83 C A P Í T I L O III SOLUCIONES SINGULAÍÍES, ECUACIONES DE PRIl-IER OIÍDEN Y G.?ADO SUPERIOR"^AL SRIMERO. ECUACIÓN DE CLAIRAUT.ECUACIÓN DE LAGRANQE. 3.1. SOLUCIONES SINGULARES Ilustraremos lo que es una solución singular por medio del siguiente ejemplo Ej.3.1.1.- Consideremos la familia de circunferencias representadas por la ecuación _ ^ ^ C ) ^ + y^ = 25 Estas circunferencias tienen sus centros sobre la recta y = O siendo las rectas y=5 y y=-5 tangentes a todas ellas Claramente el núaero de tales circunferencias que pasan por un punto dado es 2 a) ceso si y es mayor que Z3 2 b) una si y es igual a Z3 2 c) dos si y es menor que 25 Cuando y = O solamente dos circunferencias tienen una tangente vertical única. Busquemos la E.D. tal que la familia de circunferencias dadas sea la solución general,para ello procedemos de la siguiente forma. 2(x - C) + 2yy' = O de donde obtenemos yy' = -(x - C) así que reemplazando en la Ecuación dada tenemos y de aquí logramos y^(y')^ + y^ = 25 (y')^ = {Z3 - y^)y~^ Es fácil ver que esta ecuación no define valores reales de y' ?=:X se cumple que y es mayor que 25,define un solo valor real de y' si y 2 2 es igual a 25 y dos valores de y' si y es menor que 25. Hagamos y' = p entonces el lugar .de los puntos para el cual ^2 _ (25 - y2) P 2 y define un solo valor de p se compone de las rectas y = O,y = 5 y y = -5. Entonces,cabe preguntarse si estas rectas son soluciones de la E.D. Qbtenida.Observgujios que las tres rectas anteriores tienen la forma :vy= una constante y por tanto sustituyendo en tenemos O = 0/25 y'= p = O 2 _ 25 - y2 P 2 si y = 5 y = -5 pero no se satisface 84 para y = 0. 2 2 Es claro que (x - C) + y = Z3 es la solución general de -, _-: 2 p2 _ zp - y P 2 y y que cualquier solución particular de esta E.D. es una circunferencia cuyo centro está sobre el eje X y de radio 5;sin embargo,las rectas y = 5, y = -5 no son expresables como tales a pesar de ser solución de la E.D, obtenida, Def,3,1,1,- Cualquier solución de una E.D. que no esté incluida en la solución general es llamada solución singular. La curva correspondiente (en el ejemplo anterior las rectas y = 5» y = -5 )es llamada envolvente de la familia. Ahora,se presenta el siguiente problema:Dada una E,D, como hallamos la solución general y la singular (si existe)? Tratemos de contestar esta preg-unta mediante un ejemplo del cual sacaremos conclusiones importantes, Ej,3,l,2,- Hallar la solución general y singular (si existe) de la E,D. 2 xp - 2yp + 9x = O donde p = y'. Si tratamos de despejar p observamos que aparecen radicales por tanto despejamos y obteniendo y _ 2x y ~ 2p - + X£ - 2 Derivando esta expresión con respecto a x obtenemos p = |( ^ ~ l ^ ' ) + ^(xp' + p) P por tanto 2p = 9( ^ "2^^') + xp' + p P ° ^^^ 9p - 9xp' + xp^p' - p3 = 0 (xp' - p)p^ - 9(xp' - p) = O (xp' - p)(p^ - 9) = O de donde concluímos que lü» De obtenemos pero por lo que integrando y :xp xp'= p d£ _ dx P X p = Cx P = y' dy = Cxdx y = Cx^ + A 2 = p 85 observe que de una E.D, de primer orden hemos obtenido una solución que posee dos constantes arbitrarias lo cual no es posible.Entonces si reemplazamos la expresión obtenida encontramos A en términos de ^ ^^^'- _2 2 x^ xC^x - 2(C I + A)Cx + 9x = -2ACx + 9x = O x(9 - 2AC) = O luego A = 9/2C por lo que „ _ r 2. + 2_ ' y " 2 2C También podemos eliminar p de las expresiones 2 xp - 2yp + 9x = O p - Cx = O además,podemos considerar las ecuaciones anteriores como ecuaciones paramétricas de la solución.Si procedemos a eliminar p de las dos ecuaciones anteriores tenemos x3c^ - 2yCx + 9x = O 2 3 por tanto _ C x 9x y " 2Cx 2xC = c¿+ ^ 2 2C que es el mismo resultado obtenido anteriormente. Pero p = 9 implica que p = 3 y P = -3 entonces ^ si sea esta ecuación la sustituímos o y = - 3x en + B 2 xp - 2yp + 9x = O tenemos = - 3 ^^ _ ^^^_^^ ^ ^^ ^ +3^ + gx = í 6B = O luego B = O y por tanto y = - 3x estas expresiones satisfacen la E.D» dada pero no están incluidas en la solución general y por consiguiente son soluciones singulares. Nota,3.1.1.- Del Algebra y Cálculo sabemos que toda ecuación polinómica F(p) =0 de grado n tiene n raíces y que toda raíz múltiple de multiplicidad mayor que uno es también raíz de F'(p) = 0. Recíprocamente,toda raíz de F(p) = O y F'(p) = O que sea común es raíz múltiple de F(p) = O. Ap3J-Cando la nota anterior a nuestro problema tenemos f(x,y,p) = O = xp^ - 2yp + 9x f'(x,y,p) = |^|£(x,y,p)] = O = 2px - 2y De este sistema de ecuaciones eliminamos p obteniendo P = ^ ^ así que reemplazando en X 86 2 xp - 2yp + 9x = O obtenemos ^ 2-1 9x - y X =0 lo que implica _ + :z-«. y — — yx que son las soluciones singulares de la E.D, dada. De lo anterior se deduce que las condiciones para que una E.D. tenga soluciones singulares son: a) Que la E.D. tenga raíces múltiples en p. b) Que la primitiva tenga raíces múltiples» Nota,3.1,2.- Observe que 1 ) Una E.D. de primer orden y primer grado no tiene soluciones singulares. 2) Una E.D» de grado superior a uno no tiene soluciones singulares si f(x,y,p) puede expresarse como factores que sesin lianeales en p y racionales en x,y. 87 EJERCICIOS 3.1. Encontrar las soluciones singulares de las siguientes E.D. 2 y = 2px - yp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 2 2y = p + 4px + 2x 2 y = P ,/ / 6 7^,2 4yx = px + 4p (p^ + l)(2y - x) = 2(x + py)y / y = 2px + 3p / (1 + P^)y^ - 4yp - 4x = O ^ 5 2 p-^ - ifxyp + 8y = 0 2 5 (xp + y) + 3x'^(xp - 2y) = O y(y - 2xp)^ = 2p 12 8p3 - I2p^ = 27(y - x) 2/x p = y -^ + a Para que valores de a esta ecuaciób tiene solución singular? 13 Diga si y = O es solución singular o particular de la E.D. p^(12x) - I2yp + 4y = O 2 14) La ecuación ( l - x ) p + x y - 1 0 = 0 se satisface para ta ecuación es solución singular o particular. y = lOx.Diga si es- EJERCICIOS 1]1 3.1. y-rc y»ív z)1 y-fy'rp 3)1 y--i? «: 1 jf«o ÍHi-hK^^-O 5:1 ?Y+ ^ 6:1 3yfx'-o L/ 7:> y^ = 4x + 4 4 3 8: > y = 0 y - 27 ^ 9:1 4y + x3 = 0 10:) hxy = -1 n:) y 12;1 a = 0 13:) singular 14:) Particular. ¿-1- — -^^ ~ pr? y = 0 88 3.2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR AL PRII-íERO. Estudiaremos algunos tipos de E.D. de primer orden y grado maiyor que uno, CASO I, La E.D. puede ser resuelta en términos de y'. Sabemos que la E.D. de primer orden tiene la forma F(x,y,y') = O Es posible que de esta ecuación podamos despejar y' como y '= fj_(x,y) i = 1,2, ,n donde n representa el grado de la E.D. Integrando cada una de estas ecuaciones obtenemos las soluciones de la E.D. inicial(la solución general es el conjunto de las n soluciones obtenidas) .En otras palabras,si tenemos aQ(x,y)(y')''+a^(x,y)(y')^-U +a^_^ (x,y)y'+a^(x,y) = O entonces es posible expresarla en la siguiente forma [y'- fT(x,y)][y'- f^(^,y)\ [y'- fi,(x,y)] = o y por tanto y'= fj_(x,y) i = 1,2, ,n así que obtenemos n soluciones que son las que determinan la solución general. Lo anterior es cierto si encontramos n soluciones reales para y' pero si al resolver la E.D. dada con respecto a y' encontramos k soluciones reales, k vj^ n ,las k soluciones qñe se obtienen conforman una solución de la E.D. dada. Ej.3.2.1.- Resolver 2(y')^ - (x + 2)y' + x = O La E.D. la podemos escribir como (y')^ (y')^ - ( ( I I-^ i^y' + 1 = 0 que podemos factorizarla así iy' - i)(y' - |) = 0 y por tanto^j ^ , ^ .j b) y' = I de a) obtenemos y = x + C 2 de b) y = X + A y 4 Es fácil comprobar que cualquiera de estas expresiones satisfacen la E.D. dada,por tanto el conjunto formado por las expresiones y, = x + C ' 2 y p = x + A 4 r e p r e s e n t a l a i n t e g r a l general de l a E.D. dada. Nótese que la y dónde 3 = A + 2( I 89 suma de y y y no es solución de la E.D. dada pues 2 = yi+yp = x + X + B 4 C,reemplazando en la E.D, tenemos + 1)^ - (x + 2)(| + 1) + X = (| + 1)(x + 2 - X - 2) + X = X j^ O salvo cuando x = 0,pero si x =- O entonces y = B que no satsiface la E,D, original. Ej,3,2.£,- Resolver (y')^ -(x + y)y'+ xy = O Esta E.D, la podemos escribir como (y' - x)(y' - y) = O obteniendo , , a) y = X b) y' = y De a) concluímos que y = ~ + A De b) y = Be^ Entonces el conjunto formado por las expresiones 2 , T3 X y. = x_ + -^ Yp = Be ' 2 representa la solución general de la E,D, dada, CASO II. La E.D, es de la forma F(y') = © Como trabajamos con E,D, de primer orden que tienen grado mayor que uno entonces F(y') = O puede expresarse como un polinomio en y' lo qu« implica que existe una raíz k tal que y'= k (k puede ser constante real o compleja).De y' = k obtenemos y = kx + C de doiide concluimos que k = ^--n— por tanto F(y') = F(k) = F( i^-^) = O X así que es l a solución buscada. F( 2 - ^ ^ ) = O E j . 3 . 2 , 3 . - Resolver p^ - 169p + P + 13 = O donde p = y ' . Esta E.D. l a podemos e s c r i b i r a s í P'^(P^ -169) + (p +13) = (p+13) \ y i v - 13) + 13 = O o sea que P = -13 satisface la E.D. Luego la solución general es ( 5 L ^ )9 . T69( J L ^ )7 ^ ^ J L ^ ) + 13 = O 90 CASO III, La B.D. es de la forma y = F(x,y') En este caso,podemos derivarla con respecto a x obteniendo ' d^ = $£ + ^ dx h* d^' ' ^ ' dx ^F . vE. dp , P = •^— + - ^ -T*- P = Y ^ P >y 7)P dx Oí entonces observamos que p puede escribirse como p = g((x,p,p') que es una E.D. de primer orden y primer grado por tanto,si resolvemos esta ecuación obtenemos una función g(x,p,C) = O Luego,para obtener la solución de la E.D, dada eliminamos p entre las ecuaciones y = F(x,g) g(x,p,C) = O Si lo anterior no es posible entonces expresamos x e y separadamente como funciones del parámetro p. A este método muy a menudo se le conoce con el nombre de "solución de una E.D» por derivación". Ej.3.2,4.- Hallar las soluciones (general y singular) de 2 2 y = 5px + 5x + p P = y' Derivando la S.D. con respecto a x obtenemos y' = p = (5p + lOx) + (5X + 2p)p' luego pt(5x + 2p) + 2(5x + 2p) = O (p' + Z)i3x + 2p) = O 2x + p = C 2 2 Sol Gral.Como p' =-2 p = - 2x + C y de las ecuaciones 5px + 5xc + entonces p P = y 2 2 eliminamos p.Esto es,sustituyendo p = -Zx + C en 5px + 5x + p = y y = 5(C - 2x)x + 5x + (C - Zx) obtenemos = 5Cx - lOx^ + 5x^ + C^ - ¿fCx + hx^ 2 2 = Cx - X + C Sol Singular,Como 5x + 2p = O entonces p = -(5/2)x en la S.D, original encontramos y = 5(- |i:)x + 5x^ + (- 2 ""^^ - - ¿x2 - 4"" y reemplazando 91 CASO IV. La E.D. es de la forma x = G(y,y') En este caso podemos derivarla con respecto a y obteniendo dx _ iO ^ d^^' dy ~ 1 ¿y •*" *7«dy = ^G + dO dE o sea , dp dy = — _p -V J >y ^ dP esta ecuación puede resolverse por los métodos conocidos obteniéndose comomsolución ,,, „, -. i-í(y»p»c) = O Entonces si elininamos p entre esta ecuación y la original obtenemos _ la solución general. Si lo anterior no es posible,entonces expresamos a x e y separadamente como funciones del parámetro p. Ej,3.2.5.- Resolver x = y + Ln(p) P = y' Derivando la E.D. con respecto a y obtenemos dx _ i _ . ^. 1 d£ dy por tanto entonces de donde p ~ p dy , i j P P dy p ^ , Obtenemos i dy y + Ln(p - 1) ± LnC o sea p ' 1 _ e~y C - ^ p = Ce"y + 1 eliminando p entre esta úitima ecuación y la original encontramos la solución general que es X = y + Ln(Ce~y + l) CASO V. La E»D. es de la forma F(y,y') = O Si de la expresión anterior se puede despejar y' se obtiene una ecuación de variables separables. Por consiguiente,son de inter&s los demás casos, a) Si de la expresión F(y,y') = O se puede despejar y obtenemos una expresión de la forma _ f( *) y por tanto podemos aplicar el CASO III así que derivando la expresión y = f(p) con respecto obtenemos dz, _ a xdf dp dx ~ P ~ dp dx luego 92 A 1 df dp , dx = — P ir" dp -^ , , -^ = /i — o sea , y' p dp dp Obsérvese que tanto x como y están dadas en términos de p por tanto son ecuaciones paraiaétricas. '^2»3»¿»S.- Resolver y = (y')3 - (y')^ - i = P^ - P^ - 1 Como -^ = p entinces dx = — dy dx -^ p Luego ,^2 _^ dx = ^P - ^P dp por lo que P = fi3v - 2)dp 3 2 = ^ p - 2p + C b) Si de la expresión F(y,y') = O no pueden despejarse ni y ni y' pero estas últimas pueden expresarse en forma paramétrica mediante algún parámetro t,digamos y = h(t) p = j(t) entonces dy = pdx = j(t)dx y de otro lado dy = h'(t)dt de modo que j(t)dx = h'(t)dt P = y' dx = . f\.\' dt 3(t) o sea ^-Ct) dt t) Por consiguiente,obtenemos 1 a solución general de la E.D, dada en forma paramétrica, Ej,3.2,7.- Resolver (y^^^) + (y')^'^3 ^ ^ de donde logramos ^=jjr^ Si hacemos y = cos'^t , y' = p = sen t la E.D. se satisface entonces dx ^ dx ^ -3cos^t sen t^^^ •^ cosft ^^ ^ 3±. 2. sen t sen t P 2^ ^^ de donde X = 3t + 3ctg t + C y la solución general es y = cos3t X = 3t + 3ctg t + C CASO VI. La E.D. es de la forma G(x,y') = O Si de la expresión anterior se puede despejajr y'obtenemos una E.D, de variables separables. Entonces pueden ocurrir los siguientes casos a) Si de la expresión G(x,y') = O se puede despejar x obtenemos una 93 , ,, X = g(y ) y por tanto podemos aplicar el caso IV así que derivando con respecto a y obtenemos 1_ _ d£ dp p ~ dp dy luego dy = p d£^ ^ dp ^ o sea ^ expresión de la forma Obsérvese que tanto x como y están dadas en términos de p y por tanto son ecuaciones paramétricas, Ej.3.2.8.- Resolver x = p - p-1 Como dy = pdx entonces p = y' 2 dy = p(3p - 1)dp por tanto y = jp(3p - l)dp Las ecuaciones 3 x = p - p -1 y=¿p^-ip2+C determinan en forma paramétrica la familia de curvas buscadas b) Si de la expresión G(x,y') = O no puede despejarse ni x ni y' pero estas últimas pueden expresarse en forma paramétrica mediante algún parámetro t,se procede en forma similar a la parte b) del caso V. 94 EJERCICIOS 3<Z, Resolver l a s s i g u i e n t e s (./.1 y = (y')^ey' V2 y'= e y ' y " ' < "3 X = Ln(y') + sen(y') % X = ( y ' ) ^ - 2y' + 2 5 y = y'Ln(y') y = s e n " ' ' ( y ' )) + Ln( 1 + ( y ' ) ^ ) 7 y = ( y ' - Dey" 8 x( 1 + ( y ' ) 2 ) = 1 9 X( 1 + (y')^)^'^^ = a a cte 10 y2/5 , ( ^ , ) 2 / 5 ^ ^2/5 11 y^ - ( y ' ) ^ - y ( y ' ) ^ = o la X = y ' + s e n ( y ' ) •> 13 y = y'( 14 ( y ' ) ^ - y ( y ' ) ^ - x ^ y ' + x^y = o ¿ 15 1 + y'co3(y')) / ""^ ' ( y ' ) ^ + (x + 2)ey = O 16 x ( y ' ) ^ - 2 y y ' + x = O L- Í7 ( y ' ) ^ - 2yy' = y ^ ( e ' ' - 1) ^' 13 ( y ' ) ^ - (2x + y ) y ' + (x^ + xy) = O ''- 19) y = 2y'x + y ^ ( y ' ) 3 EJERCICIOS 3.2. X = e P ( p + 1) + C 2 p y = p e^ y = O j ^ X = Ln(Ln p) + -—^ ^ Ln p y = Ln p + C X = Ln p + s e n p y = C + p(l X = p 2 + s e n p) + c o s p - 2p + 2 5 2 y = I p^ - p'' + C x + C= ^' I ^^ P^^ y = pLn p 1 ^ ^ (^ 2,1/2 X + C = 2 t g - ^ - Ln( ^ ^ ^^ - P ^ ) y = sen~^p + Ln(l + p^) X = eP + C p y = -1 y = (p - y = O l)e^ y + C = í ((X - x ^ ) ^ / ^ + sen ~ \ x ^ ^ ^ ) ) X = acos t y = C - asen-^t X = 5( ^ t g 3 t - t g t + t ) + C 5 y = a sen t X = - | + Ln( | - i - i y = t^d - ) - 2 t&~\ y = O t^)-1 X = p + sen p 1 2 y + C = j p + psen p + cos p X + C = Ln p + sen p +ÍCOS p 2 y = p + p eos p y = 2¿ 2 +C , y = - ¿ + C , 2 (X + Z ) ' ' ^ ^ = 4 e - ( y / 3 ) C 2 1 y = 2 ^ -^ 2 c y = 1 ^ Ln Cy = X + 2 e ^ ^ / ^ ^ y = | - + C X = ^ - ¿ , y = O y = C e ^ - x - 1 y^ + x3 = O y=Ce^ p = yt 95 3.3. LA ECUACIÓN DE CLAIRAUT Def.3.3.1.- La ecuación y ^ px + f(p) es llamada ecuación de Clairaut donde p = y'. Observando la ecuación vemos que si la derivamos con respecto a x (CASO Ul) tenemos dy= p = p +^ (^x +^ ^ dx ^ ^ = p + (X + df(p)^ dp , ^ ^ ' ) -r^ dp dx f'(p)) ^^ luego ( X + f'(p)) ^ = o entonces b) X + f'(p) = O De a) conclxiimos que p = C y sustituyendo en la ecuación de Clairaut tenemos ^ ^ ^^ ^ ^^^^ que es eviaentemente la solución general, si se cumple b) o sea _^_ f'(ri) - o entonces de las ecuaciones y = px + f(p) O = X + f'(p) podemos eliminar p obteniéndose así una relación entre x e y.Esta relación es una solución de la 2,,D, de Clairaut pero ng__£Dntie&© constantes arbitrarias y por tanto no es la solución general,De otro modo,esta lución general solución no se obtiene,en general,a partir de la soy = Cx + f(e) dando valores a C.Pero según lo visto anteriormente,al eliminar p de dichas ecuaciones y obtener así una relación entre x e y,esta solución es una solución singular de la S.D, de Clairaut, 96 EJERCICIOS 3.3. 1) Pruebe que la ecuación Zf-, ,, ^ / . -,N , n r. ^ p (3x - 1) - 3p(y + 2) + 9 = O (ecuación de Clairaut) tiene como soluci|)n general a la expresión 2Cy + C^(y - 3x) - 4 = O y como solución singular a la expresión y^ + 4y - 12x = O Demuestre que también y = 3x es solución y que esta solución no está contenida en la solución general aunque puede obtenerse deella cuando C crece indefinidamente , tal solución es llamada solución límite, 2) Resuelva las siguientes Ecxiaciones de Clairaut 2 2 1 / 2 — 1 a)y=px+2p-p d)y=px+(l-p)' - pcos p b) y = px + a^p~^ e) y = px + (p - '[)~^^^ c) y = px + (1 + p^)^'^^ f) y = px + ap(l + v ^ ) ~ ^ ^ ^ 3) Demostrar que la E.D. de Clairaut y = px + ap + b P = y' no tiene soluciones singulares. ^ERCICIOS 3.3. 2 a) y = Cx + 2C -C b) y = Cx + a^C"^ c) y = Cx + (1 + C ^ ) ^ / ^ d) y = Cx + (1 - C ^ ) ^ / ^ - Ccos"^C e) y = Cx + (C - 1)"^/^ (x - 1)"^ + 8y = O y y K z^a^x ^ y=(i -x^)'/^ y = sen x y = X + 3 2~^''^3 x ^ / 3 97 3.4. LA ECUACIÓN DE LAGRANGE Def,3,4.1,- Una E,D. de la forma ^ ^ ^^^^^ ^ ^^pj p = y' es llamada ecuación de Lagrange, Esta ecuación es una generalización de la ecuación de Clairaut pues el coeficiente de x es una función cualquiera de y' en lugar de ser y'. Para encontrar su solución general la derivamos con respecto a x oübtenündo p = f(p) + ( xf'(p) + g'(p) ) g que la podemos escribir como (p - f(p))f|- f'(p) X = g'(p) dx _ f'iv) ^ f¡'{v) dp p - f(p) p - f(p) ¿X ^ f'(p) X ^ g'(p) dp f(p) - p p - f(p) que es una E.D, Lineal de primer orden en la variable x. Integrando ésta ecuación encontraremos X = F(p) y como p = y' entonces dy = pdx por tanto dy = pF*(p)dp o sea y = /SF'(p)dp 2 2 / Ej,3.4.1.-Resolver y = -p x + p + 1 Derivando con r e s p e c t o a x obtenemos p = - p ^ + (-2px + Z v ) p ' simplificando encontramos 1 + p = 2(1 - x)^ dx esta ecuación es lineal pero además es de variables separables luego dp _ 1_ dx 1 + p ~ 2 1-X C cuya solución es p = T-TT - 1 (1 - x)^/2 entonces reemplazando en la E,D, original tenemos y = -( — r/2 - D^x + ( 2—r72 - D ^ - i (1 - x ) ^ / ^ (1 - x ) ^ / ^ es la solución general. EJERCICIOS 3.4. 1) Demuéstrese que la E,D, de Lagrange puede tener soluciones singulares de la forma y = xf(C) + g(C) donde C es una raíz de la ecuación f(C) - C = O, 98 3.5. LA E.D. DE ORDEH SUPERIOR QUE PERMITEN REDUCIR SU ORDElí L a s E.D, de n-ésimo orden t i e n e n l a forma (n) „, , ,, (n-1), y' = f(x,y,y ,y' , ,y^ ) o bien „, , , (n-1) (n), ^ F(x,y,y , y ' , ,y^ Sy^ ') = O La primera de dichas ecuaciones se presenta cuando es posible despejar de la E^D, la derivada n-ésima y la segunda cuando es imposible,o muy difícil hacerlo. En ciertos casos,el orden de la E,D, puede ser reducido lo que permite facilitar su integración,Señalaremos tres clases de estas ecuaciones, a) y^ "^ = f(x) Vésase pag 17 de estas notas. b) La E.D, no contiene la función buscada y sus derivadas hasta el orden k - 1 inclusive. Esto quiere decir aue la E.B. es de la forma „/ (k) (k+1) (n), „ F(x,y^ ',y^ , ,y^ ') = O bio este de Variables,Este es dada y = q y por tanto - q En caso,el orden cambio de la E,D, puede reducirse a y n-6: mediante un camariables,Es (n) ^(n-k) LÚ¡¡¡" F(x,y^^\yí^^l\ ,y^^^) = O se reduce a Q(x,q,q', ,q ~ ^) = O De esta ecuación encontramos su solución general que contendrá n-k constantes arbitrarias y que será de la forma Q(x,C^,C2, ,C^_^) = q y hallamos la función buscada y aplicando el caso a),En otras palabras,como y^^^= q entonces y^^^= Q(x, 0^,02» »^n-k^ así que integrando k veces obtenemos la función buscada. En particular,si la E.D, es de segundo orden y ésta no contiene a y entonces la sustitución y'= p nos conduce a una E.D, de primer orden, Ej.3.5.1.- Resolver d ^ _ 1 d/^ _ Q dx^ ^ dx^ Hagamos q = d% entonces la E.D. se convierte en dx^ t -i^-° que es de variables separables asi que integrando obtenemos q = Cx luego ¿!f = Cx dx"^ integrando cuatro veces logramos la solución general que es y = (C/5!)x^ + (A/if!)x^ + (B/3!)x3 + (D/2!)x^ + Ex + F c) La E.D. no contiene a la variable independiente.O sea que es de la forma F(y,y',y':,,.^,.^_,_,.^,^^,_y^^^jL = _Q_ 99 Haciendo y'= p la E.D» dada se reduce en su orden en una unidad. En este caso se considrra p como una función en términos de y por eso todas las derivadas ( y (k) ) deben expresarse en términos de las derivadas de la nueva función p con respecto a y así: d2:_ dx ix = P ,2 d_y.= d£^d£d2: ^2. dx dy dx ^ d £ -^ dy y asi sucesivamente las que siguen. Particularmente,si la E.D. es de segundo orden y no contiene la variable independiente entonces la sustitución de la variable anteriormente señalada nos conduce a una E.D. de primer orden 2 Ej.3.5.2.- Resolver d y _ . dy .:Z_ _ ^ dx dx^ dy Sea p = •^ 2 entonces d y _ d£ _ d£ d^ _ dg^ - 2 ~ dx ~ dy dx ~ Pdy reemplazando en la E.D, tenemos dp py d^ 2 - p „ =0 P(y i^ - p) = o entonces , ^ -, £ -, • a) p = O lo que ímplxca que y y-r^ - T) = O o sea -^ dy P p = C^ pero p = y' por r. n ^. = C C cte = -*^ cuya solución es y lo que • ^ = Cdx que tiene Cx por solución a la expresión y = Ae 100 EJERCICIO^ ^.5, R e s o l v e r l a s s i g u i e n t e s E,D, y " ' = xLn X s i y(1 ) = y ' ( 1 ) = y " ( l ) = o y ' " = : X + cos X , / ( y " ) ^ - 5y' + 6 = o (1 + x ^ ) y " + ( y ' ) ^ + J = 0 ( y " ) ^ - 2 y " y ' •*-3 = O xy"= y . 8 9 y'Ln(|) yr'C 1 + 2Ln y ' ) = 1 ^ Cy")^ - y ' y ' " = ( J^ )^ X y " ( y ' + 2)ey' = 1 10 y " = ( 1 + (y ' ) ^ ) ^ / ^ 1 1 y" .12 (1 - x 2 ) ^ / ^ y " + ( 1 - { y ' ) W ^ ^ = O 15 = y'Ln y ' s i y(o) = 0 y'(o) = 1 y " ' = 3y y ' s i y ( o ) = y ' ( o ) = 1 , y " ( o ) = Z/3 EJERCICIOS 1 2 3.3* 1 x^ + ^ ^ - ^ + 1 y = -^TT- Ln X 24 288 8 9 32 .4 X' 2 y = 2zJ' ~ ^®^ X + C x^ + C X + c'3 3 y + C2 = | ( x + C^) + ^ x + C^)3 4 y = (1 + C^)Ln(x + C^) - e^x + c 5 X + C^ = ¿ un Ln zt + *—T¿-^ t = y" 4t y ^ ^2 6 7 = 4 ^ -^ ^ '1 y = (c^x - ef) e^^'/c^^ ^ 1 X + C2 = z (.2Ln z - 1 ) z Z^ z Ln z y + C, 8 y = C , ( x e ^ l ' ' - C, e^l"") + C, '1 9 X + C2 = e ^ ( z + 1) y + C^ ZZ z ^ e ^ 10 y = c o s h ( x + 0^) + C 11 y = X .12 13 y = C2- 1 ( 1 - C f ) l / V y = A r2 (x - 2)' = y- y + ic^xd - x2)l/2 , ic^sen-lX