Conducción en semiconductores

Introducción a la
Teoría de semiconductores y nivel de Fermi
Trabajo compilado por Willie R. Córdova Eguívar
Conducción en los semiconductores
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Los semiconductores son materiales que ocupan una posición
intermedia entre los aislantes y los conductores.
Los semiconductores suelen ser aislantes a cero grados Kelvin, y
permiten el paso de corriente a la temperatura ambiente. Esta
capacidad de conducir corriente puede ser controlada mediante la
introducción en el material de átomos diferentes al del
semiconductor, denominados impurezas.
El material semiconductor más utilizado en la tecnología actual es
el silicio (Si). También se utilizan para aplicaciones especiales
(optoelectrónica, operación a muy alta velocidad,...) otros
semiconductores, como el arseniuro de galio (AsGa), y
semiconductores compuestos (AlGaAs, PGaAsIn,...).
Modelo de bandas de energía en un semiconductor

Las energías inferiores a Ev corresponden a las de los electrones
de valencia. Las superiores a Ec a los electrones libres. El gap de
energía Eg es la energía mínima que debe entregarse a un electrón
de valencia para desligarlo del enlace covalente.
Portadores

Un parámetro que caracteriza la capacidad conductora de un
semiconductor es la concentración de portadores, es decir, el número
de electrones de conducción por centímetro cúbico, cantidad que
se representa por n, y el número de huecos por centímetro cúbico,
denominada p. En un semiconductor intrínseco la concentración de huecos
es igual a la de electrones libres, puesto que ambos se generan por pares.
Esta cantidad se denomina concentración intrínseca de portadores del semiconductor
y se representa por ni.

donde A es una constante que varía ligeramente de un
semiconductor a otro, T es la temperatura en Kelvin, Eg, el
gap de energía, es específico de cada semiconductor, y K es la constante
de Boltzmann. Nótese que cuanto mayor sea Eg, menor será
ni, ya que se requiere más energía para liberar a un electrón.

A mayor temperatura existen más cuantos de energía térmica y por tanto más
electrones de valencia habrán podido absorber un cuanto y pasar a la banda de
conducción, por lo que aumentará ni.

En la figura anterior se representa la variación de ni con la temperatura para tres
semiconductores:
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


El silicio, que tiene una Eg = 1,1 eV,
El arseniuro de galio, con Eg = 1,42 eV, y el
Germanio, con Eg = 0,68 eV.
La concentración intrínseca de estos tres semiconductores a temperatura ambiente (300
K) es:
ni ( Si )  1,5.1010 portadores / cm 3
ni ( AsGa)  2.106 portadores / cm 3
ni (Ge)  2,5.1013 portadores / cm 3
La de los átomos es 5.1022 átomos/cm3, entonces solamente un átomo cada 1012 está
ionizado a la temperatura ambiente para el silicio.
En un semiconductor puro la conductividad depende además de
los electrones libres también de los huecos. Cuando se aplica un
campo eléctrico los huecos se mueven en sentido opuesto de los
electrones.
 En un semiconductor puro el número de electrones libres es igual
al de los huecos
ni=pi,
Donde

ni, es la concentración de electrones libres
pi, es la concentración de huecos.
Esta concentración se sabe es altamente dependiente de la temperatura.


Para recalcar:
A 300 K la concentración de los electrones libres del
silicio vale ni=1010 cargas/cm3, porque la de los
átomos es 5.1022 átomos/cm3, entonces solamente un
átomo cada 1012 está ionizado a la temperatura
ambiente.
Concentración en un semiconductor tipo n
En el silicio a temperatura ambiente, todas la impurezas suelen estar ionizadas. A la
concentración de impurezas donadoras se le llama ND. La concentración de electrones de
conducción, n, y de huecos, p, serán, por tanto:

Donde ND es la concentración de átomos de impurezas donadoras y nr
es la de enlaces covalentes rotos.

Normalmente, para concentraciones de impurezas y a temperatura
ambiente, nr es muy inferior a ND, por lo que n es mucho mayor que p.
Por esto se dice que los portadores mayoritarios son los electrones y los
minoritarios son los huecos. Se dice que el semiconductor es tipo N
porque dominan los electrones, que poseen carga negativa.
Concentración en un semiconductor tipo p
En el silicio a temperatura ambiente, todas la impurezas suelen estar ionizadas. A la
concentración de impurezas aceptoras se le llama NA. La concentración de electrones de
conducción, n, y de huecos, p, serán, por tanto:

Donde NA es la concentración de impurezas trivalentes
(aceptadoras). En este caso, los portadores mayoritarios son los
huecos y los minoritarios los electrones. Al dominar los huecos,
que son cargas positivas, se dice que el semiconductor es de tipo
P.
Efecto de la temperatura en la concentración de portadores
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


Los electrones y los huecos tienen un comportamiento
estadístico.
Existe un intercambio de energía entre ellos.
Resultado de esto es, el conjunto de electrones en cada
una de las bandas se distribuye entre los distintos niveles
de energía (estados).
La distribución no es uniforme. La probabilidad de
ocupación en un intervalo puede ser mayor que otro.
Efecto de la temperatura en la concentración de portadores




Supongamos un intervalo pequeño de energía E dentro de la banda de
conducción.
n(E) representa la concentración total de electrones cuya energía está
comprendida en ese intervalo.
n(E)/ E es la densidad de electrones por la unidad de intervalo de
energía.
En el límite de intervalos infinitamente pequeños (que contienen un gran
número de niveles) el cociente tiende a
dn( E )
dE

El producto con dE representa la fracción de electrones cuya energía está
comprendida entre los valores E y E + dE
Efecto de la temperatura en la concentración de
portadores


La expresión se denomina también función de distribución de electrones (nos
dice cómo se distribuyen los electrones en los diferentes intervalos infinitesimales de
energía dentro de las bandas de energía del semiconductor). Es una función de
densidad.
Esta función se define como:
dn
 g. f
dE
Donde:
g Es la densidad de estados posibles en la banda (de conducción o de valencia) para
un valor E de la energía y que son susceptibles de ser ocupados por los electrones.
f Es la probabilidad de ocupación de esos estados (la fracción de niveles que se
encuentran ocupados)

La probabilidad al igual que en los metales de ocupación de niveles por electrones
está regida por la estadística de Fermi-Dirac
Efecto de la temperatura en la concentración de portadores

La estadística de Fermi-Dirac se aplica a partículas que cumplen el
principio de exclusión de Pauli.
1
f (E) 
( E E f )
1 e
Siendo
Ef = parámetro llamado Nivel de Fermi.
KB= Constante de Boltzmann
T= Temperatura absoluta (K)
K BT
Efecto de la temperatura en la concentración de portadores
Función de probabilidad de Fermi-Dirac a diferentes temperaturas par un
sistema de electrones cuyo nivel de Fermi es Ef. El nivel de Fermi representa
la energía para la cual la probabilidad de encontrar el electrón en ese nivel de
energía vale 0.5.
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



La función de probabilidad f(E), varía cero (estado vacante) y la
unidad (estado ocupado).
El nivel de Fermi, Ef, representa la energía para la cual la
probabilidad de encontrar el electrón en ese nivel de energía vale
½.
Para niveles de energía inferiores a la de Fermi, la probabilidad es
siempre mayor a ½.
Para niveles de energía superiores a la de Fermi, la probabilidad es
siempre inferior a ½.
La función de probabilidad es dependiente de la temperatura. A 0
K la probabilidad tiene un valor constante e igual a la unidad hasta
la energía del nivel de Fermi. A partir de ese valor la probabilidad
es cero. Esto quiere decir que a esta temperatura todos los niveles
por debajo se hallan ocupados y los que están encima, vacíos.

Análogamente se puede escribir para la función de
distribución de los huecos en la banda de valencia:
p= g[1 – f]

El hueco representa un estado de energía vacante.

A T=O, la función de distribución de Fermi-Dirac equivale a la siguiente función
escalón:
 1 si E  Ef
f 
0 si E  Ef


Esto es, todos los estados presentan probabilidad unidad de ocupación si E < Ef y
probabilidad nula si E > Ef. Podemos comprobar que esta propiedad apenas varía
con la temperatura, excepto en la región donde
|E − Ef|  4KBT ,
Puesto que fuera de esa región f (E) toma valores muy próximos a 0 o bien a 1.
Teniendo en cuenta el hecho de que la energía de Fermi para la mayoría de los
conductores y semiconductores a temperatura ambiente se encuentra que es 1eV <
Ef < 8eV y que KBT (300 K) ≈ 0,025 eV , podemos observar que la función f(E)
sólo mostrará cambios apreciables (respecto a su comportamiento para T = 0K)
para temperaturas muy altas, T 3000 K. Esto implicará que en muchos casos de
interés práctico (por ejemplo, a temperatura ambiente), en vez de usar la expresión
complicada puede usarse directamente la función escalón.
Cálculo de la energía de Fermi

Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores respecto a la dependencia con la
temperatura de la distribución de Fermi-Dirac, encontramos que en multitud de
situaciones prácticas podemos escribir
1 si E  Ef 
dn  g. f dE  g 
dE
0 si E  Ef 
Si aplicamos la expresión anterior a un modelo simple de un conductor, se encuentra que el
número total de electrones, N, en el conductor vendría dado por:

Ef
0
0
n( E )   dn( E )   dn( E )  n( Ef )
Es decir, el nivel de Fermi, Ef, puede identificarse con el máximo valor de la energía
correspondiente a un estado ocupado, existiendo como máximo dos electrones en cada nivel
de energía.
Para el caso de la probabilidad de ocupación de huecos, fp(E), debe notarse que
la cantidad 1 − fn(E) representa la probabilidad de que un estado electrónico de
energía E esté vacío, o dicho de otra manera, la probabilidad de que este estado
esté ocupado por un hueco. Por tanto,
1
f p  1 fn 
e
 EF  E 


 K BT 
1

Como la concentración de electrones, n, en la banda de conducción,
debe ser igual a la concentración de huecos, p, en la banda de
valencia, el nivel de Energía de Fermi se sitúa, en un semiconductor
intrínseco en el medio de la banda prohibida. Ya que hay la misma
probabilidad de que haya electrones en la banda de valencia como
huecos en la banda de conducción.
Densidad de estados g(E)


Según se dijo, representa la densidad de estados o niveles (de
energía) posibles para el electrón.
Esta función depende también de la energía. En el caso de los
electrones de un metal dentro la banda de conducción, g(E) es
una función creciente proporcional a (E)1/2. Esto quiere decir que
en el fondo de la banda de conducción no hay niveles
susceptibles de ser ocupados por electrones, mientras que a
medida que subimos la densidad de niveles aumenta de forma
cuadrática con la energía.
Densidad de estados g(E) en semiconductor intrínseco
Se debe suponer que los electrones tienen cierta masa efectiva:
Y que los huecos tienen su masa efectiva:
me*
mh*
La función densidad de estados para los electrones viene dada por:
g n  Cn E  Ec 
Cuyo gráfico es:
1
2
Donde:
Cn 
3
* 2
e
3 2
( 2m )
2 

Para los huecos la función viene dada por:
g p  C p Ev  E 
1
3
2
(2mh* ) 2
Cp 
2 3 2
donde el origen de energía cinética nula ha de tomarse en el borde superior de
BV, E ≡ EV y teniendo en cuenta además que el sentido positivo de esta energía debe
tomarse en sentido decreciente.
Y el gráfico correspondiente de la función es:
Distribución energética de huecos y electrones

La obtención de la distribución energética de electrones en BC, dn/dE, y
huecos en BV, dp/dE, se hará a partir de las expresiones anteriores para la
densidad de estados y la probabilidad de ocupación, dando lugar a

E  Ec 
dn
 g n f n  Cn  E  E 
F 
dE


 K BT 
e
1
1
2
Distribución energética de huecos y electrones

Ev  E 
dp
 g p f p  C p  E E 
dE
 F

K
T
e B   1
1
2
Distribución energética de huecos y electrones

La figura de la siguiente dispositiva muestra una representación
gráfica de la distribución de huecos y electrones de un
semiconductor comparándolas con las de un metal y un aislante.
En esta figura podemos ver cómo la concentración de electrones
en los metales es la más abundante. Igualmente observamos que
la diferencia básica entre los aislantes y los semiconductores
proviene de la diferente anchura de la BP, lo cual provoca que, a
una temperatura dada, la distribución de electrones y huecos sea
más abundante en los semiconductores que en los aislantes.
Distribución energética de huecos y electrones
Distribución energética de huecos y electrones en un
material extrínseco
Desde el punto de vista del modelo de bandas, y tal como muestra la Figura, la situación
anterior se traduce en la aparición en la BP (o gap) de un nuevo nivel de energía, ED,
correspondiente a los electrones des localizados de los átomos de impurezas donadoras.
Este nivel de energía aparecerá cercano al borde inferior de la BC y así, por excitación
térmica, existirá una alta probabilidad de que los electrones de este estado pasen a la BC y,
por tanto, incrementen la concentración de electrones en dicha banda. Debe notarse que el
aumento de electrones en esta banda no va acompañado de un incremento análogo de
huecos en BV dado que la correspondiente carga positiva corresponde al ion de la impureza
donadora permanecerá fijo en el cristal.
La discusión anterior también nos permite predecir cualitativamente que la posición del
nivel de Fermi a T = 0K debe estar situada entre ED y EC, puesto que así aseguraríamos
que a 0K no hay electrones en BC y el nivel E = ED está lleno.
Distribución energética de huecos y electrones en un
material extrínseco
Para el caso de un material P la situación es análoga, aparece un nuevo nivel de
energía EA en la BP, este nivel de energía estará situado al borde de la banda de
valencia. la posición del nivel de Fermi a T = 0K debe estar situada entre EV y EA.
Distribución energética de huecos y electrones en un material
extrínseco
Para obtener la distribución energética de huecos/electrones en
BC/BV han de obtenerse los productos de f por g. Debe notarse
que dado que se supuso que la adición de impurezas no modificaba
la estructura de las bandas energéticas del cristal, las densidades de
estados, gn y g p , no variarán por la adición de impurezas
donadoras/aceptoras. El cambio en la distribución energética
debido a la aparición de nuevos portadores debe venir por tanto
reflejado en la probabilidad de ocupación de los estados.
Distribución energética de huecos y electrones en un material
extrínseco


Para un semiconductor tipo n existe claramente una mayor
concentración de electrones en BC que de huecos en BV.
Para que esto pueda ocurrir, el nivel de Fermi
correspondiente a la presente situación debe situarse por
encima de la posición del nivel intrínseco. Dado que fn(E)
mantiene su forma relativa para una temperatura específica,
el desplazamiento del nivel de Fermi indica que la
probabilidad de ocupación de electrones en BC (E ≥ EC)
será mayor que la probabilidad de ocupación de huecos en
BV (E ≤ EV)
De manera similar se puede hacer el análisis para el caso de
los materiales tipo P.
Distribución energética de huecos y electrones en un
material extrínseco
Conclusiones
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En analogía con la ecuación anterior se escribe la función de
distribución de los huecos en la banda de valencia:
p= g[1- f]
La ecuación se justifica señalando que hueco es un estado de
energía vacante.