Documento 685183

Docentes:
Sr.Ricardo Carrillo
Srta. Claudia Barrientos
Departamento de Matematica
Curso: Segundos Medios
Unidad 5: Geometría
Guia N° 2 - 2013
GUIA MATEMATICA
¿Qué aprenderé?
1. Conocer concepto y propiedades de semejanza de triángulos.
2. Aplicar las propiedades de semejanza
3. Resolver problemas que involucran semejanza de figuras planas.
DEFINICIÓN DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos, se dirán semejantes, cuando los ángulos de uno de ellos sean
respectivamente congruentes con los ángulos del otro y cuando además, tengan sus
lados homólogos proporcionales.
OBSERVACIONES


Esta definición encierra la idea de similitud de forma: es decir, dos triángulos son
semejantes, si y sólo si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo
tamaño.
Dos polígonos de un mismo número de lados, se dirán semejantes, cuando los ángulos
de uno de ellos sean respectivamente congruentes con los ángulos del otro y cuando
además, tengan sus lados homólogos proporcionales.
¿Qué relación existe entre la semejanza y la congruencia de figuras planas?
Aplico la definición anterior en los ejemplos siguientes:
1. Si en la figura 1, ΔABC ~ ΔA’B’C’, entonces α es
A) igual a α’
B) un cuarto de α’
C) un tercio de α’
D) el doble de α’
E) el triple α’
2. Los lados de un triángulo miden 30 cm, 50 cm
y 60 cm. ¿Cuánto mide el lado más largo de un
triángulo semejante con él y cuyo lado menor
mide 20 cm?
A) 30 cm
B) 40 cm
C) 50 cm
D) 60 cm
E) 70 cm
TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Para establecer la semejanza entre dos triángulos no es necesario verificar cada una de las seis
condiciones expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas provocan
necesariamente la ocurrencia de las otras restantes.
TEOREMA 1: (TEOREMA FUNDAMENTAL)
Para que dos triángulos sean semejantes, los ángulos de uno de ellos deben ser
congruentes a los ángulos del otro.
̅̅̅̅, ¿puedo concluir que los triángulos 𝛥CDE y ΔCAB
Dado el triángulo ABC, con ̅̅̅̅
𝐷𝐸 //𝐴𝐵
son semejantes? Justifico mi respuesta y anoto mis conclusiones
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________
Aplico el teorema anterior en los ejemplos siguientes:
1. En la figura, el trazo DE es paralelo al lado AB
del triángulo ABC. Entonces, el triángulo
CDE es semejante al triángulo ABC en su orden
A) BAC
B) CBA
C) CAB
D) BCA
E) ABC
2. Las rectas L1 y L2 de la figura, son paralelas y
los trazos DB y AE se cortan en C.
Entonces, el triángulo ABC es semejante al
triángulo DEC en su orden
A) DCE
B) EDC
C) DEC
D) ECD
E) CED
MÁS TEOREMAS
TEOREMA 2: LAL
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan un ángulo congruente comprendido
entre lados proporcionales.
TEOREMA 3: LLL
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan sus lados proporcionales.
TEOREMA 4: LLA
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan dos de sus lados respectivamente
proporcionales, y los ángulos opuestos a los mayores de estos lados, congruentes.
Aplico el teorema anterior en los ejemplos siguientes:
1. Sea ΔABC ΔDEF y las longitudes de los lados
sean las indicadas en la figura 4. ¿Cuál es la
longitud de (x + y)?
2. Según los datos dados en la figura 5, ¿cuál es la
longitud de AC si AB  BC ?
PR
PQ
A) 10
B) 8
C) 6
D) 3,9
E) 1,3
TEOREMA 5:
En triángulos semejantes, dos lados homólogos están en la misma razón que dos
trazos homólogos cualesquiera y también están en la misma razón que sus perímetros.
TEOREMA 6:
Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón
en que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera.
Aplico el teorema anterior en los ejemplos siguientes:
1. En la figura 2, el trazo DE es paralelo
al lado AB del triángulo ABC. ¿Cuál es el
perímetro del
ΔCDE?
A) 36
B) 32
C) 27
D) 21
E) 18
2. Los triángulos ABC y A’B’C’ de la figura 3, son
semejantes. S y S’ representan las áreas del primer y
segundo triángulo respectivamente. Si S : S’ = 1 : 4,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?
I) a : a’ = 1 : 2
II) hc : hc’ = 1 : 4 III) hc : hc’ = tc : tc’
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
En los siguientes ejercicios aplico los teoremas enseñados:
1) ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre sí?
2. ¿Cuál de los siguientes triángulos son semejantes? En caso de serlos indico el criterio que se
cumple.
3. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro
triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determino si son o no semejantes,
justificando mi respuesta.
4. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo
semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m. Encuentro los otros dos lados de este
triángulo.
5. ¿Cuál es la altura del faro de la figura de acuerdo a la información entregada?
6. La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son
18, 21 y 30, determino los lados del segundo.
7. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 m., 8 m. y 10 m. respectivamente. ¿Cuánto medirán
los catetos de un triángulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m.?
8. Si L//L’, r y r’ secantes que se cortan en O.
Demuestro que OAA’  OBB’.
9.
Si L//L’, r y r’ secantes que se cortan en O y OA = 8 cm., OB = 12
cm., AA’ = 10 cm., A’B’ = 15 cm. Determino OB’ y BB’.
10.
Si en el ABC, CD es la bisectriz del ACB y ABE  ACD, demuestro
que ACD  DBE y que ADC  CEB.
11.
Si los segmentos AB y CD se cortan en un punto E tal que
CE  EB = ED  AE, demuestro que los segmentos AC y BD que unen sus
extremos, son paralelos.
12. Encuentro el valor de A Dsi A C = 25
A
D
15
3
B
E
C
SELECCIÓN MULTIPLE:
1. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el triángulo P es semejante con el triángulo Q?
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en I y en II
D) Sólo en II y en III
E) En I, en II y en III
2. Una torre de TV proyecta una sombra que mide 150 metros de longitud. A 148,8 metros
del pie de la torre y en la misma dirección que se proyecta la sombra, se encuentra un poste
que mide 1,6 metros de altura. Sabiendo que los puntos extremos de la sombra que
proyectan la torre y el poste coinciden, ¿qué altura tiene la torre?
A) 200 metros
B) 198,4 metros
C) 113,2 metros
D) 112,5 metros
E) 110 metros
3. ¿Qué significa que dos triángulos sean semejantes?
A) Que tienen igual área
B) Que tienen igual perímetro
C) Que sus lados son proporcionales
D) Que sus tres lados respectivos coinciden
E) Que sus ángulos son proporcionales, en razón distinta de uno
4. Según la figura, ¿Cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) semejante(s)?
I) ΔA C D y ΔBC E
II) ΔBEC y ΔA EB
II I) ΔA C D y ΔC A B
A) Sólo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
5. En la figura, ¿cuál(es) de los siguientes triángulos es(son) semejantes
I)  ABE   AFD
II)  FEC   BDC
III)  CFE   ABE
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
6. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre si?
A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguno de ellos son semejantes entre si
7. En la figura se representa un poste y una niña. Si la niña tiene una altura de 1 metro, y las
sombras del poste y de la niña miden 7 metros y 50 centímetros, respectivamente, ¿cuál es
la altura del poste?
A) 3,5 metros
B) 7,1 metros
C) 14 metros
D) 35 metros
E) No se puede determinar
8. En la figura, el  ABC es semejante con el  DEC. Si CM = 5, AB = 21 y CN = 15, ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) C N: A B  C M: E D
35
I I) Á rea ΔE DC 
2
I I I)
A) Solo I
C) Solo I y III
E) I, II y III
Á rea ΔE DC
Á rea ΔA BC
B) Solo I y II
D) Solo II y III

1
9
9. Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 m; si el primer piso tiene una altura de
15 m y el segundo piso una altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombra proyectada por el
segundo piso?
A) 8 m
B) 10 m
40
m
3
E) No se puede determinar
C) 15 m
D)
10. ¿Cuál de las siguientes es FALSA?
A) Todos los triángulos equiláteros son semejantes
B) Todos los cuadrados son semejantes
C) Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes
D) Todos los círculos son semejantes
E) Todos los triángulos isósceles son semejantes
11. Los lados de un triángulo miden 5, 6 y 8 cm. ¿cuánto miden los lados de un triángulo
semejante si su lado más grande mide 16 cm?
A) 6, 7, y 16 cm.
B) 14, 15 y 16 cm.
C) 10, 12 y 16 cm.
D) 9, 12 y 16 cm.
E) otras medidas.
12. Una niña que mide 1 m proyecta una sombra de 2 m de largo. Si a esa misma hora y en
ese mismo lugar, un árbol proyecta una sombra de 8 m de largo, ¿cuál es la altura del árbol?
A) 4 m
B) 5 m
C) 6 m
D) 7 m
E) 16 m
13. ¿Cuánto vale x en la figura?
A) 6,25
B) 16
C) 3,5
D) 7
E) 4
14. Los perímetros de dos figuras semejantes son 30 cm. y 18 cm. .En que razón están los
lados?
A) 25: 9
B) 10: 9
C) 6: 2
D) 5: 3
E) 5: 2
15. Los lados de un triángulo están en la razón 2: 3: 5 y su perímetro mide 55cm. ¿Cuánto mide
el lado menor del triángulo?
A) 12 cm.
B) 11 cm.
C) 10 cm.
D) 9 cm.
E) 7,5 cm.