Dc2Rondas

Tema 4. Movimiento ondulatorio:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Fenomenología del movimiento ondulatorio.
Tipos de ondas.
Ecuación de ondas unidimensional.
Ondas armónicas monocromáticas.
Velocidad de propagación.
Principio de Huygens.
Ondas en dos y tres dimensiones.
Energía e intensidad de una onda armónica.
Variación de la intensidad y amplitud con la distancia: factores geométricos
y medios absorbentes.
10. Ondas no monocromáticas: velocidad de fase y velocidad de grupo.
Medios dispersivos.
12/03/2011
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1
Propagación de una perturbación
Una perturbación es la
alteración temporal del
estado de equilibrio de un
sistema.
Bajo ciertas circunstancias
esta perturbación se puede
propagar por el medio que
la rodea. Desde el punto
donde se origina la
perturbación hasta otro
punto distante.
La forma de la perturbación
puede cambiar durante la
propagación.
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2
Movimiento ondulatorio
Si una perturbación se propaga a través de un medio sin cambiar de forma y
con una velocidad v se dice que tal perturbación se mueve de forma
ondulatoria.
Se propaga hacia la izquierda
Se propaga hacia la derecha
En 1-D una función se propaga como una onda si cumple
( x, t )  f ( x  vt )
Función de onda
animación
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Movimiento ondulatorio armónico
La onda no cambia de forma durante la propagación
Se propaga con una velocidad v que de manera general va a depender
del medio sobre el que se propaga la onda
Y la función de onda está descrita por la ecuación:
( x, t )  0 sin k ( x  vt )
Donde k es el número de ondas, y l=2p/k es la longitud de onda que
marca la distancia a la que la función de onda repite su valor
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Pasado un tiempo T=l/v manteniendo fija la posición, la onda repite su
estado de movimiento. Este tiempo T se denomina periodo de la onda.
Definiendo frecuencia angular de la onda armónica como: w=2p/T la
función de onda se puede escribir como:
( x, t )  0 sin(kx  wt )
La frecuencia de la onda se define como n=w/2p con unidades
hertzios (Hz) y ahora la velocidad de propagación de la onda está
dada por v=nl
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Ejemplo 1: Un diapasón oscila a 440 Hz. Sabiendo
que el sonido en el medio en el que se encuentra el
diapasón se propaga a una velocidad de 340 m/s
determina la longitud de onda, el número de onda y
la función de onda.
Ejemplo 2: La luz se propaga en el vacío con la velocidad de 3x108 m/s.
Hallar la longitud de onda correspondiente a una frecuencia de 5x1014 Hz,
que es la frecuencia de la luz roja del espectro visible
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Ondas longitudinales y ondas transversales
En las ondas longitudinales la perturbación se produce en la dirección de
propagación de la onda
En las ondas transversales la perturbación se produce en la dirección
perpendicular a la dirección de propagación de la onda
Animación
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Ondas longitudinales en una varilla homogénea
Dentro del límite elástico, cuando ejercemos una fuerza
sobre una varilla de sección S modificamos su longitud y si
la fuerza deja de actuar la varilla recupera su longitud inicial
l  l0
F
  Y
S
l0
Donde Y es el módulo de elasticidad
del material (módulo de Young)
F
d  dx  dx

Y
Y
S
dx
x

 2
F ' F  dF  YS 2 dx  2
2


Y



x
 2 
2
2
 x 2
d
d   t
dF  m 2   Sdx 2
dt
dt 
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Si probamos como solución de la propagación de la deformación de la barra
la función de onda:
 ( x, t )   0 sin k ( x  vt )
Comprobamos que es solución de la ecuación anterior y que por lo tanto la
deformación de la barra se propaga como un onda longitudinal con velocidad:
v
Material
Velocidad (m/s)
Y
Acero
5050

Aluminio
5080
Cinc
3810
Cobre
3710
Hierro
5150
Hielo
3280
Vidrio de cuarzo 5370
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Ondas transversales en una cuerda
tg
Fy  T (sin  ' sin  )  T (tg ' tg )  Td (tg )  T
dx
x
como


tg  
x x

 2
Fy  T 2 dx
  2 T  2
x
 2 
2
2
2

t


x


Fy  m 2   dx 2 
t
t 
La solución a esta ecuación es una onda que se propaga con una velocidad de:
 ( x, t )   0 sin k ( x  vt )
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v
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T

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Una onda transversal oscila en la dirección perpendicular a la dirección de
propagación de la onda (denominada dirección X). Existen infinitas direcciones
perpendiculares al desplazamiento. Si escogemos dos direcciones perpendiculares
entre sí, Y y Z como referencia podemos expresar el desplazamiento transversal
como un vector en función de su proyección sobre los ejes Y, Z.
Dependiendo de la variación de la orientación del vector de desplazamiento
transversal a lo largo de la propagación de la onda, la onda puede estar o no
polarizada:
• Polarización lineal
• Polarización circular
• Polarización elíptica
• No polarizada
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Ondas superficiales en un líquido
Este movimiento es satisfecho por ondas
armónicas que se desplazan con una
velocidad dada por:
 g l 2p T 
2p h
v 

 tgh
l 
l
 2p
g aceleración de la gravedad (m/s2), T tensión superficial (N/m),  densidad el
líquido (kg/m3), h profundidad del líquido (m)
La velocidad de propagación depende de la
frecuencia.
Cuando la velocidad de propagación depende de la
longitud de onda o de a frecuencia se dice que hay
dispersión. Si un movimiento ondulatorio penetra
en un medio dispersivo, la onda se distorsiona
porque cada una de sus componentes se propaga a
diferente velocidad
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¿Qué transporta una onda?
Transporta una perturbación desde un punto del espacio a otro. Un
estado de movimiento, es decir, momentum y energía.
Ejemplo: Potencia media transmitida por una onda transversal que se
propaga por una cuerda.
1
P  v F  w 2 02v   v
2
P   02
 Densidad lineal de energía J/m
Intensidad de la onda: es el promedio de energía por unidad de área y
de tiempo expresado en W/m2
P
I
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A
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Ecuación de onda unidimensional
2
 2


2
v
2
t
x 2
Cualquier función con argumentos: Ψ (x,t)=f(xvt) es solución de la
ecuación de ondas.
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Ondas en 2 ó 3 D
Frente de ondas: Es el lugar del espacio en el que la función de onda toma
un mismo valor.
Definimos vector de ondas k como el vector cuyo sentido señala el sentido
de propagación de la onda y cuyo módulo coincide con el número de ondas k
Ondas planas: El frente de ondas es un plano. El frente de onda está
caracterizado por la dirección de propagación de la onda determinada por:
   0 sin k (u  r  vt )   0 sin(k  r  wt )
u r
k  (k x , k y , k z )
k
w
v
 k x2  k y2  k z2
Ecuación de ondas:
2
2
2

 2






2
v  2  2  2 
2
t
y
z 
 x
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Ondas cilíndricas: Fuente de onda con geometría lineal. Medio isótropo. Los
frentes de onda son cilindros cuyo eje coincide con la fuente lineal.
Ondas esféricas: Fuentes puntuales. En medio isótropos
los frentes de ondas son esferas centradas en la fuente.
En estos medios la ecuación de ondas es:
2
 2
2  
v
2
t
r 2
 (r , t ) 
0
r
sin k (r  vt )
A distancias grandes de
las fuentes las ondas
cilíndricas y las esféricas
se convierten en ondas
planas
Problema 1
Indique cuáles de las siguientes expresiones (en las que el tiempo se da en
segundos y las coordenadas espaciales en metros) corresponden a ondas
que se propagan, señalando: la dirección, sentido y velocidad de
propagación, y si son ondas armónicas. En caso de serlo, determine el
vector de ondas, el número de ondas, la longitud de onda y la frecuencia en
Hz, y señale si son ondas planas o esféricas.
a) Ψ (x,y,z,t)=20cos(1000pt-px)
b) Ψ (x,y,z,t)=(10/r)sen(1000pt-pr)
c) Ψ (x,y,z,t)=20cos(1000pt2x)
d) Ψ (x,y,z,t)=(y+10t)2
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Absorción de un onda
Una onda transporta energía. Al atravesar un cierto medio puede perder
parte de su energía o incluso toda y desaparecer. Se dice que la onda ha
sido adsorbida por el medio.
Puesto que la energía de una onda es proporcional al cuadrado de la
amplitud de onda, el proceso de absorción da lugar a la atenuación de la
amplitud de onda.
El grado de absorción de una onda depende del espesor de medio y de la
propia naturaleza del medio.
 ( x, t )   0e x sin k ( x  vt )
Donde  es el factor de absorción del medio medido en m-1
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Pulsos
Lo habitual es encontrar en la naturaleza perturbaciones que se propagan
como una onda que tienen un principio y un fin y que están compuestas por
varias ondas armónicas de diferente frecuencia. A esto se denomina tren de
ondas o pulso de ondas.
La velocidad v=w/k de una onda armónica se denomina velocidad de fase.
Esta puede no ser la velocidad del tren de ondas ya que no se trata de un
onda armónica sino de la superposición de varias ondas.
Sea un pulso compuesto de dos
ondas armónicas de frecuencias muy
próximas y de amplitudes iguales:
 ( x, t )   0 sin(k1 x  w1t )  0 sin(k2 x  w2t )
1
1
 ( x, t )  2 0 cos  k2  k1  x  (w2  w1 )t  sin  k2  k1  x  (w2  w1 )t 
2
2
1
 ( x, t )  2 0 cos  k2  k1  x  (w2  w1 )t  sin  k1 x  w1t 
2
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La expresión anterior representa un movimiento ondulatorio con amplitud
modulada en el que la amplitud modulada se propaga con una velocidad de
grupo:
vg 
w2  w1
k2  k1

dw
dk
como w =vk
dv
vg  v  k
dk
Si el paquete de ondas se propaga por un medio no dispersivo la velocidad
de grupo coincide con la de fase.
Problema 2: Determinar la velocidad de propagación de u tren de ondas
superficiales en un fluido si la velocidad de fase es:
v
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gl
2p
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Ejercicio 3: La frecuencia w (dada en rad/s) y el número de ondas k (en m-1) de
ciertas ondas que se propagan en un cierto medio se encuentran relacionados por la
siguiente expresión:
w  (2p 106 ) 2  (3 108 ) 2 k 2
a)Determine la velocidad de fase, en función del número de ondas.
b)Determine la velocidad de grupo, en función del número de ondas.
c)Indique si se trata de un medio dispersivo o no dispersivo, justificando su respuesta.
d)Escriba la expresión correspondiente a una onda plana monocromática de amplitud
A y longitud de onda 100 m que atraviesa el medio sin amortiguamiento, viajando a lo
largo del eje X, en su sentido negativo.
Ejercicio 4: Dada la onda
donde t se da en segundos y x en metros.
  x, t   2sen2p  0,5x 10t 
a) Determinar cuál es el periodo, la longitud de onda, la velocidad de
propagación de la misma.
b) Dibujar la onda para t=0 y t=1/40.
c) Dibujar para esos mismos instantes de tiempo la onda
 x, t  2sen2p 0,5x  10t
y compararla con la anterior.
 
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

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Ejercicio 5: Una fuente extraterrestre muy lejana emite radiación
electromagnética de frecuencia f, de forma que cuando esta emisión alcanza la
atmósfera terrestre puede considerarse una onda plana. A una altura de 10 km
sobre el nivel del mar la intensidad de la onda es de 13.5 W/m2. La radiación es
recibida por una antena situada en la vertical de la fuente emisora y a nivel del
mar. A la frecuencia f , la atmósfera presenta un coeficiente de absorción
β=30×10-6 m-1. Determine la intensidad detectada por la antena.
Cuestión 1: Un agente secreto está atrapado en un edificio, situado sobre la
cabina de un ascensor que se encuentra en la planta baja, e intenta comunicarse
con un agente amigo que está en el tejado, mediante un mensaje en código
Morse. Para ello da unos golpecitos en el cable del ascensor, de manera que se
produzcan unos pulsos transversales que se mueven hacia arriba por el cable. A
medida que los pulsos se mueven cable arriba, la velocidad a la que se mueven
los pulsos ¿se mantiene, crece o decrece? Si los pulsos se envían separados
por intervalos de 1s, ¿su socio los recibe también separados por intervalos de
1s?
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