ondas estacionarias en tubos sonoros

CAPÍTULO 3.08
aletos
Física para Ciencias e Ingeniería
ONDAS
1
ESTACIONARIAS EN TUBOS SONOROS
3.08-1 Ondas estacionarias en tubos sonoros
Un tubo sonoro consiste básicamente en un tubo metálico, o de madera, que contiene un gas, que ordinariamente es aire, en el cual se produce una vibración por algún procedimiento mecánico.
La vibración que se produce en uno de los extremos de la columna de gas que llena el tubo da lugar a vibraciones longitudinales, como ya se vio en el Capítulo 3.03.
Supusimos entonces que la masa de gas que contenía el tubo estaba idealmente dividida en estratos muy delgados de igual longitud, separados por trazos verticales regularmente espaciados.
La vibración de la columna de gas se iniciaba en el extremo izquierdo del tubo por el desplazamiento continuo
de un pistón haciéndole oscilar a derecha e izquierda de su posición inicial.
Los instrumentos musicales de viento son tubos sonoros en los cuales la columna de aire que vibra es excitada
por diferentes medios:
-Una corriente o un soplo de aire en el caso de una flauta y en un tubo de órgano.
-Las vibraciones de los labios del músico en el caso de una trompeta o de un trombón.
-Las vibraciones de una lengüeta en un clarinete o en un óboe, etc.
El extremo del tubo en el cual se inicia la vibración es la embocadura, que puede ser de diferentes tipos, y el
extremo opuesto puede ser abierto o cerrado.
Las compresiones y expansiones comunicadas al primer estrato, que se encuentra próximo a la embocadura, se
transmiten, pues, a lo largo del tubo con velocidad constante, puesto que como ya se indicó al comienzo de este estudio, suponemos que el medio gaseoso no es dispersivo.
A lo largo del tubo se propagan simultáneamente dos ondas consistentes en:
-Una oscilación de las moléculas gaseosas que llenan el tubo, a partir de su posición de equilibrio.
-Una variación de la presión, debida a las compresiones y expansiones que experimentas los diferentes estratos de masa gaseosa que llenan el tubo.
Ambas perturbaciones, la onda de vibración y la onda de presión se producen en la misma dirección en la que se
propaga la onda; por consiguiente, se trata de dos ondas longitudinales.
Se puede demostrar, aunque no entraremos en su discusión, que ambas perturbaciones, si son armónicas, están
desfasadas 90º, o lo que es igual, π/2 radianes. Esto significa que si una de las dos ondas es una función seno, la otra
es una función coseno.
Se puede demostrar, igualmente, que
En la propagación de la onda de vibración y de la onda de presión se producen reflexiones en el extremo
del tubo opuesto a la embocadura, tanto si este extremo está abierto como si está cerrado; con lo cual se
originan ondas estacionarias de vibración y de presión.
Por consiguiente, se producen nodos y antinodos de vibración y de presión.
Los nodos y antinodos de vibración tienen la misma interpretación que en las cuerdas vibrantes. Es decir,
–Un nodo de vibración es un punto, o más bien un delgado estrato de gas, que no vibra en ningún instante.
–Un antinodo de vibración es un punto, o puntos de un delgado estrato que vibran con la máxima amplitud.
Mientras que,
–Un nodo de presión es un punto o un delgado estrato de gas en el cual la variación de presión es nula.
–Un antinodo de presión es un punto o un delgado estrato de gas en cuyos puntos se produce la máxima
variación de presión.
El comportamiento de un tubo sonoro abierto no es el mismo que el de un tubo cerrado. La diferencia entre
ambos es similar a la que existe entre una cuerda con sus dos extremos fijos, y otra con un extremo fijo y el otro
sujeto a un dispositivo vibrante, como una de las dos ramas de un diapasón.
Nos interesa estudiar especialmente, como hemos hecho con las cuerdas, las diferentes longitudes de onda y frecuencias de las ondas estacionarias que se pueden producir en un tubo sonoro.
3.08-2 Ondas estacionarias en tubos abiertos
Un tubo sonoro abierto consiste en un tubo cilíndrico, en uno de cuyos extremos hay una embocadura, E, que
comunica con una pequeña cámara, C, separada del resto del tubo por un bisel, B, que enrasa con una abertura
practicada en la superficie lateral del tubo. El extremo opuesto a la embocadura está abierto, como indica la figura
3.08-1.
CAPÍTULO 3.08
2
E
ONDAS
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ESTACIONARIAS EN TUBOS SONOROS
En este tipo de tubos,
soplando por la embocadura se
produce una corriente de aire,
que, al pasar por el estrechamiento próximo a la superficie
lateral del tubo, aumenta su
velocidad, incidiendo en el borde
C
B
L
FIG. 3.08-1
de la abertura lateral e iniciando así la vibración del estrato de aire que se encuentra enrasado con dicha abertura.
La vibración longitudinal de este primer estrato se propaga a lo largo del tubo, de izquierda a derecha, originando una onda de vibración y, simultáneamente, una onda de presión. Al llegar al extremo abierto se reflejan ambas
ondas, y, al superponerse con las ondas iniciales, dan lugar a una onda estacionaria de vibración y a una onda estacionaria de presión.
No vamos a entrar en la discusión ni estudio de la naturaleza de la reflexión que se produce en el extremo abierto del tubo, debido a su complejidad.
Si el radio del tubo es pequeño comparado con la longitud de onda, como ocurre en la mayor parte de los
instrumentos musicales, las ondas reflejadas dan lugar en dicho extremo a un nodo de presión y a un antinodo de vibración.
Puesto que, como ya se ha indicado anteriormente, hay un desfase de 90º entre ambas ondas,
los nodos de presión coinciden con los antinodos de vibración y, a su vez, los antinodos de presión coinciden
con los nodos de vibración.
Es evidente que se producirán siempre nodos de presión junto a la abertura lateral y en el fondo del tubo puesto que, al estar en contacto con la atmósfera exterior, la presión será constantemente la atmosférica y, por consiguiente, no se producirán variaciones de presión.
En consecuencia, en dichos puntos se producirán antinodos de vibración.
Debido a que la columna de aire que vibra no queda determinada de una forma precisa, supondremos que su longitud efectiva, L, es la comprendida entre la abertura lateral y el fondo del tubo, como indica la figura 3.08-1.
No obstante, se admite en algunos casos que
la longitud de la columna de aire que vibra se prolonga, aproximadamente, en una longitud igual a 0,6r, siendo
r el radio del tubo.
De modo que habrá que tener en cuenta este dato para resolver algunos problemas que tienen en cuenta este
aspecto.
Con objeto de que las figuras, que vamos a utilizar para representar las distintas ondas estacionarias producidas
en los tubos sonoros, no presenten excesivas complicaciones, vamos a representar en cada caso, de una forma simbólica, solamente las ondas estacionarias de presión.
La posición de los nodos y antinodos de presión se indicarán, en cada figura, en la parte superior del tubo. Y en
la parte inferior, aunque no esté representada la onda estacionaria de vibración, aparecerán indicados sus antinodos
y nodos, que coincidirán respectivamente con los anteriores.
De manera que la onda estacionaria más elemental que se puede producir en un tubo abierto es la que corresponde a la existencia de dos nodos de presión, uno en la abertura y otro en el fondo del tubo.
Consecuentemente en dichos puntos se producirán dos antinodos de vibración.
La situación es la representada en la figura 3.08-2.
Nodos y antinodos de presión
N1
E
A
N2
N
A2
C
B
A1
Nodos y antinodos de vibración
L
λ/2
FIG. 3.08-2
Puesto que la distancia entre dos nodos o dos antinodos consecutivos, tanto si son de vibración como si son de
presión, es de una semilongitud de onda, su relación con la longitud de la columna de aire que vibra es, en este
caso,
CAPÍTULO 3.08
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3
ESTACIONARIAS EN TUBOS SONOROS
λ
2
Para obtener las posibles ondas estacionarias que se pueden producir en la columna de longitud L basta ir aumentando sucesivamente el número de nodos de presión en una unidad, lo que lleva consigo un aumento igual del número de antinodos. El número de antinodos y nodos de vibración aumenta en la misma cantidad.
L=
La forma de la siguiente onda estacionaria que puede producirse en el tubo es la que muestra la figuras 3.08-3.
Nodos y antinodos de presión
E
N1
A1
A1
N1
N2
A2
N3
A2
N2
A3
C
B
Nodos y antinodos de vibración
λ/2
λ/2
L
FIG. 3.08-3
La relación entre la longitud de la columna de aire que vibra en este caso y la longitud de onda de la onda estacionaria producida es
L=2
λ
2
La forma de la siguiente onda estacionaria que puede producirse en el tubo es la que muestra la figuras 3.08-4.
Nodos y antinodos de presión
E
N1
A1
N2
A2
N3
A3
N4
A1
N1
A2
N2
A3
N3
A4
C
B
Nodos y antinodos de vibración
λ/2
λ/2
λ/2
L
FIG. 3.08-4
En este caso
L=3
λ
2
Si continuamos aumentando el número de nodos y, consecuentemente, el de antinodos, obtendremos siempre
que la longitud de la columna de aire que vibra en el tubo sonoro abierto es un múltiplo entero de la semilongitud
de onda de la onda estacionaria que se produzca en cada caso.
L =n
λ
2
[3.08-1]
siendo n un número natural, n ≥ 1
Los posibles valores de λ se obtienen dando valores a n en
λ=2
L
n
y puesto que la frecuencia f está relacionada con la longitud de onda por medio de V = λf, despejando
[3.08-2]
CAPÍTULO 3.08
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ONDAS
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ESTACIONARIAS EN TUBOS SONOROS
f =n
V
[3.08-3]
2L
Las diferentes frecuencias que se pueden producir en un tubo abierto se denominan, igual que sucede en las cuerda, armónicos.
Sus frecuencias se obtienen dando valores a n en la expresión de la frecuencia f.
Para n = 1 se obtiene la frecuencia más baja que se puede producir en la cuerda, y recibe el nombre de primer
armónico o armónico fundamental
f1 =
V
2L
Para n = 2, n = 3, etc., se obtienen el segundo armónico, tercer armónico, etc., que resultan ser
V
= 2f1
2L
V
f3 = 3
= 3f1
2L
........................
[3.08-4]
f2 = 2
[3.08-5]
Cuando la columna de aire que llena un tubo sonoro vibra, lo hace de forma que, en general, están presentes el
armónico fundamental f1 y varios de sus múltiplos enteros 2f1, 3f1, etc.
Las diferentes formas de vibración de una columna de aire cuando vibra con sus diferentes armónicos, es decir,
con sus frecuencias propias, se denominan modos normales de vibración.
En el caso de que las frecuencias producidas sean audibles, la cantidad de armónicos presentes en un sonido y
sus respectivas amplitudes determinan la cualidad del sonido que se denomina timbre.
El tono de un sonido es su frecuencia, y así se habla de tonos graves cuando la frecuencia es baja o de tonos agudos cuando la frecuencia es elevada.
La intensidad depende fundamentalmente de la amplitud de la vibración o vibraciones que componen un sonido.
3.08-3 Ondas estacionarias en tubos cerrados
Un tubo sonoro cerrado tiene las mismas características que un tubo sonoro abierto con la diferencia de que el
extremo opuesto a la embocadura está cerrado, como indica la figura 3.08-5.
E
C
B
L
FIG. 3.08-5
El mecanismo por medio del
cual se producen ondas estacionarias de vibración y de presión en la
columna de aire es el mismo que
en los tubos abiertos, con la diferencia de que el extremo cerrado
es permanentemente un nodo de
vibración.
El estrato de aire que se encuentra en contacto con el extremo cerrado del tubo no vibra en ningún momento
debido a la rigidez de la pared con la que está en inmediato contacto. En consecuencia, en dicho extremo se produce un antinodo de presión.
Recuérdese, como ya se ha indicado anteriormente, que hay un desfase de 90º entre la onda estacionaria de presión y la onda estacionaria de vibración. De modo que
los nodos de presión coinciden con los antinodos de vibración y, a su vez, los antinodos de presión coinciden
con los nodos de vibración.
En este tipo de tubos la columna de aire que vibra queda determinada de una forma más precisa que en los tubos
abiertos. Su longitud efectiva, L, es la comprendida entre la abertura lateral y el fondo del tubo, como indica la
figura 3.08-5.
Con objeto de que las figuras que vamos a utilizar para representar las distintas ondas estacionarias producidas
en estos tubos sonoros no presenten excesivas complicaciones, vamos a representar en cada caso, de una forma simbólica, solamente las ondas estacionarias de presión, al igual que se hizo con los tubos abiertos
La posición de los nodos y antinodos de presión se indicarán, en cada figura, en la parte superior del tubo. Y en
la parte inferior, aunque no esté representada la onda estacionaria de vibración, aparecerán indicados sus antinodos
y nodos, que coincidirán, respectivamente, con los anteriores.
CAPÍTULO 3.08
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ESTACIONARIAS EN TUBOS SONOROS
Vamos a calcular las diferentes longitudes de onda y las diferentes frecuencias de las ondas estacionarias que se
pueden producir en este tipo de tubos.
La onda estacionaria más elemental que se puede producir en un tubo cerrado es la que corresponde a la existencia de un nodo de presión en la abertura lateral y un antinodo de presión en el fondo del tubo.
Consecuentemente en dichos puntos se producirán un antinodo y nodo de vibración, respectivamente. La situación es la representada en la figura 3.08-6.
Nodos y antinodos de presión
N
E
A
C
B
A
N
Nodos y antinodos de vibración
L
Puesto que la distancia entre
un nodo y un antinodo consecutivos, tanto si son de vibración
como si son de presión, es de un
cuarto de longitud de onda, su
relación con la longitud de la
columna de aire que vibra es, en
este caso,
L=
λ/4
FIG. 3.08-6
λ
4
Para obtener las posibles ondas estacionarias que se pueden producir en la columna de aire de longitud L basta
ir aumentando sucesivamente el número de nodos de presión en una unidad, lo que lleva consigo un aumento igual
del número de antinodos.
El número de antinodos y nodos de vibración aumenta en la misma cantidad.
La forma de la onda estacionaria siguiente que puede producirse en el tubo es la que muestra la figura 3.08-7.
Nodos y antinodos de presión
E
N1
A1
N2
A2
A1
N1
A2
N2
C
B
Nodos y antinodos de vibración
L
λ/4
λ/2
FIG. 3.08-7
La relación entre la longitud de la columna de aire que vibra y la longitud de onda de la onda estacionaria producida es,
λ λ
λ
L= + =3
2 4
4
La forma de la onda estacionaria siguiente que puede producirse en el tubo es la que muestra la figura 3.08-8.
Nodos y antinodos de presión
E
N1
A1
N2
A2
N3
A3
A1
N1
A2
N2
A3
N3
C
B
Nodos y antinodos de vibración
L
λ/2
λ/2
λ/4
FIG. 3.08-8
La relación entre la longitud de la columna de aire que vibra y la longitud de onda de la onda estacionaria producida es,
6
CAPÍTULO 3.08
ONDAS
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ESTACIONARIAS EN TUBOS SONOROS
L=
λ λ λ
λ
+ + =5
2 2 4
4
Si continuamos aumentando el número de nodos y, consecuentemente, el de antinodos, obtendremos siempre que
la longitud de la columna de aire que vibra es un múltiplo entero impar de un cuarto de la longitud de onda de la
onda estacionaria que se produzca en cada caso.
Es decir:
L = (2n − 1)
λ
4
[3.08-6]
siendo n un número natural, n ≥ 1
Los posibles valores de λ se obtienen dando valores a n en
λ=
4L
2n − 1
[3.08-7]
y puesto que la frecuencia f está relacionada con la longitud de onda por medio de V = λf, despejando
f = (2n − 1)
V
4L
[3.08-8]
Las diferentes frecuencias que se pueden producir en un tubo abierto se denominan, igual que sucede en las cuerdas y tubos abiertos, armónicos.
Sus frecuencias se obtienen dando valores a n en la expresión de la frecuencia f.
Para n = 1 se obtiene la frecuencia más baja que se puede producir en el tubo, y recibe el nombre de primer
armónico o armónico fundamental
f1 =
V
4L
[3.08-9]
Para n=2, n=3, etc., se obtienen el segundo armónico, tercer armónico, etc., que son
V
= 3f1
4L
V
f3 = 5
= 5f1
4L
........................
f2 = 3
Cuando vibra la columna de aire que llena un tubo sonoro cerrado, lo hace de forma que, en general, están presentes el armónico fundamental f1 y varios de sus múltiplos enteros impares 3f1, 5f1, etc.
De la comparación de [3.08-4] y [3.08-9] se deduce que
la frecuencia del armónico fundamental de un tubo abierto es doble de la frecuencia del armónico fundamental
de un tubo cerrado de igual longitud.
Las diferentes formas de vibración de una columna de aire cuando vibra con sus diferentes armónicos, es decir,
con sus frecuencias propias, se denominan modos normales de vibración.
En el caso de que las frecuencias producidas sean audibles, la cantidad de armónicos presentes en un sonido y
sus respectivas amplitudes determinan la cualidad del sonido que se denomina timbre.
El tono de un sonido es su frecuencia, y así se habla de tonos graves cuando la frecuencia es baja o de tonos agudos cuando la frecuencia es elevada.
La intensidad depende fundamentalmente de la amplitud de la vibración o vibraciones que componen un sonido.