La torre de Hanoi

ENIGMAS
LA TORRE DE HANOI
En 1883, el matemático francés Édouard Lucas d’Amiens publicó un problema
bajo el pseudónimo de N. Claus de Siam. El problema se convirtió en un
entretenimiento conocido como Torres de Hanoi. Sin embargo, perduraría en la
legendaria forma que le dio De Parville al año siguiente.
Él refirió que en el gran templo de Benarés, debajo de la cúpula que marca el
centro del mundo, yace una base de bronce en la que se encuentran fijadas tres
agujas de diamante de un codo de altura y del grueso del cuerpo de una abeja.
En una de estas agujas, Dios, en el comienzo de los siglos, colocó sesenta y
cuatro discos de oro puro, el mayor sobre el plato de bronce, y los otros, en
orden decreciente de anchura, superpuestos hasta la cima. Esta es la Torre de
Brahma. Día y noche, los sacerdotes se turnan en la ocupación de transportar la
torre de la primera aguja de diamante a la tercera, sin desviarse de las reglas
fijas e inmutables impuestas por Brahma. El sacerdote no debe mover más de un
disco a la vez; y no debe colocar un disco más que en una aguja libre o sobre un
disco mayor. Cuando siguiendo estrictamente estas recomendaciones los sesenta
y cuatro discos hayan sido transferidos de la aguja en la que Dios los colocó a la
tercera, la torre y los brahmanes se convertirán en polvo y será el fin del
mundo.
Si los sacerdotes fuesen capaces de realizar un movimiento cada segundo,
¿cuál sería el tiempo necesario para trasladar la columna ?
ENIGMAS
SOLUCIÓN
•
Para encontrar la solución del puzzle con un disco, necesitaremos un único
movimiento.
•
Si tenemos dos discos, necesitaremos 3 movimientos:.
00
01
00
10
01
11
11
10
•
Con tres discos, son precisos 7 movimientos
000
011
100
111
110
101
010
001
000
100
•
Si tenemos n+1 discos, primero llevamos n
discos a otro de los postes. Esto nos da x
010
011
110
ENIGMAS
movimientos. Luego llevamos el disco restante (el mayor) al tercer poste, y
finalmente trasladamos los n discos menores encima del mayor. Total:
2·x+1 movimientos.
•
Para un disco n = 1, necesitamos 21-1 movimientos
•
Para dos discos n = 2, necesitamos 2·(21 - 1) + 1 = 22 - 1
•
Para n discos : 2 (2n-1 - 1) + 1= 2n - 1
•
Total, que si n = 64, el número de movimientos es 264 - 1 =
18.446.744.073.709.551.615
Si los brahmanes fuesen capaces de realizar un movimiento cada segundo (¡que
ya es transferir!), el tiempo necesario para trasladar la columna sería, aproximadamente, de 585.000.000.000 años, que viene a ser más de cien veces la edad
actual de nuestro sol, lo cual es suficientemente tranquilizador, al menos en lo
que respecta al problema que nos ocupa: ya encontraremos otro modo de acabar
con el mundo.