El problema general de la programación lineal puede ser descrito

El problema general de la programación lineal puede ser descrito de la siguiente forma:
Dada una función lineal de varias variables, se quieren determinar valores no negativos
para dichas variables que maximicen o minimicen el valor de la función lineal, sujeta a
un cierto número de limitaciones que asumen la forma de un sistema de ecuaciones y/ o
inecuaciones lineales..
Considerando a n como el número de variables y a m como el número de ecuaciones e
inecuaciones y si se cumple que m n entonces el modelo matemático sería el siguiente:
Z = C1X1+ C2X2+ ... +CnXn ( MAX o MIN )
(1)
Sujeto a:
ai1 X1 + ai2 X2 + … + ain Xn      bi
Xj  0
i=1,…,m ( 2 )
j= 1,...,n (3 )
Las expresiones (1) , (2 ) y (3) componen el modelo económico-matemático de
programación lineal.
La expresión (1) representa la función que va a ser optimizada, la cual se denomina
FUNCIÓN OBJETIVO (F.O) y se representa por Z. Los criterios de optimización
dependerán de los objetivos o metas que se quieran alcanzar en la empresa y la prioridad
de los mismos.
Los Ci son los coeficientes de la F:O. Estas constante pueden tener diferentes
significados, por ejemplo, costos de producción, ganancias, normas de tiempo o de
recursos, precios, etc.
Las Xj son las variables esenciales o de decisión del modelo que se pretenda diseñar.
Cada una representa una actividad económica y sus valores representan los niveles de
esas actividades.
La expresión (2) es el sistema de ecuaciones y/o inecuaciones lineales que se va
denominar como sistema de restricciones lineales, donde los bi, es decir, los términos
independientes pueden tener diferentes significados como son, demandas máximas o
mínimas de producción, disponibilidad de recursos, requerimientos mínimos de
utilización de determinados recursos, entre otros. Los coeficientes aij son las constantes
asociadas a cada una de las variables en cada una de las restricciones, frecuentemente
expresan normas técnicas de consumo de materiales , de tiempo, etc.
La expresión (3) establece que las variables del modelo solo pueden tomar valores no
negativos, A esta expresión se le conoce como condición de no negatividad.
El conjunto de soluciones que satisfaga las expresiones (1), (2) y (3) se le conoce como
solución posible óptima.( Aquí referirme a los conceptos de solución y solución factible).
Ejemplo demostrativo:
En una fábrica que se dedica a la producción de artículos plásticos , la administración está
evaluando la alternativa de producir hasta cuatro tipos de productos que se clasifican por
01,02,03 y04.El proceso productivo diseñado requiere de que estos tres productos pasen
por diferentes tipos de equipos entre los que se encuentren, los hornos, moldeadoras y
troqueles.
Se quiere determinar la estructura óptima del surtido de producción mensual teniendo en
cuenta que las restricciones fundamentales están relacionadas con el equipamiento
disponible y que se tiene como objetivo fundamental maximizar las ganancias de la
empresa para el período. La información necesaria se encuentra en la siguiente tabla:
Tipo
de Normas de tiempo para la elaboración de los productos Total de hrs
máquina
(hrs/u)
disponibles
Producto 01
Producto 02
Producto 03
Producto 04
para el mes.
Horno
3
2
5
3
150
Moldeadora
1
8
4
7
190
Troquel
3
6
7
2
160
Ganancia
6.00
8.50
9.80
5.10
unitaria
Analizando la tabla podemos apreciar que el producto que proporciona más ganancia es
el 03, sin embargo es uno de los que más tiempo consume en su elaboración, solo un
enfoque integral del problema podrá aportar la mejor solución y esto lo resuelve en gran
medida la programación lineal.
Construcción del modelo:
Xj representa unidades de producto tipo j a producir mensualmente. Se tienen por tanto
cuatro variables: X1 , X2, X3 y X4 .
X1 , X2, X3 ,X4 >= 0
El sistema de restricciones lineales quedaría como sigue:
3 X1 + 2 X2 + 5X3 + 3X4 ≤ 150
X1 + 8 X2 + 4X3 + 7X4 ≤ 190
3 X1 + 6 X2 + 7X3 + 2X4 ≤ 160
La función lineal nos dará la ganancia total a obtener:
MAX Z = 6 X1 + 8.5X2 + 9.8X3 + 5.1X4
Después de tener formulado matemáticamente el problema es necesario determinar los
valores de las variables X1 , X2, X3 y X4. Sobre como solucionar estos tipos de modelos
nos referiremos más adelante.
Para que un modelo matemático sea un modelo lineal deben cumplirse los siguientes
supuestos:
 Proporcionalidad.
 Aditividad.
Proporcionalidad: Implica que la medida de efectividad y/o consumo de recursos tiene
que ser proporcional al nivel de actividad. Por ejemplo, si un artículo demora una hora en
producirse, 10 artículos demorarán 10 horas.( Esto se cumple incluso para la función
objetivo )
Aditividad: La linealidad no se garantiza solamente
con el supuesto de
proporcionalidad. Se requiere además que las actividades sean aditivas. Esto quiere decir
que si una variable X1 requiere un efecto α1 cuando está sola y una variable X2 produce
un efecto α2 cuando está sola, entonces X1+X2 produce un efecto α1 + α2
Ejemplo:
El producto A consume 10 unidades de materia prima y el producto B consume 5
unidades de materia prima, entonces al producir los artículos simultáneamente el
consumo de materia prima es igual a 15.
Este supuesto indica además que solo podemos sumar elementos que tengan la misma
unidad de medida.
IV-Procedimiento para la construcción de un modelo de optimización lineal.
Ejemplo:
Una UBPC dispone de 50 caballerías de tierra cultivable que puede dedicar a los
siguientes cultivos: Maíz, arroz, frijoles, tomate y boniato. Esta entidad está interesada en
determinar la estrategia óptima de producción que debe adoptar teniendo en cuenta que
se dispone de la siguiente información.
Cultivo
Rendimiento
Costo ($/t)
agrícola
Precio
venta ($/t)
(t/Cab)
de Mano de obra Consumo de
(hrs-
fertilizante
hombre/t)
(kgs/t.
de
prod.)
Maíz
6.0
120.0
180.0
31
600
Arroz
4.0
170.0
220.0
58
450
Frijoles
5.0
210.0
650
70
700
Tomate
12.0
90.0
400.0
35
300
Boniato
21.0
70.0
130.00
30
520
Para el próximo trimestre se cuenta con 40 toneladas de fertilizantes y 600 horas-hombre
para atender los cultivos y la UBPC debe garantizar para la venta a la población al menos
dos tonelada de arroz y para vender a empresas al menos tres toneladas con una
reducción del precio del 1+0 %.
Construya el modelo de programación lineal que le permita a la entidad agrícola alcanzar
mayores utilidades.
Partiendo del caso anterior, vamos a desarrollar el procedimiento para diseñar el modelo
económico matemático.
Para la construcción de cualquier modelo de PL es necesario desarrollar los siguientes
pasos:
1. Identificar las variables de decisión
2. .Construcción de las restricciones.
3. Definición de la función objetivo.
4. Plantear la condición de no negatividad.
La identificación de las variables de decisión siempre es el primer aspecto a definir. Los
demás pasos si pueden realizarse en cualquier orden.
 Definición de las variables de decisión.
Es necesario recordar que las variables de decisión son los elementos a través de los
cuales se logra el objetivo que se persigue. La definición de las variables de decisión se
identifica con cada una de las actividades en que se descompone el problema que se
estudia y se realiza en dos etapas fundamentales: Definición conceptual y definición
dimensional. Existe un tercer elemento que puede estar definido o no , esto es la
definición temporal de las mismas.
Definición conceptual
Esta definición se refiere a lo que significa la variable en el contexto del problema. Para
definir la variable desde el punto de vista conceptual hay que tener en cuenta el principio
de unicidad. La unicidad puede ser de cuatro tipos:
 Unicidad de origen
 Unicidad de destino
 Unicidad de estructura tecnológica
 Unicidad de coeficiente económico.
Definición dimensional.
Esta definición está ligada al aspecto cuantitativo. Es decir es necesario definir las
unidades de medidas en que se va a expresar las variables. Por ejemplo, toneladas, cajas ,
unidades, galones, etc.
Definición temporal.
Esta asociada al período durante el cual se va a planificar o programar las actividades
económicas, es decir, año, trimestre, mes etc.
Para el caso planteado la definición de las variables quedaría de la siguiente forma:
X1- toneladas de maíz a producir en el próximo trimestre.
X2- Toneladas de arroz a producir para venta a población en el próximo trimestre.
X3-Toneladas de arroz a producir para venta a empresas en el próximo trimestre.
X4-toneladas de frijoles a producir en el próximo trimestre.
X5- toneladas de tomate a producir en el próximo trimestre.
X6-- toneladas de boniato a producir en el próximo trimestre.
 Construcción del sistema de restricciones.
Para la construcción del sistema de restricciones es necesario seguir el siguiente
procedimiento.
1. Cerciorarse de la necesidad objetiva de considerar que existe una limitación
cuantitativa.( Este paso es muy importante porque no debe constituir restricción
aquello que realmente no esté limitado.
2. Cuantificar esa limitación, entiéndase cantidad de recurso disponible, demanda de
producción, etc.(darle valor al término independiente.)
3. Definir el signo de la restricción atendiendo a las características específicas de la
limitación que se esté modelando.
4. Definir las variables que deben formar parte de las restricciones.
5. Definir los coeficientes asociados a las variables, es decir, los coeficientes de
conversión.
En el caso que nos ocupa vamos a definir la restricción relacionada con el recurso
fertilizante. Como se puede apreciar para el período se dispone solamente de 40 toneladas
de este recurso por lo que lo podemos considerar como una restricción. Esta cantidad es
la disponibilidad máxima que se tiene de ese recurso. Entonces 40 representa el término
independiente y el signo que se de emplear para modelar la restricción es <= debido a
que se puede utilizar hasta 40 toneladas de fertilizante pero no más. Este recurso debe ser
aplicado a los distintos tipos de cultivo por tanto en la restricción estarán todas las
variables anteriormente definidas .Ahora ,¿En qué unidades de medidas deben estar
expresados los coeficientes de conversión?.Analicemos:
Es muy importante garanticen que la restricción sea homogénea y para esto es muy
importante las unidades de medida en que están expresados los términos independientes y
las variables de decisión del modelo. De estos elementos dependerán las unidades de
medidas en que se expresarán los coeficientes de conversión.
{unid.de medidas coef. de conversión}.{unid. de medidas variables}<{unid. de
medidas término ind. }
Para nuestro caso sería:
Unidades de medida en que
están expresadas las
variables.
Unidades de medida en que está
expresado el término
independiente
{coef. de conversión ?} . { toneladas de producto} < {toneladas de fertilizante }
Entonces, el coeficiente de conversión para nuestro caso se debe expresar en toneladas de
fertilizante por tonelada de producto. ( ton. fertilizante/ ton. de prod.). La restricción , por
tanto quedaría de la siguiente forma:
600 X1+450 X2+450 X3+700 X4+300 X5+ 500 X6< =40000 (Kilogramos de fertilizante)
Obsérvese que el término independiente está expresado en kilogramos porque las normas
de consumo estaban expresadas en kilogramos y el cálculo a realizar es más simple. Esta
restricción también puede ser expresada de la siguiente forma:
0.6X1+0.45X2+0.45X3 +0.70 X4+0.30 X5+0.50X6 < = 40 ( toneladas de fertilizante ).
El mismo procedimiento se sigue para plantear la restricción de mano de obra , que
quedaría de la siguiente forma:
31X1 +58 X2 +58 X3 +70 X4 + 35 X5+ 30X6 <= 600 (Disponibilidad máxima. de horashombre ).
Con relación al fondo de tierra la restricción quedaría de la siguiente forma:
6 X1 +4 X2 +4 X3 +5X4 + 12 X5+21 X6 < = 50 ( Caballerías de tierra disponible ).
 Definición de la función objetivo.
Para elaborar la función objetivo el procedimiento es similar. En la misma deben estar
todas las variables de decisión , aunque el coeficiente asociado a las mismas sea cero o
negativo. El objetivo global de esta UBPC es maximizar sus utilidades, podía haber sido
minimizar los costos totales de producción o maximizar el valor de la producción o
minimizar el consumo de fertilizante etc,.Existen datos suficientes en el problema que
permiten considerar alternativas de metas u objetivos a lograr. La PL como método
cuantitativo sólo permite optimizar un objetivo o meta de la entidad económica, que en
este caso, como ya se mencionó anteriormente, es la maximización de las utilidades. La
forma más simple de determinar las utilidades a partir de la información disponible es:
Precio de venta unitario – costos de producción unitario. Por tanto la función objetivo
quedaría de la siguiente forma:
MAX (Utilidades) Z =( 180-120) X1+(220-170) X2+(1-0.1(220)-170) X3+(650-210) X4
+(400-90 ) X5+ (130-70 ) X6
MAX (Utilidades) Z = 60X1+50 X2 +28X3+440 X4 +310 X5+ 60 X6
 Condición de no negatividad.
Las variables definidas por lógica no deben tomar valores negativos. Una actividad
económica se realiza o no.
Entonces, X1,X2,X3,X4, X5 ,X6 ≥0
V. Aplicaciones de la programación lineal
 El problema de la dieta óptima.
El problema de la dieta es famoso en la literatura sobre programación lineal por ser el
primer problema económico que jamás se haya resuelto mediante la aplicación explícita
de este método. Por esta razón se dice que este problema es típico de la PL. Las dietas se
seleccionan para cumplir una serie de criterios Cada persona o animal( Téngase en cuenta
que no sólo los humanos necesitamos dietas )requiere de cantidades diarias de calorías,
vitaminas, proteínas , minerales y otros tipos de nutrientes. También existen las
preferencias por parte de los consumidores por tipos de comidas. La dieta óptima será
aquella que cumpla con todas las necesidades a un costo mínimo.
Ejemplo:
Una empresa está interesada en determinar la dieta menos costosa para un grupo de
trabajadores que realizan tareas especiales. Luego de un estudio realizado se han definido
los principales tipos de alimentos que deben consumir, así como los principales
elementos nutritivos que se deben ingerir y los requerimientos mínimos de estos. La
información recopilada se recoge en la siguiente tabla:
Elementos nutritivos Kg de elementos nutritivos/ Kg de alimento
A
B
C
D
Cantidad mìnima
requerida(Gramos
)
Proteína
0.04
0.06
0.02
0.03
400
Vitamínicos
0.02
0.01
0.05
0.06
300
Carbohidratos
0.05
0.03
0.03
0.01
500
de $10.50
8.40
6.50
9.80
Precio
adquisición del Kg
de alimento
El alimento A debe representar no más del 30 % de la dieta.
Elabore el modelo económico-matemático que permita determinar la dieta óptima.
Solución:
1.Definición de variables.
X1- Kilogramos de alimento A a comprar.
X2-- Kilogramos de alimento B a comprar.
X3-- Kilogramos de alimento C a comprar.
X4-- Kilogramos de alimento D a comprar.
2.Condición de no negatividad.
X1 ,X2,X3 ,X4 ≥ 0
3.Construcción del sistema de restricciones lineales
0.04 X1 + 0.06 X2 + 0.02 X3 +0.03 X4 ≥ 0.4 (Requerimientos mínimos de proteína )
0.02 X1 + 0.01 X2 + 0.05 X3 +0.06 X4 ≥ 0.3 (Requerimientos mínimos de vitamínicos )
0.05 X1 + 0.03 X2 + 0.03 X3 +0.01 X4 ≥0.5 (Requerimientos mínimos de carbohidratos )
X1 ≤ 0.30 (X1 +X2 +X3 +X4 ) ( El alimento A debe representar no más del 30 % de la
dieta)
4. Construcción de la función objetivo.
MIN Z = 10.50 X1 +8.40 X2 +6.50 X3 + 9.80 X4 ( Costo total de adquisición de la dieta )
 El problema de mezclas.
El problema de mezclas se presenta cuando los administradores deciden la forma en que
deben combinarse dos o más recursos para fabricar uno o más productos. En estos casos,
los recursos contienen uno o mas ingredientes esenciales que deben mezclarse de manera
que los productos finales contengan porcentajes específicos de los ingredientes
esenciales. Por ello, en la mayor parte de las aplicaciones, los administradores deben
decidir qué tanto recurso deben adquirir para satisfacer las especificaciones de los
productos y las demandas de estos a un costo mínimo.
Con frecuencia se presentan problemas de mezclas en la industria del petróleos crudos
para fabricar gasolina con octanajes diferentes, en la industria química ( tales como la
mezcla de productos químicos para fabricar fertilizantes o para el control de hierbas, etc.
) y en la industria de los alimentos ( como mezcla de ingredientes para fabricar bebidas,
sopas, etc). Como se puede apreciar la aplicación de los problemas de mezcla es extensa
y por tal razón consideramos que este es un tipo de problemas que deben conocer.
Ejemplo:
Una empresa produce gasolina de primera (GPC)y segunda calidad (GSC). Estos
combustibles se producen mezclando dos componentes del petróleo. Las gasolina se
venden a precios distintos y7 los componentes de petróleo tienen costos diferentes. La
empresa pretende determinar como mezclar o combinar los dos componentes para
obtener las dos gasolina de forma tal que se maximicen las utilidades. Se dispone de la
siguiente información:
Componentes %
de
utilizaciòn
de
los Costo de galòn Disponibilidad del
componentes/ galòn de gasolina
del
componente(g)
componente($/g)
GPC
GSC
1
=<30
>=20
0.70
500
2
>= 10
=<15
1.50
700
Precio
de $18.58
venta de la
gasolina ($/g)
$15.60
Los compromisos actuales con los distribuidores requieren que la empresa fabrique al
menos 100 galones de gasolina de primera calidad.
Construya el modelo económico- matemático que describa la situación anterior.
Solución:
1.Definición de variables.
X1-Galones del componente 1 para elaborar gasolina de primera calidad.
X2-Galones del componente 2 para elaborar gasolina de primera calidad.
X3-Galones del componente 1 para elaborar gasolina de segunda calidad..
X4-Galones del componente 2 para elaborar gasolina de segunda calidad.
2. Condición de no negatividad
X1 ,X2,X3 ,X4 >= 0
3.Construcción del sistema de restricciones lineales.
X1 + X3 <=500
X2 + X4 <=700
X1 + X2 >=100
X1 <= 0.30 (X1 +X2 )
X2 >=0.10 (X1 +X2 )
X3 >= 0.20 (X3 +X4)
X4 <= 0.15(X3 +X4)
4.Construcción de la función objetivo.
MAX Z = 18.58 (X1 +X2 ) +15.60 (X3 +X4)- 0.70 (X1 +X3 )-1.50(X2 +X4) (Maximizar las
utilidades )
 El problema del corte óptimo.
Los problemas de optimización del corte de materiales han encontrado una aplicación en
las empresas que se dedican ala producción de calzados, confecciones textiles, distintos
tipos de envases, entre otros. Estas producciones están relacionadas con el corte de gran
cantidad de materiales que pueden generar en todos los casos desperdicios considerables.
Las posibilidades de disminuir los desperdicios son diversas y están determinadas por
diferentes factores y una posibilidad de incrementar el ahorro de materiales es a través de
la elaboración de un plan óptimo de corte. Las posibilidades que brinda la PL para el
corte óptimo de materiales la mostraremos a partir del siguiente ejemplo:
Ejemplo:
La empresa de conformación de metales tiene una fábrica dedicada a la confección de
envases de diferentes tipos. Para la producción de los mismos utiliza planchas de metal
de diferentes dimensiones, las cuales deben ser cortadas de acuerdo con la producción
que deba realizarse.
Para realizar la producción del próximo trimestre dispone de 900 planchas de 100
centímetros de ancho, sin embargo, para la elaboración de los envases fijados en el plan
se requieren de 400 planchas de 48 cm,600 de 35 cm y 800 de 24 cm.
En estas condiciones se quiere determinar cuantas planchas de 100 cm deben utilizarse si
se tiene como objetivo minimizar el desperdicio total.
Solución:
1.Definición de variables.
En este tipo de problema para definir las variables de decisión es necesario determinar
todas las posibles variantes de corte. Al mismo tiempo se logran determinar los
coeficientes asociados a las variables en cada restricción.
Las combinaciones de corte posibles son las siguientes:
No.Variante
de corte
Planchas de 100 centímetros
Piezas de 48 cms
Piezas de 35 cms
Piezas de 24 cms
Desperdicio
(cm)
1
2
-
-
4
2
1
1
-
17
3
-
2
1
6
4
-
1
2
17
5
1
-
2
4
6
-
-
4
4
Como existen 6 variantes de corte ,entonces el problema tiene 6 variables de decisión
que se definen de la siguiente forma:
X1-Planchas de 100 cms a cortar según variante de corte No. 1 en el próximo trimestre..
X2- Planchas de 100 cms a cortar según variante de corte No. 2 en el próximo trimestre
X3- Planchas de 100 cms a cortar según variante de corte No. 3 en el próximo trimestre..
X4- Planchas de 100 cms a cortar según variante de corte No. 4 en el próximo trimestre
X5- Planchas de 100 cms a cortar según variante de corte No. 5en el próximo trimestre
X6-- Planchas de 100 cms a cortar según variante de corte No. 6 en el próximo trimestre
2. Condición de no negatividad
X1 ,X2,X3 ,X4 , X5 , X6 >= 0
3.Construcción del sistema de restricciones lineales.
Para construir este tipo de restricciones es importante tener en cuenta el significado de los
términos independientes y de las variable para definir dimensionalmente los aij .
Por ejemplo:
Se tiene como restricción que se requieren planificar 900 planchas de 48 cms, entonces
dimensionalmente la restricción quedaría:
Entonces el sistema de restricciones quedaría de la siguiente forma:
2X1 + 2 X2
anteriores )
+X5
= 900 (Aplicar las indicaciones de conferencias
X2 +2X3+ X4
= 600
X3+2 X4 +2X5+4 X6 = 800
X1 + X2+ X3 + X4 + X5 + X6 ≤ 900
MIN Z = 4X1 +17X2 +6X3 +17X4 +4X5 +4X6 (Minimizar el desperdicio total )
 El problema de transporte.
Este problema puede ser representado a través de la siguiente red:
Orígenes
Destinos
1
1
2
2
3
Abasto
Rutas de distribución
Demanda
Este problema puede ser resuelto aplicando el siguiente modelo de programación lineal:
Sea n el número de orígenes y m el número de destinos. Representemos por el subíndice i
los orígenes ( i=1,…,n ) y por j los destinos ( j=1,…,m ).La variable de decisión será Xij
que representa la cantidad de producto homogéneo a transportar desde el origen i al
destino j. Por cij se representa el costo de transportar una unidad de producto desde el
origen i al destino j.
SI se define por Ai lo que se oferta en cada punto de origen i y por Dj lo que se demanda
en cada punto de destino j, entonces el modelo básico de transporte de forma general se
puede formular de la siguiente forma:
n
MIN Z  
i 1
m
 Xij  Ai
j 1
m
 CijXij
j 1
i= 1,…,n
(restricciones de oferta )
n
 Xij
= Dj
j = 1,…,m
(restricciones de demanda )
i 1
Xij  0
i = 1,…,n
j= 1,…,m
En el modelo planteado se puede apreciar que los signos de las restricciones son de
igualdad porque se està asumiendo que lo que se oferta en los diferentes puntos de
orígenes es igual a lo que se demanda en los diferentes puntos de destino. Es importante
también señalar que el modelo de transporte tiene fundamentalmente restricciones de
oferta y demanda, pero puede tener otros tipos de restricciones relacionadas, por ejemplo,
con las capacidades de los medios de transporte.
Ejemplo demostrativo.
Una empresa tiene dos establecimientos que produce cierto producto, los cuales luego de
su fabricación deben ser distribuidos a tres puntos de venta. Se dispone de la siguiente
información:
Costos de transportación ($/u)
Establecimiento Puntos de venta
I
01
2
02
3
Demanda (u)
3000
II
4
7
4500
III
5
2
1500
Capacidades
productivas (u)
5000
4000
9000
La empresa está interesada en determinar que cantidad de producción debe enviarse
desde cada origen a cada destino que permita cumplimentar las ofertas y satisfacer las
demandas de forma tal que se minimice el costo total de transportación.
Solución:
1.Definición de las variables:
X11-Unidades de producto a transportar desde el origen 1 al destino 1
X12 Unidades de producto a transportar desde el origen 1 al destino 2
X13 Unidades de producto a transportar desde el origen 1 al destino 3
X12 Unidades de producto a transportar desde el origen 2 al destino 1
X22 Unidades de producto a transportar desde el origen 2 al destino 2
X32 Unidades de producto a transportar desde el origen 2 al destino 3.
1. Condición de no negatividad
X ij >= 0 i = 1,2
j = 1,2,3
2.Definición de sistema de restricciones.
X11 + X12 + X13
= 5000
X21 + X22 + X23 = 4000
X11 +
X21
X12 +
= 3000
X22
X13 +
=4500
X23 =1500
3.Función objetivo.
MIN (Costos ) Z = 2 X11 + 4 X12 + 5 X13 + 3 X21 + 7 X22 + 2 X23
En el
problema clásico de transporte
si se tienen n restricciones de oferta y m
restricciones de demanda, entonces se tienen n+m restricciones.
Las variables Xij no llevan asociado ningún coeficiente en las restricciones y esto se debe
a que estas variables se expresan conceptual y dimensionalmente igual que los términos
independientes.
Existen variantes adicionales para el modelo básico de transporte dado que se pueden
presentar las siguientes situaciones:
1.La oferta total no es igual a la demanda total.
2.Una función objetivo de maximización en vez de minimización.
3.Capacidades en las rutas.
4.Rutas inaceptables.
Es fácil considerar las anteriores situaciones realizando ligeras modificaciones al modelo
de programación lineal. Estas son:
1.Con frecuencia, la oferta total no es igual a la demanda total. Si la oferta total excede a
la demanda total , no es necesario hacer modificaciones al planteamiento de
programación lineal. Puede interpretarse que la holgura para cualquier origen
determinado es la oferta no utilizada, o la cantidad que no se envía desde el origen.
Si la oferta es menor que la demanda total, el modelo de programación lineal de un
problema de transporte no tendrá una solución factible. En este caso con frecuencia es
deseable obtener un programa de transporte de costos mínimos para la oferta disponible,
que indica también que destinos tendrían demanda insatisfecha. Para obtener esta
solución se modifica la representación en la red agregando un origen ficticio, con una
oferta igual a la diferencia entre la demanda total y la oferta total. Si se añade un origen
ficticio y llega a cada destino, el modelo de PL tiene entonces una solución factible Se
asigna un costo de cero por unidad a cada uno de los arcos que salen del origen ficticio,
de manera que el valor de la solución óptima para el problema modificado represente los
costos de transporte para las unidades que en realidad se envían ( realmente no se hacen
envíos desde el origen ficticio). Cuando se pone en práctica la solución óptima, los
destinos que muestran que reciben envíos desde el origen ficticio serían los destinos en
que no se satisface completamente la demanda.
2.Puede suceder que en algunos problemas de transporte el objetivo sea buscar una
solución que maximice la función objetivo. Esta situación no genera cambios en las
restricciones
3. Puede ocurrir que en las rutas de transportación consideradas entre las vinculaciones
posibles entre orígenes y destinos exista una capacidad limitada a ser transportada. En ese
caso habría que definir una restricción que represente esa limitación.
Ejemplo.
La ruta del establecimiento 01 al punto de venta III tiene una capacidad de 1000 unidades
debido a la disponibilidad restringida del espacio en su medio normal de transporte. Seria
entonces necesario plantear la siguiente restricción.
X13  1000
De manera similar, es posible especificar mínimos en la ruta. Por ejemplo.
X22  400
4. Otra situación especial puede presentarse cuando no es posible establecer una ruta
desde cada uno de los orígenes a cada uno de los destinos. En ese caso se elimina o no se
define la variable para la cual la ruta es inaceptable.