Tema 2: La econom´ıa de Robinson Crusoe

Tema 2: La economı́a de Robinson Crusoe
Macroeconomı́a 2014
Universidad Torcuato di Tella
Constantino Hevia
En esta nota analizaremos el caso de un hogar/productor, a quien llamaremos Robinson Crusoe,
que decide cuanto trabajar y cuanto consumir en un determinado perı́odo. Podemos pensar a esta
economı́a como las decisiones que debe tomar Robinson Crusoe viviendo solo en una isla donde
debe trabajar para producir bienes de consumo.
• Robinson Crusoe elige cuanto trabajar y cuanto consumir.
• No hay mercados ni comercio: Robinson Crusoe es dueño de una parcela de tierra y produce
para sı́ mismo.
• La economı́a de Robinson Crusoe es una abstracción que usamos como punto de partida para
entender a la economı́a como el resultado de la agregación de las decisiones individuales de
una gran cantidad de consumidores y productores.
• Este modelo contiene la esencia de los problemas de decisión que aparecen en economı́as más
complejas, con muchos agentes y mercados.
• Conceptos fundamentales del modelo de equilibrio de mercados: efectos sustitución y
riqueza (o ingreso) ante cambios en las oportunidades a las que se enfrentan los agentes
económicos.
Definición de una economı́a: Una economı́a está definida por
• Las preferencias y objetivos de los agentes económicos
• Las restricciones que enfrentan los agentes en la toma de decisiones:
– restricciones presupuestarias
– restricciones tecnológicas
– dotaciones iniciales
• Condiciones de consistencia agregada: Oferta=Demanda en cada mercado.
1
Figure 1: Función de producción de Robinson Crusoe
1
Tecnologı́a
Robinson Crusoe puede producir bienes de consumo usando esfuerzo laboral (trabajo) de acuerdo
a la siguiente función de producción
y = f (l)
(1)
donde y son los bienes producidos, l es trabajo y f (·) es la función de producción que transforma
trabajo en bienes de consumo. Supondremos además que:
• hay un solo bien de consumo en la economı́a,
• no hay posibilidades de almacenar bienes entre perı́odos. Analizaremos posibilidades de almacenamiento más adelante en el curso.
La función de producción, graficada en la Figura 1, satisface las siguientes condiciones:
dy
= f 0 (l) > 0 ⇒ Productividad marginal del trabajo positiva (f es creciente)
dl
d2 y
= f 00 (l) < 0 ⇒ Ley de rendimientos decrecientes (f es cóncava)
dl2
f (0) = 0 ⇒ Sin trabajo no hay producción
1.1
Avance tecnológico y aumentos de productividad
Decimos que hay un avance tecnológico cuando Robinson Crusoe es capaz de producir más bienes
ofreciendo la misma cantidad de trabajo. En términos matemáticos, un avance tecnológico es un
cambio en la función de producción de f (l) a fˆ (l) tal que fˆ (l) > f (l) para todo l. ¿Qué ocurre con
2
Figure 2: Avance tecnológico
la productividad marginal del trabajo cuando hay un avance tecnológico? En teorı́a, puede subir
o bajar. Sin embargo, estudios empı́ricos muestran que un avance tecnológico viene acompañado
también con un aumento de la productividad marginal del trabajo para cada nivel de l.
En la Figura 2 mostramos el caso de un avance tecnológico que sube la productividad marginal
del trabajo para cada nivel de l. De hecho, usualmente escribimos y = Af (l) y modelamos incrementos de la productividad con subas en el parámetro A. De este modo, una suba de A también
implica una suba en la productividad marginal del trabajo. Para ver esto, notemos que
PML =
dy
= Af 0 (l)
dl
es creciente en A para cada nivel de trabajo l.
Ejercicio: dibuje una función de producción donde un avance tecnológico esté asociado con una
disminución en la productividad marginal del trabajo para cada nivel de l.
Ejemplo: función de producción Cobb-Douglas
Supongamos la siguiente función de producción Cobb-Douglas
y = Alα
(2)
donde A > 0 y 0 < α < 1. La productividad marginal del trabajo es
dy
= αAlα−1 > 0 para todo l.
dl
Notemos además que podemos escribir
dy
Alα
y
=α
=α .
dl
l
l
3
(3)
Esto muestra que con una función de producción Cobb-Douglas la productividad marginal es proporcional (con factor de proporcionalidadα) a la productividad media y/l.
La función de producción Cobb-Douglas es cóncava:
d2 y
= α (α − 1) Alα−2 = −α (1 − α) Alα−2 < 0 para todo l > 0.
dl2
La función de producción Cobb-Douglas satisface f (0) = 0,
f (0) = A0α = 0.
La función de producción Cobb-Douglas tiene otras dos propiedades interesantes. La primera es
que la productividad marginal del trabajo converge a infinito cuando el trabajo converge a cero:
αA
= +∞.
l→0 l1−α
lim αAlα−1 = lim
l→0
La segunda es que la productividad marginal del trabajo converge a cero cuando el trabajo tiende
a infinito:
lim αAlα−1 = lim
l→+∞
2
αA
l→+∞ l1−α
= 0.
Preferencias por consumo y ocio/trabajo
Robinson Crusoe tiene la siguiente función de utilidad
u (c, h)
(4)
donde c es consumo de bienes y h es consumo de ocio. Supondremos además que Robinson Crusoe
tiene una dotación de tiempo T que puede dedicar a trabajar o a consumir ocio
l + h = T.
(5)
Usualmente normalizamos el tiempo disponible a T = 1.
Supondremos que consumir bienes y ocio genera utilidad:
∂u (c, h)
∂u (c, h)
= uc (c, h) > 0;
= uh (c, h) > 0
∂c
∂h
(6)
y además supondremos que la función de utilidad es cóncava:
∂ 2 u (c, h)
∂ 2 u (c, h)
=
u
(c,
h)
<
0;
= uhh (c, h) < 0
cc
∂c2
∂h2
(7)
ucc (c, h) uhh (c, h) − uch (c, h)2 > 0.
(8)
4
Curvas de indiferencia entre consumo y ocio
Las curvas de indiferencias de un consumidor son los pares de consumo y ocio (c, h) que derivan
cierto nivel de utilidad:
Ū = u (c, h)
(9)
Podemos pensar a una curva de indiferencia como el gráfico del consumo c como una función del ocio
h para el nivel de utilidad Ū . Naturalmente, como la utilidad es mayor cuando aumenta el consumo
de bienes o de ocio, el nivel de utilidad es mayor si nos movemos hacia curvas de indiferencias que
quedan hacia el nordeste. El panel A de la Figura 3 muestra el mapa de curvas de indiferencia
entre consumo y ocio con niveles de utilidad Ū2 > Ū1 . Las curvas de indiferencias son decrecientes
y convexas. Son decrecientes porque satisfacen el principio de que “más es mejor”. Esto es, si subo
la cantidad de uno de los bienes, voy a tener que bajar la del otro para dejarlo indiferente, de otro
modo la utilidad subirı́a. La convexidad de la curva de indiferencia refleja la ley de las utilidades
marginales decrecientes: sobre la curva de indiferencia, la tasa a la cual estoy dispuesto a renunciar
al consumo de bienes c para aumentar el consumo de ocio h marginalmente decrece en la medida
que el nivel de consumo es menor.
Veamos las propiedades anteriores analı́ticamente. Para ver que la curva de indiferencia es
decreciente, pensamos a c como una función de h, c (h) , dado un nivel de utilidad Ū . De este
modo, la curva de indiferencia (9) satisface
Ū = u (c (h) , h) .
Derivando ambos lados de la ecuación con respecto al ocio h y usando la regla de la cadena
obtenemos
d
d
Ū =
u (c (h) , h)
dh
dh
dc
+ uh (c, h) .
0 = uc (c, h)
dh
Resolviendo para dc/dh encontramos que, en los puntos (c, h) donde u (c, h) = Ū , se cumple que
uh (c, h)
dc
=−
< 0.
dh
uc (c, h)
(10)
Esto prueba que la curva de indiferencia tiene pendiente negativa. El término uh /uc se denomina
la “tasa marginal de sustitución” entre ocio y consumo y refleja la valuación subjetiva del ocio
en términos de unidades de consumo: cuantas unidades de bienes de consumo estoy dispuesto a
renunciar para que me den una unidad más de ocio.
Probar que las curvas de indiferencia son convexas requiere más trabajo. Dejamos la demostración formal para el Anexo al final de la nota.
5
Figure 3: Preferencias sobre consumo-ocio y consumo-trabajo
Preferencias sobre consumo y trabajo
En el libro de Barro verán que las curvas de indiferencia están graficadas en términos de consumo
y trabajo (un “mal” en el sentido de que trabajar genera desutilidad) en vez de consumo y ocio.
Matemáticamente lo que está haciendo Barro es reemplazar la restricción de tiempo (5), h + l = 1,
en la función de utilidad en lugar del ocio (normalizamos T = 1),
u (c, 1 − l) ,
y dibujar las curvas de indiferencia en los ejes (c, l) en lugar de los ejes (c, h). El panel derecho de
la Figura 3 muestra las curvas de indiferencia entre consumo y trabajo.
Ejercicio: explique intuitivamente por qué las curvas de indiferencias en los ejes (c, l) tienen
pendiente positiva, son convexas, y los niveles de utilidad crecen en la medida que nos movemos
hacia el noroeste.
Ejemplo: función de utilidad Cobb-Douglas
Consideremos la siguiente función de utilidad Cobb-Douglas:
1
1
u (c, h) = c 2 h 2
Entonces
1 1 1
uc = c− 2 h 2 > 0,
2
1 1 1
uh = c 2 h− 2 > 0,
2
1 3 1
ucc = − c− 2 h 2 < 0
4
6
1 1 3
uhh = − c 2 h− 2 < 0
4
1 1 1
uch = c− 2 h− 2 > 0.
4
Estas derivadas satisfacen las condiciones (6), (7) y (8) por lo que las curvas de indiferencia tiene
pendiente negativa y son convexas. En este caso incluso podemos encontrar las curvas de indiferencia de manera analı́tica:
1
1
Ū = c 2 h 2
Resuelvo para c como función de h :
Ū
1
c2 =
1
h2
o bien
c=
Ū 2
.
h
(11)
Veamos las propiedades de las curvas de indiferencia. Primero, vemos que son decrecientes
Ū 2
dc
= − 2 < 0.
dh
h
Derivamos una vez más para mostrar que son cóncavas,
d2 c
Ū 2
=
2
> 0.
dh2
h3
En términos de consumo y trabajo, podemos reemplazar h = 1 − l en (11) y obtenemos,
c=
Ū 2
.
1−l
Veremos que la pendiente es positiva y que es convexa. Derivando con respecto a l,
dc
Ū 2
=
> 0.
dl
(1 − l)2
Para ver convexidad, derivamos una vez más:
d2 c
Ū 2
−3
2
=
(−2)
Ū
(1
−
l)
×
(−1)
=
2
> 0.
dl2
(1 − l)3
3
Elección de consumo y trabajo
Robinson Crusoe maximiza su utilidad eligiendo el consumo, ocio y trabajo sujeto a las restricciones
de tecnologı́a y de tiempo El problema general de Robinson Crusoe es el siguiente
Problema 1:
max u (c, h)
c,h,l
7
sujeto a
c = f (l)
l + h = 1.
Hay varias formas equivalentes de resolver este problema. Podemos usar la segunda restricción,
resolver para el trabajo l y reemplazar el resultado en la primera restricción. De este modo, el
problema de Robinson Crusoe se convierte en
Problema 2:
max u (c, h)
c,h
sujeto a
c = f (1 − h) .
La solución a este problema está graficado en el panel A de la Figura 4.
Finalmente, podemos introducir la restricción en la función de utilidad y resolver el siguiente
problema simplificado:
Problema 3:
max u (f (1 − h) , h) .
h
La condición de primer orden es
uc (c, h) f 0 (1 − h) × (−1) + uh (c, h) = 0
o bien
uh (c, h)
= f 0 (1 − h)
uc (c, h)
(12)
que nos dice que la tasa marginal de sustitución entre ocio y consumo (MRS) debe ser igual a la
productividad marginal del trabajo.
Para interpretar intuitivamente esta ecuación, la reescribamos del siguiente modo
uh (c, h) = f 0 (1 − h) uc (c, h)
Supongamos que Robinson Crusoe decide aumentar en el margen su oferta de trabajo. El costo en
términos de utilidad de ese aumento marginal del trabajo es uh (c, h) . Por otro lado, al trabajar un
poco más, Robinson produce f 0 (1 − h) más unidades de bienes. El valor marginal en términos de
utilidad de consumir un poco más de bienes es uc (c, h) . Por lo tanto, el beneficio marginal medido
en términos de utilidad de incrementar el trabajo ligeramente es f 0 (1 − h) uc (c, h). En el óptimo,
el costo marginal de trabajar más, capturado por el término uh (c, h), debe ser igual al beneficio
marginal de ese trabajo adicional, capturado por el término f 0 (1 − h) uc (c, h).
8
Figure 4: Elección óptima entre consumo y ocio/trabajo
Elección entre consumo y trabajo
También podemos plantear el problema de Robinson Crusoe como en el libro de Barro. En vez
de pasar del Problema 1 al Problema 2, ahora usamos la restricción 1 = h + l para resolver por el
ocio h y reemplazamos la solución en la función objetivo. De este modo, el problema se reduce a
max u (c, 1 − l) sujeto a c = f (l) .
c,l
La solución a este problema está graficado en el panel B de la Figura 4.
Como en el caso del ocio, podemos reemplazar c en la función objetivo y maximizar
max u (f (l) , 1 − l) .
l
La condición de primer orden es
uc (f (l) , 1 − l) f 0 (l) + uh (f (l) , 1 − l) × (−1) = 0.
Reorganizando términos llegamos a
uh (f (l) , 1 − l)
= f 0 (l)
uc (f (l) , 1 − l)
(13)
que es la misma condición que (12) pero en términos de trabajo.
Ejemplo: Consideremos un ejemplo con función de utilidad y función de producción CobbDouglas. En particular, supongamos que
u (c, h) = cφ h1−φ y
9
f (l) = Alα ,
donde 0 < φ < 1 y 0 < α < 1.
La tasa marginal de sustitución entre ocio y consumo es
uh (c, 1 − l)
=
uc (c, 1 − l)
1−φ
φ
c
.
1−l
La productividad marginal del trabajo es
f (l) = αAlα−1 .
Usando la condición (13) encontramos
1−φ
φ
c
= αAlα−1 .
1−l
Pero en equilibrio la condicion de factibilidad requiere que
c = Alα .
Reemplazando en la condición de arriba encontramos
1−φ
φ
Alα
= αAlα−1 .
1−l
o bien
Resolvemos
1−φ
φ
1
1−l
=
α
l
1
= −1
l
1
1 − φ + φα
=
l
φα
o
l∗ =
φα
.
1 − φ + φα
Noten que 0 < l∗ < 1. De la función de producción tenemos
∗
∗
α
c = y = Al = A
φα
1 − φ + φα
α
.
Notar que la elección óptima de trabajo l∗ no depende del nivel de productividad A.
10
4
Estática comparativa
Consideremos una función de producción de la forma
y = Af (l) .
En esta sección analizaremos el efecto de una suba en la productividad de la economı́a reflejada en
un aumento en el parámetro A de A0 a A1 > A0 . Notar que este aumento tecnológico implica una
mayor producción para cada nivel de trabajo (y crece para cada l) y un aumento en la productividad
marginal del trabajo para cada l. La Figura 5 muestra el impacto sobre el equilibrio del aumento de
la productividad. El equilibrio original se encuentra en el punto c∗0 y l0∗ , donde la curva de indiferencia
Ū0 es tangente a la frontera de posibilidades de producción (esto es, la función de producción)
representada por A0 f (l) (lı́nea roja). Después del aumento de la productividad, la nueva función
de producción viene dada por A1 f (l) (lı́nea verde). Como aprendieron en microeconomı́a, podemos
separar el efecto total en la suma de los efectos sustitución y riqueza (o ingreso). Usaremos la
versión del efecto sustitución de Hicks, que consiste en desplazar paralelamente la nueva función de
producción de tal manera que sea tangente a la curva de indiferencia del equilibrio original. En la
Figura 5 este punto de tangencia ocurre donde la curva de indiferencia original Ū0 es tangente en
el punto (c̃, ˜l) con la curva entrecortada verde, llamada A1 f (l) − K. El término −K significa que
estamos desplazando la función de producción A1 f (l) paralelamente hacia abajo en la cantidad
K. El efecto sustitución implica un incremento del trabajo y del consumo. La intuición de este
resultado es la siguiente: al aumentar la productividad marginal del trabajo para cada l, el costo
de oportunidad de consumir una unidad adicional de ocio en términos de bienes de consumo se
incrementa. En otras palabras, sube el precio relativo del ocio en término de bienes de consumo.
El efecto sustitución implica aumentar el consumo del bién relativamente más barato (el bien de
consumo c) y bajar el consumo del bien relativamente más caro (el ocio o, lo que es lo mismo,
aumentar el trabajo). Abajo discutiremos como encontrar matemáticamente el punto (c̃, ˜l).
El efecto riqueza se obtiene considerando el cambio desde el punto (c̃, ˜l) hacia el punto de
elección óptima bajo la nueva función de producción, representada por el par de consumo y trabajo
c∗1 y l1∗ . Como el consumo y el ocio son ambos bienes normales, el efecto riqueza puro implica
que tanto el consumo como el ocio deben aumentar, por lo que el trabajo debe caer. La caı́da del
trabajo está reflejada en la diferencia entre ˜l y l1∗ . De este modo, si bien el consumo de bienes
sube necesariamente (ya que los efectos sustitución y riqueza se refuerzan) el trabajo puede subir o
bajar, dependiendo cual efecto es mayor: si el impacto expansivo del efecto sustitución o el impacto
contractivo del efecto riqueza. La Figura 5 muestra un caso donde el efecto riqueza es más fuerte
que el efecto sustitución, generando una caı́da en el trabajo luego del aumento de la productividad.
En resumen:
• Efecto sustitución: sube el consumo y sube el trabajo (cae el ocio)
• Efecto riqueza: sube el consumo y cae el trabajo (sube el ocio)
11
Figure 5: Efecto de un aumento en la productividad
• Efecto total: sube el consumo y el trabajo puede subir o bajar dependiendo de cual efecto
domina
En el libro de Barro se observa que, en Estados Unidos, desde el perı́odo de posguerra hasta
1997 las horas trabajadas son estables. Antes del perı́odo de posguerra se observó una caı́da grande
en las horas trabajadas. ¿Como podemos racionalizar estas observaciones usando el modelo?
• Interpretamos el desarrollo económico como una suba continua de la productividad
• Para niveles bajos de productividad: efecto riqueza le gana al efecto sustitución generando
una disminución de las horas trabajadas y un aumento del ocio
• Para niveles mayores de riqueza, los efectos sustitución y riqueza se cancelan y las horas
trabajadas no cambian cuando sube la productividad.
Para finalizar esta nota, discutiremos cómo podemos encontrar analı́ticamente el punto asociado
con el efecto sustitución (c̃, ˜l). Este punto tiene que ser tal que:
1. el nivel de utilidad es Ū0 , por lo que
Ū0 = u(c̃, ˜l),
12
(14)
2. en el punto (c̃, ˜l), la curva de indiferencia es tangente a la función de producción Af (l):
uh (c̃, 1 − ˜l)
= A1 f 0 (˜l)
uc (c̃, 1 − ˜l)
(15)
Las ecuaciones (14) y (15) forman un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas. La solución
de este sistema es el par de consumo y trabajo c̃ y ˜l. Una vez que tenemos esos valores, podemos
encontrar la constante K notando que c̃ = A1 f (˜l) − K.
Anexo: convexidad de las curvas de indiferencia.
Esta sección de las notas no será evaluada. La incluyo para aquellos interesados en la prueba formal
de la convexidad de las curvas de indiferencia. Bajo los supuestos de que la función de utilidad es
creciente en consumo y ocio, y cóncava, podemos probar la convexidad de las curvas de indiferencia
como sigue. Escribamos la condición (10) haciendo explı́cito que, sobre la curva de indiferencia, c
es una función de h :
dc
uh (c (h) , h)
=−
.
dh
uc (c (h) , h)
Derivando ambos lados de esta expresión con respecto a h (usando regla de la cadena y la derivada
de una razón de funciones) tenemos:
dc
dc
uhc dh
+ uhh uc − uh ucc dh
+ uch
d2 c
=−
dh2
[uc ]2
Reemplazando
dc
dh
por la expresión (10) encontramos
h
d2 c
dh2
=−
=−
=
h i
i
uhc − uuhc + uhh uc − uh ucc − uuhc + uch
[uc ]2
h
i
2
−uhc uuhc uc + uhh uc − −ucc (uuhc) + uh uch
[uc ]2
uc uhc uh − uhh (uc )2 − ucc u2h + uc uh uch
[uc ]3
.
Por lo que
− uhh u2c + ucc u2h − 2uc uhc uh
d2 c
=
.
dh2
[uc ]3
Notemos que si uhc > 0, el término
uhh u2c + ucc u2h − 2uh uc uhc < 0
por lo que
d2 c
> 0.
dh2
13
(16)
Este es el caso relevante desde el punto de vista económico: si subo mucho el consumo de bienes es
esperable que también suba la utilidad marginal de consumir un poco más de ocio. Sin embargo
también podemos probar que si uhc < 0, la condición de concavidad (8) va a implicar que la curva
de indiferencia es convexa. Para finalizar la prueba, el supuesto de que la función de utilidad es
cóncava (esto es, se cumple la condición (8)) implica
(uch )2 < ucc uhh .
De modo que si uhc < 0 tenemos1
0 < −uch <
√
ucc uhh .
Por lo tanto, el término del numerador de la ecuación (16) (sin el signo negativo) satisface
√
uhh (uc )2 + ucc (uh )2 + 2uh uc (−uhc ) < uhh (uc )2 + ucc (uh )2 + 2uh uc ucc uhh
2
√
√
= − −uhh uc − −ucc uh < 0.
Esta desigualdad junto con (16) implican
d2 c
>0
dh2
independientemente del signo de uch . Por lo tanto, la curva de indiferencia es convexa.
1
√
√
Esto sale de resolver la desigualdad x2 ≤ M : − M ≤ x ≤ M .
14