Presentación Tema 5 [Modo de compatibilidad]

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA
EMPRESA
TEMA 5: ANÁLISIS CONJUNTO DE VARIABLES
ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE AGREGADOS
5.1.- Distribuciones n-dimensionales. Análisis
marginal y condicionado
5.2.- Variables aleatorias independientes.
Propiedades
5.3.-Agregación de variables aleatorias
5.4.-Teorema Central del Límite y sus aplicaciones
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
TEMA 5. COMPETENCIAS
• Saber calcular e interpretar la covarianza y el
coeficiente de correlación lineal.
• Conocer las principales propiedades derivadas
de la independencia de variables aleatorias.
• Saber aplicar e interpretar el Teorema Central
del Límite.
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
1
MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA
EMPRESA
TEMA 5: ANÁLISIS CONJUNTO DE VARIABLES
ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE AGREGADOS
5.1.- Distribuciones n-dimensionales. Análisis
marginal
y condicionado
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
Distribución conjunta de dos variables aleatorias
COCHES Se han analizado conjuntamente las variables número de
hijos de cada familia (X) y número de coches por familia (Y)
Y
X
1
2
3
1
0,19
0,16
0,09
2
0,06
0,19
0,31
Valores (xi, yj)
Probabilidades conjuntas pij
P(X=2,Y=1)=0,16
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
2
Variable aleatoria bidimensional discreta
Observación conjunta de dos variables aleatorias
unidimensionales discretas X e Y
{(xi ,y j )/i, j = 1,2,...}
(X,Y) v. a. DISCRETA
P:(x,y) ∈ R2 → P(x,y) = P(X=x, Y=y) ∈ [0,1]
Y\ X
x1
y1
p11
...
xi
...
pi1
xk
pk1
P(X = x i , Y = y j ) = p ij
...
yj
p1j
pij
pkj
∑∑ p
ij
i
...
yl
Probabilidad conjunta
pij=P(X=xi,Y=yj)
p1l
pil
pkl
=1
j
pij ≥ 0
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
Distribuciones marginales
Y\ X
x1
...
xi
...
xk
y1
p11
pi1
pk1
p1j
pij
pkj
...
yj
Distribución marginal
de Y: (yj, p.j)
p.j =∑ pij
i
...
yl
p1l
pil
pkl
pi. =∑ pij
j
Distribución marginal
de X: (xi, pi.)
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
3
Distribuciones marginales
Las distribuciones marginales son distribuciones de v.a.
unidimensionales, sobre las que:
Se pueden calcular probabilidades y
Se pueden obtener las correspondientes características
marginales de X e Y:
E(X)
Var (X)
E(Y)
Var(Y)
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
Variables bidimensionales continuas
Observación conjunta de dos variables aleatorias
unidimensionales continuas X e Y
(X,Y) v. a. CONTINUA
Función de densidad conjunta
f:(x,y) ∈ R2 → f(x,y) ∈ R
+∞ +∞
∫ ∫ f (x, y)dxdy = 1
f(x, y) ≥ 0
−∞ − ∞
Funciones de densidad marginales
fY (y)=∫
+∞
-∞
f(x,y)dx
f X (x) =
+∞
∫−∞ f(x, y)dy
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
4
Función de distribución conjunta
Dada una v.a. bidimensional (X,Y) definimos la función
de distribución conjunta asociada a esta variable como:
Función de
distribución
conjunta
F:(x,y) ∈ R2 → F(x,y) = P(X≤x, Y≤y) ∈ [0,1]
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
Relación lineal entre variables aleatorias
Covarianza
σX,Y =Cov ( X,Y ) =E ( X-µ X )( Y-µ Y ) 
σ X,Y =E ( XY ) -E ( X ) E ( Y )
Coeficiente de correlación lineal
ρX,Y =
σX,Y
σX σY
−1 ≤ ρX,Y ≤ 1
El signo de ρX,Y indica el tipo de dependencia lineal
El valor absoluto de ρX,Y indica el grado de relación lineal
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
5
Vectores aleatorios. Características
Vector aleatorio
Unidimensional
X
Bidimensional
(X,Y)
n-dimensional
(X1, X2,... , Xn)
Esperanza
VarianzasCovarianzas
µ = E(X)
σ2 = Var(X)
µ = (E(X),E(Y))
 σ 2X σ XY 

2 
 σ YX σ Y 
µ = (E(X1 ), ..., E(Xn ))
 σ12

 σ 21
 ...

 σn1
σ12 ... σ1n 

σ 22 ... σ 2n 
... ... ... 

σn2 ... σn2 
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA
EMPRESA
TEMA 5: ANÁLISIS CONJUNTO DE VARIABLES
ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE AGREGADOS
5.2.- Variables aleatorias independientes.
Propiedades
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
6
Variables aleatorias independientes
Dos v.a. X e Y son independientes si y sólo si:
∀(x,y)∈ℜ2
F(x,y) = FX(x) FY(y)
f. de distribución
de (X,Y)
f. de distribución
marginal de X
f. de distribución
marginal de Y
CONDICIÓN DE INDEPENDENCIA
(X,Y) DISCRETA
P(xi,yj)=P(xi)P(yj)
∀(xi,yj)∈ℜ2
(X,Y) CONTINUA
f(x,y)=fX(x)fY(y)
∀(x,y)∈ℜ2
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
Propiedades
Dadas X e Y, v.a. independientes se cumple:
E(XY) = E(X)E(Y)
Cov(X,Y) = 0 y ρXY=0
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)
Var(aX+bY) = a2Var(X) + b2Var(Y) ∀a,b∈R
Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y)
X e Y v.a. normales e
incorreladas (ρXY=0)
X e Y independientes
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
7
Reproductividad
Dada una familia de variables aleatorias ψ, se dice que
ésta es reproductiva si y sólo si para todo par de v.a.
independientes X1, X2 ∈ ψ se cumple X1+X2 ∈ ψ
V.a. independientes
X ≈ B(n X , p )
Y ≈ B (n Y ,p )
X ≈ N(µX ,σX )
Y ≈ N(µY , σY )
X ≈ P( λ X )
Y ≈ P( λ Y )
Suma
Reproductividad
Modelo Binomial
reproductivo respecto
a n (p constante)
X + Y ≈ B(n X + nY , p)
X + Y ≈ N(µX + µY , σ + σ )
2
X
Modelo Normal
2 reproductivo respecto
Y
X + Y ≈ P(λ X + λ Y )
a media y varianza
Modelo de Poisson
reproductivo respecto
al parámetro λ
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA
EMPRESA
TEMA 5: ANÁLISIS CONJUNTO DE VARIABLES
ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE AGREGADOS
5.3.- Agregación de variables aleatorias
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
8
Agregación de variables aleatorias
X1 (Beneficio de la empresa 1)
X2 (Beneficio de la empresa 2)
........
Xn (Beneficio de la empresa n)
Media
Suma
n
∑X
n
Sn =∑ Xi
Xn =
i=1
Beneficio total
de las empresas
i
i=1
n
Beneficio medio
de las empresas
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
Características de las agregados
Dada la v.a. n-dimensional (X1, X2, …, Xn) con esperanzas y
varianzas finitas:
X1
E ( X1 ) =µ1
Var ( X1 ) =σ12
X2
E ( X2 ) =µ2
...
...
Xn
E ( Xn ) =µn
Var ( X1 ) =σ 22
...
Var ( X1 ) =σ n2
n
n
Esperanz
a
Varianza
E ( Sn ) =∑ µi
i=1
( )
E Xn =
∑µ
i
i=1
n
 n
 n
Var(Sn ) = Var  ∑ Xi  = ∑ σ i2 + ∑ σ ij
 i=1  i =1
i≠ j
X1, X2, ..., Xn independientes
n
∑σ
n
Var(Sn ) = ∑ σ i2
i =1
Var(Xn ) =
2
i
i=1
n2
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
9
Desigualdad de Chebyshev
Sea (X1, X2, …, Xn) v.a. n-dimensional con
esperanzas y varianzas finitas
Acotación de Chebyshev para la suma:
P ( Sn -E(Sn ) ≥ ε ) ≤
Var(Sn )
ε2
Acotación de Chebyshev para la media:
(
)
P Xn -E(Xn ) ≥ ε ≤
Var(Xn )
ε2
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
Variables aleatorias i.i.d.
Dadas X1, X2, ..., Xn v.a. independientes e indénticamente
distribuidas con:
Xi
E ( Xi ) =µ
Var ( Xi ) =σ 2
∀i=1,...,n
MAGNITUD
ESPERANZA
VARIANZA
Suma(Sn)
E(Sn)=nµ
Var(Sn)=nσ2
P  S n − n µ ≥ ε  ≤
nσ 2
ε2
σ2
n
P  X n − µ ≥ ε  ≤
σ2
nε 2
Media (X n )
E ( Xn ) = µ
Var ( X n ) =
ACOTACIÓN DE
CHEBYSHEV




Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
10
MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA
EMPRESA
TEMA 5: ANÁLISIS CONJUNTO DE VARIABLES
ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE AGREGADOS
5.4.-Teorema Central del Límite y sus aplicaciones
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
Teorema Central del Límite
Enunciado de Levy-Lindeberg:
Dadas X1, X2, ..., Xn v.a. independientes e idénticamente
distribuidas con Xi E ( Xi ) =µ
n
Var ( Xi ) =σ 2 finitas ∀i=1,...,n
(
Sn =∑ Xi 
→N nµ,σ n
i=1
)
Sn -nµ

→N(0,1)
σ n
Aproximación n>30
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
11
Teorema Central del Límite
EFECTO GLOBAL AGREGADO
X1
(
n
S n = ∑ X i → N nµ, σ n
X2
i =1
)
...
EFECTO MEDIO
Xn
n
Xn =
∑X
i =1
CAUSAS
INDIVIDUALES
n
i
 σ 
→ N µ,

n

Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
Teorema Central del Límite
Enunciado de De Moivre:
X1, X2, ..., Xn v.a. de Bernoulli, de parámetro p, e
Independientes:
n
∑ X − np
i
i=1
npq

→N(0,1)
Consecuencia:
Corrección
de
continuidad
Xi ≈ B(p)
∑ X ≈ B(n,p) →N(np,
n
i=1
i
npq
)
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
12
Aproximación BINOMIAL → NORMAL
n=5
n=20
n=40
Universidad de Oviedo. Facultad de Economía y Empresa. Grado en ADE. Métodos Estadísticos para la Empresa
13