La Historia de las Matemáticas en la Enseñanza de la Trigonometría

La Historia de las Matemáticas en la Enseñanza de la Trigonometría
El Teorema de Pitágoras
Massa Esteve, Mª Rosa 1
Romero Vallhonesta, Fàtima2
Casals Puit, Mª Angels 3
Resumen
La historia de las matemáticas proporciona al profesorado una visión más
completa de la materia y una formación científica más amplia. La utilización de
problemas históricos en el aula ofrece al alumnado una perspectiva más global
de las matemáticas y puede mejorar la enseñanza y aprendizaje de
determinados conceptos matemáticos.
1. Introducción
Las aportaciones que la historia de las matemáticas puede hacer a la
enseñanza de éstas son múltiples y dependen de muchos factores. Por un
lado, es necesario que los profesores se formen e investiguen en historia de la
matemática; por otro, se requieren materiales adecuados para no caer en la
anécdota fácil sin contenido matemático; de hecho es una empresa muy difícil y
costosa para la sociedad. Sin embargo, las múltiples posibilidades de
utilización de la historia de la matemática, como recurso implícito y explícito,
nos muestran que es una herramienta útil para mejorar la enseñanza de las
matemáticas y la formación integral del alumnado.
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Dpt. Matemàtica Aplicada I. Universitat Politècnica de Catalunya.Coordinadora del Grupo de Historia de las Matemáticas.
Inspecció del Departament d'Ensenyament de la Generalitat de Catalunya. Miembro del Grupo de Historia de las Matemáticas.
En este contexto, el Grupo de Historia de las Matemáticas4 de la Asociación de
Barcelona para la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas (ABEAM) está
trabajando en el proyecto “El naixement i desenvolupament de la trigonometria
dins de les diferents civilitzacions”, que analiza la historia de la trigonometría y
su utilización en el aula. El objetivo del proyecto es seleccionar textos históricos
relevantes en la historia de la trigonometría que ayuden al alumno a adquirir los
conceptos trigonométricos con más facilidad. La investigación se centra en el
período que va desde la Antigüedad hasta la época de Regiomontanus (14361476) ya que el libro de Zeller analiza el desarrollo de la trigonometría desde
Regiomontanus hasta Pitiscus. Los textos históricos analizados hasta este
momento son On Sizes and Distances of the Sun and Moon de Aristarco de
Samos (310-230 aC), Almagest de Ptolomeo (90 dC.-168 dC.), Traité du
quadrilatère de Nassir-al-Tusi (1201-1274) y De triangulis Omnimodis de
Regiomontanus (1436-1476)5. En esta comunicación presentaremos unas
proposiciones de los Elementos (300 aC.) de Euclides que por su contenido
creemos de utilidad en las clases de trigonometría.
2. Distintos caminos en el desarrollo de la trigonometría
Como precisa Villuendas (1979), ningún historiador se atreve a fijar los inicios
del desarrollo de la ciencia trigonométrica. La trigonometría surgió seguramente
a través de distintos hilos conductores y asociada a otras disciplinas como la
aritmética, la geometría y, más tarde, el álgebra.
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IES Joan Corominas de Barcelona. Miembro del Grupo de Historia de las Matemáticas.
Los otros miembros del grupo son Iolanda Guevara (IES Badalona VII) y Francisco Moreno (IES XXV Olimpíada).
Uno de los caminos por los que se abrió paso la trigonometría fue el de la
resolución de problemas de astronomía de la ciencia griega. En esta línea
podemos citar la obra "Sobre las medidas y distancias del Sol y la Luna" en la
que su autor, Aristarco de Samos, calculaba las distancias relativas Tierra-Sol,
Tierra-Luna con procedimientos geométricos. Aristarco aproxima el seno de un
ángulo expresado a partir de las razones de los lados de un triángulo
rectángulo. La utilización de la geometría como base para cálculos que hoy
consideramos trigonométricos es una constante en la ciencia griega.
Otro camino que contribuyó al desarrollo de la ciencia trigonométrica fue la
construcción de tablas de cuerdas correspondientes a diferentes ángulos. Aquí
podemos citar la obra de Hiparco de Nicea (150 aC), Menelao de Alejandría (70
dC) y sobre todo Ptolomeo (150 dC) con su obra el "Almagesto". En esta obra
Ptolomeo calcula las cuerdas asociadas a ángulos centrales de 60º, 90º, 120º,
72º y 36º, a partir de diversas proposiciones de los "Elementos" de Euclides y
de un teorema que aparece por primera vez en el "Almagesto" y que ahora
conocemos con el nombre de teorema de Ptolomeo y que es básico para
demostraciones geométricas de las fórmulas trigonométricas.
Históricamente se puede considerar que los árabes fueron quienes dieron el
paso decisivo para el tratamiento sistemático de la trigonometría. Seguramente
fue esta civilización quien más contribuyó al desarrollo de la ciencia
trigonométrica presentándola como ciencia independiente de sus aplicaciones
en astronomía. Aquí podemos citar la obra Traité du quadrilatère de Nassir al-
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Ver artículos ya publicados sobre Almagest (Massa, Romero:2003) y sobre De Triangluis Omnimodis (Guevara, Casals: 2003).
Din al-Tusi. Este tratado está dividido en cinco libros y cada uno contiene varias
proposiciones y capítulos de trigonometría plana y esférica.
Si la sistematización de la trigonometría la hicieron los árabes, en Europa quien
transmitió y mejoró esta sistematización fue Regiomontanus con su obra De
triangulis Omnimodis. Esta obra consta de cinco libros, dos de trigonometría
plana y tres de trigonometría esférica y presenta una exposición sistemática de
los métodos de resolución de triángulos cualesquiera planos y esféricos. A
partir de la difusión de esta obra se sucedieron otras que profundizaron en la
trigonometría conduciéndola a la situación actual.
3. Los "Elementos" de Euclides. Ideas trigonométricas
Si bien se considera a Hiparco el “padre de la trigonometría” y fue Ptolomeo
quien dio un paso de gigante para su desarrollo con su obra el "Almagesto”, sin
los “Elementos” de Euclides estos avances seguramente habrían tenido que
esperar mucho tiempo.
La obra de Euclides contiene algunas proposiciones que han sido
fundamentales para la construcción de las tablas de cuerdas, que marcaron los
inicios de la trigonometría sistemática. También contiene el teorema del coseno
que hoy utilizamos en clase para la resolución de triángulos, aunque en los
"Elementos” el
enunciado es geométrico y distingue entre triángulos
obtusángulos (Euclides, II, 12) y acutángulos (Euclides, II, 13).
En la geometría de Euclides los ángulos no se miden en grados ni en
fracciones de grado. Es el ángulo recto la unidad de medida de los ángulos.
Por ejemplo, se refiere al ángulo de 72º como un recto menos un quinto y al de
108º como un recto más un quinto (Euclides XIII,18).
Aquí analizaremos dos proposiciones de los "Elementos” que tienen relación
con la trigonometría que se imparte en secundaria y que se pueden trabajar en
clase. La primera de ellas es el teorema de Pitágoras (Euclides I, 47) del cual
Euclides da también el recíproco (Euclides I, 48).
El enunciado de este teorema en los "Elementos” es: En los triángulos
rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los
cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. (P.260)
Euclides parte del triángulo BAC rectángulo en A. A continuación traza los tres
cuadrados de la figura, la paralela AL a BD o CE y los segmentos AD y FC.
Euclides justifica que CA y AG son parte de una misma recta haciendo notar
que GAB es recto por construcción y BAC por hipótesis. Así, los ángulos
suman dos rectos, lo que garantiza que GAC sea una línea recta.
Después considera los triángulos ABD i FBC. Los lados AB y FB son iguales
porque pertenecen a un mismo cuadrado y los lados BD y BC también son
iguales por idéntica razón.
∠ABD = ∠ABC + un recto
 ⇒ ∠ABD = ∠ FBC
∠FBC = ∠ABC + un recto 
Los triángulos ABD y FBC tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido
entre ellos. Son pues congruentes, y tienen la misma área.
El triángulo ABD y el rectángulo BDLM comparten la base BD y tienen la misma
altura DL6, luego el área del rectángulo BDLM es el doble del área del triángulo
ABD.
El mismo razonamiento puede aplicarse al triángulo FBC y al cuadrado ABFG:
tienen la misma base FB y la misma altura AB, luego el área del cuadrado
ABFG es el doble de la del triángulo FBC.
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Euclides lo expresa diciendo que los triángulos tienen la misma base y están entre las mismas paralelas, remitiendo al lector a la
proposición (I,41) en la que demuestra que si un paralelogramo y un triángulo tienen la misma base y están entre las mismas
paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo (P. 252).
Tenemos pues, que el área del rectángulo BDLM contenido en el cuadrado
BCDE, es igual al área del cuadrado ABFG. Análogamente se demostraría que
el área del resto del rectángulo, MLEC, es igual al área del cuadrado AHCK, lo
que demuestra el teorema.
Esta demostración es interesante porque utiliza un razonamiento geométrico al
que los alumnos no suelen estar habituados. Se puede demostrar una parte en
clase y proponer la otra como ejercicio.
La segunda proposición que vamos a analizar es el teorema del coseno en el
caso del cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso (Euclides, II, 12).
El enunciado de Euclides es: En los triángulos obtusángulos el cuadrado del
lado que subtiende al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados
que comprenden le ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por
un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta
exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso. (P.285)
Para la demostración de esta proposición Euclides utiliza el teorema de
Pitágoras i la proposición (II,4)7. Esta proposición es bien conocida por
nuestros alumnos aunque el enunciado de Euclides difiera del enunciado
algebraico : (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab al que ellos están acostumbrados.
Euclides parte del triángulo BAC obtusángulo en A y traza, a partir del punto B,
la perpendicular DB al lado CA prolongado. La base del triángulo rectángulo se
puede considerar cortada al azar por el punto A, entonces según la proposición
(II,4):
DC2 = DA2 + AC2 + 2DA · AC. Si se añade a ambos miembros el
cuadrado de DB, se tiene: DC2 + DB2 = DA2 + AC2 + 2DA · AC + DB2.
Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos BDA y BDC, el primer
miembro de la igualdad anterior se convierte en CB2 y en el segundo miembro
se pueden sustituir DA2+DB2 por AB2, de lo que resulta el teorema, es decir,
CB2 = AB2 + AC2 + 2DA · AC.
Esta demostración puede añadirse a la que se hace habitualmente o puede
proponerse a los alumnos como ejercicio.
4. Conclusiones
El uso de casos históricos es uno de los recursos que se puede utilizar para
mejorar la transmisión y adquisición de los contenidos matemáticos y también
para actuar de revulsivo en aquellos casos en los que el alumno no esté
suficientemente motivado.
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El enunciado de esta proposición en los "Elementos” es : "Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera es igual
a los cuadrados de los segmentos y dos veces el rectángulo comprendido por los segmentos"(P. 270).
En el caso de la trigonometría, cuando utilicemos el texto de Euclides podemos
presentar el personaje, enmarcarlo en su época y analizar las ideas científicas
de la época griega. También la presentación de los "Elementos", obra
fundamental dentro de las matemáticas, puede resultar motivadora para el
alumno. El ejemplo que hemos mostrado es gratificante tanto por lo que
aprende el alumno como por el interés que despiertan las relaciones entre
geometría y trigonometría.
Agradecimientos
Agradecemos al Institut de Ciències de l' Educació (ICE) de la Universitat de
Barcelona su ayuda y apoyo.
Referencias
EUCLIDES: Elementos. Traducción y notas de M.L. Puertas. Gredos. Madrid,
1991.
DOU, A. Euclides. Curso de conferencias sobre historia de las matemáticas
hasta el siglo XVII desarrollado durante los meses de febrero y marzo de 1986.
Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Madrid, 1986.
GUEVARA, I; CASALS, M. A. (2003), "Resolució de triangles per mètodes
geomètrics i mètodes algebraics, en l'obra De triangulis omnimodis(1464) de
Regiomontanus (1436-1476)", A. Batlló et al.(eds), Actes de la VII Trobada
d'Història de la Ciència i de la Tècnica , Barcelona, SCHCT, 191-199.
MAOR, E. (1998), Trigonometric delights, Princeton, Princeton University Press.
MASSA, M. R. (2003), "Aportacions de la història de la matemàtica a
l'ensenyament de la matemàtica", Biaix 21, 4-9.
MASSA, M. R.; ROMERO, F. (2003), "De la Geometria a la Trigonometria: El
teorema de Ptolemeu", A: Batlló et al.(eds), Actes de la VII Trobada d'Història
de la Ciència i de la Tècnica, Barcelona, SCHCT, 153-159.
VILLUENDAS, M. V., (1979),La trigonometria europea en el siglo XI. Estudio de la
obra de Ibn Muad "El Kitab mayhulat", Barcelona ,Instituto de Historia de la
Ciencia de la Real Academia de Buenas Letras.
ZELLER, SISTER MARIA CLAUDIA, (1944), The Development of Trigonometry
from Regiomontanus to Pitiscus, Annn Astor / Michigan, University of Michigan,