Movimiento rectilíneo potencial

MOVIMIENTO RECTILÍNEO DEL PUNTO EN UN
CAMPO DE FUERZAS ESTACIONARIO. ESTUDIO
CUALITATIVO
Índice
1. Introducción
2
2. Ecuación del movimiento y su solución
2
3. Análisis cualitativo de movimiento mediante interpretación
energético y del plano de fases
3.1. Diagrama energético del movimiento . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Puntos de parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Zonas permitidas y zonas prohibidas del movimiento .
3.1.3. Valor de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4. Valor de la Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Espacios y mapas de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Definición de espacio de fases . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Definición de diagrama o mapa de fases . . . . . . . . .
3.2.3. Definición de plano de fases . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Plano de fases de un sistema conservativo . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Ejemplo: caso potencial de movimiento rectilíneo . . .
3.4. Estabilidad lineal en el plano de fases . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Movimiento oscilatorio en un pozo de potencial . . . . . . . .
3.6. Otros movimientos posibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7. Analogía de la curva lisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Generalización del estudio cualitativo
gráfica del diagrama
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4
4
4
5
5
6
6
6
6
6
7
7
9
10
11
13
15
16
2
1.
Introducción
Se considera el movimiento de una partícula de masa m por una recta sometida a una fuerza que
tiene la dirección de la recta y que sólo es función de la posición que ocupa la partícula.
2.
Ecuación del movimiento y su solución
Se elige un sistema cartesiano cuyo eje de coordenadas Ox contiene la trayectoria, para expresar
las magnitudes vectoriales.
La fuerza que actúa sobre la partícula puede representarse por F̄ = F (x) ~ı.
Unas condiciones iniciales arbitrarias son:
x(t0 ) = x0
t = t0 :
ẋ(t0 ) = ẋ0
La ecuación de cantidad de movimiento será:
F (x) = mẍ
El campo de fuerzas definido de esta forma es irrotacional en toda la recta Ox, por lo tanto el
trabajo realizado por la fuerza F (x) cuando la partícula se mueve desde un punto x = a a otro x = b
no depende del camino recorrido y sí de las posiciones inicial y final. Esto implica que F (x) es un
campo de fuerzas potencial y por tanto el sistema considerado es conservativo. Se define la función
potencial del mismo como:
Z x
V (x) = −
F (x)dx
a
donde x = a puede ser cualquier punto regular de la primitiva, que se denomina origen del potencial
(o nivel nulo), y que no tiene repercusión en el movimiento.
La ecuación de la energía nos conduce, en este caso, a la integral de la energía:
1
1
T +V =E ⇒
mẋ2 + V (x) = E = mẋ20 + V (x0 )
2
2
Donde E = E(x0 , ẋ0 ) es una constante de integración que se determina con las condiciones iniciales
y que físicamente representa la energía mecánica que se conserva en este tipo de movimientos.
Esta ecuación diferencial ordinaria de primer orden debe ser resuelta. Despejando se tiene:
dx
2
= ±( [E − V (x)])1/2 → v = v(x)
dt
m
y separando las variables obtenemos:
r
m
dx
dt = ±
2 [E − V (x)]1/2
Integrando la ecuación entre (x0 , t0 ) y (x, t) se tiene:
r Z x
m
dξ
t − t0 = ±
→ t = t(x)
2 x0 [E − V (ξ)]1/2
que es esencialmente la solución de la ecuación del movimiento, reducida a una cuadratura1 .
Aparece, en principio, una indeterminación del signo ligada a la extracción de la raíz cuadrada
y asociada al signo de la velocidad. Para deshacerla hay que seleccionar el signo apropiado en cada
instante. Para discutir el signo en la fase inicial se desarrolla la velocidad en serie de Taylor en torno
al instante inicial:
ẋ(t) ≈ ẋ0 + ẍ0 (t − t0 ) + . . .
1
Se dice que la solución de un sistema de EDO queda reducida a cuadraturas cuando podemos expresar las variables
dependientes en términos de integrales indefinidas de la variable independiente.
3
Conclusiones:
Si ẋ0 6= 0 se acude al signo de la velocidad inicial:
• Si ẋ0 > 0 se elige el signo +.
• Si ẋ0 < 0 se elige el signo −.
Si ẋ0 = 0 se acude al signo de la aceleración inicial ẍ0 , o con su equivalente de acuerdo con la
ecuación de cantidad de movimiento, el de la fuerza en la posición inicial F (x0 ):
• Si F (x0 ) > 0 se elige el signo +.
• Si F (x0 ) < 0 se elige el signo −.
• Si F (x0 ) = 0 este tratamiento no tiene sentido, porque la partícula tiene inicialmente
velocidad y aceleración nulas y por tanto va a permanecer en reposo indefinidamente
(posición de equilibrio).
Una elección de signo sólo es válida hasta la siguiente anulación de la velocidad, en la que de
nuevo hay que replantearse si hay cambio de signo de la velocidad y si hay que elegir el signo opuesto.
Si la función V (x) fuera conocida y si existiera una primitiva elemental de la función del integrando
de la última cuadratura podríamos obtener la representación de la función t = t(x). Si además
existiera una función inversa elemental de esta última función, se podría obtener x = x(t).
4
3.
Análisis cualitativo de movimiento mediante interpretación
gráfica del diagrama energético y del plano de fases
Aunque no seamos capaces de encontrar la función x = x(t) es posible hacer una interpretación
cualitativa del movimiento a partir de las características del diagrama energético y del plano de fases
del sistema.
Unas condiciones iniciales arbitrarias son:
x(t0 ) = x0
t = t0 :
ẋ(t0 ) = ẋ0
El valor de la energía mecánica será:
1
E(x0 , ẋ0 ) = mẋ20 + V (x0 )
2
3.1.
Diagrama energético del movimiento
Se denomina diagrama energético a la representación gráfica de la función potencial y de la energía
mecánica (que, como se conserva, denominaremos nivel energético) en función de la posición de la
partícula. El nivel energético se representa por una recta horizontal.
E
V
V (x)
GRAFICA DEL
POTENCIAL
NIVEL ENERGÉTICO
xxx
xxxxxxxx
xxx
xxx
xxx
PER
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x
x
xxx
x
xxx
PRO
PRO
PRO xxxxxxxx
x
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
x
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
x
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
x
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
x
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
x0
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
PER
PER
PUNTOS DE PARADA
3.1.1.
Puntos de parada
Se denominan puntos de parada a aquellas posiciones en las que se anula la velocidad de la
partícula. Se calculan resolviendo la ecuación V (x) = E y son los puntos de corte del nivel energético
con la gráfica de la función potencial en el diagrama energético.
5
3.1.2.
Zonas permitidas y zonas prohibidas del movimiento
Como la energía cinética es siempre no negativa, es imposible que la partícula se encuentre en
una región donde V > E. A estas regiones se las conoce como zonas prohibidas. A las regiones donde
V ≤ E se las denomina zonas permitidas. Los puntos de parada separan diferentes zonas, tanto del
mismo tipo como de tipos opuestos.
La posición del punto correspondiente a las condiciones iniciales de un movimiento real debe estar
necesariamente dentro de una zona permitida. La partícula se mueve única y exclusivamente por esa
zona inicial permitida.
El tiempo tp que se tarda en alcanzar un punto de parada x = xp a partir de unas condiciones
iniciales arbitrarias que conducen a la partícula hacia él viene dado por la expresión:
r Z xp
m
dx
tp − t0 = ±
2 x0 [E − V (x)]1/2
Por ser x = xp punto de parada, es una raíz de la ecuación E −V (x) = 0 de orden de multiplicidad
arbitrario. Esta expresión está presente en el denominador del integrando y hace que dicha integral
sea impropia por integrando no acotado. El tiempo de acceso será finito o infinito dependiendo de
si esta integral impropia es convergente o divergente. Para analizar la convergencia de la integral se
utiliza el criterio de comparación con las integrales impropias del tipo:
Z a
dx
convergente si α < 1
(a, α ∈ R, a > 0) →
α
divergente si α ≥ 1
0 x
En las proximidades del punto de parada se tiene:
E − V (x) = (x − xp )β φ(x) | lı́m φ(x) 6= 0
x→xp
β < 2 CONVERGENTE ⇒ Punto de parada accesible en tiempo finito
β ≥ 2 DIVERGENTE ⇒ Punto de parada no accesible en tiempo finito
El tiempo que se tarda en alcanzar el infinito accesible a partir de unas condiciones iniciales
arbitrarias que conducen a la partícula hacia él viene dado por la expresión:
r
Z x
dξ
m
lı́m
t(x → ±∞) = t0 ±
2 x→±∞ x0 [E − V (ξ)]1/2
La integral es impropia porque el intervalo de integración no está acotado. El tiempo de acceso
al infinito será finito o infinito dependiendo de si esta integral impropia es convergente o divergente.
Para analizar la convergencia de la integral se utiliza el criterio de comparación con las integrales
impropias del tipo:
Z ∞
dx
convergente si α > 1
(a, α ∈ R, a > 0) →
α
divergente si α ≤ 1
x
a
De acuerdo al mismo se tiene:
E − V (x) = xβ Φ(x) | lı́m Φ(x) 6= 0, 6= ±∞
x→±∞
β > 2 CONVERGENTE ⇒ Infinito accesible en tiempo finito
β ≤ 2 DIVERGENTE ⇒ Infinito no accesible en tiempo finito
3.1.3.
Valor de la velocidad
El módulo de la velocidad de la partícula en una posición se determina mediante la siguiente
expresión:
2
|v(x)| = ( [E − V (x)])1/2
m
6
Una indicación del valor del módulo de la velocidad en el diagrama energético es la diferencia de cotas
entre el nivel energético y la gráfica de la función potencial. A mayor diferencia, mayor velocidad.
En los puntos de parada, obviamente, esta diferencia es nula.
3.1.4.
Valor de la Fuerza
La fuerza que actúa sobre la partícula en una determinada posición puede ser determinada mediante la relación:
dV
F (x) = −
dx
Esto significa que el valor de la fuerza está representado en el diagrama energético por el opuesto
de la pendiente de la gráfica de la función potencial. Por la segunda ley de Newton, la fuerza y
la aceleración son directamente proporcionales y además del mismo signo. En los puntos donde
la pendiente es positiva (resp. negativa) la fuerza y la aceleración tienen sentidos negativos (resp.
positivos). En los puntos donde la pendiente es nula no se aplica fuerza alguna sobre la partícula y
se denominan puntos de aceleración nula.
3.2.
Espacios y mapas de fases
3.2.1.
Definición de espacio de fases
Sea X un sistema mecánico formado por N partículas (i = 1, . . . , N). Su estado cinemático en un
instante es el conjunto de todas las posiciones y velocidades de sus partículas: {(r̄ i , v̄ i ); i = 1, . . . , N}.
Sean {qj ; j = 1, . . . , n} las coordenadas generalizadas del mismo (introducidas para considerar sus
ligaduras geométricas), y {q̇j ; j = 1, . . . , n} las velocidades generalizadas. Se demuestra que el estado
cinemático queda definido por {(qj , q̇j ); j = 1, . . . , n}. Supongamos que X está sometido a fuerzas
directamente aplicadas que derivan del potencial V (qj , t) y que T (qj , q̇j , t) es su energía cinética.
El espacio de fases (phase space) de X es un espacio 2n-dimensional cuyas coordenadas son las
variables canónicas de estado del sistema en el formalismo Hamiltoniano: {(qj , pj ); j = 1, . . . , n},
son los momentos generalizados conjugados y L(qj , q̇j , t) = T − V es la función
donde pj = ∂∂L
q̇j
lagrangiana asociada al sistema.
Hay un isomorfismo entre los posibles estados cinemáticos del sistema y los puntos del espacio de
fases. De ahí su utilidad.
3.2.2.
Definición de diagrama o mapa de fases
El mapa de fases (phase portrait) es la representación gráfica de las trayectorias posibles del punto
representativo del sistema en el espacio de fases, considerado como cartesiano. Por cada punto regular del espacio de fases pasa una única trayectoria que se recorre en un único sentido. La evolución
concreta de un sistema estará determinada por la trayectoria que pasa por el punto representativo
del estado inicial del sistema.
3.2.3.
Definición de plano de fases
El único mapa de fases representable es el correspondiente a n = 1, que se denomina plano de
fases (phase plane). Es habitual sustituir la coordenada momento conjugado p correspondiente a
la coordenada generalizada q por q̇, ya que suelen ser proporcionales (lo que es equivalente a reescalar los parámetros del sistema para que los coeficientes de proporcionalidad de momento frente
a velocidad generalizada valgan la unidad).
7
3.3.
Plano de fases de un sistema conservativo
Las trayectorias en el plano de fases de un sistema conservativo corresponden con las curvas
isoenergéticas del mismo. Dicho de otra forma, en un sistema conservativo la integral de la energía
es una representación implícita de la familia uniparamétrica de trayectorias en el plano de fases cuyo
parámetro es la energía mecánica del sistema. A cada punto del plano de fases le corresponde un
único valor de la energía mecánica y al estado inicial le corresponde fijar la energía mecánica de la
trayectoria real que seguirá el punto representativo del sistema en el espacio de fases.
3.3.1.
Ejemplo: caso potencial de movimiento rectilíneo
Definiciones:
Z x
1
∂T
2
T = mẋ
V (x) = −
F (ξ)dξ
n=1
q1 = x
p1 =
= mẋ
2
∂ q̇1
a
Como m > 0, vamos a trabajar en el plano cartesiano de coordenadas (x, ẋ).
Partimos de la integral de la energía:
1
mẋ2 + V (x) = E(x0 , ẋ0 )
2
diferenciando obtenemos el valor de la pendiente de la trayectoria en cada punto:
dẋ
V ′ (x)
mẋdẋ + V ′ (x)dx = 0 ⇒
=−
(Pendiente de la curva isoenergética)
dx
mẋ
Consecuencias:
En un punto crítico del potencial (x∗ : V ′ (x∗ ) = 0) la pendiente de la trayectoria en el plano
de fases se anula y la velocidad alcanza un valor crítico.
En un punto de parada (xp : ẋ(xp ) = 0) se tiene:
E − V (x) = (x − xp )β φ(x) : φ(xp ) 6= 0
E − V (x) ∼ |x − xp |β
r
2
ẋ = ±
[E − V (x)]
ẋ ∼ |x − xp |β/2
m
′
′
−V (x) = φ (x)(x − xp )β + βφ(x)(x − xp )β−1 −V ′ (x) ∼ |x − xp |β−1
Con lo que la pendiente de la curva isoenergética en los puntos de parada es:
dẋ
= β sign(ẋ)
dx
r
β
φ(x)
(x − xp ) 2 −1
2m
Se presentan los siguientes casos:
• 0<β<2
pendiente infinita
•
pendiente finita y no nula
β=2
• 2<β
pendiente nula
β
dẋ
∼ |x − xp | 2 −1
dx
8
Puntos de parada característicos:
1. Puntos de parada y cambio de sentido (β = 1)
ẋ
β=1
x
Figura 1: Caso β = 1
2. Puntos de parada perpetua (1 < β < 2)
ẋ
1<β<2
x
Figura 2: Caso 1 < β < 2
3. Puntos de parada asintóticos (β = 2)
ẋ
β=2
x
Figura 3: Caso β = 2
9
3.4.
Estabilidad lineal en el plano de fases (Solo leer)
Plano de fases para un SEDO lineal bidimensional:
x′ = ax + by
x
a b
′
⇔ {X} = [A]{X}
{X} =
, [A] =
y ′ = cx + dy
y
c d
El polinomio característico de [A] será:
PA (λ) = det(A − λI) = λ2 − tr(A)λ + det(A)
Además, factorizando las raíces se obtiene:
PA (λ) =
tr(A) = a + d, det(A) = ad − bc
2
2
2
Y
X
Y
(λ − λi ) = λ2 − λ
λi +
λi
i=1
i=1
i=1
Identificando coeficientes resulta:
2
2
X
Y
tr(A) =
λi = λ1 + λ2
det(A) =
λi = λ1 λ2
i=1
i=1
A la inversa:
tr(A)
λ1 , λ2 =
±
2
Los autovalores serán:
r
tr(A)2
− det(A)
4
complejos no reales si det(A) >
reales e iguales si det(A) =
tr(A)2
4
tr(A)2
4
reales y distintos si det(A) <
tr(A)2
4
El comportamiento del sistema está determinado por los autovalores λ1 , λ2 de la matriz [A]. Las
solución general será de la forma:

c1 eλ1 t {A1 } + c2 eλ2 t {A2 },
si son distintos;



λt
2
c1 e {A}, ∀{A} ∈ R
si son iguales y [A] es escalar;
{X} =
λt
e
[(c
+
c
t){A
}
+
c
{B}]
:

1
2
1
2


: ([A] − λ[I]){B} = {A1 }, si son iguales y [A] no es escalar.
La casuística que aparece se estudia en un plano cartesiano cuyos ejes
de abscisas y ordenadas son tr(A) y
det(A) respectivamente. Las curvas separatrices (casos críticos) se corresponden con:
tr(A)2
1. det(A) = 4 , que es una parábola de dicho plano;
2. tr(A) = 0, que es el eje de ordenadas;
3. det(A) = 0, que es el eje de abscisas.
det(A)
FOCOS
ESTABLES
NODOS
ESTABLES
CENTROS
SILLAS
det(A) =
NODOS
DEGENERADOS
tr(A)2
4
FOCOS
INESTABLES
NODOS
INESTABLES
tr(A)
LINEA CRITICA
SILLAS
10
Estos son los casos no degenerados:
Punto silla dos autovalores reales no nulos y de distinto signo: det(A) < 0
Nodo dos autovalores reales no nulos y del mismo signo: 0 < det(A) <
tr(A)2
.
4
inestable dos autovalores reales positivos: det(A) > 0, tr(A) > 0
estable dos autovalores reales negativos: det(A) > 0, tr(A) < 0
Foco, Espiral o Vórtice dos autovalores complejos con parte real no nula:
tr(A)2
4
< det(A).
inestable dos autovalores complejos con parte real positiva: tr(A) > 0
estable dos autovalores complejos con parte real negativa: tr(A) < 0
Además hay tres casos degenerados (puntos de las separatrices):
Centro un par de autovalores imaginarios puros: tr(A) = 0.
Las trayectorias locales del plano de fases son elipses (salvo la degenerada del centro).
Nodo degenerado dos autovalores reales idénticos: det(A) = tr(A)2 /4.
Las trayectorias locales concurren al nodo y pueden ser:
a) estrelladas radiales, si [A] es diagonal (estables si tr(A) < 0, inestables si tr(A) > 0);
b) estrelladas equitangentes, si [A] no es diagonal (estables si tr(A) < 0, inestables si tr(A) >
0).
Punto de línea crítica un autovalor nulo: det(A) = 0
En el último caso degenerado hay una infinidad de puntos fijos que corresponden al autovector con
autovalor nulo. Así, esos puntos fijos forman una línea del plano. Hay varios conceptos importantes
que son bastante bien ilustrados por el simple sistema lineal.
3.4.1.
Estabilidad
Todos los sistemas lineales pertenecen a una de estas categorías:
Asintóticamente estables soluciones atenuadas (nodos, focos y estrellas estables)
lı́m {X(t)} = {0} : tr(A) < 0, det(A) > 0
t→∞
Neutralmente estables soluciones periódicas (centros)
tr(A) = 0, det(A) > 0
Inestables soluciones amplificadas (Puntos silla, nodos y focos inestables)
11
3.5.
Movimiento oscilatorio en un pozo de potencial
replacemen
Llamamos puntos de cambio de sentido (del inglés “turning points”) a puntos de parada que no
son de aceleración nula.
Si x = xp es un punto de cambio de sentido entonces es una raíz simple (de orden de multiplicidad
uno) de la ecuación E − V (x) = 0. Esta ecuación está presente en el denominador del integrando y
hace que dicha integral sea impropia. Como el cero del denominador es de orden 1/2 dicha integral
impropia es convergente. Esto significa que el tiempo se tarda en acceder al punto de cambio de
sentido es finito.
Cuando la partícula se encuentra en una zona permitida limitada por dos puntos de cambio de
sentido vamos a comprobar que nos encontramos en presencia de un movimiento oscilatorio periódico.
Para ilustrar la aparición de movimiento oscilatorio en estas condiciones vamos a utilizar un
ejemplo de diagrama energético representado en la figura 4:
DIAGRAMA ENERGETICO
V (x), E
V (x)
E
x4
x3
x0
x
x1
x2 x5
ẋ
Figura 4: DIAGRAMAS ENERGÉTICO Y DE FASES (Ejemplo 1)
Supongamos que la partícula se encuentra inicialmente (t = t0 ) en la posición x = x0 con una
velocidad ẋ = ẋ0 > 0. En nuestro caso, los límites donde hay cambio de sentido son x3 y x2 , con
x3 < x2 . La partícula se mueve primeramente hacia la derecha con velocidad creciente (acelerada en
sentido positivo porque la pendiente es negativa) hasta que alcanza el punto de aceleración nula x1 . A
partir de éste continua moviéndose hacia la derecha pero con aceleración en sentido negativo (siendo
frenada). Luego la partícula alcanza el punto de parada x = x2 en tiempo finito y se detiene. Como
12
en él la pendiente del potencial es positiva se produce una fuerza de sentido negativo (y por tanto
una aceleración de sentido negativo) que impide a la partícula permanecer en reposo en el punto de
parada. Por esto abandona el punto de parada y retrocede.
Puede realizarse un análisis similar del movimiento hacia el punto de cambio de sentido de la
izquierda. Cuando se alcanza el punto x = x3 la partícula igualmente se para y cambia de sentido,
iniciándose un movimiento hacia la derecha, en el que alcanza el punto x0 en unas condiciones
idénticas a las iniciales. A partir de este momento se repite cíclicamente todo el proceso.
Se denomina ciclo a la parte del movimiento de la partícula delimitada por dos pasos consecutivos
por el mismo estado cinemático. Al tiempo de duración de un ciclo se denomina periodo de oscilación
del movimiento.
El periodo se calcula duplicando el tiempo que tarda la partícula en pasar del punto x3 al x2 , y
viene dado por la expresión:
Z x2
√
dx
p
T = 2m
E − V (x)
x3
que es una integral impropia en ambos extremos, pero convergente.
13
3.6.
Otros movimientos posibles
En este apartado se estudian los casos que se presentan cuando algún punto de parada (en la
frontera de una zona permitida) es de aceleración nula. En la figura 5 el punto x = x2 es un punto
de la gráfica de la función potencial con tangente horizontal.
DIAGRAMA ENERGETICO
V (x), E
V (x)
E
x4
x3
x0
x
x1
x2
ẋ
1<β<2
ẋ
β=2
Figura 5: DIAGRAMAS ENERGÉTICO Y DE FASES (Ejemplo 2)
14
El razonamiento anterior sobre el movimiento sería valido excepto en un entorno del mismo.
Dicho punto es una raíz de orden de multiplicidad mayor que la unidad de la ecuación E −V (x) =
0. A continuación se tiene que analizar si estos puntos de parada son accesibles en tiempo finito. Se
pueden presentar dos casos:
1. Si la raíz es de orden mayor que uno y menor que dos el denominador es un cero de orden menor
que uno y la integral es convergente. En este caso la partícula se aproxima a x = x2 cada vez
más lentamente pero llegando a alcanzar el punto de parada en tiempo finito y permaneciendo
en él indefinidamente, ya que la aceleración en el mismo es cero. Este caso es bastante raro,
puesto que V (x) no es desarrollable en serie de Taylor en dicho punto. Lo denominaremos punto
de parada perpetua.
2. Si la raíz es de orden mayor o igual a dos el denominador es un cero de orden mayor o igual que
uno y la integral es divergente. En este caso la partícula se aproxima al punto de parada x = x2
cada vez más lentamente sin llegar a alcanzarlo en tiempo finito. A este tipo de movimiento
se le denomina movimiento asintótico, porque se presenta una asíntota en la representación
gráfica de la curva x en función de t.
Cuando las condiciones iniciales son tales que abandonamos en reposo la partícula en un punto
crítico de la función potencial estamos haciendo que el nivel energético sea tangente a la gráfica de la
función potencial en dicho punto. Como dejamos la partícula en reposo en un punto de aceleración
nula permanecerá en reposo indefinidamente, debido a que se encuentra en equilibrio. Se denominan
a estos puntos posiciones de equilibrio.
DIAGRAMA ENERGETICO
Ejemplo 3a
Ejemplo 3b
Ejemplo 3c
Ejemplo 4
V (x), E
E
x∗
x∗
x
Figura 6: DIAGRAMA ENERGÉTICO (Ejemplos 3 y 4)
En estas condiciones aparecen otras dos situaciones:
1. Cuando la posición es un máximo relativo (Figura 6: ejemplo 3a) a ambos lados existen zonas
permitidas. Cuando la posición es un punto de inflexión con tangente horizontal (Figura 3:
ejemplos 3b y 3c) solo en un lado existe una zona permitida. Si existieran perturbaciones tendentes a sacar la partícula de su posición de equilibrio subirían verticalmente el nivel energético
y la partícula se movería hacia una de las zonas permitidas colindantes. En estos casos hablamos de posiciones de equilibrio inestable porque el movimiento resultante de la perturbación
es radicalmente distinto del reposo del que se parte.
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2. Cuando la posición es un mínimo relativo (Figura 3, ejemplo 4) a ambos lados existen zonas prohibidas. Si existieran perturbaciones tendentes a sacar la partícula de su posición de
equilibrio subirían verticalmente el nivel energético y la partícula quedaría moviéndose con
movimiento oscilatorio confinado en las proximidades del punto en cuestión. En este caso hablamos de posición de equilibrio estable porque el movimiento resultante de la perturbación es
próximo al reposo de partida.
Sea x = x∗ un punto de equilibrio y sean
x
t
x̃ =
t̃ =
(xc , tc magnitudes características del problema)
xc
tc
las variables adimensionales del problema.
Se dice que la posición de equilibrio es estable en el sentido de Lagrange si y solo si se satisface
la siguiente condición matemática
|x̃(t̃) − x̃∗ | < ǫ
|x̃(t̃0 ) − x̃∗ | < δ
∀ǫ > 0, ∃δ > 0 |
⇒
∀t̃ > t̃0
| dx̃
(t̃ )| < δ
| dx̃
(t̃)| < ǫ
dt̃ 0
dt̃
3.7.
Analogía de la curva lisa
Con todo lo expuesto anteriormente podemos descubrir la siguiente analogía:
El movimiento de la partícula en las condiciones anteriores es cualitativamente equivalente
al que se produce al abandonar en condiciones cinemáticas equivalentes un abalorio pesado
en un punto de una curva lisa contenida en un plano vertical y de ecuación z(x) =
V (x)/mg.
V = mgz(x)
T = 12 mẋ2 (1 + [z ′ (x)]2 )
⇒
t − t0
r Z xs
m
1 + [z ′ (x)]2
= ±
dx
2 x0 E − mgz(x)
La simple inspección del diagrama energético permite deducir de una forma rápida los aspectos
cualitativos más importantes del movimiento.
16
4.
Generalización del estudio cualitativo
Todo este estudio cualitativo del movimiento rectilíneo del punto sometido a un campo de fuerzas
que admite función potencial es generalizable a aquellas situaciones en las que disponemos de una
ecuación que puede escribirse en la forma:
dy
( )2 = C − f (y)
dx
Donde y, x son respectivamente las variables dependiente e independiente y C es una constante de
integración. A la función f (y) se la denomina potencial efectivo por analogía con lo anterior y se la
representa generalmente por Vef (y). La constante C juega el papel de nivel energético.
Por la analogía de las ecuaciones, la evolución cualitativa de la variable dependiente puede analizarse de la misma forma que la realizada en el movimiento rectilíneo del punto sometido a un campo
potencial estacionario.
También puede realizarse un estudio cualitativo en el caso de ecuaciones del tipo:
dy
( )2 = ϕ(y)
dx
sin más que identificar con el caso anterior:
E=0 ,
Vef (y) = −ϕ(y)