Ejercicio 23

UNIDAD 9 Derivadas. Técnicas de derivación
Resolución de algunos Ejercicios y Problemas:
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Ejercicio 23
23 Aplica la derivación logarítmica para derivar:
a) y = x 3x
b) y = x x + 1
d) y = (ln x)x + 1
e) y =
(
sen x
x
c) y = x e
)
x
x
f ) y = x tg x
Resolución
a) Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln x n = n ln x:
y = x 3x 8 ln y = 3x ln x
Derivamos como función implícita:
y'
1
= 3 ln x + 3x · = 3 ln x + 3
y
x
Despejamos y':
y' = x 3x (3ln x + 3)
b) Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln x n = n ln x:
y = x x + 1 8 ln y = (x + 1) ln x
Derivamos como función implícita:
y'
1
1
= ln x + (x + 1) · = ln x + 1 +
y
x
x
Despejamos y':
(
y' = x x + 1 ln x + 1 +
1
x
)
c) Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln x n = n ln x:
x
y = xe
8 ln y = e x · ln x
Derivamos como función implícita:
(
y'
1
1
= e x · ln x + e x · = e x ln x +
y
x
x
)
Despejamos y':
x
(
y' = x e · e x ln x +
1
x
)
d) Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln x n = n ln x:
y = (ln x) x + 1 8 ln y = (x + 1) · ln (ln x)
Derivamos como función implícita:
y'
1
1
x+1
= ln (ln x) + (x + 1) ·
· = ln (ln x) +
y
ln x x
x ln x
Despejamos y':
[
y' = (ln x) x + 1 · ln (ln x) +
x+1
x ln x
]
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Ejercicio 23
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e) Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln x n = n ln x y
que el logaritmo de un cociente es ln
y=
(
sen x
x
)
x
8 ln y = x ln
(
()
a
= ln a – ln b:
b
)
sen x
= x (ln (sen x) – ln x)
x
Derivamos como función implícita:
(
) (
)
y'
cos x
1
sen x
x cos x
= ln (sen x) – ln x + x
–
= ln
+
–1
y
sen x
x
x
sen x
Despejamos y':
y' =
(
sen x
x
) [ (
x
· ln
)
]
sen x
x cos x
+
–1
x
sen x
f) Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln x n = n ln x:
y = x tg x 8 ln y = tg x · ln x
Derivamos como función implícita:
y'
1
= (1 + tg 2 x) · ln x + (tg x) ·
y
x
Despejamos y':
[
y' = x tg x · (1 + tg 2 x) ln x +
tg x
x
]