DOMINIO de una función

DOMINIO de una función
Dominio de una función es el conjunto de los números Reales que tienen imagen Real .
Es decir el conjunto de números Reales para los que está definida la función.
Dom f = { x ϵ R / Ǝ f(x) ϵ R }
3
. El valor x= 2
x −2
NO estará en el dominio porque NO existe f(2).
Ejemplo 1: Sea la función
f ( x )=
Dom f = R – {2} = ] – ∞, 2 [ U ] 2 , + ∞[.
Lo que significa que todos los Reales tiene imagen
excepto el 2. En la gráfica de la función habrá una
discontinuidad en x = 2.
CÁLCULO DE DOMINIOS Según el tipo de función:
1. Funciones polinómicas. Dom f = R
Todas las funciones polinómicas están definidas en todo los Reales.
Ejemplo 2: f(x) = 2x + 3 es una Función Polinómica grado1 (Recta) Dom f = R
Ejemplo 3: f(x) = x2 + 5x – 4 es una Función Pol. Grado 2 (Parábola) Dom f = R
Ejemplo 4: f(x) = 4 es una Función Polinómica grado 0 (Función Constante) Dom f = R
Nota: todas estas funciones son contínuas en R.
2. Funciones Racionales: Dom f = R – { valores que anulan al Denominador}
Es decir, Dom f = { x ϵ R / Denominador ≠ 0 }
Para calcular el dominio se resuelve la ecuación “denominador = 0” para saber qué
valores NO pertenecen al dominio de la función.
Ejemplo 5:
f (x ) =
x +2
. Resolviendo la ecuación 3x – 1 = 0; tenemos x= 1/3.
3x−1
Dom f = R – { 1/3 } = ] – ∞, 1/3 [ U ] 1/3 , + ∞[ Será discontínua en x= 1/3.
Ejemplo 6: f ( x ) =
2x
. Resolviendo x2 – 3x – 10 = 0; tenemos x= - 2 y x= 5.
x −3x−10
2
Dom f = R – { -2, 5 } = ] – ∞, -2 [ U ] -2 , 5 [ U ] 5 , + ∞[ .
Tendrá dos discontinuidades en x= - 2 y en x= 5.
Ejemplo 7:
f (x) =
1
. Dom f = R – { 0} = ] – ∞, 0 [ U ] 0 , + ∞[ Discontínua en x=0
x
Nota: Ya ves que para calcular el dominio de las funcciones racionales, tienes que repasar la
resolución de ecuaciones.
3. Las funciones Irracionales: Depende del índice del radical.
Nota: Recuerda que las raíces de índice par con radicando negativo no tienen solución real.
√−4∉R ; √4 −2∉R ; etc. En cambio las de índice impar sí que tienen solución
√3 −27=−3 ∈ R ; √5 −32=−2 ∈ R ; 7√−2 ∈ R ; etc
a) Índice IMPAR. Dom f = Todos los R siempre que el Radicando sea un número real.
Es decir, Dom f = { x ϵ R / Radicando ϵ R }
Ejemplo 8: f (x ) = √3 2x−3 . Puesto que el índice es 3 (impar) y el radicando 2x – 3
siempre toma valores reales, tenemos que Dom f = R.
√
3x
3x
. El índice es 5 (impar) y el radicando
no será real en
x −1
x −1
x = 1 (por anular el denominador) , tenemos que Dom f = R - {1}.
Ejemplo 9: f (x ) = 5
b) Índice PAR. Dom f = Todos los R siempre que el Radicando sea Positivo o Nulo.
Es decir, Dom f = { x ϵ R / Radicando ≥ 0 }
Ejemplo 10: f ( x ) = √ 2x−3 . Puesto que el índice es 2 (par), el radicando 2x – 3 ≥ 0. Se
resuelve la inecuación y resulta x ≥ 3/2 . Tenemos que Dom f = [ 3/2 , + ∞[
√
Ejemplo 11: f ( x ) = 4
3x
. Puesto que el índice par, el radicando
x−1
3x
≥0 .
x −1
Se resuelve la inecuación y resulta Dom f = ] – ∞, 0 ] U ] 1 , + ∞[
Ejemplo 12: f ( x ) = √ 2−x 2 . Puesto que el índice par, el radicando
resuelve la inecuación ( √ 2+x )( √ 2−x )≥0 , x=±√ 2
2
2−x ≥ 0 . Se
Se resuelve la inecuación y resulta Dom f = [ −√ 2 , +√ 2 ]
Nota: Ya ves que para calcular el dominio de las funcciones irracionales, tienes que repasar la
resolución de inecuaciones.
4. Funciones Exponenciales: y = au(x)
Dom f = valores reales en los que el exponente toma valores reales.
Es decir, Dom f = { x ϵ R / u(x) ϵ R }
Ejemplo 13: f (x ) = 3√ x −3 . Ha de cumplir que
Tenemos que Dom f = [ 3 , + ∞[
√ x −3∈R
El radicando x – 3 ≥ 0. .
5. Funciones Logarítmicas: y = loga u(x)
Dom f = { x ϵ R / u(x) > 0 }
Ejemplo 14:
f (x ) = ln
( )
1
1−x 2
. Ha de cumplir que
1
≥ 0 ; Dom f = ] - 1 , 1 [
1−x 2
EJERCICIOS
Calcula el dominio de las siguientes funciones:
a)
y=
1
2x−3
b)
y=
2x−1
x 2−4x
c)
y =√ x −4
Sol. Dom f = [ 4 , + ∞[
d)
y =√ x 2 −4
Sol. Dom f = ] -∞, - 2 ] U [ 2 , + ∞[
e)
y=
√
Sol. Dom f = R – {3/2}
Sol. Dom f = R – {0, 4}
x +1
x +6
Sol. Dom f = ] -∞, - 6 [ U [ -1 , + ∞[
(Nota: Observa que – 6 no está en el dominio porque anula el denominador)
1
x +9
f)
y=
g)
y =√ 4x 2 −25
Sol. Dom f = ] -∞, - 5/2 ] U [ 5/2 , + ∞[
h)
y =√ (x −1)(x +2)
Sol. Dom f = ] -∞, - 2 ] U [ 1 , + ∞[
i)
y=
Sol. Dom f = R
2
2
x
3
2
x +3 x −x −3
1
x
Sol. Dom f = R – {1, -1, -3}
Sol. Dom f = R – {0}
j)
y =e
k)
y =2√ x −1
Sol. Dom f = [ 1 , + ∞[
l)
y =log2 (2x+1)
Sol. Dom f = ]-1/2 , + ∞[
(Nota: Observa que – 1/2 no está en el dominio porque no existe log 2 0 )
m)
y =ln
( )
1
x +1
2
Sol. Dom f = R