análisis de materiales concretos usados en la enseñanza del

ANÁLISIS DE MATERIALES CONCRETOS USADOS
EN LA ENSEÑANZA DEL SISTEMA DE NOTACIÓN
EN BASE DIEZ
El marco de presentación en el cual se inscribe la descripción, el análisis
y la presentación de materiales y tareas que ayudan al niño a construir
el sistema de notación en base diez, sigue el siguiente orden y
contenido:
Recuento Histórico
Presenta una breve reseña sobre la aparición y uso que han tenido los
materiales a través de la historia. Algunos materiales no presentan este
punto por no encontrar disponible tal información.
Descripción del material
Describe la forma como puede construir usted mismo el material.
Presenta la versión original o estándar del material y en muchos casos la
manera de adaptarlos con materiales menos costosos.
Presentación de una tarea
Presenta una tarea que permite el uso del material y facilita la
comprensión del análisis del material.
Análisis del material
En todo material que se utilice para la enseñanza de las matemáticas, es
posible señalar tres componentes básicos que ayudan a comprender las
dificultades que pueden presentar las tareas que sobre esos materiales
se realizan. Dos de estos componentes responden a elementos
fundamentales dentro de la estructura del sistema de notación en base
10: Operadores (ó número de veces que se repite una unidad del
sistema) y Unidades del sistema. El tercero es una propiedad de cada
material al que se asigna un valor especial en virtud de las operaciones
que sobre este puedan desarrollarse. Esta propiedad se nombrará en
adelante como Valor-Propiedad. Los Operadores y las Unidades
responden a elementos definidos por el sistema (Operadores: 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9; Unidades: 1, 10, 100, 1.000, 10.000,...) y el
Valor –Propiedad es una propiedad física del material sobre el cual se
desarrollan ciertas operaciones.
1
Por ejemplo, en el caso del Ábaco, el valor de posición es una propiedad
del material que se presenta en las barras o columnas donde se insertan
las fichas del Ábaco, para el Ábaco su Valor-Propiedad es el Valor de
Posición.
Como trabajar con el material
En esta sección aparecen más ejemplos de las distintas maneras de
trabajar con este material. Se debe tener en cuenta que estas tareas
pueden ayudar al niño en la construcción de las operaciones aritméticas
y algebraicas básicas para el desarrollo del conocimiento matemático,
no deben ser tareas que evalúen el desempeño de un niño frente al
contenido que la escuela considera como convencional.
2
ANALISIS DEL MANEJO
DE FICHAS DE COLORES
Descripción del material
Las Fichas pueden ser tapas de envases, botones, granos como frijoles y
garbanzos, pedazos de cartón o cartulina. Se recomienda que conserven
características perceptibles uniformes: forma, tamaño, consistencia.
Estos se pintan con temperas o vinilos, estos últimos más resistentes al
uso. Los colores pueden variar dentro del rango que el maestro decida.
En la búsqueda de tareas que ayuden a la construcción del Sistema de
notación en base 10, se recomiendan tantos colores como unidades del
sistema puedan trabajar con los niños.
Presentación de una tarea con fichas de colores
Se asigna a cada color un valor arbitrario, de acuerdo con las unidades
del sistema de notación en base 10 (1, 10, 100, 1.000, etc.).
Por ejemplo, una ficha roja puede valer uno, una ficha azul valer diez,
una amarilla valer cien y una verde valer mil.
El maestro/a muestra todas las fichas que quiera sobre una superficie y
pregunta, por ejemplo (mostrando una ficha de cada color): ¿Cuánto
tengo aquí?
Respuesta: 1.111
Esto es trabajar en una composición aditiva. De manera descriptiva se
puede presentar otro ejemplo:
Tapa roja que vale: 1, Tapa negra que vale: 100, Tapa azul que vale
1.000 y se presenta la siguiente composición:
3
Es posible trabajar simultáneamente la escritura de las operaciones
aditivas; utilizando este ejercicio de composición aditiva con fichas de
colores se pide al niño que escriba al frente de cada grupo de fichas
cuánto tiene y finalmente cuanto tiene en total:
2
300
1.000
_________
1.302
Otra actividad es: Entrégame 3.300 en fichas de color Negro. El niño
debe entregar, siguiendo las convenciones del ejemplo anterior, 33
fichas.
Análisis de las fichas de colores
En las fichas de colores, el color de cada ficha representa a las unidades
del sistema: rojo =1, verde =10, negro =100, azul =1.000,
amarillo =10.000 y de manera arbitraria, el resto de colores que se
quieran presentar y que correspondan a una unidad del sistema de
notación en base diez.
Los operadores responden al número de fichas: 2 fichas rojas = 2x1 =2,
3 fichas verdes = 3x10 =30, 3 fichas negras = 3x100 =300.
El Valor-Propiedad de este material es el color, sobre cada color se
encuentra una Unidad del Sistema de Notación en Base Diez.
Cómo trabajar con las fichas de colores
Presentación general. Se presentan al niño fichas de diferentes
colores, a los cuales se asignan valores diferenciados. Se empieza con
las fichas cuyo valor corresponde al período estipulado para su grado,
por ejemplo, para Preescolar y Primero de Primaria1:
1. “Estas fichas valen 1” (señalo las fichas rojas); “Estas valen 10”
(señalo las azules).
1
Las comillas señalan el diálogo que el maestro debe proponer al niño. Las frases son
ordenadas de acuerdo con la secuencia de presentación que sugerimos.
4
2. “Haz de cuenta que estas fichas son monedas”
“¿Cuánto vale esta ficha?” (señalando una ficha roja)
“¿Cuánto vale esta ficha?” (señalando una ficha azul)
3. “Ahora quiero que utilizando estas fichas (señalando fichas rojas y
azules) me entregues 12 pesos”
“En 12 pesos, cuántos de 10 hay?”
“En 12 pesos, cuántos de 1 hay?”
4. “Ahora quiero que utilizando estas fichas me entregues 23 pesos”
Cuando completa la composición, se recogen las fichas y se le pregunta:
5. “En 23 pesos ¿cuántos de 10 hay?”
“En 23 pesos ¿cuántos de 1 hay?”
Si el niño no contesta, o no entiende, se le dice:
6. “¿Cuántos de 1 hay en 10?”
“Entonces, en 23 ¿cuántos de 1 hay?”
Solamente con los niños que responden correctamente las equivalencias
en la tarea de 23 pesos.
7. “Ahora quiero me entregues el valor equivalente a 58 pesos”
Se recogen las fichas y se le pregunta:
8. “En 58 pesos ¿cuántos de 10 hay?”
“En 58 pesos ¿cuántos de 1 hay?”
Si responde correctamente se le dice:
9. “Ahora quiero me entregues el valor equivalente a 99 pesos”
Se recogen las fichas y se le pregunta:
10. “En 99 pesos ¿cuántos de 10 hay?”
“En 99 pesos ¿cuántos de 1 hay?”
11.
“Y si agrego una ficha de 1 peso, ¿Cuánto tienes?”
5
Si el niño responde “100”, se continúa con tareas correspondientes a un
rango superior, o sea, tareas para segundo y tercero de primaria.
Tarea sobre el operador. Después de terminar la tarea anterior se
trabaja con los niños que han tenido dificultad. Actualmente suponemos
que esta tarea es más fácil que la de composición. Este es un supuesto
que la práctica puede llegar a confirmar.
Para iniciar el trabajo con el niño, se debe utilizar la unidad
correspondiente al rango numérico en el cual cada niño trabajó con
éxito. Con los niños de primero se puede iniciar así:
1. “Si tienes dos fichas de 10 ¿Cuánto tienes?” (Entregando al/a la
niño/a dos fichas).
2. “Si tienes dos fichas de 100 ¿Cuánto tienes?” (Entregando al/a la
niño/a dos fichas).
3. “Si tienes dos fichas de 1.000 ¿Cuánto tienes?” (entregando al/a la
niño/a dos fichas).
6
ANALISIS DEL MANEJO DE COLLARES Y
PULSERAS CONSTRUIDOS CON MACARRONES
Descripción del material
•
•
Hilos
Macarrones (ó pastas que permitan ser unidas por hilos)
Con estos elementos se arman colares que pueden tener el siguiente
aspecto:
Presentación de una tarea con collares y pulseras
construidos con macarrones
Se puede trabajar en una mesa con varios niños. A cada niño se le
entrega una tira de hilo de aproximadamente 30 cm. Se ponen en el
centro de la mesa varios macarrones a disposición de los niños. El
maestro les pide armar un collar con el pedazo de hilo y 10 macarrones.
Si las posibilidades de conseguir bastante hilo y macarrones son
limitadas, el maestro puede trabajar con 1 collar por alumno.
7
Cuando los estudiantes han terminado de insertar los macarrones en el
hilo, el maestro pregunta a cada niño:
1. “¿Cuántos collares tienes?”
2. “¿Y cuántos macarrones tiene tu collar?”
Luego le pregunta a los estudiantes de una mesa (pueden ser 5 o 6):
3.
4.
5.
6.
7.
“Si junto otro collar, cuántos collares tengo?”
“¿Y cuántos macarrones son en total por esa cantidad de collares?”
“¿Y si son tres collares, cuántos macarrones hay en total?”
“¿Y si tengo 50 macarrones cuántos collares tengo?”
“¿Cuánto es cinco veces 10?”
A continuación el alumno debe escribir lo que ha hecho y lo que ha
hallado dentro de toda la actividad realizada.
Análisis de los collares y pulseras construidos con
macarrones
En los Collares y Pulseras construidos con Macarrones, se trabaja, de
forma inmediata, con dos unidades del sistema de notación en base
diez: 1 (cada macarrón que corresponde a las Unidades de uno ó
Unidades simples) y 10 (cada collar que corresponde a las Unidades de
diez ó decenas). Por encima de 10 collares, o asignando valores a los
Macarrones (1 Macarrón = 10) se obtienen otras unidades del sistema
de notación en base diez.
Los operadores corresponden al número de collares que cada niño tiene
ó a los que se hallan en cada mesa: 2 Collares = 2x0 =20 Macarrones, 3
Collares = 3 x10 =30 Macarrones. El Valor-Propiedad de este material
esta en la relación de equivalencia y a la propiedad de conmutabilidad
que se puede trabajar sobre el número de macarrones y el número de
collares: 1 collar = 10 Macarrones; 10 Macarrones = 1 Collar. A partir
de este Valor-Propiedad se puede trabajar la composición aditiva entre
Collares y posteriormente, trabajar en el paso de la composición aditiva
a la composición multiplicativa, directa e inversamente.
8
Cómo trabajar con collares y pulseras construidos con
macarrones
Hasta el momento solo nos hemos referido al trabajo con Collares, aún
cuando el título para este material es Collares y Pulseras. Otra forma de
trabajar con materiales construidos de la misma forma que los Collares,
es a través de Pulseras. Estas Pulseras pueden tener un número de
Macarrones que permitan el establecimiento de relaciones de
proporción. Por ejemplo, con Pulseras de 5 Macarrones, es posible
trabajar con el niño en la elaboración de correspondencia entre dos
Pulseras a la mitad de un Collar, o de manera inversa, con Collares que
representan el doble de una Pulsera.
9
ANALISIS DEL MANEJO
DE MONEDAS Y BILLETES
Descripción del material
•
•
Fotocopias de Billetes y Monedas de $1, $10, $100, $1.000 y
$10.000.
Cartulina o cartón paja sobre la cual se recortan la forma y tamaño
correspondiente a cada billete.
Las fotocopias de los billetes se pegan, cada uno, con pega-stick o
colbón. Para proteger los billetes se puede usar contac-t. Para las
monedas es necesario recortar cada moneda y pegarlas de la misma
forma como los billetes. Se debe tener cuidado con las copias de las
monedas, por que tienden a ser muy opacas y el niño no logra distinguir
las inscripciones.
Presentación de una tarea con Monedas y Billetes
Es indispensable que cada estudiante tenga su propio material. Se debe
facilitar al niño suficientes monedas de cada denominación, en especial
de las más bajas, para el desarrollo de tareas como la siguiente:
El maestro le entrega a cada alumno una bolsa con materiales y les
dice: “cuenten cuántas monedas de $ 1 tienen (20 monedas de $1),
cuántas de $ 10 (10 monedas de $10), cuántas de $ 100 (10 monedas
de $100) y cuántas de $ 1.000 (10 monedas de $1.000)” A continuación
les pregunta: “cuánto dinero tienen en monedas de
$ 1, cuánto en
monedas de $ 10, cuánto en monedas de $ 100 y cuánto dinero les da
todo eso en total. Les pide que escriban en su hoja de trabajo los
resultados que encontraron.
Luego de que escriban pregunta: “¿Cuantas monedas de $1 me das para
cambiar esta moneda $10?”
El niño debe entregar:
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Con este material se pueden establecer relaciones que pertenecen al
sistema de notación en base diez: de equivalencia (10 de $1 equivalen a
1 de $10) y de orden (10 > 1, 1 < 10). En el análisis de este material
10
quedará un poco más claro a que se refieren estas propiedades y como
influyen dentro del trabajo que se puede realizar con el niño.
Análisis de las monedas y billetes
Este material requiere de una mayor atención por parte de quien lo
manipule o utilice en actividades para enseñar matemáticas a los niños.
Las inscripciones de cada moneda y billete corresponden al valor que
guarda cada elemento dentro sistema monetario local (Ej. , Pesos
Colombianos para Colombia, Bolívares para Venezuela, Dólares para
Estados Unidos) Los elementos, de casi todo sistema monetario local,
responden a las propiedades del sistema de notación en base diez:
Unidades del sistema: 1, 10, 100, 1.000, 10.000. Los operadores
responden al número de billetes o monedas que se presenten y el ValorPropiedad esta en el valor numérico de las inscripciones de cada
elemento.
Con estas precisiones es necesario un gran esfuerzo para comprender
que cuando se habla del valor numérico de las inscripciones, se deja
atrás la propiedad de los objetos concretos respecto a la cantidad.
Cuando trabajamos con objetos concretos, cualquiera que ellos sean,
trabajamos de manera directa con la cantidad de objetos presentes.
Cuando trabajamos con los números no se trabaja con cantidades, se
trabaja con valores numéricos que no tiene que ver nada con la
cantidad, para este caso, de monedas o billetes.
Observemos detalladamente, en el ejemplo de trabajo con monedas de
$1 y $10, como la cantidad de monedas puede ser apreciada por el
niño:
Pocas monedas = Poco Dinero
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Muchas monedas = Mucho Dinero
Para la cantidad de monedas: 10 monedas son más que 1 moneda
11
Ahora vamos a observar, sobre este mismo dibujo, todas las
propiedades que guarda este material, propiedades que no recaen sobre
la cantidad de monedas:
Valor de una moneda $10 = $1+$1+$1+ $1+$1+$1+ $1+$1+$1+$1
Relación de Orden:
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
$10>$1
Valor de 10 monedas $1 = $10
Para el valor numérico: 10 monedas de $1 equivalen a 1 moneda de $10
Cuando se dice que una moneda de $1 vale menos que una moneda de
$10, se habla del valor de la moneda. Si se comparan estos valores
($10 y $1) la conclusión a la que se llega es: 10 es mayor que 1 y 1 es
menor que 10. No se trata de ningún acuerdo entre banqueros o entre
quienes hacen los billetes y las monedas. Se trata de valores numéricos,
valores que responden a las propiedades del sistema de notación en
base diez, sistema del cual toman su forma y estructura.
Dentro del sistema de notación en base diez esta afirmación: 10 es
mayor que 1 y 1 es menor que 10, recibe el nombre de Relación de
Orden. Otra relación que se puede apreciar entre los elementos que
conforman este material y que hace parte de las propiedades del
sistema de notación en base diez, es la Relación de Equivalencia entre
las unidades del sistema: diez que valen 1equivalen a uno que vale 10.
Esta aclaración se debe a que a partir de este material, las
consideraciones sobre las relaciones y las operaciones que se pueden
realizar, es decir las tareas que pueden presentarse al niño, se hacen
más complejas y requieren una atención y un conocimiento sobre el
sistema de notación en base diez que la persona que las manipule no
puede dejar de considerarlas como básicas. No conocerlas pueden llevar
a desperdiciar tanto la riqueza del material como el tiempo y la atención
del niño.
12
Cómo trabajar con monedas y billetes
Es posible recuperar el trabajo señalado con las fichas de colores. Pero
este no es el único trabajo que se puede desarrollar con este material.
El maestro le pide al alumno que le cambie una moneda de $10 por
monedas de $1.
¿20 monedas de $ 1 por cuántas monedas de $ 10 se pueden cambiar?.
¿20 o 30 monedas de $ 1 por cuántas monedas de $ 10 se pueden
cambiar?.
Proponiendo tareas de “cambios” (equivalencias) entre unidades de
1.000 y unidades de 10; unidades de 1.000 y unidades de 100;
unidades de 100 y unidades de 10, etc. Ejemplo: Tienes $ 3.420, ¿Por
cuántas monedas de 100 me puedes cambiar esa cantidad?, sobra
algo?, ¿Por cuántas monedas y de qué denominación me puedes
cambiar ese sobrante?.
Este material permite al maestro llevar al alumno a la composición
multiplicativa con preguntas como:
1. Para tener $ 300, ¿cuántas monedas de $ 100 necesito?
2. ¿Cuántas monedas de $ 10 necesito?
3. ¿Cuántas monedas de mil tienes?, ¿Cuánto dinero es eso?, ¿Y dos
veces mil cuánto es?, ¿Y tres veces mil cuánto es?, ¿Y cuatro veces
mil?, ¿Y cinco veces mil?, ¿Y seis veces mil?, ¿Y siete veces mil?, ¿Y
ocho veces mil?, ¿Y nueve veces mil?, ¿Y 10 veces mil?.
4. Una vez contesten estas preguntas, los niños deberán escribir los
numerales 1.000, 2.000, 3.000, 4.000... , 10.000.
13
ANALISIS DE LAS REGLETAS
DE CUISENAIRE
Descripción del material
Esta presentación corresponde al material original. Las regletas de
Cuisenaire están elaboradas en madera, pero se pueden construir con
otro tipo de materiales como cartulina ó cartón cartulina. La siguiente
descripción pertenece a las cualidades, propiedades y el número de
unidades por grupo de regletas que deben guardar los elementos que se
elaboren en cualquier material:
Longitud de las regletas
en cm. y número que
representan
Número
de
regletas
Color
Familia
de
colores
Longitud
acumulada
en cm.
1
50
Madera
natural
Madera
50
2
50
Rojo
4
25
Carmín
100
100
Rojo
8
12
Marrón
rojizo
96
20
Amarillo
100
5
Amarillo
10
10
Naranja
100
14
Longitud de las regletas
en cm. y número que
representan
3
Número
de
regletas
Color
33
Verde claro
99
16
Verde
oscuro
96
6
Familia
de
colores
Longitud
acumulada
en cm.
Verde
9
11
Azul
14
Negro
99
7
Negro
98
15
Presentación de una tarea con regletas de cuisenaire
La forma optima de trabajar con las regletas de Cuisenaire es
entregando a cada niño un juego completo de regletas, en cantidades
descritas en los cuadros anteriores. Este material presenta enormes
posibilidades de ejercicio en el aula y solo se describen a continuación
unas pocas formas de trabajo.
Los ejercicios que deben realizarse se pueden dividir en dos etapas: una
primera que tiene que ver con el reconocimiento de los valores
presentes en las regletas, y otra segunda para establecer relaciones de
equivalencia y orden entre los elementos, es decir entre las regletas.
En esta segunda etapa de ejercicios (relaciones de equivalencia y orden)
se colocan dos regletas de 1 cm. (color madera) junto a una regleta roja
y se pregunta al niño: ¿Cuál de todas las regletas has formado aquí?
Luego se hace el ejercicio inverso: se coloca una regleta amarilla (5) y
se pregunta al niño: ¿cómo puedes formar esta misma regleta con las
demás regletas?
Análisis de las regletas de cuisenaire
Las regletas toman valores que cubren los primeros diez números
naturales.
Todos los grupos de regletas, es decir por cada número del 1 al 10,
guardan una relación de longitud exacta a la relación numérica que
representan: 1+1=2, 2+1=3, 2+2=4 y así hasta agotar todas las
combinaciones posibles.
En este material aparece de manera tangible el teorema de Peano (1858
– 1932) donde “Cualquier numero natural es producto de la operación
más uno”; luego “n + 1” es igual a un número natural.
Estas propiedades del material permiten analizar, desde las relaciones
que se establecen dentro de cada grupo de regletas, como cada regleta
es la unidad de su propia base. La regleta color madera es la unidad de
1. la regleta roja es la unidad de 2. la regleta verde claro la unidad de 3
y así sucesivamente. Cada regleta, para cada color, es la unidad de su
propia base.
Tal y como han sido organizados en la presentación del material los
elementos por familia de colores, vemos en esta cualidad del material
16
una posibilidad más de establecer relaciones aritméticas de proporción:
la familia del rojo trabaja mitades (4 mitad de 8, 2 mitad de 4). La
familia del verde mitades y tercios (3 mitad de 6, 3 un tercio de 9).
Este ultimo análisis permite establecer la forma de trabajar razones y
proporciones que enunciaremos en el siguiente punto.
Cómo trabajar con las regletas de cuisenaire
Como ya se indicó, se pueden establecer razones y proporciones con las
regletas de Cuisenaire:
Para los niños de cuarto y quinto:
Se toma una regleta roja junto a una regleta carmín. se pregunta al
niño:
1. ¿Esta regleta (roja) que parte es de esta regleta (carmín)?
2. ¿Esta regleta (amarilla) que parte es de esta regleta (naranja)?
3. ¿Puedes establecer una relación entre estas partes?¿Cual?
17
ANALISIS DE CUBOS DE DIENES
Descripción del material
Los cubos de Dienes son construidos, generalmente, con materiales que
permiten reconocer su tridimensionalidad: tienen largo, ancho y altura.
El material que más se utiliza para construirlo es la madera. El siguiente
gráfico muestra el aspecto de este material:
CUBOS DE DIENES
Tenemos cubos pequeños, columnas o barras, cuadrados o planos y
cubos grandes.
Las dimensiones entre cada grupo guardan una proporción así:
ƒ
ƒ
ƒ
Si las dimensiones de los cubos pequeños son: 1cm. de largo x 1cm.
de ancho x 1cm. de altura, entonces las dimensiones de las columnas
o barras tiene que ser: 1cm. de largo x 1cm. de ancho x 10cm. de
altura
10 barras, puestas una junto a otra, corresponden a un cuadrado de
dimensiones: 1cm. de largo x 10cm. de ancho x 10cm. de altura.
10 cuadrados o planos de Dienes puestos uno junto a otro,
corresponden a un cubo grande de: 10cm. de largo, 10cm. de ancho
y 10cm. de altura.
Otra versión del material, en el que puede emplearse cartulinas o
cartones de colores, se prepara recortando:
ƒ
ƒ
ƒ
50 cuadrados de 1cm. de lado.
10 rectángulos de 1 cm. X 10 cms. En cada rectángulo se marcan los
10 cuadrados (de 1 cm. De lado) que lo forman. A cada rectángulo se
lo denomina, como con el material tridimensional, barra.
1 cuadrado de 10 cms x 10 cms. dividido por trazas que configuran
100 cuadrados de 1 cm. de lado. Este cuadrado se denomina tabla.
Presentación de una tarea con cubos de Dienes
Este es un material privilegiado para trabajar la equivalencia entre las
unidades del sistema de notación en base diez, por que es apreciable
perceptivamente esta relación entre ellas:
18
10 cubos pequeños equivalen
a 1 barra:
10 barras equivalen
a 1 plano:
El maestro puede hacer el trabajo de equivalencia entre unidades, así
como la composición y descomposición de las unidades, de forma similar
a la descrita en los materiales anteriores.
Los Cubos de Dienes permiten introducir al niño en el trabajo con los
decimales. Esta no es una labor sencilla y requiere de una preparación y
asesoría profesional que debe ser cuidadosa al momento de trabajar con
el niño. Por ejemplo, diez unidades de diez cubitos (10 barras),
equivalen a un elemento cuadrado (1 plano). Cien cubitos, equivalen a
un elemento cuadrado (1 plano). Es decir que 1 cubito es un centésimo
de un plano y un décimo de una barra. Una barra es un décimo de un
plano.
19
Análisis de los cubos de Dienes
Se compone de cuatro grupos de elementos que corresponden, como lo
indica otro de los nombres que este material recibe, “Bloques en Base
Diez”, a las unidades del Sistema de Notación en Base Diez. Los grupos
de elementos son:
1. Cubos pequeños que corresponden a unidades de 1
2. Columnas o barras de 10 cubos unidos que corresponden a las
decenas
3. Bloques planos de 10 columnas unidas que corresponden a las
centenas
4. Cubos compuestos por 10 bloques de centenas unidos que
corresponden a las unidades de mil.
Pero esta es tan solo una de las posibles convenciones a las que se
puede llegar y esta propiedad es lo que hace de este material un
verdadero tesoro para la comprensión del SNBD. Labinowicz (1989)
expresa como a través de los cubos de Dienes se puede avanzar, como
parte de una actividad simbólica compleja, en la composición de todas
las unidades del sistema. Esta posibilidad se obtiene así:
GRAFICO LABINOWICZ
En el gráfico observamos los siguientes niveles:
1.
2.
3.
4.
Modelos o material concreto: Cubos de Dienes
Palabras numero
Notación Arábiga
Notación en base diez
Desde el primer elemento se puede apreciar la propiedad iterativa de
las unidades del SNBD. Todas, sin excepción, se forman como producto
de 10 unidades de orden anterior. Sobre el material se observa la
correspondencia en las dimensiones de cada elemento. A partir de las
tres primeras unidades del sistema (1, 10, 100) la regularidad en las
palabras numero y en la notación arábiga, es evidente.
Cómo trabajar con los cubos de Dienes
Tarea1. Reconocimiento del material. A cada alumno se le entrega
una bolsa con el material inspirado en los cubos de Dienes, previamente
20
descrito. El maestro pide a todos los estudiantes que saquen los
cuadrados que corresponden a las unidades (cuadrados de 1 cm. De
lado) y cuenten cuántos hay por todos:
Cuántas unidades hay?.
A continuación les pide que saquen las barras (rectángulos de 1 cm. X
10 cm.) y cuenten las unidades en que están divididas. Luego, que
superpongan las unidades individuales sobre la barra con el fin de
comprobar que ésta es igual a 10 de 1. El maestro dirige el trabajo con
preguntas como:
¿Cuántas barras hay?
¿Cuántas unidades tiene cada barra?
¿Cuánto vale cada barra?
¿Cuántas unidades hay entre todas las barras?
Después de esta introducción de las unidades y las decenas, el maestro
puede pedir a sus alumnos componer números en el rango de los 10 con
el material que tienen a su disposición, por ejemplo:
Dicta el número 35 y pide que lo compongan. Los niños lo pueden hacer
con las unidades separadas o combinando barras y unidades. El maestro
puede aprovechar esta tarea para preguntas al niño:
¿Cuántas unidades hay en esa cantidad?
¿Cuántas decenas hay en esa cantidad? (Ver el número barras que la
componen).
En caso de que el maestro considere que los niños pueden avanzar a las
unidades de 100, puede introducir entonces la tabla y formular
preguntas como:
¿Cuántas unidades hay en cada tabla?
¿Cuántas barras (decenas) hay en una tabla? (Compruébenlo ustedes
mismos colocando barras sobre la tabla hasta cubrirla completamente y
cuenten las barras que utilizaron para esto).
Es importante que el maestro siempre pida a sus alumnos escribir todo
lo que hacen, las preguntas que el maestro les formula, las respuestas,
etc.
Tarea2. Equivalencias entre unidades. Después de haber llevado a
cabo la tarea de introducción del material, el maestro le pide a los
alumnos que junten dos barras (2 de 10 = 20 de 1) y cuenten cuántas
unidades hay entre ambas. Continúa: Ahora junten tres barras, cuántas
unidades hay en total? Y si son cuatro barras?, Y si tengo 50 unidades,
21
cuántas barras tengo?, y pide aumentar barras o unidades hasta llegar
a 9 barras ( 9 de 10) que equivalen a 90 unidades. Después les pide que
agreguen una barra más para completar 10 barras (10 de 10 = 100 de
1) y pregunta: Por cuántas unidades pueden cambiar estas 10 barras?.
A continuación orienta a los alumnos con preguntas como: Estas diez
barras, o estos cien cuadrados por cuántas tablas (100 de 1) los puedo
cambiar?, Si reúno 10 cuadrados (10 unidades) podría cambiarlos por 1
barra?. Finalmente el maestro junta diferentes cantidades de cuadrados
(de unidades) y le pide a los alumnos que se las cambien por barras
(decenas) y por tablas (centenas).
Tarea 3. Composición de números. Después que el alumno se ha
familiarizado con el valor de las distintas partes que conforman el
material (los cuadrados que valen 1, los rectángulos que valen 10 y el
cuadrado que vale 100), el maestro le dicta un número para que lo
represente. El número que escoja el profesor será aquel que se
encuentre dentro del rango numérico que maneja el alumno. Después
de que el estudiante ha representado su número, debe explicar cuántas
unidades, decenas y/o centenas utilizó para esta composición, y escribir
lo que hizo en su hoja de trabajo. Por ejemplo:
El maestro le dicta el número 112. El alumno puede representarlo con:
• 1 tabla (que vale 100), 1 barra que vale 10 y dos cuadrados (2
unidades), o
• 11 barras (que valen 10 cada una) y dos cuadrados (2 unidades), o
• 112 cuadrados (112 unidades).
Después de que el alumno ha representado el número, por ejemplo el
112 con 1 tabla (que vale 100 unidades), una barra (que vale 10
unidades) y 2 cuadrados (unidades), el maestro le puede preguntar:
Por cuántas unidades me cambias las barras de 10?. Estas dos unidades
me las podrías cambiar por una barra que vale 10?, porqué?, Por
cuántas barras ( de 10) me puedes cambiar esta tabla que vale 100?.
El maestro puede pedir al alumno que aumente 8 cuadrados más y
preguntarle: Cuánto completaste?, Estas 10 unidades por qué las
puedes cambiar?, Cómo los puedes representar? (hacer equivalencias).
El maestro puede aumentar o disminuir el rango numérico en que está
trabajando su alumno dependiendo del nivel de conocimiento en que
éste se encuentre. (Bajar a las unidades o pasar a las centenas o a las
unidades de mil, etc.)
22
ANALISIS DEL ÁBACO
Recuento histórico
El ábaco fue utilizado tanto por las civilizaciones precolombinas y
mediterráneas como en el Lejano Oriente. En la antigua Roma, era un
tablero de cera cubierta con arena, una tabla rayada o un tablero o tabla
con surcos. A finales de la edad media los mongoles introdujeron el
ábaco en Rusia, que provenía de los chinos y los tártaros, el cual todavía
se utiliza hoy entre pequeños comerciantes. En China y Japón, también
lo utilizan muy a menudo hombres de negocios y quienes realizan
operaciones contables. Los usuarios expertos son capaces de realizar
operaciones de forma más rápida que con una calculadora electrónica.
Descripción del material
Debido a la enorme comercialización que tiene este material, es posible
encontrar ábacos de diversas formas (verticales, horizontales, cerrados)
y construidos con diversos elementos: madera y alambre, resinas,
acrílicos. En la versión que usamos, la base es de madera y las fichas
que se insertan pueden ser de corcho o madera. El siguiente gráfico
muestra su aspecto y dimensiones:
23
4 cm
1 cm
19 cm
3 cm
2 cm
27 cm
0,7 cm
4 cm
Presentación de una tarea con el ábaco
Esta primera tarea permite al niño reconocer la lógica del ábaco. El
maestro pone el ábaco frente al niño y dispone las fichas sobre la mesa,
entonces dice:
1. “Si coloco esta ficha aquí (en la primera posición de derecha a
izquierda) la ficha vale uno”:
24
2. “Si la coloco aquí (posición correspondiente a la barra siguiente), vale
10”
3. Se ponen 2 fichas en la posición correspondiente a las unidades que
valen 1 y pregunta:
¿Cuánto hay aquí?
4. Si el niño contesta “dos”, se le dice, trasladando las dos fichas a la
posición de las unidades que valen 10:
¿Y si las coloco aquí, cuánto hay?
5. Si el niño contesta “veinte”, se cambian las fichas a la siguiente barra
hacia la izquierda y pregunta:
¿Y aquí cuánto vale? (Posición correspondiente a las unidades que valen
100)
6. Si contesta correctamente, se le dice:
¿Y cuánto valdrá en esta posición? (Señalando la siguiente barra hacia la
izquierda) y se avanza hasta completar todas las barras
7. Si el niño no contesta en alguna de las unidades, se puede trabajar
de la siguiente manera, para el ejemplo donde se hallan dos fichas a
la posición de las unidades que valen 10:
25
¿Y si las coloco aquí, cuánto hay?
8. Si el niño contesta “dos”, se pregunta:
¿Cuánto dijimos que valían las fichas aquí? (cambiando las fichas a la
posición de las unidades que valen 1)
9. Si contesta “uno”:
¿Cuánto valen las fichas aquí? (En la posición correspondiente a las
unidades que valen 10)
10.
Si contesta 10:
¿Y si coloco dos aquí, cuanto hay? (en la posición inicial, es decir en las
unidades que valen 10)
11. Si dice “veinte”:
Si pongo 3 fichas aquí ¿Cuánto hay?
12. Si el niño contesta correctamente:
Si pongo 4 fichas aquí, ¿Cuánto hay?
13. Si el niño contesta correctamente, se pone repetidamente una
ficha y se pregunta con cada ficha “¿Ahora cuánto tienes?” hasta
completar nueve fichas en esta posición. Cuando se completan las 9
fichas en la posición correspondiente a las unidades que valen 10, se
pregunta:
¿Si completas 10 de 10 cuánto tienes?
14.
Si el niño contesta correctamente, se le dice:
26
¿Cuánto valdrá esta ficha en esta posición? (Sacando las fichas de la
posición correspondiente a las unidades que valen 10 y colocando 1
ficha en la posición correspondiente a las siguientes unidades)
Análisis del ábaco
Para empezar, es claro en los ejemplos anteriores, que este un material
claramente posicional, es decir que ofrece como propiedad, la
posibilidad de trabajar con el valor de posición. De esta manera y
trabajando adecuadamente, el material coincide con la escritura de
numerales.
Observemos en detalle como se registra el valor de posición dentro del
material:
100000
10000
1000
100
10
1
105
104 103
102
101 100
Una misma ficha en diferentes posiciones, representa un valor que
corresponde a cada unidad del SNBD. Esto es análogo a lo que ocurre
con la escritura de numerales: un dígito escrito en una posición
particular, representa el valor de una unidad del SNBD. Para el ejemplo
de la gráfica anterior, el numeral a escribir es:
111.111
El cero se representa en el ábaco con la ausencia de fichas. Cada ficha
representa al numero de veces que se repite la unidad. De esta manera,
las fichas son los operadores del sistema. En el SNBD los operadores
son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Por esto, cuando se trabaja con el ábaco
de manera adecuada, en cada barra no pueden haber más de 9 fichas.
10 fichas en una barra equivalen a una ficha en la unidad siguiente. Los
27
operadores multiplican a cada unidad y cuando en una unidad se llega al
último múltiplo posible para ese orden (pe. , en 100,9; 101,90; en
102,900) el múltiplo siguiente pertenece a la unidad de orden superior.
Esto hace del SNBD un sistema muy poderoso de representación. A
partir de un número finito de operadores es posible construir un
numero infinito de números.
Cómo trabajar con el ábaco
El ejemplo de trabajo inicial, se puede continuar así:
¿Cuánto valdrá esta ficha en esta posición? (Sacando las fichas de la
posición correspondiente al orden 101 y poniendo 1 ficha en la posición
correspondiente al orden 102)
Si el niño no contesta, se le dice:
“En esta posición, cada ficha vale 100”
Si el niño contesta correctamente, se le dice:
“¿Y cuánto valdrá en esta posición?” (Señalando la posición
correspondiente al orden 103)
Cuando el niño contesta correctamente en una unidad, se puede
trabajar la composición de números para dicha unidad. Cuando no
contesta correctamente y no comprende las observaciones que el
maestro hace sobre el valor de las fichas en cada posición, es preferible
componer en unidades de orden inferior al que fallan o no comprenden.
T1. Tareas de composición en el ábaco
Tarea demostrativa
Con los niños de segundo y tercero, se puede empezar con números
como 32 y después se pasa al orden correspondiente para cada grado:
Ahora quiero que utilizando estas fichas, hagas el número 32. Si el niño
responde correctamente, se tapa el ábaco con un cartón y se le
pregunta:
28
¿Cuantos de 10 necesito para formar o tener en 32?2
¿Cuantos de 1 necesito para formar o tener en 32?
Si el niño responde correctamente:
T1.1. Tarea de composición en el ábaco para segundo
Ahora quiero que utilizando estas fichas, hagas el número 245.
Se tapa el ábaco y se le pregunta:
¿Cuántos de 100 necesitas para formar o tener 245?
¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 245?
Si el niño no entiende, se dice:
¿Cuántos de 10 hay en 100?
Entonces, ¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 245?
¿Cuántos de 1 necesitas para formar o tener 245?
Si el niño no responde correctamente, se trabajan composición con 800
y no se trabaja equivalencia.
Si el niño responde correctamente, se le dice:
Ahora quiero que hagas el 800
Se tapa el ábaco y se le pregunta:
¿Cuántos de 100 necesitas para formar o tener 800?
¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 800?
Si el niño no entiende decirle:
¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 100?
Entonces, ¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 800?
¿Cuántos de 1 necesitas para formar o tener 800?
Si el niño responde correctamente pasar a las tareas del período
siguiente.
2
Si el niño entiende se le dice: ¿Cuántas decenas necesitas para formar el 32?(en este
caso)
29
T1.2 Tarea para tercero3
Ahora quiero que utilizando estas fichas (el maestro señala las fichas del
ábaco) hagas el número 1.342
Si no entiende se hace la tarea demostrativa para componer 32.
Cuando completa la composición, se tapa el ábaco y se le pregunta:
¿Cuántos de 1.000 necesitas para formar o tener 1342?
¿Cuántos de 100 necesitas para formar o tener 1342?
Si el niño no responde, preguntar:
¿Cuántas centenas hay en 1342?
Si el niño no entiende o contesta incorrectamente, entonces se le
pregunta:
En mil ¿cuántos de 100 hay?
Si contesta “diez” se le dice:
Entonces, ¿cuántos de 100 necesitas para formar o tener 1342?
Si contesta “trece” se le dice:
En mil ¿cuántos de 10 hay?
Si contesta “cien” se le dice:
¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 1342?
Si el niño no contesta bien se le entrega una hoja de papel y se le dice
que escriba el número y se le pregunta:
¿Cuántos de 100, o centenas, necesitas para formar o tener 1342?
Si responde correctamente se le dice:
¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 1.342?
¿Cuántos de 1 necesitas para formar o tener 1.342?
Si responde correctamente se le dice:
Ahora quiero que me entregues 9.867
Cuando completa la composición, se tapa el ábaco y se le pregunta:
¿Cuántos de 1.000 necesitas para formar o tener 9.867?
3
En esta tarea es necesario diferenciar la composición de las equivalencias. Si el niño no
tiene éxito con equivalencia se debe continuar trabajando la composición.
30
¿Cuántos de 100 necesitas para formar o tener 9.867?
¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 9.867?
¿Cuántos de 1 necesitas para formar o tener 9.867?
TA1.3 Tarea para cuarto, quinto, sexto y séptimo
Ahora quiero que hagas el número 13.200
Cuando completa la composición, se tapa el ábaco y se le pregunta:
¿Cuántos de 10.000 necesitas para formar o tener 13.200?
¿Cuántos de 1.000 necesitas para formar o tener 13.200?
¿Cuántos de 100 necesitas para formar o tener 13.200?
¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 13.200?
¿Cuántos de 1 necesitas para formar o tener 13.200?
Si no contesta correctamente, se continúa con la tarea para tercero.
Ahora quiero que hagas 98.765
Cuando completa la composición, se tapa el ábaco y se le pregunta:
¿Cuántos de 10.000 necesitas para formar o tener 98.765?
¿Cuántos de 1.000 necesitas para formar o tener 98.765?
¿Cuántos de 100 necesitas para formar o tener 98.765?
¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 98.765?
¿Cuántos de 1 necesitas para formar o tener 98.765?
Ta1.4. Tarea para quinto, sexto y séptimo
Ahora quiero que me entregues 135.024
Cuando completa la composición, se tapa el ábaco y se le pregunta:
¿Cuántos de 10.000 necesitas para formar o tener 135.024?
¿Cuántos de 1.000 necesitas para formar o tener 135.024?
¿Cuántos de 100 necesitas para formar o tener 135.024?
¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 135.024?
¿Cuántos de 1 necesitas para formar o tener 135.024?
Si no contesta correctamente, se continúa con la tarea para cuarto.
Ahora quiero que hagas el número 789.065
31
Cuando completa la composición, se tapa el ábaco y se le pregunta:
¿Cuántos de 10.000 necesitas para formar o tener 789.065?
¿Cuántos de 1.000 necesitas para formar o tener 789.065?
¿Cuántos de 100 necesitas para formar o tener 789.065?
¿Cuántos de 10 necesitas para formar o tener 789.065?
¿Cuántos de 1 necesitas para formar o tener 789.065?
32
ANÁLISIS DEL YUPANA
Recuento histórico
El Yupana es un juego que fue utilizado por los Incas, sin que se pueda
asegurar que estos fueran los primeros en emplearlo o diseñarlo. Esto
nos hace suponer que mucho antes de la conquista la cultura incaica ya
manejaba un sistema numérico y que probablemente este era un
sistema en base diez.
El Yupana guarda cierta similitud en su manejo con el ábaco chino.
La tabla del Yupana corresponde, de acuerdo a antiguos grabados de la
conquista (Guamán Poma en su “Crónica” y presentado por Radicati Di
Primeglio en el libro “El Sistema Contable de los Incas”), a veinte
casillas distribuidas en 5 filas y 4 columnas. En cada casilla aparece una
cantidad de círculos que van desde 5 en las pertenecientes a la primera
columna y 1 en las casillas de la ultima columna. Estos círculos eran
lugares o sitios que son ocupados por elementos auxiliares de cálculo,
tales como piedras, granos de maíz, frijoles. Actualmente podemos
emplear tapas de distintos recipientes, fichas de juegos de mesa y
cualquier elemento que permita reconocer cual círculo esta siendo
señalado. En adelante nos referiremos a estos como “fichas”.
Descripción del material
Para esta versión utilizamos fichas de madera, plástico o cualquier
material liviano y resistente, un tablero que es un cuadrado de 24 cm.
de lado que puede elaborarse en cartulina o cartón, que permita dibujar
lo siguiente:
ƒ 6 columnas de 4 cm. de ancho
ƒ Una fila en la parte superior de 3,5 cm. de alto
Con estas líneas trazadas, se crean 2 secciones claramente
distinguibles:
1. Una fila superior en la cual se ubican 6 círculos de colores
diferenciados, cada uno de 2,5 cm. de diámetro, ubicados uno a uno
en cada columna.
2. Una sección en la cual se dibujan dentro de cada columna 4 círculos
de 2,5 cm. de diámetro, uno abajo del otro, y con tonos blancos y
grises que se presentan de manera alternada en cada columna (en
total se dibujan 24 círculos).
33
Una vez elaboradas estas figuras, el tablero se puede plastificar para
evitar su deterioro. La descripción de su presentación y las dimensiones
del tablero y de las fichas, es la siguiente:
24 cm
3,5
cm
14
cm
2,5 cm
4 cm
Presentación de una tarea
Para trabajar con este material, se debe tener en cuenta la dificultad
que representa trabajar con valores diferenciados por la posición de una
ficha en el tablero.
En la parte inferior del Yupana, es decir, en la primera columna de
círculos grises o blancos (el maestro puede elegir cualquier columna de
izquierda a derecha, pero se recomienda que sea designada la primera
del extremo derecho, para que tenga una correspondencia espacial con
la escritura de numerales arábigos) una ficha valdrá 1, en la segunda
columna 10, en la tercera 100, en la cuarta 1.000, en la quinta 10.000 y
en la sexta 100.000.
Para la parte superior, la fila de círculos en colores, una ficha en la
primera columna vale 5, en la segunda 50, en la tercera 500, en la
cuarta 5.000, en la quinta 50.000 y en la sexta 500.000.
Una vez que el maestro entienda esto, puede iniciar con una tarea que
permite al niño reconocer la lógica del Yupana. El maestro pone el
34
Yupana frente al niño y dispone varias fichas sobre la mesa, entonces
dice:
1. “Si coloco esta ficha aquí (en la primera posición de derecha a
izquierda) la ficha vale uno”:
2. “Si la coloco aquí (posición correspondiente a la barra siguiente), vale
10”
3. Se ponen 2 fichas en la posición correspondiente a las unidades que
valen 1 y pregunta:
¿Cuánto hay aquí?
35
4. Si el niño contesta “dos”, se le dice, trasladando las dos fichas a la
posición de las unidades que valen 10:
¿Y si las coloco aquí, cuánto hay?
5. Si el niño contesta “veinte”, se cambian las fichas a la siguiente barra
hacia la izquierda y pregunta:
¿Y aquí cuánto vale? (Posición correspondiente a las unidades que valen
100)
6. Si contesta correctamente, se le dice:
¿Y cuánto valdrá en esta posición? (Señalando la siguiente barra hacia la
izquierda) y se avanza hasta completar todas las barras
7. Si el niño no contesta en alguna de las unidades, se puede trabajar
de la siguiente manera, para el ejemplo donde se hallan dos fichas a
la posición de las unidades que valen 10:
¿Y si las coloco aquí, cuánto hay?
8. Si el niño contesta “dos”, se pregunta:
¿Cuánto dijimos que valían las fichas aquí? (cambiando las fichas a la
posición de las unidades que valen 1)
A partir del ejemplo que se presenta en Presentación de una tarea con el
ábaco, se puede completar la secuencia de acciones y diálogos a seguir
36
para el Yupana. Una vez que el niño entienda la lógica del juego para el
manejo de las fichas en esta zona inferior del tablero, se puede avanzar
para entender el juego de la siguiente forma:
“Ahora pon mucha atención. Cuando se llenen todos los círculos en cada
columna, es decir, cuando se tienen 4 unidades de un valor y se
requiere tener otra más, esta se ubica en la zona superior (círculos de
color) y el valor que ahí obtiene se debe mantener para pasar a la
siguiente unidad dentro de los valores de cada columna. Ese valor para
una ficha ubicada en el primer circulo de color, en la primera columna
donde las fichas valen 1, vale 5. Una ficha en el círculo de color
siguiente, vale 50. Una ficha en el siguiente circulo de color, vale 500 y
así sucesivamente hasta completar todos los círculos de colores.”
500.000 50.000 5.000 500
50
5
“Cuando se tiene una ficha en la zona superior (x5) de la primera
columna y se tiene 1 ficha más en la zona inferior (x1), se tiene 6; con 2
fichas más en la zona inferior, 7; con 3 fichas más en la zona inferior, 8;
con 4 fichas más en la zona inferior, 9.” El maestro debe tener presente
que para sumar una unidad más, es decir, para representar 10 unidades
de 1 en el Yupana, el niño debe recordar que al igual que el ábaco,
cuando se completa una unidad que pertenece al siguiente orden se
debe pasar a realizar la equivalencia en la columna siguiente.
37
Análisis del Yupana
Al igual que el ábaco, las columnas corresponden con el valor de
posición en el formato arábigo, de tal manera que se puede decir que el
valor de las columnas equivale de derecha a izquierda al orden de las
unidades en el sistema.
Las filas en las dos secciones permiten diferenciar el número de
unidades que representa cada ficha en esa posición. En la sección
superior (círculos de colores) cada ficha equivale a 5 unidades y en la
sección inferior (círculos blancos y grises) equivale a 1 unidad.
105
104
103
102
101
100
x5
x1
x1
x1
x1
417.682 se representaría así:
38
4 x 105 = 4 x (10x10x10x10x10)
1 x 104 = 1 x (10x10x10x10)
5 x 103 + 2 x 103 = 5 x (10x10x10) +2 x (10x10x10)
5 x 102 + 1 x 102 = 5 x (10x10) + 1 x (10x10)
5 x 101 + 3 x 101 = 5 x (10) + 3 x (10)
2 x 100
= 400.000
= 10.000
= 7.000
= 600
= 80
=2
417.682
Cada ficha representa al numero de veces que se repite la unidad. De
esta manera, las fichas son los operadores del sistema. Cuando se
tienen 4 fichas en la parte inferior y una 1 ficha en la zona superior, se
tiene el equivalente a 9 fichas en una barra del ábaco. Los operadores
multiplican a cada unidad y cuando en una unidad se llega al último
múltiplo posible para ese orden (pe. , en 100 ,9; 101 ,90; en 102, 900) el
múltiplo siguiente pertenece a la unidad de orden superior.
Las exigencias operativas de este material se reflejan en la
descomposición que debe realizarse para representar un numeral. Debe
manejarse y conservar el cardinal del 5 al 500.000 cada vez que una
ficha ocupe el lugar designado para tales valores y adicionar las
unidades restantes dentro de cada columna.
Para trabajar con los niños se debe tener en cuenta que este material
requiere mayor atención del niño y solo aquellos niños que tengan un
cierto dominio de las nociones y propiedades de la cardinalidad
numérica, se desempeñaran con facilidad en la composición de
numerales a través del Yupana.
39
Como trabajar con el Yupana
Para trabajar con el Yupana, podemos recurrir al trabajo de composición
que se realiza con el ábaco. La adaptación de estas tareas debe ser muy
cuidadosa por parte del maestro. A continuación presentamos un diálogo
que transcribe una sesión de trabajo grupal con este material.
Diálogo
P: Profesora, N: niño 1, 2, 3.
P
P:: Van a poner una ficha aquí (Primera columna / zona inferior) y me
van a decir cuanto tienen.
N
N1
1:: Una.
P
:
P: ¿Y si pongo otra?.
N
N2
2:: Dos.
P
:
P: ¿Y si pongo otra?.
N
N2
2:: Tres.
P
:
P: ¿Y si pongo otra?.
N
N2
2:: Cuatro.
P
P:: Muy bien, eso es facilísimo. ¿Y si pongo otra?.
N
N2
2:: Cinco.
P
P:: ¿Dónde tengo que poner una ficha que vale cinco?
N
N1
1:: Aquí arriba [señala la zona superior con el circulo de color]
P
P:: ¿Y si dejo esta aquí [ficha en posición que vale 5] y pongo cuatro
fichas más aquí [zona de círculos grises y blancos] cuanto tengo en
total?.
N
N2
2:: Nueve [Responden en coro].
P
P:: ¿Entendiste eso?. Porque esta ficha que se encuentra aquí vale cinco
N
N2
2:: Y las de allá valen cinco y las de allá valen uno [lo dicen dos niñas a
coro].
P
P:: ¿Cuantas de uno vale esta?.
N
N1
1:: Cinco.
P
P:: Ahora pongo otra ficha aquí [sobre la primera columna de derecha a
izquierda].
N
N2
2:: Diez.
P
:
P: Bien, ¿pero puede haber diez fichas aquí?.
N
N1
1:: No.
P
:
P: ¿y entonces porque la cambio?.
N
N1
1:: Por una de Diez.
P
:
P: Exacto, porque diez de uno es lo mismo que una de diez. Haber
cámbienlas, pónganme una de diez. [Ponen una ficha en la segunda
columna de derecha a izquierda, en la zona de los círculos grises y
40
blancos, es decir, en la posición que hace valer a una ficha diez] listo.
Pongan otra allí, ¿cuanto tengo?.
N
N:: Veinte [Responden en coro].
P
P:: ¿Y con otra?.
N
N:: Treinta[Responden en coro].
P
P:: ¿Y con otra?. Responda usted (Dirigiéndose a N3)
N
N3
3:: Cuarenta.
P
:
P: ¿Y si pongo la de allá?.
N
N3
3:: Cincuenta.
P
:
P: ¿Y cuanto tienen en total?.
N
N3
3:: Cinc... Noventa.
P
P:: Ahora se va a dar cuenta que si uno suma cinco y cuatro son nueve y
que puede sumarlo aquí, acá o aquí, señalando en las distintas
columnas del Yupana y siempre va a dar lo mismo, siempre. Lo que
pasa es que aquí [columna de Unidades de diez] hay nueve de diez...
¿Aquí es nueve de cuanto? .
N
N2
2:: De cien.
P
P:: De cien ¿y aquí?.
N
N2
2:: De mil.
P
P:: ¿Y aquí?.
N
N:: De diez mil [Responden en coro].
P
P:: Pero es nueve siempre.
N
N3
3:: ¡Ah! Ya entendí.
P
:
P: Ahora ya entendió; siempre hay nueve, nueve de diez, nueve de
cien, nueve de mil, nueve de diez mil y nueve de cien mil.
41