índice de refracción y coeficiente de extinción del polímero

ÍNDICE DE REFRACCIÓN Y COEFICIENTE DE EXTINCIÓN DEL POLÍMERO
CONJUGADO ORGÁNICO SEMICONDUCTOR MDMO-PPV
RICARDO ANDRÉS MOLINA PEÑA
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA
SANTA FÉ DE BOGOTÁ D.C.
2013
ÍNDICE DE REFRACCIÓN Y COEFICIENTE DE EXTINCIÓN DEL POLÍMERO
CONJUGADO ORGÁNICO SEMICONDUCTOR MDMO-PPV
TG. 1207
RICARDO ANDRÉS MOLINA PEÑA
Trabajo de grado para optar al título de
Ingeniería Electrónica
Director
Juan C. Salcedo Reyes
Físico, MSc, Ph.D
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA
SANTA FÉ DE BOGOTÁ D.C.
2013
Nota de aceptación:
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_________________________________
Físico Ph.D. Juan Carlos Salcedo Reyes
Director del Trabajo de Grado
_________________________________
Ing. Germán Yamhure Kattah
Jurado
_________________________________
Ing. Carlos Eduardo Cotrino Badillo
Jurado
Santa fé de Bogotá, 15 de Noviembre de 2013
NOTA DE ADVERTENCIA
“La universidad no se hace responsable de los conceptos emitidos por sus alumnos en sus proyectos de
grado, solo velará porque no se publique nada contrario al dogma y la moral católica y porque los trabajos
no contengan ataques o polémicas puramente personales. Antes bien, que se vea en ellos el anhelo de
buscar la verdad y justicia”
Artículo 23 de la Resolución No 13, del 6
de julio de 1946, por el cual se reglamenta
lo concerniente a Tesis y Exámenes de Grado
en la Pontificia Universidad Javeriana.
Yo no os aconsejo el trabajo, sino la lucha.
Yo no os aconsejo la paz, sino la victoria.
¡Qué vuestro trabajo sea una lucha!
¡Que vuestra paz sea una victoria!
Federico Nietzsche
In the beginning, God created the heaven and the earth… and God said:
and there was light.
James Clerk Maxwell
Dedico este triunfo a mis padres, los “Administradores de Empresas” José R. Molina
Bello y Martha Peña, por brindarme su constante amor, apoyo y confianza, y por los grandes
esfuerzos y sacrificios que me han permitido alcanzar este gran logro de mi vida.
A mi hermana, la jefe de enfermería Mónica Molina Peña, a Hernán Peña “el perico” ,
a mi tío Honorio García Torres y en especial a mi hermosa nona y madre María A.
García Torres, a quienes les debo el ánimo, el impulso y el apoyo que me brindaron de forma
incondicional, para poder culminar exitosamente esta meta.
A mi abuelita Ana Rosa Bello Daza, a mi padrino Manuel G. García Torres y a
Vicente Molina “el chente” por su compañía desde la eternidad, gracias.
También de manera muy especial a mi mamá A. Antonia Torres, a mi papá Honorio
García Vega y a mi tío-hermano Carlos Peña; que aunque ya no se encuentren físicamente
conmigo, yo se que en todo momento al desarrollar este trabajo estuvieron conmigo, en las
investigaciones, en mis desvelos y sobre todo en los momentos más difíciles de mi carrera profesional,
por eso donde quieran que estén mamá Antonia, papá Honorio y Carlos Peña les dedico mi
esfuerzo y sacrificio desde los más profundo de mi alma y mi corazón… GRACIAS.
AGRADECIMIENTOS
El autor desea dar las gracias a todos los que han suministrado ayuda, concejo, cooperación en forma de
pláticas, artículos, libros y cualquier otra fuente de material para este libro.
Quiero agradecer primero, de forma muy cordial, a Juan C. Salcedo Reyes por darme la oportunidad y la
confianza de trabajar con él en esta investigación y por su infinita paciencia… gracias.
Al grupo de Película Delgadas y Nanofotónica de la Pontificia Universidad Javeriana por dejarme ser
parte del grupo, liderado por el “estimado” Luis Camilo Jiménez.
Al profesor José Sarta por sus consejos y enseñanzas durante esta investigación.
A mis amigos y compañeros que conocí y compartí a lo largo de mi carrera profesional: Jaime Zambrano
“el metacho”, Daniel Gaitán “el chirrete”, Miguel Rodríguez “el punkero”, Juan M. Sánchez “el
pijaracho”, Andrés García “el maestro del ajedrez”, Jorge Ladino “el españolete”, a mi gran amigo Julián
Tenjo “el fifty”, los hermanos Eduardo y Juan Ponce “los peruanos”, José Espejo “el oso” y de forma
muy especial y cordial a mi gran amigo, hermano y parcero Andrés Hacker “el hacker”, gracias.
Por último, quiero agradecer y hacer una mención muy especial y grande!!! al profesor
Gómez,
Oscar Ocaña
por sus consejos, enseñanzas, correcciones, asesorías y por su ayuda incondicional en el
desarrollo de esta investigación, muchísimas gracias.
TABLA DE CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................1
2. MARCO TEORICO ...................................................................................................................................3
2.1 Onda electromagnética .........................................................................................................................3
2.2 Ecuaciones de Maxwell ........................................................................................................................3
2.3 Tipos de medios ...................................................................................................................................4
2.4 Condiciones de Frontera.......................................................................................................................5
2.5 Ecuación de Onda................................................................................................................................6
2.6 Fasores..................................................................................................................................................7
2.7 Transformación de la Ecuación de Onda al dominio de las frecuencias ............................................7
2.8 Vector de Poynting ..............................................................................................................................8
2.9 Onda plana en medios con pérdidas (
) ....................................................................................9
2.10 Dispersión óptica .............................................................................................................................16
2.11 Condiciones de frontera .................................................................................................................20
2.12 Reflexión y refracción de ondas monocromáticas planas ...............................................................20
2.13 ÓPTICA DE MULTICAPAS...........................................................................................................25
2.13.1 Lámina delgada semiconductora (capa o película) ...................................................................25
2.13.2 Matriz de transferencia ..............................................................................................................28
2.13.3 Matriz de propagación en una lámina ......................................................................................31
2.13.4 Matriz de una multicapa ...........................................................................................................32
2.14 MÉTODOS NUMÉRICOS ..............................................................................................................33
2.14.1 Método Directo .........................................................................................................................34
2.14.2 Método de envolventes de Swanepoel y Minkov ......................................................................34
2.14.3 Método Multicapa .....................................................................................................................34
2.14.4 Determinación de las constantes ópticas ...................................................................................35
2.14.5 Determinación del espesor de la película .................................................................................36
3. ESPECIFICACIONES .............................................................................................................................37
3.1 DESCRIPCIÓN..................................................................................................................................37
3.2 MEDIDAS DE TRANSMISIÓN A TEMPERATURA AMBIENTE ...............................................37
3.3 MEDIDAS DE REFLEXIÓN A TEMPERATURA AMBIENTE ....................................................39
3.4 PELÍCULA DELGADA DE MDMO-PPV .......................................................................................39
3.4.1 Semiconductores orgánicos .........................................................................................................39
3.4.2 Polímeros conjugados .................................................................................................................41
3.4.3 Preparación de películas delgadas ...............................................................................................41
3.4.4 Microscopio de fuerza atómica ...................................................................................................44
3.4.5 Características del PC..................................................................................................................44
4. DESARROLLOS .....................................................................................................................................45
4.1 CONSIDERACIONES PREVIAS ....................................................................................................45
4.2 INICIO ..............................................................................................................................................47
4.3 CÁLCULO ........................................................................................................................................47
4.3.1 Modelo Multicapa .......................................................................................................................48
4.3.2 Comparador .................................................................................................................................48
4.3.3 Producto ......................................................................................................................................49
4.4 DERIVADOR ...................................................................................................................................50
4.4.1 Discontinuidad ............................................................................................................................51
4.5 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS - N ............................................52
4.6 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS – K ............................................53
4.7 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS INICIO – N ..............................53
4.8 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS INICIO – K ..............................55
4.9 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS FIN – N ....................................55
4.10 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS FIN – K ...................................56
4.11 SOLUCIÓN......................................................................................................................................56
5. RESULTADOS ........................................................................................................................................58
5.1 RESULTADO DE PRUEBA CONDICIONES IDEALES PARA EL MÉTODO NUMÉRICO
MULTICAPA ..........................................................................................................................................58
5.2 ALGORITMO SWMK – MC ............................................................................................................59
5.3 ERROR DEL MODELO MULTICAPA ...........................................................................................60
5.4 RESULTADO DE PRUEBAS PARA DETERMINAR RANGOS DE LAS CONSTANTES
ÓPTICAS Y ESPESOR DE LA PELÍCULA ORGÁNICA MDMO-PPV ..............................................62
5.5 RESULTADO DE PRUEBAS PARA DETERMINAR LAS CONSTANTES ÓPTICAS DE LA
PELÍCULA ORGÁNICA MDMO-PPV ..................................................................................................64
5.6 RESULTADO DE PRUEBA PARA COMPARAR MÉTODO MULTICAPA VS MÉTODO
SWANEPOEL -MINKOV. ......................................................................................................................65
6. CONCLUSIONES ...................................................................................................................................67
7. BIBLIOGRAFÍA .....................................................................................................................................68
8. ANEXOS.................................................................................................................................................70
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 Onda electromagnética plana propagándose a lo largo del eje x en un medio dieléctrico con pérdidas .... 14
Figura 2.2 Onda electromagnética plana incidente, reflejada y transmitida ................................................................ 21
Figura 2.3 Esquema del sistema multicapa ................................................................................................................. 26
Figura 2.4 Esquema del sistema óptico en estudio, constituido por dos capas plano-paralelas inmersas en el aire, una
de ellas transparente (sustrato) y la otra débilmente absorbente (MDMO-PPV). ................................................ 26
Figura 2.5 Vectores de onda de los campos de entrada y de salida de un sistema multicapa entre dos medios semiinfinitos el ambiente (medio 0) y el sustrato (medio s) ........................................................................................ 27
Figura 2.6 Polarización normal de una onda electromagnética plana para la interface entre dos materiales diferentes
............................................................................................................................................................................. 29
Figura 2.7 Vectores de onda propagándose dentro de un medio de índice de refracción n en los puntos x y x+d. ..... 31
Figura 3.1 Diagrama de bloques general del proyecto. ............................................................................................... 37
Figura 3.2 Transmitancia y reflectancia a temperatura ambiente e incidencia normal para una película delgada
orgánica MDMO-PPV. ........................................................................................................................................ 38
Figura 3.3 Enlaces con electrones- ....................................................................................................................... 40
Figura 3.4 Enlaces - conjugado con electrones- ..................................................................................................... 40
Figura 3.5 Estructura molecular del semiconductor orgánico. a) Poli (p-fenilenovinileno) o PPV, b) Poly [2methoxy-5-(3´,7´-dimethyloctyloxy)-1,4-phenylenevinylene] o MDMO-PPV. .................................................. 41
Figura 3.6 Fabricación de la película MDMO-PPV por la técnica Sping Coating. .................................................... 42
Figura 3.7 Proceso de elaboración de tintas. a) Polímero y solvente se disuelven, b) luego la mezcla se somete al
proceso de sonicación que consiste en calentar la tinta a
por 30 minutos. ................................................. 43
Figura 4. 1 Espectro de transmisión y reflexión óptica para la película ITO a partir de los datos de sus constantes
ópticas. ................................................................................................................................................................. 45
Figura 4. 2 Diagrama de bloques del algoritmo Multicapa para el cálculo del espesor y constantes ópticas de la
película delgada a partir de sus espectros de transmisión y reflexión. ................................................................. 46
Figura 4.3 Esquema del bloque general CÁLCULO. .................................................................................................. 47
Figura 4.4 Esquema del bloque Modelo Multicapa. .................................................................................................... 48
Figura 4.5 Esquema del bloque Comparador. ............................................................................................................. 48
Figura 4.6 Esquema del bloque Producto. .................................................................................................................. 49
Figura 4.7 Esquema del bloque DERIVADOR. .......................................................................................................... 51
Figura 4.8 Esquema del bloque Discontinuidad. ......................................................................................................... 51
Figura 4.9 Esquema del bloque ANDI-N. ................................................................................................................... 52
Figura 4.10 Esquema del bloque CÁLCULO ANDI-N. ............................................................................................. 53
Figura 4.11 Esquema del bloque ANDI INICIO-N. .................................................................................................... 54
Figura 4.12 Esquema del bloque CÁLCULO ANDI INICIO-N. ................................................................................ 54
Figura 4.13 Esquema del bloque ANDI FIN-N. .......................................................................................................... 55
Figura 4.14 Esquema del bloque CÁLCULO ANDI FIN-N. ...................................................................................... 56
Figura 4.15 Constantes ópticas de la película delgada semiconductora ITO. .............................................................. 57
Figura 5.1 Transmisión y reflexión del método numérico Multicapa para el caso de la transmisión. ......................... 58
Figura 5.2 Transmisión y reflexión del método numérico Multicapa para el caso de la reflexión. ............................. 59
Figura 5.3 Transmitancia y reflectancia teóricas desfasadas de los dos métodos numéricos para una película delgada
orgánica semiconductora ITO ............................................................................................................................. 60
Figura 5.4 Transmitancia y reflectancia teóricos corregidos de los dos métodos numéricos para una película delgada
orgánica semiconductora ITO ............................................................................................................................. 61
Figura 5.5 Transmitancia y reflectancia en función de la longitud de onda de la luz, para una película delgada
MDMO-PPV ........................................................................................................................................................ 62
Figura 5.6 Transmitancia, reflectancia y constantes ópticas de la película delgada MDMO-PPV.............................. 63
Figura 5.7 Constantes ópticas de la película orgánica MDMO-PPV........................................................................... 64
Figura 5.8 Transmitancia y reflectancia teóricos de los dos métodos numéricos para la película delgada orgánica
semiconductora MDMO-PPV............................................................................................................................. 66
GLOSARIO
LED: Light Emitting Diode (Diodo emisor de luz)
OLED: Organic Light Emitting Diode (Diodo emisor de luz orgánica)
PPV: poli (p-fenilenovinileno)
MDMO-PPV: Poli [2-methoxy-5-(3´,7´-dimethyloctyloxy)-1,4-phenylenevinylene]
AFM: Atomic Force Microscope (Microscopio de fuerza atómica)
ITO: Indium Tin Oxide (Óxido de Estaño Indio)
: Transmisión en función de la longitud de onda
: Reflexión en función de la longitud de onda
Si -H: Óxido de silicio
Ge - Se: Germanio - Selenio
L.H.I: Lineal, Homogéneo e Isotrópico
P.I: Plano de Incidencia
: Transmisión del sistema multicapa vacio (aire), película, sustrato y vacio
: Reflexión del sistema multicapa vacio (aire), película, sustrato y vacio
P3HT-PCBM: [polímero poly (3-hexylthiophene) llamado P3HT y (6,6 – phenyl C61 – butyric acid
methyl ester) llamado PCBM]
Reflexión: Palabra homónima. Cambio en la dirección o en el sentido de propagación de una onda.
UV-VIS: ultravioleta – visible
Fit: Ajuste teórico.
ANDI: Aproximación numérica de datos indeterminados.
1. INTRODUCCIÓN
Durante la última década los materiales orgánicos han alcanzado un gran interés por su utilización en
distintas aplicaciones optoelectrónica y fotónicas [1]. Actualmente, muchos de los dispositivos que
tradicionalmente estaban basados en materiales semiconductores inorgánicos, tales como diodos emisores
de luz (LEDs), celdas solares, transistores, entre otros, se han conseguido fabricar utilizando materiales
orgánicos. Por otra parte, aquellos materiales que son solubles, presentan la gran ventaja de poder ser
procesados de forma sencilla, utilizando técnicas simples y relativamente baratas, como la deposición por
sping coating o evaporación térmica sobre un sustrato (película delgada orgánica semiconductora). Esto
constituye una gran ventaja, comparada con la sofisticada tecnología requerida para la producción de
materiales inorgánicos en la industria de semiconductores. Además, la versatilidad de la química orgánica
ofrece la oportunidad de obtener materiales en los que se pueden controlar sus propiedades mediante
modificaciones estructurales. Por tal motivo, en los últimos años, se ha observado un creciente interés por
el estudio, tanto teórico como experimental, de las propiedades químicas, físicas, ópticas y electrónicas de
los polímeros -conjugados que, hoy en día, prometen ser la base para el desarrollo de nuevos materiales
encaminado a la fabricación de este tipo de dispositivos, como por ejemplo, fibras ópticas [2], laser de
cristal fotónico [3], computación cuántica [4], celdas solares [5], transistores ópticos [6], sensor óptico [7],
OLED [8], entre otras muchas aplicaciones.
Sin embargo, las propiedades ópticas de las películas delgadas semiconductoras son parámetros
parcialmente conocidos. Por lo tanto, para determinar el espesor y las constantes ópticas de las películas
delgadas semiconductoras, usualmente se recurre a la medición de la transmitancia y reflectancia en
función de la longitud de onda; a partir de estos resultados por medio de programas de computador se
encuentra el espesor, el índice de refracción y el coeficiente de extinción de la película orgánica a partir de
sus espectros. Tal método ha sido tratado por varios autores [9, 10, 11, 12, 13], y se caracteriza por dos
aspectos importantes. El primero, hace referencia a la medida en sí, es decir, los espectros deben ser
medidos a incidencia normal y temperatura ambiente. El segundo aspecto, se refiere al procesamiento de
los datos, ya que es imperativo usar algoritmos y métodos numéricos que lleven a la solución de las
constantes ópticas.
Las técnicas tradicionales para hallar tales constantes ópticas, resultan ser difíciles porque requieren de
criterios y modelos matemáticos laboriosos y difíciles de entender; además, los resultados obtenidos no
son siempre los más adecuados, lo cual imposibilita optimizar el algoritmo y el proceso mismo, lo cual
impide alcanzar mayores niveles de aproximación.
En el presente trabajo las constantes ópticas de estos materiales han sido determinadas usando un método
de caracterización óptica relativamente sencillo, basado en el método numérico multicapa [13], el cual
permite obtener la parte real e imaginaria del índice de refracción complejo y el espesor de la película.
Para llevar a cabo tal cálculo, se desarrolló un algoritmo que posteriormente se implementó en un
programa de computador escrito en MATLAB; el programa nos proporciona las gráficas ajustadas de los
espectros de transmisión y reflexión, también nos entrega las gráficas del índice de refracción y el
coeficiente de extinción en función de la longitud de onda.
Dentro de las ventajas que se pueden obtener por medio de este algoritmo, es el hecho de que es simple,
versátil, eficaz y determinante en el cálculo de las constantes ópticas de una película delgada
semiconductora; además de implementar el algoritmo en un programa de computador escrito en
1
MATLAB, se requiere desarrollar una descripción y análisis matemático riguroso y detallado del modelo
físico (método numérico Multicapa) para entender e interpretar (matemática y físicamente) cada una de las
ecuaciones que compone el método numérico Multicapa; y luego, comprobar y analizar cómo funciona el
modelo en términos de la estimación de los parámetros (constantes ópticas) y el grado de aproximación al
cabo de un determinado número de iteraciones, con el fin de confirmar o corroborar su veracidad. Al
mismo tiempo, el algoritmo implementado permite encontrar una solución más viable que las técnicas
tradicionales o, por lo menos, con menor grado de complejidad y más entendible.
De esta manera, el objetivo general del presente trabajo de grado es determinar, por medio del método
numérico multicapa, el índice de refracción y el coeficiente de extinción del polímero conjugado orgánico
semiconductor MDMO-PPV. Además, los objetivos específicos del proyecto son: Fabricar una disolución
orgánica: disolvente – polímero conjugado orgánico semiconductor PPV; crecer una película delgada de
MDMO-PPV por spin - coating sobre sustrato de vidrio; medir a temperatura ambiente los espectros de
transmitancia y reflectancia de la película orgánica MDMO-PPV y determinar el índice de refracción y el
coeficiente de extinción, en función de la longitud de onda de la película delgada orgánica semiconductor
MDMO-PPV
En el presente informe se organizan los temas así: en el Capítulo 2 el marco teórico con información
importante del método numérico multicapa; en el Capitulo 3 las especificaciones generales de los equipos
utilizados en la preparación, fabricación y medición óptica de una película delgada orgánica
semiconductora; en el Capitulo 4 se encuentran los desarrollos realizados para la solución del problema; el
Capitulo 5 muestra los resultados obtenidos de la solución expuesta en el capitulo anterior y su respectivo
análisis; finalmente, en el Capitulo 6 se llega a las conclusiones finales del proyecto y reflexiones basadas
en los resultados obtenidos, objetivos generales y los objetivos específicos del trabajo de grado.
Después de realizar el proyecto, se ofrece una herramienta computacional que sirva al sector industrial,
académico y/o científico. Por último, confío que mi trabajo sea útil a algunos, para nadie perjudicial y que
todos agradezcan mi veracidad.
2
2. MARCO TEORICO
En este capítulo se estudian las aplicaciones de las Leyes de Maxwell en el problema de la propagación de
ondas planas uniformes electromagnéticas en distintos medios, siendo estos homogéneos, lineales e
isotrópicos con diferentes propiedades ópticas. El estudio de la reflexión/refracción implica la obtención
de expresiones que determinan la dirección de propagación, la amplitud, cambios de fase y polarización de
las ondas transmitida y reflejada. Para realizar este estudio se emplea las condiciones de frontera de los
campos en puntos muy cercanos a la interfase de separación de dos medios. Estas relaciones se derivan de
las ecuaciones de Maxwell y a partir de estas expresiones, se obtiene la ecuación de onda para el campo
eléctrico y magnético. Aplicando condiciones de frontera y continuidad, se deduce, las direcciones de
propagación de las ondas reflejada y transmitida que se expresan mediante las leyes de Snell (reflexión y
refracción). A continuación se estudian las relaciones entre las amplitudes (coeficientes de reflexión y
transmisión) e intensidades (reflectancia y transmitancia) de las ondas obteniendo las expresiones
conocidas como fórmulas de Fresnel. A partir de las ecuaciones de Fresnel, se aborda el estudio de las
películas delgadas que se utilizan, ya sea como una sola capa o multicapa. Por último, se explica los
métodos numéricos que calculan las constantes ópticas de una película delgada semiconductora.
2.1 Onda electromagnética
Una onda electromagnética viajera clásica es la propagación de una perturbación de un medio, que se
mueve en el espacio transportando energía (en términos de “partículas” sin masa denominadas fotones) e
impulso. Entonces, de modo muy pragmático, se considera que la luz es una onda electromagnética
clásica, teniendo en cuenta el hecho de que hay situaciones para las cuales esta definición es
absolutamente inadecuada.
2.2 Ecuaciones de Maxwell
Para un cuerpo de masa
velocidad
[kg], carga del electrón
[
[m/s], en una región con Intensidad de Campo Eléctrico
2
2
], que se mueve con
[V/m] y Densidad de Flujo
Magnético [T =Wb/m =Vs/ m ], la fuerza electromagnética o Fuerza de Lorentz
que actúa o describe la acción de los campos sobre un cuerpo o partículas cargadas, es:
[N], ver [14],
(2.1)
Las expresiones matemáticas que describen las leyes sobre electricidad, magnetismo y óptica, son
ecuaciones basadas en observaciones experimentales (Gauss, Faraday y Ampere) y que permiten la
descripción clásica de las partículas que interactúan con el campo electromagnético. La relación de
igualdad entre las leyes y principios físicos para la explicación de fenómenos electromagnéticos
macroscópicos se denomina Ecuaciones de Maxwell [14]. En términos de la carga “libre” y corriente
“libre”; según el autor [15], obtenemos que:
(2.2)
3
Intensidad de Campo Magnético [A/m];
2
Campo Eléctrico [V/m];
Densidad de Flujo Magnético
2
[Wb/m = Vs/ m = T];
Desplazamiento Eléctrico o Densidad de Flujo Eléctrico [C/cm2];
Densidad
2
volumétrica de Corriente eléctrica libre [A/m ];
Densidad volumétrica de carga eléctrica libre [C/m3];
Densidad volumétrica de carga magnética libre [Wb/m3 = Vs/ m3 = T/m] (carga magnética por unidad
de volumen; lo que significa que
);
,
Densidad volumétrica de Corriente
2
de Desplazamiento [A/m ];
Densidad volumétrica de Corriente de carga magnética libre [Wb/(m2.s)
= V/m2] (al no encontrarse experimentalmente la carga magnética libre o mono polo magnético, la
densidad volumétrica de corriente de carga magnética libre también es nula,
estas condiciones son funciones de la posición y el tiempo.
). En general todas
Para el caso de un flujo neto por unidad de volumen
a través de la superficie cerrada que limita el
volumen (carga eléctrica libre neta “sale” por unidad de volumen y tiempo) determina la rapidez de
cambio de la densidad de carga eléctrica libre en un punto. Dicho fenómeno físico recibe el nombre de la
ecuación de continuidad o principio de conservación de la carga eléctrica [14].
(2.3)
Las cuatro ecuaciones de Maxwell no son suficientes para describir la evolución del campo
electromagnético, siendo necesario añadir las relaciones de definición del vector de desplazamiento
eléctrico
y el campo magnético .
(2.4)
Campo de Polarización [C/m2] (momento dipolar eléctrico por unidad de volumen);
Campo de
2
.
-12
magnetización [A/m ];
permitividad eléctrica del vacío [8.854187817 10 F/m];
permeabilidad
magnética del vacío [4π.10-7 H/m].
Por último, se indica las relaciones entre los campos
y
con los campos eléctrico
y magnético .
(2.5)
(2.6)
Susceptibilidad eléctrica [adimensional];
permitividad relativa del medio [adimensional];
susceptibilidad magnética [adimensional];
permeabilidad relativa del medio [adimensional].
2.3 Tipos de medios
Los materiales se dividen de acuerdo a sus propiedades eléctricas tales como la permitividad eléctrica del
medio [F/m] y la permeabilidad magnética del medio [H/m = N/A2]; en conductores y no conductores,
según su conductividad [1/(Ω m) = S/m]. Los materiales no conductores se denominan aisladores o
dieléctricos (caso que es de nuestro interés).
4
La conductividad de un material depende de la temperatura y la frecuencia. Un material de alta
conductividad
se denomina metal, uno de baja conductividad
aislador y uno de
conductividad intermedia, semiconductor. Existen tres tipos de medios:



Lineal: No depende del valor de los campos electromagnéticos; el material conserva sus
propiedades
del medio material por el que se propaga la luz.
Homogéneo: No depende de la posición del campo; por tanto, el material no cambia sus
propiedades.
Isotrópico: No cambia su valor con la dirección del campo; por lo cual, el material mantiene sus
parámetros
.
Si el medio es el lineal, homogéneo e isotrópico (L.H.I) y no dispersivo,
escalares constantes. Si el medio es no lineal, homogéneo e isotrópico,
tensores y si es dispersivo dependerán de la frecuencia del campo.
son parámetros
no serán escalares sino
La densidad de corriente eléctrica libre puede ser de conducción
o convención
, donde
indica la velocidad promedio de los portadores de carga libre. La corriente de convención que es
distinta a la de conducción, ocurre cuando la corriente fluye a través de un fluido como liquido, gas o en el
vacío; por lo tanto, no implica conductores y, en consecuencia, no satisface la Ley de Ohm.
Por lo tanto, si el medio es L.H.I y sin fuentes
simplifican:
las ecuaciones de Maxwell se
(2.7)
También existen las siguientes relaciones:
(2.8)
(2.9)
2.4 Condiciones de Frontera
En general, los campos
, son discontinuos en el límite entre dos medios diferentes. Tales
discontinuidades se pueden deducir a través de las ecuaciones de Maxwell [14,15]. A partir de la
divergencia y Teorema de Gauss – Ostrogradsky [15]; el rotacional y Teorema de Stokes [15]; y
considerando, que el vector normal va del medio 1 al medio 2, se obtiene:
(2.10)
(2.11)
Por último, del Teorema de Gauss, resulta
5
(2.12)
Igualmente, se pueden establecer relaciones entre la polarización y la magnetización a ambos lados de una
frontera, por medio de las cargas de polarización y de magnetización, así como de las corrientes de
magnetización.
(2.13)
Densidad volumétrica de carga de Polarización [C/m3];
Magnetización [A/m2].
Densidad volumétrica de corriente de
(2.14)
2.5 Ecuación de Onda
A partir de las ecuaciones de Maxwell, se deducirán ecuaciones que determinan el comportamiento de
cada uno de los campos en medios LHI en forma independiente, es decir, ecuaciones que incluyan
relaciones espaciales y/o temporales para uno sólo de los campos, deducción que se centrará
principalmente para los campos eléctricos e intensidad magnética.
Si se aplica el operador rotacional a la ecuación que expresa el rotacional del campo eléctrico , se tiene
que:
(2.15)
Si se usa la siguiente identidad vectorial.
(2.16)
Se obtiene el siguiente resultado:
(2.17)
La ecuación anterior representa la ECUACIÓN DE ONDA PARA EL CAMPO ELÉCTRICO.
Realizando el mismo procedimiento para , se obtiene:
(2.18)
La ecuación anterior representa la ECUACIÓN DE ONDA PARA LA INTENSIDAD DE CAMPO
MAGNÉTICO.
Las ecuaciones anteriores son similares matemáticamente, implica que la solución homogénea (o sin
fuentes
) es la misma para los campos
y
6
, hecho que simplifica el proceso de la solución
(resuelta una de las ecuaciones está resuelta la otra), y desde el punto de vista físico, significa una
equivalencia o similitud en el comportamiento de los dos campos.
2.6 Fasores
Si un campo, por ejemplo el eléctrico
, está dado por una onda armónica o monocromática
(movimiento periódico) en cualquier instante de tiempo, se obtiene que:
(2.19)
Donde
son vectores constantes,
en el cual cada componente tendrá su respectiva
magnitud y fase
. Simultáneamente,
que es la
frecuencia angular, siendo f la frecuencia y T el periodo. Utilizando la notación de fasores, según el autor
[16,17], se encuentra:
(2.20)
En forma similar, para la intensidad del campo magnético
, la densidad de flujo magnético
,
el desplazamiento eléctrico
, si son funciones armónicas, se pueden expresar como la parte real de
un campo que depende de la posición, por la función exponencial armónica que dependen del tiempo.
Si el campo es periódico en el tiempo, se puede expresar en series armónicas de Fourier [15], así:
(2.21)
La ecuación anterior representa la Serie Trigonométrica de Fourier del campo eléctrico. El primer
miembro de la ecuación representa el nivel “DC” del campo. El segundo miembro consta de una serie, el
primero la componente par del campo y el segundo la componente impar del campo.
2.7 Transformación de la Ecuación de Onda al dominio de las frecuencias
Considerando que la solución de la ecuación de la onda sea la superposición de campos armónicos de
diferentes frecuencias (series de Fourier si el campo es periódico, Transformada de Fourier en el caso
general), para cada frecuencia se deben satisfacer las diferentes ecuaciones (de Maxwell, de frontera, de
onda, entre otras). Si partimos de la ecuación:
(2.22)
Aplicando la Transformada de Fourier, teniendo en cuenta que la transformada de un laplaciano es el
laplaciano de la Transformada, la transformada del gradiente es el gradiente de la Transformada y la
transformada de la derivada temporal es
veces la transformada del campo, se obtiene en el dominio de
las frecuencias:
7
(2.23)
Realizando el mismo procedimiento para , se obtiene.
(2.24)
2.8 Vector de Poynting
En el estudio de campos electrostáticos, se encuentra que
, lo que implica que el campo
electrostático es conservativo; al estudiar los campos variables con el tiempo, el rotacional del campo
eléctrico deja de ser nulo,
lo que significa que el campo eléctrico, al ser dependiente
del tiempo, no es conservativo (se transforma en energía mecánica o de otro tipo).
La energía transportada por el campo electromagnético a través del espacio, depende de la energía
suministrada a la fuente en la que el campo electromagnético se genera, debiendo mantenerse el equilibrio
o la relación entre la velocidad de transporte de energía (propagación), la transferencia de energía al medio
(efectos disipativos) y la energía asociada a los campos. Entonces, a partir del sistema de ecuaciones de
Maxwell se describe la energía que posee el campo electromagnético (que puede ser determinada a partir
de las amplitudes de la intensidad del campo eléctrico y de intensidad magnética) [14, 15].
(2.25)
La ecuación anterior representa el TEOREMA DE POYNTING en forma integral. El primer miembro de
la igualdad es la potencia suministrada por todos los generadores existentes dentro del volumen ,
resultado que representa la energía que se transforma en calor, por el efecto Joule (la densidad de corriente
puede ser de conducción o de convección). El segundo miembro consta de dos sumandos, el primero,
la energía almacenada en los campos eléctricos y magnéticos, y el segundo término representa la potencia
transmitida, a través de
, a la región exterior a . Este flujo de energía del campo electromagnético, a
través de una superficie cerrada, se caracteriza por el vector , llamado el vector de Poynting que es igual
a:
(2.26)
Este vector representa el flujo de energía por unidad de tiempo y área, es decir, la intensidad de la onda,
que se propaga en los campos electromagnéticos. El cual se interpreta como la densidad de potencia
instantánea en watts por metro cuadrado
de potencia instantánea en un punto del espacio.
. La dirección del vector
indica la dirección del flujo
En el producto vectorial anterior que define el vector de Poynting, los campos se suponen reales. Pero si,
y
se expresan en forma compleja y dependen en común del tiempo
8
, es decir,
y
. Por consiguiente, la intensidad media de radiación
está dada por.
(2.27)
Donde
es el complejo conjugado de la intensidad del campo magnético .
Si queremos obtener la versión diferencial del teorema de Poynting [14,15]; a partir de la ecuación (2.25)
resulta que:
(2.28)
Esta ecuación expresa la ecuación de conservación de la energía en medios no disipativos.
2.9 Onda plana en medios con pérdidas (
)
Para el presente estudio se considera una onda electromagnética, monocromática, plana y uniforme que se
propaga en un medio dieléctrico (con pérdidas), por lo que, para ella, el vector de propagación , la
permitividad eléctrica del medio , la impedancia intrínseca , la conductividad del material (ó tangente
de pérdidas) y el índice de refracción , son complejos.
Para el caso (que nos interesa para nuestro estudio) en el cual los campos se propagan en un material
dieléctrico de permitividad
y permeabidad , sin fuentes y dependen únicamente de una coordenada
espacial; en este caso la coordenada x (en principio los campos puede tener cualquier dirección de
propagación y por tanto tener componentes en
y/o ), y a su vez ambos campos no poseen
componentes según esa dirección; suponiendo que el medio es L.H.I. se tiene:
(2.29)
Factorizando
(2.30)
Por lo tanto.
(2.31)
Por simplicidad supondremos
eje x. Por lo tanto,
en una sola dirección por ejemplo “y”, propagándose en la dirección del
no varía con “y” o “z”, a su vez, las derivadas
(2.32)
Por lo que se obtiene
(2.33)
9
Donde
son vectores constantes, en general complejos
tendrá su respectiva magnitud y fase
en el cual cada componente
o si se prefiere, parte real e imaginaria
.
Si
con
y
vectores constantes (reales o complejos), utilizando la identidad
, según [15], y sustituyendo en (2.31) de forma general, resulta:
(2.34)
De tal forma que se encuentra como condición para satisfacerla que
(2.35)
Donde
(2.36)
Siendo el ángulo
el ángulo de pérdidas, que sirve para diferenciar a los buenos conductores, cuando la
tangente de pérdidas es grande
de los buenos dieléctricos, cuando es pequeña
.
La magnitud de un vector complejo es:
(2.37)
Donde el vector de propagación
debe ser una constante escalar complejo, esto es:
(2.38)
Donde la parte real e imaginario
y son ambos números reales. También, el índice de refracción
una constante escalar compleja al igual que . Por lo tanto.
es
(2.39)
Donde el índice real e imaginario
expresar también como:
y
son ambos números reales. El vector
complejo se puede
(2.40)
La magnitud es:
(2.41)
Y la fase es:
10
(2.42)
Por lo tanto:
(2.43)
De acuerdo a la ecuación anterior se determina la parte real e imaginaria de
.
(2.44)
(2.45)
Aplicando las identidades trigonométricas.
(2.46)
Reemplazando en la parte real y simplificando:
(2.47)
Finalmente la parte real
es:
(2.48)
La parte real del vector de propagación
, es denominado número de onda o de propagación;
determina el comportamiento periódico de la onda en el espacio, en este caso en dirección del eje x; el
campo está descrito por la función armónica de periodo , por lo tanto completa un periodo espacial, es
decir, una longitud de onda λ, cuando:
(2.49)
La velocidad de propagación de la fase está determinada por:
(2.50)
(2.51)
Realizando el mismo procedimiento para el coeficiente de atenuación
, resulta:
(2.52)
11
La parte imaginaria del vector de propagación
, es denominado el coeficiente de atenuación; por
tanto, la magnitud de
es el inverso de la distancia
, medida a lo largo del eje
x, para la cual la amplitud de la onda disminuye (se atenúa), a
su valor inicial (aproximadamente al
), distancia que se denomina profundidad de penetración.
(2.53)
Reemplazando
y
en la ecuación (2.33), queda.
(2.54)
Con
y
conocidos y reemplazando
por su magnitud y fase en (2.20) se obtiene:
(2.55)
De modo que
(2.56)
Ahora, reemplazando
en (2.17) y según (2.32), se encuentra que la solución de la ecuación de
onda para el campo eléctrico es:
(2.57)
(2.58)
(2.59)
(2.60)
(2.61)
Finalmente, se encuentra que las condiciones para satisfacer la ecuación de onda son:
(2.62)
Para el caso que se está estudiando, una onda plana uniforme que sólo depende de x, en un medio L.H.I,
sin fuentes (
sin embargo, suponiendo
a
, resulta que
, de la expresión
que es equivalente
), con pérdidas (dieléctrico o conductor) y, por tanto, el vector de propagación
es complejo;
ahora, es necesario verificar que el campo
obtenido, soluciona las ecuaciones de Maxwell, dado
que no es suficiente con satisfacer la ecuación de onda, por lo que se debe ahora emplear la formulación
de las ecuaciones de Maxwell, para verificar si la solución encontrada, representa un campo eléctrico, así:
De la expresión
, se obtiene que:
12
(2.63)
El desarrollo anterior demuestra que el campo eléctrico variable con el tiempo es un campo no
conservativo. Si la expresión fuera
; la ecuación anterior implica que el campo es
electrostático (estacionario) y, además conservativo, por consiguiente, el trabajo total es nulo. De donde
se desprende también la existencia de una función potencial V, tal que
. De la ecuación
y
(ecuaciones fundamentales de la electrostática) se llega a la ecuación de Poisson
. Si la densidad de carga es nula, se convierte en la ecuación de Laplace
.
Continuando con nuestro análisis para el campo eléctrico variable con el tiempo; para hallar
de la ecuación
entonces
partimos
. De la expresión
, se desprende que
. De la relación
. Además, se debe cumplir
entonces
Simultáneamente de la relación
se encuentra
que
.
Por
, resulta
por lo tanto,
y
.
. De la ecuación
último,
de
se obtiene
se
encuentra
.
Puesto que la ecuación de onda para la intensidad del campo magnético
, es idéntica a la de
,
su solución matemática debe ser de la misma forma, es decir
.
Cuya solución para la onda es
. En este caso, la dirección de
encuentra en “z”, propagándose en la dirección del eje x. Por lo tanto,
se
no varía con “x” o “y”, las dos
derivadas correspondientes son cero, y se obtiene
Retomando las expresiones
(Nótese que cuando
,
(onda plana en un medio sin pérdidas) las ecuaciones anteriores se reducen a:
y
, por lo tanto,
y
los puntos del espacio. Una onda es plana y uniforme si
(FASORES) están en fase en todos
y
(VECTORES) son ortogonales y a la
vez, estos son ortogonales al vector de propagación ; en otras palabras, la onda electromagnética plana
es una onda transversal; las superficies (plano de fase constante) que unen todos los puntos de igual fase
se conocen como frentes de onda. La velocidad de la luz
en el vacío se encuentra
relacionada con
y
a través de
. La longitud de onda en el vacio es
. El
índice de refracción del medio es
De manera similar, el comportamiento periódico de
la onda en el espacio es
obtiene:
y
) y reemplazando
por su magnitud y fase en (2.20) se
(2.64)
13
De modo que
(2.65)
En esta expresión y la ecuación (2.56), los signos dobles
, que aparecen como superíndices (¡no
exponente!) en los fasores
, ,
y
, indican que la onda se propaga en la dirección positiva
(signo de arriba) o negativa (signo de abajo) del eje x; mientras los superíndices de la constante de fase
corresponde también a la onda propagándose en dirección positiva o negativa del eje x. Los signos dobles
que aparecen en las constantes y , indican que la ecuación de onda tiene dos soluciones.
Sin embargo, (2.65) no es la solución de la intensidad magnética; por lo tanto, el proceso para encontrar
la solución de la ecuación de onda para
es similar a lo que se implementó con el campo
eléctrico
; proceso que no se desarrollaremos aquí. Observemos, además, que en un medio con
pérdidas
y
ya no están en fase (no son ortogonales) y que la diferencia de fase
,
es positiva. Esto significa que
y
ya no alcanzan sus mínimos y máximos juntos; por lo
tanto, es una polarización lineal [15]. Existen tres tipos de polarización: lineal, circular y elíptica. Para
nuestro caso en particular, la polarización lineal se produce cuando la razón entre las dos componentes del
fasor del campo eléctrico (resuelto para este caso; se obtiene el vector de campo magnético, pues es
perpendicular y proporcional al campo eléctrico) es una cantidad real, lo que requiere que la diferencia de
fase entre ellas sea múltiplo entero de
; con n par (los campos en los dos ejes “están en fase”) el
resultado es positivo y con n impar (los campos en los dos ejes “están opuestos fase”) es negativo. En
cualquier caso, las magnitudes de esas componentes son en todo momento proporcionales “estén en fase u
opuestas en fase”.
En la siguiente figura se ilustra el comportamiento de la onda electromagnética propagándose a lo largo
del eje x.
Figura 2.1 Onda electromagnética plana propagándose a lo largo del eje x en un medio dieléctrico con pérdidas. Tomado de [18].
14
Por el momento, si tomamos la normal en la dirección de propagación de la onda, se puede definir un
vector de propagación
como
. Por lo que a partir de (2.32), el operador nabla
es
equivalente a la sustitución
; con lo que las ecuaciones de Maxwell (2.7) se vuelven [15]:
(2.66)
Los dos primeros resultados nos indican que el vector
(real o complejo) debe ser ortogonal a los campos
y , y las otras dos ecuaciones nos permiten concluir además, que los campos y (fasores) son
ortogonales entre sí. Sin embargo, si y (vectores complejos), que es el caso de nuestro interés, no son
ortogonales, hay que encontrar el desfase
entre los campos electromagnéticos. Por lo tanto, si
simplificamos en las dos últimas ecuaciones y dividimos por la magnitud del vector
, encontramos:
(2.67)
(2.68)
Donde
recibe el nombre de impedancia característica
del medio. Como las unidades de son voltio por metro [V/m] y las de son amperios por metro [A/m],
la relación entre las ondas incidentes del campo eléctrico y magnético tendrá dimensiones de impedancia,
es decir, ohmios [Ω]. La cantidad
ohmios Ω es conocida como la impedancia
del espacio vacío.
Reemplazando ( ) en (2.67) y aplicando el complejo conjugado; se obtiene que para un medio con
pérdidas la impedancia intrínseca es una cantidad compleja.
(2.69)
El valor absoluto o magnitud de la constante compleja
es
(2.70)
La fase de la constante compleja
es
(2.71)
Como el ángulo de fase de la impedancia intrínseca
eléctrico y magnético estén desfasados un ángulo
es diferente de cero, esto provoca que los campos
. Con este resultado se demuestra que los campos
y
(vectores complejos) al propagarse en un medio con pérdidas (dieléctrico en este caso) no son
ortogonales. Sin embargo, recordemos que la ortogonalidad depende del tipo de polarización, el medio en
15
el que se propaga la onda y el cómo, esta se propaga antes, durante y después de atravesar el medio
(incidencia normal u oblicua).
2.10 Dispersión óptica
Los materiales dieléctricos, como vidrio o plástico, son buenos aisladores cuando se encuentran sometidos
a campos estáticos; pero, pueden llegar a consumir una cantidad apreciable de energía cuando se los
expone a campos variables en el tiempo. Las formas en que los procesos físicos en un material pueden
afectar el campo eléctrico de la onda se describen por medio de la permitividad compleja.
También pueden presentarse pérdidas que surgen como respuesta del medio al campo magnético y estas se
modelan a través de una permeabilidad compleja. Como ejemplo, están los materiales ferromagnéticos o
ferritas. La respuesta magnética es, en general, muy débil comparada con la respuesta del dieléctrico en la
mayoría de los materiales destinados para la propagación de ondas; en tales materiales se puede decir que
(constante).
Es necesario en la presente sección, realizar una descripción microscópica de la materia en forma
cualitativa con la idea de aclarar el efecto de un campo eléctrico sobre un átomo o molécula. Cualquier
trozo de materia (dieléctrico en este caso) está formado por átomos y/o moléculas, que poseen tanta carga
positiva como negativa.
En ausencia de campo eléctrico, la molécula tendrá un momento dipolar nulo, es decir, moléculas
apolares o no polares. Si suponemos ahora, la molécula en presencia de un campo eléctrico, aparecerán
fuerzas
sobre las cargas. Las cargas positivas tenderán a moverse en dirección del campo y las
negativas en dirección opuesto al campo; por lo tanto, la fuerza eléctrica neta sobre un dipolo eléctrico en
un campo eléctrico externo uniforme es cero. Por tanto, la molécula posee un momento dipolar inducido y
ha sido polarizada. Puede suceder otra posibilidad; es que debido a su estructura interna, la molécula
posea un momento dipolar, aun en ausencia de campo. Las moléculas de esta clase se denominan
polares y su momento dipolar se considera como un momento dipolar permanente. Un ejemplo de esta
clase es la molécula de agua
. Una partícula eléctricamente cargada en el punto , con carga ,
genera un momento dipolar eléctrico [14,15]; el cual se define como:
(2.72)
Siendo una partícula de carga eléctrica [C] y brazo del dipolo [m] (separación entre carga eléctrica
positiva y negativa), por lo que dicho átomo está polarizado. Sin embargo, mientras la fuerza neta sobre
un dipolo eléctrico es cero, sus momentos de torsión no suman cero. El momento de torsión tiende a
alinearse al campo eléctrico externo uniforme
(dado que las dos cargas no pueden separarse) y se
calcula con respecto al centro del dipolo eléctrico, así [14]:
(2.73)
Donde es el momento de torsión vectorial sobre un dipolo eléctrico,
momento dipolar eléctrico y es
el campo eléctrico. Las unidades de la magnitud del momento de torsión
son carga por voltio [
]. El
momento dipolar resultante por unidad de volumen se denomina polarización eléctrica .
Sin conocer muchos más detalles acerca de las interacciones atómicas internas; nuestro análisis será,
exclusivamente, “osciladores armónicos electrónicos”. Podemos decir (aproximar) que, el sistema (núcleo
16
átomo-electrón) es equivalente a un sistema mecánico; constituido por una gran esfera (núcleo de átomo),
unida a otra pequeña esfera (nube de electrones), a través de un resorte; por lo tanto, si el sistema es
afectado por pequeñas perturbaciones, tiene que haber una fuerza neta, para restablecer el “equilibrio
del sistema”; las fuerzas restauradoras (fuerza elástica) tienen la forma
;
es la constante
elástica. Una vez que el sistema haya sido perturbado momentáneamente de esta forma, oscilará (electrón)
con una frecuencia de resonancia o natural dada por
donde
es su masa. Esta es la
frecuencia oscilatoria del sistema sin excitación; es decir, que sin una fuerza impulsora (onda incidente), el
oscilador vibrará a su frecuencia de resonancia
Cuando una onda luminosa (se propaga en x) incide en un medio (dieléctrico sin pérdidas), cada átomo
puede considerarse como un oscilador forzado clásico que está siendo excitado por un campo eléctrico
variable en el tiempo
, que aquí se supone en la dirección “y”. La ejercida sobre una partícula de
carga eléctrica por el campo
(campo eléctrico externo o macroscópico) de una onda armónica
de frecuencia tiene la forma.
(2.74)
Donde
es el campo local o molecular; campo que actúa sobre una partícula del medio y es la
excitación forzada que hace que oscile el electrón. Por la segunda ley de Newton; la suma de las fuerzas es
igual a la masa por la aceleración:
(2.75)
El primer término a la izquierda corresponde a la fuerza impulsora, el segundo término es la fuerza
restauradora opuesta y el tercero es la fuerza viscosa que experimenta las partículas (electrones, átomos,
moléculas, entre otros) que conforman el material al moverse dentro de un fluido (gas, líquido, sólido e
incluso el vacío), y se conoce como el parámetro de amortiguación.
Si se trata de un campo eléctrico armónico, es de esperar que la solución de
sea también una función
armónica de igual frecuencia, por lo que la ecuación anterior se puede expresar en forma de fasores, con
; al reemplazar y resolver se obtiene
(2.76)
Donde
es el coeficiente de amortiguación y representa la fuerza de disminución de la
amplitud en el sistema mecánico (la amortiguación de la amplitud se debe, en parte, a la energía perdida
cuando los osciladores forzados vuelven a radiar energía dentro de la sustancia en forma de “calor”).
Recordemos que el campo eléctrico que actúa sobre la partícula es el campo local o molecular, no el
macroscópico, donde el fasor del campo local está dado por, según [15],
, donde
,
para dieléctricos isotrópicos no polares y
conductores.
Despejando
17
para
(2.77)
El momento dipolar inducido equivale a la carga multiplicada por su desplazamiento
y, si
tenemos N dipolos por unidad de volumen, la polarización eléctrica o densidad de los momentos
dipolares es
, y, por tanto, la susceptibilidad eléctrica será
(2.78)
Lo desarrollado hasta ahora supone un único tipo de oscilador, pero en general, son numerosas las clases
de osciladores entre los electrones de diferentes órbitas. Por tanto, el campo de polarización y la
susceptibilidad eléctrica debe incluir la suma de las contribuciones realizadas por cada clase de oscilador
, esto es, hay electrones por unidad de volumen con frecuencia
; así:
(2.79)
A partir de la ecuación anterior, es fácil deducir la expresión para la constante dieléctrica y, reemplazando
la susceptibilidad eléctrica en la ecuación (2.6), resulta:
(2.80)
Multiplicando por el complejo conjugado se encuentra
(2.81)
Donde
se conoce como la constante de la permitividad relativa del medio; lo que resulta ser una
cantidad compleja,
; en el estudio de la propagación de ondas en medios disipativos, se
había encontrado una permitividad compleja
según lo cual, la parte imaginaria
depende de la conductividad, lo que significa, que el medio dieléctrico objeto de este estudio, presenta
pérdidas que dependen de la frecuencia del campo impulsor (incidente al medio dieléctrico).
De la ecuación (2.81) y las expresiones posteriores a esta, se deduce que la parte real de la permitividad
relativa del medio es
(2.82)
Mientras que la parte imaginaria de la permitividad relativa del medio es:
(2.83)
18
De aquí, se puede concluir, que tanto la permitividad relativa, como la conductividad son funciones de la
frecuencia, teniendo en cuenta que la respuesta de un oscilador
y la transferencia de potencia de la
fuerza impulsora
dispersivo.
al oscilador, son funciones de la frecuencia, por lo que se trata de un medio
Las ecuaciones (2.82) y (2.83) son aplicables a muchos sistemas (diferentes materiales) de absorción de
luz e ilustran tanto la contribución de un sistema (película orgánica - sustrato) dado a la constante
dieléctrica, como la relación existente entre sus partes real e imaginaria. Para bajas frecuencias
, la constante dieléctrica crece con la frecuencia, y, la polarización eléctrica estará en fase con
respecto al campo eléctrico aplicado a dicha materia. A frecuencias cercanas a la de la resonancia
, la parte real e imaginaria (constante dieléctrica) tienen un máximo que se refleja en el aumento
resonante del desplazamiento. A frecuencias mucho más altas
, la constante dieléctrica tiende a
la permitividad del vacío, indicando que el sistema en cuestión no puede responder a esas frecuencias, por
lo tanto, no contribuye a la polarización del medio; además, la polarización eléctrica resultante estará, por
lo tanto, desfasada con respecto al campo eléctrico aplicado.
Conocemos que el índice de refracción es la raíz cuadrada de la permitividad eléctrica relativa; por
consiguiente,
y haciendo
(la permeabilidad magnética en numerosos materiales es
), la primera ecuación se simplifica a
y, el índice de refracción complejo se obtiene de
la raíz de un número complejo [19]. Desarrollando un análisis similar al que se realizó arriba con el vector
de propagación; podemos decir que la ecuación de dispersión es:
(2.84)
Haciendo
(2.85)
Donde
es la frecuencia de plasma, es decir, la frecuencia natural a la que la densidad de electrones de
valencia e iones positivos oscila dentro del medio con pérdidas. La frecuencia de plasma determina
cuando la onda incidente al medio disminuye exponencialmente. Si
, es real, la absorción es
pequeña y el medio es transparente (dieléctrico ideal, vidrio). Es por esto que, si nos mantenemos alejados
de la frecuencia de resonancia
, la amortiguación se puede ignorar y la fórmula del índice de
refracción se simplifica a
, por lo que resulta
(2.86)
Para este caso en particular, es decir, para materiales transparentes, las resonancias más significativas se
encuentran generalmente en el rango de ultravioleta - visible (UV-VIS - 380nm - 780nm), por lo que
. Con esta condición, por desarrollo en serie de Taylor, se obtiene
19
(2.87)
Por consiguiente, reemplazando en la ecuación (2.86) y factorizando, se encuentra que
(2.88)
En términos de la longitud de onda en el vacío (
), tenemos que
(2.89)
Esta expresión se conoce como la ecuación de Cauchy; la constante A es el coeficiente de refracción
(cambio de dirección que experimenta la luz al pasar de un medio a otro) y B es el coeficiente de
dispersión.
La dispersión del índice de refracción
, también se puede analizar según el modelo de WempleDiDomenico basado en el oscilador armónico simple [10]. Es importante porque fue la primera
investigación que conectó los parámetros de fotón de energía, oscilador de energía y oscilador armónico
simple de dispersión óptica. La conexión entre estos parámetros se logró al conectar la relación
matemática entre las partes real e imaginaria de la constante de la permitividad relativa del medio
conocida como, las relaciones Kramers-Kronig [10], también llamadas relaciones de dispersión.
2.11 Condiciones de frontera
El problema a estudiar ahora es lo que ocurre, acorde con las ecuaciones de Maxwell, con una onda
monocromática plana, que se propaga en un medio, con o sin pérdidas, al llegar a la superficie que limita
este medio con otro medio, también con o sin pérdidas; en general, empíricamente se observa que “parte
de la onda” se refleja y “parte” se transmite, por lo que es necesario determinar las características de las
ondas reflejada y transmitida.
Los campos asociados a cada una de las ondas, incidente, reflejada y transmitida, deben satisfacer las
condiciones de frontera. Con
el vector unitario normal a la interfase (no confundir con el índice de
refracción (parte real e imaginaria),
y
), en dirección del medio incidente al transmitido y
suponiendo que el medio es L.H.I, se obtiene:
(2.90)
(2.91)
2.12 Reflexión y refracción de ondas monocromáticas planas
Una onda monocromática plana incidente que viaja en un medio 1 de parámetros electromagnéticos
que entra en otro medio 2 de parámetros
forma un ángulo cualquiera, en este caso,
los ángulos de incidencia
y de refracción
que se miden respecto a la normal (N) de frontera;
20
asimismo, los vectores
(no confundir con el vector de propagación complejo, parte real e
imaginaria,
y ) forman el plano de incidencia, perpendicular al plano de frontera. Es decir, que para
satisfacer las ecuaciones de frontera (2.90 - 2.91) existen tres ondas coplanares: la onda incidente en el
medio 1, la onda reflejada en el medio 1 y la onda transmitida en el medio 2; se utilizan los índices
, respectivamente, para indicar a que corresponden a cada una de estas ondas como se muestra en
la figura siguiente.
Figura 2.2 Onda electromagnética plana incidente, reflejada y transmitida. Tomado de [18].
La polarización electromagnética de la onda se puede resolver para los campos y por separado; una
en el P.I (plano de Incidencia), llamada polarización paralela y la otra normal al P.I, llamada
polarización normal. Para la onda polarizada en el P.I., el campo eléctrico se encuentra en el P.I. y como
el vector de propagación
también se encuentra en el P.I., la intensidad del campo magnético es
perpendicular al P.I; para la onda polarizada normal al P.I, el campo eléctrico se encuentra normal al P.I. y
por tanto, la intensidad del campo magnético está en el P.I. Sea cual sea la polarización de la onda, las
componentes paralelas y perpendiculares al plano de incidencia de los campos
separado.
y
se tratan por
Suponiendo una onda monocromática plana incidente en la frontera entre dos medios L.H.I, dieléctricos,
sin pérdidas; donde el campo total en los dos medios obedece las ecuaciones de Maxwell y cumple las
condiciones de frontera, lo que implica que se determine y se establezcan las Leyes de Snell [14,15]:
(2.92)
(2.93)
Donde (
) son las componentes tangenciales de los vectores coplanares (
, un mismo
plano). Aplicando la ley de reflexión
, reemplazando por
y simplificando, se obtiene.
21
(2.94)
Si el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia, la intensidad magnética está en el plano
de incidencia, es decir polarización normal. Haciendo uso de la continuidad de las componentes
tangenciales del campo , tenemos que en la frontera, en cualquier tiempo y punto:
(2.95)
Para que se cumpla o se mantenga la relación de la componente tangencial del campo eléctrico, la suma de
los campos eléctricos (incidente, transmitido y reflejado) debe ser cero; por consiguiente, la componente
que presente cualquier cambio en fase o magnitud, las demás también deben cambiar magnitud y fase para
que se cumpla la relación, así:
(2.96)
Al aplicar la condición de frontera para
, se obtiene.
(2.97)
Utilizando la ecuación
encuentra [15]:
y la identidad
, se
(2.98)
(2.99)
Donde
. Porque el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia, luego este no
tiene componente paralela al vector unitario .
Luego, utilizando las siguientes ecuaciones, según [15], se obtiene:
(2.100)
Reemplazando las anteriores ecuaciones en (2.99) y utilizando, según la Ley de Snell
, resulta:
(2.101)
(2.102)
Combinando (2.96) con la ecuación (2.102), se obtiene:
(2.103)
22
(2.104)
Donde
son campos eléctricos escalares. Estas expresiones se denominan Ecuaciones de
Fresnel y se aplican a cualquier medio L.H.I. Aquí,
denota el coeficiente de reflexión para la
amplitud, mientras que
representa el coeficiente de transmisión para la amplitud; el subíndice
indica que estamos tratando un caso en que
Si la intensidad magnética
es perpendicular al plano de incidencia.
es ahora quien es normal al plano de incidencia, se trabaja igual que el caso
anterior pero ahora el campo eléctrico
está en el plano de incidencia. Esto se conoce como
polarización paralela. Por lo tanto, el coeficiente de reflexión para la amplitud y el coeficiente de
transmisión para la amplitud resultante, son [15,20]:
(2.105)
(2.106)
Si la incidencia es normal (que interesa para nuestro estudio),
aproximan ambos a la unidad y, por tanto,
se aproxima a cero,
y
se
(2.107)
(2.108)
Ahora, expresando los Coeficientes de Fresnel en función de los índices de refracción de ambos medios;
se sabe que
, también que
(no confundir con la permitividad eléctrica compleja del
medio (parte real e imaginaria),
y
), entonces.
(2.109)
Con
, simplificando y reemplazando por el índice de refracción, resulta.
(2.110)
Realizando el mismo procedimiento para el coeficiente de reflexión, se obtiene
(2.111)
23
En las situaciones prácticas lo que se puede observar o medir es la energía transportada por dichos
campos y por ello es conveniente definir otra magnitud que relacione la energía de los campos reflejado y
transmitido con la energía del campo incidente. Estas magnitudes se definen en función del vector
promedio de Poynting
, teniendo una componente normal a la superficie limitante y otra paralela a ella.
Lo que resulta de interés físico, es la componente normal, puesto que es la que da lo que se refleja y
transmite en el medio original. Por lo tanto, el coeficiente de reflexión para la potencia , es:
(2.112)
El vector promedio de Poynting se define como
, utilizando la ecuación
y la identidad
, según [15], en (2.112), resulta que
(2.113)
Donde
, porque el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia, luego este no tiene
componente paralela al vector unitario . Al expandir el doble producto vectorial se obtiene también que
; de este resultado se conoce que la energía no solamente está en la dirección de
propagación, sino que además es proporcional al cuadrado de la amplitud de
o de
y es real. Puesto
que las ondas incidente y reflejada se encuentran en el mismo medio;
tiene el mismo valor que
; por lo tanto, se pueden simplificar; además
(2.100). Tomando lo anterior en consideración, se obtiene que
, según
(2.114)
Esta expresión se denomina la Reflectancia y expresa la conservación de la energía, puesto que toda la
energía incidente vuelve a aparecer ya sea en la onda reflejada o transmitida, de modo que no se pierde
energía (dieléctrico sin pérdidas) en el proceso.
De manera similar, se puede definir la Transmitancia para la potencia T, por medio de
(2.115)
A diferencia de la Reflectancia, las ondas incidente y transmitida no se encuentran en el mismo medio;
por lo tanto,
no tiene el mismo valor que
sencillo comprobar la relación
.
. Finalmente, de (2.114) y (2.115) resulta
Si se quiere ver las expresiones anteriores en términos de la intensidad de la onda, se obtiene:
24
(2.116)
(2.117)
Donde las magnitudes
son respectivamente la intensidad incidente, transmitida y reflejada.
Si la incidencia NO ES NORMAL, las expresiones algebraicas son diferentes; lo que implica utilizar otro
método y análisis matemático.
2.13 ÓPTICA DE MULTICAPAS
A continuación, se comprueba que la mayor parte de las fórmulas deducidas en las secciones anteriores
son aplicables aunque con ciertas modificaciones en algunos casos.
2.13.1 Lámina delgada semiconductora (capa o película)
Para el análisis anterior se suponía el medio limitado por una superficie (vidrio); pero que ocurriría en el
caso de que el segundo medio esté limitado por una segunda superficie (plana y paralela); que la radiación
incidente sobre la primera superficie una parte se refleja en ella y otra se transmite hacia la segunda
superficie del segundo medio, recorriendo una cierta distancia en la que sufre un cierto desfase, allí
nuevamente una parte de ella se transmite al tercer medio y otra se refleja hacia la primera superficie,
sufriendo el correspondiente desfase adicional, donde a su vez vuelve a ocurrir el mismo proceso así
sucesivamente (caso que es de interés para nuestro estudio). A continuación, se ilustra una onda
electromagnética plana incidiendo normalmente desde la izquierda sobre un sistema compuesto de n
regiones; por consiguiente, esto conduce a una cantidad de ondas reflejadas y transmitidas que dan como
resultado ondas plana simples viajando hacia delante y hacia atrás en cada una de las regiones, excepto en
la última región.
25
Figura 2.3 Esquema del sistema multicapa. Tomado de [18].
Para tal propósito se debe considerar incidencia normal; supóngase que todos los campos se dan a lo largo
del eje x; polarización normal y que el medio de propagación es un medio dieléctrico homogéneo e
isotrópico con pérdidas (película delgada MDMO-PPV - sustrato); como se muestra en la figura 2.4.
Figura 2.4 Esquema del sistema óptico en estudio, constituido por dos capas plano-paralelas inmersas en el aire, una de ellas transparente
(sustrato) y la otra débilmente absorbente (MDMO-PPV).
26
Cuando una onda plana incide sobre la película da lugar a una serie de ondas planas reflejadas y
transmitidas. Estas ondas resultan de las interferencias múltiples de las ondas reflejadas y transmitidas en
cada frontera, como se muestra en la figura siguiente.
Figura 2.5 Vectores de onda de los campos de entrada y de salida de un sistema multicapa entre dos medios semi-infinitos el ambiente
(medio 0) y el sustrato (medio s)
Aplicando condiciones de frontera y teniendo en cuenta las Leyes de Fresnel, pueden obtenerse los
coeficientes de transmisión
y reflexión
de la película. Para ambas polarizaciones
se
obtiene expresiones idénticas, dadas por las siguientes fórmulas
(2.118)
(2.119)
Donde
(2.120)
y
es la longitud de onda,
el índice de refracción de la lámina,
el espesor de la lámina y
el
ángulo de propagación dentro de la lámina. El parámetro se suele denominar espesor en fase, e indica la
fase acumulada por la onda al recorrer (ida y vuelta) la película, donde
y
son los coeficientes de
transmisión y reflexión en la interface i-j. Sin embargo, los coeficientes serán diferentes para cada
polarización de la onda incidente. Sin embargo, nuestro caso es para incidencia normal; por lo tanto,
(figura 2.5) y la expresión (2.120) se convierte en
.
De manera análoga a como se hizo en el caso de única interface (dieléctrico sin pérdidas) e incidencia
normal, la transmitancia y reflectancia vienen dadas por
27
(2.121)
(2.122)
Por tanto, cuando la luz incide en un medio con pérdidas, esta es absorbida por el material de acuerdo a
la Ley de Beer-Lambert [21]. La cual se define como el logaritmo decimal de la inversa de la
transmitancia y cuya obtención es conveniente para aplicarla en los procesos de cuantificación (nivel
microscópico). Por consiguiente
(2.123)
Donde A es la Absorbancia,
es la intensidad incidente,
intensidad transmitida al atravesar el
material, es la concentración del absorbente en el medio, es la longitud atravesada por la luz en el
medio y es el coeficiente de absorción. Lo que resulta que la relación R+T < 1.
El índice de refracción complejo
, donde
se le denomina el coeficiente de extinción
[adimensional], puede expresarse en función del coeficiente de absorción , a partir de la Ley de BeerLambert, por medio de la ecuación
(2.124)
Por lo tanto el índice de refracción complejo se puede expresar también, como
(2.125)
2.13.2 Matriz de transferencia
El análisis de dos o más capas aplicando directamente las fórmulas de Fresnel, es complicado, ya que la
aplicación de contorno en todas las interfases conduce a un número elevado de ecuaciones. Una buena
herramienta matemática para la solución de este problema y que permite deducir las ecuaciones de
dispersión de nuestro sistema (película delgada orgánica semiconductor - sustrato) es la matriz de
transferencia. Emplear un método matricial nos permite obtener un tratamiento sistemático de cada capa,
lo que nos lleva a un sistema multicapa. Para ello, vamos a caracterizar cada interfase por su matriz de
transmisión y la propagación de la luz a través de cada capa por su matriz de propagación. De tal forma,
que se obtendrá la matriz característica de cada lámina (capa) y para concluir, en el caso de múltiples
capas consecutivas, la matriz característica de una multicapa.
Para este fin, consideremos de nuevo la frontera entre dos medios, de índices de refracción complejos
y
. Una onda plana monocromática, linealmente polarizada (cualquiera de las dos polarizaciones), incide
desde el medio 1 con ángulo
1, de amplitud
con el eje x.
y su amplitud es
. Esta onda da lugar a una onda reflejada en el medio
, y a otra transmitida en el medio 2, con amplitud
28
, cuyo vector forma un ángulo
Se considera otra onda plana de igual frecuencia y polarización y de amplitud
medio 2 con ángulo
, como indica la figura 6. De igual forma,
correspondientes onda transmitida y reflejada.
y
, incidiendo desde el
son las amplitudes de las
Figura 2.6 Polarización normal de una onda electromagnética plana para la interface entre dos materiales diferentes
Las amplitudes de los campos de salida totales en los puntos ubicados a un lado y a otro de la frontera
serán denotadas como
y
Por tanto, la amplitud
es
(2.126)
Mientras que, para
, se tiene
(2.127)
Donde
y
son los coeficientes de transmisión y reflexión de Fresnel para la frontera (1-2) y
los correspondientes para la frontera (2-1), ver figura 2.5.
y
Utilizando las ecuaciones (2.126) y (2.127), según [22], se llega a
(2.128)
Esta fórmula es para la polarización paralela; en componentes, se reduce a
(2.129)
29
(2.130)
Al multiplicar estas dos ecuaciones, se obtiene que
(2.131)
Al considar incidencia normal
, que es nuestro caso de interés, resulta
(2.132)
La ecuación anterior es un número complejo y no se reduce a la ley de conservación de energía en la
frontera, puesto que el término
, ver (2.113).
Aplicando un procedimiento similar para la polarización normal, se encuentra
(2.133)
En componentes y, suponiendo incidencia normal, se reduce a
(2.134)
(2.135)
El producto de estas ecuaciones es de nuevo similar a la ecuación (2.132), por lo tanto, es independiente
del estado de polarización.
De forma general, para cualquier polarización (normal y/o paralela), aplicando condiciones de frontera, se
obtiene un sistema de dos ecuaciones que se pueden expresar en forma matricial como
(2.136)
Donde
y
representan las matrices de las ecuaciones (2.128) y/o (2.133), previamente determinadas;
la ecuación (2.136) también puede escribirse como
(2.137)
Donde
se conoce como la matriz de transferencia de la interfaz (frontera entre dos medios). Teniendo
en cuenta las fórmulas de Fresnel, esta matriz puede expresarse como
(2.138)
Expresión válida para ambas polarizaciones sin más que sustituir
correspondientes a cada tipo de polarización.
30
y
por los coeficientes
2.13.3 Matriz de propagación en una lámina
Antes, se describió la matriz de transferencia (polarización normal y paralela) para una onda incidente
que pasaba de un medio a otro. Pero ahora estamos interesados en la onda incidente que pasa a través de
uno de los dieléctricos (con o sin pérdidas). Consideremos ahora la propagación de una onda plana dentro
de una lámina plano-paralela de índice de refracción n, como se muestra en la figura 2.7.
Figura 2.7 Vectores de onda propagándose dentro de un medio de índice de refracción n en los puntos x y x+d.
Los campos en los puntos x y x+d, dentro de la lámina, serán denotados respectivamente por
(2.139)
Ambos vectores campos están relacionados por una matriz diagonal
de la forma [22]
(2.140)
Donde el parámetro se llama espesor en fase de la lámina, ver (2.120), e indica la fase acumulada por la
onda al recorrer (ida y vuelta) la película; además, si la incidencia es normal, o sea
ver figura 2.7,
las ondas transmitidas
y reflejadas
se propagan de forma perpendicular al sistema multicapa, tal
como se muestra en la figura 2.7. En consecuencia, la matriz que relaciona los campos en los puntos x y
(x+d) es
31
(2.141)
Esta expresión se conoce como la matriz de propagación
. Esta matriz describe la propagación de la
onda a través de una distancia d dentro de la lámina. Si la lámina es transparente (sustrato) es un número
real y
tiene módulo unidad. Si el índice de refracción de la lámina es complejo
, también lo será el
espesor en fase. En este caso, expresando
se tiene que
(2.142)
Donde el factor
indica cómo disminuye la amplitud según la onda se propaga en el interior de la
lámina. En cualquier caso, es importante notar que haya absorción o no, siempre se verifica
.
Si hallamos la interacción de la onda en la segunda interfase, obtenemos que
(2.143)
De este modo, pueden relacionarse los campos a un lado y al otro de la lámina mediante la ecuación
(2.144)
Donde M es la matriz característica de la lamina, que viene dada por
(2.145)
Expresión válida, de nuevo, para ambas polarizaciones sin más que sustituir los coeficientes
correspondientes a cada tipo de polarización.
2.13.4 Matriz de una multicapa
Finalmente se calcula la matriz de transferencia para el caso de múltiples capas. Aplicando las relaciones
matriciales anteriores a cada interfase y a la propagación en el interior de cada capa, se obtiene
(2.146)
Donde
es la matriz característica de la multicapa y
que viene dado por
indica el número de capas del sistema óptico,
(2.147)
Debido a las propiedades de simetría de la matriz multicapa
32
, ver [22], podemos deducir, que
(2.148)
A partir de la ecuación matricial (2.146), se puede obtenerse los coeficientes de reflexión y de transmisión
de la multicapa (figura 2.5); entonces, el primer caso es para la luz que incide desde el medio de índice
(aire/vacío), por consiguiente, los coeficientes son
(2.149)
(2.150)
Mientras el caso para la luz que incide desde el medio de índice
y de transmisión son
(sustrato) los coeficientes de reflexión
(2.151)
(2.152)
Donde
(2.153)
De nuevo, si consideramos incidencia normal
y, que los medios ambiente y sustrato son
idénticos
; podemos considerar que el determinante de transferencia de cualquier multicapa es
unimodular, es decir,
.
Por último, de forma similar a lo deducido en (2.121) y (2.122), se define la transmitancia y reflectancia
de la multicapa como
(2.154)
Las expresiones anteriores representan la transmitancia y la reflectancia, tanto si la luz incide desde el
medio de índice
como si lo hace desde el medio de índice . Sin embargo, recordemos que los
coeficientes de transmisión y reflexión son diferentes para cada polarización e interfase (aire-películasustrato-aire) que se propaga la onda incidente.
2.14 MÉTODOS NUMÉRICOS
El método numérico es un proceso o técnica mediante el cual se obtiene una aproximación de la solución
del problema, de tal forma, que sea resuelta por operaciones algebraicas y aritméticas. Entretanto, el
proceso que consiste de una lista de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones
algebraicas y lógicas, se denomina algoritmo, el cual produce una solución numérica. La eficiencia en el
cálculo de dicha aproximación depende de factores tales como: características y limitaciones del
33
algoritmo. Además, cuando se emplea estas técnicas numéricas, se introduce errores de truncamiento y
redondeo.
Por el momento, es necesario nombrar y realizar una descripción muy general de los diferentes métodos
numéricos que calculan las constantes ópticas de una película delgada semiconductora depositada sobre un
sustrato; son tres los métodos numéricos que permiten calcular las constantes ópticas de una película
delgada semiconductora a partir de sus espectros de transmisión y reflexión a incidencia normal.
1) Método Directo.
2) Método de envolventes de Swanepoel – Minkov.
3) Método Multicapa.
2.14.1 Método Directo
Su gran desventaja es que se aplica para un sólo espectro (transmisión) e implica realizar a los datos
medidos un ajuste teórico manual de las complicadas ecuaciones del método [11]. Este método numérico
está más detallado en el anexo A.
2.14.2 Método de envolventes de Swanepoel y Minkov
Mientras el método directo implica realizar un ajuste manual, el método de envolventes de Swanepoel y
Minkov permite determinar las constantes ópticas de forma “casi” automática para los dos espectros. El
método fue publicado por Swanepoel en 1983 [11] y más tarde por Minkov en 1989 [12]. Su principal
diferencia con el método anterior, es que está basado en el criterio de las envolventes de los espectros de
transmisión y reflexión óptica a incidencia normal, el cual permite obtener la parte real e imaginaria del
índice de refracción complejo (n, ). Tres zonas o regiones de absorción determinan los parámetros ópticos
de la película: zona de fuerte absorción; zona de media/débil absorción y una zona de transparencia. En
cada zona las aproximaciones y suposiciones (matemáticas y físicas) que se realizan para calcular las
constantes ópticas, son diferentes. Los resultados obtenidos mediante la aplicación de este método se
pueden ver en [23]. Una descripción más detallada del método numérico Swanepoel – Minkov, puede ser
también consultada en el anexo B.
2.14.3 Método Multicapa
Ya antes, se había mencionado lo que sucedía con la luz si atravesaba varios medios (plano - paralelos)
según lo cual, se producían múltiples reflexiones, lo que significa que el medio dieléctrico objeto de este
estudio (película delgada - sustrato), causa interferencias, debido a la diferencia de espesor e índices de
refracción del sustrato y la película delgada depositada sobre el sustrato; lo que representa en la medición
del sistema óptico en estudio, cambios de (amplitud y frecuencia en función de la longitud de onda) en los
espectros de transmisión y reflexión. Antes se mencionaron las ecuaciones de dispersión suponiendo que
la onda incidente se propagaba en un sólo medio (dieléctrico con pérdidas); pero al atravesar esta (luz)
varios medios, implicaba en nuestro análisis adicionar el desfase (en nuestro caso, incidencia normal)
que se produce por las múltiples reflexiones entre medio y medio; es por esto que, el método matriz de
transferencia, ver [22], resultó ser una muy buena herramienta matemática para la solución de nuestro
sistema; a continuación, se explica el método numérico Multicapa [13].
34
2.14.4 Determinación de las constantes ópticas
El primer paso, es medir la intensidad o rayo incidente
al sustrato. Luego medir la intensidad de
transmisión
y reflexión
de la película, es decir, la película delgada depositada sobre el sustrato.
Una vez medida las intensidades del sustrato y la película, los espectros de transmisión y reflexión de la
película se obtienen de la relación
y
, parámetros que indican la transmitancia
y reflectancia
de la película delgada.
Los valores de las constates ópticas son obtenidos cuando los espectros teóricos (simulados) coinciden
con los espectros experimentales. Los parámetros que se debe determinar de los espectros teóricos son: el
índice de refracción y coeficiente de extinción de la película. El proceso para determinar las constantes de
la película es el siguiente:
Para nuestro sistema, usamos la matriz de transferencia, la cual calcula la transmisión y reflexión del
subsistema
que corresponde a vacío (aire), película y sustrato (espesor infinito); además, calcula
también la transmisión y reflexión del subsistema
que corresponde a sustrato (espesor infinito),
película y vacio (aire), respectivamente. Luego con esos resultados podemos describir el sistema completo
y
como un nuevo sistema, con dos interfaces: las interfaces simples
y
.
Finalmente, utilizando los subsistemas y sistema completo del modelo matemático, (método multicapa) se
realiza el cálculo para las constantes ópticas de la película delgada. Entonces, el modelo matemático, ver
[13], que describe el sistema completo de dos capas (película - sustrato) es:
Donde
Las siguientes ecuaciones son el resultado de la matriz de transferencia para el sistema
Donde
35
:
Donde es el índice de refracción de la película [adimensional],
es el índice de refracción del sustrato
[adimensional], coeficiente de absorción de la película [
],
coeficiente de absorción del sustrato
[
], es la frecuencia angular [ ], c la velocidad de la luz [
], la longitud de onda [m],
coeficiente de extinción de la película [adimensional],
coeficiente de extinción del sustrato
[adimensional],
espesor de la película [m],
espesor del sustrato [m],
espesor en fase
[adimensional], , , ,
,
y
son constantes [adimensionales]. Si suponemos
,
entonces las ecuaciones del modelo matemático se simplifican; los resultados obtenidos se pueden ver en
el anexo C.
2.14.5 Determinación del espesor de la película
Para calcular el espesor de la película



, se puede aplicar los siguientes procedimientos:
Utilizar el microscopio de fuerza atómica o AFM (por sus siglas en inglés Atomic Force
Microscope).
Emplear una ecuación o fórmula que determine el espesor de la película a temperatura ambiente
mediante parámetros fundamentales que intervienen en el proceso de fabricación de la película
delgada como son la velocidad angular de rotación, establecida por el Spin-Coating; la
viscosidad, determinada fundamentalmente por la concentración del material orgánico respecto al
disolvente y la rata de evaporación del disolvente.
Mecanizar el proceso, es decir, utilizar el método numérico Multicapa; por consiguiente,
mediante el ensayo de “prueba y error” encontrar el espesor y los rangos de las constantes ópticas
de la película hasta que los espectros teóricos coincidan con los espectros experimentales.
Con los procedimientos anteriores se pretende obtener el espesor de cualquier material orgánico, los
cuales serán mencionados nuevamente y explicados en detalle en el siguiente capítulo.
36
3. ESPECIFICACIONES
En este capítulo se describen los montajes realizados para las mediciones ópticas, la técnica de
preparación de la película orgánica, los equipos y materiales utilizados durante los experimentos.
3.1 DESCRIPCIÓN
El trabajo de grado para el ÍNDICE DE REFRACCIÓN Y COEFICIENTE DE EXTINCIÓN DEL
POLÍMERO ORGÁNICO SEMICONDUTOR CONJUGADO MDMO – PPV requiere de la realización
de un programa en software que pueda determinar las constantes ópticas de una película orgánica, a partir
de ajustar los espectros de transmisión y reflexión por medio de un método numérico que muestre en el
computador los valores calculados del índice de refracción y coeficiente de extinción de la película
orgánica.
El software desarrollado responde sólo si la luz (onda electromagnética) incidente es normal a la
superficie(s) plana(s)-paralela(s) que limita dos medios. Así mismo, una de las entradas del algoritmo
son los datos de transmitancia y reflectancia en función de la longitud de onda capturados por los equipos
de medición óptica, espectros que generan un banco de datos experimentales; el banco de datos pasará por
el método numérico Multicapa, con el propósito de contrastar los datos teóricos que genera el algoritmo
con el banco de datos experimentales, proceso que se conoce como ajuste teórico (fit); mientras que la
salida del sistema, corresponde a la visualización en la pantalla del computador las gráficas de las
constantes ópticas de la película orgánica MDMO-PPV y sus espectros de transmisión y reflexión
(teóricos-experimentales) ajustados (fitted). El diagrama de bloques se muestra a continuación.
Figura 3.1 Diagrama de bloques general del proyecto.
El software utilizado para el programa es MATLAB R2009a [24]. En el siguiente capítulo se estudia con
más detalle la implementación y característica del algoritmo.
3.2 MEDIDAS DE TRANSMISIÓN A TEMPERATURA AMBIENTE
Antes de exponer la instrumentación empleada en la medición de los espectros, transmitancia y
reflectancia; es mejor describir en general, en los términos más sencillos posibles, cómo se origina un
espectro y qué información estructural suministra. Cuando se eleva la temperatura de una sustancia,
empieza a emitir energía radiante. La cantidad de radiación emitida está en función de la longitud de onda
o de la frecuencia y depende de la temperatura y de su emisividad. Si la radiación emitida está en función
de la longitud de onda, se obtiene los espectros de la figura 3.2.
37
Figura 3.2 Transmitancia y reflectancia a temperatura ambiente e incidencia normal para una película delgada orgánica MDMO-PPV.
Al introducir distintas sustancias de origen orgánico en el haz del material radiante, se observa claramente
que la molécula absorbe radiación del haz incidente. Es por eso que si una muestra de molécula se irradia
por una onda electromagnética monocromática y plana, la gráfica resultante puede interpretarse como las
vibraciones de los átomos dentro de las moléculas y las múltiples reflexiones dentro de la interface
película-sustrato. El concepto de vibración puede ser análogo a un “modelo mecánico”, ver capítulo dos
(sección 2.10). Por último, desde el punto de vista químico, el espectro electromagnético de una sustancia
dada, brinda información de manera indirecta de las propiedades microscópica del material, a partir de
relaciones conceptuales entre la estructura de la materia y su interacción con la luz.
Los componentes básicos que caracterizan las mediciones de transmitancia son: una fuente de radiación,
que suministra la iluminación incidente sobre la muestra que se estudia; la luz incidente es enviada a un
lente plano convexo; el haz de luz atraviesa la película delgada y la radiación transmitida se enfoca de
nuevo con un lente plano convexo; la luz transmitida por la película delgada se modula (frecuencia) por
el chopper óptico y es enviada hacia la entrada del monocromador. Que consiste, en general, de una
rendija de entrada que proporciona un haz de luz estrecho e incoherente de la fuente de radiación, un
colimador que hace paralela la radiación procedente de la rendija de entrada, un prisma para dispersar
(separar la mezcla de longitudes de onda) la radiación incidente y de vuelta convertirla coherente por
medio de un motor de paso que hace pasar la luz por otro colimador para reconstruir la señal de entrada
(haz de luz) sobre la rendija de salida y, una rendija de salida que selecciona la banda estrecha de
frecuencias, lo cual permite tener un haz monocromático con una resolución de
. Esta luz
monocromática es escaneada en el rango UV cercano a visible
, que es detectada por
el fotomultiplicador. Este último componente transforma la energía de la banda de frecuencias en una
señal eléctrica, que luego es filtrada y amplificada por el Amplificador Lock-in, para que finalmente
pueda ser registrada por el computador.
38
Como fuente de radiación se utilizó una lámpara de tungsteno-halógena Oriel 66057 alimentada por una
fuente de voltaje Phywe 13536.9. El chopper óptico es un modelo Stanford Research RS540, capaz de
modular la luz monocromática de un laser desde 4Hz hasta 3.7 KHz. El monocromador es un modelo
Spectra Pro 275 de Acton Research Corporation. El motor de paso que hace girar el prisma es
controlado por una unidad ARC-2754045 que está conectada al computador por puerto serial RS232 y
manejado por el software de control LabVIEW. El fotomultiplicador es un modelo Newport 71579. Por
último, el amplificador es un modelo Lock-in Stanford Research SR830 DSP.
El montaje óptico utilizado para realizar medidas de transmitancia se muestra en el anexo D.
3.3 MEDIDAS DE REFLEXIÓN A TEMPERATURA AMBIENTE
Los instrumentos empleados que caracterizan las mediciones de reflectancia son: una fuente de
radiación, que suministra la iluminación incidente sobre la película delgada que se estudia; el haz de luz
incidente es enviada a un espejo cóncavo; la luz atraviesa la película delgada y la radiación reflejada se
enfoca a un segundo espejo cóncavo; la luz transmitida por la película delgada se modula (frecuencia)
por el chopper óptico y es enviada hacia la entrada del monocromador donde se dispersa la energía
radiante en muchas frecuencias, y, luego, por una serie de espejos/lentes y una serie de rendijas o
aberturas, selecciona la banda estrecha de frecuencias, que luego es detectada por el fotomultiplicador
que convierte la banda de frecuencias en una señal eléctrica, que luego es filtrada y amplificada por el
Amplificador Lock-in.
La medición de la reflectancia necesita sumo cuidado, ya que para medir esta a incidencia normal es una
tarea difícil, por no decir imposible; por lo tanto, a diferencia de la medición de transmitancia, para
capturar el haz de luz reflejado de la muestra, es necesario medirla para ángulos muy pequeños
;
en otras palabras, de forma sutil, el haz de luz reflejado de la muestra, es enfocado con un ángulo pequeño
al segundo lente, de tal forma, que la reflectancia no cambia el estado de la polarización, dentro de la
incertidumbre de la medida.
Todas las mediciones tienen asociada una incertidumbre que puede deberse a factores tales como:
limitaciones de los instrumentos usados, el método de medición y el observador (u observadores) que
realizan la medición. Cada uno de estos factores genera por separado fluctuaciones (oscilaciones)
positivas y/o negativas en la medición. Es por esto que, al momento de medir la reflectancia, se requiere
de máximo cuidado, para minimizar o “eliminar” el error en la medida.
El montaje óptico utilizado para realizar medidas de reflectancia se muestra en el anexo E
3.4 PELÍCULA DELGADA DE MDMO-PPV
3.4.1 Semiconductores orgánicos
Un semiconductor orgánico es una molécula orgánica bajo la forma de cristal o polímero que presenta
propiedades similares (banda prohibida, conducción por electrones y huecos) a los semiconductores
inorgánicos. Las interacciones que predominan en los semiconductores orgánicos son de tipo covalente a
nivel intermolecular y del tipo Van der Waals entre moléculas. En general los sólidos orgánicos (cristal,
película y/o polímero) se caracterizan por tener en su estructura molecular uniones conjugadas- , los
electrones pueden moverse libremente en los recubrimientos de nubes de electrones- , lo que permite la
conducción de electricidad. La estructura molecular orgánica se muestra en la figura 3.3.
39
Figura 3.3 Enlaces
con electrones- . Tomado de [25]
Este enlace se conoce como enlace y los electrones (nube de electrones) que están compartidos se les
conocen como electrones [25], mientras las líneas indican que es un enlace sigma [25]. Por otra
parte, una característica que tiene los compuestos orgánicos (formados únicamente por átomos de carbono
e hidrogeno) con enlaces covalentes dobles [25] (cuando dos átomos se unen para alcanzar la regla del
octeto), es que absorben radiación en las regiones visible o ultravioleta, debido a la variación que integra
los electrones . Por lo tanto, la estructura molecular orgánica cuando absorbe radiación ultravioleta se
representa como se muestra en la figura 3.4.
Figura 3.4 Enlaces - conjugado con electrones- . Tomado de [25]
En este caso (figura 3.4.), los dos electrones no están compartidos, sino se encuentran localizados
encima y debajo de cada uno de los átomos de carbono, este enlace se conoce como enlace
(pi
conjugado). Por otro lado, tanto el enlace sigma
como el enlace pi
, son enlaces químicos
covalentes [25], es decir, cuando dos átomos se unen para alcanzar la regla del octeto (comparten los
electrones del último nivel); sin embargo, el enlace es más fuerte que el enlace . Finalmente, los
compuestos que poseen únicamente enlaces son por lo general incoloros, mientras los que tienen enlaces
son usualmente coloridos (polímero conjugado orgánico semiconductor MDMO-PPV).
40
3.4.2 Polímeros conjugados
Un tipo de materiales de gran interés con los que se ha realizado numerosos estudios son los polímeros
conjugados, debido a que muestran diferentes ventajas respecto al tradicional semiconductor inorgánico;
pues, presentan un alto grado de solubilidad, son más baratos y versátiles. Los polímeros conjugados son,
en particular, materiales semiconductores que presentan dos propiedades fundamentales: se pueden
disolver fácilmente y que pueden ser fácilmente procesados para aplicaciones en películas delgadas (caso
que es de nuestro interés).
Han sido numerosos los materiales estudiados, entre los que cabe destacar derivados de poly (pfenilenovinileno) o PPV [26]; el proceso que da origen a una gran familia de polímeros derivados del PPV
se conoce como funcionalización [27]. Una idea que ha resultado ser muy efectiva en la fabricación de
dispositivos optoelectrónicos [5, 8]. Es así como el polímero luminiscente poly [2-methoxy-5-(3´,7´dimethyloctyloxy)-1,4-phenylenevinylene], comúnmente llamado MDMO-PPV es un polímero orgánico
con buenas características fotoluminiscentes, electroluminiscentes y que presenta una buena solubilidad.
Figura 3.5 Estructura molecular del semiconductor orgánico. a) Poli (p-fenilenovinileno) o PPV, b) Poly [2-methoxy-5-(3´,7´dimethyloctyloxy)-1,4-phenylenevinylene] o MDMO-PPV. Tomado de [27].
En la figura 3.5 se observan las estructuras moleculares del polímero PPV y uno de sus tantos derivados
MDMO-PPV, el cual será objeto de estudio para la presente investigación.
3.4.3 Preparación de películas delgadas
Una parte del trabajo consistió en la preparación de películas orgánicas delgadas. Es de suma importancia
controlar la limpieza en el proceso de fabricación para conseguir películas homogéneas, así como
controlar los parámetros que van a determinar el grosor de la película, ya que dicho espesor será
determinante en las mediciones de transmitancia y reflectancia.
Existen muchos métodos, tanto físicos como químicos, para la preparación de películas delgadas. Entre los
métodos más habituales para la preparación de películas orgánicas se encuentra la evaporación térmica
(deposito físico - químico de vapores) y método de rotación (suspensión en disco) o Spin Coater (Laurel
WS-400-6NPP-Lite). Este último es mucho más sencillo y compacto; cuenta con un control digital,
amplio rango de velocidades (desde 1 hasta 3000 rpm) y estabilidad pero exige que el material a depositar
sea soluble. Todas las películas estudiadas en este trabajo han sido preparadas por esta técnica.
41
La técnica de deposición (suspensión) de películas delgadas spin coating [5, 8, 27], es una técnica
sencilla que permite la obtención de películas con buenas propiedades ópticas, estructura, tamaño,
morfología, composición y lo más importante, optimizar el proceso de fabricación de películas delgadas.
El modelo utilizado se muestra en la figura 3.6.
Figura 3.6 Fabricación de la película MDMO-PPV por la técnica Spin Coating.
Consiste en un disco rotatorio sobre el que se coloca un sustrato sujetado mediante succión con una
bomba de vacío rotatoria (Pfeiffer DUO 2.5) que va conectada al microcontrolador del Spin Coater. El
sustrato se cubre con una pequeña cantidad de disolución que contiene el material orgánico de interés
(MDMO-PPV). El disco gira, de manera que el solvente se evapora, quedando el material depositado
sobre el sustrato. Los parámetros fundamentales que intervienen en el proceso y que determinan el espesor
de la película son la velocidad de rotación y la viscosidad, determinada fundamentalmente por la
concentración del material orgánico respecto al solvente, según la ecuación, ver [28].
(3.1)
Donde
es el espesor de la película, es la densidad del solvente,
es la densidad de la disolución
orgánica,
(no confundir con la impedancia característica del medio) es la viscosidad de la disolución
orgánica, es la tasa de evaporación del disolvente y es la velocidad angular de rotación del sistema.
Así, para fabricar la película, en primer lugar se empieza con los cálculos de las concentraciones
requeridas. Estos cálculos matemáticos permiten conocer los valores de volumen y peso del disolvente,
como también el peso del polímero (PPV) que se requieren para la disolución. Obtener diferentes valores
42
de las concentraciones genera diferentes comportamientos ópticos (transmitancia, reflectancia, índice de
refracción y coeficiente de extinción) en la película orgánica. Un valor óptimo de la concentración
solvente - polímero es 100:1 (1%). Una vez obtenidos los valores de la disolución (PPV- solvente), se
procede a medirlos con una balanza electrónica que permita medir con precisión los valores de la
disolución (PPV- solvente). Luego, se prepara una tinta conteniendo el polímero base (PPV), la molécula
orgánica con la propiedad de interés y el solvente, dejando agitar (sonicación) la tinta durante varios
minutos; técnica que consiste en agitar las moléculas de la disolución hasta que resulte lo más
homogénea posible. Proceso que se muestra en la figura 3.7
Figura 3.7 Proceso de elaboración de tintas. a) Polímero y solvente se disuelven, b) luego la mezcla se somete al proceso de sonicación que
consiste en calentar la tinta a
por 30 minutos.
El proceso de limpieza consiste en enjaguar, limpiar y secar el sustrato [29]. Usando agua corriente,
jabón líquido y una esponja suave los sustratos son enjuagados por ambas caras. Luego se sumerge en
agua desionizada por varios minutos y finalmente, con el fin de remover el agua desionizada de la
superficie del substrato, se somete a un flujo de aire hasta que la superficie queda completamente seca. En
este trabajo se utilizaron sustratos de vidrio (knittel standard microscope slides) de 76 [mm] de alto, 26
[mm] de ancho, 1 [mm] de espesor
y el índice de refracción
.
En cuanto al solvente, es necesario que sea compatible tanto con la molécula orgánica como con el
polímero, lo que en ocasiones es un problema debido a la baja solubilidad que poseen los polímeros.
Asimismo, es importante que su punto de ebullición no sea muy bajo, para evitar que la evaporación se
produzca con excesiva rapidez, dando lugar a inhomogeneidades de espesor.
Los solventes que se han utilizado en el proceso son: tolueno (pureza 99.5%, punto de ebullición
),
cloroformo (pureza 99.8%, punto de ebullición
) y ciclohexanona (pureza 99.8%, punto de
ebullición
).
43
3.4.4 Microscopio de fuerza atómica
Es un instrumento óptico que permite realizar escaneos y mediciones a nivel molecular. La técnica de
microscopia de fuerza atómica o AFM (por sus siglas en inglés Atomic Force Microscope), consiste de
una punta muy aguda, que se localiza al final del brazo del cantiléver; la punta barre de forma constante la
superficie de la película, monitorizándose las interacciones que ocurren entre la punta y la película; este
tipo de medición se conoce con el nombre de imagen, y su modo de operación se llama modo contacto.
La resolución del instrumento es de menos de 1nm, y la pantalla del computador permite distinguir
detalles en la superficie de la película (morfología o formas de la superficie semiconductora) con una
amplificación de varios millones. El equipo de AFM es un modelo NANOSURF EASYSCAN 2, y se
utiliza con el fin de caracterizar y visualizar muestras de dimensiones nanométricas; por lo tanto,
determina el espesor
de la película orgánica semiconductora, dato que es de interés y suma
importancia durante el desarrollo del presente trabajo de grado.
3.4.5 Características del PC
Las características del computador en el cual se realizaron las pruebas de funcionamiento de la aplicación
(Algoritmo Multicapa) se muestran a continuación:

Sistema Operativo: Windows 7.

Procesador: Intel® CoreTM i5 CPU @ 2.26GHz.



RAM: 3 GB.
Tipo de sistema: Sistema operativo de 64-bit.
Con Matlab R2009a instalado o versiones posteriores y con todas las librerías activadas.
44
4. DESARROLLOS
En esa sección se explicarán los procedimientos que se realizaron para llegar a la solución del ÍNDICE DE
REFRACCIÓN Y COEFICIENTE DE EXTINCIÓN DEL ITO a partir de sus espectros de transmisión y
reflexión, explicando las restricciones y consideraciones que se tuvieron para cada etapa del proyecto. El
proyecto comprende las siguientes etapas específicas de desarrollo dentro de las cuales se tiene en cuenta:
INICIO, CÁLCULO, DERIVADOR, ANDI N, ANDI K, ANDI INICIO - FIN N, ANDI INICIO - FIN K
y por último SOLUCIÓN, es decir, las gráficas de las constantes ópticas halladas y los espectros ajustados
(fitted) en función de la longitud de onda. Es importante recordar, que con la medición de referencia (ITO)
se pretende ver la aproximación (exactitud) en cuanto a la estimación de los parámetros a hallar; sin
embargo, medir la precisión del algoritmo no está al alcance del presente trabajo ya que para cada material
orgánico sus constantes ópticas son diferentes, y más aún, determinar la exactitud y precisión del presente
material orgánico (MDMO-PPV) del cual no existe documentos que reporten el comportamiento de las
constantes ópticas de dicho material orgánico.
El algoritmo debe proporcionar un “ buen” grado de aproximación a la hora de evaluar dichas constantes
ópticas, las cuales serán determinadas luego de un determinado número de iteraciones sobre la misma
medición de referencia, comprobando que en cada una de esas iteraciones los valores calculados de las
constantes ópticas se acerquen a los valores esperados de la medida inicial. Una vez se alcance un grado
de “aproximación alta” con la medida de referencia, se podrán hallar las constantes ópticas del material
orgánico que nos interesa, la película delgada orgánica semiconductora MDMO-PPV; proceso que se
estudia con más detalle en el siguiente capítulo.
4.1 CONSIDERACIONES PREVIAS
A partir de esta etapa, se inicia un proceso de ingeniería inversa, es decir, que a partir de sus espectros de
transmisión y reflexión se deben encontrar de forma aproximada las constantes ópticas de la película
delgada semiconductora ITO, tal como se muestra en la figura 4.1. En esta etapa se procedió a realizar la
extracción de los espectros de transmisión y reflexión a partir de las constantes ópticas de la película
semiconductora ITO, según [30]. Entonces, usando el método de interpolación polinomial (modelar un
conjunto de datos a una función polinómica) [31], se modelaron los datos de las constantes ópticas del
ITO en función de la longitud de onda por medio de dos ecuaciones, la del índice de refracción y el
coeficiente de extinción. Una vez modelado los “datos experimentales”, según [30], se elabora el
programa (Delta.m) en MATLAB (ver anexo F), el cual halla los espectros de transmisión y reflexión en
función de la longitud de onda, a partir de sus constantes ópticas, ver figura 4.1.
Figura 4. 1 Espectro de transmisión y reflexión óptica para la película ITO a partir de los datos de sus constantes ópticas.
45
El programa (Delta.m) está compuesto por: el método numérico Multicapa y los datos conocidos por el
usuario, tales como: espesores del sustrato y la película; constantes ópticas del sustrato y la película; datos
inicio – fin de la variable incremento de la longitud de onda; además, de las ecuaciones (índice de
refracción y coeficiente de extinción) y sus respectivas constantes que se obtuvieron al utilizar
interpolación polinomial.
Finalmente, procedemos a interconectar los elementos de nuestro sistema de la siguiente manera
Figura 4. 2 Diagrama de bloques del algoritmo Multicapa para el cálculo del espesor y constantes ópticas de la película delgada a partir
de sus espectros de transmisión y reflexión.
46
Por lo tanto, el proyecto comprende etapas específicas de desarrollo dentro de las cuales se tiene en
cuenta: INICIO, CÁLCULO, DERIVADOR, indeterminaciones de N y K y finalmente, SOLUCIÓN. El
esquemático final del algoritmo Multicapa se muestra en el anexo G.
4.2 INICIO
Para este desarrollo se comienza con la etapa INICIO; en esta fase es necesario definir las entradas al
algoritmo, en este caso tenemos: los datos experimentales de los espectros de transmisión y reflexión en
función de la longitud de onda
, los cuales ingresan al algoritmo como arreglos; además, datos tales
como: el espesor de la película; el espesor del sustrato; índice de refracción y coeficiente de extinción del
sustrato; rango inicial y final del índice de refracción de la película; rango inicial y final del coeficiente de
extinción de la película; paso del índice de refracción de la película, paso del coeficiente de extinción de
la película, las interfaces simples de reflexión y transmisión del modelo matemático y la suma de los
cuadrados de las constantes ópticas del sustrato.
Para tal propósito, se aplico en orden la siguiente notación en MATLAB: ONDA, TRA, REF, d_l, d_s,
n_s, k_s, INICIAL_N, FINAL_N, INICIAL_K, FINAL_K, paso_nl, paso_kl, R_vs, T_vs , T_sv y suma1,
respectivamente.
En cuanto a las salidas del sistema multicapa se encuentran las gráficas del índice de refracción,
coeficiente de extinción, transmisión y reflexión de la película orgánica semiconductora. Estas cuatro
salidas estarán presentes en cada una de las iteraciones del algoritmo, con el atenuante de que los
resultados de la iteración inmediatamente posterior deben ser mejor que la anterior.
4.3 CÁLCULO
El diagrama de bloques general que representa este sistema, está definido por 5 entradas y una salida
(anteriormente especificadas), vistas de esta manera:
Figura 4.3 Esquema del bloque general CÁLCULO.
Teniendo en cuenta las tareas que el sistema debe realizar, y las señales con las que interactúa
externamente (entradas y salidas), se puede distinguir 3 entidades principales:
47
4.3.1 Modelo Multicapa
En este bloque se aplica el modelo matemático Multicapa para las constantes ópticas de la película
orgánica semiconductora, está definido por las mismas entradas que el bloque general CÁLCULO y tiene
dos salidas: la salida TransmisionMulticapa, que es el valor teórico de la transmisión evaluado para cada
longitud de onda; la salida ReflexionMulticapa, que será la salida teórica de la reflexión evaluado para
cada longitud de onda.
Figura 4.4 Esquema del bloque Modelo Multicapa.
4.3.2 Comparador
Esta entidad contrasta los datos teóricos versus datos experimentales y calcula las constantes ópticas
simultáneamente. Esta entidad representa el control sobre el sistema e indica en qué momento debe
actualizar la salida del sistema. Podemos observar que posee 5 entradas y 4 salidas.
Figura 4.5 Esquema del bloque Comparador.
La entrada TransmisionMulticapa, representa los valores de transmisión teóricos calculados para cada
longitud de onda; la entrada ReflexionMulticapa, indica los valores de reflexión teóricos calculados para
cada longitud de onda; la entrada resta_trans, es un valor de diferencia entre el dato teórico y el dato
experimental de la transmisión; la entrada resta_reflex, también es un valor de diferencia, pero en este
caso, entre los datos de reflexión teóricos – experimentales; luego, sumando las diferencias,
respectivamente, se asignan a una variable de control (maximo), con la cual, se compara, encuentra y se
actualiza iterativamente las salidas del sistema, tales como: trans_fijo, ref_fijo, n_fijo y k_fijo que
representan los arreglos de salida de transmisión, reflexión y las constantes ópticas, respectivamente,
calculadas por el algoritmo multicapa.
48
En la práctica, para encontrar las constantes ópticas a partir de las mediciones de los espectros de
transmisión y reflexión de la película orgánica semiconductora, se adaptó el siguiente principio, según
[13].
(4.1)
Donde
es la transmisión medida (experimental) en función de la longitud de onda del sistema
multicapa: aire, película, sustrato y aire, respectivamente; mientras
es la transmisión teórica en
función de la longitud de onda del sistema multicapa: aire, película, sustrato y aire, respectivamente.
(4.2)
Donde
es la reflexión medida (experimental) en función de la longitud de onda del sistema
multicapa: aire, película, sustrato y aire, respectivamente; mientras
es la reflexión teórica en
función de la longitud de onda del sistema multicapa: aire, película, sustrato y aire, respectivamente.
(4.3)
Finalmente, mediante la suma de
y
, se compara, encuentra y actualiza las salidas del sistema
para cada longitud de onda. Recordar, que este proceso es iterativo, y por lo tanto, el proceso anterior
busca los datos teórico-experimentales de transmisión y reflexión que coinciden (o son cercanos) para
cada longitud de onda; de tal forma, que a partir de esta condición, se puede encontrar las constantes
ópticas de la película semiconductora; en otras palabras, encontrar la pareja de las constantes ópticas que
ajusta (fit) teóricamente los espectros de transmisión y reflexión en función de la longitud de onda.
4.3.3 Producto
Esta entidad se encarga de graficar los arreglos de salida del bloque Comparador y los arreglos datos
experimentales de los espectros de transmisión y reflexión en función de la longitud de onda
.
Podemos observar que posee 4 entradas y 6 salidas.
Figura 4.6 Esquema del bloque Producto.
Las entradas a la entidad Producto son las salidas del bloque Comparador y las salidas son las gráficas de
los arreglos trans_fijo, ref_fijo, n_fijo y k_fijo que representan la transmisión, reflexión y constantes
ópticas calculadas por el algoritmo multicapa, respectivamente; además de los arreglos TRA, REF y
49
ONDA que indican los datos experimentales de los espectros de transmisión y reflexión en función de la
longitud de onda
. Es necesario graficar estos últimos para verificar que el ajuste teórico (fit) entre los
datos teórico-experimental de transmisión y reflexión coinciden.
4.4 DERIVADOR
Es la segunda iteración del algoritmo, en esta etapa se adaptó el criterio de la derivada, según [13]. En este
caso, no se conoce la expresión analítica que define tales puntos (iteración CÁLCULO), tan solo se
dispone de su valor en un conjunto de puntos o datos; por lo tanto, no se puede utilizar el concepto
riguroso de derivada (pues se desconoce la expresión de las funciones de las constantes ópticas). Surge
así, la conveniencia de implementar una técnica de análisis numérico que permita aproximar el valor de
las derivadas de una función a partir de los valores o datos de tal función.
Por definición, la derivada de una función
es
(4.4)
Fórmula que representa la derivada hacia adelante
y donde h es la distancia entre nodos;
podemos observar también, que esta definición es simplemente la pendiente de la secante definida por
y
, es decir, la derivada del polinomio interpolador (conjunto de datos
obtenidos a partir de un experimento; de tal forma, que a partir de dichos puntos/datos encontrar un
polinomio que pase por todos los puntos) de f en los nodos x, x+h. Sin embargo, podemos aproximar
numéricamente la derivada (conjunto de datos) por medio del método de coeficientes indeterminados [32],
procedimiento que produce la siguiente fórmula de derivación numérica
(4.5)
Donde
son nodos predeterminados (x, x+h) y los
expresión anterior, obtenemos que, ver [32].
los “pesos” correspondientes. Si expandimos la
(4.6)
Una vez prefijados los nodos, para determinar los pesos podemos recurrir al método de coeficientes
indeterminados; entonces, por medio de una función llamada diff [31], desarrollada en MATLAB, se hace
posible encontrar una solución de aproximación numérica de las derivadas de una función a partir de sus
valores (conjunto de datos).
Si
, entonces la derivada
se puede interpretar como la razón de cambio de y con respecto
a x. Por lo tanto, la función diff, es una tasa instantánea de cambio de una variable con respecto a una
segunda variable, de la siguiente forma
(4.7)
50
En este caso, las constantes ópticas serán la razón de cambio ( ) y la longitud de onda la razón de
cambio ( ). El principio que se aplicó, para encontrar las derivadas de las constantes ópticas es el
siguiente.
(4.8)
(4.9)
Aquí, se identifica los datos de las constantes ópticas hallados en la primera iteración que no siguen un
mismo patrón (decreciente, creciente o constante); proceso que va generar discontinuidades en el resultado
final, o sea, en las gráficas de las constantes ópticas. En el bloque DERIVADOR podemos distinguir 3
entradas y 2 salidas.
Figura 4.7 Esquema del bloque DERIVADOR.
Las entradas n_fijo y k_fijo son los arreglos del índice de refracción y coeficiente de extinción en función
de la longitud de onda calculados en el comparador. Las salidas de la entidad DERIVADOR serán los
arreglos n_fijoD y k_fijoD, e indican los datos que no son cercanos a cero, los cuales se registran como
menos uno (-1), respectivamente; mientras los datos que son cercanos a cero permanecen sin cambios.
4.4.1 Discontinuidad
Esta entidad se encarga de graficar los arreglos de salida del bloque DERIVADOR y los arreglos datos
teóricos - experimentales de los espectros de transmisión y reflexión en función de la longitud de onda
. Podemos observar que posee 2 entradas y 7 salidas.
Figura 4.8 Esquema del bloque Discontinuidad.
51
Las entradas a la entidad Discontinuidad son las salidas del bloque DERIVADOR y las salidas son las
gráficas de los arreglos trans_fijo y ref_fijo que representan la transmisión y reflexión teóricas
respectivamente; las salidas n_fijoD y k_fijoD indican los datos derivados de las constantes ópticas; y
finalmente, las salidas TRA, REF y ONDA que representan los datos experimentales de transmisión y
reflexión en función de la longitud de onda.
4.5 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS - N
Es la tercera iteración del algoritmo, en esta etapa se identifica , analiza y modifica los datos del índice de
refracción que al derivar no cumplieron con la aproximación; la discontinuidad (datos que fueron
identificado con -1) se ocupa (llenar espacio) bajo el argumento de hallar los extremos indeterminados de
N, con el fin de conocer su longitud o tamaño y los límites superior e inferior de búsqueda para el rango
de N (índice de refracción); a medida que se encuentra un valor correcto, los extremos (límites del espacio
o discontinuidad) cambian; por lo tanto, se reduce el tamaño o el número de datos indeterminados y el
rango de N se actualiza; esto se realiza de forma iterativa en el bloque CÁLCULO para cada dato del
índice de refracción en función de la longitud de onda. Se identifican dos entradas y tres salidas.
Figura 4.9 Esquema del bloque ANDI-N.
La entrada n_fijoD es el arreglo del índice de refracción en función de la longitud de onda; la salida
tamaño_disc es la longitud de la discontinuidad; y finalmente, las salidas inicio_n y fin_n indican los
rangos de búsqueda del índice de refracción.
(4.10)
(4.11)
Esta regla se aplica para cada punto de la discontinuidad; de tal forma, que se identifica inicio-fin del
rango del índice de refracción (N) y x que es el tamaño del vector discontinuidad (datos que fueron
identificados con -1).
52
Figura 4.10 Esquema del bloque CÁLCULO ANDI-N.
Las entradas que se identifican en el bloque CÁLCULO, son las salidas del bloque ANDI N y las
entradas nombradas al principio de este capítulo; la salida n_fijoN representa el arreglo con los verdaderos
valores encontrados para cada dato del índice de refracción en función de la longitud de onda.
4.6 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS – K
Es la cuarta iteración del algoritmo, esta etapa es análoga al desarrollo anterior, con la diferencia de que
esta vez se aplica al coeficiente de extinción de la película delgada semiconductora. En este caso, la salida
será k_fijoK, la cual representa el arreglo con los verdaderos valores encontrados para cada dato del
coeficiente de extinción en función de la longitud de onda. De este modo, se asegura que para cada
longitud de onda de los dos espectros (transmisión y reflexión) exista un valor absoluto (único)
correspondiente a las constantes ópticas de la película en estudio.
4.7 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS INICIO – N
Es la quinta iteración del algoritmo, en esta etapa se identifica, analiza y modifica los datos del índice de
refracción que al derivar no cumplieron con la aproximación y tampoco, con la técnica que se implemento
antes; por consiguiente, qué sucede si después de la iteración derivada cualquiera de las constantes ópticas
inicia o termina con discontinuidad; qué la iteración anterior no es la apropiada y por lo tanto, hay que
implementar otra función que complemente el proceso anterior. Entonces, para este caso en particular,
primero, se analiza la indeterminación, es decir, se determina y señala la tendencia de los datos, o sea, si
son crecientes, decrecientes o constantes (igual al dato inmediatamente anterior); para lograr esto, se
toman dos posiciones antes de la indeterminación inicio-N; de tal forma, que a partir de la diferencia de
tales valores, podamos extraer la tendencia de los datos inicio-N que aún son indeterminados. Luego, se
halla los límites del rango del índice de refracción inicio-N, para este caso, nos ubicamos en la primera
posición del vector (indeterminación N) antes de la indeterminación inicio - N y, respecto a este valor
junto a la diferencia hallada antes, se encuentran los rangos inicio-fin de la indeterminación inicio-N.
A medida que se encuentra un valor correcto, los límites de la discontinuidad cambian; por lo tanto, se
reduce el tamaño o el número de datos indeterminados y el rango de inicio-N se actualiza; esto se realiza
de forma iterativa en el bloque CÁLCULO para cada dato del índice de refracción en función de la
longitud de onda hasta que deje de encontrar valores con (-1); tal proceso se implementa o se desarrollo de
derecha a izquierda de la gráfica índice de refracción (N). Las entradas y salidas que se identifican en el
bloque ANDI INICIO-N son
53
Figura 4.11 Esquema del bloque ANDI INICIO-N.
La entrada n_fijoN es el arreglo del índice de refracción en función de la longitud de onda hallado en la
iteración anterior; la salida difer_n indica la tendencia de la discontinuidad (positiva o negativa); y
finalmente, las salidas inicio_n y fin_n indican los rangos de búsqueda del índice de refracción. Si la
tendencia es positiva se obtiene que
(4.12)
(4.13)
O si es negativa, el rango de N es
(4.14)
(4.15)
Esta regla se aplica para cada punto de la indeterminación inicio-N; de tal forma, que se identifica iniciofin del rango del índice de refracción (N) dependiendo de su tendencia (datos que fueron identificados
como -1). Los subíndices indican la posición uno y dos del vector indeterminación N, respectivamente;
datos que se requieren para poder determinar o hallar el rango de la indeterminación inicio-N.
Las entradas y salidas que se identifica en el bloque CÁLCULO son:
Figura 4.12 Esquema del bloque CÁLCULO ANDI INICIO-N.
Las entradas que se identifican en el bloque CÁLCULO, son las salidas del bloque ANDI INICIO-N y
las entradas nombradas al principio de este capítulo; la salida n_fijoN_mejor_inicio representa el arreglo
con los verdaderos valores encontrados para cada dato del índice de refracción en función de la longitud
de onda.
54
4.8 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS INICIO – K
Es la sexta iteración del algoritmo, esta etapa es similar al proceso anterior, con la diferencia de que esta
esta vez se aplica al coeficiente de extinción de la película. En este caso, la salida será
k_fijoK_mejor_inicio, la cual representa el arreglo mejorado con los verdaderos valores encontrados para
cada dato del coeficiente de extinción en función de la longitud de onda. De este modo, se asegura de
nuevo, que para cada longitud de onda de los dos espectros (transmisión y reflexión) exista un valor
absoluto (único) correspondiente a las constantes ópticas de la película en estudio.
4.9 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS FIN – N
Es la séptima iteración del algoritmo, en esta paso se identifica los datos indeterminados fin-N del índice
de refracción. Entonces, para este caso en particular, al igual que en la indeterminación inicio-N, se toman
dos posiciones antes de la indeterminación fin-N; de tal forma, que a partir de la diferencia de tales
valores, podamos extraer la tendencia de los datos fin-N que aún son indeterminados. Luego, se halla los
límites del rango del índice de refracción fin-N, para este caso, nos ubicamos en la primera posición del
vector (indeterminación N) antes de la indeterminación fin - N y, respecto a este valor junto a la
diferencia hallada antes, se encuentran los rangos inicio-fin de la indeterminación fin-N. A medida que se
encuentra un valor correcto, los límites de la discontinuidad cambian; por lo tanto, se reduce el tamaño o
el número de datos indeterminados y el rango de inicio-N se actualiza; esto se realiza de forma iterativa en
el bloque CÁLCULO para cada dato del índice de refracción en función de la longitud de onda hasta que
deje de encontrar valores con (-1); tal proceso se implementa o se desarrollo de izquierda a derecha de la
gráfica índice de refracción (N). Sin embargo, antes de comenzar el proceso de hallar los valores correctos
de la indeterminación fin - N del índice de refracción, tenemos que determinar el tamaño de la
indeterminación fin - N; pues a diferencia de la indeterminación inicio- N, que tenía definido previamente
este límite (eje “y” de la gráfica), en este caso en particular, sin tal restricción, la indeterminación fin - N
será infinita. Las entradas y salidas que se identifican en el bloque ANDI FIN-N son
Figura 4.13 Esquema del bloque ANDI FIN-N.
La entrada n_fijoN_mejor_inicio es el arreglo del índice de refracción en función de la longitud de onda
hallado en la iteración anterior; la salida difer_n indica la tendencia de la indeterminación fin-N (positiva
o negativa), ver ecuaciones (4.12) – (4.15); y finalmente, las salidas inicio_n y fin_n que indican los
rangos de búsqueda del índice de refracción de la indeterminación fin-N.
55
Figura 4.14 Esquema del bloque CÁLCULO ANDI FIN-N.
Las salidas serán las del bloque indeterminación fin- N y las entradas nombradas al principio de este
capítulo; la salida n_fijoN_mejor_fin es el último patrón mejorado del arreglo con los verdaderos valores
para cada longitud de onda del índice de refracción. Con esta última iteración, se da por terminado el
desarrollo de la indeterminación inicio-fin del índice de refracción (N).
4.10 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS FIN – K
Es la octava y última iteración del algoritmo, esta etapa es similar al proceso anterior, con la diferencia de
que esta vez se aplica al coeficiente de extinción de la película. En este caso, la salida será
k_fijoK_mejor_fin, la cual representa el arreglo mejorado con los verdaderos valores encontrados para
cada dato del coeficiente de extinción en función de la longitud de onda. Una vez más, se asegura de
nuevo que para cada longitud de onda de los dos espectros (transmisión y reflexión) exista un valor
absoluto (único) correspondiente a las constantes ópticas de la película en estudio. Con esta iteración, se
da por terminado el desarrollo de la indeterminación inicio-fin del coeficiente de extinción (K), y concluir
el proceso del algoritmo Multicapa.
4.11 SOLUCIÓN
Una vez diseñado el algoritmo Multicapa, se procede a su respectiva implementación en el programa
Multicapa (Iota.m) desarrollado en MATLAB, (ver anexo H). En el proyecto final se realizaron ocho
iteraciones para hallar las constantes ópticas de la película semiconductora, (ver anexo I).
56
Figura 4.15 Constantes ópticas de la película delgada semiconductora ITO.
En la figura 4.15, la curva de color rojo corresponde a la medición ITO y la curva de color azul indica la
aproximación teórica que realizo el algoritmo Multicapa al final del proceso. Se observa (figura 4.15),
que el resultado final diverge respecto a la medición de referencia (color rojo); sin embargo, se obtiene
una aproximación “aceptable” (no exacta y precisa!); por lo tanto, el algoritmo Multicapa es una excelente
herramienta para obtener las constantes ópticas de una película delgada semiconductora. A pesar, del
número de iteraciones que se requiere para encontrar tales constantes, el algoritmo que se implemento en
el presente trabajo, es limitado para obtener una aproximación más cercana a la medida de referencia
(color rojo), en este caso, las constantes ópticas de la película semiconductora ITO [30].
Trabajar con método numéricos, implica errores en los cálculos numéricos (figura 4.15), existen dos
causas principales de error en los cálculos numéricos: error de truncamiento y error de redondeo. El
primero se debe a las aproximaciones utilizadas en las fórmulas matemáticas del modelo (ecuaciones), en
este caso, el método numérico Multicapa [13]. El segundo, se asocia con el número limitado de dígitos
con que se representan los números (float) en un computador. Además, de los errores que genera el
método numérico, es también importante resaltar los criterios que se utilizaron durante el proceso, como lo
son: el criterio comparador y el criterio DERIVADOR; sobre todo el último, pues para algunos puntos o
datos, el criterio de la derivada no basta, ya que este método o técnica numérica, entrega resultados no
aceptables, para ciertos puntos de la aproximación numérica, como se puede ver en el resultado final de
las constantes ópticas (figura 4.14).
57
5. RESULTADOS
En este capítulo, finalmente se muestran las pruebas realizadas a la película delgada orgánica
semiconductora MDMO-PPV, con el fin de hallar sus constantes ópticas.
5.1 RESULTADO DE PRUEBA CONDICIONES IDEALES PARA EL MÉTODO NUMÉRICO
MULTICAPA
En esta prueba se sometió el método numérico Multicapa a condiciones ideales, para comprobar que su
aplicación es viable. De tal forma, que si el índice de refracción de la película es uno
, el
coeficiente de extinción de la película es cero
, el índice de refracción del sustrato es uno
y el coeficiente de extinción del sustrato es cero
, a los espectros de transmisión y
reflexión le deben corresponder los valores de uno y cero, respectivamente; tal como se muestra en la
figura 5.1.
Figura 5.1 Transmisión y reflexión del método numérico Multicapa para el caso de la transmisión.
Con el resultado de la figura 5.1, comprobamos nuestra hipótesis; por lo tanto, bajo estas condiciones e
incidencia normal
, el método numérico Multicapa cumple con las leyes de Snell.
Ahora, si el índice de refracción de la película es cero
, el coeficiente de extinción de la película
es uno
, el índice de refracción del sustrato es uno
y el coeficiente de extinción del
sustrato es cero
, a los espectros de transmisión y reflexión le deben corresponder los valores de
cero y uno, respectivamente; tal como se muestra en la figura 5.2.
58
Figura 5.2 Transmisión y reflexión del método numérico Multicapa para el caso de la reflexión.
Con el resultado de la figura 5.2, comprobamos nuestra hipótesis; por lo tanto, bajo estas nuevas
condiciones e incidencia normal, el método numérico Multicapa también cumple con las leyes de Snell.
Esto se logró mediante el programa (Dseda.m) desarrollado en MATLAB, (ver anexo J); y está
compuesto por: el método numérico Multicapa y los datos ingresados por el usuario, tales como: espesores
del sustrato y la película; constantes ópticas del sustrato y la película; datos inicio – fin y la variable
incremento de la longitud de onda.
5.2 ALGORITMO SWMK – MC
Las pruebas se hicieron para los espectros de transmitancia y reflectancia de la película delgada orgánica
semiconductora ITO a temperatura ambiente e incidencia normal, según [30]; entonces, por medio del
algoritmo SWMK-MC (Swanepoel_Minkov - Multicapa) desarrollado en MATLAB, se pusieron en
funcionamiento los dos métodos numéricos (Swanepoel-Minkov y Multicapa); el esquema comprende los
siguientes pasos: INICIO, SWMK, MC y PRODUCTO.
Con este algoritmo (ver anexo K), lo que se pretende extraer son los espectros de transmisión y reflexión
de los modelos matemáticos (Swanepoel-Minkov y Multicapa), a partir de las contantes ópticas de una
película orgánica semiconductora. Es importante resaltar, que a partir de la solución que muestra el
algoritmo, se puede determinar si los dos modelos matemáticos son equivalentes o análogos en la solución
final; o mejor, si existe un vínculo o relación entre las ecuaciones de los dos modelos matemáticos.
59
5.3 ERROR DEL MODELO MULTICAPA
En esta sección, se presenta los cambios realizados al modelo Multicapa, ya que según el autor [13], al
compararlo con el modelo Swanepoel-Minkov [23], los resultados eran diferentes, es decir, los espectros
teóricos no coincidían; por lo tanto, fue imperativo encontrar y corregir el error matemático en el método
numérico Multicapa.
Una vez diseñado el algoritmo, se procede a su respectiva implementación en el programa
(SWMK_MC.m) desarrollado en MATLAB (ver anexo L); se observa que los espectros teóricos están
desfasados uno respecto al otro, tal como se muestra en la siguiente figura
Figura 5.3 Transmitancia y reflectancia teóricas desfasadas de los dos métodos numéricos para una película delgada orgánica
semiconductora ITO
En este caso, la curva de color azul corresponde al modelo Swanepoel-Minkov y la roja al modelo
Multicapa; de tal forma, que para encontrar el error fue necesario realizar un desarrollo algebraico en el
modelo Multicapa; entonces, mediante un reemplazo progresivo, ordenado y continuo de la cadena de
ecuaciones que contiene el modelo Multicapa, se analizó y verificó el resultado final con cada una de las
ecuaciones del modelo Swanepoel-Minkov [23]; procedimiento que omitiremos en este trabajo de grado.
Al final, el cambio que se implemento en el modelo Multicapa fue en la siguiente ecuación
(4.78)
La ecuación anterior se aplica a las variables
del modelo Multicapa, ver [13]; y,
finalmente, el cambio que se implemento en el modelo Multicapa se muestra a continuación
60
(4.78)
Un signo, cambio “simple” e importante, pues con esta sencilla modificación se ajustan simultáneamente
los espectros de los dos modelos, como se puede ver en la figura 5.4.
Figura 5.4 Transmitancia y reflectancia teóricos corregidos de los dos métodos numéricos para una película delgada orgánica
semiconductora ITO
Es importante resaltar este resultado; se puede observar que las gráficas anteriores demuestran que
efectivamente si existe una relación entre las ecuaciones de los dos modelos matemáticos; por lo tanto,
trabajar el modelo Swanepoel-Minkov, en vez del modelo Multicapa, los resultados serán similares. En
otras palabras, cambiar el algoritmo Multicapa explicado en el capítulo de DESARROLLOS, por el
modelo Swanepoel-Minkov, con la misma estructura lógica que se aplico antes, sin cambios, se debería
obtener soluciones aproximadas. Sin embargo, el método numérico Swanepoel-Minkov tiene una
restricción, el coeficiente de extinción del sustrato no se tiene en cuenta en su modelo. Entonces, concluye
que, a pesar de sus limitaciones, el método matemático Swanepoel-Minkov se puede emplear de otra
forma ha como se ha venido trabajando durante las últimas décadas, es decir, que no necesita aplicar el
criterio de la envolvente [11, 12, 23] en los espectros de transmisión y reflexión para encontrar las
constantes ópticas de una película delgada semiconductora, sino que, adaptando el algoritmo Multicapa
(capítulo tres de este libro) al modelo matemático Swanepoel-Minkov se puede obtener soluciones
aproximadas, por no decir iguales, a lo que se encontró antes.
Desde que se comenzó a estudiar y emplear el método numérico Multicapa, se alcanzo y trato provechosos
resultados de su aplicación y tales fueron los progresos, que con él se logro adquirir con éxito el objetivo.
Sin embargo, el algoritmo Multicapa (capítulo tres de este libro) ha resultado útil para adaptarlo a otros
métodos numéricos, como es el caso del método numérico Swanepoel-Minkov; por consiguiente, los
resultados finales serán análogos, debido a que las ecuaciones del modelo matemático Multicapa se
61
derivan del modelo Swanepoel-Minkov; en otras palabras, el modelo Multicapa es un caso particular del
modelo Swanepoel-Minkov.
Del mismo modo, es importante resaltar, que si bien el método Swanepoel-Minkov utiliza otras
herramientas de análisis (criterio de la envolvente; regiones de absorción óptica: fuerte, media y baja;
ecuación de Cauchy; ecuación de Sellmeier; oscilador armónico simple y relaciones Kramers-Kronig),
sus ecuaciones, tanto de la transmitancia como la reflectancia convergen a un fin, y es que ambas apuntan
a una “solución multicapa”; la dificultad radica es en la forma o modo como se emplean tales ecuaciones,
de tal forma que el resultado final es difícil de comprender y manipular. Mientras el método Multicapa, es
un modelo recursivo, es decir, que cualquier variable está en función de su estado anterior y todos estos
estados en función de uno o varios valores iniciales; además, implica que el sistema película – sustrato,
se divida en submodelos válidos en determinadas capas (aire, película, película - sustrato, sustrato y aire)
de forma ordenada y progresiva, empezando siempre por los más sencillos, hasta llegar finalmente a los
más compuestos.
Por último, es evidente que el criterio de la derivada es mucho más poderoso que el criterio de la
envolvente; pues con el primero no solo se identifica las indeterminaciones (datos erróneos), sino que a
partir de esta sutil y poderosa herramienta matemática (derivada) se alcanza un resultado claro y seguro de
las constantes ópticas de una película delgada orgánica semiconductora.
5.4 RESULTADO DE PRUEBAS PARA DETERMINAR RANGOS DE LAS CONSTANTES
ÓPTICAS Y ESPESOR DE LA PELÍCULA ORGÁNICA MDMO-PPV
Los resultados obtenidos en la presente investigación, se realizaron a temperatura ambiente e incidencia
normal. Para el crecimiento de la película delgada orgánica semiconductora MDMO-PPV, se utilizó el
polímero orgánico PPV y el solvente ciclohexanona, crecida sobre sustratos de vidrio mediante la técnica
de deposición (suspensión) de películas delgadas spin coating. Entonces, para la película delgada orgánica
semiconductora MDMO-PPV, de espesor homogéneo y cuya superficie no presenta irregularidades, se
obtuvo experimentalmente los espectros de transmisión (T) y reflexión (R) en función de la longitud de
onda, como se muestra en la figura siguiente
Figura 5.5 Transmitancia y reflectancia en función de la longitud de onda de la luz, para una película delgada MDMO-PPV
62
Para determinar las constantes ópticas y el espesor de la película delgada MDMO-PPV, se recurre a la
medición de los espectros de transmisión y reflexión en función de la longitud de onda (figura 5.5), y, a
partir de estos resultados, por medio del programa de computador Multicapa (Iota.m) se encuentra el
índice de refracción y el coeficiente de extinción. Pero antes, se debe determinar el espesor de la película
delgada y los rangos de búsqueda de las constantes ópticas, datos que son predeterminados por el usuario.
Para medir el espesor de la película se presentaron tres métodos (capítulo 2); para este caso, se utilizo el
método Multicapa; utilizando el programa (Kappa.m) desarrollado en MATLAB (ver anexo M), que se
compone básicamente del bloque principal del algoritmo Multicapa, o sea, el bloque CÁLCULO (ver
capítulo 4); y, mediante el ensayo “prueba y error” se encuentra el espesor y los rangos de las constantes
ópticas de la película hasta que los espectros teóricos coincidan con los espectros experimentales. Es
necesario realizar este procedimiento, pues utilizar el programa Multicapa (Iota.m) sería ineficiente, ya
que lo que interesa primero es encontrar los datos de entrada (espesor y rangos); una vez encontrados, se
procede a utilizar el programa Multicapa (Iota.m), para encontrar finalmente las constantes ópticas de la
película delgada orgánica semiconductora MDMO-PPV.
Figura 5.6 Transmitancia, reflectancia y constantes ópticas de la película delgada MDMO-PPV.
Finalmente, por medio del ensayo “prueba y error” que se implementó en el programa (Kappa.m),
encontramos que el espesor de la película es 198.9 [nm]; el rango del índice de refracción está entre uno y
cuatro (1-4); el rango del coeficiente de extinción está entre (0.003 - 0.1) y el paso de las constantes
ópticas es de (0.001); además, el espesor del sustrato es 1000000 [nm]; el coeficiente de extinción del
sustrato es cero (0) y el índice de refracción del sustrato es (1.5). Podemos observar (figura 5.6) que con
estos datos, la aproximación es aceptable, ya que el ajuste de los espectros teóricos – experimentales
63
coinciden; factor determinante en el proceso de encontrar las constantes ópticas de la película; pues sin
esto, no es posible encontrarlos; por lo tanto, el resultado final sería especulativo e irreal.
5.5 RESULTADO DE PRUEBAS PARA DETERMINAR LAS CONSTANTES ÓPTICAS DE LA
PELÍCULA ORGÁNICA MDMO-PPV
Al final se realizaron ocho iteraciones para hallar las constantes ópticas de la película orgánica
semiconductora MDMO-PPV (ver anexo N).
Figura 5.7 Constantes ópticas de la película orgánica MDMO-PPV.
No se encontraron documentos que reporten el comportamiento de las constantes ópticas de la película
delgada orgánica semiconductora MDMO-PPV, sin embargo, un comportamiento similar observado en la
película orgánica semiconductora P3HT-PCBM [polímero poly (3-hexylthiophene) llamado P3HT y (6,6
– phenyl C61 – butyric acid methyl ester) llamado PCBM] fue reportado por [33].
A pesar de las múltiples iteraciones que se implementan en el algoritmo Multicapa; al final, los
resultados muestran un pico en el índice de refracción, esto se debe gran parte a que cuando se evalúa el
criterio de la derivada para los datos de la primera iteración, existen (algunos) indeterminaciones (datos
erróneos o falsos) que son contradictorios para el criterio de la derivada, es decir, existen ciertas
indeterminaciones de la aproximación a los que a pesar de estar alejados de la tendencia (primera
iteración), suponemos que al aplicar el criterio, este los identifica para su posterior corrección; pero
resulta, que para ciertas indeterminaciones (excepciones) se resisten al criterio, porque al derivar ese
punto nos da que su derivada es cercana a cero; inclusive, si restringimos aún más la búsqueda, o sea, al
tomar si y solo si los puntos (datos) que al derivar sean iguales a cero; sucede que, para ese punto en
especifico su derivada sigue siendo igual a cero; y, por lo tanto, no se puede realizar el posterior proceso,
identificar y corregir el dato indeterminado, debido a que el criterio de la derivada lo identifica como dato
correcto (a pesar de que es un dato incorrecto).
64
Sin embargo, a pesar de las limitaciones del algoritmo Multicapa, la aproximación que se obtiene es
“aceptable” (no exacta y precisa!) tanto para los espectros de transmisión y reflexión, como las constantes
ópticas de la película delgada orgánica semiconductora MDMO-PPV. Otro punto a resaltar, es que para
esta medición en particular, los espectros no presentan oscilaciones (interferencias) en sus respectivas
curvas; es decir, el fenómeno físico de múltiples reflexiones es mínimo en este caso, por no decir nulo,
debido a que el espesor con el que se fabrico la película MDMO-PPV es demasiado pequeño; razón por la
cual, vemos que para la transmitancia se obtiene un espectro cercano a uno, mientras para la reflectancia
se obtiene un espectro pequeño, inclusive por debajo de (0.1); por lo tanto, para este caso, obtuvimos una
película delgada orgánica semiconductora que absorbe poca energía (400nm – 530nm), y, si en cambio,
transmite para un amplio rango de la medición (después de 530nm). Sin embargo, al realizar otra
medición, aumentando el espesor de la película MDMO-PPV, seguramente se obtendra oscilaciones
(interferencias) en sus espectros (ver figura 3.2).
Con este resultado, se demuestra que el algoritmo Multicapa es una herramienta computacional poderosa,
sencilla, eficiente y versátil; ya que se puede aplicar para cualquier tipo de medición, material orgánico
semiconductor y/o espesor con el que se fabrica tales materiales; incluso, métodos numéricos diferentes al
método numérico Multicapa.
Para este caso en particular, medir el espesor de la película delgada MDMO –PPV con el microscopio de
fuerza atómica (AFM) no fue posible, debido a que el espesor de la película era demasiado delgado
(pequeño), por lo que la adhesión a la superficie (sustrato) era débil; por lo tanto, al emplear el modo
contacto en la muestra orgánica (blanda y delicada) se daña, es decir, se modifica las dimensiones de la
muestra; por consiguiente, trazar un mapa topográfico de la muestra resultaba algo complejo de hallar.
Por otro lado, emplear la ecuación (3.1) que determina el espesor de la película a temperatura ambiente no
se utilizo en este trabajo de grado; a pesar de que los parámetros fundamentales que intervienen en el
proceso de fabricación de la película delgada se conocen; sin embargo, la rata de evaporación del
disolvente es un parámetro aleatorio; por lo tanto, medir o calcular esta variable durante el proceso de
fabricación no es fácil. Por tal motivo, no se aplico tal fórmula para hallar el espesor de la película
delgada.
5.6 RESULTADO DE PRUEBA PARA COMPARAR MÉTODO MULTICAPA VS MÉTODO
SWANEPOEL -MINKOV.
En esta etapa, de nuevo se compara los dos modelos matemáticos a partir de las constantes ópticas
halladas en la sección anterior, es decir, las constantes ópticas de la película orgánica MDMO-PPV que se
encontraron por medio del programa Multicapa (Iota.m); el resultado se muestra a continuación.
65
Figura 5.8 Transmitancia y reflectancia teóricos de los dos métodos numéricos para la película delgada orgánica semiconductora
MDMO-PPV.
La curva de color azul corresponde al modelo Swanepoel-Minkov y la roja al modelo Multicapa. Se
observa un ajuste aceptable para la transmitancia, mientras para la reflectancia se aprecia un desajuste o
desviación al inicio de espectro; al trabajar con métodos numéricos su solución es una aproximación y, en
algunos casos, los resultados no pueden ser exactos; al mismo tiempo, los datos de las constantes ópticas
son el resultado de una medición experimental, por lo que los datos calculados de las constantes ópticas no
están ajenos a que presenten incertidumbre entre sus datos, ver capítulo tres (sección 3.3). Es por esto que,
al implementar tales valores a los modelos matemáticos se presenten estas desviaciones, tal como se mira
en la reflectancia. Sin embargo, a pesar que los datos de entrada al programa (SWMK_MC.m) son datos
experimentales, sus resultados nos muestran que al final el ajuste teórico entre los dos modelos
matemáticos es una aproximación aceptable; por lo tanto, podemos decir una vez más, que los dos
modelos matemáticos son compatibles.
Por último, al comparar los resultados de la figuras (5.13) y (5.4); se puede decir que el primero es una
aproximación a partir de datos experimentales, mientras el segundo es una aproximación a partir de datos
netamente teóricos, pues recordemos que estos datos fueron reportados por [30]; por consiguiente, los
resultados de los espectros en la figura (5.4) son exactos (coinciden) para los dos modelos matemáticos.
66
6. CONCLUSIONES
En este trabajo de grado, se obtuvieron las constantes ópticas de la película delgada del polímero
conjugado orgánico semiconductor MDMO: PPV fabricadas por la técnica de “spin coating”. Los valores
de las constantes ópticas ( , ) del sistema multicapa (aire, sustrato, película, aire) han sido
determinadas utilizando un programa informático de simulación desarrollado en MATLAB, basado en el
método numérico multicapa. Debe tenerse en cuenta que el método numérico óptico empleado en el
presente trabajo funciona con ángulo de incidencia normal para las medidas de transmitancia y
reflectancia; además, se ha supuesto en el desarrollo del método lo siguiente: la película como el sustrato
son de espesor uniforme y homogéneo, la película es “débilmente” absorbente y el sustrato es
transparente, por último, las múltiples reflexiones (oscilaciones) corresponden a un efecto determinado
por el espesor de la película delgada orgánica semiconductora.
Del análisis de los datos se deduce que el algoritmo multicapa para el cálculo del espesor y de las
constantes ópticas de la lámina delgada, funciona con o sin envolventes en los espectros de transmisión y
reflexión, como también para cualquier material orgánico; lo que lo convierte en una herramienta sencilla
y versátil. A la vez, identificar y corregir el error matemático en el método numérico multicapa, permitió
contrastar los dos métodos numéricos, es decir, los modelos numéricos multicapa y Swanepoel-Minkov;
por lo tanto, podemos concluir que, a pesar de sus limitaciones, el método matemático SwanepoelMinkov se puede emplear de otra forma ha como se ha venido trabajando durante las últimas décadas, es
decir, que no necesita aplicar el criterio de la envolvente en los espectros de transmisión y reflexión para
encontrar las constantes ópticas de una película delgada semiconductora, sino que, adaptando el algoritmo
Multicapa al modelo matemático Swanepoel-Minkov se puede obtener una aproximación exacta y precisa
de las constantes ópticas de una película delgada orgánica semiconductora.
Respecto al funcionamiento del software (algoritmo multicapa) se encontraron resultados exactos y muy
confiables; pues recordemos que los valores de las constantes ópticas son obtenidos cuando los espectros
teóricos coinciden con los espectros experimentales. No obstante, un caso particular fue el criterio de la
derivada, ya que para “algunos” datos la aproximación no se cumplía; por lo tanto, es necesario
implementar un técnica numérica o función matemática que complemente el proceso; de tal forma, que el
software (algoritmo multicapa) pueda reconocer, procesar y corregir tales excepciones; con esto se busca
que la aproximación sea más precisa y exacta a la hora de evaluar las constantes ópticas de una película
delgada semiconductora. Del mismo modo, es importante resaltar, que el algoritmo que se implemento
durante el trabajo de grado se basa en un método numérico iterativo (multicapa), por lo tanto, es una
aproximación y, por consiguiente, introducen “errores” las ecuaciones y múltiples variables que
componen el modelo multicapa cuando se ejecuta.
En cualquier método numérico se sacrifica dos fundamentos importantes: precisión/eficiencia; precisión
implica lentitud en el cálculo de las constantes ópticas; mientras eficiencia, implica menos precisión en el
cálculo de las constantes ópticas. Para este caso en particular, existen métodos de optimización, uno de
los cuales podría ser ejecución paralela de algoritmos (dos procesadores), con esto se busca (intentar)
reducir el “error” y, de paso, lograr que los tiempos de ejecución del algoritmo por cada iteración sean
más cortos, y además, se ganaría u obtendría una precisión alta durante el cálculo de las constantes
ópticas.
67
7. BIBLIOGRAFÍA
[1] Michiel Thijssen, “Opinion: The future is photonic”, materials today. July/August 2001.
[2] Sun J, Chan C.C, Dong X.Y and Shum P, “Application of an artificial neural network for
simultaneous measurement of temperature and strain by using a photonic crystal fiber long- period
grating”, Measurement Science and Technology. 18, 2943 (2007).
[3] Balet L, Francardi M, Gerardino A, Chauvin N, Alloing B, Zinoni C, Monat C, Li L. H, Le Thomas N,
Houdre R and Fiore R, “Enhanced spontaneous rate from single InAs quantum dots in a photonic crystal
nanocavity at telecom wavelengths”, Appl. Phys. Lett. 91, 12315.
[4] Fulconis J, Alibart O, O´ Brien J.L, Wadsworth W.J and Rarity J.G, “Nonclassical interference and
entanglement generation using a photonic crystal fiber pair photon source”, Phys. Rev. Lett. 99, 120501
(2007).
[5] Enrique Pérez Gutierrez y José Luis Maldonado Rivera, “Fuente alterna de energía renovable: Celdas
solares orgánicas”, Centro de Investigaciones en Óptica, A.C. UNAM, México, D.F (2013).
[6] Jhon S and Quang T, “Collective switching and inversion without fluctuation of two-level atoms in
confined photonic systems”, Phys. Rev. Lett, 78, 1888 (1997).
[7] Li J, and Zheng T, “A comparison of chemical sensors based on the different ordered inverse oplas
films”, Sensors and actuators B. 131, 190 (2008).
[8] H. Méndez, D. Pardo, J.P. Cuéllar, J.C. Salcedo, R.Vera, y B.A. Pérez, “Fabricación y
Caracterización Eléctrica de Diodos Orgánicos Emisores de Luz (OLEDs)”, Grupo de Películas
Delgadas y Departamento de Química, Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá, Colombia. QuBiton
Laboratories AG, Linz, Austria. (2010).
[9] Manifacier JC, Gasiot J and Fillard JP, “A simple method for the determination of the optical constants
n,k and the thickness of a weakly absorbing film”, J. Phys. E: Sci. Instrum. 9 1002-4 (1976).
[10] S. Sankar, and K.G. Gopchandran, “Studies on oscillator strength of nanostructured amorphous,
anatase and rutile TiO2 films”, Department of optoelectronics, University of Kerala, Kariavattom,
Trivandrum, India.
[11] R. Swanepol, “Determination of thickness and optical constants of amorphous silicon”, J Phys E: Sci
Instrum. Vol. 16, pp. 1214-1222 (1983).
[12] D.A. Minkov, “Method for determining the optical constants of a thin film on a transparent
substrate”, J. Phys. D: Appl. Phys. 22, 199-205 (1989).
[13] S. Einfeldt, F. Goschenhofer, C.R. Becker, and G. Landwehr. “Optical properties of HgSe”,
Physikalisches Institut der Universitat Wurzbug, Am Hubland, 97074 Wurzburg, Germany, vol 51,
number 8, revised manuscript and received 6 October (1994).
[14] Roald K. Wangsness, “Electromagnetic Fields”. Jhon Wiley & Sons, Inc. Mexico, D.F. (2006).
[15] Oscar Ocaña Gómez, “Apuntes de clase Transmisión electromagnética”. Departamento Ingeniería
Electrónica, Facultad de Ingeniería, Pontificia Universidad Javeriana. Bogotá, Colombia, (2005).
68
[16] José Ramón Menéndez García-Hevia, “Conceptos de electromagnetismo”. Universidad de Oviedo,
Servicio de publicaciones.
[17] David J. Griffiths, “Introduction to electrodinamics”, Department of Physic, Reed College, second
edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, (1989).
[18] José A. Sarta, “Bioelectromagnetismo”. Sarta Fuentes, José Antonio. (2011).
[19] Manuel Fernández Guasti, “Medios materiales”. 14 de Mayo 2008.
[20] Eugene Hecht, “Optics”, Tercera edición, Addison Wesley Longman, Inc. Madrid, España, (2000).
[21] www.andor.com/
Spectroscopy”.
ANDOR
TECHNOLOGY,
“Absorption/Transmission/Reflectance
(ATR)
[22] Teresa Yonte Sanchidrán, “Fundamentos geométricos de la óptica de Multicapas”. Departamento de
óptica, Universidad Complutense. Madrid, España, (2005).
[23] J.M. González-Leal, E. Márquez, A.M. Bernal-Oliva y R.Jiménez-Garay, “Determinación de las
constantes ópticas de láminas delgadas calcogenuras amorfas a partir de las envolventes de sus espectros
de transmisión y reflexión”. Departamento de Física de la Materia Condensada, Facultad de Ciencias,
Universidad de Cádiz, España.
[24] www.mathworks.com.
[25] Barrow Gordon M, “Estructura de las moléculas introducción a la estructura molecular”. (1967)
[26] http://www.sigmaaldrich.com/.
[27] H. Méndez, C. Hérnandez y J.C. Salcedo Reyes, “Temperature dependent relaxation processes in
MDMO-PPV films”, Thin films group, Physics Department, Javeriana University, Bogotá, Colombia.
Electronics Engineering Department, Javeriana University, Bogotá, Colombia.
[28] Martínez Hernández Diego, Córdoba Carlos, Mera Yenny y Paredes Omar, “Construcción y
calibración de un equipo para la deposición de nanopartículas sol-gel por el método de rotación o espincoating”, Centro de Investigaciones en Materiales, Universidad de Nariño, Pasto, Colombia. Revista
Colombiana de Física, vol. No 20 (2009).
[29] www.knittel-glacer.de/
[30] http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/nk/, consultada el 10 de junio de 2013.
[31] Holly Moore, “MATLAB para ingenieros”, Pearson, Prentice Hall (2007).
[32] Burden, R.L y Faires, J.D, “Análisis numérico”, Ed. Internacional Thomson editores, sexta edición
(1998).
[33] W.H.Lee, S.Y. Chuang, H.L. Chen, W.F.Su, C.H.Lin, “Exploiting optical properties of P3HT-PCBM
films for organic solar cells with semitransparent anode”, Department of Materials Science and
Engineering, National Taiwan University, Tapey, Taiwan. Institute of Electro-Optical Science and
Engineering, National Cheng Kung University, Taiwan. 10 Mayo (2010).
69
8. ANEXOS
Se incluye un CD-ROM el cual contiene:
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Copia del Informe Final.
Copia del Artículo IEEE.
Carpeta del banco de datos o muestras.
Carpeta con los algoritmos realizados en MATLAB (archivos.m)
Copia de los Anexos.
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