Los triángulos

Los triángulos
Los triángulos
Se denomina con la secuencia de vértices: ABC.
l es un ángulo interior, denominado sencillamente
C
A
B
ángulo del triángulo.
l' es un ángulo exterior.
C
l
C
C
l.
El lado AB es opuesto al vértice C y al ángulo C
l'
C
Propiedades básicas
•
•
•
Cada lado del triángulo es menor que la suma de los otros dos lados.
La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º.
Cada ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores que no le son
adyacentes, más 180º.
Puntos y rectas importantes
Una altura de un triángulo es una recta
perpendicular a uno de sus lados y que contiene su
vértice opuesto.
La mediatriz de un lado de un triángulo, como es
sabido, es una recta perpendicular a este lado, que
contiene su punto medio.
Una bisectriz de un triángulo es, como es sabido,
una recta que divide uno de los ángulos del
triángulo en dos iguales.
Una mediana de un triángulo es una recta que pasa
por el punto medio de uno de sus lados y por el
vértice opuesto.
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un
punto. Este punto se denomina ortocentro y se
indica con la letra H.
Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un
punto. Este punto se denomina circuncentro y se
indica con la letra O.
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un
punto. Este punto se denomina incentro y se indica
con la letra I.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un
punto. Este punto se denomina baricentro y se
indica con la letra G.
Tipos de triángulos
Según los ángulos
Según los lados
Triángulo obtusángulo, que tiene un ángulo obtuso. Triángulo escaleno, que tiene los tres lados de
longitud diferente.
Triángulo acutángulo, que tiene los tres ángulos Triángulo isósceles, que tiene dos lados iguales
agudos.
Triángulo rectángulo, que tiene un ángulo recto.
Triángulo equilátero, que tiene lados y ángulos
iguales.
El triángulo rectángulo
Elementos
Importancia
•
La hipotenusa de un triángulo rectángulo es el
lado opuesto al ángulo recto.
• Los otros dos lados, que forman el ángulo
recto, se denominan catetos.
Todo triángulo se puede descomponer de manera
fácil en dos triángulos rectángulos.
C
A
El teorema de Pitágoras
D
B
El cuadrado de la hipotenusa (h) es igual a la suma
de los cuadrados de los catetos (a y b).
h2 = a2 + b2
Las medidas de un triángulo
El perímetro
El área
El perímetro de un triángulo es la longitud total de El área de un triángulo es la superficie limitada por
sus lados.
sus lados.
Elementos para calcular el área:
• La base del triángulo puede ser cualquiera de
c
a
sus lados.
•
La altura correspondiente a esa base es el
h
segmento perpendicular a la base, que tiene por
extremos el vértice opuesto a la base y un
b
punto de la base.
Cálculo del perímetro:
Cálculo del área:
A=
P=a+b+c
b⋅h
2
Semejanza de triángulos
Proporción entre dos segmentos: cociente entre las Proporcionalidad entre dos pares de segmentos: dos
longitudes de los segmentos.
pares de segmentos son proporcionales si su
proporción es la misma.
El teorema de Tales
B
r’
C
A
A’
r
B’
C’
A
B’
B
C’
C
r y r’ son dos rectas que se cortan con tres rectas
paralelas. Los puntos de corte de la recta r con las
paralelas se denominan A, B y C; los puntos de
corte de la recta r’ y las paralelas se denominan A’,
B’ y C’. En estas condiciones el teorema de Tales
afirma que:
AC A ' C '
=
AB A ' B '
Aplicación del teorema de Tales: si se corta un
triángulo ABC con una recta paralela a uno de sus
lados, puede afirmarse que:
AB
AC
BC
=
=
AB ' AC ' B ' C '
Los triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si cumplen las Estos triángulos son semejantes:
A’
propiedades de semejanza:
B’
C’
• Los pares de lados correspondientes son
ya que:
C
proporcionales.
• Los ángulos correspondientes son iguales.
AB
BC
AC
.
=
=
A ' B ' B 'C ' A 'C '
l=B
l' y C
l =C
l'
. lA = l
A' , B
A
B
Criterios de semejanza de triángulos
Tercer criterio
Segundo criterio
Primer criterio
Dos triángulos son semejantes si Dos triángulos son semejantes si Dos triángulos son semejantes si
tienen tres lados proporcionales. tienen dos pares de lados
tienen dos ángulos iguales.
proporcionales, y el ángulo que
forman es igual.
Pitágoras y Tales
Estos dos grandes pensadores griegos dieron sus nombres a dos de los principales resultados que permiten
estudiar propiedades muy interesantes de los triángulos: el teorema de Pitágoras y el teorema de Tales.
Tales vivió en Mileto a finales del siglo VII, aunque era de padres fenicios. Fue, quizá, el primer
matemático, filósofo y científico griego. Parece que tuvo, también, intervenciones políticas (por ejemplo,
propuso crear una sola sala de consejos) y técnicos (hizo cavar una zanja para que el río fuera vadeable
por ambos lados); se dice que visitó Egipto, pero puede que esto fuera un rumor (era una costumbre
relacionar a los sabios con Egipto, uno de los primeros centros de sabiduría de la antigüedad); Platón dice
que Tales cayó a un pozo distraído cuando estaba mirando las estrellas, y Aristóteles asegura que Tales
ganó dinero con un negocio de compraventa de herramientas, pero esas dos anécdotas probablemente son
una pura sátira ficticia. Tales predijo un eclipse y utilizó métodos para averiguar la altura de las
pirámides; aunque alguien le atribuye un libro de astrología, actualmente se cree que este libro no fue
escrito por Tales, sino por Foco de Samos. Tales está considerado uno de los siete sabios de la antigüedad
griega.
Sello griego de 1994 que representa la supuesta efigie de Tales.
Pitágoras (aproximadamente, 582-500 a. C.) vivió poco después que Tales; ambos son considerados los
iniciadores de la matemática griega. Fundó la escuela pitagórica en el sur de la actual Italia, organización
que se guiaba por el amor a la sabiduría y en especial a las matemáticas y a la música. Se dice que hubo
una rebelión contra ellos y se quemó su sede. Algunos cuentan que el propio Pitágoras murió en el
incendio; otros, que huyó y, desencantado, se dejó morir de hambre. En todo caso, estos breves apuntes
biográficos no son más que historias que repite la tradición, sin que puedan ser verificadas por
documentos originales. Además de formular el teorema que lleva su nombre, se le atribuyó una tabla de
multiplicar y el estudio de la relación entre la música y las matemáticas.
Detalle del cuadro de Raffaello Sanzio
(1483-1520) Scuola di Atene (1509-1510),
donde puede observarse a Pitágoras. Stanza
della Segnatura, Palacio Pontificio
(Vaticano).
¿Qué es un triángulo?
Un triángulo es una figura cerrada formada por tres segmentos,
denominados lados, que se unen en sus extremos. Todo triángulo tiene tres
ángulos. Los lados y ángulos pueden ser continuos, si hay contacto entre
ellos, u opuestos, si no hay contacto entre ellos. La longitud de cualquier
lado es siempre menor que la suma de las longitudes de los otros dos
lados, y la suma de los ángulos de un triángulo es siempre igual a 180º o π
rad.
A
l
C
C
En el plano pueden dibujarse figuras delimitadas por segmentos unidos entre sí,
llamados figuras poligonales o, simplemente, poligonales. Cada uno de los
segmentos de una poligonal se denomina lado, mientras que cada punto de unión
entre dos segmentos de la poligonal se denomina vértice. Una poligonal cerrada, de
manera que cada vértice una exactamente dos segmentos, se denomina polígono.
Un triángulo es un polígono de tres lados (aunque su nombre nos
indica que tiene tres ángulos, algo que es equivalente).
B
Habitualmente, un triángulo (y, en general, todo polígono) se
denomina con los vértices que lo componen. Por ejemplo, el
triángulo de la imagen se denomina ABC.
Dos lados cualesquiera de un triángulo forman dos ángulos: el ángulo
interior y el ángulo exterior. El primero es siempre convexo (por
l
ejemplo, Ĉ ), mientras que el segundo es siempre cóncavo (por
C'
l' ). La suma de estos dos ángulos es siempre de 360º. En
ejemplo, C
todo caso, cuando se habla de los ángulos de un triángulo, siempre se hace referencia
a los ángulos interiores.
Un ángulo y un lado que no forma parte del ángulo son opuestos. De la misma
manera, un vértice y un lado que no lo contenga, también son opuestos. Por ejemplo,
el ángulo Ĉ y el lado AB son opuestos.
Las propiedades básicas de un triángulo son:
• La longitud de cualquier lado es siempre menor que la suma de las longitudes de
los otros dos lados.
•
La suma de los ángulos de un triángulo es siempre igual a 180º o π rad.
•
Cada ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos
interiores que no le son adyacentes, más 180º.
¿Cuáles son las rectas y los puntos notables de un triángulo y
cómo se hallan?
Las rectas principales de un triángulo son: altura o recta perpendicular a
uno de sus lados y que contiene su vértice opuesto; mediatriz o recta
perpendicular a este lado que contiene su punto medio; bisectriz o recta
que divide uno de los ángulos del triángulo en dos iguales: mediana o recta
que pasa por el punto medio de uno de sus lados y por el vértice opuesto.
Los puntos de intersección de los grupos de tres rectas anteriores se
denominan, respectivamente, ortocentro, circuncentro, incentro y
baricentro.
Existen ciertas rectas importantes que pueden representarse a partir de los elementos
de un triángulo:
1
•
Una altura de un triángulo es una recta perpendicular a uno de sus lados y que
contiene su vértice opuesto. Por ejemplo, r es una altura del triángulo ABC, ya
que es perpendicular a AB y pasa por C.
•
La mediatriz de un lado de un triángulo, como es sabido, es una recta
perpendicular a este lado, que contiene su punto medio. Por ejemplo, s es la
mediatriz de AC, ya que es perpendicular a este segmento y pasa por su punto
medio, M AC .
•
Una bisectriz de un triángulo es, como es sabido, una recta que divide uno de los
ángulos del triángulo en dos iguales. Por ejemplo, t es una bisectriz de ABC, ya
que es la bisectriz del ángulo B̂ .
•
Una mediana de un triángulo es una recta que pasa por el punto medio de uno de
sus lados y por el vértice opuesto. Por ejemplo, u es una mediana del triángulo
ABC, ya que pasa por A y por el punto medio de BC, M BC .
A
s
B
A
B
C
MAC
r
A
B
C
A
B
t
MBC
C
C
u
Una altura, una mediatriz, una bisectriz y una mediana de un triángulo ABC
Estas rectas cumplen estas propiedades:
• Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se denomina
ortocentro y se indica con la letra H.
•
Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se
denomina circuncentro y se indica con la letra O.
•
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se
denomina incentro y se indica con la letra I.
•
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se denomina
baricentro y se indica con la letra G.
Ortocentro, circuncentro, incentro y baricentro de un triángulo
2
¿Cuáles son los principales tipos de triángulos?
Los triángulos pueden clasificarse según sean sus ángulos; en este caso, se
distinguen los triángulos obtusángulos, acutángulos y rectángulos.
También pueden clasificarse según sean sus lados; en este caso, se
distinguen los triángulos escalenos, isósceles y equiláteros.
Los triángulos pueden clasificarse a partir de sus ángulos o de sus lados. La
clasificación a partir de sus ángulos es la siguiente:
• Triángulo obtusángulo: aquel que tiene un ángulo obtuso. Los otros dos son
ángulos agudos.
•
Triángulo acutángulo: aquel que tiene los tres ángulos agudos.
•
Triángulo rectángulo: aquel que tiene un ángulo recto. Los otros dos ángulos son
complementarios.
obtusángulo
acutángulo
rectángulo
Según sean sus lados, los triángulos puede clasificarse en:
• Triángulo escaleno, que tiene los tres lados de longitud diferente. De la misma
manera, sus tres ángulos son diferentes.
•
Triángulo isósceles, que tiene dos lados iguales. Por lo mismo, tiene dos ángulos
iguales.
•
Triángulo equilátero, que tiene lados y ángulos iguales. En este caso, cada uno
de los ángulos mide 60º.
escaleno
isósceles
3
equilátero
¿Cómo se calcula el perímetro y el área de un triángulo?
El perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de sus lados, y el
área de un triángulo es la medida de su extensión. Para el cálculo del área
de un triángulo debe multiplicarse su base por su altura y dividirse entre 2.
El perímetro de un triángulo (y, en general, de cualquier polígono) es la suma de las
longitudes de sus lados. El área de un triángulo (o de cualquier polígono) es la
medida de su extensión. La unidad del SI para medir el área es el metro cuadrado y
su símbolo es m2. Esta unidad se define a partir del metro: la extensión que ocupa un
metro cuadrado es igual a la de un cuadrado que tiene 1 m de lado.
El sistema de unidades de área deriva del m2, de manera que para obtener una
cualquiera, se multiplica la anterior (en el cuadro, la unidad inferior) por 102:
1 m2
Unidades
kilómetro cuadrado
hectómetro cuadrado
decámetro cuadrado
metro cuadrado
decímetro cuadrado
centímetro cuadrado
milímetro cuadrado
1m
1m
Símbolo
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
Equivale a
1000000 m2
10000 m2
100 m2
1 m2
0,01 m2
0,0001 m2
0,000001 m2
Equivale a
106 m2
104 m2
102 m2
100 m2
10−2 m2
10−4 m2
10−6 m2
La tabla podría extenderse hacia arriba con unidades mayores, y hacia abajo con
unidades menores.
Habitualmente, se utilizará la letra P para referirse al perímetro de una figura. Así,
por ejemplo, si un triángulo tiene lados 7 cm, 8 cm y 9 cm, su perímetro será igual a:
P = 7 + 8 + 9 = 24 cm
En general, el perímetro de un triángulo de lados a, b y c es igual a
P=a+b+c
Normalmente, el área de una figura se indica con la letra A. Para calcular el área de
cualquier triángulo debemos recurrir al cálculo del área de un triángulo rectángulo.
Si se observa esta figura, se puede comprobar que el rectángulo está formado por dos
triángulos rectángulos:
a
b
El área del rectángulo es igual a ab, luego el área de cada triángulo rectángulo es
igual a la mitad, es decir, el área de un triángulo es igual a:
A = ab/2
siendo a y b los lados que forman el ángulo recto del triángulo rectángulo.
Este hecho nos permite calcular el área de cualquier triángulo, ya que siempre puede
descomponerse en dos triángulos rectángulos a partir de una de sus alturas, tal como
muestra la imagen:
h
a
c
4
Una vez determinada la recta altura, a partir de ella, se va a calcular el área del
triángulo:
• La base del triángulo es el lado sobre el que la recta altura cae en perpendicular.
En el ejemplo, la base es la suma de a + c.
•
Respecto a la base anterior, la altura es el segmento perpendicular que tiene un
extremo en el vértice opuesto a la base, y el otro sobre esta base. En este caso, la
altura es h.
El área del triángulo será igual al área de los dos triángulos rectángulos marcados, es
decir,
ah/2 + ch/2 = (a + c)h/2
En definitiva, el área de un triángulo cualquiera puede hallarse multiplicando su base
por su altura y dividiendo el resultado entre 2.
¿En qué consiste el teorema de Pitágoras y cómo se aplica?
El teorema de Pitágoras es un resultado que se aplica sobre cualquier
triángulo rectángulo. Si se define la hipotenusa como el lado opuesto al
ángulo recto del triángulo rectángulo, y los catetos como los otros dos
lados, el teorema de Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
El triángulo rectángulo es el más importante y, seguramente, la figura plana más
utilizada y estudiada a lo largo de la historia. Por todo ello, merece una atención
especial.
Los lados de un triángulo rectángulo reciben un nombre especial:
• La hipotenusa de un triángulo es el lado opuesto al ángulo recto.
•
Los otros dos lados, que forman el ángulo recto, se denominan catetos.
hipotenusa
cateto
cateto
El teorema de Pitágoras establece una relación entre los catetos y la hipotenusa de
cualquier triángulo rectángulo: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos. Es decir, si c es la longitud de la hipotenusa, a y b son las
longitudes de sus catetos, entonces:
c2 = a2 + b2
Como se ha dicho, esta fórmula se cumple para todo triángulo rectángulo y, además,
a su vez, cualquier triángulo que la cumpla es un triángulo rectángulo. Por ejemplo,
si un triángulo rectángulo tiene catetos que miden 3 y 4 cm, respectivamente,
entonces su hipotenusa debe medir, necesariamente, 5 cm, ya que:
5 2 = 32 + 42
Para la demostración del teorema de Pitágoras, se construye el triángulo de lados a, b
y c, siendo c la hipotenusa. Se construye, posteriormente, el cuadrado de lados a + b,
tal como muestra esta imagen:
5
El área del cuadrado mayor es igual a (a + b)2, y es la misma que la suma del área de
los 4 triángulos rectángulos (4 · ab/2) más el área del cuadrado interior (c2). Por lo
tanto,
(a + b)2 = c2 + 2ab
ya sabemos que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, por lo tanto,
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
en definitiva, si se resta 2bc a ambos lados:
a2 + b2 = c2
Es decir, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos.
El teorema de Pitágoras permite, pues, hallar uno de los lados de un triángulo
rectángulo, siempre que se conozcan los otros dos lados. Por ejemplo, si la
hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm, y uno de sus catetos mide 5 cm,
entonces sólo falta encontrar el otro cateto sabiendo que:
132 = 52 + b2
Por lo tanto,
b2 = 132 – 52 = 121 Æ
b = 12
¿Cuándo dos triángulos son semejantes?
Dos triángulos son semejantes cuando tienen los mismos ángulos y sus
lados son proporcionales. Esta definición se basa en el teorema de Tales,
que estudia la relación métrica entre los puntos de intersección de tres
rectas paralelas con otras dos rectas que se intersecan.
En el lenguaje usual, suele decirse que dos objetos son semejantes si tienen un
parecido en su forma. Este concepto es muy útil en geometría porque permite
relacionar objetos diferentes.
La proporción entre dos segmentos es el cociente de sus longitudes. Así, si la
proporción entre AB y A'B' es 3, significa que
AB/A'B' = 3
dicho de otra manera, el segmento AB es el triple que el segmento A'B'.
Dos pares de segmentos se dice que son proporcionales si su proporción es idéntica.
Por ejemplo, si la proporción entre AB y A'B' es igual a 3, y la proporción entre CD
y C'D' es igual, también, a 3, entonces la pareja AB, A'B' es proporcional a la pareja
CD, C'D'.
A
B
A’
C
B’
C’
D
D’
Si dos reglas que se cortan, r y r', se intersecan con 3 rectas paralelas, tal como se
muestra en la figura:
B
r’
r
C
A
A’
B’
C’
el teorema de Tales afirma que en estas condiciones:
AB
AC
BC
=
=
A ' B ' A 'C ' B 'C '
6
es decir, dos parejas de segmentos correspondientes cualesquiera determinados sobre
r y r', son proporcionales.
Este teorema tiene muchas aplicaciones en el estudio de triángulos. Una de las más
importantes es ésta: si un triángulo rectángulo ABC se corta con una paralela a uno
de sus lados, como se muestra en esta ilustración:
A
B’
C’
B
C
entonces, no es difícil demostrar con ayuda del teorema de Tales que
AB
AC
BC
=
=
AB ' AC ' B ' C '
En otras palabras, que si se corta un triángulo con una recta paralela a uno de sus
lados, el triángulo original, y el creado a partir de esta intersección tienen sus lados
proporcionales. Además, observamos de manera inmediata que sus ángulos son
iguales. Dos triángulos que cumplan ambas condiciones, es decir:
• tienen todos los pares de lados proporcionales.
•
tienen ángulos iguales
se denominan triángulos semejantes. La proporción entre los lados se denomina
razón de la semejanza. Así pues, para obtener un triángulo semejante a otro, sólo
debemos desplazar el original, volverlo, "encogerlo" o "expandirlo".
¿Cuáles son los criterios de semejanza de triángulos?
Existen tres criterios de semejanza: dos triángulos son semejantes si tienen
dos ángulos iguales; el segundo: dos triángulos son semejantes si tienen
los lados proporcionales; y el tercero: dos triángulos son semejantes si
tienen dos pares de lados proporcionales, y el ángulo que forman es igual.
En el caso de los triángulos rectángulos, los criterios se simplifican: el
primero, dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen uno de los
ángulos no rectos iguales; el segundo, dos triángulos rectángulos son
semejantes si tienen los catetos proporcionales, o bien, un cateto y la
hipotenusa proporcionales.
Conocemos las condiciones que deben cumplir dos triángulos para ser semejantes.
Ahora bien, no es necesario demostrar las dos condiciones anteriores para confirmar
que dos triángulos son semejantes, basta con que se cumpla uno de estos criterios,
menos exigentes:
• Primer criterio: dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
Esto es así porque, en primer lugar, el tercer ángulo también debe ser igual.
Además, si dos triángulos ABC y A’B’C’ tienen los ángulos iguales, siempre
podrán situarse de esta manera:
A
B’
C’
B
C
7
•
•
Y en esta situación, ambos triángulos han de tener también los lados
proporcionales.
Segundo criterio: dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados
proporcionales.
De manera semejante al criterio anterior, si dos triángulos tienen los tres lados
proporcionales, entonces es fácil demostrar que tienen los ángulos iguales.
Tercer criterio: dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de lados
proporcionales y el ángulo que forman es igual.
Por ejemplo, el triángulo ABC es semejante al triángulo A'B'C' si
AB
BC
n
=
.
ABC = n
A ' B ' C ' y, además,
A' B ' B 'C '
A
B’
C
B
C’
A’
Así pues, si se cumple cualquiera de estos tres criterios, puede asegurarse que los
triángulos son semejantes.
En el caso del triángulo rectángulo, aún pueden simplificarse más, ya que conocemos
uno de sus ángulos:
• Criterio 1: dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen uno de los
ángulos no rectos iguales.
• Criterio 2: dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos
proporcionales, o bien, un cateto y la hipotenusa proporcionales.
¿Cómo comprobar si dos triángulos son semejantes?
Para aplicar correctamente los criterios de semejanza, en primer lugar,
debe analizarse la información que se posee de los triángulos. A
continuación debe completarse, si esto es posible (por ejemplo, hallando el
ángulo que falta si sólo se tienen dos ángulos de un triángulo). Finalmente,
debe aplicarse aquel criterio de semejanza que utilice los datos que se
tienen, probando varias combinaciones de los datos si fuese necesario.
Dados dos triángulos cualesquiera, para comprobar si son semejantes, debe intentar
aplicarse alguno de los criterios anteriores, según sea la información de la que se
disponga. Por ejemplo, dados estos triángulos:
A
B’
C
B
C’
A’
Podemos encontrarnos con las siguientes situaciones:
l = 29º , B
l' = 100º ,
• Se conocen dos ángulos de cada triángulo: lA = 100º , B
l
A ' = 51º , ¿estos triángulos son semejantes? Dado que la información de la que
se tiene es únicamente sobre ángulos, debe intentar aplicarse el criterio 1; para
ello se debe calcular el otro ángulo de cada triángulo. En el triángulo ABC, el
l =100 – 29 = 51º, por lo tanto, ambos triángulos comparten dos
ángulo C
ángulos, uno de 100º, y otro de 51º (es evidente que, aunque no se haya
calculado, el último ángulo de 29º también lo comparten). Así pues, podemos
afirmar que estos dos triángulos son semejantes.
8
•
•
Se conocen los siguientes lados: AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm,
A’B’ = 8 cm, B’C’ = 6 cm y A’C’ = 10 cm. ¿Son semejantes estos triángulos?
Ya que sólo se conocen los lados, debe intentar aplicarse el criterio 2. Puede
comprobarse cómo:
10 8 6
= = =2
5 4 3
Por lo tanto, puede afirmarse que estos dos triángulos son semejantes, y su razón
de semejanza es 2. Debe observarse que no es imprescindible que coincidan los
nombres de los lados que deben ser semejantes. Por lo tanto, deben probarse las
distintas combinaciones de lados hasta obtener que se cumple la relación entre
los lados (siempre que se cumpla). Así, en este caso, debería expresarse de este
modo:
A' C ' A ' B ' B ' C '
=
=
BC
AC
AB
Se conocen los siguientes datos: AB = 3 cm, BC = 5 cm, B’C’ = 6 cm y
l = 29º , C
l' = 29º . ¿Son semejantes estos triángulos?
A’C’ = 10 cm, además, B
En este caso, puede aplicarse el criterio 3, ya que se tienen dos pares de lados y
dos ángulos. Es evidente que los lados son proporcionales y el ángulo contiguo a
estos lados es igual en ambos triángulos. Por lo tanto, los triángulos deben ser
semejantes.
9
10