1.2 PRUEBA DE HIPÓTESIS EN LA REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

1.2 PRUEBA DE HIPÓTESIS EN LA REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
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1.2 PRUEBADEPARTAMENTO
DE HIPÓTESIS EN LA REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
1.2 PRUEBA DE HIPÓTESIS EN LA REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Para probar hipótesis acerca de la pendiente y la ordenada en el origen del modelo de regresión, debe hacerse la suposición adicional de que
termino del error εi esta normalmente distribuido. Por lo tanto, se supone que los errores εi son NID (0,σ2). Después se pueden probar es
suposiciones mediante el análisis de residuos.
Supongamos que el experimentador desea probar la hipótesis de que la pendiente es igual a un cierto valor, por ejemplo β1,0. Las hipóte
apropiadas son:
(1-22)
En donde se ha especificado la hipótesis alterna de dos extremos. Ahora bien, como las εi son NID(0,σ2) se concluye que las yi son NID(β0 + β
σ2). Por lo tanto,
es una combinación lineal de variables aleatorias independientes normalmente distribuidas. En consecuencia,
σ2/Sxx). Además
es independiente de MSE. Entonces, como resultado de la suposición de normalidad, la estadística:
es N(
(1-23)
Tiene una distribución t con n – 2 grados de libertad si H0: β1 = β1,0 es verdadera. Se rechaza H0:β1 = β1,0 si:
(1-24)
En donde t0 se calcula usando la Ecuación (1-23).
Puede utilizarse un procedimiento similar para probar hipótesis acerca de la ordenada en el origen. Para probar:
H0: β0 = β0,0
H1: β0 ≠ β0,0 (1-25)
Se usa el estadístico:
(1-26)
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Y se rechaza la hipótesis nula si
.
Un caso especial muy importante de la hipótesis (1-22) es:
H0: β1 = 0
H1: β1 ≠ 0 (1-27)
Esta hipótesis se relaciona con la significación de la regresión. No rechazar H0: β1 = 0 equivale a concluir que no existe una relación lineal entre
y. En otras palabras, el mejor estimador de yi para cualquier valor de xj es ŷj =
. En muchos casos esto puede indicar que no hay una relac
causal entre x y y, o que la relación real no es lineal. El procedimiento para probar H0β1 = 0 se puede deducir usando dos enfoques. El prim
consiste en descomponer la suma total de cuadrados corregida de y:
(1-28)
Los dos componentes de Syy miden, respectivamente, la variabilidad de yi explicada por la recta de regresión y la variación residual, no explica
por la recta de regresión.
se conoce como la suma de cuadrados del error o residual y
denomina suma de cuadrados de regresión. Por lo tanto, la Ecuación (1-28) se transforma en:
Syy = SSR + SSE (1-29)
De la Ecuación
se obtiene que la fórmula para calcular SSR es:
(1-30)
Tabla 1-2 Análisis de variancia para probar la significancia de la regresión
Grados de
Media de
Libertad
Cuadrados
Regresión
1
MSR
MSR/MSE
Error o residual
n–2
MSE
n – 1
Fuente de
Suma de cuadrados
Variación
Total
Syy
F0
Syy tiene n – 1 grados de liberta, y SSR y SSE tienen, respectivamente 1 y n – 2 grados de libertad.
Es posible mostrar que
, que
, y que SSE y SSR son independientes. Por lo tanto, si H0β1
es verdadera, la estadística
Tiene una distribución
y se rechaza H0 si F0 >
(1-31)
. Usualmente el procedimiento para realizar la prueba se acomoda en una tabla
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análisis de variancia, tal como aparece en la Tabla 1-2.
La prueba de significancia de la regresión también puede deducirse a partir de la Ecuación 1-23 con β1,0 = 0, es decir:
(1-32)
Elevando al cuadrado esta ecuación se obtiene:
Nótese que
(1-33)
en la Ecuación 1-33 es igual a F0 en la Ecuación 1-31. En general, el cuadrado de una variable aleatoria t con f grados de liber
tiene una distribución F con 1, y f grados de libertad en el numerador y denominador, respectivamente. Por lo tanto, la prueba usando t0 equiva
la prueba basada en F0.
Ejemplo 1-2:
Se prueba la significancia de la regresión del Ejemplo 1-1. El modelo ajustado es ŷi = - 0.2879 + 0.4566x y Syy se calcula con:
La suma de cuadrados de regresión es:
Tabla 1-3 Análisis de variancia para el Ejemplo 1-2
Fuente de
Suma de cuadrados Grados de Libertad
Variación
Media de
Cuadrados
F0
Regresión
119.26
1
119.26
140.80
Error
8.47
10
0.847
Total
127.73
11
Por lo tanto, la suma de cuadrados del error es:
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El análisis de variancia para probar H0:β1 = 0 se presenta en la Tabla 1-3. Puesto que F.01,1,10 = 10.0, se rechaza H0 y se concluye que β1 ≠
Nótese que la media de cuadrados del error de la Tabla 1-3 proporciona estimación para σ2 de acuerdo con la Ecuación 1-21.
Análisis de Residuos
Al ajustar cualquier modelo lineal, el análisis de residuos del modelo de regresión es necesario para determinar la idoneidad del ajuste por mínim
cuadrados.
Resulta útil examinar una gráfica de probabilidad normal, una gráfica de los residuos contra los valores ajustados y una gráfica de los residu
contra cada variable de regresión. Además, los residuos deben graficarse contra variables potencialmente importantes que no fueron incluidas en
modelo. Cualquier estructura en dicha gráfica indicaría que el modelo puede mejorarse agregando este factor.
En la Fig. 1-2 se muestra una gráfica de probabilidad normal de los residuos del modelo de regresión lineal simple del Ejemplo 1-1. Esta gráfica
indica alguna violación seria a la suposición de normalidad. En las Figs. 1-3 y 1-4 aparecen las gráficas de los residuos contra los valores ajustad
ŷj y contra los niveles de la variable de regresión, rapidez de mezclado xj, respectivamente.
Estás gráficas no revelan mayor dificultad, por lo que se concluye que el modelo de regresión lineal simple es adecuado para ajustar los datos de
impureza de la pintura.
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Figura 1-2. Gráfica de probabilidad normal para los residuos del Ejemplo 1-1.
Figura 1-3. Gráfica de los residuos contra ŷj para el Ejemplo 1-1.
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Figura 1-4. Gráfica de los residuos contra xj para el Ejemplo 1-1
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