Actividad 2: Errores - U

IQ4101, Métodos Matemáticos para Procesos
Profesor: J. Cristian Salgado - [email protected]
Prof. Aux.: Ximena Barrios – Guillermo Valenzuela
Semestre Otoño 2013
Actividad 2: Errores
Integrantes: Paulo Arriagada
Manuel Warner
(a)- Investigue los siguientes conceptos, explique en sus propias palabra su significado y de
un ejemplo numérico para cada uno.
–
Cancelación por resta: Cuando se restan dos números muy parecidos, el resultado
suele ser muy pequeño, por lo que al ajustar la mantisa, se pierden los decimales
dando como resultado 0.
–
Suma de numero grande y pequeño: Si se suman un número muy grande con uno
pequeño, al ajustar la mantisa a la memoria disponible, se pierde precisión.
–
División por número pequeño: Si dividimos por un número pequeño, el resultado es un
número grande y al igual que en los casos anteriores, al ajustar la mantisa se perderá
precisión.
–
Error por overflow: Este error surge cuando en un cálculo resulta un número que no
puede ser almacenado por el modelo, ya que la memoria disponible se agota.
Los ejemplos se pueden ver al ejecutar el archivo act2_ejemplos.m en Matlab
(b)-¿Qué tipo de error o tipos de error se podrían producir en las siguientes expresiones?
Explique.
–
Cálculo de la derivada de una función continua utilizando: En este cálculo podríamos
encontrar error por cancelación por resta ya que 𝑓(𝑥 + ℎ) 𝑦 𝑓(𝑥) son muy parecidos
(h<<1). Además, en la división podria aparecer error por “División por numero
pequeño” ya que el h es pequeño.
–
Suma en distintas direcciones: En la suma creciente hay error por suma de número
grande con pequeño ya que se parte con 1 y en las últimas iteraciones se suman
números del orden de 10−5 , entonces al ajustar la mantisa se perdería esa
información. En cambio, la suma decreciente es una buena forma de minimizar este
error ya que al comenzar con los números pequeños no se pierden tantos decimales
al ajustar.
–
Calculo de factorial: n! para ngrande. Aquí tendríamos error por overflow, ya que si n
es grande en algún momento se acabaría la memoria para almacenar el resultado,
pues el cálculo de factorial generalmente es muy grande.
(c)-Analice el problema de la determinación de la fracción de equilibrio. ¿Cuál de las dos
metodologías permite obtener mejores resultados? ¿Por qué? Explique sin realizar cálculos
y utilizando los conceptos que presentó con anterioridad.
El segundo método obtiene mejores resultados ya que con él se minimiza el error de
cancelación por resta. Esto sucede ya que en el método 1, si 𝑏 2 ≫ 4𝑎𝑐 se tiene una resta de
números muy parecidos, lo cual produce error de cancelación por resta. En el método 2 esto
se evita al separar el cálculo en 2 casos y usar un método alternativo para calcular la raíz con
resta.
(e) -¿Qué sucede con el resultado de ambos algoritmos si utiliza representación de doble
precisión? Explique y muestre ejemplos.
Al implementar los métodos con precisión doble se obtienen mejores resultados ya que al
disponer de una mejor precisión se evitan los errores de redondeo. El ejemplo se puede ver
al ejecutar act2_metodos.m en Matlab.
(f) -¿Qué sucede si utiliza una precisión inferior a la de tipo simple?. Explique.
Si se utiliza una precisión menor al punto flotante se caería en errores aún más grandes ya
que al realizar los cálculos el resultado debería adaptarse a una menor precisión,
redondeando o cortando los valores.