Algebra de funciones

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Sea S un conjunto no vacı́o y sea R el conjunto de los números reales.
Consideremos el conjunto M(S, R) de las funciones de S en R; simbólicamente,
M(S, R) = {f | f : S → R} .
Se definen operaciones de adición y multiplicación en el conjunto M(S, R),
heredadas de las respectivas operaciones de adición y multiplicación en R,
en la forma siguiente:
Definición. Sean f y g funciones de S en R (es decir, f, g ∈ M(S, R)),
la suma de f y g es la función f + g de S en R tal que
(f + g)(s) = f (s) + g(s), para todos ∈ S,
el producto de f y g es la función f g de S en R tal que
(f g)(s) = f (s)g(s), para todos ∈ S
Demostrar las siguientes propiedades de estas operaciones.
1. Para todo f, g, h ∈ M(S, R),
(f + g) + h = f + (g + h).
2. Para todo f, g ∈ M(S, R),
f + g = g + f.
3. Hay una y sólo una función c ∈ M(S, R) que cumpla
f + c = f = c + f para toda función f ∈ M(S, R)
Nótese que c(s) = 0 para todo s ∈ S. Se dice que c es la función cero
de S en R; habitualmente se denota esta función por 0, de modo que
0 : S → R
s 7→ 0
1
4. Para cada función f ∈ M(S, R) hay una única función f¯ ∈ M(S, R)
tal que
f + f¯ = 0 = f¯ + f
Nótese que, dada f ∈ M(S, R), se tiene f¯(s) = −f (s) para todo s ∈ S.
Se dice que f¯ es la función opuesta de f ; habitualmente se denota la
función f¯ por −f , de modo que
: S →
R
s 7→ −f (s)
−f
Dados f, g ∈ M(S, R), la expresión f + (−g) se escribe f − g; ası́ f − g
es la función de S en R tal que (f − g)(s) = f (s) − g(s), para todo
s ∈ S.
5. Para todo f, g, h ∈ M(S, R),
(f g)h = f (gh)
6. Para todo f, g ∈ M(S, R),
f g = gf
7. Hay una y sólo una función u ∈ M(S, R) que cumpla
f u = f = uf para toda función f ∈ M(S, R)
Nótese que u(s) = 1 para todo s ∈ S. Se dice que u es la función uno
de S en R; habitualmente se denota esta función por 1, de modo que
1 : S → R
s 7→ 1
8. Para todo f, g, h ∈ M(S, R),
f (g + h) = (f g) + (f h) y (f + g)h = (f h) + (gh)
Nota: Por convenio la operación de multiplicación tiene precedencia
sobre la de adición, en consecuencia las expresiones anteriores se escriben de modo más simple en la forma
f (g + h) = f g + f h
2
y (f + g)h = f h + gh
9. Para cada función f ∈ M(S, R) tal que f (s) 6= 0 para todo s ∈ S hay
una única función f 0 ∈ M(S, R) que cumpla
f f 0 = 1 = f 0f
Nótese que, dada f ∈ M(S, R) cumpliendo f (s) 6= 0 para todo s ∈ S,
se tiene
1
f 0 (s) =
, para todo s ∈ S.
f (s)
Habitualmente se denota la función f 0 por
1
f
: S →
s 7→
1
f,
de modo que
R
1
f (s)
Dados f, g ∈ M(S, R) con g(s) 6= 0 para todo s ∈ S, la expresión
f
se escribe
ası́
f
g
1
g
f
;
g
es la función de S en R tal que
f g
(s) =
f (s)
, para todo s ∈ S
g(s)
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