Colegio de Señoritas “El Sagrado Corazón, El Naranjo” Proyecto Matemática

Colegio de Señoritas “El Sagrado Corazón, El Naranjo”
Proyecto
Matemática
Cuarto Bachillerato A, B, C, D
Hoja de Trabajo No. 4
SERIE I. Lea cada ejemplo y resuelva los propuestos.
I-
Problemas utilizando tabla de valores de verdad.
En algunas ocasiones, para resolver un problema de razonamiento lógico, es conveniente
utilizar tablas de valores de verdad, para lo cual se le debe asignar un valor de verdad
(verdadero o falso) a una proposición y a partir de aquí deducir los valores de verdad de
las demás proposiciones y si no existen contradicciones llegamos a la solución buscada.
Ilustremos esto
Ejemplos:
Se comete un delito y la PNR arresta a 4 sospechosos que al ser interrogados formulan las
declaraciones siguientes:
Andrés : "Eduardo es el culpable"
Eduardo :"Jesús es el culpable"
Jesús : "Eduardo miente cuando dice que yo soy el culpable"
Rafael : "yo no soy el culpable"
Conociendo que sólo uno de ellos dice la verdad, ¿Quién es el culpable?
R/ Para dar solución al problema nos apoyamos en una tabla con el nombre de cada
sospechoso y a partir de aquí le asignamos un valor de verdad a una de las proposiciones
y se deduce el valor de verdad de las demás si hay contradicciones hacemos una nueva
suposición y cuando no haya contradicciones llegamos a la solución.
En la tabla hemos utilizado las siguientes notaciones:
F- falso V – Verdadero I- inocente C – culpable.
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
Andrés
V- I
F-I
F-I
F
Eduardo
F-C
V-I
F-I
F-I
Jesús
F-I-C
F-C-C
V-I-I
F-I-C
Rafael
F-C
F-C
F-C
V-I
Caso 1: Si suponemos que Andrés dice verdad, es inocente, entonces es Eduardo y Rafael
son culpables y Jesús sería inocente y culpable a la vez, lo que es imposible y se descarta
esta posibilidad.
Caso 2: Si suponemos que Eduardo dice la verdad este sería inocente al igual que Andrés,
entonces Jesús y Rafael serían culpables y como es uno solo el culpable se descarta esta
posibilidad.
Caso 3: Suponiendo que Jesús diga la verdad, deducimos fácilmente que Andrés, Eduardo
y Jesús son inocentes y solo Rafael aparece como único culpable y esta es una posible
solución.
Caso 4: Si Rafael dice verdad llegamos rápidamente a una contradicción, pues Jesús sería
inocente y culpable a la vez y esto es imposible. Haciendo una valoración de los cuatro
casos podemos concluir que el único en que no se llega a una contradicción es en el
tercero, por lo tanto Rafael es el culpable.
Ejercicio:
1) En cierto planeta cada habitante es veraz o mentiroso. Al llegar a este planeta
encontramos tres extraterrestres.
ET1 dice: "ET2 y yo somos iguales"
ET2 dice: "ET3 es veraz"
ET3 dice: "ET1 y yo somos diferentes"
¿Cómo es cada uno de ellos veraz o mentiroso?
2) Eduardo miente los miércoles, jueves y viernes y dice la verdad el resto de la semana,
Andrés miente los domingos, lunes y martes y dice la verdad el resto de la semana. Si
ambos dicen "mañana es un día en el que yo miento" ¿Qué día de la semana será mañana?
II- Principio de Dirichle
Para resolver un problema de razonamiento lógico es conveniente utilizar un principio
muy elemental, pero fundamental que se conoce como el principio de Dirichlet, de las
casillas, de las gavetas, de las casitas, de Pegeonhole y otros más.
Principio de Dirichlet: Si un conjunto tiene m elementos y está dividido en n
subconjuntos, con m >n, entonces existe al menos un subconjunto que contiene al menos
dos elementos. Principio generalizado de Dirichlet: Si un conjunto tiene n·k+1 elementos
(o más) y está dividido en n subconjuntos, entonces existe al menos un subconjunto que
tiene al menos k+1 elementos.
Es evidente que si todos los elementos están en un
subconjunto el principio se cumple, lo importante es su validez en condiciones extremas,
es decir, cuando halla elementos en todos los subconjuntos.
Veamos el ejemplos:
De un periódico del idioma español se escogen al azar 30 palabras. Demuestre que al
menos dos de las palabras seleccionadas comienzan con la misma letra.
R/ El alfabeto español tiene 28 letras por lo tanto se podrían encontrar 28 palabras que
comiencen con letras diferentes, pero la número 29 tiene que comenzar necesariamente
con una de las letras anteriores.
Ejercicio.
1) En una gaveta que se encuentra en una habitación totalmente oscura, hay 120 medias
de 4 colores diferentes. ¿Cuál es el menor número de medias que se debe extraer para
poder asegurar que se tiene al menos un par de medias del mismo color?
2) Demuestre que si se tienen 7 números naturales que son cuadrados perfectos, entonces
existen al menos dos de ellos cuya diferencia es divisible por diez.
Reto. Resuelva el ejercicio y explique su estrategia.
1. Almorzaban Juntos tres políticos: El señor Blanco, el señor Rojo y el señor Amarillo;
uno llevaba corbata blanca, otro corbata roja y el otro corbata amarilla pero no
necesariamente en ese orden. “Es curios dijo el señor de corbata roja – nuestros
apellidos son los mismos que nuestras corbatas, pero ninguno lleva la que
corresponde al suyo”. “Tiene Ud. razón “, dijo el señor Blanco.¿De qué color llevaba la
corbata el señor Amarillo, el señor Rojo y el señor Blanco, respectivamente?
SERIE III. Resuelva los siguientes problemas utilizando sus conocimientos de geometría.
1. ¿Cuánto costará circular una finca cuadrada de 140 metros de lado a razón de
Q15.00 el metro lineal de alambre?.
2. Pintar una pared de 8 m de largo y 75 dm de ancho ha costado Q60.00. ¿A que
precio se habrá pagado el metro cuadrado de pintura?
3. Una finca rectangular que mide 1698 m de largo por 540 m de ancho se sembró
de trigo. Al realizar la cosecha cada Decámetro cuadrado de terreno ha producido
7890 kg de trigo. ¿Cuántos kg se han cosechado?. Si el trigo se vende a Q5.50 el
kg, ¿Cuánto dinero se obtendrá?.
4. ¿Cuál es la distancia máxima que se puede recorrer, en línea recta, dentro de un
campo rectangular de 80 m. de largo y 60 m. de ancho.?
5. Se necesita cercar un huerto rectangular, de 180 m de longitud y 150 m de
anchura, con tela metálica. El metro lineal de malla cuesta Q75.00. Al mismo
tiempo, es necesario abonarlo con abono nitrogenado. El fabricante del abono
recomienda 25 kg por hectárea. a) Calcula la longitud de la tela metálica y el
coste de la misma para cercar el huerto. b) Calcula la cantidad de abono
nitrogenado necesario para abonarlo.
6. ¿Que figura tiene mayor área un cuadrado que tiene como lado (x+5) unidades o
un rectángulo cuyos lados son (x+4) y(x+6)?
7. Calcule el área sombreada de las siguientes figuras
a) si r = 25cm y el cuadrado mide 5 cm de lado.
b) Si la base menor del trapecio es 4 unidades menor que el lado del cuadrado.
c) El cuadrado esta formado por los vértices ABCD y sus lados miden 8 cm.,
encuentre el área sombreada si las rectas: DM=MB, AN=DN Y NE=ED
d) La apotema del polígono inscrito es de 6 cm
a)
b)
c) A
B
N
M
E
D
C
D)