detección de discontinuidades y mejora de contrastes mediante el

DETECCIÓN DE DISCONTINUIDADES Y MEJORA DE
CONTRASTES MEDIANTE EL CÁLCULO DE GRADIENTES
USANDO REDES NEURONALES CELULARES (CNN)
M. A. Jaramillo Morán*, J. A. Fernández Muñoz*. E. Martínez de Salazar Martínez**
*Dpto. Electrónica e Ingeniería Electromecánica. ** Dpto. de Expresión Gráfica.
Escuela de Ingenierías Industriales.
Avda. de Elvas s/n. Universidad de Extremadura. Badajoz. Spain.
Tlf.: 34-924-289628. E-mail: [email protected], [email protected], [email protected].
Resumen
La detección de bordes mediante la localización de
discontinuidades en el nivel de gris de una imagen
digital es una de las aproximaciones más utilizadas
en el área del Procesamiento Digital de Imágenes
(PDI). El presente trabajo revisa los conceptos
básicos de los métodos de detección de bordes
mediante filtrado espacial para proporcionar una
técnica basada en una estructura de procesamiento
paralelo: la Red Neuronal Celular (CNN). Las
ventajas de utilizar esta estructura sobre el
procesamiento secuencial clásico consisten en la
posibilidad de incluir información de polarización y
realimentación local en cada una de las capas de
procesamiento, reduciendo tanto el tiempo de
cálculo como el número de etapas del proceso de
detección mediante una adecuada definición de los
parámetros de la red. Así mismo, se presenta un
método de aplicación de información de borde para
conseguir una mejora de contrastes localizada en
los pixeles de borde de una imagen.
Palabras Clave: Procesamiento Digital de
Imágenes, Filtros Espaciales, Redes Neuronales
Celulares, Detección de Bordes.
1
INTRODUCCIÓN
El problema de la detección de bordes en imágenes
digitales se ha abordado en la literatura desde dos
puntos de vista diferentes: técnicas orientadas al
pixel, y técnicas orientadas a la región. Las técnicas
de detección de bordes orientadas al pixel se basan
en la detección de discontinuidades (transiciones
fuertes) en la información de los pixeles de una
imagen, mientras que las técnicas orientadas a la
región determinan el proceso de detección mediante
una medida cuantitativa de ciertas propiedades de
un grupo conexo de pixeles (p. e. continuidad,
energía, similitud estructural, etc.) [6]. Las
aproximaciones orientadas al pixel se clasifican en
función del dominio donde se realiza la detección
de discontinuidades: espacio (máscaras espaciales),
frecuencia (filtros de Fourier) y espacio/frecuencia
(filtros de subbanda). La transformada discreta de
Fourier (DFT) determina de manera biunívoca la
correspondencia entre cualquier señal digital 2D
definida en el dominio del espacio (p. e. una
imagen) y su espectro frecuencial [1]. Las
transformadas de subbanda (p. e. Gabor, DCT, o
Wavelet) tienen la propiedad de poseer una
localización en ambos dominios: espacio y
frecuencia [11].
Las técnicas orientadas a la región se dividen, a su
vez, en dos grupos principales: técnicas de
umbralización y técnicas de segmentación de
texturas. Las técnicas de umbralización realizan un
estudio del histograma de la imagen, para detectar
modos o componentes principales que determinan
la ocurrencia de ciertas propiedades (p. e. nivel de
gris), de los pixeles que forman objetos visualmente
discernibles en una imagen digital. Los umbrales se
determinan como los valores intermedios entre
distintos modos del histograma. Una vez
determinados los umbrales, la detección de bordes
se completa mediante la aplicación de un proceso
de verificación de pertenencia a los distintos grupos
definidos por los umbrales [7].
Por otro lado, las técnicas de segmentación de
texturas realizan una medida cuantitativa de
propiedades inherentes a un conjunto de pixeles que
conforman una textura. Esta medida se lleva a cabo
mediante la definición de descriptores de textura.
Entre las aproximaciones más importantes se hallan
las definidas por descriptores estadísticos de
Markov y Gibbs [12], y las definidas por medidas
de energía de transformadas de subbanda [8].
El presente trabajo se engloba dentro de las técnicas
orientadas al pixel, y más concretamente en las
técnicas de filtrado espacial. El documento se
organiza como sigue: en la sección 2 se revisa el
concepto de filtrado espacial y se definen las
máscaras o filtros más importantes para la detección
de discontinuidades. En la sección 3 se define el
modelo de red neuronal que llevará a cabo la
detección de bordes, mientras que la sección 4
analiza el comportamiento del modelo en varios
ejemplos de aplicación. La sección 5 presenta un
método de mejora de contrastes local mediante
información de borde, y, finalmente, la sección 6 se
dedica al análisis final de las técnicas estudiadas en
las secciones anteriores.
2
FILTROS ESPACIALES PARA
DETECCIÓN DE BORDES
De aquí en adelante, utilizamos una representación
vectorial para definir las máscaras espaciales. En
concreto, si definimos w1, w2, ... , w9 como los
coeficientes de una máscara 3 x 3, siendo x1, x2, ... ,
x9 los pixeles de la imagen sobre los cuales actúa la
máscara en cualquier posición de la misma,
podemos definir los vectores w y x como los
vectores columna de los coeficientes y de los
niveles de gris, respectivamente. La ecuación de
filtrado espacial queda como
w T x = w1 x1 + w2 x 2 +
+ w x
9
9
(1)
donde wT indica la transposición del vector columna
w. Esta notación permite trabajar con máscaras de
cualquier tamaño, n x n, mediante la definición de
vectores columna de dimensión n2. El filtrado
espacial se realiza tomando entornos n x n alrededor
de cada pixel de la imagen, y calculando el nuevo
valor del pixel a partir de la ecuación (1).
La idea básica de la mayoría de técnicas de
detección de borde es la definición de un operador
de derivada. Para una transición abrupta de nivel de
gris de una región a otra en una imagen, la derivada
primera en esa transición dará el valor de rampa, es
decir, una medida de la discontinuidad. A veces la
primera derivada no resulta suficiente para
determinar con exactitud un borde, debido a una
pérdida de nitidez en el proceso de digitalización
[6]. En estos casos, la primera derivada da un valor
de rampa, que la segunda derivada se encarga de
anular. La segunda derivada da valores abruptos,
que definen la transición en sí.
La magnitud de la primera derivada puede usarse
para detectar la existencia de un borde, y el signo de
la derivada segunda puede utilizarse para
determinar si el pixel de borde se halla en una zona
de fondo oscuro o claro. Las técnicas de filtrado
espacial para la detección de discontinuidades se
basan en la aproximación de un operador de
derivada. La primera derivada se realiza mediante el
uso del operador gradiente, que se define como un
vector bidimensional de la forma:
 ∂f ∂f 
(2)
G[ f ( x, y )] = G x G y = 

 ∂x ∂y 
El vector G apunta en la dirección de máxima
variación de f en la posición (x,y). Para detección de
bordes, normalmente se atenderá más a su
[
]
magnitud, denotada G[f(x,y)] y a la que se
denomina simplemente gradiente, donde
[
G[ f ( x, y )] = Gx2 + G y2
]
1
2
(3)
Esta cantidad equivale a la máxima variación de
f(x,y) por unidad de distancia en la dirección de G.
En la práctica, es común aproximar el gradiente por
la suma de los valores absolutos de las componentes
de G:
G[ f ( x , y ) ] ≈ G x + G y
(4)
Esta aproximación es considerablemente más fácil
de implementar y, por tanto, menos costosa en
tiempo de cálculo. De la ecuación (2), vemos que la
obtención del vector gradiente conlleva el cálculo
de derivadas parciales. Estas pueden calcularse de
varias maneras. Una aproximación consiste en
diferencias de primer orden en vecindarios 2 x 2
(máscaras de Roberts) [6], donde el filtro toma
valores +1 y –1 en las dos diagonales principales.
Otra manera ligeramente más complicada puede
formularse a partir de máscaras 3 x 3. En este caso,
la primera derivada en la dirección horizontal se
calcula mediante:
Gx = ( x7 + 2 x8 + x9 ) − ( x1 + 2 x2 + x3 )
(5)
El uso de un área 3 x 3 tiene la ventaja de que el
resultado es más suave que el obtenido mediante el
operador 2 x 2, tendiendo a hacer las operaciones de
derivada menos sensibles al ruido. El hecho de
asignar los pesos centrales con valor mayor que los
de los extremos aumenta así mismo este suavizado.
Estas máscaras se denominan operadores de Sobel.
Una ligera modificación de esta máscara es el filtro
de Prewitt, donde los valores de wi iguales a 2 se
sustituyen por 1, manteniendo el signo [6].
Para llevar a cabo el cálculo de la segunda derivada
de una función 2D, se define el operador laplaciano
de la forma
L[ f ( x, y )] =
∂2 f ∂2 f
+
∂x 2 ∂y 2
(6)
El laplaciano discreto o digital para el punto (x,y) se
define como
L[ f ( x, y )] = x2 + x4 + x6 + x8 − 4 x5
(7)
Esta operación puede realizarse mediante la
definición de una máscara 3 x 3. Aunque el
laplaciano responde a transiciones de intensidad,
rara vez se utiliza por sí solo en detección de
bordes. Ello es debido a que, al ser un operador de
derivada segunda, es muy sensible al ruido. Por
tanto, este operador se relega a un segundo plano,
para decidir normalmente si un pixel de borde
pertenece a la parte clara u oscura del mismo. Sin
embargo, la convolución del operador laplaciano
sobre un filtro gaussiano da resultados más
aceptables en imágenes ruidosas. Este tipo de filtro
se conoce como LOG (laplaciano del gaussiano)
[6], y depende fundamentalmente del tamaño del
filtro gaussiano que se haya elegido. En la Figura 1
se resumen todos los operadores definidos en esta
sección.
BSobel N − S
− 1 − 2 − 1
 1 0
=  0
0
0 BRoberts N −S = 

0 − 1
2
1
 1
0 1
− 1 − 1 − 1
1
0 0 BLaplaciano = 0 − 4 0
BPrewitt N − S =  0
1 1
0 1
 1
 1
BLOG5 x 5
0.052
0.082

= 0.050

0.082
0.052
0.082
0.008
- 0.198
0.050
- 0.198
- 0.587
0.082
0.008
- 0.198
0.008
- 0.198
0.008
0.082
0.050
0.082
0.052 
0.082 
0.050 

0.082 
0.052 
Figura 1. Máscaras espaciales para la detección de
discontinuidades: Sobel, Prewitt, Roberts, laplaciano y
laplaciano del gaussiano (LOG) 5 x 5.
3
Entre los modelos de Redes Neuronales (RN)
dedicados a PDI, el más importante es el modelo de
Red Neuronal Celular (CNN) [4][5]. Esta estructura
basada en los principios de la lógica celular y
dedicada prioritariamente al PDI [3][10][9], se
describe mediante las siguientes relaciones:
dz ij (t )
dt
=−
+
1
z ij (t ) +
∑ A(i, j; k , l ) ⋅ y kl (t ) (8.1)
Rx
C ( k ,l )∈N r ( i , j )
∑ B(i, j; k , l ) ⋅ u
kl
+I
C ( k ,l )∈N r ( i , j )
yij =
(
1
zij (t ) + 1 − zij (t ) − 1
2
{
)
N r (i , j ) = C ( k , l ) max{k − i , l − j }≤ r
(8.2)
}
4
CNN PARA DETECCIÓN DE
DISCONTINUIDADES
El modelo de CNN utilizado en este trabajo es
idéntico al desarrollado en un trabajo anterior [9].
El modelo se caracteriza por poseer una salida del
tipo sigmoide en cada neurona de la red de la
forma:
LAS REDES NEURONALES
CELULARES (CNN)
C
actividad celular; yij(t) la salida de la red; u la
entrada constante externa a la red; y B y A matrices
de conexión que describen respectivamente la
conectividad de entrada y de realimentación.
La ecuación (8.1) describe la actividad de la celda,
siendo A y B a menudo simétricas. En muchos casos
Bij = 0, por lo que la matriz de condiciones iniciales
de la ecuación diferencial (8.1) se toma como
entrada a la red. La ecuación (8.2) representa la
salida de la red, que es una función lineal a tramos,
aunque se puede considerar también una función
sigmoide [10] o de base radial [3].
Todas las celdas tienen el mismo esquema sináptico
con valores fijos: la llamada plantilla de clonación,
la cual tiene un campo de acción determinado por la
ecuación (8.3), que define el entorno de cada
elemento de la red, Nr, al cual se extiende la
conectividad sináptica. La principal diferencia con
otros modelos de RN estriba en que los pesos
sinápticos no almacenan ningún modelo
previamente aprendido, representando únicamente
un esquema de conexiones adecuado para realizar
una tarea específica. Esta forma del conexionado,
simple y repetitivo, hace del modelo una estructura
muy atractiva para realizar tareas de PDI.
(8.3)
para i = 1, ..., M y j = 1, ..., N, donde C es un
condensador de entrada, que es el mismo para todas
las celdas; Rx una resistencia de entrada; I es la
corriente de polarización de entrada, también igual
para todas las celdas, que actúa como un umbral
para la actividad neuronal; zij(t) describe la
y( x ) =
1
1 + e −S⋅x
(9)
donde S es la ganancia de la función. Esta función
asegura una transformación de las variables de
estado de la red al intervalo [0,1]. En [9] se
demuestra la dualidad entre el filtrado espacial
clásico y la CNN. Para ello se define una plantilla
de control B de la ecuación (8.1) idéntica a la
máscara espacial utilizada en la ecuación (1). El
aprovechamiento de otros parámetros, como la
polarización I y la realimentación A, permite la
definición de filtros espaciales más complejos. En
este apartado presentamos una estructura de CNN
multicapa orientada a la detección binaria de bordes
en una imagen en escala de grises. Esta información
será la base para las técnicas de mejora de
contrastes desarrolladas en la sección 5.
Los operadores utilizados para la detección de
bordes son los filtros de gradiente de Sobel, Prewitt
y Roberts y los filtros laplaciano y LOG
presentados en la sección 2. Los filtros de Sobel y
Prewitt realizan una detección direccional del
borde, en las direcciones N-S, E-O, S-N y O-E. Así
mismo, las máscaras de Roberts están orientadas en
las direcciones NO-SE, SO-NE, SE-NO y NE-SO.
Para realizar una detección de bordes no
direccional, se propone la siguiente red multicapa:
suma pixel a pixel de las salidas de la Capa 1, es
decir, uij = YijN-S +YijE-O +YijS-N +YijO-E. Esta subred
obtiene una detección de bordes binaria no
direccional de la imagen original.
(a)
(b)
(a)
(b)
(c)
(d)
(c)
(d)
(e)
(f)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Figura 2. Salidas de la Capa 1. Detección orientada de bordes
mediante máscaras de gradiente: (a) Imagen original: Lenna 300
x 300, (b)-(e) filtros de Sobel orientados S-N, E-O, N-S y O-E,
(f) Salida de la Capa 2: Detección no orientada (Sobel).
•
•
Capa 1: está formada por cuatro subredes de
detección orientada de bordes para las máscaras
de Sobel, Prewitt y Roberts. Para los filtros
laplaciano y LOG, sólo es necesaria una subred,
debido a la detección no orientada de estos
operadores. Cada una de las subredes de
detección orientada se definen con parámetros
idénticos (A=0, R=C=1 y S=100), a excepción
de la plantilla de control B, que se gira para
obtener una orientación específica. El valor de la
polarización es I=-0.5 para los filtros de Sobel y
Prewitt, y de I=-0.25 para las máscaras de
Roberts. La ganancia de la función sigmoide (9)
se establece con un valor muy alto para obtener
una salida binaria, donde los pixeles con valor 1
pertenecerán a elementos de borde.
Capa 2: Las salidas de las subredes de la Capa 1
se suman mediante una subred definida con los
mismos parámetros que las de la Capa 1, a
excepción de la plantilla de control (B=1, filtro
unitario), y la imagen de entrada, que ahora es la
Figura 3. Salidas de la Capa 1. Detección de bordes mediante
máscaras de gradiente: imagen Lenna (Fig. 2.a), (a)-(d) filtros de
Prewitt S-N, E-O, N-S y O-E, (e) salida de la Capa 2: detección
no orientada (Prewitt), (f-i) detección orientada: filtros de
Roberts 2 x 2, (j) Capa 2, detección no orientada (Roberts).
En las Figuras 2 y 3 se ofrecen los resultados de
detección orientada de la imagen Lenna (Fig. 2.a)
para los filtros de Sobel (Fig. 2.b-e), Prewitt (Fig.
3.a-b) y Roberts (Fig. 3.f-i). Los resultados de la
salida de la Capa 2 se ofrecen en las Figuras 2.f
(Sobel), 3.e (Prewitt) y 3.j (Roberts). Nótese la
progresiva disminución de la información de borde
en los resultados de estas figuras. El filtro de Sobel,
al poseer coeficientes mayores que el de Prewitt,
detecta el borde con mayor intensidad. Por otra
parte, el filtro de Roberts proporciona una salida de
información de gradiente mucho menor que las
máscaras anteriores debido, sobre todo, al tamaño
del filtro (2 x 2). Por ello, se ha elegido un valor de
polarización para las cuatro subredes de la Capa 1 y
la subred de la Capa 2 igual a la mitad de las
definidas para el resto de máscaras. A pesar de ello,
nótese la ausencia de información de la Fig. 3.j con
respecto a las Figs. 2.f y 3.e. La detección de bordes
de Sobel realiza la mejor aproximación a la
detección no orientada, en vista de los resultados
obtenidos.
(a)
(b)
Figura 4. Salida de la Capa 1: Detección de bordes no orientada
mediante máscaras de segundo orden, imagen Lenna (Fig. 2.a),
(a) filtro laplaciano, (b) filtro LOG 5 x 5.
En la Figura 4 se ilustran los resultados obtenidos
por la Capa 1 para los filtros de detección de
discontinuidades de segundo orden: laplaciano (Fig.
4.a) y LOG (Fig. 4.b) sobre la imagen de la Figura
2.1. Dadas las características de estos filtros, el
operador laplaciano ha sido umbralizado por un
valor de polarización I=-0.25, mientras que para el
filtro LOG se ha definido I=0. Este valor de
polarización depende fundamentalmente de los
valores del filtro LOG de la Figura 1 (cuanto
menores sean los coeficientes del filtro, menor será
también la respuesta del mismo, por lo que habrá
que adecuar la polarización para cada tipo de filtro
utilizado). La respuesta de esta red es muy similar a
la proporcionada por la red de Sobel (Fig. 2.f), pero
mantiene una mayor suavidad en los contornos de
los bordes más fuertes (p. e. la parte inferior
izquierda del ala del sombrero).
5
MEJORA DE CONTRASTES EN
ZONAS DE BORDE
Los resultados de la red multicapa definida en la
sección 4 pueden ser utilizados para llevar a cabo
una mejora de contrastes localizada que aproveche
la información de borde determinada por la
estructura anterior. El objetivo de la red es mejorar
los bordes globales de la imagen original, pero
manteniendo el resto de la información intacta. La
estructura propuesta es la siguiente:
•
•
Capas 1 y 2: se definen como en la sección
anterior para realizar una detección de bordes
no orientados.
Capa 3: se diseña para transformar la imagen de
entrada en otra cuyos bordes queden muy
resaltados, mientras que el resto de la imagen se
deja sin modificar. Esto se consigue mediante la
definición de una ganancia adaptativa para la
función sigmoide de salida de la subred de esta
capa, S=10·YCapa2 + 4, donde YCapa2 es la imagen
de salida de la Capa 2. De esta manera, cuando
la entrada a una neurona de la subred de esta
capa sea un pixel previamente clasificado como
borde por la Capa 2, se asigna una alta pendiente
(Sborde=14) a su función de salida y se realiza
una binarización de este pixel. La pendiente
aplicada al resto de pixeles es la más próxima a
la lineal [9] y viene dada por Simagen = 4. El resto
de parámetros que definen esta capa son: A=0,
R=C=1, B=1 e I=-0.5. La imagen de entrada es
la imagen original, como en la Capa 1.
El resultado final del proceso se muestra en las
Figuras 5.b-f. En ellas se muestran las diferencias
sobre la imagen original (Fig. 5.a) al procesar esta
imagen mediante esta estructura multicapa definida
para los filtros de Sobel (Fig. 5.b), Prewitt (Fig.
5.c), Roberts (Fig. 5.d), laplaciano (Fig. 5.e) y el
laplaciano del gaussiano (Fig. 5.f). La imagen
procesada es prácticamente idéntica a la original,
excepto en los pixeles que cada grupo de filtros
detecta como bordes. La mayoría de estos filtros
localizan perfectamente la parte inferior izquierda
del ala del sombrero, así como la parte superior
izquierda. Nótese, por ejemplo, en la Fig. 5.b el
borde artificial blanco generado por la red en estas
zonas. Sin embargo, el borde generado por el
operador LOG (Fig. 5.f) es de color oscuro, lo que
hace resaltar también el borde real del sombrero
respecto del fondo de la imagen en esa zona.
De los resultados de la Figura 5 podemos ver
también cómo los procesados de Sobel y Prewitt
(Figs. 5.b-c) generan un borde artificial demasiado
abrupto en algunas zonas, por ejemplo el ojo
izquierdo de la chica. Este comportamiento puede
reducirse aplicando un factor de realimentación a la
subred de la Capa 2 para que realice un suavizado
de los bordes orientados de la entrada. Otra opción
es utilizar en la plantilla de control un filtro
previamente suavizado. Esta técnica es la utilizada
por el conocido método de detección de bordes de
Canny [2], así como por el operador LOG.
bordes detectados. Así mismo, la unión en un solo
paso de los procesos de filtrado y umbralización
presenta una mejora frente a los métodos clásicos.
En la sección 5 se ha presentado una aplicación de
estos detectores de borde para una mejora visual de
contrastes localizada en los pixeles de borde.
Mediante la definición adaptativa de la pendiente de
la función de salida, se propone una técnica
elegante para realizar este filtrado.
Agradecimientos
(a)
(b)
Este trabajo ha sido financiado con el Proyecto de
Investigación de la Junta de Extremadura Número
de Referencia IPR98A016.
Referencias
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 5. Salida de la Capa 3: Mejora del contraste localizada en
los bordes de la imagen (a) Lenna, 300 x 300, con detección de
bordes mediante: (b) máscaras de Sobel, (c) filtros de Prewitt,
(d) filtros de Roberts, (e) filtro laplaciano y (f) filtro LOG.
Aparte de la agudeza visual producida, queda claro
que la mejora de contrastes realizada sobre los
bordes de una imagen hace que los objetos
presentes en la misma aparezcan más resaltados.
Esto implica una mejora visual de la imagen en
sentido global.
6
CONCLUSIONES
En este trabajo se ha realizado una aportación a las
técnicas espaciales de detección de discontinuidades
para su aplicación en un sistema de mejora
controlado por información de borde. En la sección
2 se han revisado los filtros espaciales más
importantes utilizados para la detección de bordes.
La estructura multicapa descrita en el apartado 4
presenta la ventaja de estar implementada en una
estructura de procesamiento paralelo: la Red
Neuronal Celular. Mediante el uso de filtros de
suavizado en las plantillas de realimentación puede
lograrse una mejora sustancial en la calidad de los
[1] Brigham, E. O. (1974). The Fast Fourier
Transform, Prentice-Hall.
[2] Canny, J. F. (1986). “A Computational
Approach to Edge Detection”, IEEE PAMI,
8(6), pp. 679-698.
[3] Chua, L. O., Roska, T. (1993). “The CNN
Paradigm”. IEEE Trans. Circ. Syst. I: Fund.
Theory Appl., 40(3), pp. 147-156.
[4] Chua, L. O., Yang, L. (1988). “Cellular Neural
Networks: Theory”. IEEE Trans. Circ. Syst.,
35(10), pp. 1257-1272.
[5] Chua, L. O., Yang, L. (1988). “Cellular Neural
Networks: Applications”. IEEE Trans. Circ.
Syst., 35(10), pp. 1273-1290.
[6] González, R. C., Woods, R. E. (1993). Digital
Image Processing, Addison-Wesley, Reading,.
[7] Jain, A. K. (1989). Fundamentals of Digital
Image Processing, Prentice-Hall.
[8] Jain, A. K., Farrokhnia, D. (1991).
“Unsupervised Texture Segmentation Using
Gabor Filters”, Pattern Recog., 24(12), pp.
1167-1186.
[9] Jaramillo, M. A, Fernández, J. A. (1998).
“Aplicación de las Redes Neuronales
Celulares (CNN) al Filtrado de Imágenes en
Escala de Grises”, Acta XIX J. Autom.,
Madrid, pp. 327-332.
[10] Jaramillo, M. A., López, F. J., Macías, M.,
Acevedo, M. I. (1995). “A CNN Model for
Grey Scale Image Processing”, Lect. Notes in
Computer Science, nº 930, Springer-Verlag,
Berlín, pp. 882-889.
[11] Simoncelli, E. P., Adelson, E. H. (1990).
“Subband Transforms”, MIT Media Lab Vis.
Mod. Tech. Rep., nº 137, pp. 143-193,
Cambridge.
[12] Vilariño, D. L., Cabello, D., Mosquera, A.
(1995). “Optimization Neural Networks for
Image Segmentation”, Lect. Notes in Comp.
Science, nº 930, Springer-Verlag, Berlín, pp.
860-867.