Probabilidad

Probabilidad
y
Estadística
Programa
Probabilidad
Teoría de conjuntos
●Diagramas de Venn
●Permutaciones y combinaciones
●Variables aleatorias y distribuciones
●Propiedades de distribuciones
●Funciones generadoras
●Algunas distribuciones importantes
●Teorema del límite central
●
Programa
Estadística
Muestras y poblaciones
●Muestra estadística
●Estimadores y distribuciones de muestreo
●Estimadores básicos
●Método de máxima verosimilitud
●Método de mínimos cuadrados
●Pruebas de hipótesis
●
Tablón
Blackboard (próximamente)
●www.bifi.es/~gopar
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Books:
- Mathematical Methods for Physics and Engeneering, K.
F. Riley, Mp. Hobson, S. J. Bence, Cambridge (third or
higher edition)
●
-Probability and Statistics, Morris H. DeGroot, Mark J.
Schervish, Addison Wesley (third or higher edition)
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Please, periódicos y móviles en las mochilas !
Probabilidad
Conceptos como probabilidad, azar, aleatorio son
tan viejos como la misma civilización.
●
Y es que a diario utilizamos el concepto de
probabilidad:
●
“Quizá llueva mañana”
“Probablemente llegaremos tarde”
“Seguramente tendré notable en Métodos
Matemáticos para la Física ...”
¿Pero, qué es la probabilidad ?
Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...
Probabilidad como frecuencia de
sucesos:
●
aquí la probabilidad se obtiene a través
de la frecuencia relativa, si el proceso se
repitiera muchas veces bajo las mismas
condiciones.
Pero, ¿cuánto es “mucho”?¿Qué significa
condiciones similares ?
Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...
Interpretación clásica de probabilidad:
esta interpretación esta basada en la idea de
eventos igualmente posibles (probables).
●
Ejemplo. Si existen n posibles resultados, todos
ellos con la misma posibilidad de que ocurran,
entonces la probabilidad de cada evento es 1/n
Pero, el concepto de “igualmente probable” está
basado en el concepto de probabilidad que
queremos definir !
¿Qué hacemos cuando los eventos no son
igualemente probables?
Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...
Interpretación subjetiva de laprobabilidad:
●
esta es la probabilidad que una persona asigna a
los posibles eventos de una situación. El juicio
para la asignación de probabilidades está basada
en creencias o información del individuo.
Obviamente, aquí la probabilidad cambia de
persona a persona.
Teoría de Probabilidades
Aquí veremos/desarrollaremos una teoría
de probabilidades sin considerar las
controversias respecto a la interpretación
de lo que es una probabilidad.
Por supuesto, la teoría que veremos es
formalmente correcta y podrá utilizarse
para la asignación de valores de
probabilidad en problemas reales.
Conceptos preliminares
Un experimento es cualquier proceso, real
o hipotético, cuyo posible resultado puede
identificarse de antemano.
Un evento es un conjunto bien definido de
los posibles resultados de un experimento.
Teoría de conjuntos
Algunas definiciones:
Espacio muestral: es la colección de todos
los posibles resultados de un experimento.
Denotaremos por “S” al espacio muestral.
Un posible resultado “x” de “S” se dice que
es un miembro del espacio muestral y se
denota como
Teoría de conjuntos
Cuando un experimento se realiza y se dice
que un evento ha ocurrido, significa que el
resultado del experimento satisface ciertas
condiciones que especifican a ese evento.
Cada evento puede considerarse como un
subconjunto del espacio muestral
Teoría de conjuntos
Ejemplo: Dado de seis caras (once again)
Espacio muestral S
Sea A el evento de obtener un número par:
Teoría de conjuntos
Sea B el evento de obtener un número
mayor que 2
Se dice que un evento A está contenido en
otro evento B, si cada resultado que pertece al subconjunto que define a A también
pertenece al subconjunto que define B:
o bien
Homework
Un experimento consiste en escoger al azar un número
entero entre 0 y 9 (incluyendo ambos números). Sean
A, B y C los eventos definido por
Encontrar los elementos de los siguientes eventos
Teoría de conjuntos
Para un evento arbitrario A es lógicamente correcto
decir que cada elemento del
pertenece a A, es decir,
Teoría de conjuntos
Conjuntos finitos e infinitos
El número de elementos de un conjunto puede ser
finito o infinitos
Un conjunto infinito puede ser a su vez contable o
incontable
Un conjunto es contable si hay una correspondencia
uno a uno con los números naturales {1,2,3, ...}.
Un conjunto es incontable si no es finito ni contable
.
Please, check www.bifi.unizar.es/~gopar
for homework
Teoría de probabilidades
Axioma 1. Para cada A en un espacio muestral S,
Axioma 2. Para un espacio espacio muestral S
Axioma 3. Si dos eventos A y B son mutuamente
excluyentes
Para una serie infinita de eventos disjuntos
asumimos que
Teoría de probabilidades
Definición matemática de probabilidad:
Una probabilidad en un espacio muestral S es una
especificación de números Pr(A) que satisfacen los
axiomas 1, 2 y 3
Teoría de probabilidades
Algunos teoremas:
- Para cada serie finita de eventos disjuntos
- Para cada evento A
Teoría de probabilidades
- Si
entonces
- Para cada evento A
- Para dos eventos A y B
Teoría de probabilidades
C: cara, R: cruz.
Número posible de eventos:
1- C C C
2- R C C
3- C R C
4- C C R
5- C R R
6- R C R
7- R R C
8- R R R
Teoría de probabilidades
Ejercicio:
calcule la probabilidad de obtener un as o una espada o
un número par {2,4,6,8,10}
Solución:
Sea A el evento de obtener un as
Sea B el evento de obtener una espada
Sea C el evento de obtener un número par
Se nos pide entonces calcular
Teoría de probabilidades
Que está dada por
Métodos de conteo
Para espacios muestrales simples es muy importante
saber contar el número de resultados posibles de un
evento y el número de resultados posibles del espacio
muestral, pues de aquí podemos calcular la
probabilidad de un evento dado
- Multiplicación
- Permutación
- Combinación
Métodos de conteo
Multiplicación
Métodos de conteo
Permutaciones
Una permutación es un arreglo en un orden particular
de los objetos que forman un conjunto.
Entonces nos preguntamos de cuántas formas n objetos
pueden arreglarse/acomodarse (?)