UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS

UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS
RAZONES Y PROPORCIONES
DEFINICIONES
RAZÓN:
La razón entre dos números
reales a y b, (b0), es el cociente entre a
a
y b, es decir
. También se escribe: a/b,
b
ab, a:b.
Al numerador se le llama antecedente y al
denominador consecuente.
PROPORCIÓN: Es la igualdad entre dos
a
c
razones:
 . Se lee: “a es a b” como
b
d
“c es a d”. También se escribe: a/b=c/d,
a:b=c:d.
a y d son los extremos;
medios.
Siempre que las razones resulten definidas:
1.
Producto extremos = Producto medios
a
c
Si
entonces ad=bc

b
d
2.
Razones inversas
a
c
Si

b
d
Si
a
x
MEDIA PROPORCIONAL:
Si
 ,
x
b
es decir a:x=x:b entonces “x es la media
proporcional entre a y b”. También se
llama media geométrica.
TERCEROS PROPORCIONALES: Si “x
es la media proporcional entre a y b”.
Entonces “a y b” son las terceras
proporcionales de x.
RAZÓN ENTRE DOS SEGMENTOS: La
razón entre dos segmentos es la razón
entre sus medidas, en la misma unidad de
medida.
entonces
3.
Intercambio de extremos
a
c
Si
entonces

b
d
4.
Intercambio de medios
a
c
Si
entonces

b
d
b y c son los
a
c
 ,
b
x
es decir a:b=c:x entonces “x es la cuarta
proporcional entre a, b y c”, en ese orden.
CUARTA PROPORCIONAL:
SEGMENTOS PROPORCIONALES:
Dos
segmentos son proporcionales a otros dos
si la razón entre los dos primeros es igual a
la razón entre los dos segundos.
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES
b
d

a
c
d
c

b
a
a
b

c
d
5.
Sumar (restar) a cada antecedente su
respectivo consecuente
a
c
Si
entonces

b
d
ab
cd

b
d
6.
Sumar (restar) a cada consecuente su
respectivo antecedente
a
c
Si
entonces

b
d
a
c

ba
d c
7.
Razones entre la suma y la diferencia
del antecedente y el respectivo
consecuente
a
c
Si
entonces

b
d
ab
cd

ab
cd
8.
La suma de los antecedentes es a la
suma de los consecuentes como cada
antecedente es a su consecuente,
a
c
Si
entonces

b
d
a
c
ac


b
d
bd
Esta propiedad
serie de dos o
decir:
a1
a
 2  ... 
b1
b2
9.
es aplicable a cualquier
más razones iguales, es
a  a2  ...  an
an
 1
bn
b1  b2  ...  bn
El cuadrado de la media proporcional es
igual al producto entre las terceras
proporcionales, es decir:
a
x
Si
entonces x2  ab .

x
b
Luego la la media geométrica entre a y
b es x  ab .
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA
PROPORCIONALIDAD
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN
SEGMENTOS CONGRUENTES
TEOREMA:
Si tres o más paralelas
determinan segmentos congruentes sobre
una transversal entonces dichas paralelas
también
determinan
segmentos
congruentes
sobre
cualquier
otra
transversal.
CONSTRUCCIÓN:
Dividir un segmento
dado en n segmentos congruentes, (nZ,
n2)
TEOREMA DE THALES
TEOREMA:
Si dos rectas son cortadas
por tres paralelas entonces los segmentos
que dichas paralelas determinan sobre una
de las rectas son proporcionales a los
segmentos que determinan sobre la otra.
COROLARIO: Toda paralela a un lado de
un
triángulo
determina
segmentos
proporcionales sobre los otros dos lados, (o
sobre sus prolongaciones),
CONSTRUCCIÓN:
Construir la cuarta
proporcional de tres segmentos dados.
TEOREMA (6o criterio de paralelismo):
Si en un triángulo una recta determina
segmentos proporcionales sobre dos lados
(o sobre sus prolongaciones) entonces dicha
recta es paralela al tercer lado.
TEOREMA: Si tres rectas concurrentes
son transversales a dos rectas paralelas
entonces sobre las paralelas se determinan
segmentos
proporcionales
y
recíprocamente.
PROPIEDADES MÉTRICAS DE LAS
BISECTRICES
TEOREMA:
En
todo
triángulo,
la
bisectriz de un ángulo interior divide al
lado
opuesto
en
dos
segmentos
proporcionales a los lados que forman el
ángulo y recíprocamente.
En un ABC, si AD es la bisectriz del A
interior, entonces: DB/DC=AB/AC
y
además DB=ac/(b+c) ; DC=ab/(b+c)
TEOREMA:
En
todo
triángulo,
la
bisectriz de un ángulo exterior (*) divide
exteriormente
al
lado
opuesto
en
segmentos proporcionales a los lados del
ángulo
interior
adyacente
y
recíprocamente.
En un ABC, si AE es la bisectriz del A
exterior, con E sobre la prolongación de BC,
entonces EB/EC=AB/AC y además
EB=ac/bc; EC=ab/bc
(*)
Obviamente dos triángulos congruentes son
semejantes y su razón de semejanza es k=1.
TEOREMA:
La relación de semejanza
de triángulos es una relación de
equivalencia:
1.
2.
3.
Reflexiva:
ABCABC.
Simétrica: Si
ABCA'B'C'
entonces A'B'C'ABC.
Transitiva: Si
ABCA'B'C'
y A'B'C'A"B"C"
entonces ABCA"B"C".
Excepto para el ángulo exterior
del ángulo opuesto a la base de un triángulo
isósceles.
La transitividad es un método muy utilizado
para probar que dos triángulos son
semejantes.
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
CRITERIOS DE SEMEJANZA
Dos triángulos ABC y A'B'C' son
semejantes si sus tres ángulos son
respectivamente congruentes y sus tres
lados son respectivamente proporcionales.
Se denota ABC   A'B'C':
TEOREMA FUNDAMENTAL: Toda
paralela a un lado de un triángulo dado
determina un triángulo semejante a éste.
ABC  A'B'C' 
 A  A´

 


1.

B


B´

 

 

 C  C´



2. AB  BC  CA  k 
 A´B´ B´C´ C´A´

Los ángulos respectivamente congruentes, y
los lados respectivamente proporcionales
se llaman elementos homólogos (en
semejanza).
El número k es la razón de semejanza del
ABC con respecto al  A'B'C' y significa
que la medida de un lado del ABC es k
veces la de su lado homólogo en el A'B'C'.
TEOREMA: ( SLAL)
Si dos triángulos
tienen un ángulo congruente formado por
lados
proporcionales
entonces
son
semejantes.
TEOREMA: (SAA)
Si dos triángulos
tienen
dos
ángulos
respectivamente
congruentes entonces son semejantes.
TEOREMA: (SLLL)
Si dos triángulos
tienen sus tres lados respectivamente
proporcionales entonces son semejantes.
TEOREMA:
Si
dos
triángulos
rectángulos cumplen alguna de las
siguientes propiedades entonces son
semejantes:
1. Si tienen un ángulo agudo congruente.
2. Si tienen los catetos proporcionales.
3. Si tienen proporcionales las hipotenusas
y uno de sus catetos.
En un ABC rectángulo en A, sean m y n las
proyecciones de los catetos c y b sobre la
hipotenusa a y sea h la altura sobre ella:
TEOREMA:
Si dos triángulos son
semejantes entonces la razón entre dos
elementos (rectilíneos) homólogos: alturas,
medianas, bisectrices, es igual a la razón de
semejanza entre los triángulos.
CATETO MEDIA PROPORCIONAL
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS
TRIÁNGULOS
PROYECCIONES ORTOGONALES SOBRE
UNA RECTA
TEOREMA: Cada cateto es media
proporcional entre la hipotenusa y su
proyección sobre ella:
b2 = a n ; c2 = a m.
TEOREMA DE PITÁGORAS
TEOREMA: El cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos: a2 = b2 + c2.
ALTURA MEDIA PROPORCIONAL
PROYECCIÓN DE UN PUNTO: La
proyección ortogonal de un punto P sobre
una recta L es el punto P’ de intersección
entre la recta L y la recta perpendicular a
L que pasa por P; es decir P’ es el pie de
dicha perpendicular.
TEOREMA: La altura sobre la hipotenusa
es
media
proporcional
entre
las
proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa: h2 = m n.
PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO: La
proyección ortogonal de un segmento AB
sobre una recta L es el segmento A’B’
formado por los puntos proyecciones
ortogonales de todos los puntos del
segmento AB sobre la recta L.
TEOREMA:
La altura relativa a la
hipotenusa es cuarta proporcional entre la
hipotenusa y los catetos: ah = bc .
NOTA: En adelante nos referiremos a una
proyección ortogonal simplemente como
proyección.
RELACIONES MÉTRICAS EN
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
RELACIONES MÉTRICAS EN
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
TEOREMA: En un triángulo, el cuadrado
del lado a opuesto a un ángulo A agudo
(obtuso) es igual a la suma de los cuadrados
de los otros dos lados, menos (más) el
doble producto de uno de ellos por la
proyección del otro sobre él, es decir:
TEOREMA: En todo triángulo rectángulo
la altura relativa a la hipotenusa determina
dos triángulos rectángulos semejantes a él.
ALTURA 4a PROPORCIONAL
CONSTRUCCIÓN: Dados dos segmentos
construir su media proporcional.
LEY DEL COSENO
A agudo: a2 = b2 + c2 – 2 b Proy (c /b)
A obtuso:a2 = b2 + c2 + 2 b Proy (c /b)
NOTA: Este
teorema
generalización del
Pitágoras.
es
una
teorema de
TEOREMA: Dado un triángulo ABC de
lados a, b y c entonces:
1. A es agudo
2. A es recto
3. A es obtuso



determina los segmentos EB y EC sobre el
lado a y su prolongación, entonces:
a2 < b2 + c2
a2 = b2 + c2
a2 > b2 + c2
CÁLCULO DE ALTURAS
TEOREMA: La altura ha, relativa al lado
a, de un triángulo ABC está dada por:
2
ha 
p(p  a)(p  b)(p  c)
a
donde p es el semiperímetro:
ab c
p 
2
wa2  EB.EC  bc
RELACIONES MÉTRICAS EN LA
CIRCUNFERENCIA
RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA
CIRCUNSCRITA
TEOREMA: En un ABC, el producto entre
el diámetro 2r de su circunferencia
circunscrita y la altura ha, es igual al
producto entre los lados b y c del triángulo,
es decir 2rha  bc , luego:
r 
bc
abc

2ha
4 p(p  a)(p  b)(p  c)
donde
p
ab c
p 
2
es
el
semiperímetro:
CUERDAS SECANTES
CÁLCULO DE MEDIANAS
TEOREMA: La mediana ma, relativa al lado
a, de un triángulo ABC está dada por:
ma2 
a2
b2  c2

2
4
TEOREMA: Si en un punto P interior a la
circunferencia se cortan dos cuerdas AB y
A´B´ entonces el producto entre los dos
segmentos de la primera es igual al
producto entre los dos segmentos de la
segunda, es decir PA x PB  PA´x PB´.
CÁLCULO DE BISECTRICES
RECTAS SECANTES
TEOREMA:
TEOREMA: Si desde un punto P exterior
a una circunferencia se trazan dos rectas
Si la bisectriz va=AD, del
ángulo Aint de un triángulo ABC
determina los segmentos DB y DC sobre el
lado a, entonces:
va2  bc  DB.DC
TEOREMA:
ángulo
Si la bisectriz wa=AE, del
Aext de un triángulo ABC
AB y A´B´ secantes a ella, (P-A-B, P´A´-B´), entonces el producto entre el
segmento externo de la primera y la
secante completa es igual al producto entre
el segmento externo de la segunda y la
secante
completa,
es
decir
PA x PB  PA´x PB´ .
geométrico de los puntos del plano que
tienen igual potencia con respecto a ellas.
SECANTE Y TANGENTE
TEOREMA: Si desde un punto P exterior
a una circunferencia se trazan una
tangente PT , y una secante PAB ,
entonces el segmento tangente es media
proporcional entre la secante completa y su
segmento
externo,
es
decir:
PA x PB  PT
TEOREMA:
Las
tangentes
a
dos
circunferencias no concéntricas trazadas
desde un punto de su eje radical, exterior a
ellas, son congruentes y recíprocamente.
TEOREMA: Dadas dos circunferencias no
concéntricas, según su posición, el eje
radical se obtiene como sigue:
POTENCIA
1.
Exteriores:
La recta que une los
puntos medios de sus segmentos
tangentes exteriores comunes.
2.
Secantes: La recta secante común
3.
Tangentes: La recta tangente común.
4.
Interiores: La recta perpendicular a la
línea de sus centros que pasa por el
punto donde concurren los ejes
radicales entre cada una de ellas y una
circunferencia secante a ambas.
2
POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A
UNA CIRCUNFERENCIA: Dada una C(O;
r) y dado un punto P en su plano, se llama
Potencia “p” del punto P con respecto a la
C(O; r), ¸ al producto entre las medidas de
los segmentos orientados determinados,
por él y por la circunferencia,
sobre
cualquier recta secante a ella que pase por
P.
TEOREMA: Dada una C(O; r ) y dado un
punto P en su plano, si d = OP, entonces la
potencia p del punto P con respecto a la
C(O; r ) está dada por: p = d2  r2.
TEOREMA:
La potencia de un punto
exterior a una circunferencia es el
cuadrado del segmento de tangente
trazado desde él.
TEOREMA: El lugar geométrico de
puntos de igual potencia con respecto a
circunferencias no concéntricas es
recta perpendicular a la recta de
centros.
los
dos
una
sus
EJE RADICAL
Dadas dos circunferencias no concéntricas
se llama Eje Radical de ellas al lugar
TEOREMA: Dadas tres circunferencias, de
centros no colineales, entonces sus ejes
radicales concurren en un punto.
CENTRO RADICAL
Dadas tres circunferencias, de centros no
colineales, se llama Centro Radical de ellas
al punto donde sus ejes radicales
concurren.