LÓGICA “La lógica es la ciencia que expone las leyes, modos y

LÓGICA
“La lógica es la ciencia que expone las leyes, modos y formas del conocimiento científico”.
“Es la ciencia formal que estudia la validez de una inferencia mediante leyes y principios”.
IMPORTANCIA. El estudio de la lógica es muy importante en todas las ciencias y de manera especial en
las ciencias formales para procesar los datos y resolver diversos problemas.
CONCEPTOS BÁSICOS.
INFERENCIA. Es una estructura de las proposiciones, y se parte de las proposiciones previas llamadas
premisas, para llegar a otras proposiciones llamadas conclusiones mediante las deducciones lógicas.
PREMISA. Las premisas son las proposiciones que se toman como punto de partida para llegar a extraer
las conclusiones que son proposiciones finales.
CONCLUSIÓN. Es la proposición final que se realizan o se derivan de las proposiciones previas.
ENUNCIADO. Se llama enunciado a toda frase u oración. Algunos enunciados son mandatos,
interrogaciones o expresiones de emoción; otros en cambio son afirmaciones o negaciones que tienen la
característica de ser verdadero o falso. Ejemplos:
- ¿Qué hora es?
- ¡Apúrate!
- Prohibido hacer bulla.
- Dos más tres es igual a cinco.
- Todas las gallinas son aves.
- París es la capital de Francia.
ENUNCIADO ABIERTO. Son expresiones que contienen “variables” y que no tienen la propiedad de ser
verdaderos o falsos. También se les conoce con el nombre de función proposicional. Ejemplo:
“x < 5” Es un enunciado abierto (o función proposicional) porque no podemos afirmar si es V o
F; sólo cuando “x” toma un valor numérico se hace V o F.
Así tendremos:
*x=3
3 < 5……….. (V)
*x=9
9 < 5………... (F)
PROPOSICIÓN. Es todo enunciado que tiene la cualidad de ser verdadero o ser falso pero nunca puede
ser verdadero y falso a la vez.
Notación. Una proposición se representa simbólicamente por letras minúsculas tales como: p, q, r, s, etc.
Llamadas variables proposicionales. Ejemplos:
p: dos más tres es igual a cinco.
(V)
q: cuatro y diez son múltiplos de dos. (V)
r: ocho es menor que tres. (F)
CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES.
A) Proposición Simple. Es la proposición que tiene un sujeto y predicado; también se denomina
proposición elemental o atómica; se expresa afirmativamente. Por lo tanto existen 2 posibilidades de ser
(V) o (F). Ejemplo:
p: nueve es múltiplo de tres.
q: tres es mayor que dos.
r : tres es menor que ocho.
B) Proposición Compuesta. Es la proposición que está formada por dos o más proposiciones simples, o
por la negación de una proposición simple; también recibe el nombre de proposición molecular o
coligativa. Para simbolizarlas, además de las variables proposicionales, se usan los conectivos lógicos u
operadores proposicionales. Ejemplos:
* 9 es mayor que 5 y 5 es mayor que 1.
p
q
Conectivo
* Juan llegó tarde pero rindió el examen.
p
q
Conectivo
CONECTIVOS LÓGICOS. Son símbolos que enlazan proposiciones simples sin formar parte de ellos.
Dichos símbolos también toman el nombre de operadores.
Los conectores lógicos que usaremos son:
 La conjunción (y) : Λ
 La disyunción débil (o) : V
 La condicional (si, entonces) :
 La bicondicional (si y sólo si) : ↔
 La negación (no) : ~
 La disyunción fuerte (o, o) : ∆
PROPOSICIONES Y VALORES DE VERDAD.
a) Una proposición “p” puede ser verdadera o falsa: p
V
F
b) Si se trata de dos proposiciones, cada uno por separado puede ser verdadera o falsa.
p q
V V
F F
Pero si las relacionamos tendremos lo siguiente:
* Si “p” es V, entonces “q” puede ser V o F; esto da lugar a dos filas de arreglos:
p q
V V
V F
* Si “p” es F, entonces “q” puede ser V o F; esto da lugar a dos filas de arreglos, más:
p q
V V
V F
F V
F F
Con lo cual se completa todas las posibilidades de ocurrencia de los valores de verdad cuando se
relacionan las proposiciones p y q por medio de un conectivo u operador proposicional.
El análisis realizado se puede representar en un diagrama del árbol.
p
V
q
V = VV
F = VF
F
V = FV
F = FF
c) Cuando se trata de tres proposiciones podemos utilizar el diagrama del árbol para obtener todas las
posibilidades de ocurrencia, como se observa:
p
q
V
V
F
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS.
LA CONJUNCIÓN. Es la proposición compuesta formada por dos proposiciones simples unidas por la
“y” cuyo símbolo es “Λ” o “·”. Se simboliza por:
“p Λ q”: se lee p y q. Ejemplo:
* 18 es un número y 71 es un número impar.
p
q
pΛq
* Ricardo y Luis son médicos.
La proposición compuesta se puede expresar así:
Ricardo es médico y Luis es médico.
p
q
pΛq
Tabla de valores de verdad de la Conjunción.
Fórmula: 2n, donde n = número de proposiciones.
P
q
pΛq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Conclusión: La conjunción es verdadera cuando las componentes son verdaderas; en los demás casos es
falsa. Ejemplo:
17 es un número primo y 5 es menor que 12
V
V
V
NOTA. Las palabras: pero, además, aunque, sin embargo, a la vez, no obstante, sino, mas, aún cuando,
también, igualmente, tanto… como….,a pesar de, a menos que, etc. Ejemplo:
Los perros son cuadrúpedos, también mamíferos.
p: los perros son cuadrúpedos
pΛq
q. los perros son mamíferos
LA DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA. Es la proposición compuesta formada por dos proposiciones
simples unidas por la “o” cuyo símbolo es “v”. Se simboliza por:
p v q: se lee “p o q”
Ejemplo:
Yesy canta o baila.
p
q
pvq
Tabla de valores de verdad de la Disyunción Débil o Inclusiva.
P
q
pvq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Conclusión: La disyunción débil es falsa cuando las dos componentes son falsas; en los demás casos es
verdadera. Además si ambas componentes son verdaderas, la disyunción débil es verdadera, por esto se
llama disyunción inclusiva.
DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA. Es la proposición compuesta formada por dos proposiciones
simples unidas por “O…. o….” cuyo símbolo es “∆”, también o ≡. Se simboliza por:
p ∆ q: se lee: “O… o…”; “O bien… o bien”
Ejemplo:
O 29 es un número primo o es un número compuesto.
Simbolización:
29 es un número primo:
p
29 es un número compuesto:
q
p∆q
Tabla de valores de verdad de la Disyunción Fuerte o Exclusiva.
P
q
p∆q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Conclusión: La disyunción fuerte es verdadera cuando sólo una de las componentes es verdadera; en los
demás casos es falsa. Además si ambas componentes son verdaderas, la disyunción fuerte es falsa, por
esto se llama disyunción exclusiva.
EL CONDICIONAL. Es la relación de dos proposiciones mediante el conectivo:
“Si………, entonces……….”
p
q
cuyo símbolo es: “→” o “ ”.
L a proposición “p” se llama antecedente (hipótesis) y la proposición “q” se llama consecuente
(conclusión). Ejemplo:
* Si ahorro mucho dinero, entonces podré comprarme un auto.
Simbolización:
Ahorro mucho dinero:
p
p→q
Podré comprarme un auto: q
* Si 2 x 3 = 5, entonces 16 + 4 = 20
Simbolización:
2 x 3 = 5:
p
p→q
16 + 4 = 20:
q
NOTA.
a) Otras formas de presentarse son: p por consiguiente q, p luego q, p de manera que q, p de ahí
que q, etc.
b) También son expresiones condicionales “ya que”, “puesto que”, “porque”, “si”, “siempre que”,
“en vista de que”, etc.
Después de cada uno de ellos se ubica el antecedente. Ejemplos:
* Pedro será el ganador si se prepara bien
Simbolización:
Pedro será el ganador: p
Pedro se prepara bien: q
Pedro será el ganador si se prepara bien
Consecuente
antecedente
q→p
* 5700 es divisible por 4 puesto que termina en dos ceros.
q→p
* 426 es divisible por 3 por que la suma de sus cifras es múltiplo de 3. q → p
Tabla de Valores de Verdad del Condicional.
P
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Conclusión: El condicional es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en los
demás casos es verdadero.
EL BICONDICIONAL. Cuando dos proposiciones están unidas por el conectivo “Si y sólo si” que se
simboliza por: ↔ o ≡. Ejemplos:
* m2 = 4 si y sólo si m = 2 ó m = -2: p ↔ q
p
q
* x2 < 9 si y sólo si -3 < x < 3:
p
q
p↔q
Tabla de Valores de Verdad del Bicondicional.
P
q
p↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Conclusión: El bicondicional es verdadero cuando las dos componentes tienen igual valor de verdad; en
los demás casos es falsa.
LA NEGACIÓN. Dada una proposición “p”, la negación de “p” es otra proposición que se denota por
“~p” y se lee: “no p” o “no es cierto que p”.
La negación (no), cumple la función de negar una afirmación y de afirmar una negación.
Su tabla de verdad es:
P
~q
V
F
F
V
Observación: Cuando se niega a una proposición compuesta se niega al operador de mayor jerarquía en
dicha proposición. Ejemplos:
* “No es el caso que los perros ladren y muerdan”
Tenemos:
p: los perros ladran
~ (p Λ q)
q: los perros muerden
* Es falso que si una bicicleta es de marca no es barata:
~ (p →~ q)
ESQUEMAS MOLECULARES

LA EQUIVALENCIA: Dos fórmulas (esquemas moleculares) A y B son equivalentes cuando
unidos por el bicondicional “↔” el resultado es una tautología.

LA IMPLICACIÓN: Una fórmula “A” implica a “B”, cuando unidos por el condicional “→”,
siendo “A” antecedente y “B” consecuente, el resultado es una tautología.

Un esquema molecular es TAUTOLÓGICO cuando los valores de su operador principal, son
todos verdaderos.

Un esquema molecular es CONTRADICTORIO cuando el resultado de su operador principal,
todos los valores son falsos.

Un es esquema molecular es CONSISTENTE cuando en su resultado hay por lo menos una
verdad y una falsedad.
EJERCICIOS.
Evaluar los esquemas siguientes:
1. [p Λ (p → q)] → p
2. ~ (p v q) Λ q
3. (p → q) Λ q
4. (~ p Λ q) → (~ p v q)
5. (p Λ ~ q) ↔ (~ p v q)
6. ~ (~ p v ~ q) ∆ (q v ~ p)
7. [~ (p ↔ q) Λ r] → [~ q v ~ r]
8. Dados los esquemas: A = (~ p Λ q) v ~ r y B = ~ p ↔ (q v ~ r). ¿El esquema “A” implica al esquema
“B”?
9. Dados los esquemas: C = (p ↔ ~ q) Λ r y
D = (p ∆ q) v (~ p Λ r). ¿El esquema “C” implica al esquema “D”?
10. Dados los esquemas: A = (~p → ~ q) Λ ~ r y B = ~ r Λ (p v ~ q). ¿El esquema “A” es equivalente al
esquema “B”?
11. Dados los esquemas: C = (p ∆ ~ q) → ~ r y D = ~ p v (r → q). ¿El esquema “C” es equivalente al
esquema “D”?
LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL
En el cálculo o análisis proposicional se utilizan ciertas leyes lógicas o tautológicas que veremos a
continuación.
INVOLUCIÓN (Doble negación)
~ (~ p) ≡ p
IDEMPOTENCIA
pΛp≡p
pvp≡p
CONMUTATIVA
pΛq≡qΛp
pvq≡qvp
p↔q≡q↔p
ASOCIATIVA
p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) Λ r
p v (q v r) ≡ (p v q) v r
p ↔ (q ↔ r) ≡ (p ↔ q) ↔ r
DISTRIBUTIVA
p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) v (p Λ r)
p v (q Λ r) ≡ (p v q) Λ (p v r)
p → (q Λ r) ≡ (p → q) Λ (p → r)
p → (q v r) ≡ (p → q) v (p → r)
DE DE-MORGAN
~ (p Λ q) ≡ ~ p v ~ q
~ (p v q) ≡ ~ p Λ ~ q
ABSORCIÓN
p Λ (p v q) ≡ p
p v (p Λ q) ≡ p
DEL CONDICIONAL
p→q≡~pvq
~ (p → q) ≡ p Λ ~ q
p→q≡~q→~p
DEL BICONDICIONAL
p ↔ q ≡ (p → q) Λ (q → p)
p ↔ q ≡ (p Λ q) v (~ p Λ ~ q)
p ↔ q ≡ ~ (p ∆ q)
LEYES LÓGICAS ADICIONALES
~ p v q ≡ ~ p v (p Λ q)
~ p Λ q ≡ ~ p Λ (p v q)
p ∆ q ≡ (p Λ ~ q) v (q Λ ~ p)
p ∆ q ≡ (p v q) Λ ~ (p Λ q)
pΛF≡F
pΛV≡p
p Λ (~ p) ≡ F
pvF≡p
pvV≡V
p v (~ p) ≡ V
p Λ (~ p v q) ≡ p Λ q
p v (~ p Λ q) ≡ p v q
“EL TRABAJO Y LA PERSEVERANCIA SON LOS OJOS DEL ÉXITO….”