Compensacion en adelanto LGR

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICA
Compensación en adelanto
Compensador electrónico en adelanto con amplificadores operacionales
E 0 (s ) R2 R4 R1C1 + 1 R4 C1
=
=
E i (s ) R1 R3 R2 C 2 + 1 R3 C 2
T = R1C1 ,
K cα =
1
1
s+
R1C1
Ts + 1
T
= K cα
= Kc
1
1
αTs + 1
s+
s+
R2 C 2
αT
s+
αT = R 2 C 2 ,
R2 R 4
,
R1 R3
α=
Kc =
R2 C 2
<1
R1C1
R4 C1
R3 C 2
Esta red tiene una ganancia en cd de K cα
Es una red de adelanto si R1C1 > R2 C 2 .
CONTROL CLÁSICO
1
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Técnicas de compensación de adelanto
Para compensar en adelanto el sistema debe de tener características de la respuesta transitoria no
satisfactorias.
Esto es, que los polos dominantes de lazo cerrado no se encuentran sobre el lugar de las raíces
del sistema original.
Procedimiento de diseño de adelanto
1.
A partir de las especificaciones de desempeño, determine la ubicación deseada para los
polos dominantes en lazo cerrado.
2.
Verifique si el punto deseado pertenece al lugar de las raíces, sino pertenece, determine el
ángulo necesario (φm ) que deberá contribuir el compensador en adelanto para que el punto
deseado pertenezca al lugar de las raíces.
3.
Determine la ubicación del polo y del cero del compensador de adelanto, para que este
contribuya al ángulo φ m necesario.
4.
Con la ubicación del polo y del cero del compensador se determina los parámetros α y T
5.
La ganancia K c del compensador se determina a partir de la condición de magnitud, a fin de
que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación deseada.
CONTROL CLÁSICO
2
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Ejemplo 1
La función de transferencia de lazo abierto de un sistema de control
G (s ) =
4
s (s + 2 )
Se desea que el sistema tenga una relación de amortiguamiento ζ = 0.5 y una frecuencia natural
no amortiguada ω n = 4 rad / seg .
Sistema original
Ecuación característica
1 + G (s )H (s ) = 1 +
4
= s 2 + 2 s + 4 = (s + 1 − j1.732 )(s + 1 + j1.732 ) = 0
s (s + 2 )
donde
ζω n = 1 y ω d = 1.732 entonces ζ = 0.5 y ω n = 2 estas son las características transitorias originales,
El punto deseado
ζ = 0.5 y ω n = 4 nos da ζω n = 2 y ω d = ω n 1 − ζ 2 = 3.464 las raíces serían s d = −2 ± j 3.464
Aplicando la condición de ángulo en el punto deseado
−∠s − ∠s + 2 = −120° − 90° = −210°
Se necesita un compensador en adelanto que proporcione 30°, para que el punto deseado este
sobre el lugar de las raíces. (φ m = 30°)
Se coloca el cero por debajo del punto deseado
−
1
= −2
T
Y el polo
tan φ m =
x
3.464
−
1
αT
x=2
= −4
El compensador en adelanto sería
Gc (s ) =
CONTROL CLÁSICO
3
s+2
Kc
s+4
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El sistema compensado sería
⎛ 4 ⎞⎛ s + 2
⎞
⎟⎟⎜
G (s )Gc (s ) = ⎜⎜
Kc ⎟
+
(
)
s
s
2
s
4
+
⎠
⎠⎝
⎝
Con la condición de magnitud
Kc =
s s+2 s+4
4s + 2
=
Sd
(4)(3.464)(4) = 4
4(3.464)
Por lo tanto
⎛ 4 ⎞⎛ s + 2 ⎞
⎟⎟⎜
G (s )Gc (s ) = ⎜⎜
⎟(4 )
⎝ s (s + 2) ⎠⎝ s + 4 ⎠
El coeficiente estático de error de velocidad es
⎛ 4 ⎞⎛ s + 2 ⎞
−1
⎟⎜
K v = lim sG (s )Gc (s ) = lim s⎜⎜
⎟(4 ) = 4 seg
s →0
s →0 ⎝ s (s + 2 ) ⎟
+
4
s
⎝
⎠
⎠
CONTROL CLÁSICO
4
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Ejemplo 2
(doble compensador en adelanto)
La función de transferencia de lazo abierto de un sistema de control es
G (s ) =
1
s (s + 1)(s + 2 )
Se desea que el sistema cumpla con las siguientes especificaciones, la relación de
amortiguamiento ζ = 0.6 y la frecuencia natural no amortiguada ω n = 2.5
Sistema original
K v = lim sG (s ) = lim s
s →0
s →0
1
= 0.5 seg −1
s (s + 1)(s + 2)
La ecuación característica es
1+
1
= s 3 + 3s 2 + 2s + 1 = (s + 0.338 + j 0.562)(s + 0.338 − j 0.562) = 0
s (s + 1)(s + 2)
Entonces el punto deseado es
s d = −ζω n + jω n 1 − ζ
2
s d = −1.5 + j 2
Por la condición de ángulo
− ∠(s ) − ∠(s + 1) − ∠(s + 2 ) = −126.87° − 104.036° − 75.964° = −306.87°
Se necesitan 126.87° para que el punto deseado este sobre el lugar de las raíces, se utilizarán 2
compensadores en adelanto cada uno aportando la mitad del ángulo necesario.
φm =
126.87°
= 63.435°
2
Se ubica al cero del compensador en -2
−
1
= −2
T
El polo se ubicará en
tan θ =
0.5
2
θ = 14.036°
tan (63.435° + 14.036°) =
x=9
1
−
= −10.5
αT
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5
x
= 4.5
2
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El compensador será
2
⎛ s+2 ⎞
Gc (s ) = ⎜
⎟ Kc
⎝ s + 10.5 ⎠
El sistema compensado en adelanto sería
2
⎛
⎞⎛ s + 2 ⎞
1
⎟⎟⎜
G (s )Gc (s ) = ⎜⎜
⎟ Kc
(
)(
)
+
1
+
2
s
s
s
⎝
⎠⎝ s + 10.5 ⎠
Se determina la ganancia K c con la condición de magnitud
Kc =
s s + 1 s + 2 s + 10.5
s+2
2
=
2
S d = −1.5+ j 2
(2.5)(2.061)(2.061)(9.219)2
(2.061)2
= 212.475
El sistema compensado en adelanto es
2
⎛
⎞⎛ s + 2 ⎞
1
⎟⎟⎜
G (s )Gc (s ) = ⎜⎜
⎟ (212.475)
s
s
+
s
+
(
)(
)
1
2
⎝
⎠⎝ s + 10.5 ⎠
El coeficiente estático de error de velocidad es
2
⎛
⎞⎛ s + 2 ⎞
1
−1
⎟⎜
K v = lim sG (s )Gc (s ) = lim s⎜⎜
⎟ (212.475) = 3.854 seg
s →0
s →0 ⎝ s (s + 1)(s + 2 ) ⎟
⎠⎝ s + 10.5 ⎠
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