las distribuciones de probabilidad, es pertinente comentar que en todo... obtenidos tienen un comportamiento específico, Las distribuciones de probabilidad son...

las distribuciones de probabilidad, es pertinente comentar que en todo fenómeno, los datos
obtenidos tienen un comportamiento específico, Las distribuciones de probabilidad son de tipo
discreto y continuo, según lavariable aleatoria que este en cuestión, luego en este aparte se
estudiaran dichas distribuciones, sus principios, la función que la identifica, sus propiedades y
los campos de aplicación de las mismas.
Una variable aleatoria es pues, una función que asigna un número real a cada resultado en
el espacio muestral de un experimento aleatorio. Ellas se denotan con una letra mayúscula,
tal como X. Se dice que X es aleatoria porque involucra la probabilidad de los resultados del
espacio muestral, y se define X como una función porque transforma todos los posibles
resultados del espacio muestral en cantidades numéricas reales.
Ejemplo 1.
Considere el lanzamiento de una moneda. El espacio muestral de este experimento aleatorio
está constituido por dos resultados: cara y sello. Si se define X(cara)=0 y X(sello)=1, se
transforman los dos posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas reales.
De esta manera P(X=0) representa la probabilidad de que el resultado al lanzar la moneda es
cara.
EJEMPLO 1.2
Considere el lanzamiento de dos dados6. El espacio muestral de este experimento aleatorio
está constituido por 36 posibles resultados.
Se define como variable aleatoria X la suma de los valores de las dos caras de los dados. La
siguiente tabla relaciona los 36 resultados con los valores correspondientes de la variable
aleatoria X definida en este ejemplo.
Se pueden definir variables aleatorias cuyos valores sean contables o no, y al ser una
caracterización cuantitativa de los resultados de un espacio muestral, ellas pueden ser
discretas o continuas. En los dos temas siguientes se desarrollan los conceptos de variable
aleatoria discreta y variable aleatoria continua y sus estadísticos asociados.
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Se dice que una variable aleatoria X es discreta si el
número de valores que puede tomar es finito (o infinito contable).
Será importante pues, acordar la siguiente simbología: X xdenotará el evento formado
por todos los resultados para los que X x yP(X x) será la probabilidad de dicho evento.
Toda distribución de probabilidad debe satisfacer cada uno de los dos requisitos siguientes:
Ejemplo: Determine si la siguiente tabla describe una distribución de probabilidad
Para ser una distribución de probabilidad, P(X=x) debe satisfacer los dos requisitos.
De manera que la tabla de probabilidades de la variable aleatoria X satisface el primer
requisito. Observe, además, que cada uno de los valores de P(X=x) se encuentran entre 0 y
1. Como ambos requisitos se satisfacen, la tabla de probabilidades de la variable aleatoria X
es una distribución de probabilidad de X.
Determine si la función
(donde x puede ser 0, 1 ó 2) es una función de
probabilidad. En la siguiente tabla se resumen los posibles valores de la variable aleatoria X.
La función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta X,
denotada por F(x) es:
Para una variable aleatoria discreta X, F(x) satisface las siguientes propiedades:
Se dice que una variable aleatoria X es continua si el número de valores que puede
tomar están contenidos en un intervalo (finito o infinito) de números reales.
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X está caracterizada por
una función f(x) que recibe el nombre de función de densidad de probabilidad. Esta
función f(x) no es la misma función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.
Formalmente, la función de densidad de probabilidad f(x) de una variable aleatoria
continua, se define como tal si para cualquier intervalo de números reales [a,b] se
cumple que:
VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
El valor esperado (también llamado media o esperanza matemática) de una variable
aleatoria discreta X es una medida de posición para la distribución de X.
Se simboliza con _ y se calcula al sumar el producto de cada valor de X con su
probabilidad correspondiente. En otras palabras, la media o valor esperado de una
variable aleatoria discreta X es:
Ej 2. Determine el valor esperado de la suma de las caras de dos dados al ser
lanzados. Sea X la variable aleatoria que representa la suma de las caras de los dos
dados. Tomando de referencia la tabla 4.1. en la que se relacionan los resultados del
lanzamiento de los dados y la suma de las caras, se tiene:
De manera que el valor esperado al lanzar dos dados es 7.
La varianza de una variable aleatoria es una medida de la dispersión de la distribución
de probabilidad de ésta. Se calcula ponderando el cuadrado de cada desviación con
respecto a la media, con la probabilidad asociada con la desviación. En otras palabras,
la varianza de una variable aleatoria discreta X con media X y función de probabilidad
f(x), es:
O de un modo equivalente,