Álgebra Booleana

Sistemas Digitales
Álgebra Booleana
Álgebra Booleana
Mario Medina C.
[email protected]
Definiciones
Álgebra de Boole: estructura algebraica
definida sobre un conjunto de elementos
ß={0,1} y un conjunto de operadores (+, ●,’)
 Variables: Símbolos que pueden tomar
alguno de los valores lógicos permitidos (0,1)
 Constantes: Toman un valor específico (0,1)
invariante en el tiempo

Definiciones

Literal: ocurrencia de una variable o su
complemento


Definiciones
Postulados y axiomas
 Lemas y teoremas
 Referencias a otras álgebras


Definiciones
Complemento: el complemento de una
variable A, denotado por Ā o A’, corresponde
al valor inverso de ésta
 Expresión de conmutación: expresión
algebraica compuesta por una combinación
de variables y constantes booleanas
relacionadas por los operadores (+, ●, ‘ )

Definiciones

Precedencia de operadores
 El operador ‘ tiene precedencia sobre ●, el cual
a su vez tiene precedencia sobre +
Ejemplo: A + A’B tiene 2 variables y 3 literales
Equivalencia: dos expresiones son
equivalentes si y sólo si una de ellas vale 1
cuando la otra vale 1, y vale 0 cuando la otra
vale 0, para todos los posibles valores de las
variables involucradas
© 2014 Mario Medina

Complemento de una expresión

Dos expresiones son complementarias sólo si
una de ellas vale 1 cuando la otra vale 0, y vale 0
cuando la otra vale 1, para todos los posibles
valores de las variables involucradas
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Sistemas Digitales
Complemento de una
expresión

Para obtener el complemento de una
expresión se debe




Los postulados del álgebra binaria se
presentan en pares


Al demostrar una expresión, se puede dar por
demostrada su dual
Axiomas del álgebra binaria

Postulado 1: Elementos de ß están sujetos a
una relación de equivalencia =, tal que







A=A (propiedad reflexiva)
Si A=B entonces B=A (propiedad de simetría)
Si A=B y B=C entonces A=C (propiedad
transmutativa)
Si A=B entonces B puede reemplazar a A sin
afectar la validez de una expresión (propiedad
de sustitución)
© 2014 Mario Medina
cambiar los operadores + por ● y viceversa
cambiar las constantes 0 por 1 y viceversa
pero no complementar los literales
Ejemplo

El dual de F = X + Y’Z es FD = X(Y’+ Z)
Axiomas del álgebra binaria

También llamados Postulados de Huntington

Uno es el dual del otro
Cada teorema del álgebra booleana tiene su
expresión dual que también es válida

Para obtener el dual de una expresión se
deben

El complemento de F = X + Y’Z es F’= X’(Y + Z’)
Postulados duales


Cambiar los operadores + por ● y viceversa
Cambiar las constantes 0 por 1 y viceversa
Complementar cada literal
Ejemplo

Dual de una expresión

Axioma: Propiedad que se asume verdadera sin
necesidad de probarse
Lema: Proposición que sirve de guía
Postulado 0: Existe un conjunto ß que tiene
al menos 2 elementos A, B tal que A≠B
 Sobre éstos, se definen las operaciones + y ●

Axiomas del álgebra binaria

Postulado 2: Se definen los siguientes
operadores (suma lógica y producto lógico)
que operan sobre los elementos del conjunto
ß y generan un resultado que también
pertenece a ß

ß es cerrado con respecto a los operadores
A
B
Unión (+)
Intersección (●)
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
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Sistemas Digitales
Axiomas del álgebra binaria

Postulado 3: Se define la existencia de
elementos identidad para todo a є ß como



Elemento nulo
:
Elemento idéntico:


Lema 1. Los elementos
0 y 1 son únicos
Lema 2. Para todo a є ß
se tiene (Ley de
idempotencia)



Lema 3.
Complementación



a+a=a
a●a=a
a+1=1
a●0=0
Lema 4. Los elementos 0 y
1 son distintos, y se
cumple que

a + ab = a
a ● (a + b) = a
Teorema 2. Propiedad asociativa: para todo a,
b, c є ß


a + a’ = 1
a ● a’ = 0
Lemas del álgebra binaria
Lema 5. El complemento ā del elemento a є ß
es único.
 Lema 6. Ley de involución. Para todo a є ß se
tiene


(a’)’ = a
1’ = 0
0’ = 1
Teorema 1. Propiedad de absorción: para
todo a, b є ß

a + (b ● c) = (a + b) ●(a + c)
a ● (b + c) = (a ● b) + (a ● c)
Postulado 6: Complementación.

Teoremas del álgebra binaria






Postulado 5: Distributividad. Para cualquier
conjunto de elementos a, b, c є ß se cumple

a+b=b+a
a●b=b●a
Lemas del álgebra binaria


a+0=a
a ● 1= a
Postulado 4: Conmutatividad. Para cualquier
par de elementos a, b є ß se cumple

Axiomas del álgebra binaria
Teoremas del álgebra binaria

Teorema 3. Propiedad de absorción
generalizada: para todo a, b, c є ß


a ● [(a + b) + c] = [(a + b) + c] ● a = a
Teorema 4. para todo a, b є ß


a + āb = a + b
a ● (ā + b) = ab
(a + b) + c = a + (b + c)
(a ● b) ● c = a ● (b ● c)
© 2014 Mario Medina
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Sistemas Digitales
Teoremas del álgebra binaria
Teorema 5. Para todo a, b є ß




ab + ab’ = a
(a + b) ●(a + b’) = a
Teorema 6. Leyes de De Morgan: para todo
a, b є ß



a+b=a●b
a●b=a+b
Generalización
Teoremas del álgebra binaria
 Teorema 7. Teorema del consenso. Para
todo a, b, c є ß



Teorema 8. Propiedad de
transposición: para todo a, b, c є ß

f(X, Y, , Z, 0, 1, , )  f(X, Y, , Z , 1, 0, ,  )
Teoremas del álgebra binaria

Teorema 9. Teorema de expansión de
Shannon.



f(x1, x2, …, xn) = x1 ●f(1, x2, …, xn) + x1’ ●f(0, x2, …, xn)
f(x1, x2, …, xn) = [x1 + f(0, x2, …, xn) ]● [x1’ + f(1, x2, …, xn) ]






Suma: unión de conjuntos ()
Multiplicación: intersección () de conjuntos.
Conjunto vacío Ø: neutro de la unión
Conjunto universo U: neutro de la intersección

La unión y la intersección son conmutativas



Elementos: , 
Operaciones unión (), intersección ()
x1 + f(x1, x2, …, xn) = x1 + f(0, x2, …, xn)
x1● f(x1, x2, …, xn) = x1● f(1, x2, …, xn)
Algebra de conjuntos

Elementos: Verdadero, Falso
Operaciones ^ (AND), v (OR), ~ (NOT)
Álgebra de conjuntos
Para una función f de n variables, se cumple


Lógica proposicional

Teorema 10.

ab + āc = (a + c) ●(ā + b)
Otras álgebras Booleanas
Toda función de n variables se puede escribir como

ab + āc + bc = ab + āc
(a + b) ● (ā + c) ● (b + c) = (a + b) ● (ā + c)
Algebra de conjuntos

Para cualesquiera tres conjuntos A, B, C, se tiene:
A  (B  C) = (A  B)  C y A  (B  C) = (A  B)  C


Para todo A, A U Ø = A y A  U = A.
Para cualquier par de conjuntos A, B se tiene que
AB=BAyAB=BA
La unión de conjuntos es distributiva sobre la
intersección, y la intersección es distributiva sobre
la unión
 Para cualesquiera tres conjuntos A, B, C, se tiene:
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

© 2014 Mario Medina
La unión y la intersección de conjuntos son
asociativas

Existe conjunto complemento Ac tal que
A  Ac = U y A  Ac = Ø
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Sistemas Digitales
Diagramas de Venn

De lo anterior se deducen los diagramas de
Venn
Diagramas de Venn y álgebra
de conjuntos

Usando diagramas de Venn, se ilustra la propiedad
de distributividad de la unión sobre la intersección
Diagramas de Venn y álgebra
de conjuntos

A continuación se muestra el conjunto A y su
complemento Ac
Diagramas de Venn
4 variables
c

7 variables
d
b
a
Un poco de humor
Relación entre álgebra Booleana y
lógica proposicional

Estudiada por Claude
Shannon en su tesis de
Master en el M.I.T. (1937)


© 2014 Mario Medina
Conceptos básicos del
diseño electrónico digital
“Tesis de master más
famosa del siglo”
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