La geometría (del griego “ge”, tierra y “metrein”, medir) es la rama

FRACTALES
Autor: Profesora Claudia Virginia Beneyto
Trabajo final del curso de postgrado “Metodología de la investigación”
La geometría (del griego “geo”, tierra y “metrein”, medir) es la rama de las
matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. El origen del término describe
de manera precisa el objetivo y el trabajo de los primeros geómetras: medir el tamaño
de la tierra. Esta ciencia trabaja con idealizaciones del espacio en que vivimos: puntos,
rectas, planos y otros elementos derivados como polígonos y poliedros. Es una
herramienta potente y útil para solucionar problemas del mundo real y proporciona
justificaciones teóricas a otras ramas de la ciencia como la biología, la geología, la
economía y a la tecnología.
Podemos establecer dos tipos principales de geometría: la euclidiana o clásica y la no
euclidiana. La geometría euclidiana se basa en definiciones, axiomas y postulados dados
por el geómetra griego Euclides (325 AC a 265 AC) en su tratado „Elementos‟, en dicho
libro el autor reunió todo el conocimiento geométrico de la época. Era ésta una
geometría basada en la intuición y los sentidos. Los conceptos básicos se adaptaban a la
experiencia sensible, dependían del grado de aproximación, la forma y las extensiones
que el hombre podía percibir directamente.
Dentro de las geometrías euclidianas se encuadran la geometría sólida, desarrollada
por Arquímedes, que comprende principalmente esferas, cilindros y conos; la
trigonometría que es la geometría de los triángulos (planos y esféricos), desarrollada por
Hiparco de Nicea; la geometría analítica inventada por René Descartes, que trabaja
problemas geométricos en base a un sistema de coordenadas y su transformación a
expresiones algebraicas; y el cálculo vectorial, que trata de las cantidades que poseen
magnitud y dirección.
En cambio, las geometrías no euclidianas comienzan a desarrollarse desde el siglo XIX
cuando algunos matemáticos desarrollan otros tipos de conocimiento para los cuales no
se consideran válidos al menos uno de los postulados de Euclides. Entre éstas se puede
incluir la geometría elíptica, que trabaja sobre superficies esféricas y considera que las
rectas son cerradas, la geometría hiperbólica, en la que se acepta que por un punto
exterior a una recta pasan dos paralelas; que la suma de los ángulos de un triángulo es
menor que dos rectos, y la geometría fractal, que trata de estructuras cuya dimensión es
mayor que la dimensión topológica.
Desde otro punto de vista los matemáticos observaron que las formas de la
naturaleza exceden la capacidad de descripción de la geometría euclidiana y es allí
donde la geometría fractal aparece como una nueva manera de explicar el mundo. Esta
teoría proporciona elementos que ayudan a describir formas que no son ni circulares, ni
cónicas, ni esféricas, que pueden ser las ramas de un árbol, el contorno de una nube o la
longitud de una costa y nos permiten volver, en definitiva al concepto original de la
palabra geometría como medición de la tierra.
Por su extensión y complejidad, el estudio de los fractales conforma hoy una nueva
disciplina que se comenzó a denominar geometría fractal, que al igual que las otras
ramas de la geometría pertenece al área de estudios de la Matemática.
La formación clásica de un docente de matemática de los últimos años no contempla
en su currículo el estudio de geometría fractal. Tímidamente algunos docentes lo han
ido incorporando como un tema dentro de algún curso de geometría.
El presente trabajo tiene como objetivo compensar las deficiencias en la formación
académica referidas a esta nueva área del conocimiento. El mismo no pretende ser
exhaustivo ya que, como dijimos, la geometría fractal es hoy considerada una rama
completa de la matemática y no podría reflejarse en un trabajo de esta extensión, pero sí
tiene como premisas la precisión y rigurosidad matemática, intentando a su vez
conservar la sencillez y la claridad en las explicaciones.
Los objetivos que se proponen en el trabajo quedarán definidos a partir de poder
elucidar las siguientes preguntas.
¿Qué es un fractal?
¿Tiene la geometría fractal alguna aplicación en otras áreas del conocimiento?
¿Es posible establecer alguna relación entre un fractal y un desarrollo matemático?
DESARROLLO
1. CARACTERÍSTICAS DE LOS FRACTALES
La geometría euclidiana es muy útil para describir o representar algunos objetos de
la naturaleza tales como cristales o secciones de una colmena. Pero a menudo es
descripta como una ciencia fría, sin conexión con la realidad. Una de las razones es su
incapacidad para describir la forma de una montaña, una nube o un árbol. Es decir
muchas formas naturales son más irregulares y fragmentadas que las estructuras de la
geometría euclidiana y no pueden ser modelizadas por ésta.
Supongamos que se intenta medir la longitud de una determinada extensión de
costa. Si se mide en kilómetros se despreciarán algunas irregularidades y se obtendrá un
valor finito de longitud y una forma representable en un mapa. Si se intenta medir esa
misma costa en centímetros o milímetros, recorriendo las entrantes y salientes, se
conseguirá una curva completamente irregular. Este es el primer ejemplo de fractal
propuesto por Benoit Mandelbrot, matemático polaco (1924), a quien se considera el
padre de la teoría fractal, contenidos que conceptualizó y organizó en la década de los
setenta. Al respecto el científico sostiene:
….”la longitud de una costa es un concepto esquivo, que se nos escapa entre los
dedos cuando pretendemos asirlo. Todos los métodos de medida llevan a la conclusión
de que la longitud de una costa típica es muy grande, tan indeterminada que es mejor
considerarla infinita. En consecuencia, si se quiere comparar la extensión de distintas
costas, la longitud es un concepto inadecuado” (Mandelbrot, pág. 49).
Mandelbrot desarrolló una nueva teoría al respecto. Dicho científico, a quien se
considera el padre de la geometría fractal, sostiene que esta nueva área permite describir
muchas de las formas irregulares y fragmentadas que nos rodean. Además caracteriza a
las estructuras que llama Fractales señalando:
“Las más útiles implican azar, y tanto sus regularidades como sus irregularidades
son estadísticas. Las formas que describo aquí tienden a ser, también, escalantes, es
decir que su grado de irregularidad y/o fragmentación es idéntico a todas las escalas. El
concepto de dimensión fractal (de Hausdorff) tiene un papel central en esta obra.”
(Mandelbrot, pág. 15).
Mediante esta frase se puede ir aproximando intuitivamente características de estas
nuevas formas. Pero, ¿qué significa fractal? El término fue acuñado por el propio
Mandelbrot a partir del adjetivo latino Fractus. El verbo correspondiente es frangere
que significa “romper en pedazos”, por tanto fractus significa también, fragmentado e
irregular. Ambos sentidos se conservan en la palabra fractal.
También debe diferenciarse el sentido que se dará a los siguientes términos: la
expresión “conjunto fractal” tendrá más adelante una definición rigurosa, no así “fractal
natural” que sirve para designar sin mucha precisión una figura natural que puede ser
representada por un conjunto fractal.
Pero “ qué se puede definir como fractal? No existe una versión definitiva ni
excluyente del concepto de fractal siendo la misma revisada permanentemente pues
dentro del término fractal se engloban gran cantidad de estructuras matemáticas que
tienen rasgos comunes aunque las definiciones dadas no les sean aplicables. Los
fractales pueden obtenerse geométricamente como el producto final originado por la
iteración infinita de un proceso geométrico regular. El proceso geométrico es en
naturaleza muy simple pero, al repetirse sucesivamente, va complicando la forma final.
Los fractales naturales pueden precisamente ser modelizados mediante estructuras
simples que se repiten. Esta idea nos proporciona una primera definición:
Un fractal es una estructura que está formada por partes semejantes en cierta manera
al conjunto completo.
Esta definición enfatiza un aspecto predominante en las estructuras fractales que es
la invariancia en presencia de cambios de escala. Por esto, de un fractal se puede
observar siempre la misma estructura independientemente de la escala a la que se
observe. Esta propiedad se denomina autosemejanza y puede presentarse de maneras y
formas muy distintas: en algunos casos esta semejanza es exacta y se la denomina
autosimilitud y a los fractales que las poseen fractales determinísticos, mientras que en
otros casos, que se encuentran en el mundo real que nos rodea, la autosemejanza es
aproximada.
La autosimilitud es una característica de los fractales clásicos, generados por un
algoritmo, como el fractal de Koch y otros que desarrollaremos más adelante. El
principio de auto-semejanza se presenta aproximadamente en la naturaleza: en líneas
costeras y en cuencas de ríos, en la formación de nubes y en el crecimiento de árboles,
en el flujo turbulento de fluidos y en la organización jerárquica de sistemas vivos.
Cuando se quiere medir una curva fractal con una unidad o instrumento de medida
determinado, y dado que un fractal está constituido por elementos cada vez más
pequeños, siempre habrá objetos más finos que escaparán al instrumento utilizado y, a
medida que aumenta la sensibilidad, aumentará la longitud de la línea. Por esto para la
medición de las formas fractales se hace necesario introducir conceptos nuevos que van
más allá de los conceptos geométricos clásicos. Uno de ellos será el de dimensión
fractal, valor que nos indicará la rugosidad de la curva o en qué medida llena una
porción del plano.
Una definición frecuentemente citada de dimensión es la que introdujo el
matemático alemán Félix Hausdorff en 1919. Su definición precisa es complicada y no
muy esclarecedora. Por esto el concepto de dimensión más utilizada, especialmente al
trabajar con fractales autosemejantes es la dimensión fractal o dimensión de semejanza
que desarrollaremos más adelante. Atendiendo al hecho por él estudiado de que en los
fractales la dimensión no es un número entero, B. Mandelbrot define:
“Un fractal es por definición, un conjunto cuya dimensión de HausdorffBesicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica” (Mandelbrot, pág.
32).
Al referirse a dimensión topológica, Mandelbrot refiere que ésta posee una
definición que junto con la propia disciplina se fue refinando a lo largo del tiempo.
Sin adentrarnos en conceptos de mucha complejidad se coincide hoy en que el
concepto de dimensión está ligado al número de grados de libertad, las direcciones del
ente geométrico en cuestión, con las coordenadas necesarias para definirlo. Por lo tanto
la dimensión física de una superficie plana o con curvatura es dos, ya que bastan dos
números para identificar unívocamente cualquiera de sus puntos. En el espacio
euclidiano, que puede representarse por la geometría clásica, se necesitan tres
coordenadas para determinar un punto, por eso se dice que su dimensión es tres, tiene
tres grados de libertad, tres direcciones linealmente independientes. Así las líneas tienen
dimensión uno y el punto dimensión cero.
Respecto de otras dimensiones fuera de la topológica existen múltiples definiciones
distintas que en determinados casos pueden tomar valores distintos para un mismo
objeto. Las dos pertinentes para el estudio de los fractales son la dimensión fractal o de
semejanza y la de Hausdorff-Besicovitch. Hausdorff, matemático alemán (1868-1942)
es considerado uno de los fundadores de la topología y gran contribuyente al desarrollo
de la teoría de la medida, el análisis funcional y la teoría de las funciones. Hacia 1919
construyó una teoría que permitía estudiar los fractales y medirlos, que actualmente se
conoce como métrica de Hausdorff. Posteriormente Besicovitch (1891- 1971) hacia
1920 se interesó por esta métrica y construyó una teoría geométrica de la medida que
permite el dimensionamiento de estas estructuras.
Tratemos de llegar al concepto de dimensión de semejanza de figuras clásicas: un
segmento de recta, un cuadrado en el plano.
Dado un número entero, 5 en este caso. Un segmento de longitud unidad se puede
dividir en N=b sub-intervalos de longitud r=1/b. Recordar que la dimensión euclídea
D del segmento es 1.
Análogamente, un cuadrado de lado unidad, cuya dimensión euclídea D es 2, se
puede dividir en N= b2 cuadrados de lado r=1/b, por lo tanto
r= 1 / N1/2
Si repetimos el procedimiento para el espacio euclídeo de n dimensiones, por tanto
D=n tendremos
r(n)= 1/N1/n
o sea r(n)= 1/N1/D
por procedimientos algebraicos despejamos D que resultará :
Como la mayoría de los fractales que analizaremos son autosemejantes y la
definición de la dimensión de Hausdorff implica una gran dificultad matemática, sin
pérdida de precisión ni rigor, gran parte de los autores utiliza indistintamente la
dimensión fractal y la de Hausdorff en la mayoría de los casos.
2. LA CURVA DE KOCH. ANÁLISIS DE SU DIMENSIÓN
Esta curva es un ejemplo de fractal autosemejante. Es una curva continua y no
diferenciable en ningún punto. Tiene longitud infinita pero limita una superficie finita.
Su dimensión topológica es 1. Veamos cómo se construye y cuánto vale su dimensión
fractal.
Para generarla partimos de un segmento de longitud 1 y lo dividimos en 3 partes
iguales. El primer paso es construir un triángulo equilátero sobre el segmento central y
suprimir la base. Se obtiene la primera poligonal K1 cuya longitud es 4 (1/3).
K1
Se repite la operación sobre cada uno de los 4 lados y se obtiene la poligonal K 2 de
lados y cuya longitud total es
L(K2)= 42.(1/3)2.
K2
Según la ley de transformación la siguiente poligonal tendrá longitud es
L(K3)= 43.(1/3)3
K3
Y así sucesivamente.
En el paso n se tendrá una poligonal Kn de 4n lados y longitud L (Kn)= 4n.(1/3)n que
tenderá a infinito al crecer infinitamente n.
Calculemos ahora la dimensión de la curva de Koch. Cada lado de la poligonal se
divide en 4 partes, por lo tanto N=4 y cada segmento obtenido en esta subdivisión
tendrá longitud r=1/3 por lo tanto la dimensión D será:
; es decir
Por ser este valor obtenido distinto de 1, su dimensión topológica, demostramos que
la curva de Koch es un fractal.
3. OTROS EJEMPLOS DE FRACTALES CLÁSICOS
Si lo hecho a partir de un segmento unidad, se hace sobre los lados de un triángulo
equilátero, se tiene un triángulo limitado por tres curvas de Koch que se conoce como
fractal “copo de nieve”.
Después de haber generado el fractal de Koch es fácil generar otros por una ley de
recurrencia. Si en vez de dividir el segmento unidad de partida en 3 partes iguales se
divide en 4 y la segunda y la tercera se reemplazan por 3 lados de un cuadrado y se
repite esta acción reiteradamente obtendremos una poligonal con la siguiente forma:
En esta poligonal cada segmento se divide en 8 partes, por lo tanto N=8 y cada
segmento obtenido en la subdivisión tiene longitud r= ¼. La dimensión de este fractal
será entonces
.
Otro fractal interesante es el llamado dragón que se obtiene repitiendo el proceso de
sustituir el segmento de partida por los dos catetos de un triángulo rectángulo cuya
hipotenusa es el segmento de partida. Se repite el procedimiento colocando
sucesivamente los ángulos rectos de cada paso en sentido alternado, como puede
observarse en la figura. Como cada segmento se divide en 2 partes y la longitud de cada
parte después de la subdivisión es
la dimensión fractal será
. Por ser de
dimensión 2 este fractal es del tipo de las llamadas curvas de Peano, que llenan un área
del plano.
Otro tipo de fractales se puede construir no partiendo de un segmento sino de un
área, de la cual, mediante un proceso iterativo, se van suprimiendo ciertas partes.
El más conocido es el llamado tamiz de Sierpinski. Se comienza con un triángulo
cualquiera, se suprime de éste el triángulo central cuyos vértices son los puntos medios
de los lados del triángulo inicial. Se repite la operación con los 3 triángulos restantes y
así
sucesivamente.
La
dimensión
de
este
fractal
es
1,5849.
Otro fractal clásico es la alfombra de Sierpinski. Se construye partiendo de un
cuadrado de lado a. Cada lado se divide en 3 partes iguales y trazando paralelas, el
cuadrado queda dividido en 9 partes, de las cuales se suprime la parte central. Quedan 8
cuadrados periféricos, en cada uno de los cuales se repite el procedimiento
sucesivamente. El fractal obtenido posee dimensión fractal D= 1,8927 que, igual que en
el caso de los triángulos no depende de la medida de los lados.
4. ITERACION EN EL PLANO COMPLEJO
La necesidad de contar indujo al hombre a inventar los números naturales y, en
función de los problemas que surgían fue ampliando sucesivamente su sistema
numérico hasta llegar a los números reales. Pero con el tiempo éstos tampoco fueron
suficientes pues en el conjunto de los números reales resulta imposible resolver la
ecuación z2=-1.
Se define entonces un nuevo número “i” que verifica esta ecuación, que no es un
número real y se lo denomina unidad imaginaria. Surgen luego otros números z= a +bi
con a y b reales, a los que el matemático alemán Carl Gauss llamó en 1832, “números
complejos”
Así como cada número real se representa por un punto de la recta, cada número
complejo se corresponde con un punto del plano. Se asocian al plano dos ejes:
horizontal o eje real y vertical o eje imaginario, dando origen al plano complejo C.
Además a cada punto del plano, y por tanto a cada número complejo le asocia un vector
con origen en el origen de coordenadas y afijo en el número. Esta representación facilita
las operaciones y su visualización.
Los números complejos permiten describir situaciones que los reales no logran
explicar, podemos por tanto aplicarlo a los fractales y ver cuál es la relación que existe
entre ellos.
Si se itera la operación “elevar al cuadrado” con un número real x se obtiene una
sucesión o trayectoria llamada órbita de x.
Si el valor inicial llamado “germen” es un número mayor que 1, por ejemplo x=3 la
órbita obtenida será la sucesión {3, 9, 81, 6561……..} que tiende a infinito cuando el
número de iteraciones es muy grande. Si el germen es un número menor comprendido
entre -1 y 1, por ejemplo ½, la órbita será {1/2, 1/4, 1/16, 1/256……} que tiende a cero
al aumentar las iteraciones. Finalmente si x=1, la órbita es un único punto {1} y si es
x=-1, la órbita es {-1,1}.
Analicemos ahora la transformación que le asigna a cada número complejo z, su
cuadrado más otra constante c, compleja también.
Esta transformación puede realizarse de dos maneras: variando z y dejando
constante c o dejando fijo el complejo z y variando el parámetro c. como resultado se
obtendrán distintos números complejos. Veamos que ocurre cuando se efectúan
iteraciones en cada caso.
En el primer caso, dejando fijo c, se comienza con cualquier número z , se aplica el
polinomio P, se obtiene P(z); se le aplica nuevamente P y se obtiene P(P(z)). Se repite la
iteración aplicando P a cada resultado obtenido. Los resultados se pueden expresar
como una sucesión u órbita de z. para distintos valores de z el mismo polinomio
producirá distintas órbitas.
Por ejemplo si c=0 y probando con distintos valores de z se puede observar que si se
toman valores de z que estén sobre una circunferencia de radio 1, los resultados quedan
sobre ella. Todos los valores iniciales que estén dentro de la circunferencia generan
órbitas que migran hacia el centro y todos los que están en el exterior escapan hacia el
infinito. La circunferencia de radio 1 es una especie de conjunto “repulsor” de puntos
cercanos; los que están adentro, son atraídos por el 0, los que están afuera, por el
infinito.
Esto quiere decir que el plano complejo queda dividido en dos conjuntos: la
circunferencia, llamada conjunto de Julia y el resto del plano. El conjunto de Julia
recibe su nombre del matemático francés Gastón Julia (1893-1978), pionero en el
estudio de procesos de iteración y transformaciones en el plano complejo.
Si tomamos otro valor del parámetro c cercano a cero se observa que sigue
habiendo un atractor, es decir un conjunto de puntos al cual tienden los conjuntos
obtenidos en la iteración dentro del conjunto de Julia y una cuenca de atracción hacia el
infinito en el exterior del conjunto. Pero si se observa con gran acercamiento este nuevo
conjunto de Julia, se observa que ya no es una circunferencia sino un fractal.
Veamos algunos ejemplos de conjuntos de Julia para distintos valores de c.
Si c=-1 se trata de la transformación P(z)= z2-1. El conjunto julia es el fractal de la
figura, es simétrico pero muy complicado.
Si c=i tenemos la transformación P(z)=z2+i. el conjunto de Julia forma en este caso
un fractal llamado dendrita que carece de puntos interiores.
Otro fractal interesante es el llamado conejo de Douady, que es un fractal curioso
cuya dimensión no se conoce, deriva de la misma transformación anterior tomando c=0,12256117…+ i0, 7448617
La segunda opción para aplicar el polinomio P es dejar fijo el número complejo z, y
por lo tanto su cuadrado, y cambiar el valor del parámetro c. En este caso se obtienen
distintos conjuntos de Julia, algunos de ellos con estructura fractal. Para comenzar,
podemos tomar como valor fijo z=0 y se analiza la órbita obtenida por iteraciones para
todos los valores de c. Se observará que habrá valores de c para los cuales la órbita de
z=0 tiende a infinito y otros para los cuales, esto no sucede.
Si se marcan en el plano complejo todos aquellos valores del parámetro c para los
cuales las órbitas de 0 no van hacia infinito, se obtiene el conjunto de Mandelbrot (M).
Sin tomar en cuenta los detalles la forma del conjunto de Mandelbrot puede
asociarse al corte de una manzana con un interior negro y adherencias negras de aspecto
cuasi circular, una principal y otras de tamaños cada vez menores. El plano queda así
dividido en dos regiones: el conjunto M y el resto del plano. Pero lo interesante del
conjunto es su frontera. Ésta es de naturaleza fractal y contiene copias cada vez más
pequeñas del conjunto. Sin embargo no es estrictamente autosemejante, porque cada
apéndice que sale de cada parte del conjunto es distinto de los otros.
A cada punto c de M le corresponde un conjunto de Julia con ese parámetro c
específico, representado en otro plano complejo donde se varía z manteniendo c
constante.
El conjunto de Mandelbrot ha sido descripto como la forma matemática más
complicada que se ha inventado jamás, a pesar de que se puede generar en una
computadora con diez líneas de programa. Esto arroja un nuevo significado a la palabra
“complejidad”.Usualmente el término está asociado a la irregularidad espacial. En el
conjunto de Mandelbrot podemos reconocer otro rasgo de “lo complejo” en el cual lo
simple se desintegra, pasando a ser compuesto y diferente según el entorno desde el cual
se lo observe.
5. APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA FRACTAL
Los fractales son muy útiles para describir y entender multitud de fenómenos en las
diversas ramas del conocimiento y sus aplicaciones se extienden a numerosos campos
como las propias matemáticas, la biología, la medicina, la economía la ingeniería, la
meteorología, la nueva teoría del caos y también en el arte entre otros. Por esta razón
sólo se describen algunas de ellas en este espacio.
La geometría fractal y los nuevos conceptos matemáticos que se basan en ella son
fuente de asombro y admiración, pero también tienen múltiples aplicaciones en muchas
áreas del saber, incluidas la biología y ecología. Ya mencionamos los ejemplos
comunes en biología como la geometría fractal de los helechos, los alveolos
pulmonares o los capilares sanguíneos. Pero hay muchos otros aspectos de la naturaleza
que se pueden observar desde el punto de vista de la fractalidad, como el uso diferencial
del territorio.
Supongamos que 20 focas necesitan una determinada longitud de costa para criar,
por ejemplo 1 metro/foca. Su escala de medida está relacionada con su tamaño, y para
esas focas la cantidad de recurso disponible es una playa de 20 metros. Sin embargo, en
esos mismos “20” metros de costa, un mejillón mucho más pequeño percibe no 20, sino
120. Y no es que el mejillón “perciba” 120 metros, sino que “hay” realmente 120
metros de costa (medidos a otra escala). Y si es una bacteria que se fija a las rocas, no
tendrá 120 m., sino kilómetros de costa en esa misma playa que para una foca son
solamente 20 metros.
Es decir: con una geometría clásica podríamos pensar que en la naturaleza un
organismo 10 veces más pequeño que otro estará en una densidad de individuos 10
veces mayor en un mismo lugar. Sin embargo esto casi nunca ocurre: las especies de
pequeño tamaño presentan una densidad de individuos casi siempre bastante (o muy)
superior a la que les correspondería según la geometría clásica.
Para resolver esta cuestión y otras la geometría fractal es, hoy en día, una
herramienta indispensable para los estudios de los ecosistemas.
Otra de las aplicaciones más sencillas que tiene la geometría fractal es el cálculo de
la edad de los pinos jóvenes. Las plantas en general son una fuente de ejemplos casi
inagotable de fractalidad en la naturaleza. Los pinos, en concreto, presentan unas pautas
de crecimiento muy sencillas que permiten incluso al observador menos experimentado
calcular su edad muy fácilmente. La geometría fractal se caracteriza por ser iterativa. El
pino en crecimiento refleja esta iteratividad del siguiente modo: en primavera de la
punta del tallo principal salen varias ramas a una misma altura en varias direcciones,
que continúan creciendo durante la temporada favorable. En invierno este crecimiento
se frena, pero al llegar la primavera el patrón se repite: de la punta de cada rama salen a
su vez varias ramas en diferentes direcciones. Y así sucesivamente cada año. De este
modo las ramas más bajas del pino son más complejas que las superiores y más
ramificadas. Contando los nudos de ramificación de las ramas bajas se puede conocer la
edad del árbol.
También se pueden encontrar aplicaciones de esta nueva geometría en el diseño de
antenas. Una antena no se comporta de manera uniforme en distintas frecuencias,
porque está diseñada para cierto ancho de banda. En consecuencia se necesitan antenas
distintas para operar con las distintas bandas del espectro electromagnético. Sería ideal
contar con una antena “universal” que sirviera para captar la mayoría del espectro
electromagnético.
Para que una antena se comporte uniformemente en distintas frecuencias, es
condición necesaria que tenga autosemejanza y un punto de simetría. Los investigadores
han descubierto que las antenas desarrolladas siguiendo la forma de triángulo de
Sierpinski, las curvas de Koch y otros fractales, permiten obtener mayor rendimiento
que las comunes. Por ejemplo, en receptores de telefonía móvil, una antena fractal
permite utilizar muchas más frecuencias y ocupa menor espacio que una antena
telescópica común.
Por otro lado encontramos comentarios de Benoit Mandelbrot quien habló sobre la
rugosidad como nexo común entre matemáticas, ciencia y arte en el Congreso
Internacional
de
Matemáticos
diciendo:
"Los trabajos artísticos de fractales son cada vez mejores, cuando las matemáticas se
combinan con el buen gusto, los resultados son maravillosos", comentó sobre el arte
fractal, en una muestra de este tipo de trabajos. Pero sobre todo Mandelbrot quiso
explicar por qué estos trabajos son reconocidos como arte.
"La naturaleza, lo que rodeaba al hombre desde su origen, viene sobre todo en
formas rugosas e irregulares; con el tiempo se produjo una división del trabajo, se
desarrolló la geometría por un lado y el arte por el otro. Ahora se ha cerrado el círculo y
se han fundido las matemáticas, consideradas abstractas y áridas, con el arte, lo liso con
lo rugoso o complejo."
El matemático, que vive en Estados Unidos, sostiene que el arte fractal recuerda a
los observadores la geometría de la naturaleza, reflejada ya muchas veces en obras
maestras de la historia de la pintura. También señaló que pueden diseñar
condensadores y otros componentes electrónicos que se pliegan de forma fractal, con lo
que ocupan mucho menos espacio. Y se aplica la geometría fractal para fabricar un
hormigón no poroso que evita la corrosión. Además es posible encontrar aplicaciones en
la física de las superficies, permitiendo a los biólogos cuantificar la estructura
superficial de importantes moléculas, entre otras posibilidades que brinda esta nueva
geometría
.
CONCLUSION
Respondiendo a la pregunta inicial ¿qué es un fractal? se resume la idea aunque no
se de una definición precisa.
Un fractal es un conjunto de puntos que presenta las siguientes características:
-Un grado de irregularidad tal que no se puede describir con la geometría clásica
tradicional, tanto en sus aspectos locales como en un todo.
-Detalles en escalas tan chicas como se quiera, denominados estructura fina.
-Una dimensión fractal mayor que su dimensión topológica.
-Alguna forma de autosemejanza, incluso aproximada o estadística. En muchos
casos pueden definirse en forma recurrente o por iteración.
La posibilidad de aplicación de estos nuevos conceptos es muy amplia aunque no
universal puesto que es más útil que la geometría Euclidiana para modelizar objetos o
procesos naturales. La geometría fractal refleja la textura de la realidad y permite una
comprensión correcta de lo irregular y lo fragmentado. Según palabras del físico John
Wheeler:
“Nadie que no esté familiarizado con los fractales será considerado culto,
científicamente, el día de mañana”. (Stewart, pág. 245).
BIBLIOGRAFÍA
MANDELBROT, BENOIT. La geometría fractal de la naturaleza. Tusquet Editores.
Barcelona. 2003.
SANTALÓ, LUIS A.: Conjuntos fractales. Elementos de matemática. Universidad
CAECE. Marzo 1992. Número XXIII.
STEWART, IAN. ¿Juega Dios a los dados? Grijalbo Mondadori. Barcelona. 1996
HERREN, GUSTAVO. Fractales. Compendios Longseller. Buenos Aires. 2002.
ESPINOZA TERRAZAS, ROSALIA. Antenas Fractales. Episteme Nº 2. Año 1.
Octubre-diciembre 2004.http://www.uvmnet.edu/investigación/episteme
REYES JORGE. El espacio-tiempo fractal.www.geofísica.cl
Webislam.com. Ciencia y tecnología. 26/8/2006. Autor M.R.E. Fuente: El Pais.