DOMINIO de una función Dominio de una función es el conjunto de los números Reales que tienen imagen Real . Es decir el conjunto de números Reales para los que está definida la función. Dom f = { x ϵ R / Ǝ f(x) ϵ R } 3 . El valor x= 2 x −2 NO estará en el dominio porque NO existe f(2). Ejemplo 1: Sea la función f ( x )= Dom f = R – {2} = ] – ∞, 2 [ U ] 2 , + ∞[. Lo que significa que todos los Reales tiene imagen excepto el 2. En la gráfica de la función habrá una discontinuidad en x = 2. CÁLCULO DE DOMINIOS Según el tipo de función: 1. Funciones polinómicas. Dom f = R Todas las funciones polinómicas están definidas en todo los Reales. Ejemplo 2: f(x) = 2x + 3 es una Función Polinómica grado1 (Recta) Dom f = R Ejemplo 3: f(x) = x2 + 5x – 4 es una Función Pol. Grado 2 (Parábola) Dom f = R Ejemplo 4: f(x) = 4 es una Función Polinómica grado 0 (Función Constante) Dom f = R Nota: todas estas funciones son contínuas en R. 2. Funciones Racionales: Dom f = R – { valores que anulan al Denominador} Es decir, Dom f = { x ϵ R / Denominador ≠ 0 } Para calcular el dominio se resuelve la ecuación “denominador = 0” para saber qué valores NO pertenecen al dominio de la función. Ejemplo 5: f (x ) = x +2 . Resolviendo la ecuación 3x – 1 = 0; tenemos x= 1/3. 3x−1 Dom f = R – { 1/3 } = ] – ∞, 1/3 [ U ] 1/3 , + ∞[ Será discontínua en x= 1/3. Ejemplo 6: f ( x ) = 2x . Resolviendo x2 – 3x – 10 = 0; tenemos x= - 2 y x= 5. x −3x−10 2 Dom f = R – { -2, 5 } = ] – ∞, -2 [ U ] -2 , 5 [ U ] 5 , + ∞[ . Tendrá dos discontinuidades en x= - 2 y en x= 5. Ejemplo 7: f (x) = 1 . Dom f = R – { 0} = ] – ∞, 0 [ U ] 0 , + ∞[ Discontínua en x=0 x Nota: Ya ves que para calcular el dominio de las funcciones racionales, tienes que repasar la resolución de ecuaciones. 3. Las funciones Irracionales: Depende del índice del radical. Nota: Recuerda que las raíces de índice par con radicando negativo no tienen solución real. √−4∉R ; √4 −2∉R ; etc. En cambio las de índice impar sí que tienen solución √3 −27=−3 ∈ R ; √5 −32=−2 ∈ R ; 7√−2 ∈ R ; etc a) Índice IMPAR. Dom f = Todos los R siempre que el Radicando sea un número real. Es decir, Dom f = { x ϵ R / Radicando ϵ R } Ejemplo 8: f (x ) = √3 2x−3 . Puesto que el índice es 3 (impar) y el radicando 2x – 3 siempre toma valores reales, tenemos que Dom f = R. √ 3x 3x . El índice es 5 (impar) y el radicando no será real en x −1 x −1 x = 1 (por anular el denominador) , tenemos que Dom f = R - {1}. Ejemplo 9: f (x ) = 5 b) Índice PAR. Dom f = Todos los R siempre que el Radicando sea Positivo o Nulo. Es decir, Dom f = { x ϵ R / Radicando ≥ 0 } Ejemplo 10: f ( x ) = √ 2x−3 . Puesto que el índice es 2 (par), el radicando 2x – 3 ≥ 0. Se resuelve la inecuación y resulta x ≥ 3/2 . Tenemos que Dom f = [ 3/2 , + ∞[ √ Ejemplo 11: f ( x ) = 4 3x . Puesto que el índice par, el radicando x−1 3x ≥0 . x −1 Se resuelve la inecuación y resulta Dom f = ] – ∞, 0 ] U ] 1 , + ∞[ Ejemplo 12: f ( x ) = √ 2−x 2 . Puesto que el índice par, el radicando resuelve la inecuación ( √ 2+x )( √ 2−x )≥0 , x=±√ 2 2 2−x ≥ 0 . Se Se resuelve la inecuación y resulta Dom f = [ −√ 2 , +√ 2 ] Nota: Ya ves que para calcular el dominio de las funcciones irracionales, tienes que repasar la resolución de inecuaciones. 4. Funciones Exponenciales: y = au(x) Dom f = valores reales en los que el exponente toma valores reales. Es decir, Dom f = { x ϵ R / u(x) ϵ R } Ejemplo 13: f (x ) = 3√ x −3 . Ha de cumplir que Tenemos que Dom f = [ 3 , + ∞[ √ x −3∈R El radicando x – 3 ≥ 0. . 5. Funciones Logarítmicas: y = loga u(x) Dom f = { x ϵ R / u(x) > 0 } Ejemplo 14: f (x ) = ln ( ) 1 1−x 2 . Ha de cumplir que 1 ≥ 0 ; Dom f = ] - 1 , 1 [ 1−x 2 EJERCICIOS Calcula el dominio de las siguientes funciones: a) y= 1 2x−3 b) y= 2x−1 x 2−4x c) y =√ x −4 Sol. Dom f = [ 4 , + ∞[ d) y =√ x 2 −4 Sol. Dom f = ] -∞, - 2 ] U [ 2 , + ∞[ e) y= √ Sol. Dom f = R – {3/2} Sol. Dom f = R – {0, 4} x +1 x +6 Sol. Dom f = ] -∞, - 6 [ U [ -1 , + ∞[ (Nota: Observa que – 6 no está en el dominio porque anula el denominador) 1 x +9 f) y= g) y =√ 4x 2 −25 Sol. Dom f = ] -∞, - 5/2 ] U [ 5/2 , + ∞[ h) y =√ (x −1)(x +2) Sol. Dom f = ] -∞, - 2 ] U [ 1 , + ∞[ i) y= Sol. Dom f = R 2 2 x 3 2 x +3 x −x −3 1 x Sol. Dom f = R – {1, -1, -3} Sol. Dom f = R – {0} j) y =e k) y =2√ x −1 Sol. Dom f = [ 1 , + ∞[ l) y =log2 (2x+1) Sol. Dom f = ]-1/2 , + ∞[ (Nota: Observa que – 1/2 no está en el dominio porque no existe log 2 0 ) m) y =ln ( ) 1 x +1 2 Sol. Dom f = R