrica,tomado de, Black Holes: The Membrane Paradigm.
76
4.4
Extracción gravitacional de la energı́a rotacional de un agujero negro por cuerpos que
orbitan
Cuando un agujero negro posee campo magnético, en principio, es posible extraer parte de su
energı́a rotacional. Como un ejemplo de la extracción de energı́a rotacional en un agujero negro,
podemos considerar el caso ideal del sistema fı́sico de la figura. Al rededor de un agujero negro
rotante se encuentra una estructura rı́gida como una viga con una distribución cuadrupolar de la
masa. La masa total de la estructura es m, esta se localiza en rm ≥ 2rH , y este rota con una
velocidad angular Ωm , produciendo en el horizonte una perturbación en la métrica cuya magnitud
depende de φ y t
(122)
H
X
∼(
âb̂
m 2 2i(φ−Ωm t)
m
M )e
= ( 3 M 2 )e2i[φ̄+(Ωh −Ωm )t] .
3
rm
rm
La correspondiente cizalla del fluido exterior (el tiempo derivado de
(123)
σâHb̂ ∼ (
PH
ab
se cambia por φ̄) es
m 2
M )(ΩH − Ωm )e2i[φ̄+(Ωh −Ωm )t] ;
3
rm
esta cizalla produce, un corte y un torque viscoso a través de su disipación, un cambio en la masa
del agujero negro dada por
(124)
dM
∼ Ωm (Ωm − ΩH ).
dt
Nota que en el rango 0 < Ωm < ΩH , la masa del agujero decrece, hay una extracción neta de
energı́a rotacional de este.
A continuación vamos a asumir que Ωm se encuentra en ese rango.
La viga rota rı́gidamente por lo que produce radiación gravitacional, la cual lleva energı́a del
sistema a una razón dada por la “formula del cuadrupolo”.
(125)
1 d3 f
dEGW
2 3 2
= ( 3âb̂ )2 ∼ (mrm
Ωm ) .
dt
5 dt
3 ,
La marea inducida por el momento del cuadrupolo del agujero tendrá una magnitud ∼ mM 5 /rm
2 y que por tanto son una fuente de ondas gravitacionales.
menor que el cuadrupolo de la viga ∼ mrm
Las ecuaciones (124) y (125) nos muestran que si la viga rota muy despacio, entonces la energı́a
radiante es muy pequeña, pero se extrae una cantidad considerable de energı́a del agujero. La
energı́a que se extrae solo puede ir a un lugar: a la rotación de la viga, acelerando su movimiento.
Si consideramos el lı́mite opuesto, cuando la viga gira más rápido que el agujero, existe una gran
cantidad de energı́a radiante pero apenas es posible extraer energı́a del agujero. La energı́a radiante
77
solo puede provenir de un lugar: una desaceleración del movimiento de la viga. Comparando los
dos lı́mites, observamos que existen otras condiciones de “equilibrio” Ωequil
dentro de las cuales el
m
sistema se establecerá, si se espera lo suficiente. En este estado de equilibrio la viga actuara como
catalizador para la conversión de la energı́a rotacional en radiación gravitacional, y la razón de esa
radiación será balanceada por la razón de extracción de energı́a.
Figura 18: Distribución de la masa cuadrupolar en una viga que tiene un radio de órbita rm fuera del agujero,tomado
de, Black Holes: The Membrane Paradigm.
Este mecanismo gravitacional de extracción de energı́a se asemeja, de varias maneras, al mecanismo de Blandford-Znajek. La velocidad angular Ωf de la lı́neas de campo magnético, y justamente
la razón de extracción de electromagnética de la energı́a rotacional es proporcional a Ωm (ΩH −Ωm ).
Además en el caso electromagnético existe una razón de disipación TH dSH /dt proporcional a
(ΩH − Ωm )2 . No es de extrañar, que en las tasas de disipación y extracción de energı́a el factor
3 )2 M 4 ' (`0 M 2 )2 .
electromagnético (Bn M )2 se pueda remplazar por el factor gravitacional (m/rm
nn
Desde luego, es poco probable en nuestro universo real que un agujero negro sea rodeado por
una viga. En el universo real el agujero negro tendrá orbitando estrellas, planetas y otro tipo de
desechos cósmicos. Pero la pregunta es ¿Cuál de estos objetos podrı́an servir como catalizadores
de este proceso? Esto fue señalado por Misner (1972).
Las ecuaciones obtenidas para la viga siguen siendo validas, en orden de magnitud, para cualquier
masa m orbitando libremente en un rado rm & 2rH siempre y cuando se reemplace la velocidad
angular arbitraria de la viga Ωm por la velocidad angular Kepleriana de la masa (o su análogo en
la métrica de Kerr):
(126)
3 1/2
Ωm ∼ (M/rm
) .
Por combinación de las ecuaciones (125) y (126) se obtiene
(127)
dEGW /dt
1
∼
.
−dM/dt
M (ΩH − Ωm )( rMm )5/2
Para la mayorı́a de los valores de los parámetros esta relación será mucho mayor que la unidad, y
en consecuencia la energı́a extraı́da del agujero será insignificante comparada con la energı́a emitida
78
por las ondas gravitacionales. La energı́a emitida viene casi en su totalidad de la masa que rodea
al agujero, y la masa será impulsada por la reacción de la radiación en espiral en el agujero. Sin
embargo, en el lı́mite de la velocidad rotacional de este (M ΩH ∼ 1) y de la masa (rm /M ∼ 1),
la formula (127) da la esperanza de que la extracción de energı́a pueda ser contrarrestada por la
energı́a radiada. Si este fuera el caso, entonces la masa orbitará el agujero con un radio fijo, no en
espiral, y esta órbita será catalizadora del mecanismo. Sólo un cuidadoso y exacto calculo podrı́a
hacer que esto pase.
Tal cálculo se llevó a cabo por Detweiler (1978). Desafortunadamente los resultados revelan que
no es posible elegir una partı́cula de prueba que pueda equilibrar las energı́as. Un balance cercano
es posible, pero existe siempre un exceso suficiente de energı́a radiante que forza a la partı́cula a
caer en espiral dentro del agujero. No hay “órbitas flotantes”.
79
5
5.1
Extradimensiones
Introducción
Para el hombre común el mundo que experimenta aparentemente está constituido por tres dimensiones espaciales, pero ¿Por qué es ası́? esta pregunta filosófica puede remontarse a la época de
Kepler, quien especulaba que esto se podı́a atribuir a la santı́sima trinidad. Una inspección minuciosa basada en argumentos que involucran la estabilidad de los planetas, de los valores energéticos
de los estados del átomo, de la relación entre la paridad (−1)N del número de dimensiones N y
su efecto sobre la propagación de información (problema de Cauchy), estudios sobre la variación
de las constantes fundamentales, argumentos proveniente de la cosmologı́a cuántica, todos ellos
hasta ahora parecen reforzar la idea que nuestro espacio es tridimensional. Sin embargo, el intento
por unificar las fuerzas fundamentales de la naturaleza ha llevado a los fı́sicos teóricos a considerar
seriamente la existencia de un mayor número de dimensiones espaciales, dimensiones que se asumen
han permanecido ocultas.
Por ejemplo, Kaluza y Klein (sección 5.1) intentaron lo que Michael Faraday soñó una vez, geometrizar el electromagnetismo y unificarlo con la gravitación (Kaluza 1921; Klein 1926; Weinberg,
1980). Para ello asumieron la existencia de una quinta dimensión, compacta y enrollada en sobre si
misma, que obedecı́a las leyes de campo de Einstein. La teorı́a de supergravedad, con su gravitino de
spin 3/2, invoca 10 dimensiones espaciales. La teorı́a de supercuerdas, iniciada por Witten, Green
y Schwartz, que ha evolucionado a la teorı́a M para integrar también supermembranas, postula 10
u 11 dimensiones espacio-temporales. Donde las partı́culas son remplazadas por distintos modos
de vibración de una cuerda de longitud extraordinariamente pequeña, la que puede ser cerrada o
abierta (en cuyo caso las puntas de la cuerda se anclan sobre membranas que también oscilan y se
mueven en un espacio multidimensional o bulk.)
Las teorı́as de extra-dimensiones tienen el potencial de unificar a la fuerza nuclear fuerte con la
fuerza electrodébil, y con la gravitación. Más la pregunta persiste, ¿Porque no vemos estas extra
dimensiones espaciales? La respuesta podrı́a encontrarse en su diminuto tamaño, o en su curvatura
extrı́nseca (sección 5.4), o en su topologı́a, o en sus relaciones causales, o quizás otra cosa. Una de los
objetivos del LHC, el acelerador de partı́culas localizado entre la frontera de sur de Francia y Suiza,
es detectar la existencia de estas hipotéticas dimensiones ocultas y determinar su estructura. Por
ejemplo, bajo ciertas condiciones podrı́a esperarse que parte de la enorme energı́a que se produce
en una colisión de partı́culas, el LHC funcionará en el rango de los T ev, podrı́a transmitirse a una
de estas dimensiones ocultas. La aplicación de la ley de la conservación de la energı́a podrı́a darnos
los detalles sobre la estructura de dichas dimensiones ocultas.
80
Un problema teórico que no debe quedar desapercibido es sin embargo la inestabilidad de las
dimensiones ocultas compactas, en la secciones 5.2 y 5.3 se estudia un ejemplo concreto, no decir
de la infinitud de grados de libertad que presuponen (Penrose,2005). ¿Que impide que se colapsen
y desaparezcan del mapa?, o por el contrario ¿Que impide que crezcan los suficiente para que el
hombre común las perciba? La pregunta proviene de la observación de que gravitacionalmente
el espacio-tiempo es dinámico, y la teorı́a de Einstein predice que un espacio-tiempo compacto
deberı́a de contraerse o expandirse (ver capı́tulo 7). Es precisamente esta inestabilidad natural de
las dimensiones ocultas compactas, la que vamos a explotar en el capı́tulo 7 para elaborar un modelo
sobre lo que sucede en la frontera de un agujero negro y como emite radiación. Desde un punto de
vista matemático ¿Acaso la inestabilidad (estabilidad) que presentan las extra dimensiones ocultas
compactas está relacionada con la inestabilidad (estabilidad) de la frontera de un miniagujero negro
que se avapora para finalmente explotar?12
5.2
La teorı́a de Kaluza-Klein
En 1921, el fı́sico Theodor Kaluza propuso un teorı́a de unificación para la gravitación y el electromagnetismo de Maxwell. Para ello, propuso un espacio-tiempo constituido por cinco dimensiones.
Las cuatro primeras eran las usuales de la teorı́a einsteiniana: tres coordenadas espaciales y una
temporal. La quinta, resultaba ser un misterio: salvo que debı́a ser de tipo temporal (sino se obtendrı́a el signo opuesto de lo que deberı́a estar al frente de las ecuaciones de interacción entre el
campo electromagnético y el gravitatorio), y salvo la fuerte restricción de que, desde el punto de
vista de la percepción cotidiana, nada parecı́a requerir de una quinta dimensión adicional. Ante
tal problema, Kaluza supuso que, ya que no existe evidencia de una quinta dimensión, la razón
se debı́a al hecho de que las magnitudes fı́sicas no poseen ninguna clase de dependencia con esta
nueva variable. Trabajando con dicha premisa Kaluza obtuvo las ecuaciones de la gravitación y el
electromagnetismo a partir de un sólo marco teórico, el presentado por las ecuaciones de campo de
Einstein cuando se generalizan a cinco dimensiones.
En 1926 Oskar Klein, ante estos hechos, propone una topologı́a circular para la quinta dimensión,
rindiéndole un carácter compacto. Es este modo, cualquier dependencia con la quinta coordenada es
periódica. Expandiendo en series de Fourier, y suponiendo la escala de compactación muy pequeña,
uno puede quedarse con el primer término de la serie. Con esto, Klein logró, su intensión original,
que era explicar la cuantificación de la carga. Veamos como funciona este proceso a través de un
cálculo sencillo.
En la teorı́a de Kaluza-Klein el elemento de lı́nea esta dado por:
(128)
ds2 = a−1 (dz + Aα dxα )2 + agαβ dxα ⊗ dxβ ,
donde Aα se interpreta como el cuadripotencial electromagnético, gαβ es la métrica del espaciotiempo cuadridimensional, a es un campo escalar, y z es una coordenada para la quinta dimensión.
La ecuación de las geodésicas se puede obtener a través del cálculo de variaciones. Preguntemos
por aquella curva que maximiza la distancia entre dos puntos espacio-temporales. Entones el
12
¡Si tan solo Niels Bohr estuviera aquı́ para discutir!
81
Lagrangiano adecuado se lee del cuadrado de la distancia geodésica:
(129)
1
L = {a−1 (ż + Aα ẋα )2 + agαβ ẋα ẋβ },
2
∂L
d ∂L
La ecuación de Euler-Lagrange dt
∂ ẋα − ∂xα = 0 nos proporciona las ecuaciones diferenciales que
debe obedecer de la trayectoria crı́tica x(α):
(130)
d2 xα
+ Γ̃αµν ẋµ ẋν = eg̃ ασ Fσµ ẋµ .
dt2
donde
(131)
e = 1.602564 × 10−19 C
Esta última ecuación se le conoce como la condición de cuantización de Dirac. Ignorando el término
con el sı́mbolo de Christoffel, cuya inclusión implica la existencia de fuerzas de marea actuando
sobre la partı́cula debido a un campo gravitacional gαβ , se obtiene la versión relativista de la
fuerza de Lorentz. Fσµ es el tensor electromagnético (Weyl, 1918), una matriz antisimétrica cuyas
componentes son las componentes del campo eléctrico E y el campo magnético B. Misma que
Einstein derivó en su famoso artı́culo de 1905, y que en notación vectorial se escribe como:
(132)
F = eE + (ev/c) × B
donde F es la fuerza sobre una partı́cula que se mueve con velocidad v en un campo electromagnético. Como se querı́a demostrar. La teorı́a de Kaluza-Klein fue explotada en el apogeo de
las investigaciones sobre la teorı́a de supergravedad, que requiere once dimensiones. Sin embargo,
sobre la naturaleza de las extradimensiones no se dio un avance dramático sino hasta finales de los
90´s, cuando se liberó la condición de compacidad (Randall, 1999). La quinta dimensión puede
tener dimensiones infinitas y aún ası́ recuperarse la fı́sica cuadrimensional de la relatividad general
de Einstein con pequeñas correcciones. Para ver como puede ser posible esto, tornamos al estudio del espacio-tiempo de simetrı́a máxima, que posee geometrı́a hiperbólica y es solución de las
ecuaciones de campo de Einstein: El espacio-tiempo de Anti-de Sitter, AdS en corto.
5.3
Anti-de Sitter y la quinta dimensión
En cinco dimensiones, un espacio-tiempo de curvatura constante está localmente caracterizado por
1
la condición Rabcd = 12
R(gac gbd − gad gbc ), que exhibe de manera manifiesta las (anti)simetrı́as del
tensor de Riemann. Esta ecuación equivale a la anulación el tensor de Weyl Cabcd , tensor que es
invariante, por construcción, ante transformaciones que preservan ángulos. El tensor de Riemann
está por tanto determinado únicamente por el escalar de Ricci R. A saber Rab = 41 Rgab . Usando
estas expresiones, el tensor de Einstein Rab − 21 Rgab se reduce ha − 14 Rgab . Comparando esta última
expresión con el tensor de energı́a-momento Tab , se puede concluir que los espacios de curvatura
constante son soluciones de las ecuaciones de la gravitación, siempre y cuando se asuma la existencia
82
Figura 19: Espacio Anti-de Sitter.
−R
R
y presión constante 32π
que sea el origen fı́sico de la
un fluido perfecto de densidad constante 32π
curvatura. Alternativamente se pueden usar las ecuaciones Einstein modificadas por un constante
cosmológica Λ de valor 41 R y asumir un tensor de energı́a Tab nulo.
El espacio-tiempo pentadimensional de simetrı́a máxima con curvatura negativa constante se
denominada anti-de Sitter5 , tiene topologı́a S 1 × R4 , y se le puede visualizar en términos del
hiperboloide (ver figura 19):
(133)
−u2 − v 2 + x2 + y 2 + z 2 + w2 = 1,
encajado en un espacio plano sexadimensional con métrica
(134)
ds2 = −(du)2 − (dv)2 + (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 + (dw)2 .
La métrica inducida sobre el hiperboloide se puede escribir en la forma
(135)
ds2 = −dt2 + cos2 t{dχ2 + sinh2 χ(dθ2 + sin2 θdφ2 )}.
donde se usa un sistema coordenado que cubre sólo parte del espacio. Las singularidades en t = ± 12 π
son solo aparentes y corresponden a un lugar donde el sistema coordenado pierde validez por mapear
puntos distintos a un mismo punto. En efecto, bajo otro sistema coordenado (t0 , r, θ, φ), AdS5 puede
ser cubierto en su totalidad y la métrica adopta la forma:
(136)
ds2 = − cosh2 rdt02 + dr2 + sinh2 r(dθ2 + sin2 θdφ2 ).
83
El espacio es foliado por hipersuperficies {t0 = constante} geodesicamente completas. Para su
estructura en la infinidad espacial sea r0 dada por:
(137)
1
r0 = 2 arctan(exp r) − π,
2
donde r0 está acotado por 0 ≤ r0 < 21 π. El espacio completo de anti-de Sitter es conforme a la
región 0 ≤ r0 < 12 π del cilindro estático de Einstein. El diagrama de Penrose-Carter se presenta
en la figura siguiente (Hawking y Ellis, 1972) En la figura, nótese como todas las geodésicas que
Figura 20: Diagrama de Penrose-Carter del espacio anti-de Sitter, tomado de, The large scale structure of spacetime.
divergen en el punto p convergen al punto q. Cuando esto sucede se dice que los puntos son conjugados. La existencia de puntos conjugados está relacionada con las condiciones bajo las cuales
uno puede esperar la formación de singularidades espacio-temporales, ver por ejemplo (Penrose y
Hawking, 1965; Hawking y Ellis 1972), donde se presentan los teoremas de singularidad de Penrosse y Hawking, mismos que predicen que (de acuerdo con la relatividad general) nuestro universo
tuvo un inicio en una singularidad espacio-temporal. En verdad, AdS5 posee una singularidad de
tipo temporal en la infinidad espacial, singularidad del tipo llamado localmente desnuda puesto
que es visible para algunos observadores en AdS5 . Una constante cosmológica negativa tiene un
efecto de atracción. Nos podemos percatar de ello si tomamos la fórmula de la sección 1.6 para
obtener la aproximación newtoniana del potencial gravitacional del espacio tiempo de ADS4 , se
obtiene entonces Φ = −GM m/r + Λr2 , de donde se sigue que hay una fuerza atractiva proporcional
Λr. Apliquemos ahora estas consideraciones a la teorı́a de mundos brana: que postula que nuestro
mundo es sólo uno de muchos universos paralelos que residen en una cavidad extradimensional.
5.4
La teorı́a de Randall-Sundrum
Los modelos RS1 y RS2 fueron propuestos en 1999 por Lisa Randall y Raman Sundrum. Dentro
del contexto de la cosmologı́a de branas, esta teorı́a describe el universo con más dimensiones,
considerando un espacio anti-de Sitter de cinco dimensiones y suponı́a, en un principio, a las
partı́culas fundamentales, excepto el gravitón, ancladas en una 3-brana. Estos modelos requieren
de dos rasgos finos o constricciones, el primero de ellos es el valor de la constante cosmológica en
84
el bulk, y otra para las tensiones de las branas. El modelo RS1 trata de abordar el problema de la
jerarquı́a. La cuestión de porque la gravitación comparada con otras fuerzas es tan débil :(
(138)
Felectricity
= 4.17 × 1042
Fgravity
para la razón entre la fuerza eléctrica y gravitatoria entre dos electrones.
La deformación de la dimensión extra es análoga a la deformación del espacio en las cercanı́as
de un objeto masivo, como un agujero negro. Esta deformación, o corrimiento al rojo, genera una
gran proporción de las escalas de energı́a de modo que la escala de energı́a natural en un extremo
de la dimensión extra es mucho mayor que en el otro extremo.
La foliamos AdS5 con hipersuperficies planas homeomorfas al espacio tetradimensional de Minkowski
se tiene que
(139)
ds2 =
1
k2 y2
(dy 2 + ηµν dxµ dxν ),
donde k es una constante y ηµν tiene una signatura “-+++”. Este espacio tiene lı́mites o fronteras
1
1
en y = k1 e y = wk
, con , 0 ≤ k1 ≤ wk
, donde se asume que k esta alrededor de la escala de Planck,
W es el factor de deformación o alabeo y Wk esta alrededor de un TeV. La frontera en y = k1 es
1
llamada la brana de Planck y la frontera en y = wk
es llamada la brana de TeV.
Una es la brana de Planck, donde la gravedad es extraordinariamente fuerte, por lo que también es
llamada “ brana de la gravedad”; la otra es la brana de TeV, nuestro hogar, con todas las partı́culas
del modelo estándar ancladas a ella, también es llamada “brana débil”. En este modelo, las dos
branas están separadas, en el no tan gran espacio de cinco dimensiones, por aproximadamente 16
unidades, estando estas unidades basadas sobre las energı́as del bulk y la brana.
También en este modelo, cualquier cosa que se mueva de la brana de Planck a la brana de TeV en
el “bulk” serı́a cada vez mayor, cada vez más ligero y desplazándose más lento a través del tiempo.
La distancia y el tiempo se expande cerca de la brana de TeV, pero la masa y la energı́a se contraen
cerca de ella. Esto crea una explicación alternativa de la debilidad de la gravedad en la brana TeV:
todo serı́a más ligero. Una parte interesante de esto es que el problema de jerarquı́a parece resuelto
automáticamente. Pero no vayamos tan rápido. En realidad un misterio se ha intercambiado por
otro. El misterio de la debilidad de la gravedad comparada con otras fuerzas, con el misterio del
porque la brana TeV y la brana de Planck se encuentran separadas a una distancia como la que se
supone, siendo que gravitacionalmente el sistema es inestable. La gravedad de Einstein predice que
las branas deben acercarse o alejarse, recordemos que por la sección 5.3, una constante cosmológica
negativa tiene un efecto atractivo, mientras que la densidad local del vacı́o, en este caso, es negativa.
El modelo RS2 utiliza la misma geometrı́a que el modelo RS1, pero carece de la brana de TeV.
Las partı́culas del modelo estándar son presumiblemente para ser parte de la brana de Planck. Este
modelo tuvo particular interés debido a que presentaba un modelo infinito de cinco dimensiones,
que en muchos aspectos, se comportaba como un modelo con las cuatro dimensiones ya conocidas,
las correcciones dependen de un parámetro, de la constante cosmológica pentadimensional.
85
Nuestro interés en el modelo RS1 radica en su similitud formal con la situación asociada a un
cuerpo negro. Tomar una cavidad (universo pentadimensional acotado por dos mundos brana),
mantener su temperatura constante (asumir Λconstante), suponer paredes acopladas con las oscilaciones del campo electromagnético (Kaluza Klein + mundos brana + acoplamiento mediante
oscilaciones del campo gravitacional) Puesto que el estudio de la radiación de cuerpo negro, llevó
a la revolución de la fı́sica a través del descubrimiento de la mecánica cuántica ¿A que nos puede
llevar el estudio de esta similitud formal, pero ahora en el ámbito de la gravitación? Daremos una
respuesta al final del capı́tulo 7. Pero para ello necesitamos volver al estudio del agujero negro,
puesto que es a través de este último que, se ha obtenido una unión parcial entre la mecánica
cuántica y la gravitación de Einstein: los dos pilares de la fı́sica del siglo XX.
86
6
6.1
Evaporación de agujeros negros
Introducción
Einstein, a pesar de ser un gran admirador del trabajo de Maxwell o quizás por ello mismo, desafió la
teorı́a ondulatoria de la luz. En 1905, incorporó propiedades corpusculares a la luz monocromática
para explicar el efecto fotoeléctrico. La luz, según Einstein, se propaga en paquetes o cuantos de
energı́a E = ~ω. Esta misma fórmula ya habı́a sido contemplada por Planck, y posteriormente serı́a
usada por Bohr para explicar la estabilidad del átomo. En el caso del estudio de la radiación de
cuerpo negro, no se llegó a una derivación satisfactoria de la ley de radiación de Planck, a partir
del uso exclusivo de principios de la mecánica cuántica sólo hasta que se publicaron los trabajos de
Bose, comunicados y traducidos por el mismo Einstein. Según la cuál los fotones o cuantos de luz
siguen una estadı́stica peculiar. La consecuencia más notable de esta estadı́stica es el fenómeno de la
emisión estimulada de radiación que forma la base del funcionamiento del maser y el laser (Townes,
1953; Townes y Schawlow 1960). Einstein en 1916, llegó a su concepción a través de un argumento
probabilı́stico para derivar la fórmula de Planck. Estas cuestiones son importantes para nosotros
puesto que argumentamos que la fórmula de Planck se puede derivar de una teorı́a gravitacional.
Mientras que Planck llegó a ella mediante la interpolación de dos comportamientos experimentales
distintos en longitudes de onda diametralmente opuestas del espectro: La ley de Wien (1983) y
la teorı́a de Rayleigh y Jeans que descansa en la fı́sica clásica. El estudio cuidadoso del método
de los coeficientes A y B de Eintein (introducido en la sección 6.2) nos llevará en el capı́tulo 7 a
la formulación de un comportamiento novedoso para la interacción de partı́culas idénticas. En su
teorı́a de la gravitación, Einstein generalizó el principio de la relatividad restringida a observadores
no inerciales, incorporando el principio de equivalencia: la igualdad entre la masa inercial y gravitacional (Einstein, 1911). Nuestros argumentos del capı́tulo 7, referentes a la naturaleza granular
del espacio-tiempo, que se deriva de la aplicación de la mecánica cuántica a la gravitación también
dependen de este principio.
El sueño de Einstein de generar una teorı́a unificada de todos los fenómenos fı́sicos esta plagada
de varios obstáculos de carácter técnico y de significado fı́sico: infinitos, probabilidades negativas,
velocidades superluminales, inestabilidades gravitacionales, no linealidad, la simetrı́a en la dirección
del tiempo, el problema de la medición, el problema de la jerarquı́a, etc. Sin embargo, existe
evidencia de la consistencia que podrı́a existir si se unen estos dos pilares de la fı́sica del siglo XX,
y su relación con otras leyes de la naturaleza. Esencialmente en lo que respecta a la teorı́a de
los agujeros negros. En 1972, el fı́sico de origen inglés Stephen W. Hawking realizó cálculos que
demuestran que un agujero negro emite radiación de la misma forma en la que lo hace un cuerpo
87
negro, este fenómeno (de radiación Hawking (sección 6.3.1)) desató la unión parcial de tres áreas
de la fı́sica: La termodinámica, la gravitación y la mecánica cuántica. Un logró monumental.
Para embarcarnos en este estudio nos remontaremos a 1928, cuando George Gamow postuló una
teorı́a sobre la de descomposición de los elementos radioactivos (sección 6.3.2). Gamow propuso
que las partı́culas fundamentales pueden experimentar un fenómeno conocido como efecto túnel
(sección 6.3.2). De tal manera que, bajo ciertas condiciones, existe una probabilidad distinta de
cero de que por efectos cuánticos, una partı́cula atraviese una barrera de potencial. Tal como
ocurre en el caso de las partı́culas alfa (átomos de helio doblemente ionizado)y partı́culas beta (de
carga negativa) que escapan del núcleo de átomos pesados, como el uranio y el radio (Becquerel
1896,Curie 1898). En esta sección, nos enfocaremos a explicar el efecto semiclásico de la radiación
Hawking vı́a el efecto tunel (sección 6.3.2.), para enriquecer ası́ nuestra visualización de como radı́a
un agujero negro. Los métodos introducidos en este apartado son aplicados en capı́tulo 7 para
llevar a rumbos más lejanos la teorı́a de los agujeros negros.
6.2
Annus mirabilis y la interpretación de Einstein de la fórmula de Planck
En el año de 1905 Albert Einstein escribió cinco artı́culos que revolucionaron al mundo de la fı́sica,
aunque en palabras del mismo Einstein, él sólo consideró como revolucionario el quinto artı́culo de
esta serie. Este último en verdad era desafiante puesto que ponı́a en duda la validez de la teorı́a
de luz de Maxwell y proponı́a que esta debı́a estar formada por pequeños paquetes de energı́a
(fotones). La inquietud de Einstein por resolver el problema nace al leer el libro: “La wärmelehre”,
el cual contenı́a dos capı́tulos sobre radiación térmica. El libro concluı́a con una discusión acerca
del trabajo de Gustav Robert Kirchhoff, en donde se demostraba que el espectro de emisión de
energı́a de un cuerpo perfectamente negro (cuerpo que absorbe toda la radiación incidente) a una
temperatura dada es una función universal de la temperatura del cuerpo y la longitud de onda de
la radiación. Otros de los resultados de Kirchhoff demostraban que si la radiación se encuentra en
equilibrio térmico en una cavidad, ésta se comporta como la de un cuerpo negro.
A raı́z de los resultados para la radiación de cuerpo negro, muchos fı́sicos intentaron derivar su
función universal. Uno de estos fue Heinrich Friedrich Weber, quien fue profesor de Einstein en
el Eidgenössische Technische Hochschule (ETH). El trabajo de Weber nos llevaba a la formula
empı́rica λm = k/T , donde k es una constante, T es la temperatura y λm es la longitud de onda
correspondiente a la intensidad máxima de distribución. Weber presentó esta formula en el semestre
del invierno de 1898-1899, curso al que asistió Einstein. Los fı́sicos continúan trabajando en derivar
la formula universal de la radiación, Wien de manera experimental obtiene la ley de desplazamiento:
(140)
υ
ρ = αυ 3 e−β T ,
donde ρ es la densidad de energı́a, υ es la frecuencia de onda y T la temperatura. Max Planck confiaba en explicar la irreversibilidad de los procesos fı́sicos estudiando la radiación electromagnética y
entendió que esto serı́a muy difı́cil sin utilizar la mecánica estadı́stica. Utilizando la electrodinámica
de Maxwell (para desarrollar una teorı́a de la radiación térmica en interacción con uno o más osciladores armónicos cargados idénticos dentro de una cavidad). Planck define una noción denominada “radiación natural”, que es como un sistema análogo al propuesto por Ludwing Boltzmann
para el caos molecular. El resultado de aplicar la teorı́a estadı́stica en el electromagnetismo de
88
Maxwell derivó en la ecuación para la distribución de densidad de energı́a, que coincidı́a enteramente con los datos experimentales sobre todo el espectro, a saber:
(141)
ρυ = 8πhυ 3 /c3 (ehυ/kT − 1),
donde k es la constante de Boltzmann, υ es la frecuencia de la onda electromagnética, c es la
velocidad de la luz en el vacı́o, h la constante de Planck, T es la temperatura y ρυ es la densidad
de energı́a electromagnética de frecuencia υ. Einstein habı́a seguido muy de cerca el trabajo de
Planck y tenı́a algunas dudas sobre el enfoque fı́sico de este último, por lo que se dio a la tarea
de fundamentar mejor el comportamiento corpuscular de la luz. Para recuperar la ecuación de la
radiación de cuerpo negro, Einstein postuló una hipótesis de cómo debe darse el intercambio de
energı́a electromagnética: Sea Zn y Zm dos estados cuánticos posibles de un gas, con energı́as εn
y εm respectivamente, y que satisfacen la desigualdad εm > εn . Se asume que una molécula tiene
un cambio de estado Zn a Zm si absorbe la energı́a εm − εn y de la misma forma puede hacer un
cambio de estado de Zm a Zn si emite esta diferencia de energı́a. Analicemos estos procesos por
casos:
Caso I. Emisión de radiación espontánea. Se asume que una molécula puede decaer espontáneamente
del estado Zm al estado Zn y emitir energı́a εm − εn en forma de radiación con una frecuencia
υ = εm − εn /h. La probabilidad para que esto ocurra durante un intervalo de tiempo dt está dada
por
(142)
dW = Anm dt,
donde Anm es una constante.
Caso II. Absorción de radiación. Bajo la influencia de una densidad de radiación ρ de frecuencia
υ = εm − εn /h, una molécula puede hacer una transición desde el estado Zn al estado Zm por
absorción de energı́a radiativa εm − εn , de acuerdo con la ley de probabilidad:
(143)
dW = Bnm ρdt,
donde Bnm es una constante.
Caso III. Emisión estimulada de radiación. De forma similar se puede asumir la existencia de
una transición de Zm a Zn (asociado a la liberación de energı́a radiativa εm − εn ), posible bajo la
influencia de un campo electromagnético de frecuencia εm − εn , en este caso la ley de probabilidad
se escribe como:
(144)
n
dW = Bm
ρdt,
n es una constantes.
donde Bm
La hipótesis cuántica establece que, cuando se produce una transición Zn 7→ Zm por absorción
de radiación, se transfiere momento (εm − εn )/c a la molécula en la dirección del rayo de luz. En
89
contraste, para el proceso de emisión estimulada Zm → Zn , el momento que se transfiere tiene la
misma magnitud pero dirección opuesta. Para el caso en el que la emisión de la radiación se da
de forma espontánea se asume que la energı́a total emitida es εm − εn y el ı́mpetu cedido es el
momento (εm − εn )/c. Para un sistema isotrópico se asume que todas las direcciones de emisión
son igualmente probables.
Ahora podemos observar que una particular densidad de radiación ρ, para la cual el intercambio
de energı́a esté de acuerdo con la ley de distribución de Boltzman, la posibilidad de que un conjunto
de moléculas en equilibrio termodinámico se encuentra en un estado de energı́a εn esta dado por:
(145)
Wn = pn exp(−εn /kT ),
donde: k es la constante de Boltzmann, pn es el n-esimo estado cuántico, εn es la energı́a del estado
y T es la temperatura. Utilizando los coeficientes de emisión y radiación en la fórmula anterior
tenemos que en el equilibrio termodinámico forzosamente
(146)
n
pn exp(−εn /kT )Bnm ρ = pm exp(−εm /kT )(Bm
ρ + Anm ),
para los procesos asociados con la combinación de los ı́ndices (m, n). Esto es, el número de moléculas
que abandonan el estado Zn para ir al Zm por la absorción de un fotón de frecuencia εm − εn /h
es igual al número de moléculas que decaen del estado Zm al Zn por la emisión espontánea y
estimulada de radiación. Si además, ρ tiende a infinito con T , es posible asumir que
(147)
n
pn Bnm = pm Bm
,
Utilizando la relación anterior entre las constantes obtenemos la ecuación,
(148)
ρ=
n
Anm /Bm
exp[(εm − εn )/kT ] − 1
que se obtiene como condición para el equilibrio termodinámico. La expresión a la que llega Einstein
es la ecuación obtenida por Planck para la radiación de cuerpo negro. Sin embargo, la relación
entre los coeficientes de emisión y radiación, que debe ser igual a 8πhυ 3 /c3 no es explicada por
este cálculo y simplemente se supone que es cierta. Fue el fı́sico de origen hindú Satyendra Nath
Bose, quien descubrió la forma de recuperar la radiación de cuerpo negro de Planck utilizando
únicamente las hipótesis del quantum, forzado a proponer originales propiedades de naturaleza
estadı́stica. Bose consideró la radiación, de energı́a total E, contenida en un volumen V , integrada
por Ns , quanta de energı́a hυs (para s = 0 hasta s = ∞). Ası́ la energı́a E total se puede expresar
como
(149)
E=
X
Z
Ns hυs = V
ρs dυ.
s
El problema de mecánica estadı́stica consistı́a en encontrar el conjunto de números Ns , tal que
la probabilidad de la distribución asociada a estos Ns sea máxima. Lo primero consistı́a en la
signación de una probabilidad a cada distribución posible de quanta.
90
Para esto, Bose asigna a cada quanta un punto en el espacio de fase de seis dimensiones: tres
dimensiones espaciales (x,y,z) y tres correspondientes a los momentos asociados (px ,py ,pz ). Como
hυ/c corresponde a la magnitud del momento de un quanta de frecuencia υ, entonces
(150)
p2x + p2y + p2z =
h2 υ 2
.
c2
De acuerdo con la relación anterior, el intervalo de frecuencias dυs le corresponde un volumen en
el espacio fásico dado por
Z
(151)
dxdydzdpx dpy dpz = V 4π(
hυ 2 hυ
h3 υ 2
) d( ) = 4π 3 V dυ.
c
c
c
Si se subdivide el volumen total del espacio fásico en celdas de volumen h3 , el número de celdas
que corresponde al intervalo de frecuencias (υ, υ +dυ), vendrá dado por 4πV υ 2 dυ/c3 . Bose, que
era un conocedor de los trabajos de Planck, conocı́a el carácter heurı́stico del argumento anterior,
por lo que no incluyó aclaraciones al respecto. Para tener en cuenta la polarización, parece obligado
multiplicar este número por el factor 2, por lo que el número de celdas correspondiente a un intervalo
dυ resulta 8πV (υ 2 /c3 )dυ, lo que corresponde a la relación entre los coeficientes de absorción y
n . Los trabajo de Einstein y Bose recuperan la ecuación de Planck y el siguiente
emisión Anm /Bm
paso es encontrar si la luz esta realmente compuesta de partı́culas (fotones). Para ello se parte de
la ley de Wien, puesto que esta ha sido confirmada por experimentos para valores altos de υ/T
(152)
1
1
ρ
=−
ln 3 ,
T
βυ αυ
1
De la mecánica estadı́stica ∂ϕ
∂ρ = T ,donde ϕ es la entropı́a por unidad de volumen asociado a la
radiación de frecuencia υ y por tanto una función de las variables ρ y υ. Sustituyendo en la ley de
Wien se obtiene:
(153)
ϕ(ρ, υ) = −
ρ
ρ
{ln 3 − 1}.
βυ
αυ
Si se tiene una energı́a de radiación E, con frecuencia en el intervalo υ y υ + dυ, que ocupan un
volumen V . La entropı́a de la radiación es
(154)
S = V ϕ(ρ, υ)dv = −
E
E
{ln
− 1}.
βυV
V αυ 3 dv
Si la investigación se enfoca en la dependencia que tiene la entropı́a respecto del volumen ocupado
por la radiación, y se denota por S0 la entropı́a de la radiación a volumen V0 se obtiene
(155)
S − S0 =
(E/dV )
V
ln[ ].
βυ
V0
91
Donde β = 1/k es el inverso de la constante de Boltzman.
Esto demuestra que la entropı́a de la luz para valores de altas frecuencias, varı́a con el volumen
de acuerdo con la misma ley que la entropı́a de un gas ideal:
(156)
S − S0 = k ln(
V n
)
V0
donde n = E/hυ.
6.3
6.3.1
Radiación Hawking y el lı́mite semiclásico
Cálculo original (1972)
Hasta el año de 1970, los agujeros negro se imaginaban como entes del espacio-tiempo donde nada,
inclusive la luz, era capaz de escapar. No existı́a una definición matemática precisa de que puntos
del espacio-tiempo pertenecen al agujero y cuáles caen fuera. Fue una noche de noviembre de 1970
cuando Stephen Hawking, justo antes de acostares, se dio cuenta de que en la frontera de un agujero
negro los rayos de luz nunca podrı́an aproximarse entre sı́. Si lo hicieran, deberı́an acabar chocando.
Pero si fuese el caso estos rayos luminosos deberı́an ser absorbidos por el agujero negro, absurdo
puesto que entonces no podrı́an haber estado en la frontera del agujero. Es por esto que los caminos
de los rayos de luz en el horizonte de sucesos tienen que moverse siempre paralelos o alejándose
entre sı́. Sı́ los rayos de luz que forman el horizonte de sucesos nunca pueden acercarse, entonces
el área del horizonte de sucesos debe permanecer constante o debe aumentar con el tiempo, pero
nunca puede disminuir. Por lo que Hawking llegó a la conclusión de que el área del horizonte de
sucesos permanecerá constante o aumentará siempre que algo de materia o radiación caiga en el
agujero negro. Ası́, si dos agujeros negros colisionan, y forman un solo agujero, después del choque
el área del horizonte de este último será mayor o igual a la suma de las áreas de los horizontes de
sucesos de los agujeros originales. El comportamiento no decreciente del área de un agujero negro
hacia recordar una cantidad fı́sica llamada entropı́a, la cual mide la cantidad de desorden que existe
en un sistema. La segunda ley de la termodinámica establece que la entropı́a de un sistema aislado
siempre aumenta, y cuando dos sistemas se juntan, la entropı́a del sistema combinado es mayor
que la suma de las entropı́as de los sistemas individuales.
Inspirado por el resultado de Hawking, un estudiante de la universidad de Princeton, llamado
Jacob Bekenstein, sugirió que el área del horizonte de sucesos de un agujero negro era una medida
de su entropı́a. Cuando materia ordinaria portadora de entropı́a cae al agujero negro, el área de su
horizonte de sucesos aumenta, de tal forma que la suma de la entropı́a de la materia fuera de los
agujeros negros y del área de los horizontes nunca disminuye. Las ideas de Bekenstein resolvı́an uno
de los principales problemas que se tenia en la teorı́a de los agujeros negros ya que no se sabı́a como
conservar la segunda ley de la termodinámica al caer materia o radiación al agujero. Sin embargo,
parecı́a haber un gran error en la teorı́a, puesto que si el agujero tuviera entropı́a, entonces también
tendrı́a temperatura. Pero un cuerpo a una temperatura particular debe de emitir radiación a un
cierto ritmo. Sin embargo, por su propia definición, los agujeros negro de la relatividad general son
objetos que no pueden emitir nada.
92
Fue hasta septiembre de 1973, cuando Hawking hizo una visita a Moscú, en donde discutió acerca
de agujeros negros con los expertos soviéticos, Yacov Zel’dovich y Alexander Starobinsky. Estos
descubrieron que de acuerdo con el principio de incertidumbre de la mecánica cuántica, los agujeros
negros rotantes deberı́an emitir partı́culas. Los argumentos fı́sicos eran convincentes, sin embargo,
Hawking no estaba satisfecho con los cálculos matemáticos por lo que emprendió la tarea de mejorar
el tratamiento matemático. El cálculo consiste en considerar el espacio-tiempo asociado al colapso
gravitacional del agujero negro, el cual no puede considerarse estacionario en todas partes: por lo
que se espera la creación de partı́culas. Pero el espacio-tiempo exterior es estacionario sólo para
pequeños intervalos de tiempo, por lo que se espera que la creación de partı́culas sea únicamente
un fenómeno transitorio, determinado por los detalles del colapso. Por otro lado, el fenómeno de
dilatación del tiempo, significa que las partı́culas creadas en el colapso pueden tomar un tiempo
arbitrario en escapar, lo cual sugiere un posible flujo de partı́culas lento debido a la existencia del
horizonte e independiente de los detalles del colapso, Hawking descubrió que el flujo de partı́culas
existe y además resulta ser térmico. Para realizar los cálculos considérese un campo escalar Φ sin
masa en un agujero negro de Schawarzschild. Supongamos que los modos de salida de frecuencia
w Φ se comportan de acuerdo con la relación
(157)
Φw ∼ e−iwu ,
en las cercanı́as de =+ : La frontera del infinito donde se dirigen los rayos de luz que se alejan del
agujero. Se puede hacer una aproximación utilizando la geometrı́a óptica, en donde la trayectoria
de una partı́cula es una geodésica nula de tipo temporal, γ, con fase constante u, el cual se rastrea
hacia atrás en el tiempo desde =+ . Cuanto más tarda en llegar a =+ más cerca se estará del
horizonte H + , en el sepacio-tiempo exterior antes de entrar a la estrella (ver la figura).
Figura 21: Diagrama de Penrose-Carter que describe la trayectoria de las geodésicas nulas, tomado de, Black Holes.
El rayo γ pertenece a una familia de rayos cuyo lı́mite es último t → ∞, este es un generador de
geodésicas nulas, γH , de H + . Es posible especificar γ si tomamos una distancia afı́n desde γH a lo
largo de esta geodésica nula en el interior de H + .
Sea U el parámetro afı́n para esta geodésica nula, luego U = −. De forma equivalente se tiene
93
que
(158)
1
u = − log κ
por lo que
(159)
Φw ∼ exp(
iw
log ).
κ
Estas oscilaciones incrementan rápidamente cuando → 0, por lo que la aproximación utilizando
geometrı́a óptica se justifica para pequeños intervalos de tiempo. Ahora es necesario adaptar Φw
en la solución de Klein-Gordon (K-G) cerca de vectores nulos =− . Utilizando la geometrı́a óptica
se considera que se transportan de forma paralela n y l desde el pasado remoto de =− a lo largo de
la continuación de γH . Esto continua hasta concurrir con v = 0. La continuación del rayo γ desde
el pasado remoto de =− se mantendrá siempre a la distancia afı́n a lo largo de una geodésica nula
es =− .
El parámetro afı́n para una geodésica nula externa al horizonte en =− es v (utilizando el elemento
de lı́nea ds2 = dudv + r2 dΩ2 en =− ), por lo que v = − en γ y obtenemos
(160)
Φw ∼ exp{
iw
log(−v)}.
κ
Esto es porque v < 0. Para v > 0 una geodésica nula que se extiende dentro del horizonte hasta
=− , pasa a través de H + y no puede alcanzar =+ , por lo que:
(161)
Φw (v) =
0
v>0
iw
exp( κ log(−v) v < 0
utilizando la transformada de Fourier,
Z
(162)
∞
0
eiw v Φw (v)dv,
Φ̃w =
−∞
Z
(163)
o
Φ̃w =
exp{iw0 v +
−∞
iw
log(−v)}dv,
κ
resolviendo la integral para w0 > 0 se obtiene:
(164)
Φ̃w (−w0 ) = − exp(−
πw
)Φ̃w (w0 ).
κ
94
Figura 22: Plano complejo que se utiliza para resolver la integral
Ro
−∞
exp{iw0 v +
iw
κ
log(−v)}dv, tomado de, Black
Holes.
Para w0 > 0 se puede rotar el contorno en la parte positiva del eje imaginario y se establece v = ix
para obtener
(165)
Φ̃w (−w0 ) = − exp(−
(166)
− exp(
πw
)
2κ
∞
Z
πw
)Φ̃w (w0 ),
κ
exp{−w0 x +
0
iw
log(x)}dx.
κ
desde w0 > 0 la integral converge. Cuando w0 < 0 se puede rotar el contorno a la parte negativa
del eje imaginario y se establece v = −ix para obtener
(167)
Φ̃w (w0 ) = i
∞
Z
exp{w0 x +
0
iw
log(xeiπ/2 )}dx,
κ
por lo tanto el resultado es
(168)
πw
exp(−
)
2κ
Z
∞
exp{w0 x +
0
iw
log(x)}dx.
κ
Un modo de frecuencia positiva w en =+ , para un intervalo de tiempo, se pude dividir en modos
negativo y positivo en =− . Podemos identificar para la parte positiva de w0
(169)
Aww0 = Φ̃w (w0 ),
(170)
Bww0 = Φ̃w (−w0 ) = −e−πw/κ Φ̃w (w0 ).
Se puede observar entonces que
(171)
Bij = −e−πwi /κ Aij .
95
Pero las matrices A y B deben satisfacer la relación de Bogoliubov (Bogoliubov, 1959 ;Birrell &
Davies, 1982),
(172)
δij = (AA† − BB † ),
esto es,
(173)
δij =
X
∗
Aik A∗jk − Bik Bjk
,
k
por tanto
(174)
δij [eπ(wi +wj )/κ − 1]
X
∗
.
Bik Bjk
k
Considerando i = j se obtiene
(175)
(BB † )ii =
1
e2πwi /
−1
.
Ahora, lo que se necesita es obtener los coeficientes inversos de Bogoliubov correspondientes a los
modos de frecuencia positiva y negativa previamente separados en =+ . El coeficiente inverso se
obtiene con la relación
(176)
B 0 = −B |
El lento flujo de partı́culas de =+ dado que se tiene un vacı́o en =− es
(177)
hNi i=+ = ((B 0 )† B 0 )ii = (B ∗ B | )ii = (BB | )∗ii ,
pero (BB | ) es real por lo que se tiene que
(178)
hNi i=+ =
1
e2πwi /κ
−1
.
Este es un resultado histórico puesto que se demuestra que un agujero negro emite radiación como
si fuese un cuerpo negro, ya que se recupera la ecuación de radiación de Planck, y además es el
primer resultado en el que se utiliza la mecánica cuántica en un espacio-tiempo curvo (relatividad
general).
96
Como corolario de la ecuación anterior se deduce que la temperatura del agujero negro es
(179)
TH =
~κ
,
2π
mientras que la entropı́a del agujero SBH es proporcional a su área A
(180)
6.3.2
SBH =
A
.
4~
El efecto túnel y la radiación Hawking (1999)
La frase túnel, la cual no existe para la mecánica clásica, es un camino para entender los procesos
dinámicos a través del paradigma de la mecánica cuántica. Sus orı́genes se remontan al año de
1928 cuando el fı́sico George Gamow resolvió la teorı́a de la descomposición alfa de los núcleos
atómicos, a través de las propiedades del efecto túnel. En la mecánica clásica una partı́cula se
encuentra confinada al núcleo atómico debido a la gran cantidad de energı́a requerida para escapar
de su enlace. Análogamente, es necesario un aporte enorme de energı́a para poder separar el núcleo
de las fuerzas de cohesión. En mecánica cuántica, sin embargo, existe una probabilidad razonable
de que la partı́cula atraviese el potencial enérgico descrito por el núcleo y logre escapar de este.
Los resultados de la investigación de Gamow arrojaron un modelo para la energı́a potencial de los
núcleos atómicos y una relación entre la vida media de la partı́cula y su energı́a de emisión.
Actualmente la teorı́a del efecto túnel se esta aplicando en otras ramas de la fı́sica, en este trabajo
la utilizaremos para analizar procesos cosmológicos y ası́ dar otra interpretación de la radiación
Hawking.
A continuación deduciremos las ecuaciones que gobiernan el efecto túnel en forma semiclásica:
Primero utilizamos la ecuación de Schrödinger para una partı́cula unidimensional, bajo la influencia de una barrera de potencial V (x).
~2 d2
Ψ(x) + V (x)Ψ(x) = EΨ(x),
2m dx2
(181)
−
(182)
2m
d2
Ψ(x) = 2 (V (x) − E) Ψ(x).
2
dx
~
Ahora, recuperemos la función de onda Ψ(x) como exponencial de una función.
(183)
Ψ(x) = eΦ(x)
(184)
Φ00 (x) + Φ0 (x)2 =
2m
(V (x) − E) .
~2
97
Separamos Φ(x) en partes reales e imaginarias, empleando para ello las funciones de variable real
A y B.
(185)
Φ0 (x) = A + iB
(186)
A0 + A2 − B 2 =
2m
(V (x) − E) ,
~2
porque la parte imaginaria pura desaparece debido a la evaluación real del segundo miembro:
(187)
i B 0 − 2AB = 0.
Lo siguiente es tomar la aproximación semiclásica para resolver la ecuación (187). Esto significa
que habremos de expandir cada función como una serie en ~. De las ecuaciones, inferimos que
las series deben comenzar, cuando menos un orden de ~−1 para satisfacer la parte real de las
mismas. Pero, cuando el cálculo requiere de un lı́mite clásico razonablemente más preciso, también
necesitaremos comenzar con un orden de magnitud superior a la constante de Planck como sea
posible.
∞
(188)
1X k
~ Ak ,
A(x) =
~
k=0
∞
(189)
B(x) =
1X k
~ Bk .
~
k=0
Las limitaciones en los términos de mı́nimo orden quedan:
(190)
A20 − B02 = 2m (V (x) − E) ,
(191)
A0 B0 = 0.
Si la amplitud varı́a lentamente en comparación con la fase, especificamos A0 (x) = 0 y obtenemos:
(192)
p
B0 (x) = ± 2m (E − V (x)),
que es únicamente válida cuando se dispone de más energı́a que potencial - movimiento clásico.
Después se aplica el mismo procedimiento en el siguiente orden de la expansión y obtenemos:
(193)
Ψ(x) ≈
√
√
R
i
e ~ dx 2m(E−V (x))+θ
~C p
.
4
2m (E − V (x))
98
Por otra parte, si la fase varı́a lentamente en comparación con la amplitud, podemos ajustar
B0 (x) = 0 y obtener:
(194)
p
A0 (x) = ± 2m (V (x) − E),
que es válido sólo si tiene mayor potencia que energı́a - movimiento tunelado. Resolviendo la
siguiente expansión con un orden superior, obtenemos:
√
(195)
Ψ(x) ≈
1
~C+ e+ ~
R
√
dx
2m(V (x)−E)
p
4
+
√
1
~C− e− ~
R
√
dx
2m(V (x)−E)
2m (V (x) − E)
.
Ambas soluciones aproximadas se alejan del punto de curvatura clásico E = V (x). Lo que
tenemos son las soluciones aproximadas más allá del potencial de la “colina” y debajo de la misma.
Más allá de esta, la partı́cula se comporta como una onda libre - la fase es oscilante. Debajo, la
partı́cula sufre cambios exponenciales en la amplitud. En un problema especı́fico
del
√ “efecto túnel”,
R
− ~1 dx 2m(V (x)−E)
deberı́amos sospechar que la amplitud de la transición es proporcional a e
, por
lo que, de esta manera, el efecto exponencial se complica por las largas desviaciones provenientes
de la permisividad motriz clásica. Por lo que para completar el cálculo debemos encontrar las
soluciones aproximadas en algún sitio y relacionar los coeficientes para lograr una aproximación
global al problema. Empleamos para ello las soluciones que se aproximen con fundamento a aquellas
halladas antes de los puntos de curvatura clásicos E = V (x).
Figura 23: Regiones de potencial.
Llamemos a un punto de curvatura x1 . Ahora, y gracias a que se sitúan próximos E = V (x1 ),
podemos expandir en una serie.
(196)
2m
(V (x) − E) = v1 (x − x1 ) + v2 (x − x1 )2 + · · · .
~2
99
Se considera solo el término de primer orden de
(197)
2m
~2
(V (x) − E) = v1 (x − x1 )
d2
Ψ(x) = v1 (x − x1 )Ψ(x).
dx2
Sus soluciones son funciones de Airy
(198)
√
√
Ψ(x) = CA Ai ( 3 v1 (x − x1 )) + CB Bi ( 3 v1 (x − x1 )) ,
esta solución debe conectar las soluciones halladas para los puntos del espacio de las crestas y
debajo del sistema. Dados los coeficientes en un lado del punto de curvatura, deberı́amos poder
determinar otros dos coeficientes, al otro lado de la misma empleando esta solución local que los
conecte. Por esta ende, ahora hemos encontrado una relación entre C,θ y C+,C−. Afortunadamente, las funciones de Airy son asintóticas para los senos, cosenos y funciones exponenciales,
dentro de los propios lı́mites que las definen. La relación pues, se determina como siguen estas
lı́neas:
(199)
1
π
C+ = C cos θ −
,
2
4
(200)
π
,
C− = −C sin θ −
4
ahora, podemos construir soluciones globales y resolver problemas de “tunelación”.
2
C
out
El coeficiente de transmisión, C , para una partı́cula “tuneladora” a través de un potencial
in
energético o barrera, obtenemos que debe ser:
(201)
e
−2
~
Rx
2
x1
√
dx
2m(V (x)−E)
T =
2 ,
√
R
−2 x
1 ~ x12 dx 2m(V (x)−E)
1 + 4e
donde, x1 , x2 no son sino los dos puntos de la curva clásicos definidos por la barrera potencial.
Si tomamos el lı́mite clásico de todos los demás parámetros mayores que la constante de Planck,
abreviados como ~ → 0, podemos observar que el coeficiente de transición tiende a cero. Este
lı́mite clásico puede fallar virtualmente, pero es más fácil de resolver, como es el caso del potencial
cuadrático. Una vez determinado el coeficiente de transnisión es posible dar una interpretación
acerca del trabajo de Gamow sobre el decaimiento alfa nuclear.
Un método de aproximación semiclásica para entender el decaimiento alfa es el que fue desarrollado
de manera simultánea por G. Wentzel, H. A. Kramers y L. Brillouin en 1926 (de cuyos apellidos
deriva el acrónimo WKB).
100
Radiación Hawking
La radiación Hawking puede visualizarse como un proceso similar al estudiado por Julian Schwinger,
en donde se crean un par electrón-positrón a través de la energı́a de un campo eléctrico constante.
La idea es que la energı́a de una partı́cula cambia de signo cuando ésta cruza el horizonte, de
modo que un par de partı́culas creado justo fuera o dentro del horizonte puede materializarse con
una energı́a total igual a cero, después un miembro de la pareja es tunelada al lado opuesto. Otra
imagen que se utiliza para entender el fenómeno es el paradigma de la membrana (ver capı́tulo 3.6).
La radiación Hawking es, entonces, una propiedad de la membrana que experimenta una tendencia
a la emisión espontánea, como si su temperatura fuera diferente de cero. Aplicando ambas imágenes
es posible derivar de manera semi-clásica la radiación Hawking. En este caso, la conservación de la
energı́a juega un papel fundamental; puesto que uno puede hacer una transición entre los estados de
manera que se conserve la energı́a total, y la masa residual del agujero negro debe ir disminuyendo
a medida que se irradia. De hecho es precisamente la posibilidad de reducir la masa lo que permite
la dinámica. Esto apoya la idea que, en gravedad cuántica, los agujeros negros son los objetos que
presentan el estado de excitación más alto.
Para describir el proceso que se da al cruzar el horizonte, es necesario elegir un sistema de coordenada, que no sea singular cerca del horizonte. Ası́, si se introduce la coordenadas de tiempo,
√
√
r − 2M
√
t = ts + 2 2M r + 2M Ln √
,
r + 2M
√
(202)
donde ts es el tiempo de Schwarzschild,
el elemento de lı́nea se transforma en:
(203)
2M 2
)dt + 2
ds2 = −(1 −
r
r
2M
dtdr + dr2 + r2 dΩ2 ,
r
vemos que la métrica es regular en r = 2M , y el espacio-tiempo es estacionario más no estático
(cambiar dt por −dt) .
El objetivo de utilizar estas coordenadas es que presentan un horizonte estacionario y sin singularidades. Ası́ es posible definir un estado de vacı́o para un campo cuántico, que requiere la
aniquilación de todos los modos de frecuencias negativas con respecto a t. Tal estado se verá
esencialmente vacı́o para los observadores en caı́da libre como si estuvieran pasando a través del
horizonte.
Las geodésicas nulas están dadas por
(204)
dr
ṙ ≡
= ±1 −
dt
r
2M
,
r
donde los signos + y - corresponden a las geodésicas que se mueven hacia afuera y dentro del
horizonte respectivamente, bajo la suposición implı́cita de que t no aumenta hacia el futuro. Si
se considera la masa del agujero fija y la masa total ADM variable, un deposito de energı́a w se
101
mueve en geodésicas sobre el espacio-tiempo, donde M es reemplazado por M + w. Si en lugar de
fijar la masa total. Si se fija la masa ADM y se permite que la masa del agujero fluctúe, entonces
el depósito de energı́a w viaja en geodésicas dadas por el elemento de lı́nea
(205)
2(M − w) 2
ds2 = −(1 −
)dt + 2
r
r
2(M − w)
dtdr + dr2 + r2 dΩ2 .
r
En esta imagen uno debe ser muy cuidadoso cuando la longitud de onda de la radiación es del
orden del radio del agujero negro, ya que la descripción de la radiación en términos de partı́culas
puntuales podrı́a ser inadecuada. Sin embargo, cuando la onda de salida se aproxima cada vez más
al horizonte, la longitud de onda medida por los observadores desde el infinito se desplaza cada
vez más al azul. Cerca del infinito el número de ondas se aproxima a infinito y la aproximación
con una partı́cula puntual es excelente. Es importante señalar que cuando w M se tiene una
gran probabilidad de emisión de partı́culas, mientras que si w = M es cuando se tiene la menor
probabilidad de emisión. Hay que resaltar lo que sucede cuando w = 2M puesto que las ecuaciones
son las de un agujero blanco, una interpretación de este resultado se puede obtener si se piensa en
un agujero negro de masa M que interactúa con un agujero blanco de masa M que como resultado
libera una capa de energı́a w del orden 2M . La parte imaginaria de la acción para una s-onda de
la partı́cula con energı́a positiva que cruza el horizonte hacia el exterior desde rin asta rout puede
expresarse como
Z
(206)
out
ImS = Im
Z
out Z pr
dpr dr.
pr dr = Im
in
in
0
dH
Si multiplicamos y dividimos la integral por los dos lados con el hamiltoniano ṙ = dp
|r , camr
biando la variable de momento por energı́a, e intercambiando el orden de la integral obtenemos
Z
(207)
+w
Z
rout
ImS = Im
o
rin
1−
dr
q
2(M −w)
r
(−dw),
donde el signo negativo aparece ya que H = M − w y varı́a desde [2(M − w), 2M ]. La integral
(229) puede ser resuelta deformando el contorno, en estas condiciones obtenemos (Apéndice II).
(208)
ImS = +4πw(M −
w
).
2
Alternativamente, y a lo largo de las mismas lı́neas, la radiación Hawking también puede ser considerada como la creación de parejas de partı́culas fuera del horizonte, considerando como negativa
la energı́a de las partı́culas que tunelan hacia el interior del agujero. Ya que dichas partı́culas viajan
atrás en el tiempo, ası́ que tenemos un tiempo que corre en reversa en las ecuacionesqde movimiento.
q
2M
Del elemento de lı́nea podemos observar que el tiempo en reversa corresponde a 2M
r → −
r
. También, utilizando la imagen de las antipartı́culas se tiene una geometrı́a que cambia la masa
102
del agujero negro, y en gravitación es posible sustituir M por M + w, en lugar de M − w. Por lo
tanto, la energı́a negativa de la partı́cula que se encuentra en el interior del agujero es
Z
(209)
−w
Z
rout
ImS = Im
o
rin
−1 +
dr
q
(−dw) = +4πw(M −
2(M +w)
r
w
),
2
donde se obtiene la fórmula anterior utilizando en la teorı́a de agujero negro el truco de Feyman,
deformando el contorno: con w sustituido por w + i Ambas imágenes (partı́culas o antipartı́culas
que tunelan) contribuyen al proceso de la radiación Hawking. La parte exponencial de la emisión
semi-clásica es
(210)
w
Γ ∼ e−2ImS = e−8πw(M − 2 ) ≈ e+∆SB−H ,
en la ecuación se expresa el resultado de forma más natural en términos de la entropı́a BekensteinHawking (SB−H ). En la ecuación se desprecia el término cuadrático en w, por el factor de Boltzman
para una partı́cula con energı́a w y el inverso de la temperatura 8πM.
La corrección w2 surge de la conservación de la energı́a que plantea la eficiencia de la temperatura
que irradia el agujero. Es posible observar que el resultado es correcto si analizamos la fı́sica del
proceso, si consideramos el lı́mite en el cual la emisión de partı́culas lleva completa la masa y la carga
del agujero negro (correspondiente a la transmutación de energı́a que sale del agujero). Por otro
lado, de acuerdo con la fórmula de Bolzmann, existen e(SB−H ) estados en total. la probabilidad de
encontrar energı́a E que contenga la totalidad de la masa del agujero es proporcional a e(−SB−H /k)
en el interior. El flujo del espectro de Planck apropiado para una temperatura inversa de 8πM es
(211)
ρ(w) =
dw | T (w) |2
,
2π e+8πM w − 1
donde | T (w) |2 es el coeficiente de transmisión (cuerpo gris) para la partı́cula que escapa al futuro
infinito.
6.4
El plano de Argand-Wessel y el área de un agujero blanco? .
En la sección 6.3.2 se recuperó la radiación Hawking vı́a el efecto túnel. Para ello se evaluó la
integral
Z
ω
(212)
(8Rα1/2 − 2απi)(−dw0 ).
0
de donde se deduce que la entropı́a del agujero está asociada con el área de su frontera. Se extiende
ahora el análisis de esta expresión en términos de la noción de un área con valores complejos.
Cambiando variables, α = 2(M − w) y R = σ 1/2 , la integral se reduce a
Z
(213)
0
ω
8σ 1/2 [2(M − w0 )]1/2 (−dw0 ) +
Z
ω
−2πi[2(M − w0 )](−dw0 ),
0
103
o factorizando el signo menos,
(214)
Z
√ 1/2 Z ω
0 1/2
0
−8 2σ
(M − w ) (dw ) + 4πi
w
(M − w0 )dw0 .
0
0
El valor de la integral es entonces
(215)
√
2
w02 w
0 w
8 2σ 1/2 [ (M − w0 )3/2 ]w
+
4πi{M
[w
]
−
[
] }.
0
0
3
2 0
Evaluando en el intervalo [0,w] se obtiene
(216)
√
16 2 1/2
w
σ [(M − w)3/2 − M 3/2 ] + 4πw(M − )i.
3
2
La parte imaginaria de dicha expresión está relacionada al área del agujero y conduce a la entropı́a de
Hawking-Bekenstein, a saber S = A/4. Queremos investigar ahora cuales son las consecuencias de
incorporar (por ejemplo, en el aspecto fı́sico) la parte real de la ecuación precedente. Esencialmente
implica la promoción de la noción de área A con la que medimos la superficie de un objeto, a un
área A(z) = Re(A(z)) + iIm(A(z)) con valores complejos, donde z = ω + iM (entonces ω = <(z)
y M = =(z)). La difinición de la cuál no es arbitraria sino que está relacionada con una de las
nociones mas trascendentes de la fı́sica: la fórmula de la entropı́a de Boltzman. Veamos cuales son
algunas caracterı́sticas del mapeo complejo: A(z) : z → A(z). La parte imaginaria Im(A(z)) es lo
que se conoce, la parte real Re(A(z)) es lo que contiene la nueva geometrı́a. Presentaremos primero
la descripción fı́sica y luego la matemática.
Es útil dividir el análisis en términos de una clasifición basada en los signos que pueden tener los
distinos términos bajo los radicales, como se muestra en la siguiente tabla, donde se ha empleado
la relación fundamental σ = 2w de la teorı́a de tunelaje para agujeros negros (sección 7.3).
La tabla presenta las ecuaciones para la parte real e imaginaria deacuerdo con los signos que toman M , ω y M − ω.
Casos
I
II
III
IV
V
VI
(M − ω)
+
+
+
-
M
+
+
+
-
ω
+
+
+
-
Re(A(ω + iM ))
− ω)3/2 − M 3/2 ]
√ 0
32
3 M √M ω
− 32
3 M Mω
0
p
3/2
32
3/2
− 3 |ω|[(|M − ω|) − |M | ]
32 √
ω[(M
3
Im(A(ω + iM ))
4πω(M − ω2 )
p
32
3/2
3/2
± 3 |ω|[(M p
− ω) − M ] + 4πω(M − ω2 )
± 32
|ω|(M − ω)3/2 + 4πω(M − ω2 )
3
32 √
∓ 3 ω(|M − ω|)3/2 + 4πω(M − ω2 )
√
∓ 32
ω[(|M − ω|)3/2 − |M |3/2 ] + 4πω(M − ω2 )
3
4πω(M − ω2 )
Existe una hipótesis implı́cita en todos los cálculos anteriores, y de la cuál no se ha hecho enfásis
suficiente: Suponer que la masa del agujero M es suficientemente grande para que los cambios
causados por la emisión de partı́culas de frecuencia ω, sobre su estructura y trayectoria, sean
despreciables. En la sección 7.5 veremos como un sistema de dos cuerpos puede ser reducido a un
sistema de centro de masa, y una variable relacionada con la relatividad del movimiento. En tal
caso, ω juega el papel de masa reducida µ, que siempre es menor o igual a M/2, con M, la masa total
104
del sistema. El caso ω = M/2, cuando la partı́cula emitida es tan pesada como el agujero residual,
representa por tanto un lı́mite natural para la interpretación fı́sica de la mitad superior de la tabla:
casos I,II y III. Ignorando los términos cuadráticos en ω y aproximando ±[(M − ω)3/2 − M 3/2 ] por
∓3/2ω(|M ω|)1/2 , se vislumbra una simetrı́a entre ω y M :
Caso I. M − ω > 0, M > 0, y ω > 0.
Este caso es precisamente el de la radiación Hawking, donde Im(A(ω + iM )) = 4πωM. En virtud
de la simetrı́a de la fórmula: ¿Cuál es la masa del agujero negro entonces? ¿M ó ω? Ambas
interpretaciones son correctas, sino fuese por el hecho de que |M | > |ω|. Todo depende de que
varible tiene una masa superior en valor abasoluto.
Caso II y III. M − ω > 0, y ω < 0.
Estos casos corresponden a una singularidad localmente desnuda de masa negativa ω, que emite
un espectro de frecuencias con desdoblamiento de lineas, la energı́a de separacón del desdoblamiento
está medida por el doble de la media geométrica (|M ω|)1/2 . El área, después de la emisión, cambia
de manera correspondiente.
Resto de los casos: M − ω < 0.
La mitad inferior de la tabla se obtienen, de la mitad superior, invirtiendo el signo de todas las
masas y frecuencias, y su interpretación requiere de la adopción de las siguientes convenciones. 1)
Un cambio de signo en la frecuencia de una partı́cula equivale a cambiar la dirección del tiempo
de la misma (viaje al futuro por viaje al pasado), 2) masas de signos iguales se atraen, masas de
signos opuestos se repelen.
Debemos enfatizar sin embargo, el punto de que, las ecuaciones de la relatividad general son
invariantes respecto a la inversión del tiempo. La teorı́a predice de manera natural también la
existencia de agujeros blancos de masa M > 0, que se comportan de manera opuesta a los hoyos
negros. Las partı́culas de masa positiva, para permanecer dentro del hoyo blanco, necesitan vencer
la barrera de la velocidad de la luz. De manera que toda la tabla anterior tiene una interpretación
dual en términos de agujeros blancos.
La teorı́a de la relatividad no parece tomar un posición per se en favor de una mayor abundancia
para agujeros negros que blancos al momento de la creación. Pero si asociamos el área como una
medida de la entropia, los agujeros blancos son termodinámicamente menos viables debido a una
inestabilidad intrı́nseca, de manera clásica, su área no crece, tiende a decrecer por la emisión de
masa desde el interior del agujero.
Ignoremos esta inviabilidad por un instante y consideremos desde un punto de vista formal, la
posibilidad de que el agujero negro absorba o emita un micro agujero blanco. Se puede ganar algo
de intuición sobre el resultado de esta colisión (o dispersión) si se considera la fı́sica asociada al
puente de Einstein-Rosen, que une a dos universos paralelos a través del sistema agujero negroblanco, vease la figura anexa. Desde el punto de vista clásico, diversos métodos analı́ticos (teorı́a de
perturbaciones, teoremas sobre censura de la topologı́a) señalan que tal configuración es inestable.
El puente se colpasa antes de que algo logre pasar al otro lado. La conclusión es que en relatividad
general cambios en la topologı́a del espacio no son buenos. Un punto de partida para algunas
teorı́as sobre gravedad cuántica es la posibilidad de que a un nivel más profundo, a la escala de
105
Planck, el cambio en la topologia del espacio sea viable. Lo que nos deja en una encrucijada sobre
cuál es el estado final de la colisión de un agujero negro y un agujero blanco sin tener una pista de
los detalles de dicha teorı́a.
Analicemos ahora desde el punto de vista pictórico como funciona el mapeo complejo definido
por A(z), donde z = ω + iM. Primero encontremos la imagen de la familia de semirectas M = αω
parametrizadas por su pendiente α. El resultado es otra familia de semirectas y = mx + b que se
intersectan en el origen. Notese que en los ejes y en las diagonales el mapeo no esta definido. Los
casos I, III, IV y VI mapean las semirrectas al segundo cuadrante, los casos II y V no tiene parte
real por lo que envian todos los puntos de estas regiones al eje Y. Ver figura 24 y 25.
Figura 24: Mapeo de rectas por la función A(z) : z → A(z).
Figura 25: Imagen de la fución compleja A(z) : z → A(z).
Se puede hacer un analisis del resultado de los mapeos observando las ecuaciones que representan
cada uno de los casos como lo presenta la siguiente tabla:
106
Casos
I
II
III
IV
V
VI
Ecuación de la recta
√
y = (−π α/4)x
√
y = (3π/8 α ± 1)x
√
y = (−3π/8 α ± 1)x
√
y = (π α/4)x
Valores de α
1<α<∞
0<α<1
0<α<1
1<α<∞
También se muestra el mapeo de una familia de cı́rculos concéntricos parametrizados por su radio:
M = Mo sin θ y ω = Mo cos θ. Nuevamente el mapeo no cubre en su totalidad el plano complejo, la
operación solo esta definida para valores del ángulo θ donde senθ y cosθ tienen el mismo signo. El
mapeo no es conforme puesto que no es una función analı́tica. Los puntos en los cuales sin θ = 0 y
cos θ = 0 se mapean al origen. Los casos I, III, IV y VI mapean arcos de circunferencia en curvas
que parten del origen y siempre se encuentran en el segundo cuadrante (ver figura ??).
Figura 26: Mapeo de cı́rculos concéntricos por la función A(z) : z → A(z).
Figura 27: Imagen de la función compleja A(z) : z → A(z).
La siguiente tabla corresponde a los mapeos para las circunferencias, en donde se grafica la familia
de curvas cambiando el parámetro M .
107
Casos
I
II
III
IV
V
VI
ecuación de la circunferencia
− 64π 3 M 2 x2 y + 256y 4 = 0
4
8
7
(4096 + 81π )x ∓ 16384x y ± 2304π 3 M 2 x7 − 2304π 3 M 2 x6 y
+24576x6 y 2 ∓ 16384x5 y 3 + 4096x4 y 4 = 0
(4096 − 81π 4 )x8 ∓ 16384x7 y ∓ 2304π 3 M 2 x7 + 2304π 3 M 2 x6 y
+24576x6 y 2 ∓ 16384x5 y 3 + 4096x4 y 4 = 0
4
4
3
2
π x − 64π M x2 y + 256y 4 = 0
π 4 x4
Valores de M
0.2,0.4,0.6,0.8 y 1 G/C 2
0.2,0.4,0.6,0.8 y 1 G/C 2
0.2,0.4,0.6,0.8 y 1 G/C 2
0.2,0.4,0.6,0.8 y 1 G/C 2
Figura 28: Gráfica de las ecuaciones de la tabla para el caso I y VI.
Los lı́mites para cada una de las regiones son: En los casos I y VI van desde (0, 0) hasta (−8, 2π)
y las curvas se sobreponen, en los casos II y V los mapeos son sobre el eje Y, en los casos III y IV
debido al signo más menos que presentan las ecuaciones se presentan dos parejas de lı́mites que son
16
desde (0, 0) hasta (− 16
3 , 11.61) utilizando el signo positivo y desde (0, 0) hasta (− 3 , 0.94) utilizando
el signo negativo, al igual que los casos I y VI las curvas se sobreponen. Se puede observar que los
puntos no coinciden, lo que nos dice que el mapeo no se puede extender de forma continua. Una
alternativa para extender el concepto de área a valores complejos que quizás supla las deficiencias
de la definición anterior (continuidad, diferenciabilidad, etc.) es a través del uso de un álgebra no
conmutativa (matrices), cuyo efecto es suplir la operación de extracción de raı́ces cuadradas, como
lo hiciera Paul Dirac cuando construyo su ecuación de movimiento para el electrón.
108
7
¿Puede derivarse la estructura de la mecánica cuántica de la relatividad general?
7.1
Introducción
“Cuando conocı́ a Pauli, esperando ir a Zurich, le comenté que estaba tratando de cuantizar el
campo gravitacional. Entonces Pauli se sentó por algunos segundos, viró y sacudió su cabeza
alternadamente (como aquellos que lo recuerdan deben saber), y replicó: Ese es un problema muy
importante, pero va a requerir alguien de realmente listo para resolverlo.” Ası́ relata Bryce Seligman
DeWitt (1924, 2004), pionero de las investigaciones sobre la cuantización de la gravedad, su primer
encuentro con el famoso fı́sico Wolfgang Ernst Pauli (1900,1958). Cita que sirve de advertencia
para aquel que intente trabajar sobre este problema no resuelto de la fı́sica contemporánea. De
Witt logro identificar de manera cuantitativa las dificultades para cuantizar la gravedad.
Para darnos valor y convencernos de que podemos hacer un poco de progreso sobre este importante
tema13 citemos a David Hilbert (1862, 1943), quien al cambio de siglo, en Paris, se dirigió a la
comunidad internacional de matemáticos para enfatizar la importancia de 23 problemas no resueltos
para el futuro de las matemáticas14 :
“Some remarks upon the difficulties which mathematical problems may offer, and the means of
surmounting them, may be in place here... Occasionally it happens that we seek the solution under
insufficient hypotheses or in an incorrect sense, and for this reason do not succeed... If we do not
succeed in solving a mathematical problem, the reason frequently consists in our failure to recognize
the more general standpoint from which the problem before us appears only as a single link in a
chain of related problems...”
“...In dealing with mathematical problems, specialization plays, as I believe, a still more important
part than generalization. Perhaps in most cases where we seek in vain the answer to a question, the
cause of the failure lies in the fact that problems simpler and easier than the one in hand have been
either not at all or incompletely solved. All depends, then, on finding out these easier problems, and
on solving them by means of devices as perfect as possible and of concepts capable of generalization.
This rule is one of the most important levers for overcoming mathematical difficulties and it seems
to me that it is used almost always, though perhaps unconsciously... a mathematical problem
should be difficult in order to entice us, yet not completely inaccessible, let it mock at our efforts.
It should be to us a guide post on the mazy paths to hidden truths.... We hear within us the
perpetual call: There is the problem. Seek its solution. You can find it by pure reason, for in
mathematics there is no ignorabimus...”
En relación al primer párrafo del discurso de Hilbert, argumentaremos que quizás se ha fallado
en la cuantización de la gravedad por que desde un punto de vista fundamental, el cuanto es un
concepto derivado de las interacciones gravitacionales. Esta visión es apoyada por una analogı́a
cualitativa, entre la cavidad de un horno a temperatura constante con la cavidad de un universo
pentadimensional, acotado por mundos brana, que se mantienen bajo la interacción constante de
una constante cosmológica negativa (sección 7.2). Esta analogı́a se puede reforzar cuantitativamente, cuando se comparan sus fórmulas de correspondencia, con las ecuaciones que se aplican en
la teorı́a de los agujeros negros (sección 6.3.2). Dentro de la estructura misma de la matemática de
13
Usando lo que hemos aprendido en los capı́tulos anteriores.
El orden de selección de los párrafos exhibidos en esta cita, es distinto al seguido por David Hilbert en su celebrada
conferecnia de 1900.
14
109
la relatividad general (o de cualquiera que sea la teorı́a correcta de la gravitación) reside el origen
del cuanto (sección 7.5).
En lo que respecta al resto del discurso, se toma el consejo de Hilbert. En la sección 7.6, se
presenta la cuantización de un agujero negro newtoniano, de la que se puede extraer información
que admite generalización natural, y que se espera sirva de poste guı́a entre los azarosos caminos
de verdad oculta.
7.2
El universo en expansión y la ecuación de Friedmann-Robertson-Walker
En esta sección se introducen los conceptos cinemáticos que se usan para estudiar la expansión
del universo, el significado fı́sico que encierra cada uno de ellos jugará un papel trascendental
en nuestra interpretación de varias ecuaciones que aparecen en nuestro camino hacia la correcta
cuantización de la gravedad. Empecemos con el matemático de origen ruso Alexander Friedmann,
quien resolvió las ecuaciones originales (Λ nula) de Einstein bajo la restricción de homogeneidad e
isotropı́a del espacio. A grandes escalas, del orden de los 108 años luz, el universo tetradimensional
en que vivimos parece tener dichas caracterı́sticas, salvo por el hecho de que Λ debe tener un valor
positivo muy pequeño.
Desde el punto de vista de las fuente del campo gravitatorio, la evolución y futuro del universo
depende en especial de un aparámetro conocido como densidad crı́tica del universo. a) Cuando la
densidad media de materia en el universo es menor o igual a la densidad crı́tica: En este caso, se
tiene un universo abierto, infinito, y cuya velocidad de expansión decrece monotónicamente.
b) Cuando la densidad media del universo es mayor a la densidad crı́tica: En este caso se tiene
un universo cerrado, finito y donde, de haber, expansión esta se detiene, e incluso es remplazado
por una etapa de contracción .
La densidad crı́tica es proporcional al cuadrado de la constante de Hubble H 2 . Actualmente se
considera este valor alrededor de 15 kilómetros por segundo por millones de años luz, de lo que se
deriva un valor para la densidad crı́tica del orden de 5 × 10−30 gramos por centı́metro cúbico, ver
Weinberg (2000). Veamos como se derivan estos hechos.
Para asegurar la homogeneidad e isotropı́a del espacio, considérese una superficie esférica de radio
a inmersa en un espacio euclideano de cuatro dimensiones. Se tiene entonces que
(217)
ds2 = dx2 + dz 2 ,
z 2 + x2 = a2 .
Análogamente, podrı́a considerarse una superficie hiperesférica en un espacio pseudo-Euclidiano,
en donde el elemento de lı́nea esta dado por
(218)
ds2 = dx2 − dz 2 ,
z 2 − x2 = a2 ,
y a2 una constante positiva arbitraria. Reescalando coordenadas
(219)
x0 ≡ ax,
z 0 ≡ az,
110
se tiene que
(220)
ds2 = a2 [dx2 ± dz 2 ],
z 2 ± x2 = 1.
Puesto que el diferencial de la ecuación z 2 ±x2 = 1 esta dado por zdz = ∓x·dx, la métrica inducida
sobre la esfera (hiperesfera) se reduce a
(221)
ds2 = a2 [dx2 ±
(x · dx)2
].
1 ∓ x2
Es conveniente introducir una constante K para incluir también el caso de un espacio plano. Obtenemos ası́ la métrica asociada a un espacio homogéneo e isotrópico
(x · dx)2
],
1 − Kx2
(222)
ds2 = a2 [dx2 + K
(223)

esférico
 +1
−1 hiperesférico
K=

0
Euclidiano
que se puede usar para completar la métrica que el espacio-tiempo de nuestro universo parece tener
a grandes escalas.
(224)
dτ 2 ≡ −gµν (x)dxµ dxν = dt2 − a2 (t)[dx2 + K
(x · dx)2
].
1 − Kx2
donde a es una función que depende sólo del tiempo y que sigue ecuaciones de movimiento impuestas
por las ecuaciones de campo de Einstein. La función a se le denomina factor de escala de RobertsonWalker.
Vemos que las componentes de la métrica de Friedmann-Robertson-Walker son:
(225)
gij = a2 (t)(δij + K
xi xj
),
1 − Kx2
gi0 = 0,
g00 = −1,
donde i y j toman los valores 1,2 y 3, y se usa x0 paradenotar la coordenada temporal. Si se pone
la veolcidad de la luz igual y se realiza el siguiente cambio de coordenadas
(226)
dx2 = dr2 + r2 dΩ,
dΩ ≡ dθ2 + sen2 θdφ2 .
se obtiene
(227)
dτ 2 = dt2 − a2 (t)[
dr2
+ r2 dΩ].
1 − Kr2
111
De manera que las nuevas componentes de la métrica son:
(228)
x0 = ct,
(229)
g00 = 1,
(230)
g 00 = 1,
(231)
(−g)1/2 =
x1 = r,
g11 = −
x2 = θ,
a2
,
1 − Kr2
g 11 = −
x3 = φ,
g22 = −a2 r2 ,
1
1 − Kr2 22
,g = − 2 2,
2
a
a r
g33 = −a2 r2 sen2 θ,
g 33 = −
1
a2 r2 sen2 θ
,
a2 r2 senθ
.
(1 − Kr2 )1/2
Para obtener el tensor de Einstein, se calculan los sı́mbolos de Christoffel Γikl = ....................:
1 ȧ
.
ca
(232)
Γ101 = Γ202 = Γ303 =
(233)
Γ011 =
aȧ
,
c(1 − Kr2 )
(234)
Γ111 =
Kr
,
1 − Kr2
(235)
Γ122 = −r(1 − Kr2 ),
(236)
Γ233 = −θ cos θ,
Γ022 =
aȧr2
,
c
Γ033 =
aȧr2 sen2 θ
.
c
1
Γ212 = Γ313 = ,
r
Γ133 = −r(1 − Kr2 )sen2 θ,
Γ323 = cotθ.
Una vez que se tienen las componentes de Γ podemos calcular el tensor de Ricci Rij ,
(237)
Rij =
1/2
∂ 2 ln(−g)1/2 ∂Γlik
m n
l ∂ ln(−g)
−
+
Γ
Γ
−
Γ
.
in km
ik
∂xi ∂xk
∂xl
∂xl
Después de elaborar todos los cálculos se encuentra que las únicas componentes diferentes de cero
son:
3 ä
,
c2 a
(238)
R00 =
(239)
R11 = R22 = R33 =
1 ä 2ȧ2 + 2Kc2
( +
).
c2 a
a2
112
El escalar de curvatura es entonces
(240)
R=
6 ä ȧ2 + Kc2
( +
).
c2 a
a2
Nos encontramos ahora en posición de calcular el tensor de Einstein:
(241)
1 2ä ȧ2 + Kc2
1
) = G22 = G33 ,
G11 ≡ R11 − R = − 2 ( +
2
c a
a2
(242)
1
3 ȧ2 + Kc2
G00 ≡ R00 − R = − 2 (
).
2
c
a2
Por nuestras restricciones sobre la geometrı́a, el tensor de energı́a-momento no puede adoptar
cualquier forma. Las ecuaciones de campo Einstein se reducen como sigue
(243)
8πG
8πG
8πG
ä ȧ2 + Kc2
= 2 T11 = 2 T22 = 2 T33 ,
2 +
2
a
a
c
c
c
Para la parte espacial, y
(244)
ȧ2 + Kc2
8πG 0
=
T
2
a
3c2 0
para la parte temporal.
Un problema crucial en cosmologı́a es estudiar el movimento de las galaxias y otros objetos astrofı́sicos para deducir la velocidad de expansión del universo y determinar su futuro. “El programa
de Hubble” consiste en analizar el corrimiento hacia el rojo que exhiben la luz que nos llega de
la mayorı́a de las galaxias y otros objetos contra la supuesta distancia a la que se encuentran de
nosotros. Los resultados indican que el universo actual se encuentra en un estado de expansión acelerada. De acuerdo a las últimas dos ecuaciones esto sólo es permisible bajo la premisa de que existe
energı́a oscura (la que tiene un efecto de repulsión gravitatorio) como la constante cosmológica.
113
Figura 29: Una cavidad con radiación de cuerpo negro en su interior o AdS compactificado: En AdS un rayo
luminoso tarda un tiempo finito en recorrer la distancia infinita entre dos puntos diametralmente opuestos de su
frontera.
114
7.3
Mundos brana y la ecuación de Friedmann-Robertson-Walker
En la sección anterior, 7.2, se introdujo el concepto de factor de escala de Friedmann-RobertsonWalker, a, una función variable en el tiempo y directamente relacionada con el radio de curvatura
promedio del universo. Los cosmólogos le utilizan para describir el alejamiento las galaxias entre
si y la expansión del universo. Queremos establecer ahora la generalización de este concepto en el
marco de los mundos brana (sección 5.4). El análisis es similar al descrito en la sección anterior.
Imaginemos un par de mundos brana (mundos paralelos) que se mueven en una quinta dimensión.
Supongamos que el espacio tiempo pentadimensional tiene un métrica similar a la propuesta por
Randall y Sundrum (sección 3.3),
(245)
ds25 = l2 (a2 gµν dxµ dxν + b2 dy 2 ).
aquı́ a y b son un par de factores escalares similares al usado por Friedmann en 1924, que dependen
de todas las coordenadas, en particular de la coordenada y para la quinta dimensión. ` es una
constante, que determina la escala fundamental de la teorı́a. Los ı́ndices µ y ν toman los valores
1, 2, . . . , 4. El modelo de Randall y Sundrum es un caso particular.
El vector normal unitario n̂ al mundo brana Σ esta dado por
(246)
n̂ = −l−1 γ(b−1 ∂y − ω −2 bu;µ ∂µ ),
donde y = u(xµ ) es la ecuación de la brana parametrizada por cuatro coordenadas espaciotemporales (x, y, z, ct), y γ es un factor de normalización
(247)
γ(xµ ) = (1 + b2 ω −2 u;µ u;µ )−1/2 .
y ω = a(xµ , u(xµ )). Por lo tanto, siguiendo los lineamientos del capı́tulo 3, se obtiene para la
métrica inducida hµν ,
(248)
ds2n = hµν dxµ dxν ≡ l2 (ω 2 gµν + b2 u;µ u;ν )dxµ dxν .
Nótese que la matriz hµν tiene como determinante
(249)
h1/2 = ln γ −1 ω n g 1/2 ,
mientras que su inversa esta dada por
(250)
hµν = l−2 (ω −2 g µν − b2 γ 2 ω −4 u;µ u;ν ).
R
Es conveniente ahora, para el cálculo de la traza de la curvatura extrı́nseca, ∂M K, usar su
definición variacional como derivada funcional de un elemento de área de ∂M cuando los puntos de
115
∂M se mueven equidistantemente a lo largo del vector normal unitario n̂. Cuando las ecuaciones
de la hipersuperficie se encuentra dadas en forma paramétrica Σ = {X a ⊂ M|X a = (xµ , u(xµ ))} se
obtiene que
(251)
a
Kβα = hαλ (X,λβ
+
(5) a
b
c
Γbc X,λ
X,β
)na .
Notar que esta expresión es puede obtener también escribiendo Kαβ en coordenadas gaussianas y
usar la regla de transformación de una conexión. El cálculo de los sı́mbolos de Christofel conduce
a
(253)
(5) y
Γyy
(5) y
Γµy
(254)
(5) y
Γµν
(255)
(5) λ
Γyy
(256)
(5) λ
Γyν
(257)
(n+1) λ
Γµν
(252)
= (ln b),y
= (ln b),µ
1
= − b−2 (a2 gµν ),y
2
= −a−2 (ln b),λ
1
= (ln a),y δνλ + g λσ gσν,y
2
(4) λ
=
Γµν + (ln a),µ δνλ + (ln a),ν δµλ − (ln a),λ gµν
De donde resulta que Kh1/2 se reduce a
(258)
1
Kh1/2 = l3 a4 |g|1/2 { (b−1 gµν,y + 6b−1 a−2 (ln a),y gµν )b2 u;µ u;ν )
2
1
−a−2 b;µ uµ + (ln |g|),y +4b−1 (ln a),y −a−2 (ω 2 %u;µ ).µ } + O(|u,µ |3 ),
2b
La importancia de esta fórmula radica en que el lado izquierdo es una parte fundamental de la
acción de Einstein-Hilbert-Hawking-York
(259)
Z
−δS = δ(
Σv
Z
λv +
λh ) +
Σh
Z (5)
Z
Z
c4
δ(
R+
2K − 2Λ
) = 0,
16πG5
M
∂M
M
de la cual es posible obtener las ecuaciones de movimiento del campo gravitacional. Aquı́ λm y λn
son las tensiones de las membranas Σm y Σn respectivamente, y representan la energı́a del vacı́o de
cada mundo brana. Λ es la constante cosmológica del “bulk.”
El paso siguiente es crucial. Tómase dos mundos brana como fronteras de un espacio-tiempo
confinado por los mismos, y considérese a la acción de Einstein-Hilbert como un funcional de las
funciones paramétricas um (xµ ) y un (x), que describen las posiciones del los mundos brana sobre
la quinta dimensión. Supóngase también que la geometrı́a inducida sobre los mundos brana es una
de simetrı́a máxima15 . El espacio-tiempo pentadimensional se considera fijo. Lo único que se deja
15
AdS5 es un espacio-tiempo de simetrı́a máxima de curvatura negativa, de ahı́ que localmente puede foliarse por
hypersuperficies de curvatiura constante. Si su elemento de linea se escribe como ds2 = dy 2 + sinh2 yd$2 , donde
d$2 = −dt2 +(dx2 +f (x)2 (dθ2 +sin2 θdφ2 )), entonces f (x) se reduce a sin x, x o sinh x según el sistema de coordenado
adoptado, que en general no no funcionan globalmente
116
variar son las posiciones de dos mundos brana sobre la quinta dimensión. En otras palabras, si al
espacio-tiempo se le ancla una o dos fronteras ¿Cuál es el movimiento natural de dichas fronteras?
¿Las fronteras se alejan o se acercan?, ¿Su radio de curvatura intrı́nseco crece o disminuye? Es
útil remarcar que los hoyos negros proporcionan para el observador exterior al agujero, fronteras
naturales para el espacio-tiempo. Seguro que debe existir un conección entre estos dos problemas.
Bajo las suposiciones anterior existen dos visualizaciones alternativas. Tenemos un sistema de
branas que barren un espacio-tiempo pentadiemensional fijo, donde las branas ajustan su geometrı́a
de manera correspondientemente, o las membranas son las fronteras de un espacio-tiempo confinado,
que fluctua y cambia la curvatiura de las mismas.
Una pregunta natural es, cual es la densidad Lagragiana L que gobierna el movimiento natural
de la frontera del espacio-tiempo. Bajo las condiciones descritas en el marco de los mundos brana,
la acción de Einstein-Hilbert nos da la siguiente respuesta esquemática16 ,
(260)
L = Lm + Ln · · ·
donde Lm y Ln son densidades Lagrangianas tetradimensionales que contienen los términos de la
energı́a cinética de la membranas Σm y Σn respectivamente, los puntos suspensivos significan que
se ignoran términos superiores al orden cuadrático. Esto es, asumimos que la frontera del espaciotiempo se modifica lentamente, como se hace en termodinámica cuando se consideran procesos
reversibles. Analizaremos dos casos, cuando la frontera es plana y cuando la frontera es curva,
en uno se tiene Minkwoski como frontera, en el otro el espacio-tiempo de De-Sitter. Ambos son
fı́sicamnete relevantes para la cosmologı́a y la teorı́a de agujeros negros.
Si se usa el punto de vista de que es el espacio-tiempo confinado el que fluctúa, es natural imponer
como variable, la distancia relativa entre los mundos brana sobre la quinta dimensión. Esta variable
la denotaremos con σ. Vemos ahora la necesidad de incluir una nueva variable, digamos ā, que debe
estar asociada con la otra cosa que fluctúa en el sistema: La geometrı́a relativa. ā deberá jugar
un papel análogo al del factor de escala de Friedmann-Robertson-Walker, puesto que la geometrı́a
sobre los mundos brana es impuesta a ser de simetrı́a máxima. Para que la nueva variable quede
completamente determinada se impone la siguiente condición:
(261)
L = Lm + Ln = Lσ + Lā + · · · .
A saber, que hasta términos de orden cuadrático, la suma de la energı́a cinética de los mundos brana
Σm y Σn sea idéntica a la suma de la energı́a cinética de σ y ā. Esto implica asumir que para que
se de el balance de energı́as no es necesario que figure una energı́a de interacción entre las variables
σ y ā. Por otra parte, λm y λn se les puede interpretar como multiplicadores de Lagrange cuyos
valores pueden ser determinados. Todas estas restricciones nos llevan a las siguientes definiciones:
(262)
σ = ym − yn ,
16
Suponiendo que el movimiento se da en AdS5 (sección 5.3), usando el hecho de que la curvatura del espacio tiempo
de AdS5 es constante, integrando sobre la quinta dimensión y conservando sólo términos de segundo orden en |u,µ |,
y en las fluctuaciones δum y δun .
117
referido como radión y
(263)
ā2 = (a2m − a2n )/2
referido como factor de escala relativa de Friedmann-Robertson-Walker.
La energı́a cinética total Lm + Ln para el caso de mundos brana planos es proporcional a
(264)
(1/2)(η µν ā;µ ā;ν −
e2(σ−σo )
ā2 η µν σ;µ σ;ν ),
2(σ−σ
)
2
o
(e
− 1)
donde ηµν es la métrica de Minkowski. Si el par de mundos brana son curvos, con geometrı́a de
de-Sitter gµν , la energı́a cinética total Lm + Ln es proporcional a
(265)
(ā4 + 22 sinh2 σ)−1/2 (ā2 g µν ā;µ ā;ν −
ā4 − 24 sinh4 σ µν
g σ;µ σ;ν )
22 sinh2 σ
4 (2)
`
En ambos casos el factor de proporcionalidad esta dado por 3c
16πG5 . Aquı́ hemos usado ` para denotar
el radio AdS, la escala fundamental de la teorı́a. Es instructivo aplicar comparativamente el análisis
intuitivo del apéndice III a las ecuaciones (264) y (265) para decifrar parte de su significado fı́sico.
Aplicando las ecuaciones de Euler Lagrange a (264) se puede derivar las ecuaciones de movimiento.
(266)
sea n2 =
1
e2σ
L = (ȧ2 − 2σ
a2 σ̇ 2 ),
2
(e − 1)2
eσ
e2σ −1
(267)
1
L = (ȧ2 − n2 a2 σ̇ 2 ),
2
(268)
ä + an2 σ̇ 2 = 0,
(269)
(n2 a2 σ̇)0 = a2 σ̇ 2 (nn,σ ).
Las ecuaciones correspondientes al caso plano son
(270)
ä + (n2 σ̇ 2 )a = 0
y
(271)
ȧ2 − Kc2
= n2 σ̇ 2 ,
a2
118
σ
donde n = e2σe −1 . La primera se puede interpretar como la ecuación de un oscilador armónico de
frecuencia ωa = nσ̇. Notar que la densidad lagrangiana total es invariante ante translaciones en
el tiempo, implicando la conservación de la energı́a total, denotada aquı́ como Kc2 . La última
ecuación es muy parecida la ecuación de Friedmann sino fuese por el hecho de que la densidad
de energı́a (que proviene de las oscilaciones del radión) aparecen en forma no lineal, como era de
esperarse por la forma como se derivó la fórmula. Tal ecuación se le puede considerar como una
generalización de la ecuación de Friedmann-Robertson-Walker en el contexto de mundos brana,
que es a lo que se querı́a lograr. De ambas ecuaciones se lee la inestabilidad de la frontera, usando
una de sus soluciones: el espacio-tiempo confinado o se expande ((a/a∗ )2 = tanh σ)o se contrae
((a/a∗ )2 = tanh(−1) σ).
Las ecuaciones (270) y (271) nos conduce a la ecuación diferencial
(272)
ȧ2 + aä = Kc2 ,
para resolver la ecuación diferencial se hace el cambio de variable
(273)
ȧ = p
y
(274)
ä = p
dp
= pp0 ,
da
para obtener la ecuación cuadrática
(275)
p2 + app0 = Kc2 ,
esta también se puede expresar en la forma
(276)
p2 + a(
p2 0
) = Kc2 ,
2
simplificando obtenemos la ecuación
(277)
2p2 + a(p2 )0 = Kc2 ,
luego utilizamos el cambio de variable p2 = y para simplificar la ecuacion diferencial a la forma
(278)
2y + ay 0 = 2Kc2 ,
119
si consideramos K = 0 se obtiene la solución homogenea
(279)
y=
a20
.
a2
Para obtener la solución particular se tiene que
(280)
ȳ =
Kc2
a2
Z
a
sds,
aa
cuya solución es
(281)
ȳ =
Kc2
a2
(1 − 02 ),
2
a
por lo que la solución general de la ecuación diferencial para y es
(282)
y=
a20
a20 Kc2
+
(1
−
);
a2
2
a2
como p2 = y se llega a la ecuación
r
(283)
p=±
a20 Kc2
a2
+
(1 − 02 ),
2
a
2
a
para encontrar la solución en términos de a y σ recordemos que ȧ = P , por lo que se llega a la
relación
(284)
r
da
a20 Kc2
a20
=±
+
(1
−
).
dσ
a2
2
a2
Al resolver la ultima ecuación diferencial se recupera la solución general de la ecuación diferencial
(285)
K 2 c4 2 Kc2 2
Kc2
σ −
a = a20 (1 −
),
4
2
2
que se puede expresar tambien como
(286)
σ2
a2
−
= 1.
2a0 (2 − Kc2 )/K 2 c4 a20 (2 − Kc2 )/Kc2
120
7.4
7.4.1
El origen gravitatorio del cuanto
Emisión estimulada?
En la mecánica estadistica se define el equilibrio térmico de la siguiente forma (Feynman, 1972):
“Si un sistema es muy débilmente acoplado a un baño de calor con una temperatura determinada,
si el acoplamiento es indefinido o no se conoce con precisión, si el acoplamiento ha sido durante
mucho tiempo, y si todas las cosas rapidas han sucedido y todas las cosas lentas no, el sistema se
dice que está en equilibrio térmico. Por ejemplo, un gas encerrado sometido a un baño de calor
podrı́a socavar su recinto, pero esta erosión es un proceso relativamente lento, y en algún momento
antes de que el recinto se erosione sensiblemente, el gas estará en equilibrio térmico.”
Por tanto, la evolución del gas se puede analizar a través de las leyes de la termodinámica y los
conceptos de transformaciones reversibles e irreversibles. Para fines de nuestra investigación resulta
instructivo remarcar la siguiente analogı́a, que utiliza conceptos de la relatividad general, y donde el
recinto dentro del cuál el gas (gravitones) está confinado tiene mundos brana como paredes (sujetas
a la influencia de una constante cosmológica que juega el papel de tempertura).
Si un sistema de branas es muy débilmente acoplado a un baño de ondas gravitacionales bajo
influencia de una constante cosmlógica fija, si el acoplamiento es indefinido si no se conoce con
precisión, si el acoplamiento ha sido durante mucho tiempo, y si todas las cosas rápidas han sucedido
y todas las cosas lentas no, el sistema se dice que está en equilibrio cuasiestático. Y desde el punto
de vista mecánico, la evolución del mismo se puede analizar en términos del concepto de movimentos
virtuales de Lagrange.
Por otro lado la ecuación
(287)
nP =
1
,
−1
e~ω
que tiene un origen estadı́stico, es interpretada como la densidad de partı́culas de frecuencia ω
asociadas a la radiación de cuerpo negro en equilibrio término a una temperatura T . En la sección
7.3 sobre mundos brana se obtiene una ecuación análoga
(288)
nP ∗ =
eσ
.
e2σ − 1
Nuestras consideraciones anteriorres y la similitud que existe entre este par de ecuaciones invita ha
realizar un analisis de la segunda ecuación bajo la interpretación de que representa el número de
partı́culas de la radiación de Planck, pero con un factor de corrección.
Para obtener una imagen pictórica de las similitudes y diferencias, acontinuación se presentan las
gráficas correspondientes a la intensidad de la radiación asociadas a nP y nP ∗ respectivamente.
121
Figura 30: Gráfica de la radiación de cuerpo negro de Planck.
Figura 31: Gráfica de la radiación de cuerpo negro con corrección.
122
Como se puede observar ambos gráficos respetan la ley de Wien, sin embargo poseen diferencias
esenciales que vamos a exponer a continuación.
Sea n = f (eσ ), sustituyendo en la ecuación 288 y desarrollamos en series de Taylor, se obtiene la
ecuación trascendente
(289)
ne2σ − eσ − n = 0.
El cambio de variable x = eσ da la ecuación cuadrática
(290)
nx2 − x − n = 0,
que tiene como soluciones
(291)
x=
1±
p
1 + (2n)2
.
2n
de donde
(292)
e−σ =
2n
p
.
1 ± 1 + (2n)2
De las dos raices se toma la de signo positivo puesto que si n → 0 entonces n = e−σ , (ley de Wien).
Notar que
(293)
lim nP ∗ = nP /2,
nP ∗ →∞
Para investigar lo que sucede cuando el número de partı́culas es bajo, desarrollamos el radical en
potencias de n de manera que
(294)
2n
2n
p
≈
,
2
2
2 + 2n − 2n4 + ...
1 + (2n) + 1
que es consistente solo para frecuencias altas (σ = 2ω), el régimen de la catástrofe ultravioleta de
la fı́sica clásica. Puesto que
(295)
lim e−σ =
n→o
n
1 + n2
y
(296)
lim e−σ =
n→∞
2n
,
1 + 2n
123
el argumento de los coeficientes A y B de Einstein de la sección 6.2 permite deducir lo siguiente:
Las partı́culas asociadas a la distribución nP ∗ obedecen una nueva estadı́stica, compatible con una
emisión estimulada de radiación que depende de manera no lineal con la radiación presente. La
emisión estimulada no es proporcional a nP ∗ sino a su cuadrado n2P ∗ . Correcciones cuadráticas
de este tipo ocurren en otros ámbitos donde se usa la teorı́a de probabilidades. Por ejemplo, en
modelos de crecimiento poblacional, donde el número de encuentros entre elementos de la población
es un factor importante. Sin embargo, uno también debe poner toda su concentración cuando algo
como tomar raices o elevar al cuadrado |Ψ|2 ocurre en situaciones donde la función de onda Ψ
esta presente, especialmente cuando se está buscando sobre los origenes del cuanto. ¿Como ocurre
la transición entre el mundo microscópico e indeterminista de la mecánica cuántica al mundo
macroscópico de la fı́sica clásica? ¿Que hay del gato de Schrödinger?
7.4.2
Redshift y el color de un mini-agujero negro?
El efecto de una constante cosmológica positiva Λ es acelerar la expansión del universo: alejando
cada galaxia del resto, por lo tanto, para cada observador existe un horizonte que lo rodea (horizonte
cosmológico) con propiedades análogas al horizonte de un agujero negro: En particular, exterior al
horizonte existe toda una región del espacio-tiempo que no esta completamente determinada por
lo que sucede en la región confinada por el horizonte cosmológico. Además, los rayos de luz que
parten de la vecindad del mismo hacia la zona interior sufren un corrimiento gravitacional hacia
el rojo. La analogı́a es remarcable. Al igual que un agujero negro,
el horizonte cosmológico tiene
p
una temperatura asociada, de manera que κT corresponde a 3/Λ en el caso del espacio-tiempo
de De-Sitter.
Procedamos
formalmente usando la correspondencia: σ = 2ω,
p
κT = 3/Λ,
a =radio de curvatura.
La fı́sica del fenómeno de la radiación Hawking puede visualizarse desde el punto de vista de la formulación euclidiana de la cuantización de la gravedad (Hawking et al., 1993), donde la información
fı́sica es extraı́da de las ecuaciones de la teorı́a a través de la continuación analı́tica del espaciotiempo a métricas riemannianas. Ası́,pel espacio-tiempo de De-Sitter se continua analı́ticamente a
una esfera S de curvatura constante 3/Λ, (instanton de Hartle-Hawking) y el espacio-tiempo de
Minkowski al espacio euclidiano, ver figura (32).
Sea M la masa original de un agujero esférico y M − ω su masa después de la emisión de una
s-partı́cula de masa (en reposo) cero y de frecuencia ω. Imaginemos que la s-partı́cula proviene del
interior del agujero. Para ello la partı́cula debe moverse atrás en el tiempo (a una velocidad mayor
que la de la luz) en plena violación de la fı́sica clásica pero no de la fı́sica cuántica. El trayecto
“ilegal” inicia cuando su momento lineal es cero, continua con un momento lineal imaginario, y
termina con el escape de la s-partı́cula del agujero con un momento lineal igual a ~ω/c, ver figura
(33). Una partı́cula viajando al pasado equivale a su antipartı́cula viajando al futuro. De acuerdo
con P.A.M. Dirac (Dirac, 1925), las ecuaciones de movimiento de una partı́cula son equivalentes a
las que gobiernan el movimiento de un hueco en un océano de energı́a negativa.
Otra posible interpretación del fenómeno es imaginar la creación de un par virtual s-partı́culaantipartı́cula en la vecindad del agujero, donde la s-antipartı́cula (de masa negativa) es absorbida
124
Figura 32: Mundos brana y su euclidenización.
por el agujero mientras que la s-partı́cula (de masa positiva) escapa del agujero con momento lineal
~ω/c. En cualquier caso, el radio de Schwarzschild Rs (M ) = 2M/c2 asocia al trayecto una noción
de distancia bajo la correspondencia: ∆σ = 2∆M/c2 = 2~ω/c4 , o
σ = 2ω,
en unidades donde ~ = c = 1. En esta obra explotaremos dicha correspondencia para postular
correcciones de origen gravito-cuántico al proceso de evaporación de un agujero negro. El principio
guı́a de estas correcciones es la creencia de que:
“La fı́sica de la mecánica cuántica está estrechamente ligada con la estructura matemática de la
relatividad general.”
Recordemos que la teorı́a de Kaluza-Klein permite recobrar la leyes de la electrodinámica de
Maxwell (ası́ como la ecuación de un campo escalar), a partir de imponer las leyes de la gravitación
a un espacio-tiempo con una quinta dimensión compacta, de radio pequeño. Las correcciones a la
fı́sica tetradimensional son pequeñas si dicho radio es pequeño. Se intuye entonces que quizás el
análisis de distintas topologı́as atadas a la estructura de hipotéticas dimensiones espaciales, adicionales a las tres que observamos en la vida diaria, podrı́an ser claves para entender otros aspectos
de la radiación electromagnética. En el capı́tulo 5 descubrimos que un modelo pentadimensional del
universo, del tipo introducido por Randall y Sundrum (donde existe un océano de energı́a negativa),
conduce a una ecuación de movimiento idéntica a la ecuación de Friedmann, donde si los mundos
125
Figura 33: Tunelaje de una s-partı́cula y la variación de la localización de la frontera del agujero. En unidades
donde ~ = c = 1, el proceso define la distancia caracterı́stica σ = 2ω.
brana tienen geometrı́a plana, el factor de escalamiento relativo de Friedmann-Robertson-Walker
a y el número de partı́culas n estan formalmente correspondidos bajo las relaciones:
nP ∗ →
e~w/kT
e~2w/kT − 1
2a2 → a2m − a2n
Aquı́ σ es la distancia entre dos mundos brana a lo largo de la quinta dimensión. Nuestra filosofı́a,
sin embargo, es tratar de encontrar interpretaciones cuadridimensionales de estos parámetros. En
particular, notamos la similitud de nP ∗ con la nP de la fórmula
p de Planck. Para ello es necesario
asociar σ con una frecuencia ω y Λ con una temperatura 3/Λ. Si uno supone que por efectos
gravito-cuánticos, no solo fluctúa la posición de la frontera del agujero, sino también la geometrı́a
de la superficie. Uno espera correcciones a la formula de la radiación Hawking. Si esta variación
de la geometrı́a esta medida por un especie de factor escalar relativo arel que compara la frontera
final del agujero con la inicial después de alguna transición natural, cuando arel es estacioanrio,
la expresión de nP ∗ para fronteras curvas, sugiere la existencia de un proceso de enfriamiento de
origen gravito-cuántico. Todas estas consideraciones nos llevan a postular la siguiente fórmula
para la evaporación de un mini agujero negro, cuya interpretación se deriva de incluir correcciones
asociadas con una teorı́a sobre de gravedad cuántica:
nP → nP − a2 (1/nP ),
2a2 → a2m − a2n ,
donde am = 2M y ah = 2(M − ω). La frontera Σn transita a Σm , el cambio en la curvatura medido
por el factor de escala relativo a (en analogı́a a los mundos brana que tienen la geometrı́a del
universo de De-Sitter). La explicación es la siguiente:
126
Si los mundos brana no son planos el tipo de relación que se obtiene es la siguiente:
(297)
n2P ∗ (σ, a) =
ā4 − 24 sinh4 σ
1
.
(ā4 + 22 sinh2 σ)1/2 22 sinh2 σ
Como en el caso plano la ecuación puede considerarse análoga a la de Planck pero con un factor
de corrección que depende de la constante a. Queremos investigar que nuevos efectos se obtienen
de incluir una corrección de este tipo al proceso de evaporación. Cambiando de variables
(298)
y=
ā
,
2 sinh σ
la ecuación (297) se reduce a
(299)
n2P ∗ (σ, a)
=y
1
)
y4
,
1
)1/2
a2 y 2
(1 −
2
(1 +
Sea también x = y1 , reeescribiendo se obtiene
(300)
n2P ∗ (σ, a) = y 2
(1 − x4 )
(1 +
x2 1/2
)
a2
,
Podemos esperar recobrar los resultados de la geometrı́a plana cuando y 1 o equivalentemente
1 x. Desarrollando en series se obtiene
(301)
1 x
nP ∗ (σ, a) = y(1 − ( )2 + · · ·)
4 a
si 1 x. Incluyendo solo las correcciones de primer orden se tiene que
(302)
δnP ∗ (σ, a) = −(
1 21
) .
2a y
Se quiere determinar ahora la longitud de onda para la cual se tiene la mayor intensidad de
radiación en la fórmula de Planck, en términos de λ
(303)
ρ=
c2 h
1
· ch/kλT
.
5
λ
e
−1
donde
(304)
|dw| =
c · |dλ|
λ2
127
Para simplificar la notación se utiliza
β=
ch
.
kλm T
Luego, la ecuación toma la forma
(305)
ρ=
β5
,
eβ − 1
Su diferenciación implica que
(306)
ρ0 =
β 4 (5eβ − βeβ − 5)
.
(eβ − 1)2
Igualando a cero la derivada es evidente que existe un valor crı́tico en β = 0. Del análisis de la
pendiente se determina que este punto es un mı́nimo local. Existe otro punto crı́tico que satisface
la ecuación trascendente
(307)
e−β +
β
− 1 = 0,
5
que tiene raı́z en β = 4.9651. Un análisis del signo de la derivada determina que es un máximo
local. La ecuación de Planck con correcciones tipo-a es
(308)
ρ=
β5
β6
−
.
eβ − 1 a4
La derivada con respecto a beta esta dada por
(309)
ρ0 =
β 4 (5a4 eβ − a4 βeβ − 5a4 − 6β(eβ − 1)2 )
a4 (eβ − 1)2
Nuevamente se puede advertir que existe un punto crı́tico para β = 0, que es un mı́nimo local.
También existe un máximo local que depende del valor de a y que satisface la ecuación trascendente
(310)
−5a4 eβ (e−β +
β
− 1) − 6β(eβ − 1)2 = 0.
5
El valor crı́tico de β esta restringido por el valor de a de acuerdo con la fórmula
s
(311)
a=±4
6β(eβ − 1)2
5(eβ − β5 eβ − 1)
,
Es claro ver que cuando a → ∞ el valor de βmax tiene como lı́mite βo = 4.9651, que es precisamente
el valor crı́tico para la fórmula de radiación de Planck. Ver el siguiente gráfico: Para valores grandes
128
Figura 34: Relación entre el factor de corrección a y los valores de β.
de a, cuando el cambio en la geometrı́a relativa empieza a ser notorio, se puede obtener una medida
de la correción del estudio del polo de la ecuación (311). Para ello se despeja δβ = βmax − βo .
Desarrollando en series de Taylor
(312)
1
f (βo + δβ) = f (βo ) + f (βo ),β δβ + f (βo ),ββ δβ 2 + ...,
2
el denominador del radicando de (311) y tomando solo la primera corrección se tiene que
(313)
f (βo + δβ) = eβo (4 − βo )(β − βo ),
lo que implica que
s
(314)
a=±4
6βo (eβo − 1)2
.
− βo )(β − βo )
eβo (4
Evaluando alrededor de βo = 4.9651 y simplificando la expresión se tiene que
(315)
a=
8.12709
,
(βo − βmax )1/4
despejando δβ
(316)
−δβ = (
8.12709 4
) ,
a
de donde
(317)
−
δβ
1 8.12709 4
= (
) .
βo
βo
a
129
El objetivo de esta sección es el llegar a una relación de corrección sobre el color de un miniagujero
negro. En términos de λ,
(318)
−
δ1/λ
1 8.12709 4
= (
) ,
1/λ
βo
a
simplificando
(319)
a2
δλ
1
= (
)−2 ,
λ
βo 59.19354
que se puede escribir como
(320)
Am − An −2
δλ
=(
) ,
λ
59.19354
(321)
δλ
δA
,
|H = α( )−2
λ
A QG
donde α ' 3503.87530.
La ecuación anterior pronostica la existencia de un corrimiento hacia el rojo de la frecuencia de
la radiación, la de mayor intensidad, que como cuerpo caliente, emite un mini agujero negro. La
diferencia de valores entre Am y An , que tienen unidades de área, dan como resultado un cambia de
color en el mini agujero, el cual parecerı́a estarse enfriando por efectos de origen gravito-cuánticos
que afectan su estructura interna. Notar que hemos obtenido una ley de inverso al cuadrado.
Comparesele con la ecuación de redshift ν = ν0ν−ν
= − cΦ2 , del artı́culo de 1911 de Einstein, la cuál
0
determina un corrimiento al rojo en función del potencial gravitacional Φ, que se sabe obedece una
ley de inversa al cuadrado.
7.5
Cuantización del campo gravitacional de Newton?
La estrella negra considerada por el marqués Pierre Simon de Laplace en la primera edición de su
tratado: “Exposition du système du monde”, e independientemente por el reverendo John Michael,
proporciona un escenario ideal para analizar la cuantización de un agujero negro. El siguiente
análisis se basa en la mecánica cuántica no relativista y la ley de gravitación universal de Newton. Se
ignora por tanto, la no linealidad de las ecuaciones de campo de Einstein, y también, el incremento
sin lı́mite, de la masa inercial cuando se alcanzan velocidades cercanas a las de la luz. Sin embargo,
aún bajo estas condiciones, existe una noción natural de agujero negro, basada en el concepto
de velocidad de escape. La frontera del agujero definida como la superficie donde la velocidad
requerida por partı́culas de masa m, para escapar al infinito, es exactamente la velocidad de la luz.
Puesto que todo ocurre en el espacio plano de Euclides, y el tiempo se considera absoluto, lo que
se ganará es información sobre como la cuantización afecta los rasgos más generales asociados al
aspecto casual de la definición de agujero negro de masa M . El hecho de que el tiempo sea absoluto,
130
implica que existe una base natural sobre la cuál descansará la construcción del Hamiltoniano H
de la ecuación de Schrödinger.
Sea H la energı́a total de un par de partı́culas de masa m1 y m2 acopladas por un campo
gravitacional newtoniano, y sea ~r1 , ~v1 ,y ~r2 , ~v2 sus posiciones y velocidades respectivas, entonces
(322)
1
1
Gm1 m2
H = m1~v12 + m2~v22 −
,
2
2
k ~r2 − ~r1 k
donde G denota la constante de gravitación universal de Newton, aproximadamente igual a 6.67X10−11 N m2 /Kg 2 .
Usando el cambio de variables
(323)
~rc = (m1~r1 + m2~r2 )/M,
y
(324)
ρ =k ~r2 − ~r1 k,
se obtiene
(325)
1
GM µ
1
,
H = M~vc2 + µ~v 2 −
2
2
ρ
m2
donde M = m1 + m2 es la masa total del sistema, µ = mm11+m
, ~vc es la velocidad del centro de
2
masas, y ~v la velocidad relativa. Notar que limm2 →∞ µ = m1 y que µm1 =m2 = M
2 , de ahı́ que µ
se le llame la masa reducida del sistema. Se observa de H que el centro de masas no se encuentra
acoplado a la interacción gravitacional. Ignorando la energı́a cinética del mismo o colocándonos en
el sistema de referencia donde el centro de masas está en reposo, H se reduce a
(326)
1
GM µ
Ho = µ~v 2 −
.
2
ρ
La forma de Ho nos recuerda a la energı́a asociada a una cuasipartı́cula de masa µ bajo la influencia
del campo gravitacional generado por un agujero negro de masa M en reposo. Aquı́ el agujero
negro–o estrella oscura, se concibe como una bola donde, en principio, cualquier rayo de luz que
emerga de su interior no pueden alcanzar el infinito: justo en su frontera la velocidad de escape es
igual a la velocidad de la luz. Siendo Ho un invariante ante translaciones temporales, la energı́a
total se conserva. Igualando Ho a cero en el infinito, se deduce que para el radio crı́tico
(327)
Rs =
2GM
c2
la velocidad de escape es igual a la velocidad de luz. El radio de la frontera del agujero es por
tanto Rs . Este valor preciso de Rs coincide exactamente con aquel calculado a través de la teorı́a
131
gravitación de Einstein. Rs se le conoce como el radio de Schwarzchild, en honor a Karl Schwarschild
quien fuera uno de los primeros en descubrir una solución exacta de las ecuaciones de campo de
Einstein.
Imaginemos ahora que µ tiende a cero y que solo existe un agujero de masa M. Ho es cero.
Imaginemos luego que el agujero emite de manera uniforme e isotrópica una onda esférica de masa
µ distinta de cero (partı́cula tipo S). Entonces el centro de masas queda fijo y el valor de Ho no
cambia, aunque adopta una nueva forma:
(328)
1
G(M − µ)µ
Ho = µ~v 2 −
.
2
ρ
Este sistema es similar al del átomo de hidrógeno donde se pone a consideración una fuerza inversamente proporcional con el cuadrado de la distancia (con potencial U = −ko e2 /ρ2 , donde ko es la
constante de Coulomb, y e es la carga eléctrica ). La cuantización de la energı́a es consecuencia de
aplicar la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:
(329)
∆ψ = −
2µ
(E − U )ψ,
~
donde ~ = h/2π esta relacionada con la constante de Planck h = 6.63×10−27 erg-seg. La solución de
la ecuación de Schrödinger conduce a los siguientes valores para los niveles de energı́a En asociados
a los estados ψ con simetrı́a esférica (comparar con los postulados uno y dos de Bohr):
(330)
En = −
k02 µe4
.
n2 2~2
Lo que sigue es adaptar esta información al caso del agujero negro y la radiación Hawking. Sea
−µ)
U = − Gµ(M
, entonces:
ρ
(331)
En = −
G2 µ3 (M − µ)2
.
n2
2~2
La figura adjunta muestra el pozo de potencial gravitacional y el nivel energético de una partı́cula
con energı́a de enlace igual a − 21 µ~c2 . Esto es, dicha partı́cula para escapar del potencial y llegar al
infinito, necesita absorber al menos una energı́a igual 12 µ~c2 . De ser este el caso, justo en la frontera
del agujero su velocidad será la de la luz y alcanzará el reposo en el infinito. En la radiación la
Hawking esta energı́a se gana a expensas de la energı́a del agujero.
Entonces, igualando En con − 12 µ~c2 (vease los postulados 3 y 4 de Bohr) se obtiene una restricción
sobre la masa µ.
(332)
1
En = − µn c2 ,
2
conduce a la ecuación de segundo grado
(333)
0 = λ2 − λ + α,
132
Figura 35: Energı́a potencial asociada a la estrella oscura de Laplace
Figura 36: Radiación Hawking y la estrella oscura de Laplace.
donde α es n(mP l /M )2 y λ denota el cociente µ/M. Aquı́ mP l es la masa de Planck equivalente a
2.2 × 10−5 gr aproximadamente. Esta ecuación tiene raices reales, λ+ y λ− , solo cuando n satisface
√
la desigualdad n ≤ M/(2mP l ). Entonces se obtiene
(334)
εn = ~ωn = µn c2 =
M c2
1
[1 ± (1 − ( M
√
2
n2m
)2 )1/2 ].
Pl
Si M >> mP l , la siguiente aproximación para εn está en orden: hay dos resultados pérmisibles
(335)
~ωn ≈ (M c2 )(1 − (
mp 2
) n) ' M c2
M
y
(336)
~ωn ≈ (mP l c2 )(
mP l
)n ' 0
M
a consecuencia de la simetrı́a natural del problema (m1 + m2 = M ).
133
Sea Rs (M ) = 2GM/c2 la función de radio crı́tico, que depende linealmente de M. La linea
continua de la figura adjunta corresponde al potencial gravitacional en el vacı́o. La linea discontinua
representa la energı́a potencial de interacción dentro del agujero. Esta distinción se usa para
enfatizar que para un agujero negro microscópico podemos esperar que efectos de gravedad cuántica
cambien su estructura interna. Se incluye también la situación cuando desde la derecha se acerca
un partı́cula de masa negativa al agujero. Notar que por lo que respecta a las lı́neas punteadas, la
figura no es simétrica con respecto a la reflexión con el eje E = 0.
Ahora bien, una visión sostiene que partı́culas túnelan la barrera de potencial hasta quedar libres.
Notar sin embargo que todas las funciones de onda asociadas a estados ligados en el átomo de
hidrógeno decaen exponencialmente a cero en el infinito (Peña 1991, Feynman 2006). Para que
exista emisión de partı́culas, el agujero debe ceder parte de su masa.
Desde el punto de vista de la termodinámica y de la mecánica cuántica esto se puede lograr como
sigue. Supongamos que el agujero se encuentra a una temperatura fija T, de manera que vibra
alrededor de un punto fijo. En primera aproximación, uno puede esperar que una partı́cula de
prueba en la vecindad del agujero responderá oscilando también, y quizás de manera armónica. De
ser ası́, la partı́cula de prueba µ reaccionarı́a como si estuviese acoplada a un oscilador armónico
de cierta frecuencia caracterı́stica que se mantiene a una temperatura T.
Por ejemplo, asociando a una s-partı́cula de masa µ una bola con densidad de masa
(337)
ρ = µe−2r/a /(πa3 ),
se encuentra que el campo gravitacional en su interior esta dado (usar la ley de Gauss):
(338)
Φ=−
Gµ
[1 − e−2r/a (1 + (2r/a) + 1/2(2r/a)2 )].
r2
De lo que se deduce que para un desplazamiento pequeño, de manera que r/a 1, la fuerza de
restitución es tal que la partı́cula de masa µ y el agujero de masa M −µ oscilan de manera armónica
a la frecuencia natural:
(339)
ω2 =
4 GM
.
3 a3
Finalmente, remplazando a por ~2 /(Gµ2 (M − µ)) se obtiene
(340)
ω2 =
4 M M −µ 3 µ 6 1
(
) (
) ( )
3 mP l mP l
mP l t2P l
donde tP l es el tiempo de Planck, aproximadamente igual a 5.4 × 10−44 s.
Por lo tanto al Hamiltoneano considerado Ho debe agregarse un término pérturbativo δH = Hint
que contiene información sobre como cada grado de libertad de la partı́cula de prueba se acopla
a un oscilador armónico en equilibrio térmico. En principio la partı́cula puede absorber suficiente
134
Figura 37: El área del horizonte de un agujero negro no rotante y estacionario cambiando en forma discreta.
energı́a del oscilador para escapar del agujero, en forma de radiación Hawking cuando M supera
por varios ordenes de magnitud la masa de Planck y la masa µ, y con correcciones a esta ley de
no ser ası́. El área del agujero cambia de manera acorde, para áreas “grandes” el cambio es cuasicontinuo, para áreas “pequeñas” el cambio es discreto, puesto que entonces los niveles de energı́a
En se alejan entre sı́. En la figura 3 se ilustra un esquema de la situación.
En 1976 Unruh (Unruh 1976) descubrió que un observador acelerado en el espacio-tiempo plano
de Minkowski se siente inmerso en un baño termal de partı́culas a una temperatura igual a
(341)
Tacc = ~α/2πc,
donde α denota la aceleración del observador, y se asume que el el campo cuántico se encuentra en
el estado del vacı́o según observadores inerciales. Esto nos permite fijar la temperatura del agujero,
sustituyendo α por el valor de la aceleración gravitacional en la frontera del agujero se tiene que:
(342)
T =
~c3
≈ 6 × (MJ /M )K.
8πGM
que es la temperatura de la radiación Hawking.
Notar también que estos argumentos admiten una generalización natural y directa en el marco de
los agujeros negros rotantes, ya que de acuerdo con la teorı́a de perturbaciones, un agujero negro
de Kerr se le puede visualizar en términos de potenciales de dispersión para los distintos tipos de
partı́culas: neutrinos, fotones, gravitones, electrones y positrones, etc. (Chandrasekhar and J.B.
Hartle, 1982)
135
Figura 38: Blackboard.
136
8
Conclusiones generales
Un “mini” agujero negro arrojando información al exterior.
Contexto:
En el contexto astrofı́sico, la mayorı́a de los cuerpos estelares rotan entre sı́ y no tienen carga
eléctrica neta apreciable. Por otra parte, la relatividad general implica que el campo gravitacional
exterior a un cuerpo rotante (aislado, acotado, y bajo condiciones de axisimetrı́a, estacionaridad y
ausencia de otros campos) está descrito de manera única por la familia de soluciones encontrada
por Kerr en 1963, la que depende de solo dos parámetros: la masa M y momento angular J del
cuerpo rotante. La métrica de Kerr describe la geometrı́a estacionaria del espacio tiempo exterior
a: i) una singularidad espacio-temporal localmente desnuda (M < a), ii)un agujero negro (M ≥ a),
y iii)un agujero blanco (M ≥ a), rotantes (sin carga) en el vacı́o.
En la vecindad externa a la frontera de los agujeros negros rotantes existe una región referida
como “la ergósfera,” donde los cuerpos fı́sicos se ven obligados a rotar en el sentido de giro del
agujero (fenómenos de arrastre inercial). En la ergósfera la energı́a local puede ser negativa desde
el punto de vista de un observador en la lejania espacial, ya que los papeles de espacio y tiempo
se invierten en tal región exterior al agujero: desde la ergósfera existen trayectorias geodésicas
escapando al infinito. Que tales caracterı́sticas implican la posibilidad de extracción de la energı́a
de rotación de un agujero negro fue señalado por Penrose en los años 60´s. El argumento consiste
en imaginar una partı́cula que en el ecuador de la ergósfera alcanza su distancia más cercana al
agujero, luego decae en dos fotones, uno de los cuales atraviesa el horizonte de sucesos hacia el
interior del agujero, mientras que el otro escapa al infinito. Bajo tales condiciones el fotón que
escapa al infinito resulta salir con mayor energı́a que la partı́cula original, la energı́a adicional ∆E
proviene del intercambio de momento angular con el agujero. El factor máximo de extracción de
energı́a para el proceso descrito por Penrose esta dado por la desigualdad
∆E
1 √
≤ ( 2 − 1) = 0.207,
M
2
que da un 20.7% de eficiencia. Desde el punto de vista clásico un agujero negro no rotante no emite
nada, ni siquiera la luz, y por lo tanto su temperatura es cero. Sin embargo, si al agujero negro
~κ
se le asocia una temperatura a través de la fórmula descubierta por Hawking en 1974 TH = 2π
, la
situación es distinta. Efectos cuánticos sobre la fı́sca de agujeros negros implican la unión parcial de
la gravitación con las leyes de la termodinámica, donde la entropı́a del agujero SBH es proporcional
A
al área de su frontera 4~
.Mismas que aplicadas de manera universal a los mecanismos de extracción
de energı́a para agujeros negros predicen una eficiencia en términos de la desigualdad
∆E
1 √
≤ √ ( 2 − 1) ∼ 0.29,
M
2
de donde el porcentaje máximo de extracción de energı́a es del 29%.
Existe un edificio de evidencia a favor de la visión de que los agujeros negros proporcionan la fuente
de energı́a que alimenta a los centros de los cuásares y los núcleos activos de galaxias, de manera que
estos últimos podrı́an proporcionar ejemplos (en forma natural) de liberación de energı́a rotacional
de agujero negros. Asociados a estos objetos astrofı́sicos se han observado la formación de jets de
137
partı́culas que son expulsadas a velocidades relativistas a lo largo de un mismo eje. Blandford y
Znajek sugirieron una explicación cuantitativa de este fenómeno en base a la interacción entre la
magnetósfera de un disco de acreción de plasma con simetrı́a toroidal y un agujero negro rotante,
axisimétrico, y estacionario en el centro. Mientras que en la fusión nuclear se libera el 4% de la
masa en reposo de la materia involucrada en el proceso, en el de acreción a un agujero negro se
puede liberar hasta un 43% de la masa en reposo de la materia acretada (el tope es del 10% si el
agujero tiene simetrı́a esférica ). Aplicaciones del formalismo 3+1 (paradigma de la membrana) en
el escenario astrofı́sico propuesto por Blandford y Znajek conducen a valores tı́picos de V ∼ 1020
volts para el voltaje magnetoesférico y una potencia P del orden de P ∼ 1045 erg
sec . Cifras que
concuerdan con las observaciones radioastronómicas de los jets de energı́a. El efecto de aberración
(o direccionalidad) relativista implica que la radiación que emiten las partı́culas colimadas por el
agujero negro se encuentra enfocada intensamente en la dirección de movimiento de las partı́culas.
El efecto descubierto por Hawking puede interpretarse en términos del efecto tunel, donde partı́culas
virtuales en el interior de un agujero de gran masa, logran vencer las restricciones clásicas y escapar
al infinito, a expensas de la masa del agujero. El espectro de energı́as es el de un cuerpo negro si
M ≥ mP l , a una temperatura inversamente proporcional a la masa del agujero. La frontera de un
agujero negro es dinámica, su área aumenta por la absorción de masa y se reduce por medio de la
radiación Hawking.
Otro contexto donde la dinámica de la frontera del espacio-tiempo juega un papel esencial es
en la fı́sica de extradimensiones. Gravitacionalmente , extradimensiones espaciales compactas son
inestables y obedecen una ecuación similar a la encontrada por Alexander Friedmann con la que
se dedujo la expansión de nuestro universo. Por ejemplo, mostramos aquı́ que las ecuaciones de
movimiento de un espacio-tiempo pentadimencional de simetrı́a máxima y curvatura negativa,
confinado por paredes de simetrı́a máxima y curvatura no negativa, sigue las siguientes ecuaciones
de movimiento:
ä + (n2 σ̇ 2 )a = 0
y
ȧ2 − Kc2
= n2 σ̇ 2
a2
. La primera es análoga a la ecuación de un oscilador armónico con frecuencia nσ̇, donde n se
puede interpretar como el número de partı́culas con momento lineal σ̇. La variable σ es de hecho la
distancia relativa entra las fronteras opuestas del espacio-tiempo (una medida de las dimensiones
de la “caja” en la quinta dimensión). La segunda ecuación no es otra cosa más que la ecuación
de conservación de la energı́a y es análoga a la ecuación de Friedmann, con ā jugando el papel
de factor de escala de Friedmann-Robertson-Walker. ā de hecho satisface la noción de factor
de escala relativo, asociado a las geometrı́a del par de fronteras. De ambas ecuaciones se lee
la inestabilidad de la frontera, el espacio-tiempo confinado o se expande ((a/a∗ )2 = tanh σ)o se
contrae ((a/a∗ )2 = tanh−1 σ).
En este trabajo se toma a la aparición del número de particulas n dentro de la dinámica puramente clásica de la frontera del espacio-tiempo, como una indicación de que quizás el cuanto
de la mecánica cuántica tiene un origen gravitatorio. Esta idea refuerza la analogı́a que existe
entre la cavidad ordinaria de un horno, que a temperatura constante se mantiene en equilibrio
con la radiación electromagnética confinada en su interior, con el universo como una cavidad pentadimensional, donde lo que fluctúa es la propia frontera del espacio-tiempo sujeta a la acción de
una constante cosmológica. Siendo que en la teorı́a extradimensional de Kaluza-Klein se deriva
138
el electromagnetismo de la gravitación, se puede especular que en principio otras propiedades del
campo electromagnético pueden derivarse de la fı́sica de extradimensiones. La analogı́a requiere
que 2σ = ω. Pero es precisamente esta relación la que existe en la teorı́a de tunelaje de la radiación
Hawking: σ denota ahora la profundidad de la barrera (una medida del orden de la fluctuación sobre el lugar donde está ubicada la frontera del agujero) y ω es la frecuencia de la radiación emitida.
Λ por otra parte se le puede asociar directamente con la temperatura del horizonte cosmológico.
Además n (que ahora nos referiremos como nP ∗ ) tiene una rememblanza extraordinaria con el
número de partı́culas asociada a un cuerpo negro nP :
nP ∗ =
que posee los siguientes lı́mites,
eσ
,
e2σ − 1
n
,
1 + n2
2n
.
=
1 + 2n
lim e−σ =
n→o
lim e−σ
n→∞
Utilizando en dirección opuesta el argumento de los coeficientes A y B de Einstein, podemos
asignar a nP un origen estadı́stico. La diferencia más notable consiste en la necesidad de una nueva
estadı́stica compatible con una emisión estimulada de radiación que depende de manera no lineal
con la radiación presente. Si uno supone que por efectos cuánticos, no solo fluctúa la posición de
la frontera del agujero, sino también la geometrı́a de la superficie. Uno espera correcciones a la
formula de la radiación Hawking. Si esta variación de la geometrı́a esta medida por un especie de
factor escalar relativo arel que compara la frontera final del agujero con la inicial después de alguna
transición natural, cuando arel es estacioanrio, la expresión de nP ∗ para fronteras curvas, sugiere
la existencia de un proceso de enfriamiento de origen gravito-cuántico, donde:
δλ
δA
|H = α( )−2
λ
A QG
determina el corrimiento al rojo experimentado por un miniagujero negro, el cuál parece enfriarse
debido efectos gravito-cuánticos que afectan su estructura interna.
En el cálculo original de Hawking se asume que M ω, sin esta restricción se necesita considerar
también los efectos de la radiación sobre la curvatura del espacio-tiempo. En esta obra liberamos
esta restricción en el contexto de la gravitación newtoniana, y lo que es más, se considera también
la cuantización de las interacciones gravitacionales. Puesto que el universo newtoniano es plano, la
cuantización se reduce al de las relaciones causales entre eventos fı́sicos a través de la ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo:
1
GM µ
.
H = µ~v 2 −
2
ρ
m2
y un velocidad de escpae limitada por la velocidad de la luz c. Aquı́ µ = mm11+m
es la masa
2
reducida del sistema y M la masa total. ρ es una distancia relativa. El resultado más notable de
la conjunción de la idea topológica de agujero negro y del proceso de cuantización es la noción de
la cuantización de la masa, medida en fracciones de la masa de Planck:
εn = ~wn = µn c2 =
M c2
1
[1 ± (1 − ( M )2 )1/2 ].
√
2
2 nm
p
139
Cuando la masa total M es “grande” e igual a p veces la masa de Planck mP l , la masa con la que
sale la radiación emitida por el agujero, medida por observadores en caı́da libre, es una fracción
racional de la masa de Plank 2.2 × 10−5 gr.
E = (p/q)mP l c2 ,
donde p = 0, 1, 2, 3, ... y q = 1, 2, 3, .. son enteros. Se abre entonces la posibilidad de que una
teorı́a satisfactoria de la gravedad cuántica aplicada al origen del univefrso pueda predecir los
valores correctos del espectro de masas que se observan en el zoológico de partı́culas que pueblan
el universo. Solo hay que considerar el escenario cosmológico correcto.
¿Puede derivarse la estructura de la mecánica cuántica de la relatividad general? Tal vez. Refinando ideas: La hipótesis del origen gravitatorio del cuanto, de ser correcta, deberı́a de proveer
de un principio suficientemente restrictivo para guiar las modificaciones cuantitativas y conceptuales necesarias para una unificación satisfactoria de la gravitación einsteniana y de la mecánica
de Planck-Bohr-Einstein-Born-Schrödinger-Dirac-Feynman.
Quizas...
140
9
Apéndices
9.1
Apéndice I: Ondas Alfvén
Ondas Alfvén
Hannes Alfvén nació en mayo de 1908, en Norrkoping, Suecia. Durante su carrera Alfvén a
hecho un gran número de descubrimientos teóricos fundamentales, pero su trabajo más conocido
es el de las ondas magnetohidrodinámicas, que se conoce actualmente como ondas Alfvén. El
descubrimiento de las ondas Alfvén, surgió de un problema especı́fico, el de las manchas solares.
El fue el primero en determinar que era posible propagar ondas electromagnéticas en un plasma
altamente conductor, esto lo hizo desarrollando una demostración matemática. La idea de que
estas ondas fueran posibles eran contrarias a la idea convencional de la época, ya que se creı́a
que las ondas electromagnéticas se propagaban solo en una capa superficial de un buen conductor.
Pero Alfvén (1942) habı́a encontrado un modo de propagación del todo nueva: descubrió que para
ciertas ondas electromagnéticas, estas pueden propagarse sin amortiguamiento en un plasma de
alta conductividad de forma arbitraria. A pesar de la gran cantidad de logros fundamentales que
tuvo Alfvén, ahora parece extraño que fue galardonado con el Premio Nobel hasta el año de 1970,
puesto que muchos de sus descubrimientos no eran del todo aceptados por los principales miembros
de la comunidad cientı́fica.
Los átomos estan constituidos por un núcleo de carga eléctrica positiva y un número equivalente
de electrones de carga eléctrica negativa. De esta forma los átomos poseen carga eléctrica neutra.
Para ciertas condiciones de presión y temperatura es posible que el átomo pierda electrones, en
este caso el átomo queda con un exceso de carga positiva, lo que se conoce como un ión. Cuando
las condiciones son extremas es posible que el átomo pierda todos sus electrones circundantes. El
plasma es el conjunto cuasineutral de partı́culas con portadores libres de carga eléctrica, el cual
desarrolla comportamiento colectivo (Bravo, 1994).
Para el modelado del plasma a bajas temperaturas, es posible simplificar el modelo y asumir
que todas las partı́culas de una especie (en un punto dado) tienen igual velocidad, o que están
suficientemente cerca del equilibrio como para suponer que sus velocidades siguen la distribución
de Maxwell-Boltzmann. Entonces, es posible derivar ecuaciones de fluidos para cada especie que,
en su forma más general, son llamadas ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas condiciones el plasma obedece las siguientes ecuaciones de la magnetohidrodinámica:
La ecuación de continuidad:
(343)
∂ρm
+ ∇(ρm V) = 0,
∂t
que describe la ley de conservación de la masa, ρm es la densidad de masa y V es la velocidad del
fluido.
La ley de conservación de la energı́a:
(344)
∂ρq
+ ∇ · j = 0,
∂t
141
donde ∂ρq es la densidad de carga y j la densidad de corriente
La ecuación de Navier-Stokes:
(345)
ρm (
∂
+ V · ∇)V = ρq E + j ∧ B − ∇p,
∂t
y fuerza de Lorentz:
(346)
E + V ∧ B = ηj,
donde η es la conductividad, E y B son el campo eléctrico y magnético respectivamente.
Ademas hay que agregar la ecuación de estado:
(347)
pρ−γ
m = constante.
La velocidad V con la que se mueven las ondas magnetohidrodinámicas se puede calcular como
sigue: Ignorando la presión p y resistencia η en (345) y (346) se obtiene
DV
= j ∧ B,
Dt
(348)
ρ
(349)
E + V ∧ B = 0;
respectivamente. Si el plasma se somete a un campo magnético constante B0 linearizando:
V = V1 , B = B0 + B1 (B0 uniforme), j = j1 ,
(348) y (349) se llega a
(350)
ρ
∂V
= j ∧ B0 ,
∂t
y
(351)
E + V ∧ B0 = 0.
Utilizando la transformada de Fourier se tiene que:
(352)
ρ(−iω)V = j ∧ B0 ,
(353)
E + V ∧ B0 = 0;
142
Ahora, eliminando la velocidad V de las dos ecuaciones anteriores se tiene que
(354)
E+
1
(j ∧ B0 ) ∧ B0 = 0
−iωρ
o equivalentemente
(355)
E=
1
B02
{(j · B0 )B0 − B02 j} =
j ,
−iωρ
−iωρ ⊥
de ahı́ que el tensor de conductividad se puede escribir como

(356)

1 0 0
−iωρ 
0 1 0 
σ=
B02
0 0 ∞
donde la dirección de Z coincide con la dirección del campo magnético B: Notar que la componente
infinita implica que Ek = 0 (de acuerdo con la ley de Ohm). Entonces el tensor dieléctrico esta
dado por
(357)


1 0 0
σ
ρ 
=1+
= (1 +
) 0 1 0 .
−iω0
0 B 2
0 0 ∞
El tensor de dispersión generalmente es:
(358)
D=
ω2
[NN − N 2 + ],
c2
sea N⊥ = Nx , Ny = 0, entonces de (357) y (358) se obtiene

(359)
−Nk2 + 1 +

0
|D| = 
N⊥ Nk
ρ
0 B 2
0
−Nk2 − N⊥2 + 1 +
0
ρ
0 B 2

N⊥ Nk

0
 = 0,
∞
el significado del ∞ en el tensor de dispersión D implica que el producto de los factores correspondientes puede ser cero, esto es:
(360)
(−Nk2 + 1 +
ρ
ρ
)(−N 2 + 1 +
) = 0.
0 B 2
0 B 2
143
De esta expresión se puede calcular la velocidad de las ondas magnetohidrodinámicas.
Caso 1. N 2 =
(361)
ρ
0 B 2
vp = vg =
⇒ ondas no dispersivas con fase y grupo de velocidades dadas por
c
B2 1
c2 0 B 2 1
=(
)2 = [
]2 ,
N
ρ
µ0 ρ
donde
(362)
vA ≡ [
B2 1
]2
µ0 ρ
es la “velocidad Alfvén”, ver (Alfvén, 1942).
La polarización implica que:
Ek = Ez = 0, Ex = 0 y Ey 6= 0 ⇒ Vy = 0, Vx 6= 0 y Vz = 0;
que implica una parte longitudinal (velocidad) de la onda llamada “onda Alfvén de compresión”.
k 2 c2
Caso 2.Nk2 = 0ρB 2 = ωk 2 . Ningun valor de ω tiene un único valor de kk . La onda tiene una única
velocidad en dirección paralela vA .
La polarización implica que:
Ez = Ey = 0, Ex 6= 0 ⇒ Vx 6= 0, Vy 6= 0 y Vz = 0;
que implica una velocidad transversal: llamada “onda Alfvén de corte”.
Como parte de la misión espacial JAXA, fue lanzada el 22 de septiembre de 2006 la sonda espacial
“Hidone”, esto con el objetivo de comprender los procesos de generación del campo magnético y
de transporte que incluye la modulación magnética de la luminosidad del sol, además de investigar
los procesos responsables de la transferencia de energı́a desde la fotosfera hasta la corona. Como
se sabe la corona resulta estar mucho más caliente que la fotósfera.
Los resultados de la sonda revelan que: el flujo de energı́a que producen el viento solar y la
temperatura de la corona, se apegan muy bien con las simulaciones hechas con las ecuaciones de
la magnetohidrodinámica, por lo que las ondas alfvén son un fuerte candidato para resolver estos
enigmas astronómicos.
144
9.2
Apéndice II: Evaluación de la integral
R rext
rint
q dr
2(M −ω)
1−
r
Sea α = 2(M − ω), entonces la integral se reduce a
Z
dr
p .
1 − αr
(363)
C
Por lo tanto toma la forma
√
Z
√
(364)
C
rdr
√ ,
r− α
se hace el cambio de variable q =
Z
√
r y la integral se transforma en
q(2qdq)
√
q− α
(365)
C
que es equivalente a
2q 2 dq
√ .
q− α
Z
(366)
C
Simplificando:
Z
(367)
2
(q + α1/2 +
C
α
)dq.
q − α1/2
Sea β = q − α1/2 entonces la integral se transforma como
Z
(368)
2
[(β + α1/2 ) + α1/2 +
C
α
]dβ
β
es decir,
(369)
Z
Z
Z
dβ
1/2
2[ βdβ + 2α
dβ + α
].
C
C
C β
Si C es un cı́rculo de radio R esta suma se convierte en:
Z
(370)
−2{
π
R(cos θ + i sin θ)(iR(cos θ + i sin θ)dθ) + 2α
0
1/2
Z
iR(cos θ + i sin θ)dθ+
0
145
π
α
Rπ
0
iR(cos θ+i sin θ)dθ
R(cos θ+i sin θ) }
simplificando aun más,
(371)
−2{iR
2
π
Z
2
(cos θ + i sin θ) dθ + 2iRα
1/2
= −2{iR
Z
Z
0
π
2
2
(cos θ + 2i cos θ sin θ − sin θ)dθ + 2iRα
1/2
Z
π
Z
(cos θ + i sin θ)dθ + αi
0
0
2
Z
π
= −2{iR [
Z
2
1/2
0
Z
cos θdθ + i
0
sin2 θdθ]
2 sin θ cos θdθ −
π
Z
[
π
Z
π
Z
π
sin θdθ] + αi
0
dθ}.
0
Evaluando las integrales se tiene que
(372)
1
1
1
1
−2iR2 [ θ + sin 2θ]π0 + R2 [− cos 2θ]π0 + 2iR2 [ θ − sin 2θ]π0
2
4
2
4
−4iRα1/2 [sin θ]π0 + 4Rα2 [− cos θ]π0 − 2αi[θ]π0
donde
(373)
8Rα1/2 − 2απi.
Por lo tanto
(374)
lim (8Rα1/2 − 2απi) = −2απi
R→0
considerando que:
Z
ω
Z
−2απi(−dω) = 2πi
(375)
0
ω
2(M − ω)(dω) = 4πiω(M −
0
Como se querı́a demostrar.
146
ω
).
2
π
dθ}
0
0
0
+2iRα
π
cos θdθ + i
π
dθ} =
(cos θ + i sin θ)dθ + αi
0
0
2
π
Z
9.3
Apéndice III: Leyes de la electrodinámica cuántica
1. La amplitud en la que un sistema atomico absorve un fotón durante un proceso de transición
de un estado a otro es exactamente el igual a la amplitud de la misma transición, se hará bajo la
influencia de un potencial igual a la de una onda electromagnética clásica representada por el fotón,
siempre que: a) La onda clásica esté normalizada para representar a una densidad de energı́a igual
a ~w veces la probabilidad por centı́metro cúbico de encontrar el fotón, b) la onda clásico real se
divide en dos ondas complejas e−iwt y e+iwt , y sólo la parte e−iwt se mantiene, y c) el potencial
actua solo una vez en la perturbación, es decir, sólo los términos de primer orden debe mantenerse
en la intensidad del campo electromagnético .
Reemplazando la palabra absorber por emitir en el artı́culo 1 del reglamento sólo exige que la
onda representada por e+iwt se mantendrá en lugar de e−iwt .
2. El número de estados disponibles por centı́metro cúbico de una polarización está dada por
(376)
d3 K/(2π)3
Nota: este es exactamente el mismo que el número de modos normales por cada centı́metro cúbico
de la teorı́a clásica.
3. Los fotones obedecen la estadı́stica de Bose-Einstein. Es decir, los estados de un conjunto de
fotones idénticos deben ser simétricos (fotones de cambio, añadir amplitudes). También el peso
estdı́stico de un estado con n fotones idénticos es de 1 en lugar de n! para la teorı́a clásica. Ası́,
en general, un fotón se puede representar por una solución de la ecuación clásica de Maxwell
debidamente normalizada. Aunque muchas formas de expresión son posibles es más conveniente
describir el campo electromagnético en términos de ondas planas. Una onda plana siempre puede
ser representada por un vector potencial sólo (el potencial escalar se hace cero si se utiliza la
transformación de calibre adecuada). El vector potencial que representa una onda clasica real se
toma como
(377)
A = ae cos(wt − K · x).
Queremos que la normalización de A corrsponda con la unidad de probabilidad por centı́metro
cúbico de encontrar el fotón. Por lo tanto, la densidad de energı́a promedio deberı́a ser ~w.
Ahora
(378)
E = −(1/c)(∂A/∂t) = (wa/c)esen(wt − K · x)
y
(379)
|B| = |E|
147
para una onda plana. Por lo tanto, la densidad de energı́a promedio es igual a
(380)
(1/8π)(|E|2 + |B|2 ) = (1/4)(w2 a2 /c2 )(sen2 (wt − K · x)) = (1/8π)(w2 a2 /c2 )
Al establecer esta igual a hw nos encontramos con que
(381)
a=
p
8π~c2 /w.
Ası́
(382)
A=
p
p
8π~c2 /we cos(wt−K · x) = 4π~c2 /2weexp[−i(wt − K · x)] + exp[+i(wt − K · x)]
Por lo tanto tomamos la amplitud en un sistema atómico que absorbe un fotón como
(383)
p
4π~c2 /2wexp[−i(wt − K · x)]
Para la emisión el vector de potencia es el mismo excepto por una exponencial positiva.
148
9.4
Apéndice IV: Masa de las partı́culas fundamentales
Partı́cula Fundamental
Positrón
Neutrino electrónico
Up quark
Up antiquark
Down quark
Down antiquark
Muón
Antimuón
Neutrino muónico
Quark strage
Antiquark strange
Tau
Anti-tau
Neutrino tauónico
Top quark
Top antiquark
Bottom quark
Bottom antiquark
149
Masa
511 KeV
2 eV
3 MeV
3 MeV
6 MeV
6 MeV
106 MeV
106 MeV
2 eV
100 MeV
100 MeV
1.78 GeV
1.78 GeV
2 eV
171 GeV
171 GeV
4.2 GeV
4.2 Gev
9.5
Apéndice V: Homenaje
Figura 39: Max Planck (1858-1947).
Fı́sico alemán galardonado con el premio Nobel en 1918, se le considera el padre de la fı́sica
moderna por sus avances en el estudio de la radiación de cuerpo negro.
150
Figura 40: David Hilbert (1862-1934).
Matemático que a principios del siglo XX se dirigió a la comunidad matemática internacional para
enfatizar la importancia de 23 problemas no resueltos para el futuro de las matemáticas.
151
Figura 41: Albert Einstein (1879-1955).
Nacido en Alemania y naturalizado Norteamericano fue galardonado con el premio Nobel de fı́sica
en 1921. Formuló las leyes de la relatividad especial y general, además postuló que la luz tiene
comportamiento corpuscular.
152
Figura 42: Roger Penrose (1931-).
Matemático y fı́sico teórico Británico. Descubrió que en los agujeros negros rotantes, más especificamente en la ergosfera, es posible que partı́culas escapen al infinito extrallendo la energı́a
de rotación del agujero, junto con S.W. Hawking descubrió que la relatividad general de Einstein
predice que el universo tuvo un comienzo.
153
Figura 43: Roy P. Kerr (1934-).
Matemático Neozelandes que descubrió la solución de las ecuaciones de Einstein para un agujero
negro rotante estacionario: La “solución de Kerr.”
154
Figura 44: Stephen Hawking (1942-).
Fı́sico teórico Británico quien junto con Bardeen y Carter descubrieron las cuatro leyes de la
mecánica de los agujeros negros, descubrio que si uno ignora las leyes de la mecánica cuántica,
el área de la superficie del agujero negro solo puede incrementarse, pero considerando los efecto
cuánticos el agujero negro debe evaporarse.
155
Figura 45: Raman Sundrum (1960-).
Fı́sico teórico indú que conjunto con Lisa Randall publicaron “A Large Mass Hierarchy from a
Small Extra Dimension”, uno de los artı́culos de fı́sica más citados en los ultimos años.
156
Figura 46: Lisa Randall (1962-).
Fı́sico teórico Norteamericano quien desarrolló dos modelos de extradimensiones junto con Raman
Sundrum, a diferencia de la teorı́a de Kaluza Klein donde la quinta dimensión esta compactificada,
en el modelo de Randall-Sundrum es posible recuperar la gravitación cuadridimensional de Einstein
con una buena aproximación controlada por un parámetro relacionado con la constante cosmológica
de la quinta dimensión y ésta puede tener una extensión infinita.
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