Vibraciones

Vibraciones
Aplicación en Excel del
Método Iterativo Matricial
(MITEM)
Introducción



Es posible implementar el MITEM para
cálculo de autovalores y autovectores
Aplicable al cálculo de frecuencias de
resonancia y modos de vibrar, tensores
de inercia principales y direcciones
principales
Agiliza el cálculo de las operaciones
matriciales
Preparación Del Excel

Como este método es iterativo, se
creará una planilla de cálculo con
referencias circulares (las ecuaciones de
dos o más celdas están referidas entre si)

En la pestaña “Calcular” en las
opciones del Excel, cambiar el
cálculo a “Manual” y tildar la casilla
“Iteración”
El MITEM en Excel
Paso 1
Los pasos a seguir
son:
 Crear las matrices
Masa y Rigidez
 Determinar la
matriz Dinámica
[D] como [M]-1[K]
o bien [D]-1 como
[K]-1[M]
M11
M21
M31
M
M12
M22
M32
M13
M23
M33
K11
K21
K31
K
K12
K22
K32
K13
K23
K33
D11
D21
D31
D
D12
D22
D32
D13
D21
D33
El MITEM en Excel
Paso 2

Proponer un vector inicial {u 0}

Multiplicar [D]{u0} para obtener {u}


Marcar las celdas destino (las de {u}), ingresar la
fórmula y presionar CTRL+Shift+Enter para
aceptar la ecuación
Usar =mmult(celdas de[D];celdas de{u0})
{u}=[D]{u0}
a1
a2
a3
λ
{u0}
1
0
1
L^2
El MITEM en Excel
Paso 3


Normalizar el vector {u} con uno de sus
elementos (por ej. el elemento a1)
Reemplazar el vector {u0} por el vector
normalizado manteniendo las referencias
{u}=[D]{u0}
-2
0
2
λ
-2
{u0}
-1
0
1
L^2
El MITEM en Excel
Paso 4

En este punto queda creada la
referencia circular. {u} se calcula con
[D]{u0} y {u0} se calcula
normalizando {u}
El MITEM en Excel
Paso 5


Presionando repetidamente F9, el
software iterará hasta converger a la
solución
El vector normalizado {u0} es el
autovector y el pivot es el autovalor de
[D]
{u}=[D]{u0}
{u0}
λ
6,82842712 6,82842712
1
9,65685425
1,41421356
6,82842712
1
Autovalor
L^2
Autovector
El MITEM en Excel
Paso 6

Calcular la norma L2



Obtener la matriz Sweeping [S]



L2={u0}T[M]{u0}
Usar =mmult(transponer(u0);mmult([M];{u0})
[S1] = (λ/L2)({u0} {u0}T)[M]
Usar =(λ/L2)mmult(mmult({u0};Transponer{u0});[M])
Calcular la nueva matriz [D] para obtener los siguientes modos

[D1]=[D]-[S1]
El MITEM en Excel
Paso 7

Repetir los pasos 2 a 6 para obtener los
autovalores y autovectores restantes
M
1
0
0
K
0
1
0
0
0
1
3
2
1
2
4
2
1
2
3
1,70710678
2,41421356
1,70710678
S1
2,414213562
3,414213562
2,414213562
1,70710678
2,41421356
1,70710678
D
D1
1,29289322 -0,414213562 -0,70710678
-0,41421356 0,585786438 -0,41421356
-0,70710678 -0,414213562 1,29289322
1
-5,5511E-17
-1
S2
-5,55112E-17
3,08149E-33
5,55112E-17
3
2
1
2
4
2
1
2
3
{u}=[D]{u0}
{u0}
λ
6,82842712 6,82842712
1
9,65685425
1,41421356
6,82842712
1
L^2
{u}=[D]{u0}
2
-1,1102E-16
-2
L^2
λ
{u0}
2
4
1
-5,5511E-17
-1
2
-1
5,5511E-17
1
D2
0,29289322 -0,414213562 0,29289322
-0,41421356 0,585786438 -0,41421356
0,29289322 -0,414213562 0,29289322
{u}=[D]{u0}
{u0}
λ
1,17157288 1,17157288
1
-1,65685425
-1,41421356
1,17157288
1
L^2
4
El MITEM en Excel
Trabajo Práctico



Se pretende determinar los modos
longitudinales de un modelo simplificado del
lanzador Delta II en su configuración dada por
un motor primario (ME) y 3 boosters de
combustible sólido (B), segunda etapa (SE) y
tercera etapa (TE).
Durante la primera fase del lanzamiento actúan
el ME y los B. Se considerará que el ME y los B
forman un cuerpo rígido
Al agotarse los B, son desprendidos reduciendo
la masa del lanzador
Características
Del Delta II
Características Del
Problema
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Se supondrá que la carga paga (satélite) es de
M=1800 Kg
El motor de la tercera etapa tiene una masa de
0.75M (con combustible)
El motor de la segunda etapa tiene una masa de
2.7M
El tanque superior de la primera etapa tiene una
masa de 6.7M
El tanque inferior de la primera etapa con el motor
tiene una masa de 8M (sin Boosters)
Los Boosters tienen una masa de 0.2M cada uno
(posee 9)
Modelo Físico

Se supondrán las siguientes
constantes elásticas:




K4=K
K3=2K
K2=4K
K1=5K
Objetivo

Determinar los modos longitudinales
para el sistema de 5 gdl:
Con Boosters en la primera fase
 Sin Boosters en la segunda fase
 Optativo: Calcular lo que sucede
cuando se desprende toda la primera
etapa (Boosters y tanques)

Información Adicional
Lanzamiento de un DeltaII