Problemas de la semana (Curso 2013-14) SOLUCIONES Nº 1 En la calle Valdemarías viven seis alumnos de sexto de primaria. Cada uno de ellos vive en una casa distinta. 1 2 3 4 5 6 Utiliza las pistas para averiguar quién vive en cada casa: 1. 2. 3. 4. 5. La casa de Sergio tiene un número par. Raúl tiene un vecino a cada lado. Los dos vecinos son niños. África vive en el número 2. David no vive en el número 4. La casa de Alicia tiene un número más alto que la casa de Marcos. 1 Sergio NO Raúl NO África NO David SI Alicia NO Marcos NO 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 7º 2 NO NO SI NO NO NO 3 NO NO NO NO NO SI 4 NO NO NO NO SI NO 5 NO SI NO NO NO NO 6 SI NO NO NO NO NO La casa de Sergio tiene un número par África vive en el nº 2 Raúl tiene un vecino a cada lado. Los dos vecinos son niños David no vive en el nº 4 La casa de Alicia tiene un nº más alto que la casa de Marcos Completar Volvemos al 5º: Alicia tiene un nº más alto que la casa de Marcos Completar Nº 2 Valentín salió de casa con un montón de cromos y cuando regresó lo hizo con ninguno. Cuando su madre le preguntó qué había hecho con ellos, Valentín le dijo: - A cada amigo que me encontré por la calle le di la mitad de los cromos que tenía en ese momento más uno. - ¿Y cuántos amigos te has encontrado? le preguntó su madre. - Me he encontrado con 4 amigos, respondió Valentín. ¿Con cuántos cromos salió Valentín de casa? Se empieza a resolver por el final haciendo paso por paso a la inversa Amigos Tiene Entrega Quedan 1 30 (1+14)*2 14 2 14 (1+6)*2 6 3 6 (1+2)*2 2 4 2 (1+1)*2 0 Nº 3 Tengo tres dados con letras diferentes. Al tirar los dados puedo formar palabras como: OSA, ESA, ATE, CAE, SOL, GOL, REY, SUR, MIA, PIO, FIN, VID, pero no puedo formar palabras tales como DIA, VOY, RIN. ¿Cuáles son las letras de cada dado? O E U M F N A P R L V D S T G C Y I Nº 4 (Ocurrió en el siglo X) De noche, el palacio del califa de Córdoba lo custodiaban tres guardianes que se situaban en distintos puntos del palacio. Un día, un ladrón llamado Alí entró y robó un gran saco de cerezas. Al intentar salir de palacio, Alí fue interceptado por uno de los guardianes. Éste le detuvo y le cogió la mitad de las cerezas y cuatro más. Cuando continuó huyendo tropezó con el segundo guardián quien le quitó la mitad de las cerezas que le quedaban y cuatro más. Al final tropezó con el tercer y último guardián quien actúo igual que los otros dos: le quitó la mitad de las cerezas y cuatro más. Si al final se quedó con una sola cereza, ¿Cuántas cerezas había robado Alí? Para resolverlo reconstruimos el problema a la inversa Guardianes Tiene Entrega Quedan 1 48 4+(22x2) 22 2 22 4+(9x2) 9 3 9 1+(4x2) 1 Nº 5 Ricardo es un gran aficionado a la pesca. Ayer pescó un pez de 9 Kilos. La cola pesaba la mitad que la cabeza, y la cabeza pesaba 4 Kilos menos que el cuerpo. ¿Cuántos Kilos pesaba el cuerpo? Parte Peso Cabeza 2 1 6 9 kg Cola Cuerpo Total Nº 6 Tenemos un grupo de cosas cuyo número no conocemos. Si las contamos de tres en tres, el resto es 2. Si las contamos de cinco en cinco, el resto es 3. Si las contamos de siete en siete, el resto es 2. ¿Cuántas cosas hay? 3+2 5 8 11 14 17 5+3 8 13 18 23 28 7+2 9 16 23 31 20 23 26 Hay 23 cosas Nº 7 El jefe de una familia de la Alta Edad Media tiene 20 criados. Ordena que les den 20 kilos de maíz repartidos como sigue: los hombres tenían que recibir tres kilos, las mujeres dos kilos y los niños medio kilo. A ver quién sabe cuántos hombres, mujeres y niños había. Hay que suponer que al menos había uno de cada. Hombres Mujeres Niños Totales Nº personas Por persona 1 3 5 2 14 0,5 20 Total Kg 3 10 7 20 Nº 8 En una cesta hay en total 20 frutas entre peras, manzanas y naranjas. Hemos contado 12 manzanas, más peras que naranjas y 9 frutas podridas. Si sabemos además que hay 7 manzanas sanas y 3 naranjas podridas, ¿cuántas peras hay en la cesta? Manzanas Peras Naranjas Totales Sanas 7 4 0 11 Podridas 5 1 3 9 Hay 5 peras: 4 sanas y 1 podrida. Nº 9 Una joven princesa tenía tres cofres: uno de oro, otro de plata y otro de bronce. Dentro de uno de ellos estaba guardado su retrato. Para casarse con ella, el pretendiente había de adivinar en qué cofre se hallaba. Cada cofre tenía inscrita una frase. Sólo una de ellas era verdadera. ¿Podrás adivinar el cofre que contiene el retrato? El retrato no está en el cofre de bronce El retrato no está aquí El retrato está aquí 1.- Supongamos que dice la verdad el letrero del cofre de plata. El retrato estaría necesariamente en el de oro o en el de bronce. Si estuviera en el de bronce entonces también sería verdadero y eso no puede ser. Si estuviera en el de oro entonces también sería verdadero el letrero del cofre de oro y eso no puede ser. 2.- Supongamos que dice la verdad el letrero del cofre de bronce. El retrato estaría en el cofre de bronce. Pero entonces el letrero del cofre de plata también diría la verdad y eso no puede ser. 3.- Supongamos que dice la verdad el letrero del cofre de oro. En ese caso el letrero del cofre de bronce dice mentira y también el del cofre de plata dice mentira. Luego el retrato está en el cofre de plata. Nº 10 El señor Pardo, el señor Verde y el señor Negro estaban almorzando juntos. Uno de ellos llevaba una corbata parda, otro una corbata verde y otro una corbata negra. - "¿Se han dado cuenta", dijo el hombre de la corbata verde, "de que aunque nuestras corbatas son de colores iguales a nuestros nombres, ninguno de nosotros lleva la corbata que correspondería a su nombre?" - "Es verdad, tienes razón", exclamó el señor Pardo. ¿De qué color era la corbata de cada uno? Parda Verde NO NO SI NO NO SI Pardo Verde Negro Negra SI NO NO Nº 11 Si en una escuela se hacen sentar 35 alumnos en cada aula, quedan 28 sin asiento. Y si se hacen sentar 38 en cada aula quedan 10 sin asiento ¿cuántos alumnos hay? La diferencia entre los dos números es 3. Hay que hallar múltiplos hasta que la diferencia sea 18. (28-10). Múltiplos Múltiplos Diferencia 35 38 3 70 76 6 105 114 9 140 152 12 175 190 15 210 228 18 Sumamos al número de arriba 28 o al de abajo 10. 210 +28 =238 228 +10 =238 Hay 238 alumnos El resultado sería el mismo si añadimos 17 y 9, 29 y 11, 30 y 11, etc., siempre que la diferencia fuera 18. El número que buscamos es el que variaría, pero el procedimiento para hallarlo sería el mismo. Nº 12 Si hoy no es el día siguiente al lunes o el día anterior al jueves; si mañana no es domingo ni ayer tampoco lo fue; si pasado mañana no será sábado y anteayer no era miércoles, ¿Qué día de la semana es hoy? Yendo frase a frase se irán descartando los diferentes días de la semana hasta finalmente llegar a la solución. 1. Si hoy no es el día siguiente al lunes quiere decir que hoy no es martes 2. Si hoy no es el día anterior al jueves entonces hoy no es miércoles 3. Si mañana no es domingo hoy no es sábado 4. Si ayer no fue domingo hoy no es lunes 5. Si pasado mañana no será sábado hoy no es jueves 6. Si anteayer no era miércoles hoy no es viernes 7. Solo nos queda el domingo Hoy es domingo. LUNES 4º NO MARTES 1º NO MIÉRCOLES 2º NO JUEVES 5º NO VIERNES 6º NO SÁBADO 3º NO DOMINGO SI Nº 13 El otro día jugando a las canicas a David le sucedió lo siguiente: si ponía una canica en cada hoyo le sobraba una canica y si ponía dos canicas en cada hoyo le faltaban dos canicas. Ya no recuerda cuántas canicas tenía ni cuántos hoyos había en el suelo, ¿le podrías ayudar? Hay una canica más que el número de hoyos. Por tanto son dos números correlativos. El número de canicas es igual al doble del número de hoyos menos 2. Ello nos indica que los números que buscamos son números muy bajos. Comenzamos con el 1 y vamos probando números hasta encontrar aquel, cuyo doble quitándole dos dé el consecutivo: (1*2)-2 = 0 (2*2)-2=2 Tres hoyos y cuatro canicas (3*2)-2=4 Nº 14 Por presumir de certero un tirador atrevido, se encontró comprometido en el lance que os refiero: Y fue, que ante una caseta de la feria del lugar, presumió de no fallar ni un tiro con la escopeta; y el feriante alzando el gallo, un euro ofreció pagarle por cada acierto, y cobrarle a 60 céntimos el fallo. Dieciséis veces tiró el tirador afamado. Al fin dijo, despechado por los tiros que falló: “Mala escopeta fue el cebo y la causa de mi afrenta, pero ajustada es la cuenta, que ni me debes ni te debo.” Y todo el que atentamente este relato siguió podrá decir fácilmente cuántos tiros acertó. 1 fallo supone -60 céntimos 1 acierto supone + 100 céntimos Hallamos el mínimo común múltiplo: 60 2 30 2 15 3 5 5 1 100 50 25 5 1 2 2 5 5 m.c.m. 22x52x3=300 Para conseguir 300 céntimos el feriante, el tirador tiene que fallar 5 veces. Para conseguir 300 céntimos el tirador tiene que acertar 3 veces. En 8 tiradas con 5 fallos y tres aciertos la cuenta está ajustada a 0. Luego en 16 tiradas para que la cuenta quede saldada también a 0 han de producirse 10 fallos y 6 aciertos... Nº 15 En un árbol de navidad hay bombillas rojas azules y blancas. Las rojas se encienden cada 15 segundos, las bombillas azules cada 18 segundos y las bombillas blancas cada 110 segundos. ¿Cada cuántos segundos coinciden las tres bombillas encendidas? Durante una hora, ¿cuántas veces se encienden a la vez? 15 5 1 3 5 18 6 2 1 3 3 2 110 55 11 1 2 5 11 m.cm. = 2x32x5x11=990 Cada 990 segundos 990 : 60 = 16,5 Cada 16,5 minutos En una hora = 3 veces Nº 16 En un rectángulo, el largo es el doble del ancho y el perímetro es de 360 m. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? Largo 120 m., ancho 60 m. a a a b Perímetro= a + b + c + d= 360 m. a + b = 180 m. b es el doble de a b=a+a Esto supone que a + b es lo mismo que a + a + a. Son 3 partes iguales Divido 180 entre 3 y me da el valor del lado menor 60 m. El lado mayor b (base) es igual a 180- 60 = 120 m. o también igual a 60 + 60 = 120 m. 120 es el doble de 60 y los 4 lados del rectángulo forman un perímetro de 360 m. Nº 17 Usando sólo los dígitos 1 a 9 -todos ellos y una única vez cada unocolocar un número sobre cada estrella del árbol, de manera que la suma de las cantidades en cada uno de los tres lados sea la misma. En primer lugar situamos en cada unos de los tres vértices los dígitos más altos: 7- 8 y 9. Con lo que obtendremos en cada lado las siguientes parejas: 9 + 8 = 17 9 + 7 = 16 8 + 7 = 15 Hacemos parejas equilibradas con los números restantes: 1+6=7 2+5=7 3+4=7 Observamos que la suma de todas las parejas es 69. 17 + 16 + 15 + 7 + 7 + 7 = 69 Dividimos por el número de lados y nos da la suma que tiene que tener cada lado: 69: 3 = 23 Ahora recomponemos las parejas de los números más pequeños para que al complementarlas con las de los números más grandes la suma sea 23. Necesitamos una pareja que su suma sea 6, otra que sea 7 y otra que sea 8. 2+6=8 1+5=6 3+4=7 Complementamos las parejas y el resultado es el siguiente: (9 + 8) + (1 + 5) = 23 (9 + 7) + (3 + 4) = 23 (8 + 7) + (2 + 6) = 23 9 1 4 5 3 7 2 6 8 Nº 18 Tres vecinas amigas se presentan en casa de un campesino para pedirle que les venda huevos frescos. El campesino les dice: Os daré de los que tengo en la despensa, pues últimamente mis gallinas ponen pocos huevos. - A ti Luisa, te doy la mitad de todos, más medio huevo. - A ti María, la mitad de los que quedan, más otro medio huevo. - Finalmente, a ti Marta, también te doy la mitad de los huevos restantes más medio huevo. - No me ha quedado ni un solo huevo y no he tenido que romper ninguno. Os veo perplejas. ¿Cómo lo he hecho? El campesino tiene un número impar de huevos y después de cada reparto le sigue quedando un número impar, por eso al hacer cada división por dos tiene que completar con medio huevo. Con este razonamiento empezamos por el final. Como el resultado final es 0 comenzamos con el primer número impar (1) y doblamos a los dos siguientes impares (3) y (7). En consecuencia el reparto se ha realizado de la siguiente forma: 1.- Tenía 7 huevos y da la mitad a Luisa más medio huevo: 7/2= 3,5; 3,5+0,5= 4 huevos 2.- Quedan 3 huevos y da la mitad a María más medio huevo: 3/2= 1,5; 1,5+0,5= 2 huevos 3.- Queda 1 huevo y da la mitad a Marta más medio huevo: 1/2= 0,5; 0,5+0,5= 1 huevo Nº 19 Tengo un estanque cuadrado. En sus ángulos crecen, cerca del agua, cuatro viejos robles. Hay que ensanchar el estanque, haciendo que su superficie sea el doble, conservando su forma cuadrada y sin tocar los viejos robles. ¿Es posible? Supongamos que el estanque mide 20x20 metros, giramos cuarentaicinco grados y hacemos que ahora que el centro del lateral del nuevo estanque se apoyen en los vértices, tal y como muestra la imagen. 20 x 20 = 400 m2 28.2843 x 28.2843 = 800 m2 Nº 20 La nota media conseguida en una clase de 20 alumnos es de 6. Ocho alumnos han suspendido con un 3 y el resto han superado el 5. ¿Cuál es la nota media de los alumnos aprobados? 20 x 6 = 120 es el total de los puntos obtenidos por todas las notas 8 x 3 = 24 puntos corresponden a los que han suspendido. 120 – 24 = 96 puntos corresponden a los que han aprobado. 96 : 12 = 8 La nota media de los aprobados es de 8 Nº 21 Las siguientes escaleras de 3 y 4 pisos están formadas por 6 y 10 ladrillos respectivamente. ¿Cuántos ladrillos tendrá una escalera de 6 pisos? ¿Y de 50 pisos? Hallamos la serie de los 10 primeros pisos: PISOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 LADRILLOS 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 Si observamos la serie de los 10 primeros escalones observamos lo siguiente: La suma de los pisos es igual al número de ladrillos de la escalera. Cada piso aumenta el número de ladrillos equivalente a su ordinal. En consecuencia: para 50 pisos la escalera tendrá 1275 ladrillos, resultado de sumar los ordinales de todos los pisos: 1 +2 +3+ . 16 + 17 +…25 + 26 + …38 + 39 + … 48 + 49 + 50 = 1275 Nº 22 ¿Qué es mayor medio metro cuadrado o la mitad de un metro cuadrado? La respuesta puede ser muy rápida, pero como en otras ocasiones también puede ocurrir que sea una pregunta trampa, ya que el lenguaje con el que se presentan las cosas puede esconder sorpresas. Si contestamos literalmente la pregunta, la respuesta es “Sí” ya que la mitad de un metro cuadrado es medio metro cuadrado. 0,5 m 1 m. Medio metro cuadrado = 0,5 m2 La mitad de un metro cuadrado = 1m2 / 2 = 0,5m2 Los dos valen lo mismo Sin embargo, “medio metro” cuadrado podría referirse, de forma oral, al área de un cuadrado de medio metro de lado. Y ahí sí que no es lo mismo. El área de un cuadrado de medio metro de lado es un cuarto de metro cuadrado. 0,5 m 0,5 m 1m 1m Sa = 1 x 1 = 12= 1 m2 La mitad es ½ = a 0,5 m2 Sb = 0,5 x 0,5 = (0,5)2 = 0,25 m2 En este caso es mayor la mitad de un metro cuadrado. Es el doble. Para entenderlo mejor un esquema según el caso: Nº 23 Se tienen tres cajas, individuales y separadas de igual tamaño. Dentro de cada caja hay otras dos más pequeñas y en cada una de éstas otras cuatro aún menores. ¿Cuántas cajas hay en total? 3 cajas grandes x 2 6 cajas medianas 6 cajas medianas x 4 = 24 cajas pequeñas 3 + 6 + 24 = 33 cajas en total Hay 33 cajas: 3 grandes, 6 medianas y 24 pequeñas. Nº 24 Un lechero tiene un cántaro de 8 litros lleno de leche, y dos más de 5 y de 3 litros. Un cliente le pide ide exactamente 4 litros. ¿Cómo puede calcular los cuatro litros y dárselos en el cántaro de 5 litros? 1 2 Llena-Vacía-Vac Vacía 3 l.-5 l.-vacía 3 4 3 l.- 2 l.- 3 l. 6 l.- 2 l.l. vacía 5 6 7 8 6 l.- Vacía - 2 l. l 1 l.- 5 l. - 2 l. 1 l.- 4 l.- 3 l. 4 l.- 4 l.l. Vacía Nº 25 Un jeque tiene que transportar 100 lingotes de oro de 1 kilo de peso cada uno. Para ello tiene 10 camellos y 1 vigilante para cada camello. Cada uno de estos camellos transporta 10 lingotes. Al final del viaje el confidente del jeque le dice que uno de los vigilantes le ha robado 1 gr. de oro por lingote de los 10 lingotes que ese vigilante transportaba, pero no sabe de qué vigilante se trata. ¿Cómo puede adivinar el jeque qué vigilante le ha robado, sabiendo que sólo dispone de una báscula con la cual puede realizar una única pesada? Observación: es una báscula y no una balanza. O sea, mide el peso exacto de lo que se coloca sobre ella. Numera los camellos del 1 al 10 y coge de cada camello el número de lingotes equivalente a su ordinal. Con todos los lingotes elegidos hace una sola pesada y en función del resultado de la misma sabe el camello del vigilante que le ha robado. Razonamiento: Si no hubiera habido robo el resultado de la pesada tendría que haber sido: 55 kg. El resultado de la pesada según fuese el vigilante que le ha robado sería como figura en la siguiente tabla: VIGILANTE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 LINGOTES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si PESADA 54,900 54,800 54,700 54,600 54,500 54,400 54,300 54,200 54,100 53,000 El vigilante nº 1 es el ladrón El vigilante nº 2 es el ladrón El vigilante nº 3 es el ladrón El vigilante nº 4 es el ladrón El vigilante nº 5 es el ladrón El vigilante nº 6 es el ladrón El vigilante nº 7 es el ladrón El vigilante nº 8 es el ladrón El vigilante nº 9 es el ladrón El vigilante nº 10 es el ladrón Nº 26 Se va a celebrar una reunión secreta en el castillo. El caballero negro no conoce la contraseña, pero ha decidido participar a toda costa. CABALLERO NEGRO: Me esconderé cerca de la puerta de la entrada y así averiguaré el secreto para entrar. A la hora convenida llega el caballero verde. GUARDIA- veinticuatro (24) C.VERDE- doce (12) GUARDIA-¡Entrad noble señor! Es el turno del caballero rojo... GUARDIA- dieciocho (18). C.ROJO- nueve (9). El caballero amarillo llega al galope. GUARDIA- catorce (14) C.AMARILLO- siete (7) Finalmente llega el caballero azul. GUARDIA-ocho (8) C.AZUL-cuatro (4) C.NEGRO- ¡Ya entiendo! ¡Ahora entrare yo! (El caballero negro toca a la puerta) GUARDIA- cuatro (4). C.NEGRO- ¡DOS (2)! GUARDIA- ¡LARGO DE AQUI! ¡SOIS UN IMPOSTOR! -dice mientras le persigue con un mazo. C.NEGRO- Pero si estaba convenido de haber entendido... ¿en qué me he equivocado? ¿Cuál es la regla que determina la contraseña? La regla no tiene nada que ver con el significado de las preguntas y las respuestas. Es más estas inducen a error. La solución hay que encontrarla en el número de letras que tiene cada palabra expresada por el guardia. La respuesta correcta a la palabra del guardia debería haber sido (SEIS) que es el número de letras que tiene la palabra CUATRO. Se puede observar que esa misma regla se cumple en el resto de caballeros anteriores que logran entrar. Nº 27 Alicia, Benito, Carlos, David y Enrique conjeturaban sobre el número de nueces que había en un tarro. Alicia decía que 30, Benito pensaba que 28, Carlos conjeturaba que 29, David conjeturaba que 25, y Enrique decía que 26. Dos se equivocaron en una nuez, uno se equivoco en 4, y otro en 3. Pero uno acertó. ¿Cuántas nueces había en el tarro? Analicemos las cantidades: 25, 26, 28, 29 y 30 No pueden ser 30 ni 25 pues diferencia entre ambas es de 5 y la máxima equivocación es de 4. Solamente quedan 26, 28 y 29. 28 tampoco puede ser pues no hay 4 de diferencia con ninguna de las cantidades expresadas. Nos quedan el 26 y el 29. De estas dos cantidades solo el 29 tiene cantidades consecutivas inferior y superior a 1 unidad. (28 y 30) Había 29 nueces en el tarro Nº 28 Buscamos un número de seis cifras con las siguientes condiciones. - Ninguna cifra es impar. - La primera es un tercio de la quinta y la mitad de la tercera. - La segunda es la menor de todas. - La última es la diferencia entre la cuarta y la quinta. Existen diversas soluciones: 204862, 204264, 204462, … Nº 29 En mis vacaciones del año pasado llovió nueve días, y hubo 10 mañanas y 10 tardes soleadas. Cuando llovió por la mañana, la tarde fue soleada. ¿Cuántos días duraron mis vacaciones? DÍAS DE VACACIONES MAÑANA SOL LLUVIA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 TARDE 12 13 14 SOL LLUVIA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Días de lluvia 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 días duraron mis vacaciones 11 Nº 30 Tenemos 5 casas de cinco colores diferentes y en cada una de ellas vive una persona de una nacionalidad diferente. Cada uno de los dueños bebe una bebida diferente, fuma una marca de cigarrillos diferente y tiene una mascota diferente. Tenemos las siguientes claves: • • • • • • • • • • • • • • • El británico vive en la casa roja. El sueco tiene un perro. El danés toma té. La casa verde esta a la izquierda de la blanca. El dueño de la casa verde toma café. La persona que fuma Pall Mall tiene un pájaro. El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill. El que vive en la casa del centro toma leche. El noruego vive en la primera casa. La persona que fuma Brends vive junto a la que tiene un gato. La persona que tiene un caballo vive junto a la que fuma Dunhill. El que fuma Bluemasters bebe cerveza. El alemán fuma prince. El noruego vive junto a la casa azul. El que fuma Brends tiene un vecino que toma agua. Y por último la pregunta: ¿Quién es el dueño del pececito? Casa Británico Roja Sueco Blanca Danés Azul Noruego Amarilla Alemán Verde Mascota Bebida Veneno Posición Pájaro Leche Pall Mall Casa 3 Perro Cerveza Bluemasters Casa 5 Caballo Té Brends Casa 2 Gato Agua Dunhill Casa 1 Pececito Café Prince Casa 4 El dueño del pececito es el alemán