d. antonio arroyo miguel

Mesa redonda:
"La contextualización como elemento motivador y creativo en un aula diversa"
Antonio Arroyo Miguel. IES Comuneros de Castilla Burgos
Asociación Castellana y Leonesa de Educaión Matemática “MIGUEL DE GUZMÁN”
Ezequiel Santamaría In Memoriam
1.- ¿Por qué?
Cuando yo llegué a la enseñanza, con mi carrera de “MATEMÁTICAS” recién
terminada, tenía el convencimiento de que para enseñar Matemáticas bastaba con un par
de premisas:
1.- Saber bien la asignatura (lo que uno tiene que explicar). Ahí los de mates
vamos “sobraos”
2.- Explicarlo, a los alumnos, despacito y “muy claro”.
Habría que añadir a eso, una buena dosis de paciencia, para repetirlo cuántas veces
fueran necesarias, sobre todo pensando en los alumnos más “torpes”, pues los “buenos”
sin duda lo entenderían a la primera.
Este pensamiento estaba reforzado por mi experiencia (recién terminada) como alumno.
Eso era lo que yo había encontrado con escasísimas excepciones, y no me había ido del
todo mal.
Enseguida me di cuenta que las cosas no eran tan simples, y que si bien las dos
circunstancias anteriores eran necesarias, no eran en absoluto suficientes. Pronto me
sorprendí con una pregunta en mi interior: “¿Cómo es posible, que con lo bien que lo
explico, mis alumnos lo entiendan tan mal? ”
Me encontré con profesores, que me hicieron ver la necesidad de ir más allá del explicar
“claro y bien”. Ya el primer año que entré en un Instituto, después de haber pasado por
algunas academias y colegios privados, tenía el convencimiento de que era necesario
buscar caminos distintos, diferentes maneras de enfrentar a los alumnos con las
Matemáticas, y que había factores que facilitan el aprendizaje y otros que los dificultan.
Y así empecé a leer libros y revistas sobre estrategias, metodología, Resolución de
Problemas,
Heurística,
Aprendizaje
significativo,
constructivismo,
CONTEXTUALIZACIÓN, … palabras y conceptos totalmente nuevos para mi.
Asistí a cursos y encuentros de profesores y las JAEM de Zaragoza 1983, fueron para
mí, una experiencia iniciática.
A lo largo de todos estos años, he trabajado con diferentes grupos de profesores,
siempre buscando la manera de acercar las mates a los alumnos, buscando lo mejor para
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ellos, y sin duda también para nosotros los profes, pues creo que es “casi” imposible
tener alumnos felices y satisfechos si no lo está el profesor y viceversa, y yo no he
olvidado que en una de aquellas reuniones de hace muchos años, hablando de Objetivos,
contenidos, etc.., alguien sugirió que los dos primeros objetivos tenían que ser:
1.- Qué los alumnos sean felices
2.- Qué el profesor sea feliz.
En todos estos trabajos y reuniones a lo largo de los años, han ido apareciendo distintas
formas y modos de enseñar las Matemáticas, diferentes metodologías. De todos se
aprende algo, todos tienen un cierto interés, la cuestión no es decidirse por un método o
por otro, sino tomar lo mejor de cada uno para cada momento y eso resulta bastante
complicado.
Pero hay cosas que con el tiempo han ido quedando meridianamente claras, y una de
ellas es sin duda que la motivación y el aprendizaje de los alumnos mejora cuando las
Matemáticas se presentan en Contexto.
El Contexto y las circunstancias sociales interactúan con otras características
individuales para promover y facilitar el Razonamiento y el Aprendizaje significativo.
2.- Otras Causas:
Por si nuestra experiencia no fuera suficiente, en la actual ley de Educación se recoge la
Competencia Matemática, en estos términos “…Consiste en la habilidad para utilizar y
relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de
expresión y razonamiento matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipos
de información, como para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y
espaciales de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la vida
cotidiana y con el mundo laboral… Esta competencia cobra realidad y sentido en la
medida que los elementos y razonamientos matemáticos son utilizados para enfrentarse
a aquellas situaciones cotidianas que los precisan. … En definitiva, la posibilidad real
de utilizar la actividad matemática en contextos tan variados como sea posible…”
También se expresa en los mismos términos los estudios PISA “Competencia para
aplicar las Matemáticas a los contextos de la vida real”
PISA, sostiene que la creencia de que aprender a matematizar debe ser un objetivo
básico para todos los estudiantes. La actividad matemática se concreta en la actividad
de matematización, que se identifica en el estudio de resolución de Problemas.
Y caracterizan cinco fases en la actividad de hacer matemáticas:
1. Comenzar con un problema situado en la realidad
2. Organizar de acuerdo con conceptos matemáticos.
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3. Despegarse progresivamente de la realidad mediante procesos tales como
hacer suposiciones sobre los datos del problema, generalizar y formalizar.
4. Resolver el problema.
5. Proporcionar sentido a la solución, en términos de la situación inicial.
El proceso de hacer matemáticas, que conocemos como matematización, implica en
primer lugar traducir los problemas desde el mundo real al matemático. Este primer
proceso se conoce como matematización horizontal.
Una vez traducido el problema a una expresión matemática, el proceso puede continuar.
El estudiante puede plantear cuestiones en las que utiliza conceptos y destrezas
matemáticas. Esta parte del proceso se denomina matematización vertical.
Pero no siempre que se habla de contextualizar, se tiene en la cabeza ese modelo que se
propone en PISA, a veces la contextualización se entiende de otros modos, más
“livianos” pero no por ello dejan de tener interés
3.- Realidad de nuestras aulas:
Dos usos del término contexto
Con relación al término contexto, hay básicamente dos usos.
Uno consiste en considerar el contexto como un ejemplo particular de un objeto
matemático (Problemas de aplicación de los conceptos previamente estudiados o de
introducción de nuevos conceptos) Contexto Evocado o Contexto Simulado
El otro consiste en enmarcarlo en el entorno.
Un Contexto Real no es necesariamente lo que se denomina Matemàticas de la vida
cotidiana, sino todo aquello que tenga sentido para el alumno. Y buscar entre los
intereses de los alumnos es tarea complicada y que requiere un importante esfuerzo.
La realidad es que los profesores pocas veces utilizamos en nuestras clases la
contextualización y cuando lo hacemos, a veces, lo proponemos de manera rutinaria,
como decía ayer el profesor Arcavi, como un pretexto, que debemos adornar
rápidamente, para entrar en el “PROBLEMA”. No ponemos toda la atención que
deberíamos en el contexto con que “adornamos” los problemas y nuestros alumnos, en
muchos casos se resienten de ello, porque no perciben el contexto, saben que es un
ropaje que hay que quitar.
Veamos un ejemplo sacado de la Selectividad 2010 en CyL
Observemos dos problemas de funciones que se han propuesto en la Selectividad de
Castilla y León en Matemáticas Aplicadas a las CCSS:
Una panadería se dedica a la elaboración y venta de magdalenas caseras. El coste en
euros de producir diariamente x kg de magdalenas viene dado por la función
f(x)=0,02
x3 -0,3x2 +(35/6)x
El precio de venta de 1 kg de magdalenas es 5 euros.
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a) Determina la función de beneficio neto diario de la panadería por la producción de
las magdalenas. ¿Cuál es el beneficio del panadero si en un día elabora y vende
exactamente 5 kg de magdalenas?
b) Halla la cantidad de magdalenas que debe elaborar diariamente para conseguir el
mayor beneficio. ¿Cuál es el beneficio máximo que puede alcanzar al día por la
elaboración y venta de magdalenas?
Este tipo de problemas es muy habitual en los exámenes de Selectividad y en
nuestras aulas de Bachillerato. Pero si resolvemos el problema, observamos que el
pobre panadero, después de hacer y vender 5Kg. de magdalenas sólo obtiene un
beneficio de 0,83€ y que en el mejor de los casos, su beneficio máximo no llegaría a
2,32€.
Frente a éste, nos encontramos otros donde los alumnos se encuentran más cómodos.
Problemas descontextualizados, como este:
Dada la función
a) Calcula sus asíntotas.
b) Determina sus intervalos de crecimiento, sus máximos y sus mínimos
Aunque en principio parecen bastante más difíciles.
1.
¿Qué experiencias concretas de puesta en contexto de las matemáticas en el
aula conocemos y que valoración hacemos de la experiencia?

Dentro del proyecto Estalmat, hemos usado algunos de los materiales de la Escuela
Holandesa. Matemática Realista (Instituto Freudenthal.)
Según J. De Lange (1996), básicamente se dan cuatro razones para integrar los
problemas contextualizados en el currículum:
a) facilitan el aprendizaje de las matemáticas,
b) desarrollan las competencias de los ciudadanos,
c) desarrollan las competencias y actitudes generales asociadas a la resolución de
problemas y
d) permiten ver a los estudiantes la utilidad de las matemáticas para resolver
tanto situaciones de otras áreas como situaciones de la vida cotidiana.

Matemáticas en la Catedral de Burgos (Grupo de trabajo Estalmat de Burgos):
La experiencia dentro del grupo Estalmat, resulta muy positiva. Pero somos
conscientes de que trabajamos con alumnos muy buenos. Pero está experiencia
ya la hemos llevamos a nuestras aulas de los centros de Secundaria y las cosas
funcionan razonablemente bien.
4

Estadística Descriptiva: A partir de una discusión en grupo de puntos de interés
para los alumnos, se realiza una encuesta y a partir de ella se van introduciendo los
diferentes conceptos estadísticos. Introducimos distintos tipos de variables, para
poder discutir posteriormente sobre la conveniencia de uno u otro gráfico o sobre las
medidas de centralización y dispersión.
A modo de ejemplo:
Sexo
V
M
1- ¿Como sueles pasar los fines de semana?
Discoteca
Bares
Cine
Calle
Casa
Campo
4- ¿Cuál es tu deporte favorito?
BALONCESTO
FUTBOL
NATACIÓN
ATLETISMO
OTROS
7- ¿Cuántas pulsaciones tienes, por minuto? ...........
8-¿Cuántas asignaturas suspendiste en la primera evaluación? ...
9- ¿Cuál es tu altura ? ..............................
10-¿Cuántas horas estudias a la semana?
0-2
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12
MÁS DE 12
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 Funciones: Estudio de las tarifas telefónicas de sus móviles.
Es un tema que suscita un gran interés, pero que resulta complicado de llevar adelante,
por la infinidad de compañías y planes diferentes que existe
TRABAJO DE FUNCIONES:
Tarifas telefónicas.
Ante la avalancha de operadores telefónicos, y la multitud de ofertas que oímos
diariamente en la publicidad, los ciudadanos no saben a que atenerse. Vamos a intentar
aclarar algunos términos de este maremágnum. Para ello se propone el siguiente trabajo.
Los miembros de cada grupo, aportarán las tarifas que pagan con su móvil: precios
que se pagan según el tiempo que se está hablando. (Este dato le ofrece la compañía en el
teléfono de atención al cliente). Aquellos alumnos que no tengan móvil, buscarán las tarifas
pagadas por algún familiar o amigo. Cada grupo trabajará con, al menos, tres tarifas diferentes.
A) La información debe permitirnos contestar a preguntas como las siguientes:
1 - ¿Cuánto cuesta hablar 2 minutos con un teléfono fijo a las 11 de la mañana?
2 - ¿Cuál es el precio por hablar 15 minutos con un amigo, cuyo móvil es de la misma
compañía que el mío?
3.- ¿Cuál es el precio por hablar 15 minutos con un amigo, de otra compañía?
4 - Quiero llamar a las 17 horas, pero no deseo que el precio sobrepase los 3,50 €.
¿Cuánto tiempo puedo hablar?
5 - ¿Cuánto cuesta hablar 5 minutos y 23 segundos a las 3 de la tarde, con Granada?
Nota: En algunas de las preguntas anteriores, es posible que tengamos que diferenciar varios
casos.
B)
Elaboración de tablas y gráficas.
Elaborar tablas con los precios (variable dependiente) en función del tiempo (variable
independiente), de las distintas compañías.
Utilizar papel milimetrado para hacer, en unos mismos ejes cartesianos, las gráficas
correspondientes a las funciones que describen el precio de una llamada en función del tiempo
que estás hablando.
Estas gráficas nos permitirán comparar los precios de las llamadas en diferentes
momentos y en diferentes empresas.
C)
Comenta los resultados obtenidos en los apartados anteriores
D)
Describe con detalle, la forma en que has abordado el trabajo: libros o personas
consultadas, tipo de información que se ha buscado, como se han consultado los datos, como
se han deducido los datos que no se daban directamente, etc...
Valoración global del trabajo: Dificultades encontradas, tiempo empleado, interés que
ha despertado, reparto del trabajo, aprendizaje, anécdotas , etc...
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
Números y Álgebra : Magia matemática
Los juegos de magia pueden ser usados en clase de matemáticas de diferentes niveles.
En algunos casos como mero elemento de motivación y en otras relacionándolos con
contenidos concretos del currículo, como por ejemplo divisibilidad, lenguaje algebraico,
ecuaciones, etc. y, sobre todo, como pequeños trabajos de investigación y de resolución
de problemas. Los juegos de magia, suelen tener un efecto inmediato sobre la mayoría
de los alumnos, que rápidamente quieren saber “el truco”. Debemos tener muy claro,
que lo que estamos haciendo, disfrazado de magia, en realidad es, solamente y nada
menos, que Matemáticas. En general estos juegos no requieren ninguna habilidad
especial, todo lo más un poco de preparación previa. Nuestros alumnos sienten una
cierta debilidad por la baraja, así que siempre que sea posible, se recomienda usar
versiones de los juegos que incluyan cartas.
Ejemplo: Divisibilidad: Magia con el 11
Un nº de 8 cifras ( cualquier nº par de cifras)
Invierte el orden de las cifras.
Suma los dos números anteriores
Tapamos una cifra
El mago observa el resto y adivina: “el número tapado es…”
Explicación: La suma de los dos números debe ser múltiplo de 11, por tanto basta
aplicar el criterio de divisibilidad por 11, para encontrar la cifra tachada.
Podemos hacer un juego similar al anterior, pero utilizando el 9:
2) ¿Cómo repercuten en la motivación del alumnado? ¿Y en su aprendizaje?
3) ¿Cómo responden los alumnos con dificultades especiales en matemáticas? ¿Y los
más aventajados?
Los alumnos, suelen responder muy bien a estas actividades, especialmente los alumnos
con dificultades de aprendizaje, que encuentran motivación en este tipo de problemas y
sobre todo no se enfrentan a ello con el rechazo que experimentan habitualmente frente
a las matemáticas.
No es lo mismo enfrentarse a una situación del tipo encontrar valores para el precio de
“no sé que” cosas, que busca las imágenes de los elementos siguientes…
En mi experiencia debo decir, que me he encontrado con resultados muy satisfactorios.
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Para los alumnos aventajados, les resulta muy estimulante resolver problemas de la vida
real.
4.
¿Qué tipo de aplicaciones o de contextualizaciones de las matemáticas son
susceptibles de ser trabajados teniendo en cuenta el escaso bagaje de conocimientos de
los alumnos?
La mayor dificultad con que nos encontramos los profesores, es el buscar y encontrar
situaciones que se adapten a nuestras necesidades. Ese es un trabajo realmente duro,
pues si lo hacemos a la ligera caeremos en esas rutinas que comentábamos
anteriormente. En este sentido creo que sería muy interesante que de esta Escuela,
pueda surgir como dijo ayer el profesor Arcavi, un depósito, una base de datos, donde
los profesores podamos ir dejando nuestros pequeños granitos de arena, para que otros
los aprovechen y los mejoren.
Además nos encontramos con la dificultad de que hacemos unas matemáticas muy
centradas en los contenidos y procurando no salirnos del tema que toca: cuando toca
álgebra: Álgebra, cuando… Y las matemáticas en contexto, muchas veces, nos obligan
a tocar diferentes conceptos dentro de un mismo estudio.
¿Y qué es lo que tiene sentido para el alumno? Los contextos cercanos a la experiencia
cotidiana los que tienen sentido para él, los que despiertan su interés, los que favorecen
una disposición positiva hacia el aprendizaje. Entre éstos se puede mencionar el
contexto biológico ligado a la naturaleza, a los seres vivos, al propio cuerpo, el contexto
tecnológico ligado a las necesidades que plantea la vida diaria en el mundo
contemporáneo, el contexto de las artes, la música, las sensaciones, y el contexto de
las responsabilidades ligadas a la vida en sociedad.
Para los alumnos con poco bagaje matemático, el enfrentarse a este tipo de problemas,
siempre que estén bien graduados en su dificultad, les supone un reto que ellos ven a su
alcance. Así pueden ser capaces de enfrentarse a situaciones donde hagan, por ejemplo,
funciones sin necesidad de saber toda la terminología propia de ellas (Dominio,
recorrido, variable, pendiente,…) pero teniendo una idea clara de lo que se está
haciendo.
5. ¿Cómo conjugar una presentación en contexto de la matemática con una
presentación formal (inherente a la naturaleza de las matemáticas)?
Esta es sin duda una parte enormemente complicada, pasr de una situación concreta a la
generalización, presentar todos los aspectos formales de la Matemática. Para hacerlo
deberemos conocer muy bien nuestro grupo-clase y en función de ello llegar hasta
donde podamos. En algunos casos de alumnos con grandes dificultades, la
formalización será mínima.
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Los límites de la contextualización
Utilizar situaciones de la vida real debe ser un recurso más, dentro de nuestras
estrategias para acerca las Matemáticas a nuestros alumnos, pero no debemos pensar
que toda o la mayoría de las matemáticas debe estar en referida a situaciones de la vida.
La idea sería diversificar las estrategias metodológicas en la clase, pues para
mejorar el aprendizaje creo que debemos recurrir a diferentes modos de trabajo.
Para terminar, tengo que hablar de Ezequiel, a quien he dedicado esta breve charla.
Durante muchos años hemos trabajado juntos en el instituto, preparando Olimpiadas,
organizando y llevando adelante el proyecto Estalmat, trabajando en diferentes
proyectos.
Ezequiel entendía muy bien este tema que hoy estamos debatiendo aquí: la
contextualización. Era habitual verle cuando se dirigía a clase, cargado de cachivaches,
cuerdas, cajas, botes, geoplanos (recuerdo aquellos un poco peligrosos, llenos de puntas
que nos hicieron en el departamento de tecnología), … en fin siempre buscaba algo para
que sus alumnos “vieran” las matemáticas. Entregado a su trabajo de enseñar, para él no
existían los horarios, sólo estaban los alumnos, personas a las que él atendía
constantemente sin una mala cara.
Ezequiel era sin duda alguna un gran profesor, pero por encima de ello era todavía
mejor persona, era un hombre bueno, siempre dispuesto a ayudar.
Para mi ha sido un lujo compartir tantos momentos, en el trabajo y fuera de él. Fuiste un
buen ejemplo en el que yo podía aprender.
El maletín que me regalaste para que metiera mis artilugios para la magia, me seguirá
acompañando y cada vez que inicie un juego le miraré y tendré un recuerdo para ti.
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