Ejemplos de Backtracking

Ejemplos de Backtracking
Andrés Becerra Sandoval
Backtracking
I
Técnica genérica de diseño de algoritmos de búsqueda
I Una solución
I Todas las soluciones
I La mejor solución!
Estrategia General
I
I
Representar las variables del problema en un arreglo
Denir los dominios de las variables del problema
I Pensar como recorrer dichos dominios iterativamente
I
I
Visualizar un árbol de búsqueda para un n pequeño
Plantear que es un arreglo k-prometedor
Permutaciones
I
I
I
A contendrá una permutación
A[i ] 6= A[j ] si i 6= j para todos los 1 ≤ i , j ≤ n
El dominio de cada variable es [1, n]
El arreglo
I Se puede recorrer en un ciclo for
I
k prometedor: el valor que ponga en A[k ] debe ser distinto a
todos los anteriores
k-prometedor
prometedor(A, k )
PRE: A ya es k-1 prometedor
for j ← 1 to k − 1
do if A[j ] = A[k ]
then return False
return True
Permutaciones
permutar(A, k , n)
if k = n
then if prometedor(A,k)
then print A
else return
else for j ← 1 to n
do if prometedor(A, k )
then A[k + 1] ← j
permutar(A, k + 1, n)
Permutaciones Iterativo
permutaciones(A,n)
k =1
while k > 0
do
A[k ] ← proximoElemento(A, k )
while not ultimaOpcion(A,k) and not prometedor(A,k)
do A[k ] ← proximoElemento(A, k )
if not ultimaOpcion(A,k,n)
then if k = n
then print A
else k ← k + 1
else
A[k ] ← primerElemento(A, k )
Vuelta atrás al nivel superior (Backtrack)
k ←k −1
Funciones
ultimaOpcion(A, k , n)
return A[k ] == n + 1
proximoElemento(A, k )
return A[k ] + 1
primerElemento(A, k )
return 0
Subconjuntos de un conjunto
I
I
I
El conjunto de partes de un conjunto tiene 2n elementos
Podemos buscarlos todos sistemáticamente si denimos una
codicación adecuada en un arreglo
¾Cual?
Codicación
I
I
I
A[i ] ∈ 0, 1
Si A[i ] = 0 el elemento i no está en el subconjunto que se está
armando
Si A[i ] = 1 el elemento i
armando
está en el subconjunto que se está
k-Prometedor
I
I
El valor que asigne a cada variable es 1 o 0.
O sea, todos son prometedores!.
k-Prometedor
prometedor(A, k )
return True
Subconjuntos
subconjuntos(A, k , n)
if k = n
then if prometedor(A,k)
then print A
else return
else for j ← 0 to 1
do if prometedor(A, k )
then A[k + 1] ← j
subconjuntos(A, k + 1, n)
Subconjuntos iterativo
permutaciones(A,n)
k =1
while k > 0
do
A[k ] ← proximoElemento(A, k )
while not ultimaOpcion(A,k) and not prometedor(A,k)
do A[k ] ← proximoElemento(A, k )
if not ultimaOpcion(A,k,n)
then if k = n
then print A
else k ← k + 1
else
A[k ] ← primerElemento(A, k )
Vuelta atrás al nivel superior (Backtrack)
k ←k −1
Subconjuntos iterativo
ultimaOpcion(A, k , n)
return A[k ] == 2
proximoElemento(A, k )
return A[k ] + 1
primerElemento(A, k )
return −1
Tareas
I
I
Hallar todas las rutas entre un par de nodos en un grafo
Obtener todas las formas de dar un cambio (devuelta) con
unas cantidades especicadas de monedas de cada
denominación.