Pharos ISSN: 0717-1307 [email protected] Universidad de Las Américas Chile Blanco V., Carlos Diseño de sistemas ópticos para comunicaciones de alta capacidad (primera parte) Pharos, vol. 11, núm. 2, noviembre-diciembre, 2004, pp. 37-50 Universidad de Las Américas Santiago, Chile Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=20811205 Cómo citar el artículo Número completo Más información del artículo Página de la revista en redalyc.org Sistema de Información Científica Red de Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España y Portugal Proyecto académico sin fines de lucro, desarrollado bajo la iniciativa de acceso abierto DISEÑO DE SISTEMAS ... t 37 DISEÑO DE SISTEMAS OPTICOS PARA COMUNICACIONES DE ALTA CAPACIDAD (Primera Parte). Design of optical communication systems of high capacity (First Part). Carlos Blanco V. * PALABRAS CLAVE Telecomunicaciones Redes Opticas Diseño Tasa de ErRor de Bits KEY WORDS Telecommunications Optical Networks Design Bits Error Rate ABSTRACT. RESUMEN. The first part of this article provides the mathematical and statistical tools required to design and implement high capacity telecommunication optical networks. The concept of BER (Bit Error Rate) is introduced first as a key parameter to gauge quality in digital communications. Based on a Gaussian distribution model of noise, the BER parameter is then computed when reception is made in noisy environments. A threshold to optimally bias optical detectors is then computed and a new function Q is defined related to BER. The second part of the article will use this Q function to design long haul high capacity optical communication systems. La primera parte de este artículo presenta las herramientas matemáticas y estadísticas requeridas en el diseño e implementación de redes ópticas para comunicaciones de alta capacidad. El concepto de BER (tasa de error de bits) es incorporado primeramente como parámetro clave para calificar la calidad en las comunicaciones digitales. Con base en un modelo de distribución gausiana del ruido, el parámetro BER es entonces computado cuando la recepción acontece en ambiente ruidoso. Se computa entonces un umbral óptimo para polarizar el detector y es definida una nueva función Q relacionada con el BER. La segunda parte del presente artículo utilizará esta función Q para diseñar sistemas de comunicación óptica de alta capacidad y largo alcance. PHAROS, v.11.n.2, Noviembre-Diciembre 2004. INTRODUCCION. Los sistemas de Comunicaciones Ópticas se han convertido hoy día en los medios universales de transmisión de información utilizando un medio guiado (fibra óptica). Su interés, entre otros, está en su alta capacidad de transmisión, inmunidad a las interferencias electromagnéticas y perfecta adaptación a los procedimientos digitales modernos de envío de información. Ante el enorme ancho de banda potencial de las fibras ópticas, siempre se ha tenido un gran interés por explotar su capacidad al máximo, y, desde ese punto de vista, la evolución de los sistemas se ha realizado en dos direcciones diferentes: - Aumentando la velocidad (tasa binaria) en la modulación TDM de los multiplexadores de la jerarquía digital síncrona SDH. - Utilizando multiplexación en longitud de onda WDM dentro de cada una de las fibras usadas para la transmisión. En el primer caso las velocidades que se utilizan hoy día para los sistemas de transporte de alta capacidad alcanzan ya los 10 Gbits/seg., estando a punto de introducirse los sistemas de 40 Gbits/seg. En el segundo caso hoy día se está usando multiplexaciones de 64 y 128 longitudes de onda por cada par de fibras. La capacidad total de un sistema se potencia de esta forma expandiendo ambas prestaciones hasta velocidades de 128 x 40 Gbits/seg. es decir 5120 Gbits/seg. por cada par de fibras. Los tres problemas tradicionales asociados a las transmisiones ópticas han sido: - debilitamiento de la señal con la distancia por la atenuación propia de la fibra y los empalmes. - deformación de la señal por dispersiones (fundamentalmente por la dispersión cromática de la fibra). - enmascaramiento de la débil señal óptica a la llegada al detector por los diferentes tipos de ruido generados en el sistema. DISEÑO DE SISTEMAS ... t 39 La dispersión puede corregirse cada cierta distancia usando fibras compensadoras de dispersión. Sin embargo el ruido generado por los amplificadores ópticos (ruido de emisión espontánea), el ruido térmico en los componentes electrónicos y el ruido de los amplificadores eléctricos (figura de ruido) no pueden eliminarse, lo que se traduce en la aparición de errores en las señales digitales durante el proceso de detección. El nivel de la tasa de errores durante la transmisión se caracteriza con un parámetro denominado BER (Bit Error Rate). CONCEPTO DE BER. En los sistemas digitales de transmisión el concepto de BER tiene tres acepciones que son equivalentes entre si: a.- Relación entre el número de bits erróneos recibidos y el número de bits transmitidos BER= [BER p(0 =/ 1[)p] (1 / 0)] Nº de bits erróneos recibidos Nº de bits transmitidos b.-Número de errores ocurridos durante la transmisión de un bit. c.- Probabilidad de que se reciba un bit erróneo cuando se ha recibido un cierto número de bits. Una forma de expresarlo sería BER= [ p (0 / 1)] donde ó representaría la probabilidad de recibir un cero cuando en realidad se ha transmitido un uno; y [ p(1 / 0)] representaría la probabilidad de recibir un uno cuando en realidad se ha transmitido un cero. FORMA ESTADÍSTICA DE LLEGADA DE LA INFORMACIÓN. PHAROS, v.11.n.2, Noviembre-Diciembre 2004. Se puede comprobar que la llegada aleatoria de fotones en cada bit sigue aceptablemente una distribución estadística de tipo Poisson. Este carácter aleatorio en la llegada de fotones origina, a su turno, a una generación de electrones en el detector que se traducirá en una corriente que variará aleatoriamente en torno a un valor medio con una distribución de tipo Gaussiano. Nuestro objetivo es analizar estas distribuciones estadísticas y explicitarlas en una forma útil para el cálculo del BER en sistemas de comunicación óptica. En el proceso aleatorio de llegada de fotones al detector supongamos que la tasa media de llegada sea de N fotones /bit. Como sabemos por Mecánica Cuántica, cada fotón tiene una energía asociada a su frecuencia que viene dada por la expresión W = hf = h c λ donde h = Constante de Plank = 6.626 x 10-34 Joule-seg c= velocidad de la luz = 3 x 108 m/seg ë = longitud de onda asociada al fotón . Por lo tanto la energía media que llegará por bit será Nh c λ y suponiendo que la duración de un bit es τ seg (intervalo de bit), la potencia media que llega por bit será El intervalo de bit viene relacionado con la tasa binaria B del sistema por la 1 c DISEÑO DE SISTEMAS ... N= t 41 Pλ hcB Como hemos indicado anteriormente, la llegada de fotones al detector sigue una distribución estadística de Poisson; y en esta distribución la probabilidad de que haya un cierto número de llegadas k en un intervalo T viene dada por la expresión p ( k ) = ( λT ) k e − λT k! donde k = número de llegadas en el intervalo T ë = tasa media de llegadas /seg a) Esta expresión permitirá calcular en nuestro caso cuál será la probabilidad de que lleguen uno o más fotones en el intervalo de bit cuando la tasa media de llegada sea de N fotones/seg. Para ello sólo tendremos que reemplazar en la fórmula anterior ë por N y T por 1, ya que estamos considerando un intervalo de 1 bit p (k ) = ( N ∗1) k e − N •1 k! Si estamos suponiendo que llega un bit 1 al detector, la probabilidad de que no llegue ningún fotón, y que por tanto el detector interprete la llegada como un bit cero, podrá calcularse en la expresión anterior dando a k el valor 0. p (0 ) = ( N ) 0 e− N = e−N 0! Pero eso precisamente es lo que hemos llamado BER, probabilidad de error de que se detecte un bit cero (no llegadas de fotones) cuando en realidad ha llegado un bit uno. PHAROS, v.11.n.2, Noviembre-Diciembre 2004. Si suponemos un detector ideal en el que no exista ruido, y por lo tanto no haya generación espontánea de fotones, la llegada de un cero en una estadística Poisson corresponderá a una tasa de llegada de fotones N= 0 fotones/seg. La probabilidad de que en esas condiciones lleguen uno o más fotones en el intervalo de un bit y por tanto el detector pueda interpretar que ha llegado un uno es p (k ) = (0 ∗1) k e −0•1 =0 k! es decir [ p(1 / 0)] = 0 Como cualquiera de estas dos situaciones da origen a un error podremos poner BER = [ p (0 / 1)] = e − N BER = [ p(1 / 0)] = 0 Y dado que son dos sucesos independientes, la probabilidad conjunta será la suma de ambas probabilidades 2 ∗ BER = [ p (0 / 1)] + [ p (1 / 0)] = e − N BER = 1 −N e 2 Desde un punto de vista de Telecomunicaciones, lo que generalmente nos interesará será calcular la potencia mínima que ha de llegar a un detector como el que estamos considerando, para que la tasa de errores sea de un BER dado. De la expresión anterior − N = ln(2 ∗ BER ) = − Pr λ hcB DISEÑO DE SISTEMAS ... t 43 consecuencia se le denomina límite cuántico. RECEPCIÓN CON RUIDO. En un caso general, la llegada de potencia óptica a un detector se verá contaminada con el ruido que surja en el proceso de recepción. La potencia óptica recibida será convertida por el fotodetector en corriente eléctrica. Esta corriente tendrá una componente media debida a la señal y otra componente aleatoria generada por el ruido del propio detector (ruido de disparo), o por el ruido de la resistencia de carga del detector (ruido térmico). Esta corriente total aleatoria responde aceptablemente, como ya se ha indicado, a una distribución de tipo Gaussiano en torno a un valor medio de señal y un ruido de varianza ó2. Debido a la presencia de ruido, el receptor puede ejercer decisiones erróneas, interpretando como 1’s los que fueron enviados como 0’s y viceversa. Supongamos que a la llegada de un 1 llamamos corriente media de señal I1 varianza de ruido σ 12 Supongamos, igualmente, que a la llegada de un cero llamamos corriente media de señal I0 varianza de ruido σ 02 Ante la llegada de información en forma digital, el detector deberá tomar una decisión acerca del nivel recibido, muestreando cada bit a mitad del intervalo. Para ello utiliza un valor umbral de corriente. Si la corriente recibida está por encima del nivel umbral decidirá que se ha recibido un uno. Si está por debajo del umbral decidirá cero. Debido al carácter aleatorio de la variación de la corriente, puede suceder que se detecte una corriente por debajo del umbral (decisión 0) cuando en realidad se PHAROS, v.11.n.2, Noviembre-Diciembre 2004. Nuestro objetivo es establecer las funciones necesarias para el cálculo del BER basadas en la distribución Gaussiana de densidad de probabilidad de la corriente aleatoria recibida. La distribución Gaussiana tiene la siguiente expresión para la función densidad de probabilidad − e f ( x) = ( x −a )2 2σ 2 σ 2π y la siguiente para la función de probabilidad (probabilidad acumulada) − F (λ ) = ∫ e λ σ = 2 2σ 2 σ 2π −∞ donde: a = ( x −a )2 dx valor medio de la distribución varianza de la distribución De acuerdo con esto, la probabilidad de que la variable aleatoria esté situada por debajo de un valor determinado x0 será − Pr o( x ≤ x0 ) = F ( x0 ) = ∫ x0 −∞ ( x − a )2 1 2 dx = 1 + 2 σ 2π π e 2σ 2 ∫ x0 −a σ 2 0 1 2 x −a e− y dy = 1 + erf 0 σ 2 2 donde definimos erf (u ) = 2 π ∫ u 0 2 e− y dy Si queremos calcular la probabilidad de que la variable se encuentre por encima de un valor dado x tendremos t DISEÑO DE SISTEMAS ... 45 Si ahora definimos ∞ 2 1 e− y dy ∫ x 2π sencillas manipulaciones algebraicas nos conducirán a que Q( x ) = 1 x Q( x0 ) = 1 − erf 0 2 2 Esta función viene tabulada en los manuales matemáticos para los valores más usados de la variable. Sin embargo existen algunas aproximaciones que permiten su cálculo analítico. Así por ejemplo para z > 3 se puede usar la siguiente expresión z2 − 1 Q( z ) = e 2 z 2π Otra aproximación para z > 0 es: (con un error absoluto menor que 0.27%) 1 −z 1 Q( z ) = e 2 (1 − 0.339) z + 0.339 z 2 + 5.510 2π 2 CÁLCULO DEL BER EN DETECTORES CON RUIDO. Este análisis requiere estudiar estadísticamente las dos condiciones que pueden presentarse en la recepción de una transmisión digital. 1. Supondremos primero que se ha transmitido un uno digital y que el detector genera una corriente con un nivel medio de señal I1 y una varianza de ruido σ 12 El circuito decisor medirá el nivel de intensidad a mitad de intervalo de bit comparándolo con un nivel umbral Ith , que estará situado por debajo de I1. Debido PHAROS, v.11.n.2, Noviembre-Diciembre 2004. Ya que estamos interesados en determinar la probabilidad (BER) de que se produzca esta situación, podremos hacerlo calculando cuál es la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria esté por debajo del nivel umbral. − Pr o [ 0 /1] = Pr o ( x ≤ I th ) = ∫ ( x − I1 ) 2 I th e −∞ σ1 − 2σ 12 ( x − I1 ) 2 I1 1 e 2σ 1 dx = − ∫ dx = I th 2 2π σ 1 2π 2 2 I −I I −I 1 e− y dy = 1 − erf 1 th = Q 1 th 0 2 σ1 2 σ1 2.- Supongamos ahora que se ha transmitido un cero digital, y que el detector genera = 1 1 2 − 2 2 π ∫ I1 − I th σ1 2 una corriente con un nivel medio de señal I0 y una varianza de ruido σ 02 . Debido nuevamente al carácter aleatorio de la corriente, ésta puede ahora encontrarse por encima del nivel umbral, y el detector puede decidir uno cuando en realidad se transmitió cero. La probabilidad de ocurrencia de esta segunda situación podemos de nuevo hallarla calculando la probabilidad de que la variable se encuentre por encima del valor umbral Ith. , que en este caso estará situado por encima de I0. Pr o[1 / 0] = Pr o( x ≥ I th ) = 1 − F (I th ) − F ( I th ) = ∫ ( x − I 0 )2 2σ 02 Ith e −∞ σ 0 2π P[1 / 0] = 1 − dx = 1 1 2 + 2 2 π ∫ Ith − I0 σ0 2 0 2 e− y dy = 1 1 + erf 2 2 Ith − I 0 σ0 2 I −I 1 1 I −I 1 1 − erf th 0 = − erf th 0 2 2 σ0 2 2 2 σ0 2 es decir I −I P[1 / 0] = Q th 0 σ0 La ocurrencia de cualquiera de las dos situaciones analizadas da origen a error, y como ambas son independientes, sus probabilidades pueden sumarse. Cada una DISEÑO DE SISTEMAS ... t 47 en consecuencia BER = 1 1 1 I −I 1 I −I P[1 / 0] + P[0 / 1] = Q th 0 + Q 1 th 2 2 2 σ 0 2 σ1 OPTIMIZACIÓN DEL UMBRAL. Como vemos, el BER depende de donde situemos el umbral Ith. Una consideración interesante es si existe un valor del umbral que optimice la dependencia BER del umbral. O, en otras palabras, si existe un umbral que minimice el BER obtenido en la detección. Eso sería equivalente a determinar cual sería el valor de Ith tal que ∂ (BER ) =0 ∂I th Eso sería equivalente a calcular 1 2 2π y2 ∂ ∞ ∂ − 2 dy I1 − I th 0 e ∫ ∂I ∂y σ 1 th 0 I1 − I th 0 + σ 1 1 2 2π y2 ∂ ∞ ∂ − 2 e dy I − I ∫ th 0 0 ∂I ∂y σ 0 th 0 I th 0 − I 0 = 0 σ 0 1 σ1 − ( I1 − I th 0 )2 e 2σ 12 = 1 σ0 − ( I th 0 − I 0 )2 e 2σ 0 2 (I th 0 − I 0 )2 − (I1 − I th 0 )2 2σ 0 2 2σ 1 2 = ln σ1 σ0 Esta ecuación puede resolverse fácilmente en Ith. Si en la solución obtenida hacemos la suposición de que la diferencia entre los niveles de señal del 1 y el 0 digital sea mayor que la diferencia de las varianzas de ruido, es decir PHAROS, v.11.n.2, Noviembre-Diciembre 2004. I th 0 = I1σ 0 + I 0σ 1 σ1 +σ 0 De acuerdo con esto y cuando el decisor opere en la base de umbral óptimo, la expresión del BER será 1 I −I 1 I −I BER(I th 0 ) = Q th 0 0 + Q 1 th 0 2 σ 0 2 σ1 que después de sencillas manipulaciones algebraicas nos conduce a I −I BER(I th 0 ) = Q 1 0 σ1 + σ 0 Para el caso relativamente frecuente en que I1 e I0 sean muy débiles, puede demostrarse que σ1 = σ 0 En cuyo caso la corriente umbral óptima puede expresarse por I1 + I 0 2 Esta expresión facilita mucho el diseño del circuito decisor ya que es muy sencillo diseñar un dispositivo con ese nivel de umbral. I th = La expresión del BER queda entonces I −I BER = Q 1 0 2σ 1 Debe observarse que el nivel umbral Ith depende del valor del nivel medio de señal I1, y en una transmisión digital esto depende del número de 1’s seguidos que se estén transmitiendo. Esto obliga a utilizar códigos de línea en los que no haya una gran número seguido de 1’s en la señal. DISEÑO DE SISTEMAS ... t 49 puestos que hemos analizado, es una relación de dos corrientes I1 e I0 como corrientes de señal σ 1 y σ 0 como corrientes de ruido Por lo tanto, sea en el caso general del umbral óptimo o el caso particular del umbral de señales débiles γ1 = I1 − I 0 σ1 + σ 0 I1 − I 0 ó γ 2 = 2σ 1 el parámetro ã es una relación señal a ruido. En general señal BER = Q (γ ) = Q ruido bien entendido que esa es una relación de corrientes. γ 1 BER =Q(γ ) = 1 − erf 2 2 Lo más frecuente en Telecomunicaciones es resolver el problema inverso, es decir calcular la relación señal a ruido más pequeña que puede llegar a un detector para obtener una determinada probabilidad de error BER. Dado que y suponiendo que ã > 3 podremos poner − BER = γ2 1 e 2 2 γ π 2 De donde podremos obtener γ = 2 ln 1 PHAROS, v.11.n.2, Noviembre-Diciembre 2004. Por ejemplo para BER = 10-12 se obtiene el valor de ã = 7.03 después de solo cuatro reiteraciones. Las funciones obtenidas hasta aquí de la expresión del BER nos permitirán, en un futuro artículo, abordar el diseño de sistemas digitales de comunicación óptica de gran capacidad y velocidades de transmisión elevadas.