Estudio de la Reflexión Óptica Difusa en Tejido Biológico

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD ZACATENCO
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
Estudio de la Reflexión
Óptica Difusa en Tejido
Biológico
TESIS
Que para obtener el grado de
MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA
Presenta:
Ing. Alejandro De la Cadena Pérez-Gallardo
Directores de Tesis:
Dr. Suren Stolik Isakina
Dr. José Manuel De la Rosa Vázquez
1
Acta de Revisión de Tesis
2
CARTA CESIÓN DE DERECHOS
En la Ciudad de México, Distrito Federal, el día 11 del mes de Diciembre del año 2012, el
que suscribe Alejandro De la Cadena Pérez-Gallardo, alumno del Programa de Maestría en
Ciencias en Ingeniería Electrónica con número de registro A110888, adscrito a la Sección
de Estudios de Posgrado e Investigación de la ESIME Unidad Zacatenco, manifiesta que es
autor intelectual del presente trabajo de Tesis bajo la dirección del Dr. Suren Stolik Isakina
y del Dr. José Manuel de la Rosa Vázquez y cede los derechos del trabajo intitulado
Estudio de la Reflexión Óptica Difusa en Tejido Biológico, al Instituto Politécnico Nacional
para su difusión, con fines académicos y de investigación.
Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, gráficas o datos
del trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser
obtenido
escribiendo
a
la
siguiente
dirección
de
correo
electrónico:
[email protected], [email protected] y [email protected]. Si el permiso
se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y citar la fuente del
mismo.
Alejandro De la Cadena Pérez-Gallardo
Nombre y firma
3
El presente trabajo se realizó en el laboratorio de láseres del Programa de Maestría en Ciencias en
Ingeniería Electrónica de la ESIME unidad Zacatenco del Instituto Politécnico Nacional bajo la
dirección del Dr. Suren Stolik Isakina y el Dr. José Manuel De la Rosa Vázquez.
Esta tesis fue financiada por el Instituto de Ciencia y Tecnología (ICyT) del Gobierno del D.F.
mediante el proyecto PICSA 11-41 firmado en el convenio No. ICyTDF/263/2011 .
4
Agradecimientos.
Quisiera darles las gracias a las siguientes personas e instituciones que, de manera directa o
indirecta, me apoyaron durante estos dos años:
A Silvia Pérez-Gallardo Dupont y a Alejandro De la Cadena Valenzuela, porque todo se lo debo a
ellos.
A Patricia Pérez-Gallardo Dupont, Roxana y Douglas De la Cadena Valenzuela, porque siempre han
estado ahí.
A Laura Pacheco Rodríguez, por todos los buenos momentos vividos, por todos los lugares que
recorrimos, por todas las enseñanzas y sobre todo por su apoyo incondicional en las buenas y en
las malas.
A mis mentores: el Dr. Suren Stolik Isakina y el Dr. José Manuel De la Rosa Vázquez, por compartir
conmigo sus invaluables conocimientos y consejos, por brindarme su confianza, apoyo y sobre
todo por ser muy pacientes conmigo. Sin lugar a dudas, un gran privilegio poder trabajar con ellos.
A las familias García Pérez-Gallardo, especialmente a Leonel García Mayoral, Elizabeth PérezGallardo Dupont, Dafne y Wendy García Pérez-Gallardo.
A mis amigos Aarón Gómez Sánchez, Rafael Jiménez Pale y Agustín Rivas Montero.
A mis compañeros y amigos Diego Adrián Fabila Bustos, Elder Rojas Villafañe, Luis Felipe de Jesús
Hernández Quintanar y Fulgencio Yonadab López Silva.
A todo el personal académico, al personal de apoyo y a la comunidad estudiantil de la Maestría en
Ciencias en Ingeniería en Electrónica de la ESIME Zacatenco. De manera particular me gustaría
agradecer por todo el apoyo y enseñanzas al Dr. José Hiram Espina Hernández, al Dr. Francisco
Javier Gallegos Funes, al Dr. Alberto Jorge Rosales Silva y al Sr. Fernando Moctezuma.
Al profesor Luis Julián Varela Lara, por haberme motivado a continuar con mi formación
académica.
Al Instituto Politécnico Nacional y al CONACyT.
5
“The important thing is not to stop questioning”
Albert Einstein
6
Resumen.
La espectroscopia de reflectancia difusa es una técnica con la cual es posible estudiar las
propiedades bioquímicas y las condiciones estructurales de un tejido biológico analizando la
interacción luz-tejido de una manera no invasiva. Por lo anterior dicha técnica puede ser utilizada
en el diagnóstico y detección de diversas patologías. En el presente trabajo se describe el diseño y
la construcción de dos sistemas con los que se tiene la capacidad de aplicar la espectroscopia de
reflectancia difusa. La principal diferencia entre ambos sistemas desarrollados es que con el diseño
de la punta de exploración del segundo sistema es posible estudiar los espectros de reflectancia
difusa en diferentes puntos de la superficie del tejido biológico, lo cual hace posible estudiar un
mayor volumen de este último, así como el decaimiento exponencial de la luz retro esparcida por
el tejido biológico en función de la distancia. En este trabajo también se comentan, de manera
general, los fenómenos presentes durante la interacción de la luz con un medio turbio como el
tejido biológico, además se describe brevemente la simulación de la interacción de los fotones con
el tejido biológico utilizando el método de Monte Carlo y los resultados obtenidos con dicha
simulación y con los dos sistemas desarrollados.
Abstract.
The diffuse reflectance spectroscopy is a technique that allows the study of the biochemical
properties and structural conditions of a biological tissue by analyzing the light-tissue interactions
in a non-invasive way. Therefore this technique could be useful in the diagnosis of various
pathologies. This work presents the development and construction of two systems with which it is
possible to apply the diffuse reflectance spectroscopy. The main difference between these
systems is that with the exploration probe of the second one it is possible to study the diffuse
reflectance spectra in different points from the surface of the biological tissue, this makes possible
the study of a bigger biological tissue volume. In this work are also presented the phenomena that
occur during the interaction of the light with a turbid medium like the biological tissue; also the
simulation of the propagation of the photons through the tissue using the Monte Carlo method is
described and the results obtained with this simulation and with the two developed systems.
7
Índice General.
Acta de Revisión de Tesis ............................................................................................... 2
CARTA CESIÓN DE DERECHOS ........................................................................................ 3
Agradecimientos. .......................................................................................................... 4
Resumen ....................................................................................................................... 7
Abstract ........................................................................................................................ 7
Índice de Figuras ......................................................................................................... 10
Índice de Tablas........................................................................................................... 12
Objetivo General. ........................................................................................................ 13
Objetivos Particulares. ................................................................................................ 13
Justificación ................................................................................................................ 14
Capítulo I. Introducción. .............................................................................................. 15
1.1 Espectroscopia de Reflectancia Difusa............................................................................ 16
1.2 Clasificación de la Reflectancia Difusa ............................................................................ 18
1.2.1 Reflectancia Difusa Total en Estado Estacionario ......................................................... 19
1.2.2 Reflectancia Difusa Local en Estado Estacionario ......................................................... 20
1.3 Referencias. .................................................................................................................. 21
Capítulo II. Interacción de la Luz con el Tejido Biológico. .............................................. 22
2.1 Absorción ...................................................................................................................... 22
2.2 Esparcimiento ............................................................................................................... 23
2.2.1 Clasificación del Esparcimiento ...................................................................................................... 24
2.3 Ecuación de la Transferencia Radiativa y Aproximación de Difusión. ............................... 27
2.3.1 Magnitudes Físicas utilizadas en la Teoría de la Transferencia Radiativa. ...................................... 27
2.3.2 Derivación de la Ecuación de Transporte ....................................................................................... 28
2.3.3 Radiancia Reducida Incidente, Radiancia Esparcida y el Término Fuente. ..................................... 29
2.3.4 Aproximación de Difusión. .............................................................................................................. 30
2.3.5 Ecuación de Difusión derivada de la Ecuación de Transporte. ....................................................... 31
2.4 Modelo de la Reflectancia Difusa Local Resuelta Espacialmente...................................... 34
2.4.1 Condiciones de Frontera. ................................................................................................................ 34
2.4.2 Dipolo de la Difusión. ...................................................................................................................... 36
2.5 Método de Monte Carlo. ............................................................................................... 39
8
2.5.1 Sistemas Coordenados utilizados en la Simulación. ....................................................................... 39
2.5.2 Muestreo de Variables Aleatorias. ................................................................................................. 40
2.5.3 Descripción General del Algoritmo. ................................................................................................ 41
2.6 Referencias. .................................................................................................................. 48
Capítulo III. Desarrollo del Sistema. ............................................................................. 50
3.1 Sistema I. Iluminación Central, captura Simétrica. .......................................................... 51
3.1.1 Fuente de Luz LS-1. ......................................................................................................................... 52
3.1.2 Sonda. ............................................................................................................................................. 52
3.1.3 Espectrómetro. ............................................................................................................................... 53
3.1.4 Computadora. ................................................................................................................................. 55
3.1.5 Variante del Sistema I. .................................................................................................................... 57
3.2 Sistema II. Captura de Luz en función de la Distancia. ..................................................... 64
3.2.1 Sonda. ............................................................................................................................................. 65
3.2.2 Espectrómetro. ............................................................................................................................... 71
3.3 Referencias. .................................................................................................................. 73
Capítulo IV. Resultados, Conclusiones y Trabajo a Futuro. ............................................ 74
4.1 Reflectancia Difusa Local. .............................................................................................. 74
4.2 Reflectancia Difusa Local resuelta espacialmente. .......................................................... 75
4.2.1. Reflectancia Difusa Local resuelta espacialmente en tejido cutáneo sano. ................................. 75
4.2.2. Reflectancia Difusa Local resuelta espacialmente en tejido cutáneo lesionado. ......................... 76
4.3 Luz Re-emitida en Función de la Distancia. ..................................................................... 77
4.3.1 Resultados obtenidos con la Aproximación de Difusión. ................................................................ 78
4.3.2 Resultados obtenidos con el método de Monte Carlo. .................................................................. 79
4.4 Simulación de la propagación de fotones en el Tejido utilizando el método de Monte Carlo.
.......................................................................................................................................... 81
4.5 Reflectancia Difusa en función de la presión ejercida por la Sonda sobre el Tejido. ......... 82
4.6 Conclusiones. ................................................................................................................ 84
4.7 Trabajo a Futuro. ........................................................................................................... 84
4.8 Referencias. .................................................................................................................. 85
Apéndice I. Esquemático del Sistema II. ....................................................................... 86
Apéndice II. Descripción de la Caracterización del Resorte de la sonda del Sistema II. ... 87
Apéndice III. Amplificador de Transimpedancia y Fotodiodo. ....................................... 87
9
Índice de Figuras.
Figura 1.1. Fenómenos presentes en la interacción de la luz con el tejido biológico ...... 17
Figura 1.2. Medición de Reflectancia Difusa Total ........................................................ 19
Figura 1.3. Medición de Reflectancia Difusa Local.. ...................................................... 20
Figura 2.1. Función de Henyey-Greenstein con diferentes valores del factor de
anisotropía g. .............................................................................................................. 26
Figura 2.2. Representación gráfica de la radiancia. ....................................................... 27
Figura 2.3. Representación gráfica del esparcimiento de la radiancia que incide en el
volumen ds ................................................................................................................. 28
Figura 2. 4. Esquema de la radiancia reducida incidente y la radiancia esparcida. ......... 30
Figura 2.5. Esquema de la radiancia esparcida en la aproximación de difusión. ............ 31
Figura 2.6. Geometría utilizada para describir el esparcimiento. ................................... 33
Figura 2.7. Representación Gráfica de la condición de Frontera. ................................... 35
Figura 2.8. (A) Modelo propuesto por Fretterd y Longini. (B) Modelo propuesto por
Farrel et. al. ................................................................................................................ 37
Figura 2.9. Geometría del esparcimiento en la simulación utilizando el método de Monte
Carlo. .......................................................................................................................... 46
Figura 2.10. Diagrama de Flujo del algoritmo descrito. ................................................. 47
Figura 3.1. Esquema General del sistema para aplicar la ERD ....................................... 51
Figura 3.2. . Ilustración del primer sistema. .................................................................. 51
Figura 3.3. Fotografía de la lámpara LS-1...................................................................... 52
Figura 3.4. Espectro normalizado de la lámpara LS-1. ................................................... 52
Figura 3.5. A) Sonda bifurcada de fibra óptica. B) Vista frontal de la punta de la sonda.53
Figura 3.6. Elementos del Espectrómetro USB4000 ...................................................... 54
Figura 3.7. CCD típico de 512x512 pixeles. .................................................................... 55
Figura 3.8. Interfaz del primer sistema. En la cual se puede apreciar el espectro
capturado por el espectrómetro (1) y la reflectancia difusa (2). .................................... 56
Figura 3.9. Ilustración de la variante del sistema I. ....................................................... 58
Figura 3.10. Espectro normalizado del LED. .................................................................. 58
Figura 3.11. Curva de respuesta del Buck Puck Puck. .................................................... 59
Figura 3.12. PORTB-Optoaislamiento-DAC. .................................................................. 60
Figura 3.13. Diagrama a bloques de los elementos de la fuente de luz de la variante del
primer sistema ............................................................................................................ 61
Figura 3.14. Corriente en el LED en función del voltaje en el pin de control del
Buck Puck. ................................................................................................................ 61
Figura 3.15. Potencia emitida por el LED en función del voltaje en el pin de control del
Buck Puck. ................................................................................................................... 62
10
Figura 3.16. LED con el disipador de calor. ................................................................... 63
Figura 3.17. Espectros re-emitidos por el antebrazo izquierdo de un sujeto con fototipo
IV ................................................................................................................................ 64
Figura 3.18. Ilustración del sistema II. .......................................................................... 65
Figura 3.19. Puntas de exploración diseñadas para la obtención de la luz re-emitida en
función de la distancia r. .............................................................................................. 65
Figura 3.20. Fotografías de la sonda A. ......................................................................... 66
Figura 3. 21. Reflectancia difusa al aplicar y sin aplicar presión. . .................................. 67
Figura 3. 22. Pieza mecánica incorporada a la sonda A. ................................................ 67
Figura 3.23. Fotodiodo y Amplificador de transimpendacia. ......................................... 68
Figura 3.24. Diagrama a bloques de la fuente de luz del segundo sistema, la cual tiene
embebida al sistema que mide la presión ejercida en el tejido. .................................... 69
Figura 3.25. Interfaz Final del Sistema. ......................................................................... 70
Figura 3.26. Gráfica de la eficiencia cuántica del fotodetector con 1044x64 pixeles. ..... 71
Figura 3.27. Segundo Sistema Desarrollado .................................................................. 72
Figura 4.1. Reflectancia Difusa en función de la longitud de onda de cuatro sujetos con
diferentes fototipos. .................................................................................................... 74
Figura 4.2. Reflectancia Difusa del antebrazo Izquierdo de tres sujetos con fototipos
diferentes a diferentes distancias de la fibra de emisión. ............................................. 75
Figura 4.3. Luz re-emitida por el antebrazo izquierdo de un sujeto con un fototipo III en
función de la longitud de onda a diferentes distancias. ................................................ 77
Figura 4.4. Luz re-emitida por el antebrazo izquierdo de un sujeto con un fototipo III en
función de la distancia r a 633nm................................................................................. 78
Figura 4.5. Gráfica del logaritmo natural de los valores experimentales de R
2
multiplicados por r y la recta de ajuste obtenida con mínimos cuadrados. ................. 79
Figura 4.6. Gráfica del ritmo de fluencia en función de la profundidad. ........................ 79
Figura 4.7. Gráfica del  ln[(0, z) z] en función de la profundidad. .............................. 80
Figura 4.8. Gráfica del ritmo de fluencia normalizado en función de la profundidad. ... 80
Figura 4.9. Resultado de la Simulación utilizando el Método de Monte Carlo. Absorción y
Esparcimiento de los Fotones en el tejido. ................................................................... 81
Figura 4.10. Reflectancia Difusa obtenida al variar la presión ejercida por la punta de la
sonda. ......................................................................................................................... 82
Figura AII.1. Resultados experimentales y curva de ajuste. ................................................... 87
Figura AIII.1. Amplificador de Transimpedancia y Fotodiodo utilizado en el sistema II . .. 88
Figura AIII.2. Circuito Equivalente del Fotodiodo. ................................................................... 88
Figura AIII.3. Circuitos comúnmente utilizados para aplicaciones con fotodiodos. ........ 89
11
Índice de Tablas.
Tabla 4.2. Clasificación de Fitzpatrick de los Fototipos de piel y su pigmentación
(concentración de melanina) [6]. ................................................................................. 74
Tabla 4. 3. Resultados obtenidos experimentalmente del µeff para tres diferentes
fototipos (II, III y VI), valor de reportado [1,2] y el valor de µeff obtenido utilizando el
método de Monte Carlo. ............................................................................................. 81
12
Objetivo General.
Diseñar y construir un sistema portátil, para medir in-situ los espectros de la Reflectancia Óptica
Difusa proveniente de tejido biológico, así como el procesamiento de dichos espectros para la
obtención de las propiedades ópticas del tejido.
Objetivos Particulares.

Construir una fuente de luz de entre 400-800 nm utilizando la tecnología LED.

Implementar el sistema espectrométrico y su calibración para la medición de la
reflectancia difusa.

Desarrollar el software para la fácil manipulación del sistema.

Caracterizar el Tejido.

Capturar Espectros obtenidos de tejidos biológicos en diferente condición de salud.

Estudiar los modelos de Propagación para explicar las mediciones.
13
Justificación.
La “prueba de oro” para la determinación de los cambios estructurales y bioquímicos que pudieran
presentar los tejidos biológicos al ser afectados por alguna enfermedad, como p.ej. la fibrosis
hepática, es la biopsia y su estudio. La experiencia acumulada por más de un siglo ha demostrado
que la biopsia es un procedimiento con una alta sensibilidad1 (se han reportado pruebas con un
100% de sensibilidad2) la cual es ampliamente defendida por los médicos. La biopsia es
básicamente un pedazo de tejido biológico removido quirúrgicamente, por lo que hay que invadir
el órgano cuyo tejido se requiere analizar, provocando que la obtención de una biopsia sea un
procedimiento doloroso para el paciente, además la obtención de una biopsia de un órgano
sensible como el hígado o el cerebro expone a dichos órganos a lesiones severas. A pesar de haber
provocado dolor al paciente, invadir y exponer al órgano del cual se obtiene la biopsia a una lesión
grave, existe la posibilidad de no detectar alguna patología incluso aunque esta exista, errando así
el diagnóstico. Por lo anterior, un sistema con el cual se tenga la capacidad de estudiar las
propiedades estructurales y bioquímicas del tejido biológico de una manera no invasiva, sería sin
lugar a duda muy apreciado por los médicos (y mucho más por los pacientes).
Los avances tecnológicos permiten hoy día hacer diferentes estudios ópticos in-situ, in-vivo e invitro del tejido biológico, como son la espectroscopia de reflectancia difusa y la de fluorescencia.
Con estas se ha estado realizando investigación a nivel mundial con el fin de sustituir la biopsia.
Estas técnicas permiten además realizar mediciones sobre superficies con diámetros del orden de
los μm . También se trata de diagnosticar las enfermedades del tejido en forma más temprana.
En este trabajo de tesis se propone el desarrollo de un sistema para la obtención de la reflectancia
difusa y una metodología con los que se tenga la capacidad de estudiar las condiciones
estructurales y bioquímicas del tejido biológico de una manera no invasiva a través de la obtención
de biopsias ópticas, con la cual se expresen los resultados de una manera cuantitativa. El sistema
en principio ha sido usado para caracterizar las propiedades de la piel sana, con resultados
comparables con los reportados en la literatura, por lo que se considera este sistema en posición
de ser usado en la investigación de enfermedades.
1
La sensibilidad es definida como el porcentaje de muestras anormales que una prueba encuentra como
anormal.
2
Sensibilidad y especificidad de la biopsia por aspiración con aguja fina de lesiones benignas y malignas de
glándula tiroides, determinación de falsos positivos y falsos negativos.
14
Capítulo I. Introducción.
El mundo exterior es percibido por los seres humanos por medio de estructuras especializadas a
las que se denominan receptores sensoriales [1]. Estos contienen células capaces de detectar
determinados tipos de variaciones del medio ambiente, por lo que son los responsables de que
podamos ver, escuchar, oler, sentir y saborear. A pesar de que el ser humano tiene bien
desarrollados todos sus receptores sensoriales o sentidos, es considerado un animal visual, pues
este reacciona al mundo como lo ve, más que como lo percibe, huele o escucha, por lo anterior el
ser humano a través de su evolución ha desarrollado principalmente el sentido de la vista, ya que
los objetos son evaluados por la luz que emiten o reflejan hacia el ojo. De modo que la luz siempre
ha sido un fenómeno importante e imprescindible en la historia de la humanidad además de que
esta siempre lo ha reconocido, prueba de ello es la creación de divinidades relacionadas con la luz,
el sol, la luna y el fuego por parte de las grandes civilizaciones antiguas del mundo. Los seres
humanos también observaron que la luz puede ser útil en la medicina, tanto para la terapia como
para el diagnóstico. Un ejemplo claro de la atribución de poderes curativos a la luz aparece en el
capítulo I del génesis de la biblia, donde se dice: “Dios vio que la luz era buena, y separó la luz de
las tinieblas”. Mientras que para el diagnóstico la luz ha sido utilizada incluso por los primeros
médicos que tuvo la humanidad, pues la examinación visual ha sido siempre una herramienta de
estos desde entonces, sigue y seguirá siendo importante en situaciones clínicas.
Con los avances científicos y tecnológicos, específicamente hablando de la electrónica y la óptica, y
de una sinergia entre estas, surge la fotónica [2], la cual es definida como la tecnología donde se
genera y se controla la luz u otras formas de energía radiante, cuya unidad cuántica es el fotón.
Por lo que hoy día cualquier aplicación o técnica donde se empleen fotones, se puede considerar
como una rama de la fotónica [3]. Se puede decir que en la fotónica se utiliza el fotón para
procesos determinados, de manera análoga a la electrónica, donde se utiliza el electrón.
Al aplicar la fotónica a la medicina, surgen nuevas formas de realizar diagnósticos y terapias. En el
caso del diagnóstico, la fotónica biomédica satisface la necesidad actual de métodos más objetivos
y cuantitativos que la simple examinación visual.
Haciendo uso de la fotónica se han desarrollado técnicas espectroscópicas para poder estudiar
tejido biológico analizando la interacción de la luz con este. La espectroscopia (que es el estudio
de la interacción de la radiación con la materia [4]) puede proveer información detallada sobre la
composición bioquímica y/o estructural de un tejido, ya que la luz incidente sobre el tejido puede
ser parcialmente absorbida y esparcida por organelos, fibras presentes, células, etc. Por lo anterior
el uso de la espectroscopia ha resultado ser versátil y de gran utilidad en el diagnóstico3.
3
Algunas de las técnicas espectroscópicas que son utilizadas en la medicina moderna son la pulsioximetría, el diagnóstico por imágenes
obtenidas con rayos X, la tomografía de coherencia óptica para obtener imágenes de alta resolución de microestructuras de tejido
viviente [6], entre otras.
15
Es importante mencionar que muchas patologías que afectan a los tejidos, incluyendo la mayoría
de los cánceres, exhiben cambios bioquímicos y estructurales a nivel celular y a nivel subcelular
[9]. Los patólogos para poder estudiar estos cambios, remueven quirúrgicamente muestras, a las
que llaman biopsias. Con una evaluación microscópica a la que se le conoce como histopatología,
se estudian las biopsias, con lo cual se busca determinar la estructura de una célula o tejido,
donde se analizan (entre otras propiedades) el tamaño y forma de las células. Se dice que el
estándar de oro, para estudiar los cambios bioquímicos y estructurales en el tejido biológico es el
estudio histopatológico. Sin embargo el proceso para la obtención de la biopsia puede ser un
proceso doloroso para el paciente, además de que se invaden y se exponen órganos a lesiones
severas e irreversibles, por lo que en órganos sensibles (como el hígado o el cerebro) no es posible
tomar muchas muestras y más aún, se corre el riesgo de tomar la biopsia en una zona sana del
órgano, mientras que otra zona del mismo órgano pueda estar afectada por alguna enfermedad,
errando completamente el diagnóstico.
Con la espectroscopia se pueden conocer las propiedades bioquímicas y estructurales del tejido
sin invadirlo por medio de mediciones efectuadas en tiempo real. Estas características pueden ser
útiles para obtener un nuevo tipo de muestra llamada biopsia óptica. Algunas de las técnicas
espectroscópicas utilizadas para la obtención de biopsias ópticas son la fluorescencia, la
espectroscopia Raman y la espectroscopia de reflectancia difusa. Cabe mencionar que ninguna es
considerada superior y que una complementa las carencias de otra, por lo que es común combinar
las técnicas, por ejemplo sistemas capaces de medir la reflexión difusa y la fluorescencia para
incrementar la sensibilidad del diagnóstico [8]. Este trabajo se limitará al diagnóstico y
específicamente al diagnóstico por medio de la espectroscopia de RD (reflectancia difusa).
1.1 Espectroscopia de Reflectancia Difusa
La ERD (espectroscopia de reflectancia difusa) es una técnica con la cual se puede estudiar tejido
biológico. En el campo de las aplicaciones biomédicas resulta útil para propósitos de diagnóstico,
ya que se pueden estudiar tejidos de manera no invasiva, también ha demostrado ser una técnica
de gran utilidad en aplicaciones de diagnóstico en varias situaciones modernas, entre ellas figuran
la detección de nevo, diagnóstico de patologías del hígado, diagnóstico de ictericia neonatal,
estudio de moretones o magulladuras para aplicaciones forenses, medición de pigmentos
endógenos y cutáneos (melanina, hemoglobina y bilirrubina), calibración de equipo de
fluorescencia, entre muchas otras [10-17]. También puede ser utilizada como auxiliar en diversos
tratamientos, por ejemplo en la terapia fotodinámica o en la cirugía láser, ya que ésta puede
determinar los efectos biológicos provocados por dichos tratamientos.
Para llevar a cabo una medición con ERD se requiere hacer incidir la luz de una fuente, cuyo
espectro de emisión sea conocido, sobre el tejido que se quiere estudiar. La luz incidente I r , se
encontrará con una interfaz o frontera formada por los desempates de los índices de refracción
del tejido y del medio por donde incide la luz (el cual normalmente puede ser aire o cuarzo), por lo
16
que se tendrá reflexión especular y refracción. La luz que es reflejada especularmente es
indeseada y por lo tanto no capturada en las mediciones de reflectancia difusa, ya que los fotones
que fueron especularmente reflejados no han interactuado con el tejido y por esto no contienen
información útil. En cambio la luz que logra propagarse en el tejido y que es re-emitida por este
hacia la superficie irradiada, será capturada por algún dispositivo fotosensible, para
posteriormente ser comparada con la luz incidente o espectro de referencia (Ir), y así poder
determinar qué tanto cambió dicho espectro después de haber interactuado con el tejido. Con
esto es posible evaluar la condición estructural del tejido, pues la luz que es elásticamente
esparcida en el tejido biológico depende de la estructura de este. También es posible estimar la
concentración de algunas moléculas propias del organismo (o externas a este, como el foto
sensibilizador durante la terapia fotodinámica [5] ), que en algunos casos son necesarias para el
bienestar y buen funcionamiento de un tejido como por ejemplo la hemoglobina oxigenada,
hemoglobina desoxigenada o el agua, ya que dichas moléculas tienen bien definidos sus espectros
de absorción, es decir, que los fotones de determinadas longitudes de onda, serán fuertemente
absorbidos por las moléculas, por lo que esto puede servir como “huella digital” espectral de esas
moléculas. En la figura 1 se muestran algunos fenómenos que se dan por la interacción de la luz
con el tejido.
Figura 1. 1. Algunos fenómenos presentes en la interacción de la luz con el tejido biológico
Para obtener el espectro de referencia se hace incidir la luz de la fuente sobre un material que
tenga una alta reflectividad (que idealmente sea del 100%), para todas las longitudes de onda que
componen la luz de la fuente y posteriormente capturar la luz que es reflejada por dicho material.
Los materiales con alta reflectividad y que son utilizados para obtener espectros de referencia son
llamados estándares de reflectancia. El mejor material para un estándar de reflectancia para las
mediciones de reflectancia difusa con luz es el Spectralon, ya que dicho material tiene una alta
reflectividad (98%) en la región del espectro electromagnético comprendido entre el ultravioleta,
visible e infrarrojo cercano [10].
17
El espectro de luz que es re-emitido desde el tejido y que es capturado por el sistema, siempre se
verá afectado por el ruido eléctrico y la luz presente en el lugar donde se lleve a cabo la medición,
pues la luz re-emitida que es capturada puede ser "contaminada" por la luz de fondo, además de
que el dispositivo fotosensible o sensor con el cual se capturan o cuentan los fotones, está hecho
con elementos semiconductores, los cuales por efecto de la temperatura, pueden sufrir ionización
térmica, produciéndose un flujo de electrones que el sistema interpretará como la incidencia de
un fotón. Aunque la ionización térmica y la luz de fondo sean de carácter aleatorio, su influencia
provoca un offset en las mediciones realizadas, por lo que es necesario medir el espectro de fondo
u obscuro O( ) , es decir, capturar el espectro obtenido por el sistema en ausencia de la fuente
de luz y restárselo al espectro de referencia y a cada medición realizada. Por lo que la reflectancia
difusa puede ser expresada matemáticamente con la ecuación 1.
R ( ) 
I o ( )  Oo ( )
I r ( )  Or ( )
(1.1)
De lo anterior se puede decir que la reflectancia difusa es la fracción de la luz incidente que es reemitida tras haber interactuado con el tejido biológico [11,12].
La ERD está limitada por la profundidad de penetración de la luz en el tejido biológico, pues la
profundidad de penetración de la luz depende fuertemente de la longitud de onda utilizada, ya
que los fenómenos de absorción y de esparcimiento (que son los fenómenos que determinan qué
tanto se propaga la luz dentro del tejido) son función de la longitud de onda. Cuando las
mediciones de reflectancia difusa se hacen con luz de longitudes de onda que son fuertemente
absorbidas por el tejido, como es el caso de longitudes de onda de entre 300nm y 600nm, donde
la luz puede penetrar desde algunos cientos de micrómetros hasta algunos milímetros, sólo las
regiones superficiales del tejido serán evaluadas, pues la distancia que la luz viajará en este es
poca en comparación con longitudes de onda donde la absorción es menor, tal es el caso de
longitudes de onda de entre 700nm a 900nm, donde la luz puede penetrar centímetros. Por lo
anterior el volumen de tejido estudiado variará según la longitud de onda que se utilice.
1.2 Clasificación de la Reflectancia Difusa
La reflectancia difusa puede ser subdivida en reflectancia difusa total y reflectancia difusa local.
Esta clasificación depende de cómo se hace incidir la luz y cómo se captura la luz re-emitida. La
reflectancia difusa total y la reflectancia difusa local son utilizadas para estudiar tejido biológico, y
cada una proporciona información diferente del tejido. Las mediciones de reflectancia difusa total
o local, pueden hacerse en el estado estacionario o resueltas en tiempo.
Para realizar una medición de reflectancia difusa en el estado estacionario, se utiliza un "pulso" de
luz, donde la duración de dicho pulso y el tiempo mínimo para realizar el conteo de fotones por
parte del dispositivo fotosensible son mucho mayores que el tiempo de propagación de un solo
fotón en el tejido. Por otra parte, en las mediciones de reflectancia difusa resuelta en tiempo, se
18
utilizan fuentes de luz pulsada, donde la duración de los pulsos, es del orden de los ps. Para
realizar el conteo de los fotones se utilizan fotodetectores con una alta resolución temporal, es
decir, que tienen la capacidad de realizar un conteo de fotones en intervalos de tiempo muy
cortos, en el orden de los ps y ns. La principal ventaja de realizar mediciones de reflectancia difusa
resuelta en tiempo es que se pueden obtener los coeficientes que cuantifican la absorción y el
esparcimiento en el tejido biológico directamente de las mediciones. Aunque la desventaja obvia
para realizar este tipo de mediciones es que se requieren fuentes de luz que puedan emitir pulsos
luminosos en periodos de tiempo muy cortos 10 ps (con una duración de hasta 4 ps) y
dispositivos fotosensibles con una alta resolución temporal. Ambos, la fuente de luz pulsada y el
sistema fotodetector, por ser dispositivos complejos resultan muy caros4.
1.2.1 Reflectancia Difusa Total en Estado Estacionario
La medición de reflectancia difusa total es aquella donde se hace incidir un haz de luz colimado
sobre una superficie de tejido biológico y se captura “toda” o la máxima cantidad posible de luz reemitida por el tejido en un área determinada. La manera más común de hacer esta medición es
utilizando una esfera de integración, como la que se esquematiza en la figura 2. Dicha esfera está
revestida en su interior con un material reflejante, que normalmente es Spectralon. La luz reemitida que es reflejada dentro de la esfera de integración, empieza a seguir trayectorias
aleatorias y un dispositivo fotosensible captura la luz que traspasa una pequeña abertura, por lo
que sólo capturará la luz que es reflejada dentro de la esfera. Se busca que el ángulo de incidencia
de la luz de la fuente con la normal del tejido sea de 0°, para que la reflexión especular que pueda
existir no sea reflejada dentro de la esfera. La principal aplicación de la reflectancia difusa total es
la identificación de cromóforos como la melanina o hemoglobina, aunque los resultados de la
reflectancia difusa total, pueden ser combinados con los resultados de la reflectancia difusa local
para obtener el coeficiente de absorción  a y el coeficiente de esparcimiento reducido  s ' 5 [12].
Figura 1.2. Medición de Reflectancia Difusa Total, utilizando una esfera de
integración.
4
5
En este trabajo sólo se aborda la reflectancia difusa local en estado estacionario.
El coeficiente de absorción, de esparcimiento, así como la fuente de luz puntual serán brevemente explicados en el capítulo 2
19
1.2.2 Reflectancia Difusa Local en Estado Estacionario
En una medición de reflectancia difusa local, se hace incidir luz por medio de una fuente puntual y
se captura la luz re-emitida utilizando una o varias fibras ópticas dispuestas a una distancia r de la
fuente de luz. En la figura 3a se ilustra una fuente de luz puntual y una fibra óptica de captura a
una distancia r de la fuente, en este caso al hacer incidir luz con un espectro conocido, es posible
determinar qué tanto fue modificado el espectro incidente al interactuar con el tejido. Si se
captura la luz re-emitida en función de la distancia r, es decir, realizando mediciones de
reflectancia difusa local en función de la distancia r, se puede estimar la profundidad de
penetración de la luz en el tejido, la cual depende directamente de las propiedades ópticas del
tejido, específicamente de la absorción y del esparcimiento. Esta técnica es una variante de la
reflectancia difusa local y se le conoce como reflectancia resuelta espacialmente. En la figura 3b se
muestra un esquema de una medición de reflectancia resuelta
espacialmente.
Figura 1.3. Medición de Reflectancia Difusa Local. A) simple emisor detector. B) reflectancia
difusa resuelta espacialmente, utilizando varias fibras ópticas a diferentes distancias r de la
fuente.
20
1.3 Referencias.
[1].-Christian Raulin et. Al. Laser and ipl technology in dermatology and aesthetic medicine. E.U.A.,
Springer.
[2].-Gillian Pocock, et. al., Fisiología Humana: La base de la Medicina. Reino Unido, Masson, 2da.
edición.
[3].-Notas del curso de instrumentación fotónica. Dr. José Manuel De la Rosa Vázquez.
[4].-Mohamed Fadhali, Advanced Photonic Sciences, Croacia, InTech, 1era. edición.
[5].-Syed Naeem Ahmed, Physics and Engineering of Radiation Detection, Reino Unido, Elsevier,
1era. Edición.
[6].-“Quantitative reflectance spectrophotometry for the noninvasive measurement of
concentration in tissue during photodynamic therapy”, Photodynamic Therapy. Mechanisms
(1989).
[7].-Tuan Vo-Dinh , et. Al, Biomedical Photonics Handbook, E.U.A., CRC PRESS.
[8].-“Optical Coherence Tomography (OCT): A Review”, IEEE journal of selected topics in quantum
electronics.
[9].-“Tri-modal spectroscopy for the detection and characterization of cervical precancers in vivo”,
Am J Obstet Gynecol.
[10].-Robbins, et. Al, Patología humana. Elzevir, 8va. edición.
[11].-“Long-term calibration monitoring of Spectralon diffusers BRDF in the air-ultraviolet”,
Applied Optics.
[12].-Ashley Welch, et. Al, Optical-Thermal Response of Laser-Irradiated Tissue, E.U.A, Springer,
2da. edición.
[13].-R. Marks, Bio engineering and the Skin. Springer (1982).
[14].-“Simulated color: a diagnostic tool for skin lesions like”, SPIE.
[15].- “Optical diagnostics of liver pathology”, SPIE.
[16].-“Optical classification of bruises”, SPIE.
[17].-“Age determination of traumatic injuries”, Lasers Surg Med.
21
Capítulo II. Interacción de la Luz con el
Tejido Biológico.
La mayoría de los tejidos biológicos son considerados turbios, es decir, estructuras heterogéneas
con variaciones en sus propiedades ópticas en función de la posición [6]. Pese a esto, el tejido
biológico se describirá como un medio con partículas absorbentes y esparcidoras distribuidas
aleatoriamente en un volumen, el cual será isotrópico y homogéneo desde un punto de vista
macroscópico [7].
Al hacer incidir luz sobre la superficie de un tejido biológico, que es la frontera entre el tejido
biológico y el medio donde la luz se propaga inicialmente, habrá reflexión especular y refracción,
fenómenos que obedecen a la ley de la reflexión y a la ley de la refracción de Snell
respectivamente. Si la luz incidente tiene un ángulo de 0° respecto a la normal de la superficie del
tejido biológico, según las ecuaciones de Fresnel, la porción de luz del haz incidente que penetrará
en el tejido será proporcional a 1  r 2 , donde r es el coeficiente de reflectividad y se muestra en la
ecuación 2.1.
r
nr  ni
nr  ni
(2.1)
Donde nr es el índice de refracción del medio en el cual la luz será refractada y ni el índice de
refracción del medio donde la luz está incidiendo.
Los fotones que logren penetrar al tejido biológico podrán ser absorbidos o esparcidos, en este
último caso los fotones serán desviados de su dirección de propagación inicial en un ángulo  , el
cual está fuertemente relacionado con el factor de anisotropía g [1].
2.1 Absorción
Si la energía de un fotón que incide sobre un átomo corresponde a la energía necesaria para llevar
a un electrón de dicho átomo a un estado energético superior, es decir, un estado energético
superior al estado base, habrá absorción [2- 4]. Cuando el electrón excitado se relaja o “salta” de
un nivel energético superior a uno inferior, por ley de conservación de energía, la energía que
pierde el electrón al relajarse, se convertirá en calor o en luminiscencia.
La ley que describe cómo los efectos de absorción atenúan la radiación electromagnética, cuando
esta pasa a través de un medio, es la ley de Beer-Lambert, la cual se muestra en la ecuación 2.2
[5]:
E  z   Eo  z  e
 µa ( λ ) z
(2.2)
22
Donde

z es la distancia desde la interfase y es paralela a la dirección de propagación [m] .

es la irradiancia en función de la distancia z [W m2 ] .

es la irradiancia incidente [W m2 ] .

 a es el coeficiente de absorción del medio [1 m] .
El coeficiente de absorción es el inverso de la distancia promedio que un fotón puede recorrer
antes de ser absorbido y está expresado por la ecuación 2.3.
a  a a
(2.3)
Donde

 a es el número de partículas absorbentes contenidas en un volumen [ 1 m3 ].

 a es la sección eficaz de absorción de una partícula absorbente [ m 2 ].
Se asume que las partículas absorbentes con un área eficaz  a son idénticas y que están
distribuidas de manera uniforme.
Se puede decir que la absorción es el proceso por el cual, los átomos o moléculas de un material,
en este caso el tejido biológico, adquieren o toman energía de una onda electromagnética
incidente, provocando que esta última sea atenuada. La absorción es útil en aplicaciones médicas,
tanto para procesos de diagnóstico como para procesos terapéuticos. En el caso del diagnóstico, el
espectro de absorción de una molécula puede servir como identificador de ésta, pues las
transiciones entre los niveles de energía, se darán a longitudes de onda específicas. Para el caso
del tratamiento, donde se utiliza la luz para producir cambios estructurales en el tejido, como la
terapia fotodinámica o la cirugía láser, la absorción es importante y necesaria, ya que sólo la luz
absorbida puede producir cambios físicos, químicos o fisiológicos en un sistema biológico [6].
2.2 Esparcimiento
Cuando la frecuencia de la onda electromagnética asociada al fotón que incide sobre una
partícula, no coincide con la frecuencia natural de dicha partícula, es decir, no puede llevar a un
nivel energético superior a los átomos de esa partícula, habrá esparcimiento.
De manera similar a la atenuación de una onda electromagnética debida a la absorción en un
medio, la atenuación debida sólo a los fenómenos de esparcimiento puede ser expresada con la
ecuación 2.4. En la ecuación 2.4 se asume que no hay redirección de fotones a su dirección de
propagación inicial después de ser desviados de esta después de un evento de esparcimiento.
23
E ( z )  Eo ( z )e
 s (  ) z
(2.4)
Donde

z es la distancia desde la interfase y es paralela a la dirección de propagación [m] .

es la irradiancia en función de la distancia z [W m2 ] .

es la irradiancia incidente [W m2 ] .

 s es el coeficiente de esparcimiento del medio [1 m ] .
El coeficiente de esparcimiento es el inverso de la distancia promedio que un fotón puede recorrer
antes de enfrentarse a un evento de esparcimiento y está expresado por la ecuación 2.5.
s  s s
(2.5)
Donde


1
].
m3
 s es la sección eficaz de esparcimiento de una partícula esparcidora [ m 2 ].
 s es el número de partículas esparcidoras contenidas en un volumen [
Se asume que las partículas esparcidoras con un área eficaz  s son idénticas y que están
distribuidas de manera uniforme.
Como se asumió que el tejido biológico es un medio turbio, donde los fenómenos de absorción y
de esparcimiento se presentan simultáneamente, la distancia promedio que un fotón podrá
recorrer en el tejido antes de ser esparcido o absorbido se define como la profundidad de
penetración y es el inverso del coeficiente de atenuación total t , ambos se expresan como:
2.2.1 Clasificación del Esparcimiento
(2.6)
El esparcimiento se clasifica en dos tipos:
Elástico: Se da cuando la energía del fotón incidente es la misma que la del fotón esparcido,
cambiando únicamente la dirección de propagación6.
Inelástico: Se tiene este tipo de esparcimiento cuando el fotón incidente cede o gana energía al
interactuar con un átomo. Cuando el fotón cede parte de su energía se le conoce como
esparcimiento Raman-Stokes, cuando el fotón gana energía se le conoce como esparcimiento
Raman-anti Stokes. En el esparcimiento inelástico la dirección de propagación del fotón esparcido
también cambia.
6
Sólo se considerará el esparcimiento elástico.
24
Para describir el esparcimiento elástico se utilizan diversos modelos, dependiendo de las
dimensiones de las partículas esparcidoras y de la longitud de onda de la onda electromagnética
incidente. Los modelos más conocidos son:


Esparcimiento de Mie.
Esparcimiento de Rayleigh.
El esparcimiento de Rayleigh se da cuando la longitud de onda de la luz incidente es mucho mayor
que el tamaño de la partícula esparcidora (  15 ).Este esparcimiento produce que la intensidad
esparcida sea proporcional a
, por lo que tiene una fuerte dependencia de la longitud de onda.
Este esparcimiento es isotrópico pues la intensidad esparcida tiene una distribución simétrica
respecto al ángulo de esparcimiento, p.ej. la intensidad que es esparcida con un ángulo de 0°
grados respecto de la dirección de propagación es igual a la intensidad esparcida con un ángulo de
180°.
Cuando la longitud de onda, es aproximadamente del tamaño de la partícula esparcidora, se utiliza
el modelo de Mie para describir el esparcimiento. El esparcimiento de Mie no es isotrópico a
diferencia del esparcimiento de Rayleigh, pues tiende a ser hacia adelante. El esparcimiento de
Mie depende poco de la longitud de onda, pues la intensidad de la onda esparcida es proporcional
a donde
.
En el tejido biológico hay partículas esparcidoras que pueden producir esparcimiento Rayleigh
mientras que otras pueden producir esparcimiento Mie, sin embargo, el esparcimiento de los
fotones en el tejido biológico, no puede ser descrito ni con el modelo de Mie ni con el de Rayleigh,
pues los fotones tienden a ser esparcidos hacia adelante y con una fuerte dependencia de la
longitud de onda [6-9]. Para poder describir la distribución angular de los fotones esparcidos, se
utiliza la función de densidad de probabilidad de H-G(Henyey-Greenstein): p( sˆ, sˆ´) , la cual se
muestra en la ecuación 2.7. La función de H-G expresa la probabilidad por unidad de ángulo sólido
que tiene un fotón que viaja en la dirección del vector unitario sˆ´ , de ser desviado en la dirección
del vector unitario ŝ después de un evento de esparcimiento[15], por lo anterior p( sˆ, sˆ´)d es la
probabilidad que tiene un fotón que se propaga en sˆ´ de ser esparcido en ŝ [14]. El ángulo entre
los vectores ŝ y sˆ´ se denota con la letra  . Cuando un fotón tiene la misma probabilidad de ser
esparcido en cualquier ángulo  respecto de su dirección de propagación inicial, el esparcimiento
es isotrópico, pero cuando la probabilidad de que el esparcimiento se dé en un ángulo 
determinado es mayor, el esparcimiento es anisotrópico. Al asumir que el tejido biológico es un
medio isotrópico (en términos de sus propiedades físicas), se asume también una simetría
azimutal en el esparcimiento.
p( sˆ, sˆ´) 
1
1
1 g 2
]
3 [
2
4 (1  g  2 g cos( )) 2 srd
(2.7)
25
Para poder describir cuantitativamente qué tan isotrópico o anisotrópico es el esparcimiento en
un tejido, se utiliza el factor de anisotropía g, el cual se define en la ecuación 2.8 y se puede
interpretar como el  cos( )  , de todos los eventos de esparcimiento en el tejido biológico. En
la ecuación 2.8 d es el diferencial de ángulo sólido.
4
g
 p(sˆ, sˆ´)(sˆ  sˆ´)d
0
4
 p(sˆ, sˆ´)d
4

 p(sˆ, sˆ´)(sˆ  sˆ´)d
(2.8)
0
0
Cuando g=0 se tiene un esparcimiento isotrópico, cuando g=-1 se tiene retro esparcimiento y es
anisotrópico y cuando g=1 el esparcimiento tiende hacia adelante y es anisotrópico. En el tejido, g
puede tener valores de entre 0.8 a 0.99 [1]. En la figura 2.1 se muestra la función de H-G evaluada
con diferentes valores de g.
Figura 2.1. Función de Henyey-Greenstein con diferentes valores del factor de
anisotropía g.
Al considerar g en los eventos de esparcimiento, surge el coeficiente reducido de esparcimiento, el
cual se define en la ecuación 2.9.  s es el inverso de la distancia promedio que un fotón podrá
recorrer antes de ser esparcido pero tomando en cuenta el factor de anisotropía g.
s  s (1  g )
(2.9)
26
2.3 Ecuación de la Transferencia Radiativa y Aproximación de
Difusión.
Para poder modelar matemáticamente los fenómenos en los que existen múltiples eventos de
esparcimiento, se ha utilizado la teoría analítica y la teoría de la transferencia radiativa. En la
teoría analítica se hace uso de las ecuaciones de Maxwell, considerando las propiedades
absorbentes y esparcivas de las partículas del medio. El uso de esta teoría es complicado y
prácticamente imposible porque los múltiples eventos de esparcimiento y los fenómenos de
difracción e interferencia deben ser tomados en cuenta. La teoría de la transferencia radiativa
básicamente describe la propagación de la radiación electromagnética en un medio, donde esta
puede ser emitida, esparcida y absorbida [12]. La ecuación básica de esta teoría y que describe los
fenómenos antes mencionados, es llamada la ecuación de transporte. Dicha ecuación es deducida
heurísticamente utilizando el principio de conservación de energía, lo que produce que la teoría
de la transferencia radiativa también lo sea. A pesar de esto, la teoría de la transferencia radiativa
es muy versátil, pues ha sido utilizada para describir la propagación de la radiación proveniente de
estrellas, galaxias e incluso para modelar la propagación de la radiación en el tejido biológico.
2.3.1 Magnitudes Físicas utilizadas en la Teoría de la Transferencia
Radiativa.
2.3.1.1 Radiancia L  r , sˆ 
La radiancia es el diferencial de potencia dP [W] que fluye dentro de un ángulo solido d [ srd ]
2
a través de un diferencial de área dA [m ] en el punto r y que se propaga en la dirección del
vector unitario ŝ . Cuando ŝ no es perpendicular a dA , se tiene que utilizar la proyección de dA
en el plano perpendicular a ŝ , por lo que dA0  dA cos( ) , donde  es el ángulo entre la normal
de dA y ŝ , ver figura 2.2 La radiancia puedes ser expresada con la ecuación 2.10.
L  r , sˆ  
dP  r , sˆ 
 W m2srd 
dA cos( )d 
(2.10)
Figura 2.2. Representación gráfica de la radiancia.
27
2.3.1.2 Ritmo de Fluencia   r 
El ritmo de fluencia es la potencia que incide sobre una esfera infinitesimalmente pequeña
dividida entre la sección transversal de dicha esfera y se expresa con la ecuación 2.11.
4
(r ) 
 L(r , sˆ)d  W
m2 
(2.11)
0
2.3.1.3 Vector de Flujo Fd  r 
El vector de flujo es definido como el flujo neto de energía por unidad de área por unidad de
tiempo y es expresado con la ecuación 2.12, por lo que el vector de flujo apunta en la dirección del
flujo dominante de fotones. El vector de flujo Fd  r  es el homólogo vectorial del ritmo de
fluencia.
4
Fd (r ) 
ˆ   W
 L(r , sˆ)sd
m2 
(2.12)
0
2.3.2 Derivación de la Ecuación de Transporte7
Considérese un volumen cilíndrico como el que se ilustra en la figura 2.3, sobre el cual están
incidiendo fotones. Dicho volumen tiene una sección transversal unitaria, una longitud ds y
contiene  ds partículas, donde  es el número de partículas por unidad de volumen.
Figura 2.3. Representación gráfica del esparcimiento de la radiancia que incide en el volumen
ds.
Cada partícula absorbe una cantidad de energía relacionada con el término  a L(r , sˆ) y esparce
una cantidad de energía relacionada con el término  s L(r , sˆ) , y por lo tanto el cambio (que
realmente son pérdidas) de la radiancia debido a esto en el volumen ds , en el punto r y en la
dirección de ŝ , se puede expresar con la ecuación 2.13.
dL(r , sˆ)    ( a   s )dsL(r , sˆ)  t L(r , sˆ)ds
7
(2.13)
A partir de este punto, sólo se tomará en cuenta la naturaleza corpuscular de la luz.
28
A la vez, la radiancia L(r , sˆ) puede incrementar porque los fotones que inciden sobre el volumen
desde otra dirección ŝ´ , pueden ser esparcidos en la dirección del vector unitario ŝ . La
contribución debido a lo anterior puede ser expresada con la ecuación 2.14 y se ilustra en la figura
2.3.
4
dL(r , sˆ)  dss  p( sˆ, sˆ´)L(r , sˆ´)d´
(2.14)
0
Los fotones provenientes de una fuente de luz externa o interna al tejido y los fotones generados
dentro del tejido debido a otros fenómenos físicos como la fluorescencia o la fosforescencia,
pueden incrementar la radiancia L(r , sˆ) . En este trabajo sólo se considerarán los fotones que
provienen de una sola fuente de luz y los fenómenos de luminiscencia serán ignorados. El término
fuente será expresado con la ecuación 2.15.
dL(r , sˆ)   (r , sˆ)ds
(2.15)
Al dividir el resultado de la suma de las aportaciones a L(r , sˆ) debido a los fenómenos descritos
por las ecuaciones 2.13, 2.14 y 2.15 por ds , se tiene la ecuación 2.16, que es la ecuación de
transporte.
4
dL(r , sˆ)
  t L(r , sˆ)  s  p( sˆ, sˆ´)L(r , sˆ´)d´ (r , sˆ)
ds
0
(2.16)
El gradiente de la radiancia en la dirección del vector constante ŝ tiene tres formas equivalentes y
estas se expresan en la ecuación 2.17.
dL(r , sˆ)
 sˆ [ L(r , sˆ)]    [ L(r , sˆ) sˆ]
ds
(2.17)
2.3.3 Radiancia Reducida Incidente, Radiancia Esparcida y el Término
Fuente.
La radiancia en cualquier punto del tejido biológico se compone de dos partes: la radiancia
esparcida Ls (r , sˆ) y la radiancia reducida incidente Li (r , sˆ) . La radiancia reducida incidente es la
luz de una fuente externa o interna al tejido, que no ha sido esparcida ni absorbida, dicho de otra
manera, los fotones que han sobrevivido a los fenómenos de absorción y de esparcimiento; la
radiancia esparcida es aquella que se “forma” dentro del medio debido a los fenómenos de
esparcimiento de la radiancia reducida incidente, un esquema de lo anterior se muestra en la
figura 2.4. La radiancia en cualquier punto del tejido se puede expresar con la ecuación 2.18.
L(r , sˆ)  Li (r , sˆ)  Ls (r , sˆ)
(2.18)
29
Figura 2.4. Esquema de la radiancia reducida
incidente y la radiancia esparcida. es una fuente
de fotones y
es un vector unitario que apunta
desde la fuente hacia el punto . En casos como
este, donde la fuente es externa al tejido
biológico, se tiene que considerar el empate o
desempate de los índices de refracción de los
medios.
Figura 2. 4. Figura 2.4. Esquema de la
radiancia reducida incidente y la
Si se toma en cuenta el número de partículas esparcidoras con una sección eficaz de
esparcimiento  s y la probabilidad de que un fotón que se propaga en la dirección del vector
unitario ŝ0 sea esparcido y redirigido en la dirección del vector unitario ŝ es p( sˆ, sˆ0 ) , el término
fuente puede ser expresado con la ecuación 2.19.
 (r , sˆ)  s p(sˆ, sˆ0 ) E(r ,sˆ0 )
(2.19)
Donde E (r ,sˆ0 ) puede representar un haz de luz colimado o una fuente puntual isotrópica, por lo
que la ecuación de transporte en términos de Ls (r , sˆ) queda expresada con la ecuación 2.20.
4
dLs (r , sˆ)
 t Ls (r , sˆ)  s  p( sˆ, sˆ´)Ls (r , sˆ´)d´ s p(sˆ, sˆ0 ) E (r ,sˆ0 )
ds
0
(2.20)
2.3.4 Aproximación de Difusión.
La solución de la ecuación de transporte es difícil de obtener, pues dicha ecuación tiene 5 variables
independientes y 6 cuando se consideran los cambios de la radiancia en función del tiempo
( x, y, z, ,  , t ) , por lo que una práctica común es utilizar la aproximación de difusión para
obtener una descripción analítica relativamente sencilla y precisa de la propagación de la luz en el
tejido biológico partiendo de la ecuación de transporte. Para poder utilizar la aproximación de
difusión se requiere que el tejido sea un medio con s  a para que la radiancia sea lo más
omnidireccional o casi isotrópica que sea posible, pero con un grado de anisotropía para tener un
gradiente en la concentración de fotones y por lo tanto, un flujo neto de energía en una dirección
determinada, en este caso sˆ f ; lo anterior se expresa matemáticamente en la ecuación 2.21 y se
ilustra en la figura 2.5. Se requiere también que el punto de observación o de interés, esté lo
suficientemente lejos ( 10 ) de las fuentes y fronteras [13].
Ls (r , sˆ)  L0 (r ) 
3
Fd (r )  sˆ
4
(2.21)
30
Donde L0 (r ) se expresa en la ecuación 2.22 y es definida como la radiancia distribuida de una
manera perfectamente isotrópica, mientras que Fd (r ) es el vector de flujo, el cual apunta en la
dirección del flujo dominante de fotones.
L0 (r ) 
1
4
Figura 2.5. Esquema de la radiancia esparcida
4
 L (r , sˆ)d
s
(2.22)
0
Ls (r , sˆ) en la aproximación de difusión.
2.3.5 Ecuación de Difusión derivada de la Ecuación de Transporte.
Para obtener la ecuación de difusión a partir de la ecuación de transporte se llevan a cabo tres
pasos:
1. Se integra la ecuación de transporte respecto a d de 0  4 estereorradianes.
2. Se multiplica la ecuación de transporte por ŝ y se integra respecto a d de 0  4
estereorradianes.
3. Se combinan las ecuaciones resultantes del paso 1 y 2.
2.3.5.1 Primer paso para la Obtención de la Ecuación de Difusión.
Se re escribe la ecuación 2.20 como en la ecuación 2.23 y a continuación se integra respecto a d
de 0  4 .
4
sˆ [ Ls (r , sˆ)]   t Ls (r , sˆ)  s  p( sˆ, sˆ´)Ls (r , sˆ´)d ´ s p( sˆ, sˆ0 ) E (r ,sˆ0 )
(2.23)
0
Como  sólo opera en r , el término de la izquierda de la ecuación 2.23 puede quedar reescrito
como se expresa en la ecuación 2.24.
4

0
sˆ Ls (r , sˆ)d 
4
4
ˆ s (r , sˆ)d     Ls (r , sˆ) sd
ˆ     Fd (r )
   sL
0
(2.24)
0
El resultado de integrar el primer término de la derecha de la ecuación 2.23 se muestra en la
ecuación 2.25.
31
 t
4
 L (r , sˆ)d    (r )
s
t
(2.25)
s
0
Para realizar la doble integral del segundo término de la derecha de la ecuación 2.23, se reescribe
esta como en la ecuación 2.26.
4
4
0
0
s  p( sˆ, sˆ´)  ( Ls (r , sˆ´)d )d´ s  s (r )
(2.26)
El tercer término de la derecha de la ecuación 2.23, al ser integrado de 0  4 resulta en la
ecuación 2.27.
4
  E (r , sˆ ) p(sˆ, sˆ )d   E (r , sˆ )
s
0
0
s
0
(2.27)
0
Por lo que el resultado de integrar la ecuación 2.23 en los 4 estereorradianes se muestra en la
ecuación 2.28.
 Fd (r )  a s (r )  s E (r , sˆ0 )
(2.28)
2.3.5.2 Segundo Paso para la Obtención de la Ecuación de Difusión.
Se multiplica la ecuación 2.23 por ŝ y a continuación se integra en los 4 estereorradianes, lo
anterior se expresa en la ecuación 2.29.
4
4
4
0
0
0
ˆ 
 sˆ [ Ls (r , sˆ)]sd
 sˆ{t Ls (r , sˆ)  s  p(sˆ, sˆ´)Ls (r , sˆ´)d´s p(sˆ, sˆ0 ) E (r ,sˆ0 )}d (2.29)
Se asumirá que el término de la izquierda de la ecuación 2.29 equivale al valor mostrado en la
ecuación 2.30, dicha ecuación es llamada ecuación de la aproximación de difusión, donde D es la
constante de difusión y depende de las propiedades ópticas del tejido.
4
ˆ   [
 sˆ L (r , sˆ)sd
s
a
 s (1  g )]D s (r )
(2.30)
0
El primer término de la derecha de la ecuación 2.29, queda reescrito como se muestra en la
ecuación 2.31.
 t
4
ˆ     F (r )
 L (r , sˆ)sd
s
t
d
(2.31)
0
Para poder resolver la doble integral del segundo término de la derecha de la ecuación 2.29, se
utiliza la identidad vectorial sˆ  sˆ´(sˆ  sˆ´)  sˆ´(sˆ  sˆ´) y se integra primero respecto a d , por lo
32
que el segundo término de la derecha de la ecuación 2.29 se puede reescribir como en la ecuación
2.32.
4 4
4
ˆ (sˆ, sˆ´)d  sˆ´]Ls (r , sˆ´)d ´
s  [  sˆ´( sˆ  sˆ´) p(sˆ, sˆ´)d  sˆ´  sp
0
0
(2.32)
0
La primer integral interior de la ecuación 2.32 es igual a sˆ´g , por la propia definición de g. Al
efectuar la integral respecto a d´ se tiene la ecuación 2.33.
4
s  sˆ´gL(r , sˆ´)d´  s gFd (r )
(2.33)
0
La segunda integral interior de la ecuación 2.33 es igual a cero por la simetría azimutal que se
asume en el esparcimiento, lo anterior provocará que el vector v  sp
siempre
ˆ ( sˆ, sˆ´)d
4
sea paralelo a sˆ´ , por lo tanto v  sˆ´ 0 .

Para facilitar el entendimiento de lo anterior, asuma que sˆ´ es paralelo al eje z de la figura 2.6.
Figura 2.6. Geometría utilizada para describir el esparcimiento.
Para el tercer término de la derecha de la ecuación 2.29, se aplica el mismo procedimiento que se
utilizó para el segundo término y se tiene la ecuación 2.34.
4
ˆ (sˆ, sˆ0 )d  s gE (r , sˆ0 )sˆ0
s E (r , sˆ0 )  sp
(2.34)
0
El resultado del segundo paso es igual a la ecuación 2.35, nótese que esta es similar a la primera
ley de Fick de la difusión, pero con un término fuente.
Fd (r )   D s (r ) 
s g
E (r , sˆ0 )sˆ0
tr
(2.35)
Donde tr  a  s .
33
2.3.5.3 Tercer Paso para la Obtención de la Ecuación de Difusión.
Al sustituir el vector de flujo Fd (r ) (ecuación 2.35) en la ecuación 2.28, se tiene la ecuación 2.36.
 D2 s (r ) 
s g
  [ E (r , sˆ0 ) sˆ0 ]   a  s (r )  s E (r , sˆ0 )
tr
(2.36)
Para obtener el coeficiente de difusión D, se sustituye la ecuación 2.21 en la ecuación 2.30 y se
4
4
utilizan las identidades
y
ˆ
ˆ
(
s

A
)
sd


A
(4

)
3
ˆ   0 , al despejar D se
[ sˆ ( A  sˆ)]sd
0

obtiene la ecuación 2.37.
0
D
1
3[ a  s (1  g )]
(2.37)
Al sustituir D en la ecuación 2.36 se obtiene la ecuación de difusión, la cual se muestra en la
ecuación 2.38.
2s (r )  3tr a s (r )  3tr s E(r , sˆ0 )  3s g ( E(r , sˆ0 )sˆ0 )  0
(2.38)
2.4 Modelo de la Reflectancia Difusa Local Resuelta
Espacialmente.
Para modelar la reflectancia difusa local en función de la distancia, en respuesta a una fuente tipo
lápiz, la cual es una fuente de luz colimada infinitamente pequeña, se hace uso de la teoría de
difusión, anexando una fuente de fotones dipolar para poder satisfacer las condiciones de frontera
de la ecuación de difusión. El modelo desarrollado por Farrel et. Al[13] resulta útil en este
trabajo, pues una fibra óptica de la cual emanan fotones y que hace contacto con el tejido
biológico, puede ser considerada como una fuente lápiz.
2.4.1 Condiciones de Frontera.
Al separar la radiancia reducida incidente Li (r , sˆ) y la radiancia esparcida Ls (r , sˆ) (véase sección
2.3.3), se asume que la radiancia esparcida se crea solamente dentro del tejido debido al
esparcimiento de la radiancia reducida incidente, por lo tanto, se requiere que en la superficie o
en la frontera entre el medio esparcidor y el no esparcidor, la Ls (r , sˆ)  0 cuándo ŝ apunta hacia
dentro del tejido biológico. A partir de este punto r representará un punto en la frontera entre el
tejido y el medio que lo rodea, y se asumirá que dichos medios tienen empatados sus índices de
refracción, por lo tanto se asume que no habrá fotones retro esparcidos en la frontera.
El vector de flujo que apunta hacia dentro del tejido debe ser cero, esto se expresa
matemáticamente con la ecuación 2.39.
34
2
Fn  (r ) 
ˆ  0
 L (r , sˆ)sˆ  nd
(2.39)
s
0
Donde n̂ es un vector unitario que apunta hacia adentro del tejido y es perpendicular a la
superficie de este. Fn  (r ) es una proyección del vector Fd (r ) sobre n̂ , por lo que al igualarlo con
cero, se busca que no haya fotones entrando o reentrando al tejido.
Como la radiancia esparcida está definida con la ecuación 2.21, al sustituir la ecuación 2.21 en la
ecuación 2.39, se tiene la ecuación 2.40.
2
Fn (r ) 
2
3
ˆ  
[( F (r )  sˆ)(sˆ  nˆ )]d 
 L (r )sˆ  nd
4
0
d
0
(2.40)
0
Si se asume que el eje z es paralelo a n̂ , ver figura 2.7, sˆ  nˆ  cos( ) , donde  es el ángulo polar
respecto a ŝ , por lo que al llevar acabo la primer integral de la ecuación 2.40 se obtiene la
ecuación 2.41, mientras que la segunda integral resulta en la ecuación 2.42.
Figura 2.7. Representación Gráfica de la condición de
Frontera.
2

0
2  2
ˆ   L0 (r ) 
L0 (r )sˆ  nd
0
 cos( )sin( )d d  L (r )
0
(2.41)
0
2
3
1
1
Fd (r )   [( sˆ)( sˆ  nˆ )]d  Fdz (r )  Fd (r )  nˆ
4
2
2
0
(2.42)
Por lo tanto, el flujo que viaja en la dirección de n̂ está dado por la ecuación 2.43.
1
Fn (r )  L0 (r )  Fd (r )  nˆ
2
(2.43)
Al sustituir la ecuación 2.22 en la ecuación 2.43, esta queda rescrita como se muestra en la
ecuación 2.44.
35
1
1
Fn (r )   s (r )  Fd (r )  nˆ
4
2
(2.44)
Por la condición de frontera impuesta por el hecho de que la radiancia esparcida se crea
solamente dentro del tejido y debido al esparcimiento de la radiancia incidente, el vector de flujo
que entra al tejido debe ser cero, por lo tanto, la condición de frontera se expresa
matemáticamente con la ecuación 2.45.
0   s  r   2Fd (r )  nˆ
(2.45)
Al sustituir la ecuación 2.35 en la ecuación 2.45 y asumiendo que el punto r está lejos de la
fuente, se tiene la ecuación 2.46.
0  s (r )  2D s (r )  nˆ
(2.46)
Como el flujo Fd (r ) sólo se proyecta en la dirección normal al tejido, la ecuación 2.46 puede
quedar rescrita como en la ecuación 2.47.
0   s (r )  2 D

 s (r )  nˆ
z
(2.47)
Tomando en cuenta el hecho de que el vector n̂ es paralelo al eje z, z=0 está en r , por lo anterior
se puede hacer una extrapolación y obtener un punto para el cual el ritmo de fluencia será igual a
cero notando que el término de la derecha de la ecuación 2.47 es similar a una serie de Taylor
interrumpida después del segundo término, lo anterior queda expresado matemáticamente con
la ecuación 2.48.
 s ( z  2 D)   s ( z  0)  2 D

 s (r )  nˆ  0
z
z 0
(2.48)
La ecuación 2.48 indica que en z=-2D el ritmo de fluencia será 0.
2.4.2 Dipolo de la Difusión.
Al hacer incidir luz en la superficie del tejido biológico con una fibra óptica que está a 0° respecto a
la normal del tejido y que hace contacto con este, se puede decir que la luz incidente en el tejido
biológico proviene de una fuente lápiz. Esta fuente tipo lápiz será convertida a una fuente puntual
e isotrópica ya que se asumirá que los fotones de la fuente lápiz serán isotrópicamente esparcidos
en un punto z= z 0 , donde z0  1/ [ s (1  g )] , por lo tanto se tendrá una fuente puntual e
isotrópica en un punto z= z 0 . El ritmo de fluencia debido a una fuente puntual e isotrópica en un
punto dentro del tejido puede ser forzado a cero en un plano al introducir una fuente espejo de
fotones idéntica a la fuente real, sólo que esta fuente debe ser negativa y debe estar a una
distancia z=- z 0 de la frontera.
36
Para poder satisfacer la ecuación de difusión sin fuentes (ecuación 2.38) y la condición de frontera
 s (r , 2D)  0 , la frontera real entre el tejido biológico y el medio no esparcidor será ignorada y
se considerará como frontera a la frontera extrapolada, por esto, la fuente espejo será corrida y
estará posicionada en z=- z 0 -2D, véase la figura 2.8. La solución de la ecuación de difusión, para un
punto alejado de una fuente puntual e isotrópica que emite una potencia P, está dada por la
ecuación 2.49, por lo que al tener dos fuentes puntuales e isotrópicas, el ritmo de fluencia que se
tendrá en un punto arbitrario dentro del tejido, será la suma del ritmo de fluencia provocado por
cada fuente, esto se expresa con la ecuación 2.50.
Figura 2.8. (A) Modelo propuesto por Fretterd y Longini. (B) Modelo
propuesto por Farrel et. al.
P
 r W
e eff [ 2 ]
4 Dr
m
P
P
 
 
 s (r , z ) 
e eff 1 
e eff 2
4 D1
4 D2
 s (r , z ) 
(2.49)
(2.50)
Donde 1 y  2 se definen como:
1  r 2  ( z  z0 )2
(2.51a)
2  r 2  ( z  z0  2D)2
(2.51b)
eff es el coeficiente efectivo de atenuación, y es el inverso de la profundidad de penetración de la
luz en el tejido  eff , la cual es la distancia que debe recorrer la luz para ser atenuada a un factor
de 1 e veces su valor inicial, ambos se expresan en la ecuación 2.52.
 eff 
1
eff

1
3a ( a  s )
(2.52)
37
Para obtener el flujo neto de fotones que dejan el tejido en z=0 y por ende la luz re-emitida por el
tejido, se aplica la primera ley de Fick de la difusión al ritmo de fluencia en z=0 y se obtiene la
ecuación 2.53.
R(r )   D s (r , z ) z 0
(2.53)
La ecuación 2.53 puede quedar rescrita como en la ecuación 2.54, pues sólo se requiere conocer el
flujo que deja la superficie del tejido.
R(r )   D
 s (r , z )
z
z 0
(2.54)
Por lo tanto se obtiene la ecuación 2.55.
R(r ) 
P
4
 
 

( z0  2 D)e eff 2
1
 z0e eff 1
(


)


eff
2
1
2 2

 1

1 
W

 eff    [ 2 ] (2.55)
2  
m

z 0
Como se asumió que la luz que incidía en el tejido biológico era un haz de luz colimado
infinitamente pequeño y que se transformó en una fuente puntual e isotrópica, la potencia P
emitida por esta última, se aproxima a:
P
s
a  s
E0
[W]
(2.56)
Donde E0 es la irradiancia incidente en la superficie del tejido.
Para fines prácticos, se puede asumir que el ritmo de fluencia en la frontera real es igual a cero
ignorando la frontera extrapolada, ver figura 2.8a. Si se lleva a cabo el mismo procedimiento
descrito arriba, la expresión que se obtiene para la luz re-emitida cuando r>> z0 se muestra en la
ecuación 2.57. Cabe mencionar que el tomar como condición de frontera  s (r ,0)  0 no satisface
la ecuación de difusión sin fuentes ni la condición de frontera impuesta por la física del problema.
 r
R(r ) 
z0e eff
1
( eff  )
2
2 r
r
(2.57)
38
2.5 Método de Monte Carlo.
El método de Monte Carlo ha sido utilizado para simular procesos donde la física de estos es
estocástica, es decir, que depende del azar [16]. En todas las aplicaciones del método de Monte
Carlo se utilizan números aleatorios para estimar el valor de cierta variable aleatoria que
representa alguna magnitud física que se requiere estudiar. Con este método, se puede simular el
transporte de fotones en un medio turbio como el tejido biológico, e incluso esta simulación se
considera como el análogo numérico de la ecuación de la transferencia radiativa. La simulación
con Monte Carlo ha sido ampliamente utilizada para describir la propagación de los fotones en el
tejido biológico, ya que es fácil de implementar y a la vez se puede obtener una excelente
aproximación del transporte de fotones en este medio. Como el método es de naturaleza
estadística, al lanzar un mayor número de fotones, la simulación será más precisa, sin embargo,
esto requerirá que el tiempo para concluir la simulación se incremente.
En la simulación de la propagación de fotones en el tejido biológico, se busca emular el trayecto
que cada fotón recorrería en un medio turbio, donde los fotones pueden ser absorbidos,
esparcidos e internamente reflejados o transmitidos en las fronteras. Para que la simulación sea
congruente con la realidad, cada fotón debe cumplir una serie de “reglas”, las cuales dictarán el
paso o la distancia que recorrerá cada fotón antes de interactuar con el tejido, determinarán los
ángulos (polar y azimutal) en los que será desviado el fotón de su dirección de propagación inicial
cuando sea esparcido y si el fotón será reflejado internamente o transmitido en las fronteras.
En este trabajo se describirá de manera general, un algoritmo básico para la simulación utilizando
el método de Monte Carlo, donde cada fotón tendrá un paso variable s y se le asignará un peso w
a los fotones, el cual será modificado en cada interacción del fotón con el tejido, esto se hace con
el fin de reducir la varianza de los resultados [7]. El fotón dejará de propagarse cuando su peso w
sea menor que un valor umbral y no sobreviva a la ruleta (esto se explica más adelante).
Para llevar a cabo la simulación se deben especificar las propiedades ópticas del tejido:  a ,  s , g,
el índice de refracción del medio desde el cual los fotones inciden así como el índice de refracción
del tejido. En el caso de realizar una simulación donde se tengan múltiples capas, las propiedades
ópticas antes mencionadas para cada capa deben ser tomadas en cuenta, también se debe
especificar el número de fotones que serán lanzados.
2.5.1 Sistemas Coordenados utilizados en la Simulación.
Durante la simulación se utilizan tres sistemas coordenados al mismo tiempo:

Sistema coordenado Cartesiano. Utilizado para el posicionamiento de los fotones. El
origen de este sistema coordenado es el punto donde inciden los fotones [0,0,0], pues en
el algoritmo que se describirá, se hace uso de una fuente tipo lápiz. El eje z siempre es
39
normal a la superficie del tejido e incrementa en la dirección que apunta a este. Por lo
tanto, el plano x-y es la superficie del tejido.

Sistema de coordenadas Cilíndricas. Se utiliza para registrar la absorción de los fotones en
la malla A(r, z)8, donde r es la coordenada radial y z la profundidad de este sistema de
coordenadas. El sistema de coordenadas Cartesianas y el Cilíndrico, comparten el origen y
el eje z. Se asumirá al tejido como una estructura cilíndrica y simétrica en r. Dicha
estructura cilíndrica se considerará semi infinita y sólo se tomará en cuenta la frontera
superior del tejido.

Sistema de coordenadas Esféricas. Tiene como eje z al vector unitario de dirección del
fotón   [ux , u y , uz ] ; este sistema es dinámico, pues cambia cada vez que el fotón es
redirigido. La dirección del fotón es expresada con los cosenos direccionales en el sistema
de coordenadas cartesiano, es decir, con la proyección del vector de dirección en los ejes
coordenados del sistema cartesiano
2.5.2 Muestreo de Variables Aleatorias.
Con el objeto de llevar a cabo la simulación de la propagación de fotones en el tejido biológico
utilizando el método de Monte Carlo, se utilizan variables aleatorias, como por ejemplo el ángulo
polar y azimutal en el esparcimiento. La obtención de una variable aleatoria (y en general el
método), se basa en el muestreo aleatorio de las variables de la función de distribución de
probabilidad de dicha variable aleatoria.
Para describir como está distribuida alguna variable aleatoria, p.ej.  , en un intervalo, se utiliza la
función de densidad de probabilidad p( ) , la cual debe cumplir con la condición de
normalización expresada en la ecuación 2.58.

 p( )d  1
(2.58)

La función de distribución de probabilidad expresa la probabilidad que tiene la variable aleatoria
 de caer en un intervalo, p.ej. 0    1 y está definida con la ecuación 2.59.
1
F (1 )   p( )d donde 0    1
(2.59)
0
Para generar las variables aleatorias que son necesarias para la simulación, se generan números
aleatorios uniformemente distribuidos entre 0-1, por lo que la función de densidad de los números
8
Durante la programación, A(r, z) es discretizada, y se representa con un arreglo bidimensional A[ri,rz]
donde ri y rz son los índices para acceder a los elementos de la malla en r y z respectivamente.
40
aleatorios  se define como p( )  1 , por lo tanto, la función de distribución para los números
aleatorios está dada por la ecuación 2.60.
1
F (1 )   p( )d  1 donde 0  1  1
(2.60)
0
Al igualar el valor de la función de distribución de la variable aleatoria  con la función distribución
de los números aleatorios  , es decir F (1 )  F (1 ) , se logra un mapeo uno a uno entre los
valores 1 y 1 , por lo anterior se obtiene la ecuación 2.61. Los valores de la variable aleatoria 
obtenidos utilizando la ecuación 2.61, seguirán la función de densidad p( ) .
1
1   p( )d
(2.61)
0
2.5.3 Descripción General del Algoritmo.
2.5.3.1 Lanzamiento de un Fotón.
Todos los fotones son lanzados con un peso inicial w  1 . Mientras el fotón se propaga, este peso
será reducido por diferentes fenómenos. En este algoritmo se considera una fuente de fotones
tipo lápiz que lanzará los fotones en el origen [0,0,0] y la dirección inicial de los fotones lanzados
será   [0,0,1] . Cabe mencionar que se pueden simular diferentes fuentes de fotones, por
ejemplo: gaussianas, planas, isotrópicas, entre otras. En el caso de las dos primeras, la función de
densidad de probabilidad para la posición del lanzamiento debe ser considerada.
Si el índice de refracción del medio desde el cual incide el fotón ( ni ) y el índice de refracción del
tejido ( nt ) no están empatados, es decir ni  nt , habrá reflexión especular:
Resp
 n n 
 i t 
 ni  nt 
2
(2.62)
Nótese que en la ecuación 2.62 se asume que la incidencia es perpendicular a la superficie del
tejido. Por lo anterior, el peso del fotón se verá afectado por la reflexión especular9:
w  1  Resp
9
(2.63)
El símbolo  denota sustitución de un valor a una variable.
41
2.5.3.2 Determinación de la magnitud del Paso de un Fotón.
Para obtener el paso aleatorio s que un fotón recorrerá entre cada interacción con el tejido, se
toma en cuenta la distribución exponencial de s , cuya función de densidad de probabilidad se
muestra en la ecuación 2.64.
p(s)  e t s t
(2.64)
Después se obtiene la función de distribución de probabilidad, es decir, se integra la función de
densidad de probabilidad:
s1
F ( s1 )   p( s)ds  1  e t s1
(2.65)
0
Al aplicar la ecuación 2.61 a la ecuación 2.65 y posteriormente despejar s1 , se obtiene la ecuación
2.66:
s1  
ln(1 )
t
(2.66)
Se obtiene la ecuación 2.66 tomando en cuenta el hecho de que el término 1  1 es
probabilísticamente igual a 1 . Los pasos s1 generados con los números aleatorios seguirán la
función de densidad expresada en 2.64.
2.5.3.3 Propagación del Fotón.
Si se define la posición actual del fotón como p0  [ x0 , y0 , z0 ] , la nueva posición p1 que este fotón
ocupará después de haber recorrido un paso s1 está dada por la ecuación 2.67.
p1  p0  s1
(2.67a)
O de manera similar
x1  x0  s1u x
y1  y0  s1u y
(2.67b)
z1  z0  s1u z
Cada vez que se traslada al fotón a una nueva posición, hay que comprobar que este se encuentre
dentro del tejido, es decir, que z  0 . Si el fotón está dentro del tejido se actualiza la nueva
posición del fotón. Si el fotón está fuera del tejido, se calcula un paso intermedio si  ( z0 / uz ) ,
posterior a esto se debe regresar al fotón a su posición anterior, es decir a p0 , una vez aquí se
lleva al fotón hasta la frontera. Este recorrido, el fotón lo hace sin sufrir esparcimiento ni
absorción. Los componentes del punto en la frontera se expresan en 2.68.
42
x frontera  x0  si u x
y frontera  y0  si u y
(2.68)
z frontera  z0  si u z
Una vez que el fotón se encuentra en la frontera, se determinará la probabilidad de que el fotón
sea internamente reflejado o transmitido, la cual depende del ángulo de incidencia  i (respecto a
la normal de la superficie de la frontera), del índice de refracción del tejido nt y del índice de
refracción del medio que rodea al tejido nm . Para obtener la reflectancia interna, se obtiene un
valor medio entre la reflectancia correspondiente al componente de polarización perpendicular y
la reflectancia debida al componente de polarización paralela utilizando las ecuaciones de Fresnel:
1 sin 2 (i  t ) tan 2 (i  t )
R [ 2

]
2 sin (i  t ) tan 2 (i  t )
(2.69)
El ángulo de incidencia  i es obtenido tomando en cuenta que u z es la proyección del vector de
dirección  en el eje z, por esto:
i  cos1 (uz )
(2.70)
Utilizando la ley Snell, se puede calcular el ángulo en el que el fotón podría ser transmitido:
 nt sin(i ) 

 nm

t  sin 1 
(2.71)
Hay dos técnicas muy comunes para tratar la reflectancia interna y la transmitancia de un fotón.
Una de ellas es determinar si el fotón es o no reflejado comparando el valor de un número
aleatorio con el valor de R (ecuación 2.69):
Si   R el fotón es internamente reflejado.
Si   R el fotón es transmitido.
Si el fotón es transmitido, se elimina ese fotón, se suma el valor del peso w del fotón transmitido al
arreglo en el cual se están almacenando los fotones transmitidos en un punto y en caso de no
haber lanzado el máximo número de fotones se lanza un nuevo fotón.
La segunda alternativa, es dejar que una fracción del peso del fotón sea transmitida y la fracción
restante reflejada internamente.
El arreglo que se utiliza para almacenar la transmitancia T [ir ] se actualiza y se incrementa con la
fracción del peso del fotón que fue transmitido, véase la ecuación 2.72, la fracción del peso del
fotón que es reflejado también se actualiza: w  Rw .
43
T [ir ]  T [ir ]  w(1  R)
(2.72)
Cuando en una simulación de Monte Carlo se elimina al fotón transmitido, el tiempo para llevar a
cabo dicha simulación es menor comparado con el tiempo que se demora la simulación que
considera la fracción del peso reflejado y el peso transmitido, sin embargo, la varianza de los
resultados obtenidos con la segunda técnica es menor.
En cualquier caso, si el fotón es internamente reflejado, este fotón tiene que terminar su paso
inicial, ecuación 2.73. Para que sea reflejado en la frontera del tejido se cambia la dirección de
propagación   [ux , u y , uz ] .
p1  p frontera  (s  s1 )
(2.73)
Una vez terminado el recorrido del fotón, si este está dentro del tejido, se continúa propagando a
este hasta que su peso w sea menor que un valor umbral.
2.5.3.4 Absorción del Fotón.
Cada vez que el fotón llega a una nueva posición, el fotón debe interactuar con el tejido. Durante
cada interacción una fracción a t del peso del fotón es absorbida y la fracción restante es
esparcida y continúa propagándose. La fracción del peso del fotón que fue “absorbida” se deposita
en el elemento correspondiente del arreglo A[ir,iz]:
A ir, iz   A ir, iz   w
a
t
(2.74)
Mientras que el peso del fotón debe ser actualizado:
w  w
a
w
t
(2.75)
2.5.3.5 Esparcimiento del Fotón.
Cuando el fotón ya fue propagado y su peso reducido debido a la absorción, este fotón será
esparcido. Dicho fotón será desviado de su dirección de propagación un ángulo polar  y un
ángulo azimutal  , por lo tanto se requiere generar estas variables aleatorias.
2.5.3.5.1 Ángulo Polar.
La función de densidad que describe la distribución angular del esparcimiento es la función de
Henyey–Greenstein [2.7], sin embargo, es conveniente expresar dicha función en términos del
cos( ) , pues con esto se reduce el tiempo de la simulación [3]:
p(cos( )) 
1
1 g 2
2 [1  g 2  2 g cos( )]3/2
(2.76)
44
Donde se cumple la condición de normalización:
1
 p(cos( ))d (cos( ))  1
(2.77)
1
Para generar los valores del cos( ) que sigan la función de densidad p(cos( )) , se obtiene la
función de distribución de esta última y se le asigna un número aleatorio uniformemente
distribuido entre 0-1, posterior a esto se despeja el cos( ) :
2
 1 
 1  g 2  
2
 1  g  
 
 2 g 
1  g  2 g1  

cos( )  21  1
1



(2.78)
2.5.3.5.2 Ángulo Azimutal.
Como se asume una distribución uniforme del ángulo azimutal entre 0  2 en el esparcimiento,
la función de densidad para el ángulo azimutal es p( )  1 2 , por lo tanto el ángulo azimutal
está dado por:
  21
(2.79)
Una vez definidos los valores del cos( ) y de  , se define la nueva trayectoria del fotón. Puesto
que  y  son respecto a la dirección de propagación actual del fotón, se define un vector unitario
 , el cual corresponderá a   0 , dicho vector será
perpendicular a
2
q1  1 1  uz [uxuz , u y uz , uz 2  1] . El vector de dirección que corresponde a    / 2 , queda
definido como q2   q1 . Utilizando estos vectores unitarios se define un sistema de
coordenadas esféricas, por lo que el nuevo vector de dirección queda definido como:
  q1 cos( )sin( )  q2 sin( )sin( )   cos( )
(2.80)
donde se utilizó el equivalente en coordenadas cartesianas. Por lo que los componentes del nuevo
vector de dirección se expresan con:
u 'x 
u 'y 
sin( )
1  uz 2
sin( )
1  uz 2
[u xu z cos( )  u y sin( )]  u x cos( )
[u y u z cos( )  u x sin( )]  u y cos( )
(2.81)
u 'z   sin( ) cos( ) 1  u z 2  u z cos( )
45
Si uz  1 significa que el ángulo entre el vector unitario de dirección y el eje z del sistema de
coordenadas Cartesiano  0 , cuando esto sucede, las ecuaciones de 2.81 no se pueden utilizar y
los componentes del nuevo vector de dirección se expresan con las coordenadas Cartesianas
equivalentes de un sistema de coordenadas esféricas con el eje z apuntando en la misma dirección
del eje z del eje de coordenadas Cartesianas:
u 'x  sin( ) cos( )
u ' y  sin( ) sin( )
u 'z 
(2.82)
uz
cos( )
uz
Para esclarecer el proceso de asignación de una nueva dirección durante el esparcimiento en la
simulación, se presenta la figura 2.9, donde un nuevo sistema coordenado esférico es impuesto
por el vector de dirección inicial  .
Figura 2.9. Geometría del esparcimiento en la simulación utilizando el método de
Monte Carlo, donde se grafican los vectores
y
.
2.5.3.6 Terminación de un Fotón.
Si un fotón que se sigue propagando dentro del tejido tiene un peso w , el cual es menor que un
valor umbral (p.ej. umbral = 0.0001), se utiliza el método de la ruleta para determinar si el fotón es
o no terminado. En el método de la ruleta se compara un número aleatorio  , uniformemente
distribuido entre [0-1] con el inverso del valor de una variable m. Si el fotón no sobrevive a la
ruleta, este fotón es eliminado, en cambio, si el fotón sobrevive a la ruleta, se le da a este una
“oportunidad” de seguir propagándose con un peso mayor a su peso actual w  mw , donde
normalmente m  10 , esto se hace con la finalidad de cumplir con la ley de conservación de
46
energía, ya que la mayoría de los fotones (9 de cada 10 en el caso de m=10) que no sobreviven a la
ruleta, tienen un peso w menor que el umbral, sin embargo muy probablemente w es diferente de
cero.
Cuando el fotón es terminado, se revisa si el número total de fotones ya fue alcanzado, si el
número total de fotones no se ha alcanzado se lanza uno nuevo. Si el número de fotones lanzados
ya alcanzó el número total de fotones, la simulación ha terminado y se genera un archivo para
almacenar los resultados.
El diagrama de flujo del algoritmo descrito se muestra en la figura 2.10 [14].
Monte Carlo con pasos
variables y pesos.
Inicialización del
fotón.
Generación de
un nuevo paso.
Propagación del
fotón.
Si
¿Fotón en el
tejido?
¿Internamente
reflejado?
No
Actualización de
fotones
transmitidos.
No
Si
Actualización de la
absorción y peso del fotón.
Cambio de dirección
del fotón.
¿Peso menor que
el umbral?
No
Si
¿Sobrevive a la
ruleta?
No
No
¿Último
fotón?
Si
Fin.
Figura 2.10. Diagrama de Flujo del algoritmo descrito.
47
2.6 Referencias.
[1].- Christian Raulin et. Al. Laser and ipl technology in dermatology and aesthetic medicine. E.U.A.,
Springer.
[2].-Thomas Silfvast, Laser fundamentals, Reino Unido, Cambridge University Press.
[3].-Eugene Hecht, Optics. E.U.A. Addison-Wesley
[4].-Markolf H. Niemz, Laser-Tissue Interactions Fundamentals and Applications, Springer.
[5].-Grossweiner, The science of phototherapy an introduction, E.U.A., Springer.
[6].-Tuan Vo-Dinh , et. Al, Biomedical photonics handbook, E.U.A., CRC PRESS
[7].-Ashley Welch, et. Al, Optical-Thermal Response of Laser-Irradiated Tissue, E.U.A, Springer, 2da.
edición.
[8].-“A Monte Carlo model for the absorption and flux distributions of light in tissue”. Med. Phys.
[9].-“Angular dependence of HeNe laser light scattering by human dermis. Lasers Surg”. Med.
Phys.
[10].-“Modeling optical and thermal distributions in tissue during laser irradiation. Lasers Surg”
Med. Phys.
[11].-“Optical properties of rat liver between 350 and 2200 nm.” Appl. Opt.
[12].-Chandrasekhar, RadiativeTransfer (1950).
[13].-“A diffusion theory model of spatially resolved, steady-state diffuse reflectance for the
noninvasive determination of tissue optical properties in vivo”, Med. Phys.
[14].- Scott A. Prahl.(1988). Light Transport In Tissue. (Tesis Doctoral). The University of Texas at
Austin.
[15].-Función de H-G. disponible en: http://omlc.ogi.edu/classroom/ece532/class3/ptheta.html
[16].-Lihong V. Wang, Biomedical Optics. Principles and Imaging. E.U.A.,John Wiley & Sons 2007.
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[18].- Iván Lux, et. Al, Monte Carlo Particle Transport Methods: Neutron and Photon Calculations,
CRC PRess .
[19].- “Direction Cosines and Polarization Vectors”, Nuclear Science and Engineering.
48
[20].- “Influece of refractive index matching on the photon diffuse reflectance”, Physics in
Medicine and Biology, 2002.
[21].-“Teorías estocásticas de la mecánica cuántica”, Revista Mexicana de Física.
[22].-Milton Abramowitz, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and
Mathematical Tables, Courier Dover Publications, 1965.
[23].- John Bird, Higher Engineering Mathematics, E.U.A, Elsevier, 6ta. edición.
[24].-“Radiometric Quantities and Units Used in Photobiology and Photochemistry:
Recommendations of the Commission Internationale de l’Eclairage (International Commission
on Illumination)”, Photochemistry and Photobiology.
[25].-“A Simple Macroscopic Model for the Interaction of Radiation with Matter”. Disponible en:
http://www.cv.nrao.edu/course/astr534/Radxfer.html
[26].-Leung Tsang, et. Al, Scattering of Electromagnetic Waves - Theories and Applications, John
Wiley & Sons (2000).
49
Capítulo III. Desarrollo del Sistema.
Como ya se mencionó en el capítulo I, para poder estudiar el tejido biológico utilizando la ERD, se
requiere hacer incidir luz de una fuente de luz, cuyo espectro sea conocido, en la superficie del
tejido que se requiere estudiar. El espectro de luz que es re-emitido por el tejido se compara con
el espectro incidente con el fin de determinar qué tanto cambió la luz incidente tras haber
interactuado con el tejido, lo cual es útil para estimar tanto la condición estructural de un tejido
biológico como la concentración de determinadas moléculas.
En la figura 3.1 se ilustra el esquema general de un sistema ampliamente utilizado por diferentes
grupos de trabajo para estudiar tejido biológico empleando la ERD, cuyos componentes son:

Fuente de Luz. Emite los fotones que interactuarán con el tejido. El espectro de emisión
de esta fuente debe ser conocido, pues este es utilizado como referencia para determinar
que tanto cambió el espectro respecto a dicha referencia tras interactuar con el tejido
biológico.

Sonda de fibra Óptica. Las sondas utilizadas en la ERD son bifurcadas. Una ramificación de
la sonda transportará los fotones de la fuente de referencia hacia el tejido, mientras que la
otra ramificación capturará una fracción de los fotones de la fuente de referencia que
interactúan con el tejido y que posterior a esto, logran regresar a la superficie del mismo;
una vez capturados los fotones re-emitidos serán transportados hacia un espectrómetro.

Espectrómetro. Dispositivo que de manera general, separa un haz de luz por medio de la
dispersión (ya sea con un prisma o una rejilla de difracción) en las diferentes longitudes de
onda que lo componen, para posterior a esto poder realizar un conteo de la cantidad de
fotones capturados por cada longitud de onda, dicha medición se realiza con un
dispositivo fotosensible, como p.ej. un arreglo de CCD (dispositivo de carga acoplada).
Una vez realizada la medición, el espectro obtenido es enviado a la computadora del
sistema.

Computadora. Este elemento del sistema es utilizado básicamente para la configuración
del funcionamiento del espectrómetro, así como para el registro, procesamiento y análisis
de los espectros enviados por el espectrómetro. En algunas variantes de este sistema, la
computadora puede regular la emitancia de la fuente de luz.
50
Figura 3.1. Esquema General del sistema para estudiar
tejido biológico utilizando la ERD
Teniendo como base el esquema de la figura 3.1, se utilizaron dos sistemas con algunas diferencias
entre sí. El primero fue diseñado para obtener la reflectancia difusa local en un punto del tejido,
mientras que el segundo fue diseñado para obtener la reflectancia difusa local resuelta
espacialmente.
3.1 Sistema I. Iluminación Central, captura Simétrica.
El primer sistema que se utilizó, es un sistema que exceptuando la interfaz utilizada para la
configuración del espectrómetro, visualización y captura de espectros (desarrollada en [1]) está
desarrollado con elementos comerciales. Este sistema y su variante se diseñaron para la estudiar
tejido con la ERD local. Una ilustración del primer sistema se muestra en la figura 3.2.
Figura 3.2. . Ilustración del primer sistema.
51
A continuación se describirán los elementos que componen al sistema I.
3.1.1 Fuente de Luz LS-1.
La fuente de luz utilizada en este sistema, es la lámpara LS-1 de la empresa Ocean Optics, la cual es
una fuente de luz halógena con filamento de tungsteno. La principal característica de esta fuente
es su ancho espectral, el cual está comprendido entre 400 nm y 1100 nm. En la figura 3.3 se
muestra una fotografía de la lámpara LS-1 y en la figura 3.4 se muestra la gráfica del espectro de
emisión normalizado de la misma. La potencia emitida por la fuente LS-1 es de 0.06W  5% . Su
tiempo de estabilización es de 30 minutos.
Figura 3.3. Fotografía de la lámpara LS-1.
Figura 3.4. Espectro normalizado de la lámpara LS-1.
3.1.2 Sonda.
Para transportar los fotones desde la fuente de luz hacia el tejido, así como los fotones que fueron
re-emitidos por el tejido hacia el espectrómetro, este sistema cuenta con una sonda bifurcada de
fibra óptica, específicamente el modelo R400-7-UV/VIS de la empresa Ocean Optics. Esta sonda
cuenta con siete fibras ópticas de cuarzo: una para capturar los fotones re-emitidos por el tejido y
52
seis para iluminar el mismo. El diámetro de cada fibra óptica es de 200 μm . En la figura 3.5 se
muestra una imagen de esta sonda.
Figura 3.5. A) Sonda bifurcada de fibra óptica. B) Vista frontal de la punta de la sonda.
3.1.3 Espectrómetro.
El espectrómetro de este sistema es el USB-4000 de Ocean Optics. Las características principales
de este espectrómetro son las siguientes [11]:

Dispositivo Fotosensible: CCD (TCD1304AP de Toshiba) con 3648x1 pixeles (elementos que
conforman la matriz CCD).

ADC (Convertidor analógico digital) de 16 bits.

Intervalo de medición: 200 – 1100nm

Tiempo de Integración: 3.8ms-10s.

Resolución de

Bajo consumo de potencia: 250mA @ 5V DC

Interfaces: USB 2.0 High Speed (480 Mbps), RS-232, SPI e I2C.

Rendija de entrada de 1mm 127μm.
0.025nm (FWHM)
Los elementos que componen a este espectrómetro se muestran en la figura 3.6.
53
Figura 3.6. Elementos del Espectrómetro USB4000
3.1.3.1 Funcionamiento del Espectrómetro.
La luz proveniente de una fibra óptica entra al espectrómetro por medio de una abertura de
1 mm 127 μm , una vez dentro del dispositivo, el haz de luz es colimado por medio de un espejo
colimador, el cual redirigirá el haz (ya colimado) hacia una rejilla de difracción, la cual separará al
haz de luz incidente en las diferentes longitudes de onda que lo componen. Una vez separado el
haz en sus componentes, cada uno de estos es concentrado en una zona específica del CCD. Este
último está formado por 3648x1 pixeles (cada pixel es un dispositivo semiconductor fotosensible).
Cada pixel tiene incorporado un capacitor al que se le aplica un potencial eléctrico positivo. El
electrón liberado cuando un fotón incida sobre el fotodetector, será almacenado en el capacitor.
El cual puede almacenar tanta carga como su capacidad lo permita, sin embargo una práctica
común en los espectrómetros es determinar un tiempo de integración, el cual impondrá un límite
en el almacenamiento de carga. Una vez finalizado dicho tiempo de integración, la carga
almacenada en el capacitor de cada pixel de cada columna será desplazada, en el caso de un CCD
como el de la figura 3.7 de abajo hacia arriba, por medio de la aplicación de secuencias ordenadas
de potencial a un registro de corrimiento serial, para que la carga total de cada columna sea
convertida en voltaje y este último digitalizado y enviado a la computadora. Dicho voltaje será una
medida del flujo de fotones incidentes en esa columna del CCD y por la óptica del espectrómetro,
cada columna estará asociada a una longitud de onda. Una vez enviado el espectro medido, se
reinicia el conteo de fotones utilizando la metodología descrita arriba.
54
Figura 3.7. CCD típico de
512  512 pixeles.
Hay que tener en cuenta que la ionización térmica puede ocurrir en cada pixel, ya que la
temperatura puede darle a un electrón de valencia la suficiente energía para que este pueda
desprenderse de su átomo padre. Esto generará electrones “obscuros” que también serán
almacenados en el pozo de potencial, por lo que no será posible diferenciar a los electrones
obscuros de los fotoelectrones.
3.1.4 Computadora.
La computadora en este sistema es utilizada para configurar el espectrómetro, mostrar el
espectro capturado por el espectrómetro y los espectros de la reflectancia difusa calculado con la
ecuación 1.1. En la figura 3.8 se muestra la interfaz de este sistema, la cual permite graficar y
almacenar los espectros en tiempo real. Esta interfaz fue desarrollada en LabVIEW.
55
Figura 3.8. Interfaz del primer sistema. En la cual se puede graficar en tiempo real el espectro
capturado por el espectrómetro (1) y la reflectancia difusa (2).
En la interfaz es posible configurar el tiempo de integración. El valor N del boxcar (ver figura 3.8
inciso 3) será utilizado para obtener un promedio de los N valores vecinos del elemento actual del
arreglo que contiene la intensidad10. Este promedio será asignado al elemento actual de dicho
arreglo. Esto se hace con el fin de suavizar la señal.
Como ya se mencionó, el espectro capturado por el espectrómetro, puede estar contaminado por
la luz de fondo y los electrones obscuros, por lo que es necesario realizar una medición del
espectro visto por el espectrómetro sin fotones de la fuente de luz del sistema, es decir, capturar
el espectro obscuro Or ( ) . Esto se hace con la finalidad de eliminar el offset provocado por
Or ( ) de todas las mediciones. En la interfaz mencionada, para capturar el espectro Or ( ) se da
clic en el botón en el que se lee Obscuro.
10
Aquí intensidad no significa
W/srd . Sino la magnitud del flujo de fotones por cada longitud de onda.
56
Como se expresa en la ecuación 1.1, para obtener la reflectancia difusa, se requiere comparar el
espectro de luz re-emitido por algún medio de interés con el de una fuente de referencia. Para
obtener el espectro de referencia I r ( ) , se requiere capturar el espectro de la fuente de luz
reflejado por un material altamente reflejante (en este sistema siempre se utilizó el Spectralon).
Cuando el espectrómetro esté capturando el espectro I r ( ) , el usuario podrá almacenarlo desde
la interfaz únicamente dando un clic en el botón que tiene la etiqueta Referencia.
Una vez capturados Or ( ) e I r ( ) , se puede aplicar la ecuación 1.1 para obtener la reflectancia
difusa. Para capturar el espectro de la reflectancia difusa, se debe dar clic en el botón Guardar de
la interfaz.
Se recomienda capturar un espectro obscuro Or ( ) por cada medición de reflectancia difusa, ya
que tanto la temperatura como la luz de fondo de la habitación donde se realizan las mediciones,
pueden cambiar durante una sesión de estas.
3.1.5 Variante del Sistema I.
La principal característica del sistema descrito arriba, es sin lugar a duda la capacidad de estudiar
tejido biológico utilizando un ancho espectral considerable. Sin embargo, la potencia emitida
(número de fotones con una energía h por unidad de tiempo) por la lámpara LS-1 es baja. Esto
es crítico cuando se estudia la interacción de la luz con un medio turbio como el tejido biológico,
pues la cantidad de fotones re-emitidos por el tejido será igual a:
Re  emitidos  Incidentes – Reflejados  Transmitidos  Absorbidos  Esparcidos 11
(3.1)
Lo anterior es un problema, cuando la relación señal a ruido es  1 , es decir cuándo
Or ( )  I o ( ) . La solución a dicho problema fue cambiar la fuente de fotones LS-1 por una
lámpara basada en la tecnología LED, donde el LED de esta es capaz de emitir un mayor número de
fotones por unidad de tiempo que la lámpara LS-1, incrementando así la relación señal a ruido de
las mediciones. Sin embargo, el ancho espectral del LED es menor comparado con el de la lámpara
LS-1, por lo que para resolver dicho problema, fue necesario sacrificar ancho espectral.
En la figura 3.9 se ilustra esta variante del primer sistema, el cual es prácticamente igual al que se
muestra en la figura 3.2, sin embargo en este sistema el usuario es capaz de regular la emitancia
de la fuente.
11
En una dirección diferente a la de la posición de la fibra de captura.
57
Figura 3.9. Ilustración de la variante del sistema I.
3.1.5.1 Fuente de Luz LED.
La fuente de fotones de este sistema, es un LED blanco cálido de 3 Watts de la empresa SiLed. La
máxima corriente que puede fluir por este es de 750 mA. El espectro de emisión normalizado de
dicho LED se muestra en la figura 3.10.
Figura 3.10. Espectro normalizado del LED.
Como en todos los diodos emisores de luz, el proceso de emisión de fotones se da por la
recombinación de electrones en la banda de conducción con huecos (átomos a los que les hace
falta un electrón en la capa de valencia), dicho proceso es llamado recombinación radiativa. Por lo
anterior, para que se tenga un flujo de fotones emanando del LED, se requiere un flujo de
58
electrones propagándose por este. Como en este sistema se desea regular la emitancia del LED, es
necesario regular la corriente eléctrica que fluye en el mismo. Para esto se utilizó el Buck Puck, el
cual es una fuente de corriente controlada por voltaje. Esta fuente de corriente es compacta (
2  2 1 cm ), eléctricamente estable ( 3% ), barata, versátil y extremadamente fácil de usar. En
la figura 3.11 se muestra la corriente de salida del dispositivo en función del voltaje aplicado en el
pin de control del Buck Puck.
Figura 3.11. Curva de respuesta del Buck Puck Puck.
El voltaje del pin de control del Buck Puck, que es la variable de la cual depende la corriente de
salida del dispositivo, puede ser modificado desde la computadora. Para esto se modificó la
interfaz y se desarrolló un sistema capaz de comunicarse con esta, con lo cual se tiene la
posibilidad de modificar el voltaje del pin de control cuando el usuario lo comande desde dicha
interfaz. Para esto se utilizó el uC (microcontrolador) PIC18F4550 de la empresa Microchip, el cual
es un uC de 8 bits que cuenta con un módulo USB embebido, capaz de transmitir 12 Mbps (full
speed). El dispositivo fue configurado como un CDC (Communication Device Class), esto último con
la finalidad de modificar lo menos posible la interfaz de la figura 3.8.
A excepción del stack USB programado en el PIC18F4550, el firmware de este último es simple. El
usuario enviará al uC, por medio de la interfaz y a través del USB, un byte que corresponderá a un
valor deseado de potencia emitida por el LED. Una vez que el uC reciba dicho byte, este enviará a
la computadora otro byte para “avisar” que se completó la transferencia, de lo contrario se le
avisa al usuario que no se completó la transferencia. Hecho lo anterior, en el uC se le asignará al
registro PORTB (puerto B del uC) el valor binario del byte enviado desde la computadora, el cual
estará comprendido entre 0-255. Los bits del PORTB serán conectados a los LEDs de excitación de
los fototransistores de un par de optoacopladores (TLP521-4) como se muestra en la figura 3.12.
59
Esto con el fin de aislar eléctricamente las tierras del USB y del Buck Puck, ya que el Buck Puck es
polarizado con 12V, además en este y en el LED pueden fluir corrientes de hasta 1000mA, que en
caso de un corto circuito, pueden dañar severamente tanto al uC como al puerto USB de la PC12.
Posteriormente se conectan los emisores de los fototransistores a un puerto de entrada de un
convertidor digital analógico (AD558), cuidando que corresponda el bit X del DAC (convertidor
digital analógico) con el fototransistor switcheado por el bit X del PORTB, donde X es un número
entero entre 0 y 7. La resolución de voltaje obtenida con el DAC es de 0.04V. El voltaje de salida
del DAC será conectado al pin de control del Buck Puck, regulando así la corriente entregada al
LED.
Figura 3.12. PORTB-Optoaislamiento-DAC.
Lo anteriormente descrito se resume en el diagrama a bloques de la figura 3.13.
12
El transceptor USB (en la PC) debe ser capaz de manejar cortocircuitos entre D+ y/o D- y el VBUS, GND,
líneas de datos (en este caso del uC) o con el blindaje del cable del bus hasta por 24 Hrs. Este requisito debe
cumplirse para el valor máximo de VBUS (5.25 V). [Especificación USB 2.0 página 124].
60
Computadora
USB
uC
PIC18F4550
Voltajes (0-5V)
PORTB
Optoacoplador
PORTB
DAC
Vcontrol
LED-
LED+
LED 3W
Buck Puck
Voltajes (0-12V)
Figura 3.13. Diagrama a bloques de los elementos de la fuente de luz de la variante del primer
sistema
La corriente entregada por el Buck Puck y que fluye por el LED fue medida durante 40 minutos
cuatro veces para 8 valores diferentes del voltaje en el pin de control del Buck Puck. Esto con la
finalidad de determinar el tiempo de estabilización, es decir, el tiempo que le tomará a la corriente
entregada por el Buck Puck al LED, variar como máximo 3% del valor final de la corriente en el
LED para cada voltaje de control. El tiempo de estabilización promedio para los 8 voltajes de
control, fue de 10  2 minutos. Una vez estabilizada la fuente de corriente, se midió la corriente
que fluye por el LED para todos los voltajes de control comprendidos entre 2.8 y 4.2 V, es decir, 35
valores del voltaje de control, ya que la resolución del DAC es de 0.4V, y se determinó una
desviación estándar promedio de todas las mediciones de 8mA . En el intervalo mencionado, la
corriente entregada por el Buck es linealmente dependiente del voltaje de control (véase figura
3.11). En la figura 3.14 se muestra la gráfica de la corriente suministrada al LED en función del
voltaje de control13. La máxima corriente que podrá fluir en el LED en este sistema corresponde al
75% de la máxima corriente nominal soportada por el LED, lo anterior se hace para incrementar la
vida útil del LED y evitar calentamientos excesivos en el sistema.
Figura 3.14. Corriente en el
LED en función del voltaje en
el pin de control del
Buck Puck.
13
El valor absoluto del coeficiente de correlación de estas mediciones fue de 0.99.
61
A la par de las mediciones de corriente descritas arriba, se midió la potencia emitida por el LED,
donde la desviación estándar promedio de todas las mediciones fue 7mW . En la figura 3.15 se
muestra la potencia emitida por el LED en función del voltaje en el pin de control del Buck Puck14.
Figura 3.15. Potencia emitida por el LED en función del voltaje en el pin de control del Buck Puck.
Además de la recombinación radiativa en los LEDs, existe la recombinación no radiativa, en la cual
la energía que pierde un electrón que está en la banda de conducción al recombinarse con un
hueco es transformada en calor. El efecto neto de la recombinación no radiativa es un incremento
de la temperatura del LED. El incremento en la temperatura es indeseado en los LEDs por tres
razones. La primera es que un incremento excesivo de la temperatura en el LED puede dañar a
dicho LED. La segunda razón es que según la relación de Varshni, la banda prohibida de los
semiconductores depende fuertemente de la temperatura, por lo que al incrementar la
temperatura en el LED, la banda prohibida de este será reducida, lo anterior es indeseado, ya que
los fotones emitidos por un LED tienen una energía (relacionada con la  )  a la de la banda
prohibida del semiconductor. La tercera razón es que la recombinación radiativa decrecerá,
provocando que menos fotones sean emitidos, lo que resultará en una potencia emitida menor.
Tomando en cuenta lo anterior, se adaptó al LED un disipador de aluminio descrito en [2],
logrando corrimientos en la longitud de onda del pico máximo de emisión menores a 2 nm y un
decaimiento en la potencia óptica menor al 5.4% . Lo anterior se obtuvo al medir el espectro de
emisión del LED al 27% de su capacidad durante 20 minutos. El montaje del LED se muestra en la
figura 3.16.
14
El valor absoluto del coeficiente de correlación de estas mediciones fue de 0.99.
62
Figura 3.16. LED con el disipador de calor.
3.1.5.2 Comparación de los espectros de la LS-1 y del LED.
En la figura 3.17 se muestran los espectros de la luz re-emitida por el antebrazo izquierdo de un
sujeto con un fototipo IV, irradiado con la luz de la lámpara LS-1 y el LED. Sólo se utilizó una fuente
de luz por medición. Ambas mediciones se realizaron en la misma habitación con un intervalo
entre estas de menos de un minuto, esto con el fin de tener las mismas condiciones ambientales
para las dos mediciones. En ambas se utilizó un tiempo de integración de 500ms.
Se aprecia que el espectro re-emitido por el tejido cuando se irradia con fotones emitidos por el
LED con únicamente el 27% de su capacidad (la cual es regulable), es superior al espectro reemitido por el tejido cuando se irradia con la lámpara LS-1 al máximo de su capacidad, también se
aprecia que la lámpara LS-1 tiene un ancho espectral de casi el doble que el del LED.
El espectro del LED puede ser utilizado para estimar la concentración de hemoglobina y melanina,
ya que el primero de estos cromóforos tiene bandas de absorción bien definidas en el visible
(419nm, 543nm y 577nm), el segundo cromóforo absorbe fuertemente en el intervalo de 400700nm. Para la melanina, la absorción decrece en las longitudes de onda largas. También con el
LED es posible estudiar tejido biológico a longitudes de onda comprendidas entre 600nm y 750nm,
donde el tejido biológico presenta una baja absorción, permitiéndole a los fotones propagarse a
mayor profundidad.
63
Figura 3.17. Espectros re-emitidos por el antebrazo izquierdo de un sujeto con fototipo IV
3.2 Sistema II. Captura de Luz en función de la Distancia.
El segundo sistema fue diseñado para estudiar tejido biológico utilizando la reflectancia difusa
local resuelta espacialmente, donde se toma en cuenta el hecho de que la luz re-emitida por el
tejido biológico proveniente de una fuente de luz tipo lápiz (como la luz que emana de una fibra
óptica de 300 μm de diámetro) tiene una dependencia radial, como se expresa en la ecuación 2.57.
Para esto se diseñó y construyó una sonda capaz de transportar los fotones desde una fuente de
luz hacia el tejido, que a la vez capture y envíe a un espectrómetro los fotones re-emitidos en
diferentes puntos del tejido en cuestión. Dichos puntos están a diferentes distancias r de la fibra
óptica de emisión, es decir, de la fuente de luz tipo lápiz. Además, en este sistema se toma en
cuenta la presión ejercida por la punta de exploración de la sonda sobre el tejido biológico, ya que
esta magnitud física puede modificar las propiedades ópticas de este último [6], provocando que
los espectros de la luz re-emitida cambien en función de la presión ejercida sobre el tejido. Por lo
anterior este sistema tiene la capacidad de captura de manera automática la luz re-emitida por el
tejido a una presión determinada.
Una ilustración de este sistema se muestra en la figura 3.18. La fuente de luz de este sistema es la
misma que se utilizó para la variante del primer sistema y que fue descrita en la sección 3.1.5.1.
64
Figura 3.18. Ilustración del sistema II.
3.2.1 Sonda.
Para estudiar el comportamiento exponencial de la luz re-emitida por el tejido biológico en
diferentes puntos de este último, se diseñaron dos sondas, cuyas puntas de exploración se
muestran en la figura 3.19. Una aplicación de estas puntas puede ser la obtención del coeficiente
efectivo de atenuación eff del tejido biológico estudiado.
A
B
Figura 3.19. Puntas de exploración diseñadas para la
obtención de la luz re-emitida en
función de la distancia r.
65
La punta A de la figura 3.19 fue diseñada para estudiar la interacción de la luz con tejido biológico
cuya estructura sea homogénea, y fue pensada para capturar los fotones que pudieran recorrer
distancias de 1cm. La punta B de la figura 3.19 se diseñó para tejidos biológicos irregulares,
donde los fotones capturados recorren un radio máximo de 4mm. En ambas puntas los fotones
son lanzados hacia el tejido por medio de una fibra óptica de 370um15 de diámetro, mientras que
los fotones son capturados por fibras ópticas con un diámetro de 127um*. Las puntas tienen un
diámetro de 1cm.
Las fibras ópticas de captura que están a la misma distancia r de la fibra óptica de emisión, fueron
llevadas a un conector SMA 905. A cada conector SMA se le hizo una ranura de 1mm × 127μm ,
con la finalidad de que las fibras ópticas de captura queden alineadas con el slit del espectrómetro
y así optimizar el transporte de fotones hacia el fotodetector.
Las puntas fueron pegadas con epóxico (EPO-TEK 301-2) en el extremo de un tubo de acero
inoxidable de 15 cm, cuyo diámetro interior es de 1 cm. El pegamento epóxico tiene una
transmisión del 99% para el visible. Tanto el tubo de la sonda como el pegamento epóxico
utilizado son de grado médico. En la figura 3.20 se muestran dos fotografías de la sonda A de la
figura 3.19.
Figura 3.20. Fotografías de la sonda A.
15
Se toma en cuenta el recubrimiento de la fibra.
66
3.2.1.1 Presión ejercida por la punta sobre el Tejido Biológico.
Durante las mediciones de reflectancia difusa realizadas, se hizo evidente que la presión ejercida
por el operador a través de la punta de exploración sobre el tejido, modificaba los resultados de
las mediciones. Un ejemplo claro de esto son los espectros mostrados en la figura 3.21, donde se
presenta la reflectancia difusa del antebrazo izquierdo de un sujeto con un fototipo II al que
inicialmente no se le aplicó presión, posteriormente al mismo sujeto en el mismo punto se le
aplicó una presión aleatoria. Nótese como la reflectancia difusa incrementa cuando se ejerce
presión y como las bandas de absorción de la hemoglobina (543 y 577 nm) prácticamente
desaparecen, esto se debe a que el flujo sanguíneo es interrumpido por dicha presión ejercida.
Figura 3. 21. Reflectancia difusa al aplicar y sin aplicar presión. .
Tomando en cuenta lo anterior, se le incorporó a la sonda A de la figura 3.20, un resorte calibrado,
cuyas dimensiones se muestran en la figura 3.22. Vea el apéndice II.
Figura 3. 22. Pieza mecánica incorporada a la sonda A.
67
A este resorte se le pueden acoplar tres piezas fijas en tres posiciones diferentes. La posición de
cada pieza es determinada por el usuario, el cual debe tomar en cuenta el hecho de que el resorte
tiene una constante elástica k  7.4  0.1 N/m . En cada pieza fija se tiene un LED de un color
específico (Rojo, Amarillo y Azul), mientras que en la pieza móvil del resorte, se tiene un
fotodetector (SD1420) el cual tendrá una sensibilidad diferente a la luz de los LEDs de las piezas
fijas, por lo anterior se podrá saber qué tanta presión se está ejerciendo sobre el tejido biológico.
Para poder medir la cantidad de luz que incide sobre el fotodetector, se diseñó un amplificador de
transimpedancia utilizando el OPA177GP, el cual tiene una corriente de polarización de 2.7pA .
El circuito utilizado para este propósito se muestra en la figura 3.23. El voltaje Vf de la figura 3.23
fue filtrado utilizando un filtro pasa bajas, donde este último fue construido con elementos
pasivos, cuya frecuencia de corte es igual a 15Hz, esto para evitar que la luz de las lámparas de
60Hz interfiriera con las mediciones. El voltaje negativo que requiere el amplificador para operar,
se obtuvo utilizando un convertidor de voltaje positivo a negativo (LMC7660IN).
Figura 3.23. Fotodiodo y Amplificador de transimpedancia16.
La interfaz de la figura 3.8 y el sistema descrito en el diagrama a bloques de la figura 3.13 fueron
modificados, con la finalidad de regular la emitancia del LED y monitorear la presión ejercida por el
usuario en una sola interfaz, utilizando sólo un puerto USB y solamente un uC. En la figura 3.24 se
muestra el diagrama de bloques de la fuente de luz del segundo sistema, la cual es la misma que
fue descrita en la sección 3.1.5.1 modificada a manera de tener embebido el subsistema capaz de
medir la presión ejercida por el usuario en el tejido. El subsistema del fotodiodo es polarizado con
el voltaje del USB. Para obtener la presión ejercida por el usuario, el voltaje Vf de la figura 3.23 es
digitalizado por el ADC (convertidor analógico digital) del uC, el cual fue configurado para tener
una resolución de 12 bits.
16
El diagrama electrónico completo del sistema II se ilustra en el apéndice I. Una explicación más detallada
de este circuito en el apéndice III .
68
Subsistema
del
Fotodiodo
Computadora
USB
uC
PIC18F4550
Voltajes de (0-5V)
PORTB
Optoacoplador
PORTB
DAC
Vcontrol
LED-
Vf
LED+
LED 3W
Buck Puck
Voltajes de (0-12V)
Figura 3. 24. Diagrama a bloques de la fuente de luz del segundo sistema, la cual tiene embebida al
sistema que mide la presión ejercida en el tejido.
La interfaz del sistema II se muestra en la figura 3.25. Con esta interfaz es posible monitorear los
espectros enviados por el espectrómetro, regular la emitancia del LED y medir la presión ejercida
por el usuario, así mismo, esta interfaz fue programada para capturar de manera automática el
espectro de luz re-emitido cuando en el fotodiodo incidan fotones de una longitud de onda
determinada, que por la mecánica del resorte, corresponderá a una presión ejercida por el usuario
en el tejido biológico.
69
Figura 3.25. Interfaz Final del Sistema.
70
3.2.2 Espectrómetro.
El espectrómetro del primer sistema ya no pudo ser utilizado en el segundo sistema, ya que dicho
espectrómetro sólo es útil para capturar la luz re-emitida en la primer distancia radial de la punta
de la sonda A, que es de aproximadamente 1.6mm . Incrementando el tiempo de integración,
prácticamente lo único que se hacía era incrementar los electrones obscuros. Para este sistema se
necesitó un espectrómetro con una alta sensibilidad, es decir, que el dispositivo fotosensible
tuviera una alta eficiencia cuántica (relación entre el número de fotoelectrones y fotones
incidentes).
El espectrómetro de este sistema es el QE65000 de la empresa Ocean Optics. Cuyas principales
características se mencionan a continuación:

Dispositivo Fotosensible: CCD Hamamatsu S7031-1006 con 1044 x64 pixeles.

ADC (Convertidor analógico digital) de 16 bits.

Intervalo de medición: 200 – 1200 nm

Tiempo de Integración: 8 ms-10 m.

Resolución de 0.38 nm.

Bajo consumo de potencia: 250 mA @5 V DC

Interfaces: USB 2.0 High Speed (480 Mbps), RS-232(115Kbaud), SPI e I2C.

Rendija de entrada 1mm.

Cuenta con un TEC (Termo Electric Cooler) para mantener baja la corriente obscura.
La gráfica de la eficiencia cuántica de este dispositivo se muestra en la figura 3.26 [12].
Figura 3. 26. Gráfica de la eficiencia cuántica
del fotodetector con 1044x64 pixeles.
.
71
El principio de operación de este espectrómetro es similar al descrito en la sección 3.1.3.1, salvo
que este dispositivo tiene un TEC17, el cual mantendrá lo más bajo posible el ruido generado por la
ionización térmica. Una fotografía del segundo sistema se muestra en la figura 3.27.
Figura 3. 27. Segundo Sistema Desarrollado
17
El TEC es un dispositivo de estado sólido que transfiere el calor de uno de sus dos lados hacia el
otro.
72
3.3 Referencias.
[1].- D. Fabila B.(2010). Desarrollo de un espectrofluorómetro portátil para mediciones in-situ de
tejido biológico. (Tesis de Maestría). SEPI Electrónica. IPN.
[2].- L. Quintanar H.(2011). Desarrollo de un sistema de irradiación para Terapia Fotodinámica.
(Tesis de Maestría). SEPI Electrónica. IPN.
[3].- “Temperature and compositional dependence of the energy band gap of AlGaN alloys”,
Applied Physics Letters.
[4].- “Temperature dependence of semiconductor band gaps”, Appl. Phys. Lett.
[5].- Universal
Serial
Bus
Specification
http://www.usb.org/developers/docs/
Revision
2.0,
disponible
en:
[6].- “Effects of Compression on Soft Tissue”, IEEE Journal Of Selected Topics in Quantum
Electronics.
[7].- Jan Axelson, USB Complete, E.U.A, Lakeview Research, 2da. Edición.
[8].- “Procedures for Wavelength Calibration and Spectral Response Correction of CCD Array
Spectrometers”, Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology.
[9].- “Imaging Spectrometer Fundamentals for Researchers in the Biosciences––A Tutorial”,
International Society for Analytical Cytology
[10].- R.S. Aikens, Solid-State Imagers for Microscopy, E.U.A., Academic Press.
[11].-USB4000, disponible en:
http://www.oceanoptics.com/technical/USB4000operatinginstructions.pdf
[12].- QE65000, disponible en:
http://www.oceanoptics.com/technical/engineering/OEM%20Data%20Sheet%20-%20QE65000.pdf
[13].- LS-1, disponible en: http://www.oceanoptics.com/products/ls1.asp
73
Capítulo IV. Resultados, Conclusiones y
Trabajo a Futuro.
En este capítulo se presentan los resultados obtenidos con los sistemas desarrollados, las
conclusiones obtenidas con dichos resultados y se hacen algunas recomendaciones para continuar
con este trabajo.
4.1 Reflectancia Difusa Local.
Con el sistema I, se obtuvo la reflectancia difusa local del antebrazo izquierdo de cuatro sujetos
con fototipo diferente. En la tabla 4.1 se muestra la clasificación de los diferentes fototipos, siendo
la concentración de melanina mayor conforme aumenta el número del fototipo.
Fototipo Cutáneo
I
II
III
IV
V
VI
Color de Piel
Blanca pálida.
Blanca rojiza.
Blanca obscura.
Ligeramente café.
Café.
Negra
Tabla 4.1. Clasificación de Fitzpatrick de los Fototipos de piel y su pigmentación
(concentración de melanina) [6].
Los resultados de estas mediciones se muestran en la figura 4.1. En esta se observa cómo la
reflectancia difusa aumenta mientras la concentración de melanina decrece. También se ven
claramente, a excepción del fototipo VI, las bandas de absorción de la hemoglobina, las cuales se
localizan en 543nm y 577nm. Estas mediciones son similares a las reportadas en la literatura [1].
Figura 4.1. Reflectancia Difusa en función de la longitud de
onda de cuatro sujetos con diferentes fototipos.
74
4.2 Reflectancia Difusa Local resuelta espacialmente.
4.2.1. Reflectancia Difusa Local resuelta espacialmente en tejido cutáneo
sano.
Utilizando el sistema II se capturó la luz re-emitida en el antebrazo izquierdo de tres personas con
fototipos diferentes (II, III y VI) para calcular la reflectancia difusa del antebrazo de cada sujeto. En
las mediciones de la reflectancia difusa de cada persona, se posicionó la fibra de emisión en un
punto, capturando así la luz re-emitida por el tejido en las diferentes distancias radiales de la
sonda A. La referencia de las mediciones se obtuvo al hacer incidir la luz de la fuente sobre una
pieza circular de teflón (previamente calibrada con el Spectralon), posteriormente se capturó el
espectro reflejado en la primera posición radial de la sonda A (1.7mm), dicho espectro fue
utilizado como referencia para estas mediciones. El resultado de estas mediciones se muestra en
la figura 4.2.
Figura 4.2a. Reflectancia Difusa del antebrazo Izquierdo de tres sujetos con fototipos diferentes a
diferentes distancias de la fibra de emisión.
75
Como en la figura 4.1, la reflectancia difusa del antebrazo de los sujetos incrementa mientras la
concentración de melanina decrece. También se pueden apreciar claramente las bandas de
absorción de la hemoglobina para los tres sujetos en la primera distancia radial. En los fototipos II
y III, las bandas de absorción antes mencionadas son evidentes incluso en la tercera distancia
radial.
De las mediciones anteriores, se puede concluir que con la sonda A del sistema II se tiene la
capacidad de identificar algunos cromóforos, como en este caso la melanina y la hemoglobina.
También se tiene la capacidad de realizar mediciones de reflectancia difusa a distancias mayores,
incrementando la posibilidad de identificar alguna afección (en el caso de que esta existiera) en
zonas más amplias del tejido biológico.
4.2.2. Reflectancia Difusa Local resuelta espacialmente en tejido cutáneo
lesionado.
Se realizaron mediciones de reflectancia difusa en diversos puntos del pecho de una persona con
fototipo IV lesionado por queratosis seborreica, dichas lesiones se muestran en la figura 4.2b.
Figura 4.3b. Lesiones en pecho debidas a queratosis seborreica.
Los espectros de reflectancia difusa del tejido sano y del tejido lesionado se muestran en la figura
4.2c. Nótese cómo el espectro de reflectancia difusa de la zona afectada por queratosis es
prácticamente nulo comparado con el espectro de reflectancia de la zona sana del mismo
paciente.
A)
B)
Figura 4.2c. Reflectancia Difusa de (A) una zona sana y (B) una zona
afectada con queratosis seborreica del pecho de un paciente con fototipo
IV.
76
4.3 Luz Re-emitida en Función de la Distancia.
Al estudiar la dependencia radial de la luz retro esparcida por un medio turbio como el tejido
biológico (ecuación 2.57), el coeficiente efectivo de atenuación eff puede ser estimado.
Teniendo en cuenta lo anterior, se capturó la luz re-emitida por el antebrazo izquierdo de tres
sujetos con fototipos diferentes (II, III y VI) utilizando el sistema II y la sonda A de este último (vea
sección 3.2). En la figura 4.3 se muestra la luz re-emitida por el antebrazo izquierdo de un sujeto
con un fototipo III en función de la longitud de onda a diferentes distancias.
Figura 4.4. Luz re-emitida por el antebrazo izquierdo de un sujeto con un fototipo III en función
de la longitud de onda a diferentes distancias.
Como las propiedades ópticas del tejido ( s , a ,g, n y eff ) dependen de la longitud de onda, se
hizo un estudio de la dependencia radial de la luz re-emitida a 633nm18 del antebrazo izquierdo de
un fototipo III en función de la distancia r, esto se muestra en la figura 4.4.
18
Se escogió esta longitud de onda porque está dentro de la ventana terapéutica, además los valores de
a y s del brazo de un ser humano vivo a esta longitud de onda han sido reportados [2].
77
Figura 4.5. Luz re-emitida por el antebrazo izquierdo de un sujeto
con un fototipo III en función de la distancia r a 633nm.
4.3.1 Resultados obtenidos con la Aproximación de Difusión.
La gráfica de la figura 4.4 tiene un decaimiento exponencial, que según la aproximación de
difusión, el coeficiente efectivo de atenuación eff es la pendiente de la recta obtenida al
linealizar la ecuación 2.57, por lo que para obtener dicho coeficiente se despeja a este de la
ecuación 2.57:
eff  

ln[r 2 R(r )]
r
(4.1)
Para estimar el coeficiente efectivo de atenuación eff del antebrazo izquierdo del sujeto con un
fototipo III, se calculó la pendiente de la recta obtenida al hacer un ajuste por mínimos cuadrados
del logaritmo natural de los valores de R de la figura 4.4 multiplicados por r 2 . Se puede decir que
2
los valores del ln[r R(r )] están linealmente relacionados con r , ya que el valor absoluto del
2
coeficiente de correlación de la variable independiente r y la variable dependiente ln[r R(r )] es
igual a 0.94 para el caso del sujeto con el fototipo III, véase figura 4.5.
78
Figura 4.6. Gráfica del logaritmo natural de los valores experimentales de R multiplicados por
y la recta de ajuste obtenida con mínimos cuadrados.
r2
4.3.2 Resultados obtenidos con el método de Monte Carlo.
Para contrastar los resultados obtenidos experimentalmente, se utilizó el método de Monte Carlo
para simular la propagación de fotones en un tejido biológico con un a  0.17[cm1 ] y un
s  9.08[cm1 ] (vea ecuación 2.52), lanzando los fotones por medio de una fuente puntual e
isotrópica, para la cual, el ritmo de fluencia que se tendrá en un punto arbitrario dentro del tejido
está expresado con la ecuación 2.49. La gráfica de los resultados obtenidos con la simulación se
muestran en la figura 4.6.
Figura 4.7. Gráfica del ritmo de fluencia en función de la
profundidad.
79
Puesto que la pendiente de la recta que resulta de linealizar la ecuación 2.49 es eff , se obtuvo
este último al calcular la pendiente de la recta del  ln[(0, z ) z] en función de la profundidad z,
de los datos obtenidos con la simulación, véase figura 4.7. El coeficiente efectivo de atenuación
1
obtenido fue: eff  2.14[cm ] .
Figura 4.8. Gráfica del
en función de la profundidad.
En la figura 4.8 se muestra una gráfica del ritmo de fluencia normalizado que se puede esperar en
el brazo de un humano vivo utilizando los valores del eff reportado, los eff obtenidos
experimentalmente y el eff que fue obtenido utilizando la simulación.
Figura 4.9. Gráfica del ritmo de fluencia normalizado en función de la profundidad.
80
Los resultados obtenidos experimentalmente para los valores del eff para los sujetos con los
fototipos II, III, VI, el valor de eff reportado en la literatura y el eff obtenido con la simulación se
muestran en la tabla 4.2.
Fototipo
eff [ cm1 ]
 eff [ cm1 ]
eff Reportado
eff Monte Carlo
II
III
VI
1.14
1.83
2.21
0.05
0.02
0.05
-2.16
--
-2.14
--
Tabla 4. 2. Resultados obtenidos experimentalmente del eff para tres diferentes fototipos (II, III
y VI), valor de eff reportado [1,2] y el valor de eff obtenido utilizando el método de Monte
Carlo.
Los resultados preliminares de la tabla 4.2, pueden ser utilizados para relacionar el coeficiente
efectivo de atenuación eff del brazo de una persona, con el fototipo de esta misma; también se
aprecia que el resultado obtenido experimentalmente para el fototipo III tiene una diferencia del
15% respecto al valor reportado para este mismo fototipo.
4.4 Simulación de la propagación de fotones en el Tejido
utilizando el método de Monte Carlo.
Para tener noción de cómo es la absorción de los fotones en el brazo de un ser humano vivo, cuyas
propiedades ópticas ya fueron mencionadas, se graficó el log10 de la malla A[ir,iz] (sección
2.5.3.4). Dicha gráfica se muestra en la figura 4.9a. Así mismo, para tener idea de cómo es la
propagación de los fotones retro esparcidos y que son capturados por las fibras de captura de la
sonda A, se graficó (figura 4.9b) la trayectoria de 10 fotones lanzados desde una “fibra óptica”.
Dichos fotones interactuaron con un medio cuyas propiedades ópticas son similares a las del brazo
humano. Estos fotones fueron re-emitidos hacia una “fibra óptica” de captura, donde la distancia
entre la fibra de captura y la fibra de emisión es de 0.33 cm. Las propiedades de las “fibra ópticas”
de la simulación, tienen características similares a las de sus homólogas de la sonda A.
Figura 4.10. Resultado de la Simulación utilizando el Método de Monte Carlo. Absorción y
Esparcimiento de los Fotones en el tejido.
81
4.5 Reflectancia Difusa en función de la presión ejercida por la
Sonda sobre el Tejido.
Para investigar como la presión ejercida por el usuario sobre el tejido biológico a través de la
sonda afecta las mediciones de la reflectancia difusa, se midió la luz re-emitida por el antebrazo
izquierdo de dos sujetos con fototipos II y III respectivamente, variando la fuerza aplicada a la
sonda (una vez que la punta de esta hiciera contacto con la superficie del tejido) para poder
calcular la reflectancia difusa en función de la presión ejercida por la sonda sobre el antebrazo de
dichos sujetos. Para realizar estas mediciones se hizo uso del sistema II, utilizando la primera
posición radial de la punta de exploración A para capturar la luz re-emitida. Dicha punta de
exploración tiene una superficie de 8 103 m2 . Los resultados de estas mediciones se muestran
en las gráficas de la figura 4.9.
Figura 4. 11. Reflectancia Difusa obtenida al variar la presión ejercida por la punta de la sonda
sobre el antebrazo izquierdo de dos sujetos con fototipos II y III respectivamente. A) Fototipo II,
B) Fototipo III.
En las gráficas de la figura 4.9, es evidente que en el intervalo comprendido entre 500-600nm, la
reflectancia difusa incrementa por el hecho de que la concentración de hemoglobina oxigenada
(que tiene bandas de absorción en 543 y 577nm) es reducida, pues la presión ejercida sobre el
tejido interrumpe el flujo sanguíneo, medio por el cual se propaga la hemoglobina oxigenada. En el
intervalo espectral contenido entre 600-750nm de las gráficas de la figura 4, se observa cómo la
reflectancia difusa decrece mientras la presión ejercida incrementa. Este fenómeno puede ser
debido a que las distancias promedio ( 1 a ( ) ) que los fotones pudieran recorrer antes de ser
absorbidos son reducidas por efectos de la presión y/o porque la presión ejercida por la sonda
sobre el antebrazo izquierdo desplaza algunos cromóforos (como p.ej. el agua) empatando los
índices de refracción de las moléculas presentes en el volumen del tejido por el cual los fotones se
están propagando, incrementando la transmitancia de estos. En el intervalo comprendido entre
82
400-500nm, la reflectancia difusa incrementa mientras la presión ejercida también lo hace. No se
ha reportado si lo anterior se debe a una reducción de la absorción o a un incremento en el
coeficiente de esparcimiento reducido  s ´ . En la literatura no se ha reportado qué propiedades
ópticas son alteradas en función de la presión ejercida en los intervalos comprendidos entre 400500nm y 600-750nm, provocando a su vez un cambio en la reflectancia difusa de dichos intervalos
[3-5].
83
4.6 Conclusiones.
1. Se construyeron dos sistemas, de grado médico, con los cuales se tiene la capacidad de
estudiar tejido biológico in-vivo, in-situ e in-vitro.
2. Con los sistemas desarrollados se tiene la posibilidad de identificar cromóforos como p.ej. la
melanina y la hemoglobina oxigenada.
3. Se desarrolló una metodología cuyos resultados pudieran ser útiles para determinar el
fototipo de las personas.
4.7 Trabajo a Futuro.
1. Para mejorar el uso del sistema II en la investigación de piel con algún padecimiento, se
recomienda evitar que la potencia emitida por el LED del segundo sistema cambie en
función de la temperatura, por lo que implementar un control de temperatura es
recomendable (vea sección 3.1.5.1).
2. Construir la sonda B del segundo sistema.
3. Investigar los efectos de la presión ejercida sobre el tejido biológico.
4. Desarrollar tejidos sintéticos líquidos y sólidos para calibrar el sistema.
5. Investigar la reflectancia difusa total de diversos medios y estimar los coeficientes de
absorción  a y de esparcimiento  s .
6. Iniciar el estudio de la reflectancia difusa resuelta en espacio y tiempo.
7. Anexar a los sistemas propuestos, un subsistema con el cual se puedan realizar mediciones
de la fluorescencia, ya que se ha encontrado que la combinación de mediciones de
reflectancia difusa y de fluorescencia, incrementa la exactitud del diagnóstico [1].
8. Investigar la reflectancia difusa en tejidos biológicos más homogéneos que la piel como
p.ej. el hígado o cerebro.
84
4.8 Referencias.
[1].-Tuan Vo-Dinh , et. Al, Biomedical photonics handbook, E.U.A., CRC PRESS
[2].-“The determination of in vivo human tissue optical properties and absolute chromophore
concentrations using spatially resolved steady-state diffuse reflectance spectroscopy”. IOP
Publishing Ltd.
[3].- “Effects of Compression on Soft Tissue”, IEEE Journal Of Selected Topics in Quantum
Electronics.
[4].-“Probe pressure effects on human skin diffuse reflectance and fluorescence spectroscopy
measurements”, Journal of Biomedical Optics.
[5].-“Influence of Probe Pressure on Human Skin Diffuse Reflectance Spectroscopy
Measurements”, Optical Memory and Neural Networks (Information Optics), 2009.
[6].-“The effects of repeated spectroscopic pressure measurements on fluorescence intensity
in the cervix”, American Journal of Obstetrics and Gynecology.
[7].- Fitzpatrick skin typing: Applications in dermatology, disponible en:
http://www.bioline.org.br/pdf?dv09029
85
Apéndice I. Esquemático del Sistema II.
86
Figura A1.1. Diagrama Electrónico del Sistema II.
Apéndice II. Descripción de la
Caracterización del Resorte de la sonda
del Sistema II.
El proceso de calibración del resorte utilizado en el sistema II para realizar las mediciones de la
reflectancia difusa y de la luz re-emitida en el tejido biológico a presiones ( N / m2 ) conocidas, se
basó en la aplicación de la ley de Hooke. Esta ley establece que la fuerza necesaria para estirar o
comprimir un resorte será directamente proporcional a la deformación19 de dicho resorte. La ley
de Hooke es expresada matemáticamente con:
F  kx [N]
(A.1)
donde k [ N / m] es la constante de elasticidad y x es la distancia que el resorte será deformado,
por lo que un resorte cuya constante de elasticidad sea conocida puede ser utilizado para medir la
fuerza aplicada a dicho resorte y por ende la presión ejercida por la sonda del sistema II sobre el
tejido biológico.
La constante de elasticidad k del resorte utilizado se determinó al calcular la pendiente de la recta
obtenida a partir de un ajuste por mínimos cuadrados de los datos experimentales, es decir, la
fuerza aplicada al resorte en dependencia de la elongación del mismo. Los valores experimentales
utilizados para obtener la constante de elasticidad se muestran en la tabla 1, mientras que la curva
de ajuste y los resultados experimentales se muestran en la figura 1.
Fuerza
aplicada al
resorte [N].
Elongación [m]
0.02m.
2.75
0.37
2.23
0.30
2.00
0.28
1.84
0.25
1.40
0.17
Tabla AII.1. Valores experimentales
para determinar la constante de
elasticidad.
Figura AII.1. Resultados experimentales y curva de ajuste.
19
La deformación de un resorte es la distancia que dicho resorte será estirado o comprimido, de manera temporal y dentro del límite
elástico, a partir de un punto de referencia en el equilibrio o en ausencia de fuerzas ejercidas sobre el resorte.
87
Apéndice III. Amplificador de
Transimpedancia y Fotodiodo.
El circuito mostrado en la figura AIII.1 es bastante simple, sin embargo vale la pena explicar
algunas consideraciones que se tomaron antes de implementar dicho circuito.
Figura AIII.1. Amplificador de Transimpedancia y Fotodiodo utilizado en el sistema II.
En la figura AIII.2 se muestra el circuito equivalente de un fotodiodo20 [1].
Figura AIII.2. Circuito Equivalente del Fotodiodo.
20
Para facilitar el análisis se asume que la impedancia de la fuente de corriente es infinita, se omite el diodo
en paralelo a dicha fuente y la resistencia en serie reportado en [1-4]. Se asume que la corriente fluye en
dirección del flujo de huecos [5-6].
88
La capacitancia parásita del fotodiodo aparece por la propia física de dicho dispositivo. Recuérdese
que un diodo, y por ende un fotodiodo, está fabricado en base a un par de materiales
semiconductores muy puros o materiales intrínsecos, que fueron sometidos a un proceso de
dopado. Esto con la finalidad de producir portadores mayoritarios de carga formando así al
material P y al material N, cuyos portadores mayoritarios son los huecos y los electrones
respectivamente. Para crear los diodos se unen dos materiales semiconductores dopados P y N.
Cuando se hace la unión entre dichos materiales dopados, los portadores minoritarios21 que son
formados por la presencia de alguna impureza remanente o algún tipo de ionización, ya sea
térmica o lumínica, se recombinarán en la juntura hasta que exista un equilibrio el cual se logra
cuando surge un campo eléctrico E que evite la recombinación en la juntura, produciendo una
región donde no habrá portadores de carga, por lo tanto en la juntura del diodo se tiene un campo
eléctrico formado por los portadores minoritarios del material P y el material N. Por esto es que
surge la capacitancia parásita en los diodos, pues un capacitor (el cual se asume como un capacitor
de placas paralelas) es un dispositivo que almacena energía en forma de campo eléctrico, el cual
es formado por las cargas eléctricas positivas y negativas que se almacenan en sus placas. La
capacitancia en los fotodiodos es considerable22, ya que aunque el área de las “placas” del
capacitor del fotodiodo es pequeña, la distancia entre estas lo es aún más.
En la literatura se han reportado circuitos sumamente simples para la medición de fotones
incidiendo sobre un fotodiodo, véase figura 2. Sin embargo dichos circuitos tienen la desventaja de
que su respuesta es lenta, pues se han reportado casos en el que se tardan hasta 2 segundos en
alcanzar el 95% del valor final de voltaje producido por la radiación incidente en el fotodiodo. Esto
debido a la constante de tiempo del circuito RC formado por la capacitancia parásita del fotodiodo
y las resistencias del orden de los Gohms utilizadas en estos circuitos.
Figura AIII.3. Circuitos comúnmente utilizados para aplicaciones con fotodiodos.
21
Son llamados minoritarios (los huecos en el material N y electrones en el material P), porque el número de
portadores mayoritarios resultado del dopaje (huecos en el material P y electrones en el material N), es
mucho mayor que el número de portadores minoritarios producto de la ionización o de impurezas no
eliminadas.
22
Se han reportado capacitancias del orden de centenas de pF [1].
89
La solución a este problema fue utilizar el circuito de la figura AIII.1. Como la señal de entrada del
amplificador de la figura AIII.1 es corriente y la señal de salida es voltaje, dicho amplificador es un
amplificador de transimpedancia23. Al existir una conexión virtual entre las terminales 2 y 3 debida
a la ganancia infinita del amplificador operacional al haber una retroalimentación, la carga q en
dicho capacitor se mantendrá constante, ya que el voltaje V en dicho capacitor se mantendrá al
valor del voltaje de la terminal 3 ( en un capacitor la carga está dada por: q  CV ), reduciéndose
así el efecto producido por la capacitancia parásita del fotodiodo así como el tiempo de respuesta,
incrementando el ancho de banda del dispositivo.
Puesto que el amplificador operacional tiene una impedancia de entrada infinita, en el caso ideal,
la corriente producida por la ionización luminosa en el fotodiodo no tendrá otro camino que seguir
sino hacia la resistencia R6, por lo que el voltaje de salida del amplificador dependerá únicamente
de la fotocorriente y de la resistencia R6.
Referencias AIII.
[1].- “A Highly Sensitive 2.5 Gb/s Transimpedance Amplifier in CMOS Technology”. IEEE
International Symposium on Circuits and Systems.
[2].- Photodetection and Measurement, disponible en www.digitalengineeringlibrary.com
[3].-Jacob Fraden, Handbook of Modern Sensors Physics, Designs, and Applications, E.U.A.
Springer.
[4].-Designing
photodiode
amplifier
circuits
http://www.ti.com/lit/an/sboa061/sboa061.pdf
with
opa128,
disponible
en:
[5].- Boylestad Nashelsky, Electrónica: Teoría de circuitos y dispositivos electrónicos. E.U.A
Prentice Hall.
[6].-Adel S. Sedra, Microelectronic Circuits, E.U.A OXFORD UNIVERSITY PRESS.
23
Para una descripción más detallada véase [6]
90