modelos MODI y de TRASBORDO

METODO DE MULTIPLICADORES (MODI).
Este método reproduce exactamente las mismas iteraciones del método de
banquillo. La principal diferencia ocurre en la forma en que las variables no
básicas se evalúan en cada iteración. Asociados a cada renglón i de la tabla
existen multiplicadores Ui similarmente se asocia un multiplicador Vj a cada
columna de la tabla j. Para cada variable básica Xij de la solución actual, se
escribe la ecuación Ui +Vj = Cij. Esas ecuaciones proporcionan m+n-1 relaciones
con m+n incógnitas.
Los valores de los multiplicadores pueden ser determinados a partir de las
ecuaciones suponiendo un valor arbitrario para cualquiera de los multiplicadores
(usualmente se establece U1=0) y resolviendo el sistema de ecuaciones para
encontrar los multiplicadores desconocidos. Una vez que se hace esto, la
evaluación de cada variable no básica X pq está dada como:
El criterio que se utiliza para seleccionar la variable que entra es el mismo que el
método de banquillo (la mayor negativa).
Ejemplo:
Una compañía está considerando una demanda de 5 clientes utilizando artículos
que tienen disponibles en 2 almacenes. Los almacenes cuentan con 800 y 1000
unidades respectivamente. Los clientes necesitan 200, 150, 200, 180 y 500
unidades respectivamente. Los costos de embarque por artículo de los almacenes
de los clientes son:
Resuelva el modelo de transporte empleando.
a) Una solución inicial por el método de aproximación de vogel.
b) La solución óptima por el método de multiplicadores.
DESTINO FICTICIO = 570 ARTÍCULOS
Para encontrar el valor de los multiplicadores
Se acostumbra:
Para encontrar costos:
Encuentre la solución óptima por el método de multiplicadores a partir de la
siguiente tabla inicial.
MODELO DE TRANSBORDO
Se trata de enviar bienes (cantidades) desde un punto i, a únicamente destinos
finales j. El envío no se produce entre orígenes o entre destinos, tampoco entre
destinos a orígenes. El modelo de trasbordo nos demuestra que resulta más
económico (minimizar costos) enviar a través de nodos intermedios o transitorios
antes de llegare al punto de destino final.
Ejemplo:
Se tiene el siguiente esquema de trasbordo, se requiere enviar bienes de los
nodos 1 y 2 al destino 3, a un menor costo. Los valores de Cij que se encuentran
en los arcos o flechas representan los costos de enviar de un origen i a un
destino j.
Efectuamos pruebas de solución:
a. O sea: enviamos 40 bienes del nodo 1 al nodo 3 a un costo de 4; y enviamos
20 bienes del nodo 2 al nodo 3 a un costo de 2, luego el costo total será:
Z = (c13)(x13) + (c23)(x23) = (4)(40) + (2)(20) = 200
b. Envío de 1 a 3 y de 2 a 3;
c. Envío de 1 a 2 y de 2 a 3; usamos nodos intermedios, hacemos un trasbordo
O sea: enviamos 40 bienes del nodo 1 al nodo 2 a un costo de 1; luego enviamos
los 40 bienes que llega al nodo 2 más los 20 bienes del mismo nodo (40 + 20 =
60), al nodo 3 a un costo de 2, luego el costo total será:
Z = (1)(40) + (2)(60) = 160
Obtenemos en la segunda prueba un costo menor de 160 debido a que hemos
usado trasbordo o nodos intermedios. Por lo tanto la ruta óptima será:
(1)(2)(3)
Clases de Nodos
En el ejemplo anterior los puntos 1, 2 y 3 son nodos. Los nodos pueden ser: de
origen puro, destino puro y nodos intermedios.

Nodos origen puro: Solo actúan como origen o envían. En el ejemplo es el nodo
1.

Nodos destino puro: Solo actúan como destino o reciben. En el ejemplo es el
nodo 3.

Nodos intermedios: Actúan como origen y destino a la vez, o reciben y envían.
En el ejemplo es el nodo 2.
Un método de solución es convertir un modelo de trasbordo en un modelo
de transporte regular (y resolverlo como tal). Elaboramos el tablero
dedistribución con los datos del ejemplo anterior:
DESTINO
1
2
1
3
4
1
ORIG
EN
40
0
2
2
20
3
60
Por el nodo intermedio 2 debe pasar una cantidad igual a la suma de orígenes
(oferta) o destinos (demanda); para ello adicionamos una cantidad B (de buffer)
igual a 60. Agregamos B tanto a la filas como a las columnas de los nodos
intermedios.
1.
1. Los nodos de origen puro eliminan su respectiva columna en el tablero
2. Los nodos de destino puro eliminan su respectiva fila en el tablero
∑ Orígenes = ∑ Destinos
(Oferta) (Demanda)
Solución óptima:
Z = 1 x 40 + 0 x 2 0 + 2 x 60
Z = 160
Ejemplo:
Se tiene el siguiente esquema de trasbordo, los nodos 1 y 3 envían (origen) y
los nodos 4 y 5 reciben (destino). Hallar la solución óptima usando el modelo
de trasbordo.
Clases de nodos:
2. Origen puro : Nodo 1
3. Destino puro : Nodo 5
4. Intermedio : Nodos 2, 3 y 4
En el tablero se eliminan: la columna 1 por ser de origen puro; y la fila 5 por ser
destino puro, reduciéndose en una matriz de 4 x 4.
B = 60 (Suma de orígenes o suma de destinos)
Luego agregamos B a los nodos intermedios, de la fila y columna, En el tablero
colocamos los costos de cada origen a cada destino, según se indica en
lared inicial; las x significan que no se asigna ningún costo; quedando el tablero
para ser resuelto como un modelo de transporte:
DESTINO
2
3
3
4
5
5
8
1
40
x
0
4
3
2
B
x
OR
IG
EN
0
2
2
3
20 + B
x
0
4
4
B
x
B
x
B
10 + B
50
Resolviendo el tablero (método de Vogel) queda de la siguiente manera:
DESTINO
2
3
3
4
5
5
8
1
40
10
0
30
4
x
3
2
60
50
OR
IG
EN
10
0
2
x
2
3
80
x
30
50
0
4
4
60
x
60
x
60
60
70
50
La red de distribución del trasbordo o esquema óptimo de trasbordo, se muestra a
continuación:
El costo total del modelo de trasborde es: Z = 310