1 Problemas de la Ruta más corta Problemas de la Ruta

Problemas de la Ruta má
más corta
Modelos de Redes: Problemas de
la Ruta má
más corta
M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
2
Problemas de la Ruta má
más corta
Solució
Solución-Analogí
Analogía
redes
Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o
costo ,a entre el punto de partida o nodo inicial y el
destino o nodo terminal.
con un problema de
El algoritmo de Dijkstra’
Dijkstra’s:
-Encontrara la distancia mí
mínima del nodo de
partida a los otros nodos, en el orden que se
encuentran los nodos con respecto al nodo de
inicio.
Definició
Definición del Problema
- Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 y terminando en
el nodo final n.
- Arcos bibi-direccionales conectan los nodos i y j con distancias
mayores que cero, dij
- Se desea encontrar la ruta de mí
mínima distancia que conecta el
nodo 1 con el nodo n.
- Este algoritmo encuentra la ruta má
más corta
desde el nodo de inicio a todos los nodos de
la red.
4
Algoritmos de Dijkstra Para Ruta
Más Corta
Estos son algoritmos de etiquetado, los
cuales,
en
té
generales,
términos
encuentran la ruta má
más corta entre dos
nodos, inicial a y final z, de la siguiente
manera:
Q Los nodos de la red son etiquetados con
números.
Q Al principio, todos tienen la etiqueta 00
excepto el nodo inicial a que tiene la
etiqueta 0.
5
Los arcos tienen un peso wij que
representa la distancia del enlace
(i, j).
algoritmos
de
Dijkstra
Q Los
renumeran los nodos, de manera
que cuando el nodo z tiene una
etiqueta
permanente,
se
ha
obtenido la solució
solución final.
Q
6
1
Algoritmo de la ruta má
más
corta
1. Objetivos para nn-ésima interacció
interacción:
Encontrar el nn-ésimo nodo má
más
cercano al origen. (Este paso se
repetirá
repetirá para n = 1,2,…
1,2,…, hasta que el
n-ésimo nodo má
más cercano sea el nodo
destino).
2. Datos para la nn-ésima interacció
interacción: nn-1
nodos má
más cercanos al origen
(encontrados en las interacciones
previas), incluyendo su ruta má
más corta
y la distancia desde el origen. (Estos
nodos y el origen se llamará
llamarán nodos
resueltos; el resto son nodos no
7
resueltos).
3. Candidatos para el nn-ésimo nodo
más cercano: Cada nodo resuelto
que ésta conectado directamente
por una ligadura con uno o má
más
nodos no resueltos proporcionan
un candidato, y este es el nodo no
resuelto que tiene la ligadura má
más
corta. (Los empates proporcionan
candidatos adicionales).
8
4. Cálculo del nn-ésimo nodo má
más cercano:
Para cada nodo resuelto y sus
candidatos, se suma la distancia entre
ellos y la distancia de la ruta má
más corta
desde el origen a este nodo resuelto.
El candidato con la distancia total má
más
pequeñ
pequeña es el nn-ésimo nodo má
más
cercano (los empates proporcionan
nodos resueltos adicionales y su ruta
más corta es la que genera esa
distancia).
EJEMPLO 1
Ruta má
más corta
9
10
Seattle
1
Lineas Fairway Van
Determine la ruta mas corta entre Seattle y El Paso
para la siguiente red de carreteras.
497
180
3
Sac.
691
420
345
Reno
602
138
10
114
7
526
8
102
432
621
108
155
Barstow
Denver 9
Las Vegas
11
280
469
15
Albuque.
Phoenix
386
425
12
403
16
118
17
452
Kingman
207
14
San Diego
440
6
13
Los Angeles
Cheyenne
Salt Lake City
291
Bakersfield
Butte
2
Boise
4
432
Portland
5
599
Tucson
18
314
19
El Paso
2
Una representación del algoritmo de Dijkstra’s
1119
+ 420
SLC.=
SLC
BUT
CHY.
BOI
BOI
BOI.
Seattle
1
497
497
=
497
180
432
Portland
138
4
345
Reno
526
102
Los Angeles
… 11Y de esta
manera
Kingman
hasta cubrir 15toda la red..12
108
14
3
497
432
469
207
Albuque.
Pheonix
386
403
16
118
17
425
Tucson
Sujeto a las siguientes restricciones
180
452
155
Barstow
13
Seattle
Objetivo = Minimizar Σ dijXij
Denver 9
Las Vegas
280
San Diego
1
8
6
291
114
+ 602 =
SACSAC.
Cheyene
Salt Lake City
440
7
621
782
POR
691
Boise
10
Bakersfield
180
POR.
Xij = 1 si un transporte debe viajar por la carretera que
une la ciudad i con la ciudad j.
0 En cualquier otro caso
Butte
432
5
Sac.
612
+
432 =
BOIBOI
2
420
3
180
599
Solució
Solución - Analogí
Analogía de un problema de programació
programación
lineal
- Variables de decisió
decisión
842
345 =
+ SLC
SLC.
SLC
1290
691
+
SEA.
599
599
BUT.
18
14
19
314
El Paso
Butte
599
2
Boise
4
345
Portland
Salt Lake City
7
[El numero de carreteras para salir de Seattle (Nodo de inicio)] = 1
X12 + X13 + X14 = 1
De una forma similar:
[El número de carreteras para llegar a El Paso (Nodo final)] = 1
X12,19 + X16,19 + X18,19 = 1
Restricciones mayores que cero
Solución
SoluciónOptima
Optimapor
porWINQSB
WINQSB
[El número de carreteras para entrar a la cuidad] =
[El número de carreteras para salir de la ciudad].
Por ejemplo, en Boise (Ciudad 4):
15
X14 + X34 +X74 = X41 + X43 + X47.
16
Una empresa distribuidora surte a 7 supermercados con
distintas ubicaciones.
Los administradores desean conocer la distancia má
más corta
a cada uno de ellos, así
así como las distancias (Km
(Km))
EJEMPLO 2
Ruta má
más corta
17
18
3
Método tabular
3
3
8
2
SOLUCIÓ
SOLUCIÓN
CON WINQSB
4
19
20
Q
21
22
EJEMPLO 3
RUTA MÁ
MÁS CORTA
ENCONTRAR LA RUTA MÁS CORTA ENTRE O Y T.
LOS NÚMEROS SOBRE LOS ARCOS SE MIDEN EN
MILLAS.
23
24
4
(2, 0)
SOLUCIÓN
25
(2, O)
26
(2, O)
(5,O)
(4,O)
(4,O)
27
(2, O)*
28
(2, O)*
(7,A)
(5,O)
(2,A)
(4,A)*
(5,O)
(2,A)
(4,A)*
(3,B)
(4,O)*
(4,O)*
29
30
5
(2, O)*
(2, O)*
(7,A)
(8,B)*
(7,A)
(8,B)*
(7,E)
(5,O)
(2,A)
(4,A)*
(5,O)
(2,A)
(4,A)*
(3,B)
(7,B)*
(4,O)*
(4,O)*
31
(3,B)
(7,B)*
32
(2, O)*
Forma tabular
(7,A)
(8,B)*
(7,E)
(13,D)*
(5,O)
(2,A)
(4,A)*
(3,B)
(7,B)*
(4,O)*
LA RUTA MÁS CORTA REQUIERE 13 MILLAS.
33
34
35
36
EJEMPLO 4
RUTA MÁ
MÁS CORTA
6
Solución
37
38
39
40
41
42
7
43
44
45
46
310
EJEMPLO 5
(0,1)*
(110,1)*
(110,2)
(185,1)*
(160,3)
(295,2)*
(455,1)
(610,1)
(310,2) (420,2)*(455,2) (565,2)
(235,3) (420,3) (360,3) (545,3)
(160,4) (455,4) (235,4) (530,4)*
(160,5) (580,5)
47
RUTA MÁ
MÁS CORTA
48
8
Q
Q
Q
El costo de un automó
automóvil cuesta 12,000
dólares, el costo de mantenimiento depende
de la edad del auto al inicio del añ
año (ver
tabla).
Con la finalidad de evitar el costo de
mantenimiento alto, se da como cuota inicial
de un nuevo que es valorado de acuerdo a su
edad (ver tabla).
La preocupació
preocupación es minimizar el costo neto
incurrido en los pró
próximos 5 añ
años.
49
PRECIO DE
MANTENIMIENTO
ANUAL
2000
4000
5000
9000
12000
Q
SOLUCIÓN
Q
Q
PRECIO DEL AUTO POR
COTA INICIAL
EDAD DEL AUTO
1
2
3
4
5
7000
6000
2000
1000
50
La red tendrí
tendría {1,2,3,4,5,6} seis nodos el nodo i
corresponde al inicio del añ
año i; para i < j
El arco (i, j) corresponde a la compra del auto nuevo
al inicio del añ
año i y conservarlo hasta el inicio del añ
año
j.
La longitud del arco (i, j): llamado Ci,
Ci, j es el costo
neto total incurrido por ser el dueñ
dueño y tener el auto
desde el inicio del añ
año i hasta el principio del añ
año j, si
se compra un auto nuevo al inicio del añ
año i y se da
como adelanto al inicio del añ
año j
51
52
En miles de pesos:
C12
=
2
C13
=
2
C14
=
2
–
2
C15
=2 + 4 + 5
C16
=2+
4
C23
=
2
C24
=
2
=
12
C25
=2+
4+
C26
=2
+
53
50
+
+
+
= 21
+
+5
+
+
12
4
4
–
+
+
7
6
5
=7
= 12
+
9
+9
12
4
+
+
–
+
12
12
7
12
– 1 = 31
+ 12 = 44
=
7
–
6
5
4
+
+5
12–
12–
+9
2
+12
= 21
– 1 = 31
12
54
9
(0,1)*
(7,1)*
(12,1)*
(7,2)
(21,1)
(12,2)
(7,3)
(19,2)*
(31,1)
(21,2)
(12,3)
(7,4)
(44,1)
(24,3)*
(7,5)
(31,2)
(21,3)
(12,4)
(31,4)*
55
56
2
57
10