Maestría en Modelación Matemática (USon/ITT)
Materia: Álgebra Lineal
(Tarea 4: Problemas 1(a), 2(a), 3-5,10-12, p. 147
2011.03.18
Nota
N 5/e)
: no hay garantía de que todos los datos originales coincidan.
Observación : Los números entre corchetes corresponden a la numeración del libro de texto.
1. [1a] Resuelva la siguiente recurrencia lineal.
(a)
xk+2 = 3xk + 2xk+1 ,
donde
x0 = 1
y
x1 = 1
2. [2a] Resuelva la siguiente recurrencia lineal.
(a)
xk+3 = 6xk+2 −11xk+1 +6xk , donde x0 = 1, x1 = 0 y x12 = 1 [Sug.
Utilice
Vk =
xk
xk+1
3. [3] En el ejemplo 1, suponga que a los autobuses también se les permite estacionarse, y sea
xk
xk+2
T
.]
el número de
formas en que una la dek espacios de estacionamiento pueden ser llenados por carros, camiones y autobuses.
(a) Si los camiones y autobuses toman 2 y 3 espacios respectivamente, demuestre que
k,
para cada
y utilice esta recurrencia para calcular
k pasos. El
111, 12, o 21.
4. [4] Un hombre debe subir un trayecto de
subir
3
pasos en las formas siguientes:
el trayecto de
k
pasos. [
Sug. Fibonacci.]
5. [5] Cuántas palabras de
k
r=1
y
r 6= 1
[
por separado. Si
r 6= 1,
xk+3 = xk +xk+1 +xk+2
Sug. Los eigenvalores son de poca utilidad]
siempre toma uno o dos pasos a la vez. Así que puede
sk ,
Encuentre
letras pueden hacerse con las letras
6. [10] Encuentre la solución general de la recurrencia
los casos
xk .
a, b
el número de formas en que puede subir
si no hay
a0 s
adyacentes?
xk+1 = rxk +c donde r y c son constantes.
necesitará la identidad
2
1 + r + r + ... + r
Sug : Considere
n
[
n−1
=
n ≥ 1.]
7. [11] Considere la recurrencia de longitud 3
(a) Si
Vk =
xk
xk+1
xk+2
T
, demuestre que
Vk+1 = AVk
λ es cualquier eigenvalor de A, demuestre que X = [ 1
directamente que AX = λX .]
(b) Si
(c) Generalice (a) y (b) a una recurrencia
8. [12] Considere la recurrencia
para
xk+3 = axk + bxk+1 + cxk+2 .
1−r
1−r
donde
λ
0 1
A= 0 0
a b
λ 2 ]T
es un
λ-eigenvalor.
xk+4 = axk + bxk+1 + cxk+2 + dxk+3
xk+2 = axk+1 + bxk + c
donde
c
0
1
c
[
Sug. Demuestre
de longitud
4.
puede no ser cero.
a + b 6= 1 demuestre que puede encontrarse p tal que, si hacemos yk = xk + p, entonces yk+2 =
ayk+1 + byk . [Por lo que la sucesión xk puede encontrarse siempre que yk se pueda determinar por los
(a) Si
métodos vistos en esta sección (o de alguna otra forma).]
(b) Utilice (a) para resolver la recurrencia
xk+2 = xk+1 + 6xk + 5
1
donde
x0 = 1
y
x1 = 1.
0
