Sistemática de Enunciados Indiferentes

SISTEMATICA DE ENUNCIADOS INDIFERENTES
CLAUDIO
GL;T1ÉRREZ
CARRAXZA
Llamaremos
"enunciados
indiferentes"
a los esquemas del Cálculo de
proposiciones que no son ni tautologías ni contradicciones.
Todas las verdades
ontológicas, como las leyes de las ciencias empírica',
son expresables por medio
de este tipo de enunciados.
El principal problema que presenta el estudio de los enunciados indiferentes es su gran número; así, hay doscientos cincuenta y cuatro enunciados
indiferentes no equivalentes entre sí construidos con tres argumentos
variable ,
por UllO solo tautológico o contradictorio;
con cuatro variables. hay sesenta y
cinco mil quinientos treinta y cuatro enunciados indiferentes,
por uno no indiferente: con cinco variables. cuatro mil doscientos noventa v cuatro millones
novecientos sesenta y siete mil doscientos noventa y cuatro enunciados indiferentes. por uno no indiferente.
Estos datos corresponden.
desde luego, al campo
de los "enunciados
normales perfectos", pues las leyes de interdefinibilidacl
y
la posibilidad de repetir una misma variable o una parte bien formada de la
fórmula convierten el número de enunciados indiferentes
con cada número cle
variables en infinito.
La razón de ser de esta ponencia es tratar de hacer manejable al Lógico,
sobre tocIo al Lógico de la aplicación. el conjunto de los enunciados indiferente';
la conveniencia de ello es obvia. tanto para la investigación
pura C01110 para el
trabajo de formalización
y axiomatización
de leyes ernpi ricas.
Tomaremos C01110 base el concepto de enunciado normal perfecto
que
definiremos
así: conjunto finito de fórmulas
proposicionales
todas distinta,
unidas por alguna clase de conectiva binaria asociativa no dual de su negación,
cada una cle las cuales fórmulas siendo a su vez un conjunto de variables argumentales distintas entre sí. las mismas en cada una de las fórmula". afirmaclas
o negadas. conectadas por la clase de conectiva dual de la conectiva principal;
considerándose
"el" el mismo enunciado dos enunciados que difieran entre sí
únicamente por la colocación de las variables argumentales dentro de las Fórmulas
menores o por la colocación de las fórmulas menores dentro de la fórmula total.
Por conveniencia, se preferirá la siguiente ordenación:
para las variables argumentales, la determinada
por el orden alfabético : para la.' fórmulas menore ,
la marcada por el siguiente criterio: sea posterior la fórmula que contenga la
negación de la variable, en el primer par de opuestos que aparezca al comparar
las fórmulas, variahle por variable, en el orden alfabético de las variables (2).
e)
(l)
Alonso
Church,
Introduction
to Mathemat¡cal
Logic, problema
24.9 .
• (~) Confróntese
similitudes y diferencias
de este concepto con el de "forma distinguida" de Hilbert y Ackerrnann,
Principies of Mathematicat Logtc, lQ 7 .
•
-
SeGUNDO
CONGRESO_.
114
SEGUNDO
CONGRESO
EXTRAORDINARIO
INTERAMERICANO
DE FILOSOFIA
La do conectivas involucradas
en nue tra definición son: disyunción y
conjunción:
dada la generalidad con que planteamos la definición del enunciado
normal perfecto, usaremos para repre entarJo conectiva
variables; convengamos
en representar la conectiva mayor por yuxtaposición de fórmulas entre paréntesis;
la conectiva menor, por simple yuxtapo ición de letras argumentale
; a Í:
(pqr)
(pq-r)
(p-qr)
(p-q-r)
(-pqr)
(-pq-r)
(-p-qr)
(-p-q-r)
Sería un enunciado normal perfecto con conectiva variables, dual la mayor
de la menor; tal enunciado representaría
a dos enunciados normales perfectos
con conectivas constante,
uno de lo cuale
enunciados
sería tautológico
y
uno contradictorio
(tal virtud es evidente si consideramo
que en el enunciado
que e copió e expre an toda la posibilidade
de di tribución de la afirmación
y la negación entre las variable
argumentales).
Si en el enunciado normal perfecto que se copió, que es un enunciado
normal perfecto no indiferente
(el único posible con tres variables)
fuéramos
suprimiendo alternativamente
distintos miembros regidos por la conectiva mayor,
obtendriamo
todo los casos de enunciad
normales perfectos indiferentes que
son posibles de construcción
usando tre
variable
argumentales : todos ellos
serían enunciado
formalmente
di tinto entre sí, aunque por vía de sustitución
algunos pudieran tomarse como materialmente
equivalentes
(por ejemplo "pqr"
y "p-q-r·').
De esta situación podemos recoger un criterio taxonórnico de gran
efectividad para la ordenación de los enunciado
indiferentes.
Definiremos así una erie ordenada de esquemas normales perfectos: conj unto de distintos e quemas normales perfecto' en el cual e posterior el enunciado
indiferente
al no indiferente, y entre dos enunciado
indiferente'
es posterior
aquél en que aparezca primero una di paridad con el enunciado no indiferente.
comparadas
las dos fórmulas miembro por miembro de la conectiva mayor, en
el orden del enunciado no indiferente.
Asi:
(pq-r)
(p-q-r)
Es anterior
(pq-r)
(-pq-r).
a:
(-p-qr)
(-p-q-r).
Hemos creído COllY niente prov er a la serie de un si tema de numeración
que permita identificar COIl una ola ojeada el lugar que a cada enunciado le
corresponde
en la misma. Elegimos C01110 cifras únicas de nuestro sistema de
numeración los guarismos "1", "2", "3", "4". Tomando como base los enunciados
de una sola variable argumental,
llamaremos
"1" al enunciado no indiferente
"(p)
(-p)";
"2", al enunciado resultante de la omisión del segundo miembro
del enunciado no indiferente o sea a "(p)";
"3", al enunciado re ultante de la
omisión del primer miembro del enunciado no indiferente o sea a "( -p)"; "4",
a lo que resulta de la omisión de los dos miembros del enunciado no indiferente
o ea a ningún enunciado.
Si se tratare de un enunciado disyuntivo normal perfecto, "1" denominaría a la tautología, la ontradiccié n no pudiendo repre entar e;
i e tratare de un enunciado conjuntiva normal perfecto, "1" denotaría la contradicción y la tautología no podría ser repre entada. Al pa ar a enunciados con
do variable,
el enunciado no indifer nte llega a er "(pq) (p-q) (-pq) (-p-q)";
22 - 26 JULIO
1961 -
11!i
SAN JOSE - COSTA RICA
'para denominarle usaremos un número de dos cifras, "11", que indicará que la
=primera pareja de miembros aparece sin omisiones y que la segunda aparece también sin omisiones; el número "32", por ejemplo, indicará al enunciado "(p-q)
-pq)", por omitirse el primer enunciado de la primera pareja y el segundo de
"Ia segunda; el número" 14", al enunciado" (pq) (p-q)", por no haber omisión
-en la primera pareja y haber omisión total de la segunda; el número "44", finalmente, nQ representaría nada, por ser el número destinado al enunciado no indi:ferente opuesto a "11", el cual enunciado precisamente no puede representarse.
En el caso de tres variables, "1111" será el número del enunciado no indiferente
representable ; "4444", el del irrepresentable;
todas las demás combinaciones de
uatro cifras representarán
a los enunciados indiferentes.
Dado el anterior sistema de numeración, hay algunas relaciones entre
.enunciados indiferentes que quedan señaladas directamente por sus números; a
saber : la negación, la dualidad, y la contradualidacl.
La negación queda iden-tilicada por esta regla:
Traníórmese
"1" en "4", "2" en "3", "3" en "2", y "4" en "1".
La dualidad queda identificada
Tranfórmese
"1" en "4" y "4" en "1" e inviértase
La contradualidad
Transfórme
por esta regla:
queda
identificada
el orden.
por esta regla:
e "2" en "3" y "3" en "2" e inviértase
el orden.
A i, "4413" es negación de "1142", dual de "3411", contradual
de "2144".
Como apéndice de esta comunicación se da una lista completa de los enun.ciados indiferentes hasta de tres variables, de una vez con indicación concreta
-de estas relaciones.
Los enunciados normales perfectos pueden ser simplificados,
es decir,
fran formados en otros enunciados, también normales (usan las mismas conec'1:ivas) pero más breves; al enunciado normal equivalente a un enunciado normal
perfecto que no admita simplificación ulterior lo llamaremos enunciado normal
.&..
mental; algunas veces, desde luego, el enunciado normal elemental será idéntico
-al enunciado normal perfecto si es el caso de que este último no pueda simplifi-earse , A continuación se expone la lista de equivalencias que hacen posible la
reducción de todo enunciado normal perfecto de hasta de tres variables a enunciado
ermal elemental; todas e a equivalencias son demostrables partiendo cle la que
• en segundo lugar que Hlilbert llama "regla de eliminación":
(pq)
(p)
equivale a
(p)
(pq)
(p-q)
equivale a
(p)
(p-q)
(q)
equivale a
(p)
equivale a
(pr)
(q-r)
equivale a
(pr)
(p-q)
equivale a
(p)
equivale a
(p-q)
(rq)
{pqr)
(pq)
(p-q)
(pr)
(q-r)
(p-q)
(pr)
(-pq)
(-q-r)
(p-r ) (-pr)
(q)
(-q-r)
(-pr)
(q-r)
116
SEGUNDO CONGRESO EXTRAORDINARIO
INTERAMERICANO
DE FILOSOFIA
En el apéndice de esta comunicación la lista de enunciados norrnale
d
hasta tres variables aparecen ya en su forma "elemental", o sea, habiendo
ido
simplificados;
para reconstruir el enunciado perfecto basta atenerse a la' indicaciones dadas por el número del enunciado, teniendo delante el enunciado no indiferente para realizar sobre él las supresiones del caso.
Según se indicó anteriormente,
entre los enunciados indiferentes
que s
pueden construir a partir de un determinado
número de variables argumentales
no hay dos que sean formalmente
equivalentes entre sí; en cambio, mucho' de
ellos son equivalentes de algunos otros materialmente;
así por ejemplo, "p" es
equivalente a "r" ya que con ayuda del principio de sustitución puede convertirse el uno en el otro; también lo son "q" y "-q" por la misma razón. Pareciera
conveniente reducir nuestra lista de enunciados indiferentes a esquemas que no
sean equivalentes entre sí ni aún por medio de esa sustitución de una. variable
argumental
por otra o por su negación; para el lógico de la aplicación, por
ejemplo una tal simplificación sería útil a la hora de hacer "traducciones"
del
lenguaje ordinario al lenguaje form.alizado.
os interesa pues reducir nuestra lista simplificando la serie de enunciados"
en forma parecida a como hemos simplificado cada uno de los enunciados.
Para
este nuevo propósito tendremos que valernos de metaíórrnulas. en donde "A", "B"
"e" . .. estarán por variables argumentales distintas, y en donde, cuando una
variable aparezca más de una vez, " , " indicará que en esa ocurrencia la variable'
aparecerá con un predicado proposicional
(afirmación
o negación)
distinto d
aquél con que aparezca en las ocurrencias en que la variable no 'ea representada.
con ayuda de ese signo. Hecha esta simplificación, la lista de enunciados normales
elementales indiferentes hasta de tres variables se reduce de los doscientos cín-·
cuenta y cuatro incluidos en el apéndice a los veinte siguientes:
(A)
(AB)
(e)
(AB)
(AB)
(Ae)
(A) (B)
(AB)
(A'e)
(AB)
(A Be)
(A'B')
(ABe)
(Al3'C')
(A'B')
(ABe)
(ABe)
(A)
(A'B'C')
(B)
(A'B')
(AB)
(Ae)
(AB)
(A'e)
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Olla
ophi
that
of th
-tions
relati
fram
and
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degre
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(A'B')
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(AB'C')
(Be)
(ABe)
(A'B')
(.'\Be)
(.\J3"C) (.-\'BC)
(B"C')
prima:
the r
(ABe)
(e)
(AB)
(/\13) (A'B')
PHIL<
fm
know
"take
withi
(A'C')
(A'BC')
(A'C')
(B'C')
(. 'B'e)
Exi te la po ibilidad de extender este registro para abarcar enunciados
de cuatro y cinco argumentos proposicionales variables ; ello daría C01110 resultadouna especie de diccionario de enunciados indiferentes no equivalentes entre 'í, que:
puede ser de utilidad en el desarrollo de la lógica aplicada.
reñe
mad
sion
o
Hi'
hic
eflec1