DR. D. ANTONIO GARCÍA MEGÍA
SERIE APOYOS DIDÁCTICOS - LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS – PLANTILLA DE EJECUCIÓN
PLANTILLA PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS
EJEMPLO PRÁCTICO DE UTILIZACIÓN
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Un tren que marcha a 90 Km/h pasa por la estación “A” en el mismo instante en
que otro tren, que va a 70 Km/h, pasa por la estación “B”. Ambos circulan en el
mismo sentido. ¿Cuánto tiempo tardaron en encontrarse si “B” dista de “A” 80
km? ¿A qué distancia de “B” lo harán?
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Estudio del enunciado
Redacción personal simplificada
Dos trenes parten a la vez de dos ciudades distintas. Circulan en la misma dirección, pero con
diferente velocidad, por lo que el más rápido terminará dando alcance al más lento.
Petición última del problema
Pregunta 1:
¿Cuánto tarda el más rápido en alcanzar al más lento? (T)
Pregunta 2:
¿A qué distancia del punto de salida del más lento se producirá el encuentro? (D)
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Análisis
Datos
DIRECTOS: Aportados en el enunciado
Velocidad tren RÁPIDO (Sale de A) = 90 Km/h
Velocidad tren LENTO (Sale de B) = 70 Km/h
Distancia entre las ciudades A y B = 80 Km/h
Los dos trenes circulan en la misma dirección
Los dos trenes circulan durante el mismo tiempo (T)
INDIRECTOS: Necesarios para aportar la solución (submetas e incógnitas intermedias)
Espacio recorrido por el tren RÁPIDO (Espacio 1), en el tiempo T. Es igual al que recorre
el tren LENTO más la distancia que separa “A” y “B” (80 km).
Espacio recorrido por el tren LENTO (Espacio 2), en el tiempo T.
Tiempo hasta el alcance (T)
Distancia (D) de “B” a la que se produce el alcance.
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Plan de actuación
Planificación – Secuencias – Procedimientos
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Repaso de fórmulas relacionadas con el movimiento:
Espacio = Velocidad x Tiempo
Tiempo = Espacio / Velocidad
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Planteamiento: Cálculo del tiempo empleado por el tren RÁPIDO
Tiempo = Espacio 1/Velocidad tren RÁPIDO
𝑬𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝟏
𝑻=
𝟗𝟎 𝒌𝒎/𝒉
Planteamiento: Cálculo del tiempo empleado por el tren LENTO
Tiempo = Espacio 2/Velocidad tren LENTO
𝑬𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝟐
𝑻=
𝟕𝟎 𝒌𝒎/𝒉
Planteamiento: Cálculo del Espacio 1
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4
𝑬𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝟏 = 𝑬𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝟐 + 𝟖𝟎 𝒌𝒎
5
Planteamiento: Sustitución en 2 teniendo en cuenta 4
𝑻=
6
7
8
(𝑬𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝟐 + 𝟖𝟎 𝒌𝒎)
𝟗𝟎 𝒌𝒎/𝒉
Planteamiento final de la ecuación:
El tiempo transcurrido es el mismo en los dos trenes. Procedimiento de Igualación en 3 y 5
𝑬𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝟐 (𝑬𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝟐 + 𝟖𝟎 𝒌𝒎)
=
𝟕𝟎 𝒌𝒎/𝒉
𝟗𝟎 𝒌𝒎/𝒉
Resolución de ecuación 6
Cálculo del valor de Espacio 2 (D)
Cálculo de tiempo “T”
A partir de 5 conocido el valor de Espacio 2 (D)
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Ejecución
Cálculos
CÁLCULO DE “D”. PARA FACILITAR EL CÁLCULO, NOMBRAMOS COMO X A LA INCÓGNITA ESPACIO 2
𝒙
(𝒙 + 𝟖𝟎 𝒌𝒎)
=
𝟕𝟎 𝒌𝒎/𝒉
𝟗𝟎 𝒌𝒎/𝒉
Se quitan denominadores:
𝟗𝟎 𝒙 = 𝟕𝟎 𝒙 + 𝟓𝟔𝟎𝟎
Se agrupan incógnitas:
𝟗𝟎 𝒙 − 𝟕𝟎 𝒙 = 𝟓𝟔𝟎𝟎
𝟐𝟎 𝒙 = 𝟓𝟔𝟎𝟎
Se despeja la incógnita:
𝟓𝟔𝟎𝟎
𝒙=
= 𝟐𝟖𝟎 𝒌𝒎
𝟐𝟎
CÁLCULO DE “T”. SE PARTE DE LA SECUENCIA 5
𝑻=
(𝑬𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝟐 + 𝟖𝟎 𝒌𝒎)
𝟗𝟎 𝒌𝒎/𝒉
Se sustituye “Espacio 2” por su valor
(𝟐𝟖𝟎 𝒌𝒎 + 𝟖𝟎 𝒌𝒎)
𝑻=
𝟗𝟎 𝒌𝒎/𝒉
𝟑𝟔𝟎 𝒌𝒎
𝑻=
𝟗𝟎 𝒌𝒎/𝒉
𝑻=𝟒𝒉
Deducido 1
D = 280 Km
Deducido 2
Deducido 3
Deducido 4
Deducido 5
Deducido 6
Resultado Final
Distancia 280 km
Tiempo 4 horas
T=4h
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Operaciones de comprobación
Cálculos
𝑬𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝒓𝒆𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒓𝒆𝒏 𝑹Á𝑷𝑰𝑫𝑶 = 𝟒 𝒉 × 𝟗𝟎 𝒌𝒎/𝒉 = 𝟑𝟔𝟎 𝒌𝒎
𝑬𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝒓𝒆𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒓𝒆𝒏 𝑳𝑬𝑵𝑻𝑶 = 𝟒 𝒉 × 𝟕𝟎 𝒌𝒎/𝒉 = 𝟐𝟖𝟎 𝒌𝒎
𝑫𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐𝒔 𝒓𝒆𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐𝒔 = 𝟑𝟔𝟎 𝒌𝒎 − 𝟐𝟖𝟎 𝒌𝒎 = 𝟖𝟎 𝒌𝒎
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